Xây dựng bài toán phương trình bậc nhất liên quan đến thực tiễn - Phạm Sỹ Nam

TAÏP CHÍ KHOA HOÏC ÑAÏI HOÏC SAØI GOØN Soá 33 (58) - Thaùng 10/2017 14 Xây dựng bài toán phương trình bậc nhất liên quan đến thực tiễn Constructing linear equation problems related to real life TS. Phạm Sỹ Nam, Trường Đại học Sài Gòn Pham Sy Nam, Ph.D., Saigon University ThS.NCS. Hà Xuân Thành, Cục Khảo thí và Kiểm định chất lượng giáo dục Ha Xuan Thanh, M.A., Ph.D. student, Office of Quality Management, Ministry of Education and training Tóm tắt Việc kết nối toán học với thực tiễn là một yêu cầu trong dạy học môn Toán hiện nay. Tuy nhiên, thực tế dạy học phương trình bậc nhất một ẩn chưa phản ánh điều này. Các bài tập phương trình bậc nhất một ẩn có liên quan đến thực tiễn còn hạn chế và giáo viên gặp nhiều khó khăn trong việc tạo cơ hội cho học sinh kết nối với thực tiễn. Bài viết đề xuất các bước xây dựng bài toán phương trình bậc nhất có liên quan đến thực tiễn tạo cơ hội cho học sinh kết nối kiến thức này với thực tiễn cuộc sống. Từ khóa: phương trình bậc nhất một ẩn, bài toán có liên quan đến thực tiễn, xây dựng bài toán. Abstract Connecting mathematics with reality is a requirement in today's teaching math. However, the actual teaching of linear equation problem does not reflect this connection. The linear equation problems related to real life are limited and teachers face many difficulties in creating opportunities for students to connect with reality. The paper analyzes some of the difficulties and suggest steps to construct linear equation problems related to real life to create chances for students to connect with real life. Keywords: linear equation, mathematical problems related to real life, construct a problem. 1. Mở đầu Nhu cầu thực tiễn là nền tảng của sự phát triển toán học. Ngược lại, toán học cũng có tác dụng mạnh mẽ đối với thực tiễn đời sống, sản xuất và các ngành khoa học kỹ thuật khác. Lịch sử của Toán học gắn liền với sự phát triển của loài người, những khái niệm toán học được hình thành hầu hết xuất phát từ đời sống thực tiễn, từ nhu cầu tìm tòi và khám phá của con người. Phương trình bậc nhất là khái niệm cơ bản của Toán học, có nhiều thể hiện và ứng dụng trong thực tiễn cuộc sống nhưng chưa được thể hiện nhiều trong quá trình học tập. Điều này có nguyên nhân là việc dạy học nội dung này chưa được chú trọng kết nối với thực tiễn, hơn nữa số lượng bài toán về phương trình bậc nhất liên quan đến thực tiễn chưa nhiều và các bài toán chưa thực sự phản ánh rõ thực tiễn cuộc PHẠM SỸ NAM – HÀ XUÂN THÀNH 15 sống. Nhằm tạo cơ hội cho học sinh (HS) liên hệ đến các tình huống khác nhau khi gặp bài toán liên quan đến thực tiễn, bài viết này tập trung vào câu hỏi nghiên cứu: Cần thực hiện các bước như thế nào để xây dựng bài toán về phương trình bậc nhất có liên quan đến thực tiễn từ bài toán có liên quan đến thực tiễn cho trước? 2. Nội dung nghiên cứu 2.1. Nguyên lí giáo dục thực hiện trong môn toán Để đạt được mục tiêu đào tạo con người mới, toàn bộ hoạt động giáo dục, nói riêng là việc dạy học các bộ môn, phải được thực hiện theo nguyên lí: “học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, lí luận gắn liền với thực tiễn” [tr.62, Nguyễn Bá Kim]. Nhằm thực hiện nguyên lí giáo dục trong toán học, những phương hướng cần thực hiện đó là:  Làm rõ mối liên hệ giữa Toán học và thực tiễn;  Dạy cho học sinh kiến tạo tri thức;  Tăng cường vận dụng và thực hành toán học. Trong phương hướng thứ nhất, thông qua cái vỏ trừu tượng của toán học, phải làm cho học sinh thấy rõ được mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn, đó là: Làm rõ nguồn gốc thực tiễn của toán học; làm rõ sự phản ánh thực tiễn của toán học; làm rõ những ứng dụng thực tiễn của toán học. Trong phương hướng thứ hai, việc dạy được yêu cầu sao cho học sinh có thể nắm vững tri thức, kĩ năng và sẵn sàng vận dụng vào thực tiễn. Trong phương hướng thứ ba, cần cho học sinh làm toán có nội dung thực tiễn. 2.2. Ý tưởng xây dựng bài toán có liên quan đến thực tiễn Để xây dựng bài toán có liên quan đến thực tiễn, trong việc thiết kế giảng dạy, để thực hiện ý tưởng này chúng tôi thực hiện theo các cấp độ. - Ban đầu, yêu cầu học sinh giải bài toán chứa tình huống liên quan đến thực tiễn. - Sau đó học sinh sẽ phải xác định mô hình toán học và giải bài toán đó. - Dựa vào mô hình toán ở trên từ đó đề xuất các bài toán liên quan đến thực tiễn. Việc làm này nhằm mục đích tạo cho học sinh thấy được các thành phần của bài toán chứa tình huống liên quan đến thực tiễn đó là: bài toán toán học thuần túy và một số yếu tố liên quan đến thực tiễn. Việc phối hợp cả hai yếu tố này tạo nên bài toán có liên quan đến thực tiễn. Việc giải bài toán chính là việc tách các yếu tố liên quan đến thực tiễn để xác định mô hình toán học và việc tạo bài toán chứa tình huống liên quan đến thực tiễn chính là thêm các yếu tố thực tiễn, gắn cho các biến của bài toán thuần tuý tương ứng với các đại lượng trong thực tiễn. Việc dựa trên bài toán thuần tuý để đề xuất các bài toán liên quan đến thực tiễn nhằm giúp học sinh thấy được một nội dung có thể được phát biểu dưới các hình thức khác nhau. Việc xác định bài toán toán học trong mỗi bài toán liên quan đến thực tiễn cũng chính là giúp học sinh thấy được bản chất của vấn đề. 2.3. Các bước khi thiết kế bài tập từ bài tập chứa tình huống thực tiễn có sẵn Hoạt động này gồm 2 bước: Bước 1: Giải bài toán chứa tình huống thực tiễn (BTCTHTT) có sẵn, từ đó xác định mô hình TH của bài toán đã cho; Bước 2: Đề xuất BTCTHTT mới. Trong cách khai thác này, trước hết cần tìm các BTCTHTT có sẵn. Đây có thể là các bài toán chứa tình huống giả định hoặc các bài toán chứa tình huống thực. XÂY DỰNG BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT LIÊN QUAN ĐẾN THỰC TIỄN 16 Trong bước 1, cần giải bài toán đã biết trước bằng cách sử dụng các kiến thức, kĩ năng sẵn có cùng các dữ liệu đã cho trong bài toán để xác định được mô hình toán học và từ đó hoàn thành nốt bước tiếp theo. Điều này giúp người thiết kế thấy được rõ bản chất toán học của BTCTHTT. Sau đó, trong bước 2, dựa trên BTCTHTT đã được giải quyết (với mô hình toán học được xác định), người khai thác có thể tìm kiếm, liên hệ kết nối một cách thích hợp các tình huống thực tiễn (giả định) có chung mô hình toán học đã có nhằm tạo ra các bài toán mới theo nguyên tắc một mô hình, nhiều tình huống. Cách thiết kế này có thể sử dụng được cho giáo viên (GV) và HS. Tuy nhiên, đối với từng đối tượng thì yêu cầu thực hiện từng bước có sự khác nhau. Đối với GV khi thực hiện, chỉ cần xác định được mô hình toán học để từ đó tìm kiếm các BTCTHTT có mô hình toán học tương ứng. Để làm được như vậy, có thể sử dụng các cách sau: Cách 1: Thay đổi các đối tượng đề cập đến trong bài toán Mỗi BTCTHTT đều đề cập đến một hoặc nhiều đối tượng nào đó. Chẳng hạn, một bài toán “số tiền có được sau 3 năm gửi ngân hàng với lãi suất 5,4%”, như vậy đối tượng được đề cập ở đây là “số tiền”. Tuy nhiên, khi liên hệ với các tình huống khác trong thực tiễn, chúng ta có thể thấy tình huống này cũng tương tự tình huống tăng dân số, tăng trưởng vi khuẩn,... Vậy có thể thay “số tiền” bởi “dân số” hoặc “số vi khuẩn” để đề xuất một bài toán mới. Ví dụ 1: Xét bài toán cổ: “Vừa gà vừa chó bó lại cho tròn ba mươi sáu con, một trăm chân chẵn. Hỏi có mấy con gà và mấy con chó?” Mô hình toán học của tình huống thực tiễn này là: “giải phương trình 2x+4(36-x)=100”. Bằng cách thay đổi đối tượng “gà, chó” bởi đối tượng “thuyền chở 2 người và thuyền chở 4 người”. Từ mô hình toán học trên chúng ta có được bài toán mới: Ví dụ 1.1: Để chở hết 100 người người ta dùng 36 cái thuyền, gồm 2 loại: thuyền chở được 2 người và thuyền chở được 4 người. Hỏi mỗi loại thuyền có mấy cái”. Bằng cách thay đổi đối tượng “gà, chó” bởi đối tượng “cabin chở 2 người và thuyền chở 4 người”. Từ mô hình toán học trên chúng ta có được bài toán mới: Ví dụ 1.2: Một công ty du lịch dự định xây dựng một hệ thống cáp treo để chở khách tham quan. Qua khảo sát thì có thể lắp đặt được 36 cabin chở khách gồm 2 loại, loại cabin chở được 2 người và loại cabin chở được 4 người. Thời gian để mỗi cabin di chuyển hết 1 vòng là 1 giờ. Để mỗi giờ công ty du lịch chở được 100 khách thì phải lắp mỗi loại cabin bao nhiêu chiếc? Cách 2: Thay đổi các quan hệ, tính chất của đối tượng trong bài toán Mỗi đối tượng có thể có nhiều quan hệ, tính chất. Chẳng hạn, cùng xét về số tiền trong tình huống gửi ngân hàng, nhưng chúng ta xét số tiền có được sau 2 năm gửi, hoặc xét số tiền lãi thu được sau 2 năm, hoặc xét số tiền gửi hay xét số tiền trả góp... thì chúng ta sẽ có được các yêu cầu khác nhau của bài toán. Đây cũng là cách tạo ra bài toán mới. Ví dụ 1.3: Từ bài toán cổ trên, bằng cách thay đổi “gà”, “chó” tương ứng thành “xe chở được 4 khách” và “xe chở được 7 khách”; thay đổi “36 chân” thành “85 xe”; thay đổi “100 chân” thành “445 khách”. Ta có bài toán: Hãng Taxi Airport có 85 xe ôtô chở PHẠM SỸ NAM – HÀ XUÂN THÀNH 17 khách gồm hai loại, xe chở được 4 khách và xe chở được 7 khách phục vụ khách tại Sân bay quốc tế Nội Bài. Vào thời gian cao điểm khi mà nhiều máy bay hạ cánh, nhu cầu khách đi lại nhiều, Hãng phải huy động cả 85 xe hoạt động và đã vận chuyển được 445 khách cùng lúc. Tính số xe ôtô mỗi loại?. Cách 3: Thay đổi giả thiết hoặc thay đổi kết luận của bài toán. Việc thay đổi giả thiết hoặc kết luận từ bài toán xuất phát sẽ tạo ra một cấu trúc khác. Do vậy, chúng ta sẽ có được một bài toán mới. Thực tiễn cuộc sống khá đa dạng sẽ tạo cơ hội để có thể thay đổi giả thiết hoặc kết luận theo nhiều hình thức khác nhau. Điều này làm cho các bài toán mới được phong phú hơn về nội dung. Ví dụ 1.4: Một lớp học muốn thuê dịch vụ của một công ty du lịch để tổ chức chuyến tham quan cuối khóa học. Có 2 công ty đã được liên hệ để lấy các thông tin về giá. Công ty A có phí dịch vụ ban đầu là 375 USD cộng với 0,5 USD cho mỗi km chiều đi có hướng dẫn viên tham gia. Công ty B có phí dịch vụ ban đầu là 250 USD cộng với 0,75 USD cho mỗi km hướng dẫn viên tham gia. a) Lớp học nên chọn công ty nào để thuê dịch vụ nếu biết rằng chuyến đi sẽ đến một địa điểm nào đó với tổng khoảng cách chiều đi là 600 km. b) Lớp học đi tham quan ở địa điểm có khoảng cách là bao nhiêu thì chi phí ở hai công ty là như nhau? Trong bài toán trên, mô hình toán học ở câu b là: “giải phương trình: 375+ 0,5x = 250 + 0,75x”. Trong bài toán trên, có thể xem như là tính toán với hai biểu thức. Bằng cách thay đổi giả thiết chuyển mô hình bài toán về ba biểu thức, chúng ta có bài toán sau: Ví dụ 1.5: Có 3 hình thức trả tiền cho việc truy cập Internet như sau: - Hình thức A: Mỗi giờ truy cập giá 2.000 đồng; - Hình thức B: Thuê bao hằng tháng 350.000 đồng và số giờ truy cập không hạn chế; - Hình thức C: Thuê bao hằng tháng 45.000 đồng và mỗi giờ truy cập phải trả thêm 500 đồng. a) Em sẽ chọn hình thức nào để trả ít tiền hơn nếu tổng hợp số giờ truy cập hằng ngày trong tháng (30 ngày) lần lượt là 1,5 giờ; 4 giờ; 8 giờ. b) Số giờ trung bình mỗi ngày nhà bạn D truy cập internet là bao nhiêu thì số tiền phải trả cho hình thức A và B là như nhau? B và C là như nhau?. Mô hình toán học trong câu b của bài toán trên là: “giải các phương trình 2000x = 350000; 45000+500x = 350000”. Bằng cách chuyển sang điểm, chúng ta có bài toán. Ví dụ 1.6: Để thi vào lớp 10 chuyên Toán THPT, thí sinh phải thi 3 bài (Toán; Ngữ văn và Toán chuyên, với điểm bài thi Toán chuyên được tính hệ số 2). Trong kì thi năm 2015, bạn An đã thi vào chuyên Toán. Sau khi làm bài Toán và Ngữ văn, bạn An tự đánh giá bài thi Toán đạt 9,5 điểm, bài thi Ngữ văn đạt 6,5 điểm. Biết điểm chuẩn (tổng điểm tất cả các môn đã nhân hệ số) vào chuyên Toán năm trước là 30 điểm. Hỏi điểm bài thi Toán chuyên của bạn An phải là bao nhiêu để điểm của bạn bằng điểm chuẩn của năm ngoái?. Mô hình toán học của bài toán trên là: “giải phương trình 9,5 + 6,5+ 2x =30”. Thay đổi giả thiết về cách xác định điểm đỗ tốt nghiệp THPT, chúng ta có bài toán sau: XÂY DỰNG BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT LIÊN QUAN ĐẾN THỰC TIỄN 18 Ví dụ 1.7: Trong kì thi tốt nghiệp THPT, bạn B phải thi 3 môn bắt buộc là Toán, Ngữ văn, Ngoại ngữ và 1 môn tự chọn là Địa lí. Sau khi thi 3 môn, bạn B so đáp án thì thấy bài thi môn Toán đạt 7,0 điểm, bài thi môn Ngoại ngữ là 6,5 điểm, bài thi môn Ngữ văn đạt 6,0 điểm. Hỏi để được công nhận tốt nghiệp THPT thì bài thi môn Địa lí bạn B phải đạt bao nhiêu điểm?. Biết rằng để được công nhận tốt nghiệp THPT, điểm trung bình các môn thi phải đạt ít nhất 5,0 điểm và không có môn nào từ 1,0 điểm trở xuống. Thay đổi sang mô hình hàm số cho bởi nhiều công thức ta có bài toán sau đây: Ví dụ 1.8: Tập đoàn Viettel cung cấp các dịch vụ viễn thông. Trong đó có 2 gói dịch vụ là gói cước trả sau Basic + và gói cước trả trước Tomato. Bảng Gói cước Basic+ Loại cước Giá cước Cước thuê bao tháng 50.000 đ/ tháng Cước gọi: Đồng /phút Block 6s đầu 1s tiếp theo Gọi nội mạng Viettel (Di động, Cố định) 890 89 14,83 Gọi ngoại mạng Viettel (Di động, Cố định) 990 99 16,50 Bảng gói cước Tomato Loại cước Giá cước Cước thuê bao tháng 0 đ/ tháng Cước gọi: Đồng/phút Block 6s đầu 1s tiếp theo Gọi nội mạng Viettel (Di động, Cố định) 1590 159 26,5 Gọi ngoại mạng Viettel (Di động, Cố định) 1790 179 29,83 a) Hãy biểu thị số tiền phải trả y tính theo số phút gọi x đối với từng gói cước? b) Trong trường hợp người đó sử dụng 50% cuộc gọi nội mạng và 50% cuộc gọi ngoại mạng thì với tổng thời gian gọi điện thoại là bao nhiêu thì số tiền mà người đó phải trả cho hai bảng gói cước là như nhau. 3. Kết luận Như vậy, theo các bước nêu trên, chúng ta có thể thiết kế các bài tập chứa đựng tình huống thực tiễn dựa trên các bài toán có liên quan đến thực tiễn cho trước. PHẠM SỸ NAM – HÀ XUÂN THÀNH 19 Trong bối cảnh chương trình giáo dục phổ thông đang tiếp cận theo hướng phát huy năng lực học sinh thì việc tạo cơ hội cho giáo viên và học sinh xây dựng các bài toán có tính thực tiễn phục vụ cho quá trình dạy - học toán là một việc làm rất có ý nghĩa vì thông qua đó vừa cho học sinh thấy được vẻ đẹp của toán học qua các ứng dụng thực tiễn của nó; đồng thời qua các tình huống thực tiễn, học sinh có cơ hội được giải quyết các vấn đề trong thực tiễn đời sống hằng ngày. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Bộ Giáo dục và Đào tạo, Sách giáo viên Đại số 10, Nxb GDVN. 2. Trần Kiều (1998), “Toán học nhà trường và nhu cầu phát triển văn hóa Toán học”, Nghiên cứu giáo dục, (10/1998), tr.3-4. 3. Nguyễn Bá Kim (2013), Phương pháp dạy học bộ môn Toán, Nxb ĐHSP Hà Nội. 4. Pham Sy Nam, Max Stephens, Constructing knowledge of the finite limit of a function: An experiment in senior high school Mathematics, Proceedings of the 24 th Biennial Conference of The Australian of Mathematics Teachers Inc, Melbourne, Australia, page 133-141, (2013). 5. Pham Sy Nam, Max Stephens, A Teaching Experiments in Constructing the Limit of a Sequence, Journal of Science and Mathematics Education in Southeast Asia 2014, Vol 37 No. 1, 1-20, (2014). 6. Pham Sy Nam, Ha Xuan Thanh, Max Stephens (2014), Teaching experiments in constructing mathematical problems that relate to real life. Proceedings of the Innovation and Technology for Mathematics and Mathematics Education (ISIM-MED 2014), Yogyakarta State University, Indonesia, page 411-420, (2014). Ngày nhận bài: 10/9/2017 Biên tập xong: 15/10/2017 Duyệt đăng: 20/10/2017