Về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ Cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng trong không gian mêtric - Đinh Huy Hoàng

TAÏP CHÍ KHOA HOÏC ÑAÏI HOÏC SAØI GOØN Soá 24 (49) - Thaùng 01/2017 22 Về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ Cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng trong không gian mêtric About the existence of fixed point results for generalized Chatterjea-type Cyclic weakly contractive mappings in metric spaces PGS.TS. Đinh Huy Hoàng, Trường Đại học Vinh Dinh Huy Hoang, Assoc.Prof., Ph.D., Vinh University ThS. Đậu Hồng Quân, Trường Đại học Vinh Dau Hong Quan, Vinh University Nguyễn Hoài Phương, Trường Đại học Vinh Nguyen Hoai Phuong, Vinh University Tóm tắt Trong bài báo này chúng tôi đưa ra một vài kết quả về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng trong không gian metric đầy đủ. Các kết quả này là mở rộng thực sự của một số kết quả trong các tài liệu [1], [2], [4], [6]. Từ khóa: điểm bất động, ánh xạ cyclic co yếu, không gian mêtric. Abstract In this paper, we obtain fixed-point results for generalized Chatterjea-type cyclic weakly contractive mappings in complete metric spaces. Our results extend and generalize well-known comparable results in [1], [2], [4], [6]. Keywords: fixed point, cyclic weakly contractive maps, metric space. 1. Mở đầu Nguyên lý Banach về sự tồn tại duy nhất điểm bất động của ánh xạ co trong không gian mêtric đầy đủ là một trong những kết quả quan trọng đầu tiên của lý thuyết điểm bất động. Nó có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học và các ngành kỹ thuật khác. Do đó, việc mở rộng nguyên lý Banach đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Người ta đã mở rộng nguyên lý Banach cho nhiều loại ánh xạ và nhiều loại không gian. Một trong những hướng mở rộng đó là thay đổi các điều kiện co. Năm 1972, Chatterjea [1] đã đưa ra định nghĩa sau. 1.1. Định nghĩa ([1]). Giả sử ( , )X d là không gian mêtric và :f X X . Ánh xạ f được gọi là co kiểu Chatterjea nếu tồn tại  1 0; 2       sao cho  ( , ) ( , ) ( , )d fx fy d x fy d y fx  , .x y X  Trong [1], Chatterjea đã chứng minh được rằng, mọi ánh xạ co kiểu Chatterjea 23 trong không gian mêtric đầy đủ có duy nhất một điểm bất động. Sau đó, Choudhury [2] đưa ra khái niệm ánh xạ co yếu kiểu Chatterjea như sau. 1.2. Định nghĩa ([2]). Giả sử ( , )X d là không gian mêtric và :f X X . Ánh xạ f được gọi là co yếu kiểu Chatterjea nếu   1 ( , ) ( , ) ( , ) ( ( , ), ( , )) 2 d fx fy d x fy d y fx d x fy d y fx   ,x y X  , trong đó : [0, +)2  [0, +) là hàm liên tục và ( , ) 0u t  khi và chỉ khi 0u t  . Trong [2], Choudhury đã chứng minh được rằng, mọi ánh xạ co yếu kiểu Chatterjea trong không gian mêtric đầy đủ có duy nhất một điểm bất động. Vào năm 2003, Kirk và các cộng sự [5] đã đưa ra khái niệm ánh xạ cyclic và nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của nó trong không gian mêtric. 1.3. Định nghĩa ([5]). Giả sử A1 ,, Am là các tập con khác rỗng của không gian mêtric (X, d) và f : 1 1 m m i ii i A A    . Ánh xạ f được gọi là m-cyclic (nói gọn là cyclic) nếu 1( )i if A A với mọi i = 1, 2,, m; trong đó Am+1 = A1. Khi đó, tập 1 m ii Y A   được gọi là biểu diễn cyclic của Y tương ứng với f. Sau đó, vào năm 2011 và 2012, Karapinar và các cộng sự trong ([3], [4]) đã giới thiệu các khái niệm ánh xạ cyclic  - co yếu, co yếu kiểu Chatterjea, co yếu kiểu Chatterjea suy rộng và chứng minh một số định lý về sự tồn tại điểm bất động của các lớp ánh xạ này trong không gian mêtric. 1.4. Định nghĩa ([3]). Giả sử (X, d) là không gian mêtric, A1,,An là các tập con khác rỗng của X. Ánh xạ f : 1 1 m m i ii i A A    được gọi là cyclic  - co yếu nếu f là ánh xạ cyclic và tồn tại ánh xạ : [0, +)  [0, +) liên tục, tăng và (t) = 0 khi và chỉ t = 0 sao cho ( , ) ( , ) ( ( , ))d fx fy d x y d x y  , với mọi x  Ai, yAi+1, i=1,,m, trong đó Am+1 = A1. Ta kí hiệu     21 : 0, 0,F      nửa liên tục dưới và ( , ) 0 0t u t u     và      4 2 : 0, 0,F      nửa liên tục dưới và ( , , , ) 0 0x y t u x y t u       . 1.5. Định nghĩa ([4]). Giả sử (X, d) là không gian mêtric, A1, A2,, Am là các tập con khác rỗng của X và f : 1 1 m m i ii i A A    . 1) Ánh xạ f được gọi là cyclic co yếu kiểu Chatterjea nếu f là cyclic và tồn tại 1 1 , 0, 2 F         sao cho  ( , ) ( , ) ( , ) ( ( , ), ( , ))d fx fy d x fy d y fx d x fy d y fx    với mọi 1, , 1,2,...,i ix A y A i m   , trong đó 1 1.mA A  2) Ánh xạ f được gọi là cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng nếu f là cyclic và tồn tại 2 1 , 0, 4 F         sao cho  ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ,, )d fx fy d x fx d y fy d x fy d y fx    ( ( , ), ( , ), ( , ), ( , ))d x fx d x fy d y fy d y fx với mọi 1, , 1,2,...,i ix A y A i m   , trong đó 1 1.mA A  Trong [3], [4] Karapinar cùng các cộng sự đã đưa ra các định lý khẳng định rằng, trong không gian mêtric đầy đủ các ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng có suy nhất một điểm bất động trong 1 . m ii A  24 Trong bài báo này, chúng tôi đưa ra một định lý và một số hệ quả của nó về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng trong không gian mêtric. Các kết quả này là sự mở rộng của một số kết quả chính trong [1], [2], [4], [6]. 2. Các kết quả chính Ta kí hiệu      4 3 : 0, 0, ( , , , ) 0 0F x y u v x y u v           và liminf ( , , , ) (liminf , liminf , liminf , liminf )}.n n n n n n n n n n n n n x y u v x y u v        2.1. Định lí. Giả sử (X, d) là không gian mêtric đầy đủ, A1, A2,.., An là các tập con đóng khác rỗng của X và f : 1 1 m m i ii i A A    là ánh xạ cyclic. Khi đó, nếu tồn tại F3 và các số không âm 1 2 5, ,...,   thỏa mãn 1 2 3 52 1       , (1) 1 3 4 1     (2) và 1 2 3 4( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )d fx fy d x y d x fx d x fy d y fx       5 ( , ) ( ( , ), ( , ), ( , ), ( , ))d y fy d x fx d x fy d y fy d y fx   (3) với mọi x 1, , 1,2,...,i iA y A i m   , trong đó 1 1mA A  thì f có điểm bất động duy nhất 1 m ii z A   . Chứng minh. Lấy 0 1 m ii x A   và xác định dãy nx bởi 1, 1,2,...n nx fx n   Nếu tồn tại 0n  sao cho 0 0 1n nx x  thì 0 0 01n n n fx x x  . Như vậy 0nx là điểm bất động của f . Giả sử 1n nx x  với mọi n=0,1, Khi đó, với mọi n=0,1 ắt tồn tại  1,2,...,i m sao cho n ix A . Do đó 1 1n n ix fx A   . Từ đó, sử dụng điều kiện (3), với mọi n = 1, 2, ta có 1 1 1 1 2 1( , ) ( , ) ( , ) ( , )n n n n n n n nd x x d fx fx d x x d x x       3 1 1 4 5 1( , ) ( , ) ( , )n n n n n nd x x d x x d x x       1 1 1 1( ( , ), ( , ), ( , ),0)n n n n n nd x x d x x d x x      1 2 1 3 1 1 5 1( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )n n n n n n n nd x x d x x d x x d x x           1 1 1 1( ( , ), ( , ), ( , ),0)n n n n n nd x x d x x d x x     . (4) Do đó, với mọi n = 1, 2, ta có 1 2 3 1 1 1 3 5 ( , ) ( , ) ( , ). 1 n n n n n nd x x d x x d x x               Điều này chứng tỏ  1( , )n nd x x  là dãy các số không âm và giảm. Do đó, tồn tại 1lim ( , ) 0.n n n d x x     Từ (4) và tính chất của ánh xạ  suy ra 1 2 3 5 1 1( 2 ) ( , liminf ( , ), ,0).n n n d x x                Vì 1 2 3 52 1       nên từ bất đẳng thức này suy ra 1 1( , liminf ( , ), ,0) 0.n n n d x x      Do đó từ tính chất của  suy ra = 0, tức là 1lim ( , ) 0n n n d x x    . (5) Tiếp theo, ta chứng minh rằng với mọi 0  tồn tại số tự nhiên n sao cho với mọi r,q  N mà r – q = 1(mod m), ,r n q n   thì (x ,x )r qd  . Giả sử điều này không đúng. Khi đó,tồn tại 0  sao cho với mỗi n  N tồn tại các số tự nhiên rn, qn sao cho rn > qn ≥ n, rn – qn =1(mod m) và ( , ) n n r qd x x  . (6) Lấy n > 2m. Khi đó, với qn ≥ n ta có thể chọn rn sao cho rn là số tự nhiên nhỏ nhất mà rn > qn, rn – qn = 1(mod m) và ( , ) n n r qd x x  . Do đó, ( , )n nq r m d x x   . Từ đó, sử dụng bất đẳng thức tam giác ta có 1 1 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) n n n nn n n n m m q r q r m r i r i r i r i i i d x x d x x d x x d x x               Cho n trong bất đẳng thức trên và sử dụng (5) ta có lim ( , ) . n nq rn d x x    (7) 25 Ta có 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) 2 ( , ). n n n nn n n n n n n n nn n n n n n n nn n n q r q q q r r r q q q q q r r r r r q q r q r r d x x d x x d x x d x x d x x d x x d x x d x x d x x d x x d x x d x x                        Cho n ta được 1 1lim ( , ) .n nq rn d x x     (8) Vì 1(mod ) n nr q m nên tồn tại  1,2,...,mi sao cho  nr i x A và 1nq ix A hoặc nq ix A và 1nr ix A .Nếu  nr i x A và 1nq ix A thì 1 1 1 2 1( , ) ( , ) ( , ) ( , )    n n n n n n n nq r r q r q r rd x x d fx fx d x x d x x  3 1 4 1 5 1( , ) ( , ) ( , )    n n n n n nr q q r q qd x x d x x d x x   1 1 1 1( ( , ), ( , ), ( , ), ( , ))    n n n n n n n nr r r q q q q rd x x d x x d x x d x x 1 2 1 3 1( , ) ( , ) ( , ) ( , )      n n n n n n n nr q r r r q q qd x x d x x d x x d x x   4 1 5 1( , ) ( , ) ( , )     n n n n n nr q r r q qd x x d x x d x x  1 1 1 1( ( , ), ( , ), ( , ), ( , )).    n n n n n n n nr r r q q q q rd x x d x x d x x d x x Cho n , sử dụng (5),(7),(8) và tính chất của  ta được 1 3 4 1 1( ) (0, lim inf ( , ),0, lim inf ( , ))n nn nr q q rn n d x x d x x              Vì 1 3 4 1     nên 1 1(0, lim inf ( , ),0, lim inf ( , )) 0.      n nn n r q q r n n d x x d x x Do đó 1lim inf ( , ) 0.    nn q r n d x x Mặt khác, ta có 1 1( , ) ( , ) ( , ).n n nn n nr q r q q q d x x d x x d x x     Do đó 1liminf ( , ) 0.n nr qn d x x     Điều này mâu thuẫn với 0.  Nếu nq i x A và 1nr ix A thì chứng minh tương tự ta cũng có một điều mâu thuẫn. Bây giờ, ta chứng minh  nx là dãy Cauchy. Giả sử 0  . Khi đó, theo chứng minh trên ắt tồn tại *1n N sao cho với mọi 1r n và 1q n mà 1(mod )r q m  thì ( , ) 2 r qd x x   . (9) Mặt khác, từ (5) ta suy ra tồn tại * 2n N sao cho 1( , ) , 2 n nd x x m    2n n  . (10) Với mọi  0 1 2max ,n n n n  , với mọi p= 0,1,..., giả sử p – k = 0(mod m ),  1,2,..., ,k m k p  . Khi đó, ( 1) 1(mod )n p k n m     Do đó, theo (9) ta có 1( , ) 2 n n p kd x x      . (11) Từ bất đẳng thức tam giác và (10) suy ra 1 1 2 2 3( , ) ( , ) ( , )n p k n p n p k n p k n p k n p kd x x d x x d x x                 1... ( , ) ( 1) . 2 2 n p n pd x x k m          (12) Từ (11) và (12) suy ra rằng, với mọi 0n n và mọi p=0,1,...ta có 1 1( , ) ( , ) ( , )n n p n n p k n p k n pd x x d x x d x x           Do đó  nx là dãy Cauchy. Vì X đầy đủ nên tồn tại z  X sao cho nx z . Từ cách xây dựng dãy  nx và f là ánh xạ cyclic suy ra rằng, với mỗi i = 1, 2, , m, tồn tại dãy con   ni x của  nx sao cho ni ix A . Vì iA đóng trong X và nix z với mỗi i = 1, 2,, m nên iz A với mỗi i = 1, 2, .., m 26 tức là 1 m ii z A   . Bây giờ, ta chứng minh z là điểm bất động của f. Vì iz A với mỗi i=1,2,, m nên áp dụng điều kiện (3), với mọi n=1,2, ta có 1 1 2 1( , ) ( , ) ( , ) ( , )n n n n nd x fz d fx fz d x z d x x     3 4 1 5( , ) ( , ) ( , )  n nd x fz d z x d z fz   1 1( ( , ), ( , ), ( , ), ( , ))n n n nd x x d x fz d z fz d z x   Vì xn  z khi n nên từ bất đẳng thức này suy ra 3 5(z, ) ( ) ( , ) (0, ( , ), ( , ),0).  d fz d z fz d z fz d z fz   Kết hợp với 3 5 1   suy ra (0, ( , ), ( , ),0) 0d z fz d z fz  . Do đó d(z, fz) = 0 tức là fz = z. Vậy z là điểm bất động của f. Giả sử u  X cũng là điểm bất động của f. Khi đó, vì f là ánh xạ cyclic suy ra u  Ai với mọi i = 1, 2, , m. Do đó, theo điều kiện (3) ta có 1 2 3 4 5( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )d u z d fu fz d u z d u u d u z d z u d z z          (0, ( , ),0, ( , ))d u z d u z 1 3 4( ) ( , ) (0, ( , ),0, ( , )).d u z d u z d u z       Từ 1 3 4 1     và tính chất của  suy ra d(u, z) = 0, tức là u = z. Vậy điểm bất động của f là duy nhất. Sau đây là các hệ quả của Định lý 2.1 2.2. Hệ quả. ([4] Theorem 2.9). Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ 1 2, ,..., mA A A là các tập con đóng khác rỗng của X, và 1 m ii X A   . Giả sử rằng f: X  X là ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea. Khi đó, f có duy nhất một điểm bất động 1 m ii z A   . Chứng minh. Vì f là ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea nên tồn tại 1 1 , 0, 2 F         thỏa mãn Định nghĩa 1.5.1).Ta xác định hàm     4 1 : 0, 0,    bởi   4 1( , , , ) ( , ) ( , ), ( , , , ) 0,a b c d b d a c a b c d       Vì     21 : 0, 0,F       nửa liên tục dưới và ( , ) 0x y x y    nên ta có 1( , , , ) 0 0.a b c d a b c d       Mặt khác, từ tính nửa liên tục dưới của  suy ra  1liminf ( , , , ) liminf ( , ) ( ,n n n n n n n n n n a b c d b d a c       liminf ( , ) liminf ( , )n n n n n n b d a c      (liminf , liminf ) (liminf , liminf )n n n n n n n n b d a c        1(liminf , liminf , liminf , liminf )      n n n n n n n n a b c d Như vậy 1 3.F  Bây giờ, dễ dàng kiểm tra các điều kiện của Định lí 2.1 được thỏa mãn với 1 2 5 3 40,          và 1 được xác định như trên. Do đó, từ Định lí 2.1 ta có điều phải chứng minh. 2.3. Hệ quả. ([4] Theorem 2.9) Cho (X,d) là không gian mêtric đầy đủ 1 2, ,..., mA A A là các tập con đóng khác rỗng của X, và X 1 m ii A   . Giả sử rằng f: X  X là ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng. Khi đó, f có duy nhất một điểm bất động 1 m ii z A   . Chứng minh. Vì 2 3F F nên từ Định nghĩa 1.5. 2) dễ dàng kiểm tra được các điều kiện của Định lý 1.2 được thỏa mản với 1 2 3 4 5 1 0, 0, 4                  và 2F . Do đó kết quả cần chứng minh được suy ra từ Định lí 1.2. 27 Trong Định lý 2.1, lấy 1 2 ... nA A A X    ta nhận được hệ quả sau. 2.4. Hệ quả. Giả sử (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và f: X  X là ánh xạ cyclic sao cho tồn tại 3F và các số không âm 1 2 5, ,...,   thỏa mãn 1 2 3 5 1 3 4 2 1 1               và 1 2 3 4 5 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ( , ), ( , ), ( , ), ( , )) d fx fy d x y d x fx d x fy d y fx d y fy d x fx d x fy d y fy d y fx             với mọi x, y  X. Khi đó, f có điểm bất động duy nhất z  X. 2.5. Hệ quả. Giả sử (X, d) là không gian mêtric đầy đủ 1 2, ,... mA A A , là các tập con đóng, khác rỗng của X và f: 1 1 m m i ii i A A    là ánh xạ cyclic. Khi đó, nếu tồn tại các hằng số không âm 1 2 5, ,...,   sao cho 1 2 3 52 1,       (13) 1 3 4 1     (14) và 1 2 3 4 5 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) d fx fy d x y d x fx x fy d y fx d y fy           (15) với mọi x  1, , 1,2,..., ,i iA y A i m  trong đó 1 1mA A  thì f có điểm bất động duy nhất trong 1 m ii A  . Chứng minh. Từ (13) và (14) suy ra tồn tại các hằng số không âm 1 2 5, ,...,   sao cho các điều kiện (1) và (2) trong Định lý 2.1 được thỏa mản và i i  với i=1,2,,5. Ta xác định hàm     4 : 0, 0,    bởi công thức 42 2 3 3 4 5 5 ( , , , ) ( ) ( ) ( ) ( )a b c d a b d c                với mọi   4 ( , , , ) 0, .a b c d   Khi đó,  liên tục và từ i i  với mọi i = 1, 2, .., 5 suy ra rằng, nếu (a, b, c, d) = 0 thì a =b = c = d =0. Do đó, 3F . Từ (15) suy ra 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ( , ), ( , ), ( , ), ( , )) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ( , d fx fy d x y d x fx d x fy d y fx d y fy d x fx d x fy d y fy d y fx d x y d x fx d x fy d y fx d y fy d x f                         ), ( , ), ( , ), ( , ))x d x fy d y fy d y fx với mọi 1, , 1,2,...,i ix A y A i m   .Như vậy các điều kiện của Định lý 2.1 được thỏa mãn. Do đó f có một điểm bất động duy nhất trong 1 m ii A  . 2.6. Hệ quả. Giả sử (X, d) là không gian mêtric đầy đủ, f: X  X. Khi đó, nếu tồn tại các hằng số không âm 1 2 5, ,...,   sao cho 1 2 3 4 5 1         (16) và 1 2 3 4 5 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) d fx fy d x y d x fx d x fy d y fx d y fy           (17) với mọi x, y  X thì f có duy nhất một điểm bất động trong X. Chứng minh. Theo điều kiện (17) ta có 1 2 3 4 5( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )d fy fx d x y d y fy d y fx d x fy d x fx         ,x y X  (18) Từ (17) và (18) suy ra 2 5 3 4 1 4 3 5 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 2 ( , ) ( , ) 2 2 , d fx fy d x y d x fx d x fy d y fx d x y Xy fy                    (19) 28 Đặt 2 5 3 4 1 1 2 5 3 4, , . 2 2                  Khi đó, từ (16) suy ra 1 2 3 52 1       và 1 3 4 1.     Mặt khác, nếu lấy 1 2 ... mA A A X    thì từ (19) suy ra f thỏa mãn (15). Như vậy các điều kiện trong Hệ quả 2.5 được thỏa mãn. Do đó f có một điểm bất động duy nhất trong X. 2.7. Hệ quả ([6] Theorem 3.1). Giả sử 1 2, ,..., mA A A là các tập con đóng khác rỗng của không không gian mêtric đầy đủ (X, d) và f: 1 1 m m i i i iA A   là ánh xạ cyclic. Khi đó, nếu tồn tại 1 1 (0,1), 0, , 0, 2 2 a b c               sao cho mỗi cặp (x, y) iA x 1 1 1, 1,2,..., ,  i mA i m A A một trong ba điều kiện sau được thỏa mãn 1) ( , ) ( , );d fx fy ad x y 2)  ( , ) ( , ) ( , ) ;d fx fy b d x fx d y fy  3)  ( , ) ( , ) ( , )d fx fy c d x fy d y fx  thì f có duy nhất điểm bất động 1 m ii z A   . Chứng minh. Hệ quả này được suy ra trực tiếp từ Hệ quả 2.5 bằng việc lấy 1) 1 2 3 4 5, 0;a         2) 1 2 5 3 40, , 0;    b     3) 1 2 3 3 40, .     c     Hệ quả 2.2 và Hệ quả 2.3 đã chỉ ra rằng Định lý 2.1 là mở rộng của hai Định lý 2.2 và 2.9 trong [4]. Ví dụ sau đây cho thấy Định lý 2.1 thực sự mạnh hơn hai Định lý 2.2 và 2.9 trong [4]. 2.8. Ví dụ Giả sử      1 21,2,3,4 , 1,4 , 2,3,4X A A   và :f X X là hàm được cho bởi 1 2, 2 3 4 4.f f f f    Trên X ta xét mêtric d được cho bởi i) ( , ) 0d x y x y   ii) ( , ) ( , ), ,d x y d y x x y X   iii) 3 (1,2) (1,3) (1,4) 2 d d d   iv) (2,3) (2,4) (3,4) 1.d d d   Khi đó, (X, d) là không gian mêtric đầy đủ, 1 2,A A là các tập con đóng, khác rỗng của X và f là ánh xạ cyclic. Bây giờ, ta xác định hàm :     4 0, 0,   bởi 0 ( , , , ) 1 3 a b c d      nếu a = b = c = d = 0 nếu xảy ra các trường hợp còn lại Ta thấy 3F . Đặt 1 2 3 4 51; 0.         Khi đó, ta dễ dàng kiểm tra được hàm f thỏa mãn tất cả các điều kiện của Định lý 2.1. Do đó Định lý 2.1 áp dụng được cho f. Tiếp theo, ta chứng minh Định lý 2.2 và Định lý 2.9 trong [4] không áp dụng được cho f. Ta có   1 3 ( 1, 2) (2,4) 1 (1, 2) (2, 1) . 2 4 d f f d d f d f     Từ đó suy ra f không là ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea. Do đó Định lý 2.2 trong [4] không áp dụng được cho f. Mặt khác   1 ( 1, 2) 1 (1, 1) (1, 2) (2, 1) (2, 2) 4 3 3 3 3 ( , ,0,1) 1 ( , ,0,1). 2 2 2 2 d f f d f d f d f d f           với mọi 2F . Điều này chứng tỏ f không là ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng. Do đó Định lí 2.2 trong [4] không áp dụng được cho f. nếu a = b = c = d = 0 nếu xảy ra các trường hợp còn lại 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. S.K. Chatterjea (1972), Fixed-point theorems. Acad Bulgare Sci, vol. 25, pp 727-730. 2. B.S. Choudhury (2009), Unique fixed point theorem for weak C - contractive mappings, Kathmandu University Journal of Science, Engineering and Technology, vol.4, no.1, pp 6-13. 3. E. Karapinar (2011), Fixed point theory for cyclic weak  - contraction, Applied Mathematics Letters, vol. 24, no.6, pp 822-825. 4. E. Karapinar and H.K. Nashine (2012), Fixed point theorem for cyclic Chatterjea type contraction, Journal of Applied Mathematics, Volune 2012, Article ID 165698, 15 pages, doi: 10.1155/2012/165698. 5. W.A.Kirk, P.S. Srinivasan, and P.Veeramani (2003), Fixed point for mappings satisfying cyclic contractive conditions, Fixed point Theory, vol. 4, no. 1, pp 79-89. 6. M.Petric, Bzalatanov (2010), Fixed point theorems of Kannan type for cyclical contractive conditions, Anniversary International Conference REMIA. Ngày nhận bài: 22/12/2016 Biên tập xong: 15/01/2017 Duyệt đăng: 20/01/2017