Về Môđun tự nội xạ linh - Trương Công Quỳnh

TẠP CHÍ KHOA HỌC, Đại học Huế, Số 65, 2011 VỀ MÔĐUN TỰA NỘI XẠ LINH Trương Công Quỳnh, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng Lương Thị Minh Thủy, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế TÓM TẮT . Một môđun M được gọi là tựa nội xạ linh nếu với mỗi m ∈ N il(M) và mỗi đồng cấu f : mR→ M , tồn tại một đồng cấu f¯ : M → M sao cho f¯(x) = f(x) với mọi x ∈ mR. Trong bài báo này, chúng tôi đưa ra một số đặc trưng của lớp các môđun tựa nội xạ linh và chứng tỏ một số kết quả được biết có thể suy ra từ các đặc trưng này. 1. Giới thiệu Trong bài báo này, vành R đã cho luôn được giả thiết là vành kết hợp có đơn vị 1 6= 0 và mọi R-môđun được xét là môđun unita. Với vành R đã cho, viết MR (RM) để chỉ M là một R-môđun phải (t.ư, trái). Trong một ngữ cảnh cụ thể của bài viết, khi không sợ nhầm lẫn về phía của môđun, để đơn giản chúng ta viết môđun M thay vì MR. Chúng ta dùng các ký hiệu A ≤ M (A < M) để chỉ A là môđun con (t.ư., thực sự) của M . Nếu A là môđun con cực đại (hạng tử trực tiếp) của môđun M , chúng ta viết A ≤max M (t.ư., A ≤⊕ M). Căn Jacobson, đế của môđun M được ký hiệu tương ứng là Rad(M) và Soc(M); đặc biệt, J(R) được dùng để ký hiệu cho căn Jacobson của vành R. Chúng ta viết Mn(R) để chỉ vành các ma trận vuông cấp n với hệ tử trên vành R. Nếu I là một tập hợp với card(I) = α và M là một môđun, tổng trực tiếp α bản sao của M được ký hiệu bởi M (I) hoặc M (α), tích trực tiếp α bản sao của M bởi M I hoặc Mα. Chúng ta ký hiệu Mod-R (R-Mod) là phạm trù các R-môđun phải (t.ư., trái). Cho M và N là các R-môđun phải. Đồng cấu từ M đến N được hiểu là đồng cấu từ R-môđun phải M đến R-môđun phải N . Cho M là một R-môđun phải và tập ∅ 6= X ⊂ M . Linh hóa tử phải của X trong R được ký hiệu là rR(X) và được xác định như sau rR(X) = {r ∈ R | xr = 0 (∀x ∈ X)}. Khi không sợ nhầm lẫn chúng ta có thể viết gọn là r(X) thay vì rR(X). Với X = {x1, x2, . . . , xn} ta viết r(x1, x2, . . . , xn) thay vì r({x1, x2, . . . , xn}). Ta có rR(X) là một iđêan phải của vành R. Hơn nữa, nếu X là môđun con của M thì r(X) là một iđêan (phải và trái) của R. Linh hóa tử trái của X trong R được ký hiệu là lR(X) và được định nghĩa tương tự. 157 Như chúng ta được biết, một R-môđun phải Q được gọi là nội xạ nếu mỗi biểu đồ gồm các đồng cấu của các R-môđun phải với hàng là khớp Q 0 A B- 6 f -i ppppp ppI f¯ đều tồn tại một đồng cấu f¯ : B → Q để biểu đồ trên giao hoán, nghĩa là f¯ i = f. Năm 1940, Baer đã đưa ra một tiêu chuẩn quan trọng để kiểm tra tính nội xạ của môđun như sau: R-môđun phải Q là nội xạ nếu và chỉ nếu mỗi biểu đồ gồm các đồng cấu của các R-môđun phải với hàng là khớp Q 0 I RR- 6 f -i ppppp ppI f¯ trong đó I là iđêan phải của R, đều tồn tại một đồng cấu f¯ : RR → Q để biểu đồ trên giao hoán, nghĩa là f¯ i = f. Từ khi có tiêu chuẩn Baer cho tính nội xạ, hai hướng phát triễn của mở rộng nội xạ cùng tồn tại. Đầu tiên là mở rộng nội xạ theo định nghĩa gốc. Từ định nghĩa này, Ming đã lấy các R-môđun phải A là các R-môđun phải xyclic trong biểu đồ giao hoán trên, ta có định nghĩa C-nội xạ. Tiếp tục theo hướng đó, nếu trong biểu đồ giao hoán trên lấy các R-môđun phải A là đế của B, ta được khái niệm soc-nội xạ mạnh (theo [2]). Bài báo này tiếp tục xét các môđun A trong biểu đồ trên chỉ là các môđun mR với m ∈ Nil(M), nhờ vào định nghĩa dùng tích của các môđun con. Theo [4], một môđunM được gọi là tựa nội xạ chính nếu cho mỗi m ∈ M và mỗi đồng cấu f : mR → M , tồn tại một đồng cấu f¯ : M → M sao cho f¯(x) = f(x) với mọi x ∈ mR. Một số kết quả và mối liên hệ giữa môđun tựa nội xạ chính và vành tự đồng cấu của nó đã được nghiên cứu. Theo [4], một môđun M được gọi là tựa nội xạ đơn nếu với mỗi môđun con đơn N của M và mỗi đồng cấu f : N → M , tồn tại một đồng cấu f¯ : M → M sao cho f¯(x) = f(x) với mọi x ∈ N . Rõ ràng ta có tựa nội xạ chính ⇒ tựa nội xạ đơn. Bên cạnh đó, hướng thứ hai cũng được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Trong [5], Nicholson-Yousif đã đưa ra khái niệm một môđun M được gọi là P-nội xạ nếu cho mỗi a ∈ R và mỗi đồng cấu f : aR → M , tồn tại một đồng cấu f¯ : RR → M sao cho f¯(x) = f(x) với mọi x ∈ aR. Các tác giả trên đã đưa ra nhiều đặc trưng thú vị về các vành sao cho RR là P-nội xạ. Ngoài ra, một số trường hợp tổng quát của môđun P-nội xạ cũng được nghiên cứu và mở rộng, chẳng hạn như môđun GP-nội xạ, AGP-nội xạ.... Năm 2007, Wei và Chen ([6]) đã đưa ra một trường hợp tổng quát của môđun P-nội xạ đó là môđun nội xạ linh, theo đó một môđun M được gọi là nội xạ linh 158 nếu với mỗi phần tử lũy linh a của R và mỗi đồng cấu f : aR→M , tồn tại một đồng cấu f¯ : RR → M sao cho f¯(x) = f(x) với mọi x ∈ aR. Một cách tự nhiên chúng tôi đưa ra khái niệm môđun "tựa nội xạ linh". Trong bài báo này chúng tôi nghiên cứu đặc trưng của lớp môđun này. 2. Kết quả Trước khi định nghĩa tích của hai môđun con của một môđun, chúng ta xét tích các iđêan trong một vành R. Giả sử I,K là các iđêan của vành R, ta có IK = { ∑ i≤k aibi| ai ∈ I, bi ∈ K, k ∈ N∗}. Bây giờ với mỗi a ∈ I, chúng ta xét ánh xạ ha : RR → I xác định bởi ha(r) = ar với mọi r ∈ R. Khi đó ha là một đồng cấu và ab = ha(b) với mọi b ∈ K. Đặt H = ∑{h(K)| h ∈ Hom(RR, I)}. Từ đó chúng ta suy ra: IK = { ∑ i≤k hai(bi)| ai ∈ I, bi ∈ K, k ∈ N∗} ≤ H. Ngược lại lấy mỗi phần tử h(b) ∈ h(K) với b ∈ K và h : RR → I là đồng cấu. Khi đó đặt a = h(1) ∈ I. Suy ra h(b) = h(1)b = ab ∈ IK. Vậy ta có IK = H = ∑ {h(K)| h ∈ Hom(RR, I)}. Rõ ràng IK ≤ I và IK ≤ K. Từ định nghĩa về tích các iđêan, một câu hỏi tự nhiên đặt ra là đối với một môđun có tồn tại tích của các môđun con hay không?. Và liệu rằng khi tích của các môđun con đó tồn tại thì có trùng với tích của các iđêan hay không?. Trong phần tiếp theo của bài báo chúng ta sẽ xây dựng tích của các môđun con và khái niệm này đã được Lomp giới thiệu vào năm 2005 (xem [3]). Cho M là một R-môđun phải và S := EndR(M). Chúng ta ký hiệu L(M) là lớp tất cả các môđun con của môđun M và L(R) (tương ứng, L(S)) là lớp tất các iđêan phải của R (tương ứng, S). Chúng ta xét các ánh xạ sau: φ : L(M)→ L(S) xác định bởi φ(N) = Hom(M,N) ϕ : L(S)× L(M)→ L(M) xác định bởi ϕ(I,N) = IN Từ các ánh xạ trên ta xét một phép toán hai ngôi trên tập L(M) như sau: L(M)× L(M) φ×1M−→ L(S)× L(M) ϕ−→ L(M). Khi đó theo [3], Lomp đã định nghĩa H ? K := ϕ(φ× 1M)(H,K) = ϕ(Hom(M,H), K) = Hom(M,H)K = ∑ {f(K)| f ∈ Hom(M,H)}. Định nghĩa 2.1 Cho H,K là các môđun con của M . Khi đó H ?K được gọi là tích của hai mô đun con của H và K và được ký hiệu là HK. Từ định nghĩa trên chúng ta có các nhận xét sau: 159 Nhận xét. (i). Nếu M = R, tích của hai iđêan của R theo định nghĩa trên chính là tích của các iđêan theo nghĩa thông thường; nghĩa là nếu I,K là các iđêan của vành R thì IK = { ∑ i≤k aibi| ai ∈ I, bi ∈ K, k ∈ N∗}. (ii) HK ≤ H với mọi K ≤M . Hơn nữa nếu K là môđun con bất biến đầy, ta có HK ≤ K với mọi H ≤M . Trước hết chúng ta có các tính chất sau: Bổ đề 2.2 Cho H,K,L là các môđun con của M . Khi đó (1) H(KL) ≤ (HK)L. (2) L(H +K) = LH + LK. (3) LK +HK ≤ (L+H)K. (4) Nếu M là xạ ảnh trong σ[M ], thì (1) và (3) trở thành các đẳng thức. Chứng minh. Theo [3, Proposition 3.1].  Cho N là một môđun con của M và n ∈ N. Chúng ta xác định các môđun con của N như sau: N1 = N,N2 = NN,N3 = N2N, . . . , Nn = Nn−1N. Khi đó chúng ta có Nn ≤ Nn−1 ≤ · · · ≤ N2 ≤ N1 = N. Môđun con N được gọi là lũy linh nếu tồn tại n ∈ N sao cho Nn = 0. Chúng ta ký hiệu Nil(M) = {m ∈M | mR là lũy linh. } Định nghĩa 2.3 Một môđun M được gọi là tựa nội xạ linh nếu với mỗi m ∈ Nil(M) và mỗi đồng cấu f : mR → M , tồn tại một đồng cấu f¯ : M → M sao cho f¯(x) = f(x) với mọi x ∈ mR, nghĩa là biểu đồ sau giao hoán: M 0 mR M- 6 f -i ppppp ppppI f¯ với i : mR→M là đơn cấu chính tắc. Vành R được gọi là tự nội xạ linh phải nếu RR là tựa nội xạ linh. Ví dụ 2.4 Đặt R = Z là vành các số nguyên. Khi đó đó R là tựa nội xạ linh, nhưng không là tựa nội xạ chính. Định lý 2.5 Các điều kiện sau là tương đương với môđun M và S = End(M): (1) M là tựa nội xạ linh. (2) lM(r(m)) = Sm với mọi m ∈ Nil(M). (3) Nếu r(m) ≤ r(m′) với mỗi m ∈ Nil(M), m′ ∈M , thì Sm′ ≤ Sm. 160 Chứng minh. (1) ⇒ (2). Cho m ∈ Nil(M) và x ∈ lM(r(m)). Xét f : mR → M xác định bởi f(mr) = xr với mọi r ∈ R. Khi đó f là một đồng cấu. Theo (1), tồn tại một đồng cấu f¯ : M → M sao cho f¯(y) = f(y) với mọi y ∈ mR. Suy ra x = f(m) = f¯(m) ∈ Sm. Từ đó suy ra lM(r(m)) = Sm. (2)⇒ (3) là hiển nhiên. (3) ⇒ (1). Cho mỗi m ∈ Nil(M) và mỗi đồng cấu f : mR → M . Khi đó r(m) ≤ r(f(m)). Suy ra tồn tại f¯ ∈ S sao cho f(m) = f¯(m). Vậy M là tựa nội xạ linh.  Tiếp theo chúng ta có một tính chất khác của môđun tựa nội xạ linh: Mệnh đề 2.6. Nếu M là tựa nội xạ linh, thì lS(Ker(α) ∩ mR) = Sα + lS(m) với mọi m ∈M, α ∈ S và α(m) ∈ Nil(M). Chứng minh. Với mỗi m ∈ M, α ∈ S và α(m) ∈ Nil(M), thì Sα + lS(m) ≤ lS(Ker(α)∩mR). Ngược lại với mỗi s ∈ lS(Ker(α)∩mR) thì s(Ker(α)∩mR)) = 0. Hơn nữa chúng ta lại có α(m) ∈ Nil(M) và r(α(m)) ≤ r(s(m)). Khi đó theo Định lý 2.5, ta suy ra tồn tại s′ ∈ S sao cho s(m) = s′α(m) hay s−s′α ∈ lS(m) và vì vậy s ∈ Sα+ lS(m). Tóm lại chúng ta có lS(Ker(α)∩mR) = Sα+ lS(m).  Từ các tính chất trên chúng ta có các đặc trưng của vành tự nội xạ linh: Hệ quả 2.7. Các điều kiện sau là tương đương với vành R đã cho: (1) R là vành tự nội xạ linh phải. (2) l(r(a)) = Ra với mọi a ∈ Nil(R). (3) Nếu r(a) ≤ r(b) với mỗi a ∈ Nil(R), b ∈M , thì Rb ≤ Ra. (4) l(r(a) ∩ bR) = Ra+ l(b) với mọi a, b ∈ R với ab ∈ Nil(R). Chứng minh. (1)⇒ (2)⇒ (3)⇒ (4) theo Định lý 2.5 và Mệnh đề 2.6. (4) ⇒ (1). Lấy a ∈ Nil(R) và f : aR → RR là một đồng cấu. Khi đó r(a) ≤ r(f(a)). Suy ra f(a) ∈ lr(f(a)) ≤ lr(a) = l(r(a) ∩ R) = Ra theo (4). Điều này suy ra f được mở rộng đến RR.  Mệnh đề 2.8. Mọi hạng tử trực tiếp của một môđun tựa nội xạ linh là tựa nội xạ linh. Chứng minh. Giả sử M là môđun tựa nội xạ linh và N là hạng tử trực tiếp của M . Gọi ι : N → M là đơn cấu chính tắc, p : M → N là toàn cấu chính tắc. Lấy n ∈ Nil(N) và f : nR → N là đồng cấu. Khi đó tồn tại k ∈ N sao cho (nR)k = 0. Ta có (nR)k = ∑{f(nR)| f ∈ Hom(N, (nR)k−1)}. Mặt khác, với mọi g ∈ Hom(M, (nR)k−1), thì g(nR) = gι(nR) ≤ ∑{f(nR)| f ∈ Hom(N, (nR)k−1)} = (nR)k, điều này suy ra∑ {f(nR)| f ∈ Hom(M, (nR)k−1)} = 0. Do đó n ∈ Nil(M). Vì M là môđun tựa nội xạ linh, nên tồn tại đồng cấu f¯ ∈ End(M) sao cho f¯(x) = f(x) với mọi x ∈ nR. Từ đó ta có pf¯ ι ∈ End(N) và pf¯ ι(x) = f(x) với mọi x ∈ nR. Vậy N là môđun tựa nội xạ linh.  161 Bổ đề 2.9. Giả sử φ : N →M là một đẳng cấu và A,B ≤ N . Khi đó φ(AB) = φ(A)φ(B) và φ(Ak) = φ(A)k. Chứng minh. Theo định nghĩa của tích A và B ta có AB = ∑{f(B)| f ∈ Hom(N,A)} và φ(A)φ(B) = ∑{g(φ(B))| g ∈ Hom(M,φ(A))}. Khi đó φ(AB) =∑{φ(f(B))| f ∈ Hom(N,A)}. Tiếp theo, lấy f ∈ Hom(N,A) và đặt g = φ|Afφ−1, ta có g ∈ Hom(M,φ(A)) và g(φ(B)) = φ|Afφ−1(φ(B)) = φ|Af(B) = φ(f(B)). Từ đây suy ra φ(AB) ≤ φ(A)φ(B). Ngược lại với mỗi g ∈ Hom(M,φ(A)), đặt f = φ−1|φ(A)gφ, ta có f ∈ Hom(N,A). Nên φ(f(B)) = φφ−1|φ(A)gφ(B) = gφ(B) và do đó gφ(B) ≤ φ(A)φ(B). Suy ra φ(A)φ(B) ≤ φ(AB). Vậy φ(AB) = φ(A)φ(B). Hơn nữa, φ(Ak) = φ(Ak−1.A) = φ(Ak−1).φ(A) = φ(A)φ(A) . . . φ(A) = φ(A)k.  Sử dụng bổ đề trên chúng ta có. Mệnh đề 2.10. Giả sử M là môđun tựa nội xạ linh và N 'M . Khi đó N cũng là tựa nội xạ linh. Chứng minh. Gọi φ : N →M là một đẳng cấu. Giả sử n ∈ Nil(N) và f : nR→ N là một đồng cấu. Khi đó tồn tại k ∈ N sao cho (nR)k = 0. Theo Bổ đề 2.9 ta có φ(nR)k = φ((nR)k) = 0. Suy ra (φ(n)R)k = 0 hay φ(n) ∈ Nil(M). Từ đó tồn tại một đồng cấu g ∈ End(M) sao cho g là mở rộng của đồng cấu φf(φ−1|φ(n)R) bởi vì M là tựa nội xạ linh. Đặt f¯ = φ−1gφ ∈ End(M), với mọi x ∈ R ta có f¯(nx) = φ−1gφ(nx) = φ−1(φf(φ−1|φ(n)R))(φ(nx)) = f(nx). Vậy f¯ là mở rộng của f . Do đó N là tựa nội xạ linh.  Như chúng ta được biết, một iđêan phải cực tiểu I của vành R hoặc là hạng tử trực tiếp của vành hoặc là I2 = 0. Định lý sau cho chúng ta một kết quả tương tự như trong vành đối với môđun. Định lý 2.11. Cho N là một môđun con đơn của M , khi đó hoặc N là một hạng tử trực tiếp của M hoặc N2 = 0. Chứng minh. Cho N là một môđun con đơn của M . Giả sử N2 6= 0. Suy ra∑{f(N)| f ∈ Hom(M,N)} 6= 0. Khi đó tồn tại một đồng cấu f : M → N sao cho f(N) 6= 0. Vì N là đơn, nên f(N) = N . Suy ra N = f(N) = f(M) và ta cũng cóM = N+Kerf . Mặt khác, ta có N ∩Kerf = Ker(f |N) và f |N : N → N là một đẳng cấu (do N đơn). Suy ra N ∩Kerf = 0 và từ đó M = N ⊕Kerf .  Áp dụng Định lý trên chúng ta có kết quả sau: Hệ quả 2.12.Nếu M là tựa nội xạ linh, thì M là tựa nội xạ đơn. Chứng minh. (1). Cho f : mR→M là một đồng cấu với mR là môđun con đơn củaM . Theo Định lý 2.11, hoặc mR là hạng tử trực tiếp củaM hoặc (mR)2 = 0. Nếu mR là hạng tử trực tiếp của M , thì fpi : M → M với toàn cấu chính tắc pi : M → mR là mở rộng của f . Nếu (mR)2 = 0, ta có m ∈ Nil(M). Suy ra f được mở rộng đến đồng cấu M →M do M là tựa nội xạ linh.  162 Vì vậy ta có: tựa nội xạ chính ⇒ tựa nội xạ linh ⇒ tựa nội xạ đơn. Tuy nhiên, các chiều ngược lại nói chung không đúng trong trường hợp tổng quát. Vành R ở Ví dụ 2.4 là môđun tựa nội xạ linh nhưng không tựa nội xạ chính. Ngoài ra, ví dụ sau chứng tỏ tồn tại một môđun tựa nội xạ đơn nhưng không là tựa nội xạ linh. Ví dụ 2.13. Xét V là một không gian vectơ 2-chiều trên một trường K. Ký hiệu R = { ( k v 0 k ) | k ∈ K, v ∈ V } (vành mở rộng tầm thường). Xét x = ( 0 v 0 0 ) . Suy ra (xR)2 = 0 và lr(x) 6= Rx. Khi đó R là vành giao hoán không nội xạ linh. Hơn nữa, vành các đa thức R[x] cũng là một môđun tựa nội xạ đơn nhưng không là tựa nội xạ linh (xem như R[x]-môđun). Hệ quả 2.14. Nếu R là tự nội xạ linh phải thì R là vành nội xạ đơn phải. Giả sử N là một môđun con đơn của M . Ký hiệu SocN(M) = ∑ {X ≤M | X ' N} được gọi là thành phần thuần nhất của Soc(M) chứa N . Mệnh đề 2.15. Giả sử M là tựa nội xạ linh và S = End(M). Khi đó: (1) Nếu N là môđun con đơn của M , thì SocN(M) = SN . (2) Nếu mR là môđun con đơn của MR, thì Sm là môđun con đơn của SM. (3) Soc(MR) ⊂ Soc(SM). Chứng minh (1). Chúng ta luôn luôn có SN ⊂ SocN(M). Ngược lại, giả sử f : N → N1 là một đẳng cấu với N1 ≤ M . Theo Hệ quả 2.12, M là tựa nội xạ đơn, nên tồn tại một đồng cấu f¯ : M → M là mở rộng của f . Suy ra N1 = f(N) = f¯(N) ≤ SN. Điều này suy ra SocN(M) ⊂ SN. (2). Giả sử mR là một môđun con đơn của MR và 0 6= α(m) ∈ Sm với α ∈ S. Khi đó α : mR → α(m)R là một đẳng cấu. Suy ra α(m)R cũng là môđun con đơn của M . Vì M là nội xạ linh nên M là tựa nội xạ đơn, do đó tồn tại một đồng cấu α¯ : M → M là mở rộng của α−1 : α(m)R → mR. Suy ra m = α−1(α(m)) = α¯(α(m)) ∈ Sαm. Từ đó Sm = Sαm. Vậy Sm là môđun con đơn của SM. (3) được suy ra từ (2). Hệ quả 2.16. ([4, Proposition 1.3]) Giả sử M là tựa nội xạ chính và S = End(M). Khi đó: (1) Nếu N là môđun con đơn của M , thì SocN(M) = SN . (2) Nếu mR là môđun con đơn của MR, thì Sm là môđun con đơn của SM. (3) Soc(MR) ⊂ Soc(SM). 163 TÀI TIỆU THAM KHẢO [1] F. W. Anderson and K. R. Fuller, Rings and Categories of Modules, Springer- Verlag, New York, 1974. [2] Amin, Ismail; Yousif, Mohamed; Zeyada, Nasr, Soc-injective rings and mod- ules, Comm. Algebra, 33(11) (2005), 4229-4250 [3] Lomp, Christian, Prime elements in partially ordered groupoids applied to modules and Hopf algebra actions, J. Algebra Appl., 4(1) (2005), 77-97. [4] Nicholson, W. K.; Park, J. K.; Yousif, M. F. Principally quasi-injective modules, Comm. Algebra, 27(4) (1999), 1683–1693. [5] W.K. Nicholson and M.F. Yousif. Quasi-Frobenius Rings, Cambridge Univ. Press. , 2003. [6] Wei, J. and Chen, J., Nil-injective rings, Int. Electron. J. Algebra, 2 (2007), 1-21. [7] R. Wisbauer, Foundations of Module and Ring Theory, Gordon and Breach, Reading, 1991. [8] Yue Chi Ming, Roger, C-injectivity and C-projectivity, Hiroshima Math. J., 37 (3)(2007), 385-395. 164 ON QUASI NIL-INJECTIVE MODULES Truong Cong Quynh, College of Pedagogy, Da Nang University Luong Thi Minh Thuy, College of Pedagogy, Hue University SUMMARY A right R-module M is called quasi nil-injective if, for each m ∈ Nil(M) and every homomorphism f : mR → M , there exists a homomorphism f¯ : M → M such that f¯(x) = f(x) for all x ∈ mR . In this paper, we give some characteristics of quasi nil-injective modules. Some related results are obtained. 165