Vận dụng định lý giá trị trung bình giải một số bài toán phép tính vi phân và tích phân - Nguyễn Hữu Thận

TẠP CHÍ KHOA HỌC Khoa học Tự nhiên và Công nghệ, Số 10 (9/2017) tr 30 - 38 30 VẬN DỤNG ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN PHÉP TÍNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN Nguyễn Hữu Thận1, Đỗ Văn Lợi24 1Trường THPT Hàm Rồng - Thanh Hóa 2Trường Đại học Hồng Đức Tóm tắt: Bài báo này trình bày một vài ứng dụng quan trọng của các định lý giá trị trung bình trong việc giải quyết một lớp các bài toán vi phân và tích phân. Việc xây dựng một số bài toán tổng quát cũng như việc ứng dụng định lý giá trị trung bình trong việc giảng dạy toán học ở bậc THPT đã được chỉ ra trong bài báo. Từ khóa: Định lý giá trị trung bình, phép tính tích phân, phép tính vi phân. 1. Mở đầu Trong giải tích, định lý giá trị trung bình khẳng định rằng: Cho một cung phẳng, trơn nối hai điểm phân biệt, khi đó tồn tại một điểm trên cung mà tiếp tuyến của cung tại điểm này song song với đường thẳng nối hai đầu cung. Định lý này được sử dụng đe chứng minh các kết quả toàn cục về một hàm trên một khoảng xuất phát từ các giả thuyết địa phương về đạo hàm tại các điểm của khoảng đó. Chính xác hơn, nếu một hàm số liên tục trên khoảng đóng  ;a b với a b và khả vi trên khoảng mở  ;a b thì tồn tại một điểm  c a,b sao cho:   ( ) ( ) ' f b f a f c b a    Một trường hợp đặc biệt của định lý này được mô tả lần đầu tiên bởi Parameshvara (1370 - 1460). Định lý giá trị trung bình ở dạng hiện đại của nó được phát biểu sau đó bởi Augustin Louis Cauchy (1789-1857). Nó là một trong những kết quả quan trọng của phép tính vi phân, cũng như một trong những định lý quan trọng của giải tích toán học và được sử dụng để chứng minh định lý cơ bản của giải tích. Định lý giá trị trung bình có thể được suy ra từ một trường hợp đặc biệt của nó là Định lý Rolle và có thể được sử dụng để chứng minh một kết quả tổng quát hơn là Định lý Taylor (với phần dư dạng Lagrange). Các định lý về giá trị trung bình có liên quan chặt chẽ với phép tính vi phân và tích phân, một lĩnh vực rất quan trọng trong lịch sử phát triển của toán học. Có thể nói, các bài toán về phép tính vi phân và tích phân không còn quá xa lạ với nhiều sinh viên ngành Toán, nhất là với các bạn yêu thích môn học này. Tuy nhiên, không phải bất kỳ sinh viên nào cũng có thể giải quyết được một số lượng lớn các bài toán có liên quan đến phép tinh vi phân và tích phân, bởi lẽ đây là một lớp bài toán khá phong phú và đa dạng. Nó 4 Ngày nhận bài: 26/5/2017. Ngày nhận kết quả phản biện: 28/7/2017. Ngày nhận đăng: 20/9/2017 Liên lạc: Đỗ Văn Lợi, e - mail: dovanloi@hdu.edu.vn 31 đòi hỏi người học cần có một tư duy linh hoạt, biết kết hợp một cách thành thạo giữa các giả thiết cũng như điều kiện trong từng bài toán cụ thể trong khi chưa có một phương pháp tối ưu nào để có thể giải được tất cả các bài toán này. Chính vì lý do đó mà nhiều bài toán khó về phép tính vi phân và tích phân thường dành cho những học sinh, sinh viên khá và giỏi. Các bài toán này thường xuất hiện nhiều trong các kỳ thi Olympic Toán sinh viên toàn quốc và đã gây không ít khó khăn cho các bạn sinh viên tham dự bởi lẽ các bài toán đó thường tương đối khó, đòi hỏi thí sinh không những cần phải có những hướng đi đúng đắn mà còn cần có những cách giải quyết tinh tế và hợp lý trên cơ sở nắm chắc bản chất của các định lý về giá trị trung bình. Bài báo được viết với mục đích khơi dậy niềm đam mê đối với môn toán, cũng như mong muốn phần nào có thể giúp các bạn sinh viên ngành toán có một cách nhìn tổng quát khi giải quyết một bài toán khó, từ đó có thể tìm tòi, xây dựng và đặt ra cho mình được những bài toán khái quát hơn, trừu tượng hơn. 2. Một số kiến thức liên quan 2.1. Định lý Rolle Định lý 1. Nếu  f x là hàm liên tục trên đoạn ,a b   , có đạo hàm trên khoảng  ,a b và    f a f b thì tồn tại  ,c a b sao cho   0'f c  . Hệ quả 1: Nếu hàm số  f x có đạo hàm trên (a;b) và phương trình   0f x  có n nghiệm (n là số nguyên dương lớn hơn 1) trên (a;b) thì phương trình  ' 0f x  có ít nhất n  1 nghiệm trên (a; b). Hệ quả 2: Nếu hàm số  f x có đạo hàm trên (a;b) và phương trình  ' 0f x  vô nghiệm trên (a;b) thì phương trình   0f x  có nhiều nhất 1 nghiệm trên (a;b). Hệ quả 3: Nếu  f x có đạo hàm trên (a;b) và phương trình  ' 0f x  có nhiều nhất n nghiệm (n là số nguyên dương) trên (a;b) thì phương trình   0f x  có nhiều nhất n + 1 nghiệm trên (a;b). Nhận xét 1. - Các hệ quả trên được suy ra trực tiếp từ Định lý Rolle và nó vẫn đúng nếu các nghiệm là nghiệm bội (khi  f x là đa thức). - Các hệ quả trên gợi ra ý tưởng về việc chứng minh tồn tại nghiệm cũng như xác định số nghiệm của phương trình. Đồng thời, nếu như bằng một cách nào đó tìm được tất cả các nghiệm của phương trình (có thể do mò mẫm) thì khi đó phương trình đã được giải. - Từ Định lý Rolle cho phép chứng minh Định lý Lagrange. Tổng quát hơn, chỉ cần để ý tới ý nghĩa của đạo hàm (trung bình giá trị biến thiên của hàm số). 32 2.2. Định lý Largrange (Lagrange's Mean Value Theorem) Định lý 2. Nếu ( )f x là hàm liên tục trên đoạn  ,a b , có đạo hàm trên khoảng  ;a b thì tồn tại  ,c a b sao cho ' ( ) ( ) ( ) f b f a f c b a    . Định lý Rolle là một hệ quả của Định lý Lagrange (trong trường hợp ( ) ( )f a f b ). Ý nghĩa hình học: Cho hàm số ( )f x thỏa mãn các giả thiết của Định lý Lagrange. Giả sử  C là đồ thị của hàm số ( )f x và  , ( )A a f a ,  , ( )B b f b là hai điểm phân biệt tùy ý thuộc  C . Khi đó, trên đồ thị  C tồn tại ít nhất một điểm  , ( )C c f c ,  ;c a b sao cho tiếp tuyến của  C tại điểm C song song với đường thẳng AB . Định lý Lagrange cho phép ước lượng tỉ số ( ) ( )f b f a b a   , do đó nó còn được gọi là Định lý Giá trị trung bình (Mean Value Theorem). 2.3. Định lý Cauchy Định lý 3. Nếu các hàm số ,f g liên tục trên đoạn  ;a b , có đạo hàm trên khoảng  ;a b và '( )g x khác không với mọi  ;x a b thì tồn tại  ;c a b sao cho:             ' ' f c f b f a g c g b g a    2.4. Định lý giá trị trung bình của tích phân Định lý 4. Nếu ( )f x là hàm liên tục trên đoạn  ;a b thì tồn tại điểm ( ; )c a b thỏa mãn:  ( ) ( ) b a f x dx f c b a  Đây là định lý giá trị trung bình thứ nhất của tích phân. Ngoài ra định lý giá trị trung bình của tích phân còn được phát biểu dưới dạng thứ hai như sau: Định lý 5. Giả sử f là một hàm số liên tục trên đoạn  ;a b và g là một hàm số khả tích trên đoạn  ;a b . Nếu g(x) không đổi dấu trên đoạn  ;a b thì tồn tại ít nhất một số thực ( ; )c a b sao cho: ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x g x dx f c g x dx  3. Một số bài toán tổng quát Bài toán 1. Cho f là hàm liên tục trên đoạn  ;a b và khả vi trên khoảng  ;a b thỏa mãn: 33    ; ; 0 2 2 2 a b b a a b f a f b f           Chứng minh rằng tồn tại các số thực  1 2 3, , ;c c c a b sao cho:      1 2 3' ' ' 1f c f c f c  . Lời giải. Xét hàm số     2 a b g x f x x     . Rõ ràng, đây là một hàm số liên tục trên đoạn  ;a b và khả vi trên khoảng  ,a b . Hơn nữa,       2 0g a g b a b    , nên tồn tại  0 ,x a b sao cho  0 0g x  , tức là  0 0 2 a b f x x    . Áp dụng Định lý Lagrange cho hàm f trên các khoảng  0,a x và  0;x b thì tồn tại  1 0;c a x và  2 0;c x b sao cho:      0 0 1 0 0 ' f x f a b x f c x a x a       và      0 0 2 0 0 ' . f b f x x a f c b x b x       Theo giả thiết, f là hàm liên tục trên đoạn  ;a b và khả vi trên khoảng  ;a b nên theo Định lý Lagrange tồn tại  3 ;c a b sao cho:       3' 1. f b f a f c b a     Vậy nên      1 2 3' ' ' 1f c f c f c  . Từ bài toán tổng quát này có thể đưa ra được nhiều bài toán khác nhau, chẳng hạn cho 0; 1a b  , có bài toán: Bài toán 1*. Cho f là hàm liên tục trên đoạn  0,1 và khả vi trên khoảng  0,1 thỏa mãn:     1 1 1 0 ; 1 ; 0 2 2 2 f f f          Chứng minh rằng tồn tại các số thực  1 2 3, , 0;1c c c  sao cho:      1 2 3' ' ' 1f c f c f c  Bài toán 2. Cho  : 0;1f  là hàm liên tục sao cho 1 1 0 0 ( ) ( )f x dx x f x dx  . Chứng minh rằng với mỗi số dương M tùy ý cho trước, luôn tồn tại số  0;1c sao cho:   0 ( ) c f c M f x dx   Lời giải. Đặt   0 ( ) x F x f t dt  . Theo giả thiết, có phương trình: 34   1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x f x dx xdF x xF x F x dx f x dx F x dx f x dx           . Do vậy 1 0 ( ) 0F x dx  . Xét hàm   0 ( ) x Mxg x e F t dt  . Rõ ràng g là hàm khả vi liên tục trên đoạn  0;1 , hơn nữa    0 1 0g g  , nên theo Định lý Rolle, tồn tại  0 0;1x  sao cho  0' 0g x  . Lại có:       0 0 0 0 0 0 0 0 ' ( ) 0 ( ) 0 x Mx x g x e F x M F t dt F x M F t dt                Suy ra   0 0 0 ( ) x F x M F t dt  . Xét hàm số     0 ( ) , x h x F x M F t dt   có    00 0h h x  . Hàm h thỏa mãn các điều kiện của Định lý Rolle, do đó tồn tại  00;c x sao cho  ' 0h c  . Do đó   0 ( ) c f c M f x dx   . Bài toán được chứng minh. Với 2017M  , có bài toán: Bài toán 2*. Cho  : 0;1f  là hàm liên tục sao cho 1 1 0 0 ( ) ( )f x dx x f x dx  . Chứng minh rằng luôn tồn tại số  0;1c sao cho   0 2017 ( ) c f c f x dx  . Bài toán 3. Giả sử f là hàm số khả vi hai lần trên và thỏa mãn điều kiện    0 1f f M  và     0,1 min x f x m M    . Chứng minh rằng       0,1 max '' 8 x f x M m    Lời giải. Trước hết, để giải quyết bài toán này cần sử dụng đến bổ đề sau đây: Bổ đề 1. (Fermat) Giả sử hàm số f đạt cực trị tại 0x . Khi đó, nếu f có đạo hàm tại 0x thì  0' 0.f x  Gọi  0,1c sao cho       0;1 minf c f x m  . Dễ thấy  0;1c , vì nếu 0c  hoặc 1c  thì dẫn đến mâu thuẫn do    0 1f f M m   . Hơn nữa, theo Bổ đề 1 có  ' 0f c  . Khai triển Taylor của  f x trong lân cận của c sẽ được: 35            2'' ' ;0 1 2 f c x c f x f c f c x c x c             Tại 0x  , có:             21 1 '' 0 ' , 0 1 2 f c c f f c f c c c            suy ra:     1 2 2 '' M m f c c c        Tương tự tại 1x  , sẽ được:       2 2 2 '' 1 1 M m f c c c         Từ đó suy ra:         2 1 2 22 4 '' '' 1 1 M m f c c f c c c c                Mặt khác:   2 1 1 1 2 4 c c c c          Do đó:           2 2 1 2 22 4 '' '' 1 64 1 M m f c c f c c M m c c                  Vậy nên:           2 2 1 2 x 0,1 64 '' '' 1 max ''M m f c c f c c f x                    Vậy đã chứng minh được:       x 0;1 max '' 8f x M m    Cho 1 ; 252 8 m M   , có bài toán: Bài toán 3*. Giả sử f là hàm số khả vi hai lần trên và thỏa mãn điều kiện    0 1 252f f  và     0;1 1 min 8x f x    . Chứng minh rằng:     0;1 max '' 2017 x f x   36 Bài toán 4. Cho hàm số f có đạo hàm cấp một trên đoạn  1;2 , có đạo hàm cấp 2 trên khoảng  1;2 , thỏa mãn điều kiện       2 1 ( ) 2 2 1 1, ' 1 1.f x dx f f f    Chứng minh rằng phương trình    '' ' 0xf x f x  luôn có nghiệm trong khoảng  1;2 . Lời giải. ( ) '( )g x xf x là hàm số liên tục trên đoạn  1;2 (vì g có đạo hàm trên đoạn  1;2 ). Theo Định lý giá trị trung bình của tích phân, tồn tại số  1;2c sao cho:      2 1 ( ) 2 1 'g x dx g c cf c   Mặt khác: 2 2 2 2 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( )g x dx xdf x xf x f x dx         2 1 2 2 1 ( ) 1f f f x dx    . Suy ra '( ) 1cf c  . Xét hàm số    ' 1h x xf x  . Khi đó h là hàm liên tục trên đoạn  1;2 và khả vi trong khoảng  1;2 . Có          1 0; ' '' ' .h h c h x xf x f x    Theo Định lý Rolle, tồn tại số thực    1; 1;2a c  sao cho  ' 0h a  . Vậy phương trình:    '' ' 0xf x f x  luôn có nghiệm trên khoảng  1;2 . Bài toán được chứng minh. Bằng lập luận hoàn toàn tương tự ta có thể đưa ra bài toán tổng quát sau đây: Bài toán 4*. Cho hàm số f có đạo hàm cấp một trên đoạn  ;a b , có đạo hàm cấp 2 trên khoảng  ;a b , thỏa mãn điều kiện:        ( ) , ' 1. b a f x dx bf b af a b a af a     Chứng minh rằng phương trình    '' ' 0xf x f x  luôn có nghiệm trong khoảng  ;a b . Bài toán 5. Cho  : 0;1f  là hàm khả vi liên tục trên đoạn  0;1 , thỏa mãn điều kiện: 1 0 ( '( ) (1 2 ) ( ))f x x f x dx m   Chứng minh rằng tồn tại  0;1c sao cho:   6 ' 5 m f c  . 37 Lời giải. Xét tích phân: 1 0 (1 2 ) ( )I x f x dx  , đặt       2 ' 1 2 u f x du f x dx dv x dx v x x            Khi đó:     1 1 1 2 2 2 0 0 0 ( ) '( ) ( ) '( )I x x f x x x f x dx x x f x dx       . Vậy:          1 1 2 0 0 ' 1 2 1 '( )f x x f x dx m x x f x dx m        . Áp dụng Định lý trung bình thứ 2 của tích phân với hàm  'f x và hàm   2 1 0g x x x    với mọi ,x tồn tại  0;1c sao cho:       1 2 0 5 ' 1 ' 6 m f c x x dx f c    Hay   6 ' 5 m f c  . Bài toán được giải quyết hoàn toàn. Nhận xét 2. Từ bài toán này có thể thu được nhiều bài toán khác nhau, chẳng hạn cho 10085 6 m  , thu được: Bài toán 5*. Cho  : 0;1f  là hàm khả vi liên tục trên đoạn  0;1 , thỏa mãn điều kiện:        1 0 10085 ' 1 2 6 f x x f x dx   Chứng minh rằng tồn tại  0;1c sao cho:  ' 2017.f c  TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Kỷ yếu kỳ thi Olympic Toán sinh viên toàn quốc lần thứ 22, Quảng Ngãi, 7 - 13/4/2014. [2] Kỷ yếu kỳ thi Olympic Toán sinh viên toàn quốc lần thứ 24, Quy Nhơn, 7 - 11/4/2016. [3] Trần Lưu Cường (1998). Toán Olympic sinh viên. Nhà xuất bản Giáo dục. [4] J. J. O'Connor and E. F. Robertson (2000). Paramesvara, MacTutor History of Mathematics archive. [5] “On the second mean value theorem of integral”. Mathematics, edited by the Math. Soc., Vol. 1 (1947) (Thiếu tên tác giả). [6] A. Di Crescenzo (1999). A probabilistic analogue of the mean value theorem and its applications to reliability theory. J. Appl. Prob, 36: 706-719. 38 USING THE MEAN VALUE TO SOLVE SOME PROBLEM OF DIFFERENTIAL AND INTEGRAL CALCULUS Nguyen Huu Than 1 , Do Van Loi 2 1 Ham Rong High school - Thanh Hoa Province 2 Hong Duc University Abstract: This paper, presented several important applications of mean value theorems to solve differential and integral calculus problems. The construction of some general problems as well as the application of the mean value theorem in the teaching of mathematics in high schools is indicated in the article. Keywords: Differential calculus, integral calculus, mean value theorem.