Vận dụng định lý cauchy về thặng dư trong giải tích phức vào tính các tích phân dạng  f x dx ( )   , với f x ( ) là hàm hữu tỉ có bậc của mẫu lớn hơn bậc của tử ít nhất hai đơn vị - Hồ Thị Hồng Liên

TRƯỜNG CAO ĐẲNG CÔNG NGHỆ THÔNG TIN HỮU NGHỊ VIỆT - HÀN 31 VẬN DỤNG ĐỊNH LÝ CAUCHY VỀ THẶNG DƯ TRONG GIẢI TÍCH PHỨC VÀO TÍNH CÁC TÍCH PHÂN DẠNG ( )f x dx    , VỚI ( )f x LÀ HÀM HỮU TỈ CÓ BẬC CỦA MẪU LỚN HƠN BẬC CỦA TỬ ÍT NHẤT HAI ĐƠN VỊ APPLYING CAUCHY’S THEOREM ON THE SURPLUS IN COMPLEX ANALYSIS ON SOLVING THE INTEGRAL OF THE FORM ( )f x dx    WITH ( )f x IS A RATIONAL FUNCTION WHOSE DEGREE OF DENOMINATOR IS GREATER THAN DEGREE OF NUMERATOR AT LEAST TWO UNITS Hồ Thị Hồng Liên Trường Cao đẳng CNTT Hữu nghị Việt - Hàn, Phòng Chính trị và Công tác sinh viên honglien121283@yahoo.com Tóm tắt Định lý Cauchy được sử dụng nhiều trong việc tính các tích phân phức cũng như các tích phân thực mà ta khó hoặc không thể tính được bằng các phương pháp thông thường. Nghiên cứu đưa ra phương pháp sử dụng định lý Cauchy và bổ đề Jordan để tính các tính phân dạng ( )f x dx    với ( )f x là hàm hữu tỉ có bậc của mẫu lớn hơn bậc của tử ít nhất hai đơn vị. Từ khóa: Số phức; giải tích phức; lý thuyết thặng dư; tích phân thực; tích phân phức. Abstract Cauchy’s theothem is used in solving complex integrals as well as real integerals that are difficutl or impossible to solve using conventional methods. This research provides a method using Cauchy’s theothem and the Jordan’s lemma to solve the integrals of the form ( )f x dx    CHUYÊN ĐỀ CÔNG NGHỆ VÀ GIÁO DỤC - 10 (12-2018) 32 with f(x) is a rational function whose degree of denominator is greater than degree of numerator at least two units. Keywords: Complex; complex analysis; theory of surplus; real integrals; complex integrals. 1. Đặt vấn đề Trong giải tích thực, việc tính tích phân nhiều khi ta gặp các tích phân mà việc tính toán chúng rất phức tạp mất rất nhiều thời gian, hoặc khó có thể tính được chúng bằng phương pháp tích phân thông thường. Tuy nhiên, nếu mở rộng ra trong giải tích phức thì việc tính toán một số tích phân này trở nên dễ dàng hơn, thậm chí ta có thể tính được cả các tích phân dạng tổng quát. Việc vận dụng định lý Cauchy và các bổ đề Jordan để tính các tích phân thực cũng đã được một số giáo trình đề cập trong giải tích phức, tuy nhiên còn chung chung chưa có đưa ra phương pháp cụ thể cho từng dạng tích phân. Dạng tích phân ( )f x dx    với ( )f x là hàm hữu tỉ có bậc của mẫu lớn hơn bậc của tử ít nhất hai đơn vị là một trong những dạng mà ta có thể ứng dụng định lý Cauchy và các bổ đề Jordan đề tính, cũng là một trong số các tích phân có nhiều ứng dụng nhưng ta gặp khó khăn khi tính chúng trong giải tích thực. Trong khuôn khổ nghiên cứu, tác giả trình bày phương pháp áp dụng định lý Cauchy và các bổ đề Jordan trong việc tính các tích phân dạng ( )f x dx    với f(x) là hàm hữu tỉ có bậc của mẫu lớn hơn bậc của tử ít nhất hai đơn vị. Phương pháp này sẽ giúp chúng ta giải quyết được một số bài toán tích phân dạng này một cách dễ dàng. 2. Nội dung 2.1. Định lý Cauchy về thặng dư và bổ đề Jordan 2.1.1. Định lý Cauchy về thặng dư Giả sử hàm số f(z) giải tích trong miền  trừ một số hữu hạn điểm bất thường cô lập 1 2, , ..., na a a . Khi đó mọi đường Jordan  trơn kín nằm trong , giới hạn một miền G chứa tất cả các điểm , 1,ka k n thì ta có: 1 ( ) 2 R es[ ( ); ]. n k k f z dz i f z a      Chứng minh. Gọi k là các đường tròn  .k kz a r  Với rk đủ bé sao cho các hình tròn  k k kB z a r G    và , .k kB B k k     TRƯỜNG CAO ĐẲNG CÔNG NGHỆ THÔNG TIN HỮU NGHỊ VIỆT - HÀN 33 Hình 1 Đặt 1 * \ n k k G G B    . Xét hàm f(z) trên G* (f(z) giải tích trên G*) nên theo định lý tích phân Cauchy cho miền đa liên ta có: ( ) 0 * f z dz G    ( *G là biên của miền G) Mặt khác: 1 ( ) ( ) * n k k f z dz f z dz G           Suy ra:   1 . 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 R es ( ); n k k k n n k k k f z dz f z dz f z dz i f z a                 2.1.2. Bổ đề Jordan Giả sử hàm số ( )f z là hàm giải tích trừ một số hữu hạn điểm bất thường cô lập và thỏa mãn:  lim ( ) 0 z zf z   Khi đó: ( ) lim ( ) 0. R C R f z dz   Trong đó, ( )C R là nửa trên của đường tròn .z R   1 a1 2 a2 3 a3 CHUYÊN ĐỀ CÔNG NGHỆ VÀ GIÁO DỤC - 10 (12-2018) 34 Chứng minh Vì phương trình của R có dạng Re ,0 .iz      Ta có:   0 lim ( ) Re e R i i R f z dz f Ri d         Từ giả thiết  lim ( ) 0 z zf z   ta có: Với mọi  > 0 (bé tùy ý), ta luôn tìm được N > 0 sao cho z R N  kéo theo  ( ) R Re .izf z f    Suy ra: 0 ( ) . R f z dz d         Hay: lim ( ) 0. R R f z dz    2.2. Áp dụng tính các tích phân dạng ( )f x dx    , với ( )f x là hàm hữu tỉ có bậc của mẫu lớn hơn bậc của tử ít nhất hai đơn vị Để tính các tích phân dạng này ta sử dụng định lý Cauchy và bổ đề Jordan đề chứng minh định lý sau: Định lý 1: Giả sử f(z) là phân thức hữu tỉ sao cho bậc của mẫu lớn hơn bậc của tử ít nhất hai đơn vị, có các cực điểm ak với k = 1...p nằm trong nửa mặt phẳng trên và có các cực điểm đơn bj với j = 1...q nằm trên trục thực. Khi đó ta có:   1 1 ( ) 2 i Re ( ); Re ( ); p q k j k j f x dx s f z a i s f z b           Chứng minh. Để đơn giản, ta xét trường hợp f (z) có một cực điểm a thuộc nửa mặt phẳng trên và một cực điểm đơn b nằm trên trục thực. Trường hợp tổng quát chứng minh tương tự. Kí hiệu: : , 0,R z R imz   : , 0.z imz    -R R R Hình 2  a b TRƯỜNG CAO ĐẲNG CÔNG NGHỆ THÔNG TIN HỮU NGHỊ VIỆT - HÀN 35    , ,R R b b R          Theo định lý Cauchy về thặng dư:    , , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R R b b R f z dz f z dz f z dz f z dz f z dz                  1 2 i Re ( ); p k k s f z a    Vì f(z) là phân thức hữu tỉ có bậc của mẫu lớn hơn bậc của tử ít nhất 2 đơn vị nên theo bổ đề Jordan, ta có lim ( ) 0. R R f z dz    Suy ra:     , 0 , 0 , , ( ) lim ( ) lim ( ) R R R b b R f x dx f z dz f z dz                    01 2 i Re ( ); lim ( ) p k k s f z a f z dz          (1) Do b là cực điểm đơn nên 1( ) ( )cf z g z z b    với g(z) là phần đều của f(z) trong khai triển Laurent nên g(z) giải tích trong lân cận b. Suy ra hàm g(z) bị chặn trên . Do đó: 0 : , ( )M z g z M     0 0 ( ) ( ) 0g z dz g z dz M d M                 Tham số hóa cung :  , 0, .itz b e t    Tính trực tiếp tích phân  1 Re ( );c dz i s f z b z b       . Thay vào (1) ta được điều phải chứng minh. Bây giờ ta xét một vài ví dụ minh họa cho chứng minh lẫn việc áp dụng định lý trên. Ví dụ 1. Tính tích phân     2 0 , . 1 n dxI n x       CHUYÊN ĐỀ CÔNG NGHỆ VÀ GIÁO DỤC - 10 (12-2018) 36 Vì  2 1( ) 1 nf x x   là hàm chẵn nên    2 20 1 21 1 n n dx dxI x x          Xét tích phân  2 1 n dz z   , hàm  2 1( ) 1 nf z z   ở nửa mặt phẳng trên có một cực điểm cấp n là z = i, chọn chu tuyến như hình 3. Theo định lý 1 ta có:     ( 1) 1 1( ) 2 R es ( ); 2 lim 1 ! ( ) n nz i f x dx i f z i i n z i               Nếu n = 1 thì 1( ) 2 lim z i f x dx i z i         2I    Nếu n > 1 thì       ( 1) (2 1)11 ( 1) 1 2 2 2 ( ) n nn n n n n n z iz i                       1 2 1 ( 1) 1 2 2 21( ) 2 1 ! 2 n n n n n n f x dx i n i                   2 1 1 2 2 2 1 ! 2 n n n n n n         Vậy        2 1 1 2 2 2 1 ! 2 n n n n n I n         nếu n > 1 2 I  nếu n = 1. Ví dụ 2. Tính tích phân   0 , 2, . 1 n dxI n n x       Hình 3 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CÔNG NGHỆ THÔNG TIN HỮU NGHỊ VIỆT - HÀN 37 Xét tích phân 1 n dz z   . Phương trình 1 + zn = 0 Có các nghiệm sau đây:  1 2 , 0,1,..., 1.i k nkz e k n     Và ta có 2 ( ) i nf ze f z       . Ta sẽ lấy tích phân theo chu tuyến  gồm: a) đoạn thẳng [0, R]  , b) cung tròn 2( ) Re ,0iR z n           , c) đoạn thẳng  2e ,0i nz r r R     (như hình 4) Trong chu tuyến này, hàm 1( ) 1 n f z z   có 1 cực điểm đơn là 1 . i nz e   Theo định lý Cauchy về thặng dư ta có: 0 ( ) 2 iRe ( ); 1 1 1 1 R i n n n n n R dz dx dz dz s f z e z x z z                       (2) Vì 2,n n  nên theo bổ đề Jordan ta có: ( ) lim 0 1 nR R dz z   Xét tích phân theo , ta có khi z  thì 2 i nz xe   , suy ra 2 i ndz e dx   , do đó: 2 01 1 R i n n n dz dxe z x        O R (R)  Hình 4 CHUYÊN ĐỀ CÔNG NGHỆ VÀ GIÁO DỤC - 10 (12-2018) 38 Chuyển qua giới hạn trong (2) khi R+∞, ta thu được: 1 2 1 0 0 12 i lim 1 1 i n n n nz z dx dxe x x nz           1 22 i i n i n i e n e              2 0 2 2 1 sin1 i n n i i i n n n i edx in x ne n e e n                                . 3. Kết luận Định lý Cauchy và các bổ đề Jordan không những được sử dụng nhiều trong việc tính các tích phân phức mà còn được ứng dụng trong việc tính các tích phân thực. Việc áp dụng định lý Cauchy và các bổ đề Jordan để tính các tích phân thực đã được một số giáo trình cũng như một số đề tài đề cập đến. Tuy nhiên, đối với tích phân dạng ( )f x dx    , với ( )f x là hàm hữu tỉ có bậc của mẫu lớn hơn bậc của tử ít nhất hai đơn vị, bài viết đã đưa ra phương pháp giải chung cho dạng này bằng cách sử dụng định lý Cauchy và bổ đề Jordan để chứng minh định lý 1. Từ định lý 1 ta có thể áp dụng để tính các tích phân dạng này một cách dễ dàng. Bài viết cũng đã đưa ra hai ví dụ để minh họa cho nội dung này, trong ví dụ 1 tích phân     2 0 , 1 n dxI n x       được tính bằng cách áp dựng trực tiếp định lý 1 ta tính được kết quả dạng tổng quát cho n, nếu sử dụng các phương pháp thông thường của giải tích thực thì chỉ cần cho n = 3 thì đã rất khó tính toán. Trong ví dụ 2 do tính chất của hàm dưới dấu tích phân nên tác giả áp dụng định lý Cauchy và bổ đề Jordan để tính mà không áp dụng định lý 1, tích phân ở ví dụ 2 được tính dưới dạng tổng quát cho n. Như vậy, việc áp dụng định lý Cauchy và các bổ đề Jordan ta có thể tính được một số tích phân thực mà việc tính toán chúng trong giải tích thực gặp khó khăn hoặc ta không thể tính được. Do khuôn khổ nghiên cứu tôi không thể trình bày nhiều các dạng tích phân được tính bằng phương pháp này. Hy vọng sẽ đưa ra được phương pháp cũng như tìm ra được nhiều dạng tích phân mà ta có thể vận dụng định lý Cauchy và bổ đề Jordan của giải tích phức để tính trong các nghiên cứu tiếp theo. TRƯỜNG CAO ĐẲNG CÔNG NGHỆ THÔNG TIN HỮU NGHỊ VIỆT - HÀN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trương Văn Thương (2002), Hàm số biến số phức, Nxb Giáo dục. [2] B.V. Sabat (1979), Nhập môn giải tích phức, T1&T2, Nxb Đại học và Trung học chuyên nghiệp Hà Nội. [3] Nguyễn Thủy Thanh (2006), Cơ sở lý thuyết hàm biến phức, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội. [4] Nguyễn Thủy Thanh (2003), Hướng dẫn giải bài tập bài tập hàm biến phức, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội. [5] L. I. Vonkovưski, G.L lunxơ và I. G. Aramanovich (1979), Bài tập lý thuyết hàm biến phức, Nxb ĐH và THCN Hà Nội.