Ứng dụng số phức trong giải toán

ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG GIẢI TOÁN Số phức có nhiều ứng dụng trong giải toán. Một số bài toán nếu chỉ xét trong tập số thực, việc tìm ra lời giải sẽ rất phức tạp, khó khăn. Sử dụng những tính chất riêng biệt của số phức sẽ giúp ta tìm ra cách giải hiệu quả cho một số dạng toán - Chứng minh đẳng thức, công thức lượng giác - Chứng minh công thức đại số, tổ hợp - Tính tổng - Chứng minh bất đẳng thức - Giải hệ phương trình, phương trình 1. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Ví dụ 1. Chứng minh rằng 1 5 os 5 4 c    Giải Đặt os , sin ; os isin 5 5 5 5 x c y z x iy c           Ta có: 5 1z   hay   4 3 21 1 0z z z z z      Vì 1z   nên 4 3 2 1z z z z    =0 do 0z  nên chia hai vế cho 2z ta được 2 2 2 1 1 1 0 1 1 1 0 z z z z z z z z                                  Ta để ý rằng 1 1 2 x z z        từ đẳng thức trên ta có: 2 1 5 4 2 1 0 4 x x x       Do x>0 nên 1 5 os 5 4 x c     Ví dụ 2. Chứng minh công thức: 5 3 5 3 ) sin5 16sin 20sin 5sin ) os5 16cos 20cos 5cos a b c               Giải a) Áp dụng công thwcsMoiver ta có:   5 os isin os5 isin5c c      Khai triển nhị thức:            5 5 4 2 3 2 3 2 3 4 4 5 5 5 3 2 2 2 2 2 2 3 5 os isin os 5 cos sin 10 os sin 10 cos sin 5 cos sin sin cos 10cos 1 cos 5cos 1 cos sin 1 sin 10 1 sin sin sin c c i i c i i i i                                         Đồng nhất phần thực, phần ảo và rút gọn ta được (a) Công thức (b) chứng minh tương tự. Ví dụ 3. Chứng minh rằng: a) 3 5 1 os os cos 7 7 7 2 c c       b) 2 3 1 os os cos 7 7 7 2 c c       Giải Các đẳng thức trên ngoài cách chứng minh bằng lượng giác (Nhân vế trái với 2sin 7  ) còn có thể dùng số phức để giải. a) Đặt 7os isin os isin 1 7 7 z c z c           hay 7 1 0z   Mặt khác 10 8 6 4 2 3 5 3 5 5 3 5 1 1 1 1 1 1 1 os os os 7 7 7 2 2 2 2 z z z z z c c c z z z z z z z                                  Vì 7 1 0z   nên 10 3z z  và 8z z  Suy ra 10 8 6 4 2 6 4 3 2 7 6 5 4 3 2 5 5 5 1 1 1 1 1 z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z                         Do đó: 5 5 3 5 1 cos os os 7 7 7 2 2 z c c z        b) Xét phương trình 7 1 0x   Dễ thấy các nghiệm của phương trình là các căn bậc 7 của số -1. Tập nghiệm của phương trình là: 3 13 7 7 7{e ,e ,...,e } i i i   Mặt khác: 7 2 7 3 13 7 7 7 7 7 1 e ,e ,...,e 0 i i i i i i e e e              Nên tổng phần thực của nó bằng 0 Do đó: 3 5 7 9 11 13 os os cos cos cos cos cos 0 7 7 7 7 7 7 7 3 5 2 cos cos cos 1 0 7 7 7 2 3 1 cos cos cos 7 7 7 2 c c                                   Ví dụ 3. Cho a, b, c là các số thực sao cho: cos cos cos sin sin sin 0a b c a b c      Chứng minh rằng: cos2 cos2 cos2 sin 2 sin 2 sin 2 0a b c a b c      Giải Đặt cos isin cos sin cos sin x a a y b i b z c i c       Ta có x+ y + z=0       1 1 1 cos sin cos sin cos sin 0a i a b i b c i c x y z          Do đó: xy + yz +zx=0 Suy ra:           22 2 2 2 0 os2 isin 2 os2 isin 2 os2 isin 2 0 x y z x y z xy yz zx hay c a a c c c c b b                Từ đó ta có: os2 os2 os2 sin 2 sin 2 sin 2 0c a c b c c a b b      2. CHỨNG MINH CÔNG THỨC ĐẠI SỐ, TỔ HỢP Ví dụ 4. Chứng minh rằng: a)    0 2 4 6 8 ... 2 cos 1 4 n n n n n nC C C C C n        b)    1 3 5 7 9 ... 2 sin 2 4 n n n n n nC C C C C n        Giải Đặt vế trái của (1) là S1, của (2) là S2 Xét khai triển:   0 1 2 2 3 31 ... . n n n n n n n ni C iC i C i C i C       Do   1 4 4 1 1 4 2 4 3 k k k k i khi k m i i khi k m m Z i khi k m i i khi k m                Khi đó        0 2 4 6 1 3 5 71 ... ... 3n n n n n n n n ni C C C C i C C C C           và        1 2 cos sin 2 cos sin 4 4 4 4 4 n n nn i i n i n                    Từ (3) và (4) ta có:     1 2 2 cos 4 2 sin 4 n n S n S n     Ví dụ 5. Chứng minh rằng:         1 1 3 5 7 3 0 2 4 6 3 5 7 ... 2 os 1 4 2 4 6 ... 2 sin 1 4 n n n n n n n n n n C C C C n c n C C C C n n                 Giải   0 1 2 2 3 31 ... n b n n n n n nx C C x C x C x C x       Đạo hàm hai vế theo x:   1 1 2 2 3 11 2 3 ... n n b n n n nn x C xC x C nx C        Cho x=i:       1 1 2 2 3 1 1 3 5 7 0 2 4 1 2 3 ... 3 5 7 ... 2 2 4 ... n n b n n n n n n n n n n n n i C iC i C ni C C C C C i C C C                 3. CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Ví dụ 6. Chứng minh rằng các bất đẳng thức: a)    2 2 2 2 2 2 3 , , 0x xy y y yz z z zx x x y z x y z             b)        2 2 2 2 2 24 os cos sin 4sin sin sin 2 ,c x y x y x y x y x y R        Giải a) Đặt 1 2 3 3 2 2 3 2 2 3 2 2 y z x yi z z y zi x z z xi          Ta có: 2 2 1 2 2 2 2 2 3 z x xy y z y yz z z z zx x          Và  1 2 3 3z z z x y z     Do 1 2 3 1 2 3z z z z z z     nên ta có điều phải chứng minh. b) Đặt     1 2 2cos cos isin 2sin sin isin z x y x y z x y x y       Làm tương tự như phần a) ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 7. Chứng minh rằng nếu 1z  thì 2 1 1 2 z iz    Giải Giả sử  ,z a bi a b R   thì 2 2z a b  2 2 2 21 1 1z a b a b       Ta có:         22 2 2 4 2 12 2 12 1 2 2 2 a ba b iz iz b ai b a           đpcm         22 2 22 2 2 2 2 2 4 2 1 1 4 2 1 2 1 2 a b a b b a a b b a                vậy ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 8. Cho số phức z khác 0 thỏa mãn điều kiện 3 3 1 2z z   . CMR: 1 2z z   Giải Ta có với hai số phức 1 2 ,z z bất kỳ ta có : 1 2 1 2 z z z z   Ta có : 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 3 3 2 3z z z z z z z z z z z zz z                          Đặt 1 z a z   ta có    23 3 2 0 2 1 0a a a a       Vậy ta có điều phải chứng minh. 3. TÍNH TỔNG Ví dụ 9. Tính tổng 1 2 sin sin 2 ... sin cos os2 ... cos S a a na S a c a na         Giải Đặt cos isinz a a  Ta có: 22 1 1 iS ... . 1 n n zS z z z z z             2 2 2sin 2 sin os 1 cos isin 1 2 2 2 1 cos isin 1 2sin 2 sin os 2 2 2 sin os isin sin 1 12 2 2 2 os isin 2 2 sinsin os isin 22 2 2 n na na na i c z na na a a az a a i c na na na nac n a n a c aa a a c                               Do đó:           2 1 sin 1 11 2iS . cos isin os isin 1 2 2 sin 2 sin 1 12 os isin 2 2 sin 2 n na n a n az S z a a c az na n a n a c a                     Mặt khác:    2 1iS cos os2 ... cos i sin sin 2 ... sinS a c a na a a na         Vậy:     1 2 1 sin sin 2 2 sin 2 1 sin os 2 2 sin 2 n ana S a n ana c S a     Ví dụ 10. Tính tổng (Với n= 4k+1) a) 0 2 4 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ... n n n n n n n S C C C C C            b) 1 3 5 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ... n n n n n n n S C C C C C             Giải       2 1 0 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 0 2 2 1 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 ... .. .. n n n n n n n n n n n n n n n i C iC i C i C C C C i C C C                             Mặt khác:                 2 12 1 2 1 2 1 1 2 os i sin 1 2 os i sin 4 4 4 4 2 1 2 1 2 2 os i sin 4 4 8 3 8 3 2 2 os i sin 4 4 3 3 2 2 os i sin 2 2 4 4 nn n n n n n n n i c i c n n c k k c c i                                                         Từ đó: 1 2 2 2 n n S S    Ví dụ 11. Chứng minh rằng: 3 6 1 1 ... 2 2cos 3 3 n n n n C C           Giải Ta có 0 1 22 ...n n n n n n C C C C     Xét: 32 2os i sin 1 3 3 z c z       Ta có:     0 1 2 2 0 1 2 2 3 4 2 0 2 1 2 3 2 4 1 ... ... 1 ... n n n n n n n n n n n n n n n n n n z C zC z C z C C zC z C C zC z C z C zC C z C                    2 2 1 0 1 os i sin 3 3 1 os i sin 3 3 z z z c z c              Khi đó:         2 0 3 6 0 3 6 3 6 2 1 1 3 ... 2 2cos 3 ... 3 1 1 ... 2 2cos 3 3 nnn n n n n n n n n n n z z C C C n C C C n C C                            4. SỐ PHỨC TRONG VIỆC GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Ví dụ 12. Giải hệ phương trình: 1 3 1 2 1 1 4 2 x x y xy x y                   Giải Điều kiện x>0, y>0 Đặt ,u x v y  hệ phương trình trở thành 2 2 1 2 1 3 1 4 2 7 1 7 u u v y x y                  Do 2 2u v là bình phương modul số phức z= u+ iv nên nhân phương trình thứ hai với i rồi cộng với phương trình thứ nhất ta được phương trình :  2 2 2 4 2 1 3 7 u iv u iv i u v       Vì 2 2 2 1u iv z z zu v zzz      nên phương trình (1) được viết dưới dạng 21 2 4 2 2 4 2 1 0 3 7 3 7 1 2 2 2 2 3 21 7 z i z i z z z i                                Suy ra   1 2 2 2 , ; 2 3 21 7 u v           Vậy hệ phương trình có nghiệm là   22 1 2 2 2 , ; 2 3 21 7 x y                 Ví dụ 13. Giải hệ phương trình: 3 2 3 2 3 1 3 3 x xy y x y         Giải Xét số phức    3 3 2 2 3, 3 3 1 3 2 2 2 os i sin 3 3 z x iy x y R z x xy i x y y i c                     Ta tìm được 3 giá trị của z là : 3 3 3 2 2 4 4 8 8 2 os i sin ; 2 os i sin ; 2 os i sin 9 9 9 9 9 9 c c c                          Vậy hệ phương trình có các nghiệm (x, y) là : 3 3 3 3 32 2 4 4 8 82 os 2sin ; 2 os 2sin ; os 2sin 9 9 9 9 9 9 c c c                          Ví dụ 14. Giải hệ phương trình 2 2 2 2 16 11 7 11 16 1 x y x x y x y y x y             Giải Điều kiện 2 2 0x y  Đặt   2 2 1 , x iy z x yi x y R z x y        Từ hệ phương trình ta có   2 2 2 2 2 2 2 2 2 16 11 16 11 7 16 11 7 16 11 7 7 16 11 0 2 3 5 2 x y x y x iy i i x y x y x iy x iy x iy i i x y x y i z i z i z i z z i z i                                      Hệ phương trình có hai nghiệm (x,y) là (2, -3) và (5, 2) Ví dụ 15. Giải hệ phương trình   3 10 1 3 5 , 3 1 1 5 x x y x y R y x y                    Giải Điều kiện x> 0, y> 0 Đặt   5 , 0 u x u v v y     ta có hệ phương trình 2 2 2 2 3 3 1 2 3 1 1 u u v v u v                    Đặt 2 2 1 u iv z u iv z u v       Từ hệ phương trình ta có   2 2 2 2 2 3 3 3 1 1 2 2 3 2 2 6 0 2 2 2 2 u iv i u v u v z i z z i z i                                Do u, v > 0 nên 2 ; 1 2 u v  Vậy hệ phương trình có nghiệm (x, y) là 1 ;1 10       Ví dụ 15. Giải phương trình 1 cos os3 os5 os7 os9 2 x c x c x c x c x     Giải Phương trình này có thể giải bằng cách nhân hai vế với 2sinx  sinx 0 Ngoài ra có thể áp dụng với số phức  1 1cos i sin cos i sin 0;2z x x z x x x z           Ta có 1 2cosz z x  và 2cosn nz z nx  Phương trình có dạng :    3 5 7 9 3 5 7 9 2 4 18 9 20 11 9 11 11 9 9 1 1 1 1 1 1 2 1 ... 1 1 1 1 0 1 z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z                               Nếu 9 1z  thì  9 2 2os0 i sin0 os i sin 0;8 9 9 k k z c z c k         Nếu 11 1z   thì  11 2 2os i sin os i sin 0;10 11 11 k k z c z c k               Do 0;2x    nên phương trình có nghiệm là 2 2 , { 0,1,...,8} 9 2 x= 2 , { 0,1,...,10} 11 k x m k k m k            BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Giải hệ phương trình 2 2 2 2 3 3 3 0 x y x x y x y y x y           . Đáp số :      ; 2;1 , 1; 1x y   Bài 2. Tính tổng a) 0 2 4 6 2004 2006 2008 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009...A C C C C C C C        b) 1 3 5 7 2005 2007 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009...A C C C C C C C         Đáp số : a) 10042 b) 10042