Ứng dụng lý thuyết điều khiển tối ưu vào tổng hợp luật dẫn tên lửa

Nghiờn cứu khoa học cụng nghệ Tạp chớ Nghiờn cứu KH&CN quõn sự, Số 35, 02 - 2015 23 ứng dụng lý thuyết điều khiển tối ưu vào tổng hợp luật dẫn tên lửa nguyễn minh hồng*, bùi ngọc mỹ**, trần quý* Tóm tắt: Những luật dẫn kinh điển như tiếp cận tỷ lệ đã được áp dụng rất hiệu quả trong bài toán dẫn tên lửa. Tuy nhiên theo sự phát triển của khoa học kỹ thuật thì khả năng của vũ khí trang bị đối phương được nâng lên rất nhiều, đặc biệt là khả năng cơ động, lẩn trổn do đó nó gây ra rất nhiều khó khăn, làm giảm hiệu quả chiến đấu. Do đó một luật dẫn mới để đảm bảo hiệu quả tiêu diệt mục tiêu là cần thiết. Trong bài báo này sẽ áp dụng lý thuyết điều khiển tối ưu để nâng cao hiệu quả dẫn tên lửa tự dẫn. Từ khóa: Lý thuyết điều khiển tối ưu, Luật dẫn, Tên lửa. 1. đặt vấn đề Những luật dẫn kinh điển như tiếp cận tỷ lệ (PN) và các biến thể của nó được ứng dụng rất thành công trong việc dẫn tên lửa vào những năm 1960 và đầu 1970. Tuy nhiên, do sự phát triển của kỹ thuật và khoa học công nghệ thì các phương tiện bay nói chung đã được cải tiến, nâng cấp và phát triển, chúng có khả năng cơ động cao hơn và có thêm các biện pháp kỹ chiến thuật để lẩn trốn khi tác chiến, do đó tại thời điểm gặp sẽ xuất hiện giá trị độ trượt lớn khi áp dụng luật dẫn PN. Ngoài ra thì gia tốc lớn nhất cũng như tổng gia tốc mà tên lửa cần để tiêu diệt mục tiêu khi áp dụng luật dẫn PN sẽ rất lớn, trong khi đó những giá trị này bị hạn chế bởi khả năng của tên lửa. Tất cả các điều này sẽ làm giảm hiệu quả tiêu diệt địch vỳ vậy đòi hỏi phải cải tiến, phát triển các luật dẫn mới để có thể giải quyết những vấn đề trên. Việc áp dụng lý thuyết điều khiển tối ưu để tổng hợp luật dẫn tên lửa là một xu hướng đang được rất nhiều người quan tâm và phát triển, việc này đòi hỏi sự tính toán phức tạp, nhưng bù lại, ta có thể tối ưu luật dẫn theo một tiêu chí nào đó để đảm bảo được yêu cầu tiêu diệt mục tiêu một cách chắc chắn nhất (giá trị của độ trượt là nhỏ nhất). Trong bài báo này sẽ trình bày một cách sơ lược về lý thuyết điều khiển tối ưu mà trọng tâm là sử dụng lý thuyết điều khiển tối ưu toàn phương để làm cơ sở cho việc áp dụng vào dẫn tên lửa. Bằng các mô phỏng để từ đó có những phân tích, so sánh luật dẫn điều khiển tối ưu với luật dẫn PN và biến thể của luật dẫn PN là dẫn tỷ lệ tăng cường (APN). 2. tổng quan về lý thuyết điều khiển tối ưu Xét một mô hình động lực học phi tuyến tổng quát cho hệ thống được điều khiển với điều kiện ban đầu đã biết: 0 0 ( , , ) ( ) x f x u t x t x    (1) Với ( )u t là véc tơ điều khiển bị hạn chế bởi các rằng buộc trong đoạn 0 ft t t  (được gọi là đầu vào điều khiển cho phép), (t)x là véc tơ trạng thái và (.)f là một hàm liên tục vào có đạo hàm theo biến trạng thái, liên tục trong đoạn đã cho. Với một bài toán cụ thể ta sẽ có các véc tơ trạng thái và véc tơ điều khiển cụ thể. Với hệ thống tổng quát này, ta có hàm chỉ tiêu chất lượng (hàm mục tiêu) như sau:   0 ( ), ( ), ( ), ft f f t J x t t L x t u t t dt      (2) Tờn lửa & Thiết bị bay N. M. Hồng, B. N. Mỹ, T. Quý ,“Ứng dụng lý thuyết điều khiển tối ưu dẫn tờn lửa.” 24  ( ), ( ),L x t u t t được gọi là hàm Lagrange. Hàm chỉ tiêu chất lượng bao gồm hai thành phần: thành phần thứ nhất là chi phí cuối; thành phần thứ hai là chi phí trong cả quá trình. Yêu cầu đặt ra là cực tiểu hóa giá trị của hàm chỉ tiêu chất lượng J . Tuy nhiên các biến trạng thái và các biến điều khiển được liên hệ với nhau thông qua phương trình trạng thái. Do đó quá trình cực tiểu hóa hàm phải xét tới điều kiện rằng buộc, tức là phải thỏa mãn phương trình (1). Để đảm bảo điều kiện rằng buộc được thỏa mãn, phương trình trạng thái sẽ được bổ xung vào hàm Lagrange, và ta được hàm mục tiêu mới như sau:         0 ' ( ) ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ) ( ), ( ), f T f f t T t J J t f x t u t t x t t L x t u t t t f x t u t t x dt              (3) Với ( )t là véc tơ toán tử Lagrange (hay còn gọi là véc tơ đồng trạng thái). Như vậy bài toán đặt ra là tìm một véc tơ điều khiển ( )u t trong đoạn thời gian 0 , ft t   , khi đó véc tơ trạng thái của hệ thống là ( )x t sẽ làm cho hàm mục tiêu 'J đạt cực tiểu. Sẽ rất khó khi xét bài toán với hệ thống phi tuyến tổng quát. ở đây, chúng ta xét bài toán với lý thuyết điều khiển tối ưu tuyến tính dạng toàn phương (LQ). Theo [1], hệ thống phi tuyến tổng quát (1) được tuyến tính hóa gần đúng như sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t A t x t B t u t  (4) Với nx R là véc tơ trạng thái, mu R là véc tơ điều khiển, ( )A t và ( )B t là các ma trận Jacobi có kích thước lần lượt là n x n và n x m. Với hàm chỉ tiêu dạng toàn phương và từ (4) thì hàm mục tiêu (3) trở thành:   0 1 ' ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 f T f f f t T T T t J x t Q x t x t Q t x t u t R t u t A t x t B t u t x dt               (5) Khi đó ta có hàm Hamilton có dạng     1 ( ), ( ), t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) T T T H x t u t x t Q t x t u t R t u t A t x t B t u t       (6) Bằng phương pháp biến phân [4] với hàm Hamilton cho bởi (6) thì một điều khiển làm cực tiểu hàm mục tiêu cho bởi: 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )T cu t R t B t P t x t   (7) Với là nghiệm của phương trình Riccati 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T T c c c c c c f f P t P t A t A t P t P t B t R t B t P t Q t P t Q        (8) Như vậy lời giải cho bài toán tối ưu có được bằng việc giải phương trình Riccati. Các phương trình trên là cơ sở để ta áp dụng lý thuyết điều khiển tối ưu với hàm chỉ tiêu chất lượng dạng toàn phương vào luật dẫn tiếp cận tỉ lệ để nâng cao chất lượng dẫn tên lửa. Nghiờn cứu khoa học cụng nghệ Tạp chớ Nghiờn cứu KH&CN quõn sự, Số 35, 02 - 2015 25 3. xây dựng luật dẫn tối ưu 3.1 Khái niệm độ trượt Một trong những thông số để đánh giá chất lượng của quá trình dẫn tên lửa đó là độ trượt. Độ trượt được hiểu là khoảng cách giữa tên lửa mục tiêu tại thời điểm cuối cùng ( )ft của quá trình tên lửa tiếp cận mục tiêu, kí hiệu ( )fd t . Như vậy ta có thể xác định độ trượt thông qua các độ trượt thành phần trên 3 trục tạo độ như sau: 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )f x f y f z fd t d t d t d t   Tuy nhiên xuất phát từ quá trình điều khiển tên lửa do đó mà ta chỉ quan tâm tời thành phần độ trượt trong mặt phẳng thẳng đứng và mặt phẳng ngang. Do sự tương đồng mà ở đây ta chỉ xét thành phần độ trượt ( )y fd t trong mặt phẳng nằm ngang. Từ đây trở đi khi nói tới độ trượt, ta sẽ hiểu đó là thành phần độ trượt ( )y fd t trong mặt phẳng ngang. Để cho thuận tiện, ta sử dụng kí hiệu ( ) ( )f y fy t d t . 3.2 Luật dẫn tối ưu Để tránh phức tạp, ta chỉ xét tới việc điều khiển chuyển động của tên lửa trong một trục Y. Ta có thể làm tương tự đối với trục còn lại. Hình 1 mô tả tương quan hình học cho bài toán dẫn tên lửa (tên lửa, mục tiêu được coi như chất điểm), mục tiêu cơ động với gia tốc không đổi (mục tiêu không cơ động). Trong đó  và  lần lượt là góc lệch của đường ngắm tên lửa - mục tiêu và góc của véc tơ vận tốc mục tiêu so với đường ngắm tên lửa - mục tiêu ban đầu, góc L+HE là góc đón và sai số góc đón để đưa tên lửa tới điểm gặp. Ln là gia tốc thực của tên lửa. Hệ thống điều khiển bay được coi như một khâu quán tính bậc một có hằng số thời gian T. Gọi Cn là gia tốc lệnh của tên lửa, ta có quan hệ trong miền Laplace giữa Ln và Cn như sau: 1 1 L Cn n sT   (9) Ta có quan hệ giữa các đại lượng gia tốc tương đối trên trục Y như sau: cos cosT Ly n n   (10) Nếu góc  và  nhỏ, ta có thể tuyến tính hóa phương trình (9) một cách gần đúng: T Ly n n  (11) Hình 1.Dạng hình học bài toán dẫn tên lửa trongmặt phẳng ngang OXY. Hình 2. Mối tương quan giữa các đại lượng vị trí, vận tốc, gia tốc tương đối . Tờn lửa & Thiết bị bay N. M. Hồng, B. N. Mỹ, T. Quý ,“Ứng dụng lý thuyết điều khiển tối ưu dẫn tờn lửa.” 26 Sau đây ta sẽ cụ thể hóa bài toán tối ưu dạng toàn phương tổng quát cho bài toán dẫn tên lửa bằng việc chọn véc tơ trạng thái, các ma trận hệ số như sau:  Véc tơ trạng thái và đạo hàm của nó là các đại lượng ta quan tâm: do đó véc tơ trạng thái có dạng:  TT Lx y y n n  khi đó   T T Lx y y n n      Véc tơ điều khiển: Cu n Vì mục tiêu cơ động với gia tốc không đổi và từ hình 2 ta có 1 0 ( )T L L Cn n n n T     (12) Từ các phương trình (11), (12), hình 2 và với các véc tơ trạng thái, véc tơ điều khiển đã chọn ở trên, ta biểu diễn các phương trình dưới dạng ma trận như sau: 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 C T T L L y y y y n n n n n T T                                                      (13) So sánh phương trình (4) và phương trình (13) ta có các ma trận hệ số A, B như sau: 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 A B T T                                (14)  Ta xác định các ma trận hệ số trong hàm chỉ tiêu chất lượng (5): vì ta chỉ xét trạng thái tại thời điểm cuối cùng mà không quan tâm các trạng thái tức thời trong quá trình bay như thế nào. Ngoài ra ta còn muốn cực tiểu tổng gia tốc trong toàn bộ quá trình bay nên ta chọn ma trận fQ , Q và R như sau: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 y v fQ Q R                          (15) trong đó, các hệ số y và v là trọng số theo vị trí và tốc độ. Bởi vì ta chỉ quan tâm tới vị trí mà không quan tâm tới tốc độ nên ta có thể chọn y  và 0v  Với các ma trận hệ số đã cho ở trên thì bằng việc giải phương trình Riccati (8) sau đó thế nghiệm vào (7) ta sẽ có được biểu thức giải tích của lệnh điều khiển tối ưu. Tuy nhiên, việc giải phương trình vi phân (8) với điều kiện biên như vậy là tương đối khó. Ta sẽ thực hiện phép đổi biến: đặt go ft t t  . Khi đó c c go dP dP dt dt   Khi đó phương trình (8) trở thành: Nghiờn cứu khoa học cụng nghệ Tạp chớ Nghiờn cứu KH&CN quõn sự, Số 35, 02 - 2015 27 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (0) T T c go c go c go c go c go c f P t P t A A P t P t BR B P t Q P Q       (16) Bằng việc giải phương trình vi phân (16) bằng phương pháp mũ ma trận [7] (sử dụng công cụ MATLAB) ta nhận được biểu thức giải tích cho lệnh điều khiển tối ưu như sau: 1 2 3 4( ) ( )C T Lu n C y t C y t C n C n     (17) Trong đó 1C , 2C , 3C và 4C là các hệ số phụ thuộc vào thời gian như sau: 1 2 3 4 22 ' ' ' ; ; 0.5 '; 1 got goT go go go tN N N C C C N C e t t Tt T                  (18) Trong đó 'N là hệ số dẫn có dạng: 2 2 3 2 2 3 6 1 ' 3 6 6 2 12 3 go go go go go t go go T t t t tgo go T T t t e T T N t tt t e e T T T T                     (19) Như vậy ta đã rút ra được biểu thức giải tích cho lệnh điều khiển tối ưu bằng việc giải phương trình vi phân Riccati. Lệnh điều khiển tối ưu được biểu diễn thông qua các phương trình (17), (18) và (19) 4. kết quả mô phỏng 4.1. Luật dẫn PN và APN 4.1.1. Hệ thống điều khiển bay coi như lý tưởng Theo [2] thì luật dẫn PN và APN được mô tả bằng các biểu thức xác định gia tốc pháp tuyến như sau: ( ) ( ) ' 1 ' ' 2 c PN C c APN C T n N V n N V N n        (20) Khi đó sơ đồ vòng điều khiển tên lửa khi sử dụng luật dẫn PN, luật dẫn APN lần lượt như sau. Hình 3a. PN Hình 3b. APN Trong đó: go ft t t  là thời gian bay còn lại. cn là gia tốc tên lửa 3Tn g là gia tốc mục tiêu 900c m V s  là vận tốc tiếp cận tương đối giữa tên lửa – mục tiêu ' 3N  là hằng số dẫn Tờn lửa & Thiết bị bay N. M. Hồng, B. N. Mỹ, T. Quý ,“Ứng dụng lý thuyết điều khiển tối ưu dẫn tờn lửa.” 28 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 thời gian (s) g ia t ố c ph áp t u y ến đ ò i h ỏ i (g ) PN APN 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 x 10 -5 thời điểm gặp t f (s) đ ộ t rư ợ t( m ) PN APN Hình 4a. Gia tốc pháp tuyến đòi hỏi Hình 4b. Sự biến thiên độ trượt Bằng phương pháp liên hợp [3] và sử dụng phần mềm MATLAB để mô phỏng, ta có sự biến thiên của độ trượt và gia tốc lệnh theo thời gian bay như hình 4a và 4b. Như ta thấy, khi coi hệ thống điều khiển lái là lý tưởng thì luật dẫn PN và APN rất hiệu quả theo tiêu chí độ trượt. Ngoài ra, bằng phương pháp giải tích thì ta dễ dàng tìm được dạng giải tích của gia tốc tên lửa, từ đó thì ta tính được tổng gia tốc tên lửa tạo ra khi áp dụng luật dẫn PN lớn gấp hai lần so với luật dẫn APN [6]. 4.1.2. Hệ thống điều khiển lái là khâu quán tính bậc một Tương tự, ta có sơ đồ vòng điều khiển cho hai luật dẫn lần lượt như sau Hình 5a. PN Hình 5b. APN Trong đó: 1 sT  : hằng số thời gian của khâu quán tính Ln : gia tốc tên lửa nhận được Ta cũng có sự biến đổi gia tốc tên lửa theo thời gian và độ trượt với các tham số sau: 3 ; ' 3; 10 sT fn g N t   (g = 9.81 2/m s : gia tốc trọng trường). 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 thời gian (s) g ia t ố c ph áp t u y ến đ ò i h ỏ i (g ) PN APN 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 thời điểm gặp t f (s) đ ộ t rư ợ t (m ) PN APN Hình 6a. Gia tốc pháp tuyến đòi hỏi. Hình 6b. Sự biến thiên độ trượt. Nghiờn cứu khoa học cụng nghệ Tạp chớ Nghiờn cứu KH&CN quõn sự, Số 35, 02 - 2015 29 Từ hình 6a và 6b, động lực học của hệ thống điều khiển lái ảnh hưởng lên gia tốc tên lửa, và đặc biệt là gây ra độ trượt lớn, làm giảm hiệu quả chiến đấu. 4.1. Luật dẫn tối ưu với hệ thống điều khiển bay là khâu quán tính bậc một Với biểu thức giải tích mô tả lệnh điều khiển tối ưu ở phương trình (17), (18) và (19),ta có kết quả mô phỏng như hình 7a và hình 7b như sau: Hình 7a cho thấy rằng, với luật dẫn tối ưu thì gia tốc cực đại của tên lửa nhỏ hơn so với gia tốc cực cực đại khi áp dụng luật dẫn PN cũng như luật dẫn APN. Ngoài ra thì đường cong gia tốc lệnh của luật dẫn OGL có dạng gần giống với đường cong gia tốc lệnh khi áp dụng luật dẫn APN trong trường hợp lý tưởng (hình 4a), tổng gia tốc tên lửa tạo ra gần tương đương so với tổng gia tốc tên lửa tạo ra khi áp dụng luật dẫn APN, tức là luật dẫn vẫn giữ được ưu thế về tổng gia tốc của luật dẫn APN. Hình 7b nói lên rằng, độ trượt khi áp dụng luật dẫn tối ưu là gần như đạt tới không với giátrị bất kỳ của thời gian bay. Nhờ đó mà nâng cao hiệu quả tiêu diệt mục tiêu của tên lửa, khắc phục được nhược điểm của luật dẫn PN và APN khi áp dụng vào vòng điều khiển tên lửa và có xét tới tính động lực học của hệ thống. Hình 7a. Gia tốc pháp tuyến đòi hỏi. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 thời điểm gặp t f (s) đ ộ t rư ợ t (m ) PN APN OGL Hình 7b. Sự biến thiên độ trượt. kết luận Bài báo đã trình bày một phương pháp tổng hợp luật dẫn cho Tên lửa ứng dụng lý thuyết điều khiển tối ưu, các kết quả mô phỏng cho thấy ưu điểm của phương pháp dẫn mới được tổng hợp so với các phương pháp dẫn kinh điển. Bằng việc áp dụng lý thuyết điều khiển tối ưu mà hiệu quả chiến đấu của tên lửa được nâng lên trên cả hai phương diện: năng lượng (tổng gia tốc tên lửa tạo ra) và độ chính xác tiêu diệt mục tiêu (độ trượt). Đây cũng là một hướng tiếp cận hiệu quả trong việc cải thiện, tổng hợp các luật dẫn Tên lửa mới đáp ứng được các yêu cầu của chiến tranh hiện đại và phương pháp này có thể được hoàn thiện, ứng dụng trong tương lai gần. Tài liệu tham khảo [1]. Advanced Control of Aircraft Spacecraft and Rockets – Ashish Tewari – 2011. [2]. Modern Homing Missile Guidance Theory and Techniques – Neil F. Palumbo, Ross A. Blauwkamp, and Justin M. Lloyd – 2010. [3]. Aerospace Applications of Adjoint Theory - Domenic Bucco – 2010. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 thời gian (s) g ia t ố c ph áp t u y ến đ ò i h ỏ i (g ) PN APN OGL 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 thời điểm gặp t (s) Tờn lửa & Thiết bị bay N. M. Hồng, B. N. Mỹ, T. Quý ,“Ứng dụng lý thuyết điều khiển tối ưu dẫn tờn lửa.” 30 [4]. Applied Optimal Control - Bryson, A. E., and Ho, Y. C., - Blaisdell, Waltham, MA - 1969. [5]. Guest Editor’s Introduction: Homing Missile Guidance and Control – Neil F. Palumbo – 2010. [6]. Tactical and Strategic Missile Guidance – Paul Zarchan – 2012. [7]. Liner Optimal Control – Brain D.O. Andreson and John B. Moore – 1971. abstract Application optimal control theory to synthesize missile guidance laws. These classical guidance laws such proportion navigation guidance is applied is very effective in missile guidance problems. However, the development of science and technology, the ability of enemy weapons and equipment improved a lot, especially maneuverability, evades so that it causes a lot of difficulties, reduce the fight results. Thus a new guidance laws to ensure effective target kills are needed. In this paper applies the optimal control theory to improve the efficiency of lead guided missiles. Keywords: The optimal control theory, Guidance law, Missiles. Nhận bài ngày 05 thỏng 08 năm 2014 Hoàn thiện ngày 02 thỏng 02 năm 2015 Chấp nhận đăng ngày 10 thỏng 02 năm 2015 Địa chỉ: * Học viện kỹ thuật quõn sự; ** Viện Khoa học và Cụng nghệ quõn sự.