Ứng dụng góc định hướng vào một số bài toán hình học phẳng - Nguyễn Đạt Đăng

HNUE JOURNAL OF SCIENCE DOI: 10.18173/2354-1059.2018-0001 Natural Science 2018, Volume 63, Issue 3, pp. 3-22 This paper is available online at ỨNG DỤNG GÓC ĐỊNH HƯỚNG VÀOMỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG Nguyễn Đạt Đăng1 và Lưu Công Đông2 1Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, 2Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Y Hà Nội Tóm tắt. Trong bài báo này chúng tôi sử dụng góc định hướng vào giải một số bài toán Hình học phẳng chọn lọc và sáng tạo một số bài toán hình học. Đây là những bài toán chủ yếu liên quan đến mối quan hệ giữa đường thẳng và đường tròn, đa giác và đường tròn nội ngoại tiếp chúng. Việc sử dụng góc định hướng sẽ tránh tình trạng xét thiếu trường hợp hoặc phải biện luận nhiều trường hợp như việc dùng góc vô hướng thông thường trong Hình học phổ thông. Từ khóa: Góc định hướng, điểm đồng viên, điểm thẳng hàng, đường thẳng đồng quy. 1. Cơ sở lý thuyết Trong lượng giác và số phức, người ta quan tâm tới sự chuyển động giữa hai tia để xây dựng các giá trị lượng giác hoặc là argumen. Thông qua góc định hướng, ta biết được hình dạng và vị trí của góc. Những kiến thức về góc định hướng đã được đề cập đến trong một số tài liệu [1-3], tuy nhiên trong các tài liệu này chưa đề cặp nhiều đến tính ứng dụng góc định hướng vào các bài toán. Trong phần cơ sở lí thuyết dưới đây, chúng tôi sẽ nhắc lại và xây dựng một số các tính chất hữu ích và thường xuyên xuất hiện trong các bài toán. 1.1. Góc định hướng giữa hai tia Định nghĩa 1.1. Cho góc hình học x̂Oy, nếu coi Ox là tia đầu và Oy là tia cuối, thì ta nói góc x̂Oy đã được định hướng (hoặc gọi là góc định hướng (Ox,Oy)). Số đo của góc định hướng (Ox,Oy) bằng số đo của một góc lượng giác bất kì trong tất cả các góc lượng giác có tia đầu Ox, tia cuối Oy. Ngày nhận bài: 13/3/2018. Ngày sửa bài: 20/3/2018. Ngày nhận đăng: 27/3/2018. Tác giả liên lạc: Nguyễn Đạt Đăng, địa chỉ email: dangnd@hnue.edu.vn 3 Nguyễn Đạt Đăng và Lưu Công Đông Định nghĩa 1.2. Với mỗi góc định hướng (Ox,Oy) cho trước, ta tìm được góc lượng giác (Ox,Oy) với số đo α (rad) trong đó: −π < α ≤ π. Khi đó α được gọi là giá trị chính của góc định hướng (Ox,Oy) thành thử ta viết số đo của góc định hướng (Ox,Oy) dưới dạng: Sđ(Ox,Oy) = α+k2π hoặc (Ox,Oy) = α (mod 2π), với α là giá trị chính. Định nghĩa 1.3. Góc định hướng (Ox,Oy) có tia đầu Ox trùng với tia cuối Oy được gọi là góc định hướng không và kí hiệu là (Ox,Ox) = 0 (mod 2π) hoặc (Oy,Oy) = 0 (mod 2π). Định nghĩa 1.4. Hai góc định hướng (Ox,Oy) và (Ou,Ot) chỉ khác nhau một bội của 2π, tức là (Ox,Oy) = (Ou,Ov) (mod 2π) thì ta nói hai góc này bằng nhau. Định nghĩa 1.5. Cho hai góc định hướng có số đo là α và β. Tổng của hai góc đó là một góc định hướng có số đo là α+ β. Hiệu của hai góc đó là một góc định hướng có số đo là α+ (−β) hoặc α− β. Nếum là một số nguyên cho trước thì tích của m với góc có số đo α là một góc định hướng có số đo bằng m.α. 1.2. Góc định hướng giữa hai đường thẳng Cho hai đường thẳng cắt nhau x và y. Hai đường thẳng đó lập thành bốn góc mà mỗi góc hình học có số đo từ 0◦ đến 180◦. Góc có số đo nhỏ nhất trong bốn góc đó được gọi là góc hình học giữa hai đường thẳng x và y, được kí hiệu là (x, y) hoặc (y, x). Trên cơ sở này, ta có khái niệm góc định hướng giữa hai đường thẳng. Định nghĩa 1.6. Cho góc hình học tạo bởi hai đường thẳng x và y. Nếu coi x là cạnh đầu và y là cạnh cuối thì ta nói góc giữa hai đường thẳng x và y đã được định hướng (hoặc gọi là góc định hướng (x, y)). Số đo của góc định hướng (x, y) là số đo của góc định hướng giữa hai tia có chung đỉnh O và hai cạnh nằm trên hai đường thẳng x và y [1] . Nhận xét 1.1. Từ định nghĩa này, ta suy ra rằng nếu α là số đo của góc giữa hai tia nằm trên x và y thì số đo của góc định hướng giữa x và y là: Sđ(x, y) = α+ kπ (k ∈ Z) hoặc (x, y) = α (mod π). Trong đó α được gọi là giá trị chính. Định nghĩa 1.7. Cho hai góc (x, y) = α, (x′, y′) = β. Khi đó: (x, y) = (x′, y′) (mod π) khi và chỉ khi giá trị chính của hai góc bằng nhau. Định nghĩa 1.8. Cho hai góc (x, y) = α, (x′, y′) = β. Khi đó: (x, y)± (x′, y′) = α± β. k(x, y) = kα(k 6= 0). 4 Ứng dụng góc định hướng vào một số bài toán hình học phẳng 1.3. Một số kết quả về góc định hướng Định lí 1.1. Cho hai điểm phân biệt A,B và góc α (khác 0 và π). Tập hợp các giao điểm M của hai đường thẳng x và y lần lượt đi qua A và B sao cho (x, y) = α (mod π) là một đường tròn đi qua A và B (trừ A,B). Trường hợp x ‖ y thì góc định hướng (x, y) = 0 (mod π). Định lí 1.2. (Hệ thức Chasles) Với x, y, z là 3 đường thẳng bất kì thì: (x, y) + (y, z) = (x, z) (mod π). Định lí 1.3. Bốn điểm phân biệt A,B,C,D cùng nằm trên một đường thẳng khi và chỉ khi: (CA,CB) = (DA,DB) = 0 (mod π). Định lí 1.4. Bốn điểm phân biệt A,B,C,D cùng nằm trên một đường tròn khi và chỉ khi: (AC,AB) = (DC,DB) 6= 0 (mod π). Định lí 1.5. (Hệ thức Chasles trong tam giác). Với mọi tam giác ABC , ta có: (BA,BC) + (CB,CA) + (AC,AB) = 0 (mod π). Định lí 1.6. Nếu I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC thì: (IA, IB) = π 2 + 1 2 (CA,CB) (mod π) Hệ quả 1.1. Cho tam giác ABC . Khi đó các điều kiện sau là tương đương: (i) Tam giác ABC cân tại A. (ii) (BA,BC) = (CB,CA) (mod π). (iii) (AB,AC) = 2(CB,CA) (mod π) [2] . 5 Nguyễn Đạt Đăng và Lưu Công Đông Hệ quả 1.2. (Định lí Miquel) Cho tam giác ABC vàM,N,P lần lượt nằm trên các đường thẳng chứa các cạnh BC,CA,AB. Khi đó các đường tròn (ANP ), (BPM), (CMN) có một điểm chung. Điểm này được gọi là điểm Miquel của bộ ba đường tròn (ANP ), (BPM), (CMN). 2. Ứng dụng góc định hướng Các bài toán sau đây chủ yếu bao gồm những bài toán do tác giả sáng tác ra dựa trên việc sử dụng góc định hướng, còn lại là một số bài toán do tác giả sưu tầm. Những bài không chỉ ra nguồn tài liệu tham khảo là những bài do tác giả sáng tác, còn những bài toán do tác giả sưu tầm sẽ được chỉ rõ nguồn tài liệu sưu tầm. Bài toán 2.1. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), đường tròn đường kính AB cắt đường tròn đường kính BC lần thứ hai tạiN và cắt đường tròn đường kính AD lần thứ hai tại P . Đường tròn đường kính CD cắt đường tròn đường kính BC lần thứ hai tại M và cắt đường tròn đường kính AD lần thứ hai tại Q. Chứng minh rằng 4 điểmM,N,P,Q đồng viên. 6 Ứng dụng góc định hướng vào một số bài toán hình học phẳng Lời giải: Bài toán này là một trường hợp riêng của bài toán sau đây: Bài toán 2.2. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Ký hiệu (O1) là đường tròn qua A,B, (O2) qua B,C, (O3) qua C,D, (O4) qua A,D. Ký hiệu : (O1)∩ (O2) = N, (O2)∩ (O3) = P, (O3)∩ (O4) = Q, (O1)∩ (O4) =M . Biết ( (Oi) 6= (Oj)∀i 6= j, i, j = 1, 4) ) , chứng minh rằng M,N,P,Q đồng viên. Theo hệ thức Chasles, ta có: (MN,MQ) = (MN,MA) + (MA,MQ) = (BN,BA) + (DA,DQ) (mod π) và (PN,PQ) = (PN,PC) + (PC,PQ) = (BN,BC) + (DC,DQ)(mod π). Mặt khác, tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp nên (BC,BA) = (DC,DA) (mod π). Do đó: (BC,BN) + (BN,BA) = (DC,DQ) + (DQ,DA) ⇔ (PC,PN) + (MN,MA) = (PC,PQ) + (MQ,MA) (mod π). Vậy (MN,MQ) = (PN,PQ) (mod π) nên 4 điểmM,N,P,Q đồng viên. Nhận xét 2.1. Khi (QD,QP ) = (CD,CP ) = 0 (mod π) (ta có thể coi CD là một đường tròn có bán kính vô cùng lớn) thìM,N,P,Q vẫn cùng nằm trên một đường tròn. Ta có bài toán sau đây: 7 Nguyễn Đạt Đăng và Lưu Công Đông Bài toán 2.3. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), đường tròn (O2) đi qua hai điểm B,C cắt đoạn thẳng CD tại P , đường tròn (O4) đi qua hai điểm A,D cắt đoạn thẳng CD tại Q. Đường tròn (O1) đi qua hai điểm A,B cắt (O4) và (O2) lần lượt tạiM,N . Chứng minh rằng: M,N,P,Q đồng viên. Tương tự, ta cũng có bài toán sau: Bài toán 2.4. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Đường tròn (O1) đi qua 2 điểm A,B cắt đường thẳng BC tại P và đường tròn (O2) đi qua 2 điểm A,D cắt đường thẳng CD tại Q. (O1) cắt (O2) lần thứ hai tạiM . Chứng minh rằng P,M,Q thẳng hàng. Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là với giả thiết tương tự như Bài toán 2.2 khẳng định còn đúng không nếu ta thay "tứ giác" bởi đa giác? Sử dụng Bài toán 2.3, ta có được bài toán sau: Bài toán 2.5. Cho lục giác lồi ABCDEF nội tiếp đường tròn (O). Đường tròn bất kì đi qua 2 điểm A,B cắt hai đường chéo AD và BE lần lượt tạiM và N . Đường tròn bất kì đi qua 2 điểm D,E cắt hai đường chéo AD và BE lần lượt tại Q và R. Đường tròn (AMF ) cắt đường tròn (EFR) lần thứ hai tại S và đường tròn (BNC) cắt đường tròn (DQC) lần thứ hai tại tại P . Chứng minh rằng 6 điểmM,N,P,Q,R, S đồng viên. 8 Ứng dụng góc định hướng vào một số bài toán hình học phẳng Lời giải: Áp dụng kết quả của Bài toán 2.3 cho các tứ giác ABEF ABCD và BCDE, ta thu đượcM,N,P,Q,R, S đồng viên. Nhận xét: Trong lời giải của Bài toán 2.2, yếu tố nội tiếp đóng vai trò quyết định. Khi đó (BA,BC) = (DA,DC) 6= 0 (mod π). Bây giờ ta sẽ giả thiết rằng A,B,C,D thẳng hàng tức là (BA,BC) = (DA,DC) = 0 (mod π), ta có bài toán sau đây: Bài toán 2.6. Cho các điểm A,B,C,D theo thứ tự đó nằm trên cùng một đường thẳng. Ký hiệu (O1) là đường tròn qua A,B, (O2) qua B,C, (O3) qua C,D, (O4) qua A,D. Ký hiệu : (O1) ∩ (O2) = B1, (O2) ∩ (O3) = C1, (O3) ∩ (O4) = D1, (O1) ∩ (O4) = A1. Chứng minh rằng A1, B1, C1,D1 đồng viên hoặc thẳng hàng. Lời giải Theo đề bài ta có: (B1A1, B1C1) = (B1A1, B1B) + (B1B,B1C1) = (AA1, AB) + (CB,CC1)=(AA1, AD) + (CD,CC1) = (D1A1,D1D) + (D1D,D1C1) = (D1A1,D1C1) (mod π). Điều này chứng tỏ A1, B1, C1,D1 đồng viên hoặc thẳng hàng. 9 Nguyễn Đạt Đăng và Lưu Công Đông Khi coi tam giác là một tứ giác có hai đỉnh trùng nhau, ta thu được bài toán sau đây: Bài toán 2.7. Cho tam giác ABC , D nằm trên đoạn thẳng AB,DE ‖ BC(E ∈ AC). Đường tròn đi qua B,C cắt đường tròn đi qua A,C và đường tròn đi qua A,B lần lượt tại P và N . Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE cắt đường tròn đi qua A,C và đường tròn đi qua A,B lần lượt tạiM và Q. Chứng minh rằng: M,N,P,Q đồng viên. Lời giải. Ta có: (MP,MQ) = (MP,MA) + (MA,MQ) = (CP,CA) + (DA,DQ) = (CP,CA) + (DA,DE) + (DE,DQ) Mặt khác (NP,NQ) = (NP,NB) + (NB,NQ) = (CP,CB) + (AB,AQ) (2) Ta suy ra (MP,MQ)− (NP,NQ) = (CB,CA)+ (BA,BC)+ (AC,AB) = 0 (mod π) ⇔ (MP,MQ) = (NP,NQ) (mod π). Vậy 4 điểmM,N,P,Q đồng viên. Bài toán 2.3 cho ta gợi ý về một bài toán mới khi các cặp điểm giao đôi một của các cặp đường tròn nằm trên đường chéo của đa giác. Bài toán 2.8. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), đường tròn đi qua A,B cắt hai đường chéo AC và BD lần lượt tạiM vàN , đường tròn đi qua C,D cắt hai đường chéo AC và BD lần lượt tại P và Q. Chứng minh rằngM,N,P,Q đồng viên. Lời giải: Ta có: (MN,MP ) = (MN,MA) = (BN,BA) = (CD,CA) = (CD,CP ) = (QD,QP ) = (QN,QP ). Vậy 4 điểmM,N,P,Q đồng viên. 10 Ứng dụng góc định hướng vào một số bài toán hình học phẳng Nhận xét: Điều kiện cần và đủ để M trùng với P , N trùng với Q là hai đường thẳng AB và CD song song với nhau. Bài toán 2.9. Cho tam giác ABC và các đường trung tuyến AD,BE,CF đồng quy tại trọng tâm G. Gọi M,N,P,Q lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp (DGF ), (BGF ), (DGE) và (CGE). (i) Chứng minh rằng bốn điểmM,N,P,Q đồng viên. (ii) Gọi M ′, N ′, P ′, Q′ lần lượt đối xứng với G qua M,N,P,Q. Chứng minh rằng M ′, N ′, P ′, Q′ đồng viên. Lời giải: (i) Ta có: (MN,MG) = 1 2 (MF,MG) = (BF,BG) = (ED,EG) = 1 2 (PD,PG) = (PN,PG). Vậy 4 điểm M,N,G,P đồng viên. Chứng minh tương tự, ta có 4 điểm N,G,P,Q đồng viên. Do đó 5 điểmM,N,P,Q,G đồng viên 11 Nguyễn Đạt Đăng và Lưu Công Đông (ii) Xét phép vị tự T kG tâm G tỷ số k = 2. Do M,N,P,Q đồng viên nên M ′, N ′, P ′, Q′ cùng nằm trên đường tròn ảnh của đường tròn (MNPQ). Bài toán 2.10. Cho tứ giác ABCD. Đường tròn Γ đi qua hai điểm A,B cắt đường chéo AC tại N . Đường tròn (DNC) cắt Γ lần thứ hai tạiM . Chứng minh rằngM ∈ BD⇔ AB ‖ CD. Lời giải: Ta có: (MB,MD) = (MB,MN) + (MN,MD) = (AB,AN) + (CN,CD) = (CD,CN) + (CN,CD) = 0(mod π). NênM thuộc BD. Bây giờ, ta sẽ xây dựng bài toán dựa trên sự giao nhau giữa các đường tròn và các cạnh bên của hình thang. Bài toán 2.11. Cho hình thang ABCD cóAB ‖ CD. Đường tròn đi qua hai điểmA,B cắt đường thẳng AD tại N và cắt đường thẳng BC tạiM . Chứng minh rằng 4 điểmM,N,C,D đồng viên. Gợi ý: Ta có: (MN,MC) = (MN,MB) = (AN,AB) = (DN,DC). Vậy 4 điểm M,N,C,D đồng viên. 12 Ứng dụng góc định hướng vào một số bài toán hình học phẳng Khi coi tam giác ABC là một tứ giác có hai đỉnh trùng nhau, ta thu được bài toán sau đây: Bài toán 2.12. Cho tam giác ABC , điểm M thuộc đường thẳng AB. Đường tròn đi qua A,M cắt đường thẳng AC tại N . Chứng minh rằng: B,M,N,C đồng viên khi và chỉ khi tiếp tuyến (d) tại A của đường tròn (AMN) song song với BC . Lời giải: Ta có : (MN,MB) = (MN,MA) = (AC, d) = (CA,CB) = (CN,CB). Tiếp theo,chúng tôi sẽ trình bày lời giải của bài 4, đề thi IMO - 2017 bằng việc sử dụng một số kết quả trên Bài toán 2.13. (Bài 4, đề thi IMO 2017) Cho R và S là hai điểm phân biệt trên đường tròn Ω sao cho RS không phải là đường kính. Cho ℓ là tiếp tuyến tại R của Ω. Lấy điểm T sao cho S là trung điểm của đoạn thẳng RT . Lấy điểm J trên cung nhỏ RS của Ω sao cho đường tròn ngoại tiếp Γ của tam giác JST cắt ℓ tại hai điểm phân biệt. Gọi A là giao điểm gần R nhất của Γ và ℓ. Đường thẳng AJ cắt lại Ω tại K. Chứng minh rằng KT tiếp xúc với Γ. Lời giải: Theo Bài toán 2.11, trong tứ giác ATKR có (AJST ), (RKSJ) và đường chéo AK cùng đi qua điểm J nên RK ‖ AT . 13 Nguyễn Đạt Đăng và Lưu Công Đông GọiH là điểm đối xứng với A qua S. Khi đó ARHT là hình bình hành, suy ra TH ‖ AR. Theo Bài toán 2.12, bốn điểmH,K,S, T đồng viên. Ta có: (AS,AT ) = (HS,HK) = (TS, TK) nên KT tiếp xúc với Γ. Kết luận: Đặc biệt hóa, khái quát hóa các bài toán là một cách hữu hiệu để từ một bài toán đơn giản ta có được một bài toán mới thú vị hơn và có tính ứng dụng cao hơn. Bài toán 2.14. (Tham khảo trong [3])Cho tam giác ABC và các điểmA1, A2 nằm trên đường thẳng BC (khác B,C), B1, B2 nằm trên đường thẳng AC (khác A,C) , C1, C2 nằm trên đường thẳng AB (khác A,B). Gọi M1 là điểm Miquel của bộ ba đường tròn (AB1C1), (BC1A1), (CA1B1) và M2 là điểm Miquel của bộ ba đường tròn (AB2C2), (BC2A2), (CA2B2). Kí hiệu D,E,F lần lượt là giao điểm thứ hai của các cặp đường tròn : (AB1C1) và (AB2C2), (BC1A1) và (BC2A2), (CA1B2) và (CA2B2). Chứng minh rằng:(i) Các điểm D,E,F,M1,M2 cùng nằm trên một đường tròn. Ta kí hiệu đường tròn này là (ω); (ii) Các đường thẳng AD, BE, CF đồng quy tại một điểm nằm trên (ω). Lời giải. (i) Ta sẽ chứng minhM2,M1,D, F đồng viên. Thật vậy: (M2D,M2F ) = (M2D,M2B2) +(M2B2,M2F ) = (AD,AB2) + (CB2, CF ) = (AD,CF ) = (AD,AB1) + (CB1, CF ) = (M1D,M1B1) + (M1B1,M1F ) = (M1D,M1F ) (mod π). Chứng minh tương tự ta cóM2,M1,D,E đồng viên. Vậy D,E,F,M1,M2 cùng nằm trên một đường tròn (ω) hoặc cùng nằm trên một đường thẳng. (ii) Giả sử D,E,F,M1,M2 cùng nằm trên một đường tròn (ω). Gọi giao điểm của AD với đường tròn (ω) là J . Ta có: (JF, JC)=(JF,M2F ) + (M2F, JC) = (JD,M2D) + (B2M2, B2C) = (AD,M2D) + (B2M2, B2A) = (AD,M2D) + (DM2,DA) = 0 (mod π). Tương tự, (EJ,EB) = 0 (mod π) Vậy đường thẳng AD,BE,CF đồng quy tại J. 14 Ứng dụng góc định hướng vào một số bài toán hình học phẳng Bài toán 2.15. (Tham khảo trong [3]) Cho tam giác ABC và điểmM nằm trong mặt phẳng của tam giác (M không nằm trên các đường thẳng AB,BC,CA). Ký hiệu A1, B1, C1 lần lượt là ảnh của M trong phép đối xứng tương ứng qua các trung điểm của BC,CA,AB. (i) Chứng minh rằng các đường tròn (A1BC), (B1AC), (C1AB) có một điểm chung M ′. (ii) Trung điểm E củaMM ′ nằm trên đường tròn cố định khiM thay đổi. Lời giải: Gọi giao điểm của (A1BC) và (C1AB) làM ′. Ta có: (M ′A,M ′B) = (C1A,C1B), (M ′B,M ′C) = (A1B,A1C). Sử dụng Hệ thức Chasles, ta có: (M ′A,M ′C) = (M ′A,M ′B) + (M ′B,M ′C) = (C1A,C1B) + (A1B,A1C) = −(MA,MB) − (MB,MC) = −(MA,MC) = (B1A,B1C). Suy ra M ′ nằm trên đường tròn (B1AC). Vậy (A1BC), (B1AC), (C1AB) có một điểm chungM ′. Ta có: (EK,EQ) = (M ′C1,M ′B1) = (M ′C1,M ′A)+ (M ′A,M ′B1)=(BC1, BA) + (CA,CB1)= (AM,AB)+(AC,AM) = (AC,AB) = (PK,PQ) (mod π). Do đó E nằm trên đường tròn (KQP), tức là đường tròn Euler của tam giác ABC. Bài toán 2.16. (Tham khảo trong [4]) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Một đường thẳng không đi qua qua I cắt BI,CI lần lượt tại các điểmM,N . (i) Chứng minh rằng MN ⊥ AI khi và chỉ khi các điểm M,N,B,C cùng nằm trên một đường tròn. (ii) Ký hiệu A1, B1, C1 là các tiếp điểm của (I) với BC,CA,AB tương ứng. Chứng minh rằng M,N nằm trên đường tròn đường kính BC khi và chỉ khi đường thẳng MN đi qua B1 và C1. Lời giải: (i) Giả sử rằng (MN,AI) = π 2 (mod π). Trường hợp (MN,AI) = −π 2 (mod π) chứng minh tương tự. Theo định lí Chasles, ta có: (MN,MB) = (MN,AI) + (AI,MB) = π 2 + (IA, IB) = 15 Nguyễn Đạt Đăng và Lưu Công Đông pi 2 + pi 2 + 1 2 (CA,CB) = (CN,CB) (mod π) nên bốn điểmM,N,B,C cùng nằm trên một đường tròn. Ngược lại, giả sử M,N,B,C cùng nằm trên một đường tròn khi đó: (MN,MB) = (CN,CB). Ta có: (MN, IA) = (MN,MB) + (MB, IA) = (CN,CB) + π 2 + 1 2 (CA,CB) = π 2 (mod π). Ta có điều phải chứng minh. (ii) Nếu đường thẳng MN đi qua hai điểm B1 và C1 thì MN ⊥ AI . Theo câu (a) tứ giác MNBC nội tiếp suy ra (MB1,MI) = (MN,MB) = (CN,CB) = (CB1, CI) (mod π). Do đó MB1IC là tứ giác nội tiếp. Suy ra: (MI,MC) = (B1I,B1C) = π 2 (mod π). Vậy điểm M thuộc đường tròn đường kính BC, chứng minh tương tự đối với điểm N. Ngược lại, nếu M,N nằm trên đường tròn đường kính BC thì các tứ giác MB1IC , BC1NI là các tứ giác nội tiếp. Ta sẽ chứng minh điểm M,N và B1 thẳng hàng bằng cách chỉ ra (B1M,B1N) = 0 (mod π). Chứng minh M,N và C1 thẳng hàng tương tự. Ta có: (B1M,B1N) = (B1M,B1C) + (B1C,B1N). Ta có: (B1M,B1C) = (IM, IC) = (IB, IC) = π 2 + 1 2 (AC1, AB1) = π 2 + (AI,AB1). Mặt khác: (B1C,B1N) = (BC,BN). Suy ra (B1M,B1N) = 0 (mod π). Vậy ta có M, N, C1,B1 thẳng hàng. Bài toán 2.17. Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong mặt phẳng của tam giác (M khác các đỉnh tam giác). Ký hiệu A1, B1, C1 lần lượt là ảnh của A,B,C trong phép đối xứng quaM . (i) Chứng minh rằng các đường tròn (A1BC), (B1AC), (C1AB) có một điểm chung và ta kí hiệu điểm chung này là D. (ii) Chứng minh rằng các đường tròn (A1B1C), (A1C1B), (B1C1A) có một điểm chung. 16 Ứng dụng góc định hướng vào một số bài toán hình học phẳng Lời giải: (i) Gọi D là giao điểm của (A1BC) và (C1AB). Ta có: (DA,DC) = (DA,DB) + (DB,DC) = (C1A,C1B) + (A1B,A1C) (mod π). Mà ta có: A1C ‖ AC1 và C1B ‖ CB1 nên (C1A,C1B) = (A1C,B1C) (mod π). Tương tự, ta có (A1B,A1C) = (B1A,A1C) (mod π). Từ đó: (DA,DC) = (A1C,B1C) + (B1A,A1C) = (B1A,B1C) (mod π). Điều này chứng tỏ DACB1 là tứ giác nội tiếp. Vậy D nằm trên đường tròn (B1AC). Vậy 3 đường tròn (A1BC), (B1AC), (C1AB) cùng đi qua điểm D. (ii) Gọi E là giao điểm của (A1B1C) và (A1C1B). Ta thấy: (EC1, EB1) = (EC1, EA1)+ (EA1, EB1) = (BC1, BA1) + (CA1, CB1)= (B1C,B1A) + (AC1, BC1)=(BC1, AB1) + (AC1, BC1) = (AC1, AB1) Ta có điều phải chứng minh. 17 Nguyễn Đạt Đăng và Lưu Công Đông Bài toán 2.18. (Tham khảo trong [4]) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Đường thẳng AD cắt BC tạiM , đường thẳng AB cắt CD tại N , đường thẳng AC cắt BD tại P . Đường tròn (ABP ) và đường tròn (CDP ) cắt nhau lần thứ hai tại E, đường tròn (ADP ) cắt đường tròn (BCP ) lần thứ hai tại F . Chứng minh rằng: (i) Các điểm E,M,O thẳng hàng và các điểm F,N,O thẳng hàng. (ii) Điểm O là trực tâm của tam giácMPN . Lời giải: (i) Ta có (EA,ED) = (EA,EP ) + (EP,ED)= (BA,BP ) + (CP,CD) = (OA,OD) nên tứ giác AEOD nội tiếp. Tương tự BEOC cũng là tứ giác nội tiếp. Mà MA.MD = MB.MC nên M nằm trên trục đẳng phương của (AEOD) và (BEOC). Suy ra E, M, O thẳng hàng. Trường hợp F,N,O tương tự. (ii) Dễ chứng minh M,P,F thẳng hàng và N, P, E thẳng hàng. Ta có: (EP,EO) = (EP,ED) + (ED,EO) = (CP,CD) + (AD,AO) = 1 2 (OA,OD) + 1 2 (OD,OA) + pi 2 = pi 2 (mod π) nên OM ⊥ EN . Chứng minh tương tự ta cóMF ⊥ ON . Vậy O là trực tâm của△MPN . Nhận xét 2.2. Dựa vào Hệ thức Chasles,ta không những tìm ra mối quan hệ giữa các góc nội tiếp mà còn chứng minh được quan hệ vuông góc. Bài toán 2.19. (Tham khảo trong [5]) Cho tam giác ABC và điểmM nằm trong mặt phẳng của tam giác (M không nằm trên các đường thẳng AB,BC,CA). Ký hiệu A1, B1, C1 lần lượt là ảnh củaM trong phép đối xứng qua BC,CA,AB. (i) Chứng minh rằng các đường tròn (A1BC), (B1AC), (C1AB) có một điểm chung. (ii) Chứng minh rằng các đường tròn (A1B1C), (A1C1B), (B1C1A) có một điểm chung. 18 Ứng dụng góc định hướng vào một số bài toán hình học phẳng Lời giải: (i) Gọi D là giao điểm của (A1BC) và (C1AB) ta có: (DA,DB) = (C1A,C1B), (DB,DC) = (A1B,A1C).Từ đó : (DA,DC) = (DA,DB) + (DB,DC) = (C1A,C1B) + (A1B,A1C) = −(MA,MB) − (MB,MC) = −(MA,MC) = (B1A,B1C). Vậy D nằm trên đường tròn (B1AC). Vậy ba đường tròn cùng đi qua điểm D. (ii) Gọi E là giao điểm của (A1B1C) và (A1C1B). Ta có: (EA1, EB1) = (CA1, CB1) = (CA1, CM) + (CM,CB1) = 2(CB,CM) + 2(CM,CA) = 2(CB,CA). Tương tự (EC1, EA1) = 2(BA,BC). Từ đó suy ra (EC1, EB1) = (EC1, EA1) + (EA1, EB1) = 2(AB,AC) = (AC1, AB1) vậy E thuộc đường tròn ngoại tiếp△AB1C1. Nhận xét 2.3. Trung điểm của đoạn thẳng DM cũng nằm trên đường tròn Euler của tam giác ABC . Chứng minh tương tự Bài toán 2.15. Bài toán 2.20. (Đề thi HSG Quốc Gia 2012) Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn tâm O và có các cặp cạnh đối không song song. GọiM,N tương ứng là giao điểm của các đường thẳng AB và CD,AD và BC . Gọi P,Q, S,R tương ứng là giao điểm các đường phân giác trong của 19 Nguyễn Đạt Đăng và Lưu Công Đông các cặp góc M̂AN và M̂BN , M̂BN và M̂CN , M̂CN và M̂DN , M̂DN và M̂AN . Giả sử bốn điểm P,Q, S,R đôi một phân biệt. (i) Chứng minh rằng bốn điểm P,Q, S,R cùng nằm trên một đường tròn. Gọi I là tâm đường tròn đó. (ii) Gọi E là giao điểm các đường chéo AC và BD. Chứng minh rằng ba điểm E,O, I thẳng hàng. Lời giải: (i) Không mất tính tổng quát giả sử A nằm giữa N và D,C nằm giữa D vàM . Dễ thấy P là tâm đường tròn bảng tiếp góc A của △NAB, S tâm đường tròn bàng tiếp góc D của △NDC nên P, S,N thẳng hàng. Chứng minh tương tự Q,T,M thẳng hàng. Ta có: (TQ, TP ) = (TM,TA) = pi 2 + 1 2 (DM,DA) = pi 2 + (DC,DN) = (SC, SN) = (SQ,SP ) do đó PSTQ là tứ giác nội tiếp. (ii) Dễ thấy T là tâm đường tròn bàng tiếp góc D của△ADM nên (TA, TM) = 1 2 (DA,DM)=(TA, TQ). (BA,BQ)=(BA,BN)+(BN,BQ)= (BA,BC)+ 1 2 (BN,BM)= (DA,DM)+1 2 (BC,BA) =(DN,DM)+ 1 2 (DM,DN) = 1 2 (DA,DM). Do đó (TA, TQ) = (BA,BQ) (mod π). Vậy tứ giác ARQB là tứ giác nội tiếp suy ra MB.MA=MT.MQ do đóM nằm trên trục đẳng phương của (O) và (I). Chứng minh tương tự N cũng nằm trên trục đẳng phương của (O) và (I), như vậy MN là trục đẳng phương của (O) và (I) và MN ⊥ OI . Mặt khác theo Bài toán 2.18 thì điểm E là trực tâm của tam giác MON nên OE ⊥MN suy ra O,E, I thẳng hàng. Nhận xét 2.4. Sử dụng góc định hướng ta nhận thấy rằng ý (a) của bài toán vẫn đúng khi ABCD là một tứ giác bất kỳ và phát hiện được một số các tính chất sau: (i) Giao điểm đôi một của bốn đường phân giác trong của các góc A,B,C,D cũng nằm trên một đường tròn. 20 Ứng dụng góc định hướng vào một số bài toán hình học phẳng (ii) Giao điểm đôi một của bốn đường phân giác ngoài của các góc A,B,C,D nằm trên một đường tròn 3. Một số bài toán ứng dụng Bài toán 3.1. Cho △ABC và ba điểm phân biệt M,N,P nằm trên đường thẳng (d) bất kì nằm trong mặt phẳng chứa tam giác. Các điểm D,E,F theo thứ tự nằm trên các đường thẳng chứa các cạnh BC,CA,AB (Kí hiệu A1, B1, C1 theo thứ tự lần lượt là giao điểm củaMA,MB,MC với (AEF ), (BFD), (CED). Dựng hình tương tự đối với N và P . (i) Chứng minh rằng (AEF ), (BFD), (CED) có một điểm chung và ta kí hiệu điểm này là I. (ii) Chứng minh rằng nếu (A1B1C1), (A2B2C2), (A3B3C3) có một điểm chung khác I thì điểm chung đó nằm trên đường thẳng (d). Bài toán 3.2. Dựng đường tròn tâm J bàng tiếp tam giác ABC , đường tròn này tiếp xúc với BC tại M và phần kéo dài đường thẳng AB,AC tại E, F. Dựng một đường thẳng qua J cắt AC tại P và BJ tại Q. (i) Chứng minh rằng đường thẳng PQ vuông góc với JC khi và chỉ khi AQJP là tứ giác nội tiếp. (ii) Chứng minh rằng nếu PQ đi qua M và F thì Q là hình chiếu của A trên BQ. Bài toán 3.3. Cho x̂Oy và B là điểm cố định trên Ax (B 6= A). Với mỗi điểm C nằm trên tia Ay ta dựng đường tròn tâm J tiếp xúc với AC tại M và phần kéo dài cạnh BC,AB của tam giác ABC tương ứng tại N và E. 21 Nguyễn Đạt Đăng và Lưu Công Đông (i) Chứng minh rằng MN đi qua một điểm cố định khi C thay đổi. Gọi F là giao điểm của ME và JC. (ii) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác (JEF ) đi qua một điểm cố định khi C thay đổi. Bài toán 3.4. Cho tam giác ABC vuông tại B. Vẽ đường tròn tâm C và giả thiết rằng đường tròn này không có điểm chung với đường thẳng AB. Từ A kẻ tới đường tròn tâm C các tiếp tuyến AP, AQ( P, Q là các tiếp điểm và AQ nằm trong góc (BAP ) ). M là chân đường vuông góc hạ từ B xuống đường thẳng PQ. Đường tròn đường kính AB cắt lại các đường thẳng AP,AQ tại các điểm E và F.Chứng minh ràngM,E,F thẳng hàng. Bài toán 3.5. Giả sử ABCD là một tứ giác lồi. Phép đối xứng qua BC biến tứ giác đó thành tứ giác A′BCD′. Phép đối xứng qua CD′ biến A′BCD′ thành A′′B′CD′. Phép đối xứng quaD′A′′ biến A′′B′CD′ thành A′′B′′C ′D′. Chứng minh −−−→ A′′B′′ = −−→ AB là điều kiện cần và đủ để ABCD nội tiếp. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đỗ Thanh Sơn, 2010. Nâng cao và phát triển toán Hình học 11. Nxb Giáo Dục, Hà Nội. [2] Nguyễn Minh Hà, 2015. Góc định hướng trong hình học phẳng. Nxb Giáo Dục, Hà Nội. [3] Nguyễn Minh Hà, 2016. Hướng trong hình học phẳng. Nxb Giáo Dục, Hà Nội. [4] Các bài thi olympic Toán THPT Việt Nam (1990 - 2006), Tủ sách Toán học và tuổi trẻ, Nxb Giáo Dục, năm 2006. [5] Transformational Plane Geometry, Ronald N. Umble, Zhigang Han, 1998. ABSTRACT Applications of oriented angles in some geometric problems In this paper we use the oriented angles to solve geometric problems and create some problems of geometry. These are featured problems that are related to the relation between straight lines and circles, polygons, and circumcircles. Using oriented angles will avoid the lack of cases or the discursion when using scalar angles. Keywords: Oriented angles, inscribed circle points, collinear points, concurrent lines. 22