Tuyển tập Bất đẳng thức

Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng 4 III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki 1. Chứng minh: (ab + cd)2 £ (a2 + c2)(b2 + d2) BĐT Bunhiacopxki 2. Chứng minh: + £sinx cosx 2 3. Cho 3a – 4b = 7. Chứng minh: 3a2 + 4b2 ³ 7. 4. Cho 2a – 3b = 7. Chứng minh: 3a2 + 5b2 ³ 725 47 . 5. Cho 3a – 5b = 8. Chứng minh: 7a2 + 11b2 ³ 2464 137 . 6. Cho a + b = 2. Chứng minh: a4 + b4 ³ 2. 7. Cho a + b ³ 1 Chứng minh: + ³2 2 1a b 2 Lời giải: I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản: 1. Cho a, b > 0 chứng minh: + +æ ö³ ç ÷ è ø 33 3a b a b 2 2 (*) (*) Û + +æ ö- ³ç ÷ è ø 33 3a b a b 0 2 2 Û ( )( )+ - ³23 a b a b 0 8 . ĐPCM. 2. Chứng minh: + +£ 2 2a b a b 2 2 («) ÷ a + b £ 0 , («) luôn đúng. ÷ a + b > 0 , («) Û + + +- £ 2 2 2 2a b 2ab a b 0 4 2 Û ( )- ³ 2a b 0 4 , đúng. Vậy: + +£ 2 2a b a b 2 2 . 3. Cho a + b ³ 0 chứng minh: + +³ 3 3 3a b a b 2 2 Û ( )+ + £ 3 3 3a b a b 8 2 Û ( )( )- - £2 23 b a a b 0 Û ( ) ( )- - + £23 b a a b 0 , ĐPCM. 4. Cho a, b > 0 . Chứng minh: + ³ +a b a b b a («) («) Û + ³ +a a b b a b b a Û ( ) ( )- - - ³a b a a b b 0 Û ( )( )- - ³a b a b 0 Û ( ) ( )- + ³2a b a b 0 , ĐPCM. 5. Chứng minh: Với a ³ b ³ 1: + ³ ++ +2 2 1 1 2 1 ab1 a 1 b («) Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 1 PHẦN I: LUYỆN TẬP CĂN BẢN I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản: 1. Cho a, b > 0 chứng minh: + +æ ö³ ç ÷ è ø 33 3a b a b 2 2 2. Chứng minh: + +£ 2 2a b a b 2 2 3. Cho a + b ³ 0 chứng minh: + +³ 3 3 3a b a b 2 2 4. Cho a, b > 0 . Chứng minh: + ³ +a b a b b a 5. Chứng minh: Với a ³ b ³ 1: + ³ ++ +2 2 1 1 2 1 ab1 a 1 b 6. Chứng minh: ( )+ + + ³ + +2 2 2a b c 3 2 a b c ; a , b , c Î R 7. Chứng minh: ( )+ + + + ³ + + +2 2 2 2 2a b c d e a b c d e 8. Chứng minh: + + ³ + +2 2 2x y z xy yz zx 9. a. Chứng minh: + + + +³ ³a b c ab bc ca ; a,b,c 0 3 3 b. Chứng minh: + + + +æ ö³ ç ÷ è ø 22 2 2a b c a b c 3 3 10. Chứng minh: + + ³ - + 2 2 2a b c ab ac 2bc 4 11. Chứng minh: + + ³ + +2 2a b 1 ab a b 12. Chứng minh: + + ³ - +2 2 2x y z 2xy 2xz 2yz 13. Chứng minh: + + + ³ - + +4 4 2 2x y z 1 2xy(xy x z 1) 14. Chứng minh: Nếu a + b ³ 1 thì: + ³3 3 1a b 4 15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh: a. ab + bc + ca £ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca). b. abc ³ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a) c. 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 – a4 – b4 – c4 > 0 Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng 2 II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI: 1. Chứng minh: + + + ³ ³(a b)(b c)(c a) 8abc ; a,b,c 0 2. Chứng minh: + + + + ³ ³2 2 2(a b c)(a b c ) 9abc ; a,b,c 0 3. Chứng minh: ( )( )( ) ( )+ + + ³ + 331 a 1 b 1 c 1 abc với a , b , c ³ 0 4. Cho a, b > 0. Chứng minh: +æ ö æ ö+ + + ³ç ÷ ç ÷ è ø è ø m m m 1a b1 1 2 b a , với m Î Z+ 5. Chứng minh: + + ³ + + ³bc ca ab a b c ; a,b,c 0 a b c 6. Chứng minh: + ³ - ³ 6 9 2 3x y 3x y 16 ; x,y 0 4 7. Chứng minh: + ³ - + 4 2 2 12a 3a 1 1 a . 8. Chứng minh: ( )> -1995a 1995 a 1 , a > 0 9. Chứng minh: ( ) ( ) ( )+ + + + + ³2 2 2 2 2 2a 1 b b 1 c c 1 a 6abc . 10. Cho a , b > 0. Chứng minh: æ ö+ + £ + +ç ÷ è ø+ + +2 2 2 2 2 2 a b c 1 1 1 1 2 a b ca b b c a c 11. Cho a , b ³ 1 , chứng minh: ³ - + -ab a b 1 b a 1. 12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. Chứng minh: xyz ³ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1) 13. Cho a > b > c, Chứng minh: ( )( )³ - -3a 3 a b b c c . 14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh: a) b + c ³ 16abc. b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) ³ 8abc c) æ öæ öæ ö+ + + ³ç ÷ç ÷ç ÷ è øè øè ø 1 1 11 1 1 64 a b c 15. Cho x > y > 0 . Chứng minh: ( ) + ³ - 1x 3 x y y 16. Chứng minh: a) + ³ + 2 2 x 2 2 x 1 ,"x Î R b) + ³ - x 8 6 x 1 , "x > 1 c) + ³ + 2 2 a 5 4 a 1 17. Chứng minh: + ++ + £ > + + + ab bc ca a b c ; a, b, c 0 a b b c c a 2 18. Chứng minh: + £ + + 2 2 4 4 x y 1 41 16x 1 16y , "x , y Î R 19. Chứng minh: + + ³ + + + a b c 3 b c a c a b 2 ; a , b , c > 0 Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 3 20. Cho a , b , c > 0. C/m: + + £ + + + + + +3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 abca b abc b c abc c a abc 21. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh: a. + + + ³ 4a b c d 4 abcd với a , b , c , d ³ 0 (Côsi 4 số) b. + + ³ 3a b c 3 abc với a , b , c ³ 0 , (Côsi 3 số ) 22. Chứng minh: + + ³ + +3 3 3 2 2 2a b c a bc b ac c ab ; a , b , c > 0 23. Chứng minh: + + ³3 942 a 3 b 4 c 9 abc 24. Cho = +x 18y 2 x , x > 0. Định x để y đạt GTNN. 25. Cho = + > - x 2y ,x 1 2 x 1 . Định x để y đạt GTNN. 26. Cho = + > - + 3x 1y , x 1 2 x 1 . Định x để y đạt GTNN. 27. Cho = + > - x 5 1y ,x 3 2x 1 2 . Định x để y đạt GTNN. 28. Cho = + - x 5y 1 x x , 0 < x < 1 . Định x để y đạt GTNN. 29. Cho += 3 2 x 1y x , x > 0 . Định x để y đạt GTNN. 30. Tìm GTNN của + += 2x 4x 4f(x) x , x > 0. 31. Tìm GTNN của = +2 3 2f(x) x x , x > 0. 32. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x) 33. Cho y = x(6 – x) , 0 £ x £ 6 . Định x để y đạt GTLN. 34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 £ x £ 5 2 . Định x để y đạt GTLN 35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) , - £ £5 x 5 2 . Định x để y đạt GTLN 36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , - 1 2 £ x £ 5 2 . Định x để y đạt GTLN 37. Cho = +2 xy x 2 . Định x để y đạt GTLN 38. Cho ( ) = + 2 32 xy x 2 . Định x để y đạt GTLN Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng 8 7. Chứng minh: + ³ - + 4 2 2 12a 3a 1 1 a («) («) Û + + + + ³ + 4 4 2 2 2 1a a a 1 4a 1 a . Áp dụng BĐT Côsi cho 4 số không âm: + + 4 4 2 2 1a , a , a 1, 1 a ( )+ + + + ³ + = + + 4 4 2 4 4 2 24 2 2 1 1a a a 1 4 a a a 1 4a 1 a 1 a 8. Chứng minh: ( )> -1995a 1995 a 1 («) , a > 0 («) Û > - Û + >1995 1995a 1995a 1995 a 1995 1995a + > + = + + + + ³ =14243 19951995 1995 1995 1995 1994 soá a 1995 a 1994 a 1 1 ... 1 1995 a 1995a 9. Chứng minh: ( ) ( ) ( )+ + + + + ³2 2 2 2 2 2a 1 b b 1 c c 1 a 6abc . ° ( ) ( ) ( )+ + + + + = + + + + +2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a 1 b b 1 c c 1 a a a b b b c c c a ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 6 số không âm: ° + + + + + ³ =62 2 2 2 2 2 2 2 2 6 6 6a a b b b c c c a 6 a b c 6abc 10. Cho a , b > 0. Chứng minh: æ ö+ + £ + +ç ÷ è ø+ + +2 2 2 2 2 2 a b c 1 1 1 1 2 a b ca b b c a c ° £ = +2 2 a a 1 2ab 2ba b , £ = +2 2 b b 1 2bc 2cb c , £ = +2 2 c c 1 2ac 2aa c ° Vậy: æ ö+ + £ + +ç ÷ è ø+ + +2 2 2 2 2 2 a b c 1 1 1 1 2 a b ca b b c a c 11. Cho a , b ³ 1 , chứng minh: ³ - + -ab a b 1 b a 1. ° ( ) ( )= - + ³ - = - + ³ -a a 1 1 2 a 1 , b b 1 1 2 b 1 ° ³ - ³ -ab 2b a 1 , ab 2a b 1 ° ³ - + -ab a b 1 b a 1 12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. C/m: xyz ³ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1) ° ( ) ( )= - + = - + + + -x x 1 1 x 1 x y z 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )= - + - + - + - ³ - - -24x 1 x 1 y 1 z 1 4 x 1 y 1 z 1 Tương tự: ( )( ) ( )³ - - -24y 4 x 1 y 1 z 1 ; ( )( )( )³ - - - 24z 4 x 1 y 1 z 1 Þ xyz ³ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1). 13. Cho a > b > c, Chứng minh: ( )( )³ - -3a 3 a b b c c . ° ( ) ( ) ( )( )= - + - + ³ - -3a a b b c c 3 a b b c c Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 5 Û + - - ³ + ++ +2 2 1 1 1 1 0 1 ab 1 ab1 a 1 b Û ( )( ) ( )( ) - - + ³ + + + + 2 2 2 2 ab a ab b 0 1 a 1 ab 1 b 1 ab Û ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) - - + ³ + + + +2 2 a b a b a b 0 1 a 1 ab 1 b 1 ab Û - æ ö- ³ç ÷+ + +è ø2 2 b a a b 0 1 ab 1 a 1 b Û ( )( ) æ ö- + - - ³ç ÷ç ÷+ + +è ø 2 2 2 2 b a a ab b ba 0 1 ab 1 a 1 b Û ( ) ( ) ( )( )( ) - - ³ + + + 2 2 2 b a ab 1 0 1 ab 1 a 1 b , ĐPCM. ÷ Vì : a ³ b ³ 1 Þ ab ³ 1 Û ab – 1 ³ 0. 6. Chứng minh: ( )+ + + ³ + +2 2 2a b c 3 2 a b c ; a , b , c Î R Û ( ) ( ) ( )- + - + - ³2 2 2a 1 b 1 c 1 0 . ĐPCM. 7. Chứng minh: ( )+ + + + ³ + + +2 2 2 2 2a b c d e a b c d e Û - + + - + + - + + - + ³ 2 2 2 2 2 2 2 2a a a aab b ac c ad d ae e 0 4 4 4 4 Û æ ö æ ö æ ö æ ö- + - + - + - ³ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø è ø 2 2 2 2a a a ab c d e 0 2 2 2 2 . ĐPCM 8. Chứng minh: + + ³ + +2 2 2x y z xy yz zx Û + + - - - ³2 2 22x 2y 2z 2xy 2yz 2zx 0 Û ( ) ( ) ( )- + - + - ³2 22x y x z y z 0 9. a. Chứng minh: + + + +³ ³a b c ab bc ca ; a,b,c 0 3 3 ÷ + + ³ + +2 2 2a b c ab bc ca ÷ + + + + + + + + +æ ö = ³ç ÷ è ø 2 2 2 2a b c a b c 2ab 2bc 2ca ab bc ca 3 9 3 Û + + + +³a b c ab bc ca 3 3 b. Chứng minh: + + + +æ ö³ ç ÷ è ø 22 2 2a b c a b c 3 3 ÷ ( ) ( )+ + = + + + + +2 2 2 2 2 2 2 2 23 a b c a b c 2 a b c ( ) ( )³ + + + + + = + + 22 2 2a b c 2 ab bc ca a b c Þ + + + +æ ö³ ç ÷ è ø 22 2 2a b c a b c 3 3 10. Chứng minh: + + ³ - + 2 2 2a b c ab ac 2bc 4 Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng 6 Û ( )- - + + - ³ 2 2 2a a b c b c 2bc 0 4 Û ( )æ ö- - ³ç ÷ è ø 2a b c 0 2 . 11. Chứng minh: + + ³ + +2 2a b 1 ab a b Û + + - - - ³2 22a 2b 2 2ab 2a 2b 0 Û - + + + + + + + ³2 2 2 2a 2ab b a 2a 1 b 2b 1 0 Û ( ) ( ) ( )- + - + - ³2 2 2a b a 1 b 1 0 . 12. Chứng minh: + + ³ - +2 2 2x y z 2xy 2xz 2yz Û + + - + - ³2 2 2x y z 2xy 2xz 2yz 0 Û (x – y + z)2 ³ 0. 13. Chứng minh: + + + ³ - + +4 4 2 2x y z 1 2x(xy x z 1) Û + + + - + - - ³4 4 2 2 2 2x y z 1 2x y 2x 2xz 2x 0 Û ( ) ( ) ( )- + - + - ³2 2 22 2x y x z x 1 0 . 14. Chứng minh: Nếu a + b ³ 1 thì: + ³3 3 1a b 4 ° a + b ³ 1 Þ b ³ 1 – a Þ b3 = (1 – a)3 = 1 – a + a2 – a3 Þ a3 + b3 = æ ö- + ³ç ÷ è ø 21 1 13 a 2 4 4 . 15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh: a. ab + bc + ca £ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca). ÷ ab + bc + ca £ a2 + b2 + c2 Û (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2 ÷ > - > - > -a b c , b a c , c a b Þ > - +2 2 2a b 2bc c , > - +2 2 2b a 2ac c , > - +2 2 2c a 2ab b Þ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca). b. abc ³ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a) ÷ ( )> - - 22 2a a b c Þ ( )( )> + - + -2a a c b a b c ÷ ( )> - - 22 2b b a c Þ ( ) ( )> + - + -2b b c a a b c ÷ ( )> - - 22 2c c a b Þ ( ) ( )> + - + -2c b c a a c b Þ ( ) ( ) ( )> + - + - + -2 2 22 2 2a b c a b c a c b b c a Û ( )( )( )> + - + - + -abc a b c a c b b c a c. 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 – a4 – b4 – c4 > 0 Û 4a2b2 + 2c2(b2 + a2) – a4 – b4 – 2a2b2 – c4 > 0 Û 4a2b2 + 2c2(b2 + a2) – (a2 + b2)2 – c4 > 0 Û (2ab)2 – [(a2 + b2) – c2]2 > 0 Û [c2 – (a – b)2][(a + b)2 – c2] > 0 Û (c – a + b)(c + a – b)(a + b – c)(a + b + c) > 0 . đúng ° Vì a , b , c là ba cạnh của tam giác Þ c – a + b > 0 , c + a – b > 0 , a + b – c > 0 , a + b + c > 0. Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 7 II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI: 1. Chứng minh: + + + ³ ³(a b)(b c)(c a) 8abc ; a, b, c 0 ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm: Þ + ³a b 2 ab , + ³b c 2 bc , + ³a c 2 ac Þ ( )( ) ( )+ + + ³ =2 2 2a b b c a c 8 a b c 8abc . 2. Chứng minh: + + + + ³ ³2 2 2(a b c)(a b c ) 9abc ; a,b,c 0 ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm: Þ + + ³ 3a b c 3 abc , + + ³ 32 2 2 2 2 2a b c 3 a b c Þ ( ) ( )+ + + + ³ =32 2 2 3 3 3a b c a b c 9 a b c 9abc . 3. Chứng minh: ( )( )( ) ( )+ + + ³ + 331 a 1 b 1 c 1 abc , với a , b , c ³ 0. ÷ ( )( )( )+ + + = + + + + + + +1 a 1 b 1 c 1 a b c ab ac bc abc. ÷ + + ³ 3a b c 3 abc , + + ³ 3 2 2 2ab ac bc 3 a b c ÷ ( )( )( ) ( )+ + + ³ + + + = + 33 2 2 23 31 a 1 b 1 c 1 3 abc 3 a b c abc 1 abc 4. Cho a, b > 0. Chứng minh: +æ ö æ ö+ + + ³ç ÷ ç ÷ è ø è ø m m m 1a b1 1 2 b a , với m Î Z+ ÷ + æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö+ + + ³ + + = + +ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø è ø è ø ³ = m m m m m m m 1 a b a b b a1 1 2 1 . 1 2 2 b a b a a b 2 4 2 5. Chứng minh: + + ³ + + >bc ca ab a b c ; a, b, c 0 a b c ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm: + ³ = 2bc ca abc2 2c a b ab , + ³ = 2bc ba b ac2 2b a c ac , + ³ = 2ca ab a bc2 2a b c bc Þ + + ³ + +bc ca ab a b c a b c . 6. Chứng minh: + ³ - ³ 6 9 2 3x y 3x y 16 ; x,y 0 4 («) («) Û + + ³6 9 2 3x y 64 12x y Û ( ) ( )+ + ³3 32 3 3 2 3x y 4 12x y Áp dụng BĐT Côsi cho ba số không âm: ( ) ( )+ + ³ =3 32 3 3 2 3 2 3x y 4 3x y 4 12x y . Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng 12 ° Dấu “ = ” xảy ra Û ( ) =é- = Û - = Û ê = -- ë 2 x 3x 1 2 x 1 4 x 1(loaïi)2 x 1 Vậy: Khi x = 3 thì y đạt GTNN bằng 5 2 26. Cho = + > - + 3x 1y , x 1 2 x 1 . Định x để y đạt GTNN. ÷ += + - + 3(x 1) 1 3y 2 x 1 2 ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm ( )+ + 3 x 1 1, 2 x 1 : ( ) ( )+ + = + - ³ - = - + + 3 x 1 1 3 3 x 1 1 3 3y 2 . 6 2 x 1 2 2 x 1 2 2 ° Dấu “ = ” xảy ra Û Û ( ) ( ) é = -ê+ ê= Û + = Û ê+ = - -ê ë 2 6x 1 3 x 1 1 2 3x 1 2 x 1 3 6x 1(loaïi) 3 Vậy: Khi = -6x 1 3 thì y đạt GTNN bằng - 36 2 27. Cho = + > - x 5 1y ,x 3 2x 1 2 . Định x để y đạt GTNN. ÷ -= + + - 2x 1 5 1y 6 2x 1 3 ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm - - 2x 1 5, 6 2x 1 : - - += + + ³ + = - - 2x 1 5 1 2x 1 5 1 30 1y 2 . 6 2x 1 3 6 2x 1 3 3 Dấu “ = ” xảy ra Û ( ) é + =ê- ê= Û - = Û ê- - + =ê ë 2 30 1x2x 1 5 22x 1 30 6 2x 1 30 1x (loaïi) 2 Vậy: Khi += 30 1x 2 thì y đạt GTNN bằng +30 1 3 28. Cho = + - x 5y 1 x x , 0 < x < 1 . Định x để y đạt GTNN. Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 9 14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh: a) b + c ³ 16abc. ° +æ ö ³ç ÷ è ø 2b c bc 2 Û ( )+ -æ ö æ ö£ = = -ç ÷ ç ÷ è ø è ø 2 2 2b c 1 a16abc 16a 16a 4a 1 a 2 2 ° ( ) ( )( ) ( ) ( )é ù- = - - = - - - £ - = +ë û2 224a 1 a 1 a 4a 4a 1 a 1 1 2a 1 a b c b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) ³ 8abc ° (1 – a)(1 – b)(1 – c) = (b + c)(a + c)(a + b) ³ =2 bc.2 ac.2 ab 8abc c) æ öæ öæ ö+ + + ³ç ÷ç ÷ç ÷ è øè øè ø 1 1 11 1 1 64 a b c ° + + +æ ö æ ö+ = ³ç ÷ ç ÷ è ø è ø 4 21 a a b c 4 a bc1 a a a ° + ³ 4 21 4 ab c1 b b ° + ³ 4 21 4 abc1 c c ÷ æ öæ öæ ö+ + + ³ç ÷ç ÷ç ÷ è øè øè ø 1 1 11 1 1 64 a b c 15. Cho x > y > 0 . Chứng minh: ( ) + ³ - 1x 3 x y y ÷ ( ) ( ) ( ) ( ) - = - + + ³ = - - 3 x y y1VT x y y 3 3 x y y x y y 16. Chứng minh: a) + ³ + 2 2 x 2 2 x 1 Û + ³ +2 2x 2 2 x 1 Û + + ³ +2 2x 1 1 2 x 1 b) + - x 8 x 1 = - + = - + ³ - = - - - x 1 9 9 9x 1 2 x 1 6 x 1 x 1 x 1 c. ( ) ( )+ + ³ + = +2 2 2a 1 4 2 4 a 1 4 a 1 Û + ³ + 2 2 a 5 4 a 1 17. Chứng minh: + ++ + £ > + + + ab bc ca a b c ; a, b, c 0 a b b c c a 2 ° Vì : + ³a b 2 ab Þ £ = + ab ab ab a b 22 ab , £ = + bc bc bc b c 22 bc , £ = + ac ac ac a c 22 ac ° + + ³ + +a b c ab bc ca , dựa vào: + + ³ + +2 2 2a b c ab bc ca . ° + + + ++ + £ £ + + + ab bc ca ab bc ac a b c a b b c c a 2 2 Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng 10 18. Chứng minh: + £ + + 2 2 4 4 x y 1 41 16x 1 16y , "x , y Î R ° ( ) = £ = + + 2 2 2 4 2 2 x x x 1 81 16x 2.4x1 4x ° ( ) = £ = + + 2 2 2 4 2 2 y y y 1 81 16y 2.4y1 4y ÷ + £ + + 2 2 4 4 x y 1 41 16x 1 16y 19. Chứng minh: + + ³ + + + a b c 3 b c a c a b 2 ; a , b , c > 0 Đặt X = b + c , Y = c + a , Z = a + b. ° a + b + c = 1 2 (X + Y + Z) ° + - + - + -= = =Y Z X Z X Y X Y Za , b , c 2 2 2 ° é ùæ ö æ ö æ ö+ + = + + + + + -ç ÷ ç ÷ ç ÷ê ú+ + + è ø è ø è øë û a b c 1 Y X Z X Z Y 3 b c a c a b 2 X Y X Z Y Z [ ]³ + + - =1 32 2 2 3 2 2 . Cách khác: ° æ ö æ ö æ ö+ + = + + + + + -ç ÷ ç ÷ ç ÷ + + + + + +è ø è ø è ø a b c a b c1 1 1 3 b c a c a b b c a c a b ( ) ( ) ( )[ ]æ ö= + + + + + + + -ç ÷ + + +è ø 1 1 1 1a b b c c a 3 2 b c a c a b ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm: ° ( ) ( ) ( )[ ]æ ö+ + + + + + + ³ - =ç ÷ + + +è ø 1 1 1 1 9 3a b b c c a 3 2 b c a c a b 2 2 20. Cho a , b , c > 0. C/m: + + £ + + + + + +3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 abca b abc b c abc c a abc ° ( )( ) ( )+ = + - + ³ +3 3 2 2a b a b a ab a a b ab Þ ( ) ( )+ + ³ + + = + +3 3a b abc a b ab abc ab a b c , tương tự ° ( ) ( )+ + ³ + + = + +3 3b c abc b c bc abc bc a b c ° ( ) ( )+ + ³ + + = + +3 3c a abc c a ca abc ca a b c ÷ ( ) ( ) ( ) + +æ ö£ + + = ç ÷ + + + + + + + + è ø 1 1 1 1 a b cVT ab a b c bc a b c ca a b c a b c abc Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 11 21. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh: a. + + + ³ 4a b c d 4 abcd với a , b , c , d ³ 0 (Côsi 4 số) ÷ + ³ + ³a b 2 ab , c d 2 cd ÷ ( ) ( )+ + ³ + ³ ³ 4a b cd 2 ab cd 2 2 ab. cd 4 abcd b. + + ³ 3a b c 3 abc với a , b , c ³ 0 , (Côsi 3 số ) ÷ + + + ++ + + ³ 4a b c a b ca b c 4. abc 3 3 Û + + + +³ 4a b c a b cabc 3 3 Û + + + +æ ö ³ç ÷ è ø 4a b c a b cabc 3 3 Û + +æ ö ³ç ÷ è ø 3a b c abc 3 Û + + ³ 3a b c 3 abc . 22. Chứng minh: + + ³ + +3 3 3 2 2 2a b c a bc b ac c ab ; a , b , c > 0 ° + ³3 2a abc 2a bc , + ³3 2b abc 2b ac , + ³3 2c abc 2c ab ° ( )+ + + ³ + +3 3 3 2 2 2a b c 3abc 2 a bc b ac c ab Þ ( ) ( )+ + ³ + +3 3 3 2 2 22 a b c 2 a bc b ac c ab , vì : + + ³3 3 3a b c 3abc Vậy: + + ³ + +3 3 3 2 2 2a b c a bc b ac c ab 23. Chứng minh: + + ³3 942 a 3 b 4 c 9 abc ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 9 số không âm: ° = + + + + + + + + ³3 3 3 94 4 4 4VT a a b b b c c c c 9 abc 24. Cho = +x 18y 2 x , x > 0. Định x để y đạt GTNN. ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm: = + ³ =x 18 x 18y 2 . 6 2 x 2 x ° Dấu “ = ” xảy ra Û = Û = Û = ±2x 18 x 36 x 6 2 x , chọn x = 6. Vậy: Khi x = 6 thì y đạt GTNN bằng 6 25. Cho = + > - x 2y ,x 1 2 x 1 . Định x để y đạt GTNN. ÷ -= + + - x 1 2 1y 2 x 1 2 ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm - - x 1 2, 2 x 1 : - -= + + ³ + = - - x 1 2 1 x 1 2 1 5y 2 . 2 x 1 2 2 x 1 2 2 Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng 16 ° ( )æ ö- £ + +ç ÷ è ø 2 22 3 4 93 a 5 b 3a 5b 3 53 5 Û 3a2 + 5b2 ³ 735 47 . 5. Cho 3a – 5b = 8. Chứng minh: 7a2 + 11b2 ³ 2464 137 . ÷ - = -3 53a 5b 7 a 11b 7 11 ÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số -3 5, 7 a , , 11b 7 11 : ° ( )æ ö- £ + +ç ÷ è ø 2 23 5 9 257 a 11b 7a 11b 7 117 11 Û 7a2 + 11b2 ³ 2464 137 . 6. Cho a + b = 2. Chứng minh: a4 + b4 ³ 2. ÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski: ° ( )( )= + £ + +2 22 a b 1 1 a b Û a2 + b2 ³ 2 ° ( ) ( )( )£ + £ + +2 2 4 42 a b 1 1 a b Û a4 + b4 ³ 2 7. Cho a + b ³ 1 Chứng minh: + ³2 2 1a b 2 ° ( )( )£ + £ + + Û + ³2 2 2 2 2 2 11 a b 1 1 a b a b 2 Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 13 ° ( )- + - - = + = + + ³ + = + - - - x 5 1 x 5x x x 1 x 1 xf(x) 5 5 2 5 5 2 5 5 1 x x 1 x x 1 x x Dấu “ = ‘ xảy ra Û - -æ ö= Û = Û =ç ÷ - -è ø 2x 1 x x 5 55 5 x 1 x x 1 x 4 (0 < x < 1) ° Vậy: GTNN của y là +2 5 5 khi -= 5 5x 4 29. Cho += 3 2 x 1y x , x > 0 . Định x để y đạt GTNN. ° + = + = + + ³ = 3 3 2 2 2 2 3 x 1 1 x x 1 x x 1 3x 3 2 2 2 2 4x x x x ° Dấu “ = ‘ xảy ra Û = = 2 x x 1 2 2 x Û = 3x 2 . ° Vậy: GTNN của y là 3 3 4 khi = 3x 2 30. Tìm GTNN của + += 2x 4x 4f(x) x , x > 0. ° + + = + + ³ + = 2x 4x 4 4 4x 4 2 x. 4 8 x x x ° Dấu “ = ‘ xảy ra Û = 4x x Û x = 2 (x > 0). ° Vậy: GTNN của y là 8 khi x = 2. 31. Tìm GTNN của = +2 3 2f(x) x x , x > 0. ° æ ö æ ö+ = + + + + ³ =ç ÷ ç ÷è ø è ø 3 22 2 2 2 2 5 3 3 3 3 5 2 x x x 1 1 x 1 5x 5 3 3 3 3 27x x x x ° Dấu “ = ‘ xảy ra Û = Û = 2 5 3 x 1 x 3 3 x Û x = 2 (x > 0). ° Vậy: GTNN của y là 5 5 27 khi = 5x 3 . 32. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x) ° f(x) = –10x2 + 11x – 3 = æ ö æ ö- - - = - - + £ç ÷ ç ÷ è ø è ø 2 2 11x 11 1 110 x 3 10 x 10 20 40 40 ° Dấu “ = “ xảy ra Û = 11x 20 Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng 14 ° Vậy: Khi = 11x 20 thì y đạt GTLN bằng 1 40 . 33. Cho y = x(6 – x) , 0 £ x £ 6 . Định x để y đạt GTLN. ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm x và 6 – x (vì 0 £ x £ 6): ° ( ) ( )= + - ³ -6 x 6 x 2 x 6 x Þ x(6 – x) £ 9 ° Dấu “ = “ xảy ra Û x = 6 – x Û x = 3 ° Vậy: Khi x = 3 thì y đạt GTLN bằng 9. 34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 £ x £ 5 2 . Định x để y đạt GTLN. ÷ y = (x + 3)(5 – 2x) = 1 2 (2x + 6)(5 – 2x) ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 6 và 5 – 2x , æ ö- £ £ç ÷ è ø 53 x 2 : ° ( ) ( ) ( )( )= + + - ³ + -11 2x 6 5 2x 2 2x 6 5 2x Þ 1 2 (2x + 6)(5 – 2x) £ 121 8 ° Dấu “ = “ xảy ra Û 2x + 6 = 5 – 2x Û = - 1x 4 ° Vậy: Khi = - 1x 4 thì y đạt GTLN bằng 121 8 . 35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) , - £ £5 x 5 2 . Định x để y đạt GTLN. ÷ y = (2x + 5)(5 – x) = 1 2 (2x + 5)(10 – 2x) ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 5 , 10 – 2x , æ ö- £ £ç ÷ è ø 5 x 5 2 : ° ( ) ( ) ( )( )+ + - ³ + -2x 5 10 2x 2 2x 5 10 2x Þ 1 2 (2x + 5)(10 – 2x) £ 625 8 ° Dấu “ = “ xảy ra Û 2x + 5 = 10 – 2x Û = 5x 4 ° Vậy: Khi = 5x 4 thì y đạt GTLN bằng 625 8 36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , - 1 2 £ x £ 5 2 . Định x để y đạt GTLN ÷ y = 3(2x + 1)(5 – 2x) ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 1 , 5 – 2x , æ ö- £ £ç ÷ è ø 1 5x 2 2 : ° ( ) ( ) ( )( )+ + - ³ + -2x 1 5 2x 2 2x 1 5 2x Þ (2x + 1)(5 – 2x) £ 9 ° Dấu “ = “ xảy ra Û 2x + 1 = 5 – 2x Û x = 1 Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 15 ° Vậy: Khi x = 1 thì y đạt GTLN bằng 9. 37. Cho = +2 xy x 2 . Định x để y đạt GTLN ° + ³ =2 22 x 2 2x 2x 2 Û ³ + 2 1 x 2 2 2 x Þ £ 1y 2 2 ° Dấu “ = “ xảy ra Û = Þ2x 2 và x > 0 x= 2 ° Vậy: Khi =x 2 thì y đạt GTLN bằng 1 2 2 . 38. Cho ( ) = + 2 32 xy x 2 . Định x để y đạt GTLN ° + = + + ³ 32 2 2x 2 x 1 1 3 x .1.1 Û ( ) ( ) + ³ Þ £ + 232 2 32 x 1x 2 27x 27x 2 ° Dấu “ = “ xảy ra Û = Û = ±2x 1 x 1 ° Vậy: Khi = ±x 1 thì y đạt GTLN bằng 1 27 . III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki 1. Chứng minh: (ab + cd)2 £ (a2 + c2)(b2 + d2) («) BĐT Bunhiacopxki («) Û + + £ + + +2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a b 2abcd c d a b a d c b c d Û + - ³2 2 2 2a d c b 2abcd 0 Û ( )- ³2ad cb 0 . 2. Chứng minh: + £sinx cosx 2 ÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 1 , sinx , 1 , cosx : ° + =sinx cosx ( )( )+ £ + + =2 2 2 21. sinx 1. cosx 1 1 sin x cos x 2 3. Cho 3a – 4b = 7. Chứng minh: 3a2 + 4b2 ³ 7. ÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 3 , 3 a , 4 , 4 b : ° ( )( )+ = + £ + +2 23a 4b 3. 3a 4. 4b 3 4 3a 4b Û 3a2 + 4b2 ³ 7. 4. Cho 2a – 3b = 7. Chứng minh: 3a2 + 5b2 ³ 725 47 . ÷ - = -2 32a 3b 3 a 5 b 3 5 ÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số -2 3, 3 a , , 5 b 3 5 : Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng 20 + ++ + £ 2 2 2a b cx y z 2R (a, b, c là các cạnh của DABC, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp). Dấu “=” xảy ra khi nào? 36. (Đại học 2002 dự bị 3) Giả sử x, y là hai số dương thay đổi thoả mãn điều kiện x + y = 5 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = +4 1 x 4y 37. (Đại học 2002 dự bị 5) Giả sử a, b, c, d là 4 số nguyên thay đổi thoả mãn 1 ≤ a < b < c < d ≤ 50. Chứng minh bất đẳng thức: + ++ ³ 2a c b b 50 b d 50b và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = +a c b d . 38. (Đại học 2002 dự bị 6) Cho tam giác ABC có diện tích bằng 3 2 . Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB và ha, hb, hc tương ứng là độ dài các đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C. Chứng minh rằng: æ öæ ö+ + + + ³ç ÷ç ÷ è øè øa b c 1 1 1 1 1 1 3 a b c h h h 39. (Đại học khối A 2003) Cho x, y, z là 3 số dương và x + y + z £ 1. Chứng minh rằng: + + + + + ³2 2 22 2 2 1 1 1x y z 82 x y z 40. (Đại học khối A 2003 dự bị 1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = sin5x + 3 cosx 41. (Đại học khối A 2003 dự bị 2) Tính các góc của tam giác ABC, biết rằng: - £ì ï í - =ïî 4p(p a) bc (1) A B C 2 3 3sin sin sin (2) 2 2 2 8 trong đó BC = a, CA = b, AB = c, p = + +a b c 2 . 42. (Đại học khối A 2005) Cho x, y, z là các số dương thoả mãn : + + =1 1 1 4 x y z . Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 17 PHẦN II. ĐỀ THI ĐẠI HỌC 1. (CĐGT II 2003 dự bị) Cho 3 số bất kì x, y, z. CMR: + + + + ³ +2 2 2 2 2 2x xy y x xz+z y yz+z 2. (CĐBC Hoa Sen khối A 2006) Cho x, y, z > 0 và xyz = 1. Chứng minh rằng: x3 + y3 + z3 ³ x + y + z. 3. (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006) Cho 3 số dương x, y, z thoả x + y + z £ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x + y + z + + +1 1 1 x y z 4. (CĐSPHCM khối ABTDM 2006) Cho x, y là hai số thực dương và thoả x + y = 5 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = +4 1 x 4y . 5. (CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006) Cho 4 số dương a, b, c, d. Chứng minh bất đẳng thức: + + + + + + + + + + + a b c d a b c b c d c d a d a b < 2 6. (CĐKT Cao Thắng khối A 2006) Chứng minh rằng nếu x > 0 thì (x + 1)2 æ ö + +ç ÷ è ø2 1 2 1 xx ³ 16. 7. (CĐKTKTCN1 khối A 2006) Cho 3 số dương a, b, c. Ch. minh rằng: + + + + + ++ + ³a b c a b c a b c 9 a b c 8. (CĐKTYTế1 2006) Cho các số thực x, y thay đổi thoả mãn điều kiện: y £ 0; x2 + x = y + 12. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: A = xy + x + 2y + 17 9. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) Cho x, y, z > 0; x + y + z = xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = xyz. 10. (Học viện BCVT 2001) Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c thoả mãn điều kiện: a + b + c = 1 thì: æ ö+ + ³ + +ç ÷ è øa b c a b c 1 1 1 a b c3 3 3 3 3 3 3 11. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2) Cho ba số dương a, b, c thoả a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh: + + ³ + + +2 2 2 2 2 2 a b c 3 3 2b c c a a b 12. (ĐH Kiến trúc HN 2001) Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng 18 Cho các số a, b, c thoả: ì + + =ï í + + =ïî 2 2 2a b c 2 ab bc ca 1 Chứng minh: - £ £ - £ £ - £ £4 4 4 4 4 4a ; b ; c 3 3 3 3 3 3 13. (Học viện NH TPHCM khối A 2001) Cho DABC có 3 cạnh là a, b, c và p là nửa chu vi. Chứng minh rằng: æ ö+ + ³ + +ç ÷- - - è ø 1 1 1 1 1 12 p a p b p c a b c 14. (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001) Cho 3 số x, y, z > 0. Chứng minh rằng: + + £ + + + + +3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 y2 x 2 z 1 1 1 x y y z z x x y z 15. (ĐH PCCC khối A 2001) Ch. minh rằng với a ≥ 2, b ≥ 2, c ≥ 2 thì: + + ++ + >b c c a a blog a log b log c 1 16. (ĐH Quốc gia HN khối D 2001) Ch. minh rằng với mọi x ≥ 0 và với mọi a > 1 ta luôn có: xa + a – 1 ≥ ax. Từ đó chứng minh rằng với 3 số dương a, b, c bất kì thì: + + ³ + + 3 3 3 3 3 3 a b c a b c b c ab c a 17. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001) Cho a ≥ 1, b ≥ 1. Chứng minh rằng: - + - £a b 1 b a 1 ab (*) 18. (ĐH Vinh khối A, B 2001) Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 thì: 3a2 + 3b2 + 3c2 + 4abc ≥ 13 19. (ĐH Y Thái Bình khối A 2001) Cho a, b, c là những số dương và a + b = c. Ch. minh rằng: + > 2 2 2 3 3 3a b c 20. (ĐHQG HN khối A 2000) Với a, b, c là 3 số thực bất kì thoả điều kiện a + b + c = 0. Chứng minh rằng: 8a + 8b + 8c ≥ 2a + 2b + 2c 21. (ĐHQG HN khối D 2000) Với a, b, c là 3 số thực dương thoả điều kiện: ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng: + + ++ + ³ 2 2 2 2 2 2b 2a c 2b a 2c 3 ab bc ca 22. (ĐH Bách khoa HN khối A 2000) Cho 2 số a, b thoả điều kiện a + b ≥ 0. Ch. minh rằng: + +æ ö³ ç ÷ è ø 33 3a b a b 2 2 23. (ĐHSP TP HCM khối DE 2000) Cho 3 số a, b, c bất kì. Chứng minh các BĐT: Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 19 a) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca b) (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc(a + b + c) 24. (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000) Cho 3 số dương a, b, c thoả điều kiện abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = + + + + +2 2 2 2 2 2 bc ca ab a b a c b c b a c a c b 25. (ĐH Thuỷ lợi II 2000) Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c ta đều có: (a + 1).(b + 1).(c + 1) ≥ ( )+ 331 abc 26. (ĐH Y HN 2000) Giả sử x, y là hai số dương thoả điều kiện + =2 3 6 x y . Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng x + y. 27. (ĐH An Giang khối D 2000) Cho các số a, b, c ≥ 0. Chứng minh: ac + 1 + bc + 1 ≥ ab(ac – 1 + bc – 1) 28. (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000) CMR với mọi x, y, z dương và x + y + z = 1 thì xy + yz + zx > + 18xyz 2 xyz 29. (ĐH An Ninh khối A 2000) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 3 ta đều có: nn + 1 > (n + 1)n 30. (CĐSP Nha Trang 2000) Cho 2 số thực a, b thoả điều kiện: a, b ≥ –1 và a + b = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = + + +a 1 b 1 31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000) Chứng minh BĐT sau đây luôn luôn đúng với mọi số thực x, y, z bất kì khác không: + + ³ + +2 2 2 2 2 2 1 1 1 9 x y z x y z BĐT cuối cùng luôn đúng Þ BĐT cần chứng minh đúng. 32. (ĐH Y Dược TP HCM 1999) Cho 3 số a, b, c khác 0. Chứng minh: + + ³ + + 2 2 2 2 2 2 a b c a b c b c ab c a 33. (ĐH Hàng hải 1999) Cho x, y, z ≥ 0 và x + y + z ≤ 3. Chứng minh rằng: + + £ £ + + + + ++ + +2 2 2 x y z 3 1 1 1 2 1 x 1 y 1 z1 x 1 y 1 z 34. (ĐH An ninh HN khối D 1999) Cho 3 số x, y, z thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0;1]. Chứng minh rằng: 2(x3 + y3 + z3) – (x2y + y2z + z2x) ≤ 3 (*) 35. (Đại học 2002 dự bị 1) Gọi x, y, z là khoảng cách từ điểm M thuộc miền trong của DABC có 3 góc nhọn đến các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng: Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng 24 + < + = + + + + + + b d b d 1 b c d d a b b d b d Cộng vế theo vế các BĐT trên ta được đpcm. 6. (CĐKT Cao Thắng khối A 2006) Ta có: (x + 1)2 æ ö + +ç ÷ è ø2 1 2 1 xx ³ 16 (1) Û (x + 1) 2 æ ö+ç ÷ è ø 21 1 x ³ 16 Û (x + 1) æ ö+ç ÷ è ø 1 1 x ³ 4 (do x > 0) Û (x + 1)2 ³ 4x Û (x – 1)2 ³ 0 (2) (2) luôn đúng nên (1) được chứng minh. 7. (CĐKTKTCN1 khối A 2006) Xét vế trái của BĐT đã cho: VT = + + + + + + + +b c a c a b1 1 1 a a b b c c = 3 + æ ö æ ö æ ö+ + + + +ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø b a c a c b a b a c b c Do a, b, c > 0 nên theo BĐT Côsi ta có: + ³ =b a b a2 . 2 a b a b ; + ³ =b c b c2 . 2 c b c b ; + ³ =c a c a2 . 2 a c a c Khi đó: VT ³ 3 + 2 + 2 + 2 = 9 (đpcm). 8. (CĐKTYTế1 2006) y £ 0, x2 + x = y + 12 Þ x2 + x – 12 £ 0 Þ – 4 £ x £ 3 y = x2 + x – 12 Þ A = x3 + 3x2 – 9x – 7 Đặt f(x) = A = x3 + 3x2 – 9x – 7 với – 4 £ x £ 3 f¢(x) = 3x2 + 6x – 9 ; f¢(x) = 0 Û x = 1 hoặc x = – 3 f(–4) = 13, f(–3) = 20, f(1) = –12, f(3) = 20 Vậy maxA = 20 (x = 3, y = 0), minA = –12 (x = 1, y = –10). 9. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) Ta có: x + y + z ³ 3 3 xyz Û xyz ³ 3 3 xyz Û (xyz)2 ³ 27 Û xyz ³ 3 3 Dấu "=" xảy ra Û x = y = z = 3 . Vậy minA = 3 3 . 10. (Học viện BCVT 2001) Ta có hàm số f(x) = x 1 3 là hàm nghịch biến nên: (a – b) æ ö-ç ÷ è øa b 1 1 3 3 ≤ 0, "a, b. Þ + £ +a b a b a b b a 3 3 3 3 , "a, b. (1) Tương tự: + £ +b c c b b c b c 3 3 3 3 (2) Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 21 Chứng minh rằng: + + £ + + + + 1 1 1 1 2x+y+z x 2y z x y 2z 43. (Đại học khối B 2005) Chứng minh rằng với mọi x Î R, ta có: æ ö æ ö æ ö+ + ³ + +ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø x x x x x x12 15 20 3 4 5 5 4 3 Khi nào đẳng thức xảy ra? 44. (Đại học khối D 2005) Cho các số dương x, y, z thoả mãn xyz = 1. Chứng minh rằng: + + + + + + + + ³ 3 3 3 3 3 31 x y 1 y z 1 z x 3 3 xy yz zx Khi nào đẳng thức xảy ra? 45. (Đại học khối A 2005 dự bị 1) Cho 3 số x, y, z thoả x + y + z = 0. CMR: + + + + +x y z3 4 3 4 3 4 ³ 6 46. (Đại học khối A 2005 dự bị 2) Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 ta có: ( ) æ öæ ö+ + +ç ÷ç ÷ç ÷è øè ø 2 y 91 x 1 1 x y ³ 256 Đẳng thức xảy ra khi nào? 47. (Đại học khối B 2005 dự bị 1) Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn: a + b + c = 3 4 . Chứng minh rằng: + + + + + £3 3 3a 3b b 3c c 3a 3 Khi nào đẳng thức xảy ra? 48. (Đại học khối B 2005 dự bị 2) Chứng minh rằng nếu 0 £ y £ x £ 1 thì - £ 1x y y x 4 . Đẳng thức xảy ra khi nào? 49. (Đại học khối D 2005 dự bị 2) Cho x, y, z là 3 số dương và xyz = 1. CMR: + + ³ + + + 2 2 2x y z 3 1 y 1 z 1 x 2 50. (Đại học khối A 2006) Cho 2 số thực x ≠ 0, y ≠ 0 thay đổi và thoả mãn điều kiện: (x + y)xy = x2 + y2 – xy. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = +3 3 1 1 x y . 51. (Đại học khối B 2006) Cho x, y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = ( ) ( )- + + + + + -2 22 2x 1 y x 1 y y 2 Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng 22 LỜI GIẢI 1. (CĐGT II 2003 dự bị) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét các điểm: A æ ö +ç ÷ç ÷ è ø y 3x ; z 2 2 , B æ ö +ç ÷ç ÷ è ø 3 30; y z 2 2 , C æ ö-ç ÷ è ø y z ;0 2 2 Ta có: AB = æ öæ ö+ + = + +ç ÷ç ÷ ç ÷è ø è ø 22 2 2y 3x y x xy y 2 2 AC = æ öæ ö+ + = + +ç ÷ç ÷ ç ÷è ø è ø 22 2 2z 3x z x xz z 2 2 BC = æ öæ ö- + + = +ç ÷ç ÷ ç ÷è ø è ø 22 2 2y z 3 (y z) y yz+z 2 2 2 Với 3 điểm A, B, C ta luôn có: AB + AC ≥ BC Þ + + + + ³ +2 2 2 2 2 2x xy y x xz+z y yz+z 2. (CĐBC Hoa Sen khối A 2006) x3 + y3 + z3 ³ 3 3 3 33 x y z Þ 2(x3 + y3 + z3) ³ 6 x3 + 1 + 1 ³ 3 3 3x Þ x3 + 2 ³ 3x (1) Tương tự: y3 + 1 + 1 ³ 3 33 y Þ y3 + 2 ³ 3y (2) z3 + 1 + 1 ³ 3 3 3z Þ z3 + 2 ³ 3z (3) Cộng (1), (2), (3) vế theo vế suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. 3. (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006) · Cách 1: Theo BĐT Côsi: 1 ³ x + y + z ³ 3 3 xyz > 0 + + ³ 3 1 1 1 3 x y z xyz Từ đó: A ³ 3 3 xyz + 3 3 xyz Đặt: t = 3 xyz , điều kiện: 0 < t £ 1 3 Xét hàm số f(t) = 3t + 3 t với 0 < t £ 1 3 Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 23 f¢(t) = 3 – 2 3 t = - 2 2 3(t 1) t < 0, "t Î æ ùç úè û 10; 3 Bảng biến thiên: 1 3 Từ bảng biến thiên ta suy ra: A ³ 10. Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1 3 Vậy Amin = 10 đạt được khi x = y = z = 1 3 . · Cách 2: Theo BĐT Côsi: 1 ³ x + y + z ³ 3 3 xyz > 0 Û 3 1 xyz ³ 3 x + ³1 2 9x 3 , y + ³1 2 9y 3 , z + ³1 2 9z 3 Từ đó: A= æ ö æ öæ ö æ ö+ + + + + + + +ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ è ø è øè ø è ø 1 1 1 8 1 1 1x y z 9x 9y 9z 9 x y z ³ 2 + 3 8 3 9 xyz ³ 10 Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1 3 .Vậy Amin = 10 đạt được khi x = y = z = 1 3 4. (CĐSPHCM khối ABT 2006) Ta có: x + y = 5 4 Û 4x + 4y – 5 = 0 A = +4 1 x 4y = + + -4 14x+ 4y 5 x 4y Þ A ³ 2 4.4x x + 2 1 .4y 4y – 5 Þ A ³ 5 Dấu "=" xảy ra Û ì =ï ï ï =ï í ï ï + = ï ï >î 4 4x x 1 4y 4y 5x y 4 x,y 0 Û =ì ï í =ïî x 1 1y 4 . Vậy Amin = 5. 5. (CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006) Vì a, b, c, d > 0 nên ta luôn có: + < + = + + + + + + a c a c 1 a b c c d a a c a c Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng 28 é ù æ ö æ ö æ öê ú+ + ³ç ÷ ç ÷ ç ÷ê úè ø è ø è øê úë û 3 3 3 2 2 21 a b c 3 2 b c a 2 Cộng 4 BĐT trên, vế theo vế, ta có: é ù æ ö æ ö æ ö é ùê ú+ + + ³ + + +ç ÷ ç ÷ ç ÷ ê úê úè ø è ø è ø ë ûê úë û 3 3 3 2 2 23 a b c 3 3 a b c 3 2 b c a 2 2 b c a 2 Suy ra: æ ö æ ö æ ö+ + ³ + +ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø 3 3 3 2 2 2a b c a b c b c a b c a 17. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001) BĐT (*) Û - -+ £a b 1 b a 1 1 ab ab Û æ ö æ ö- + - £ç ÷ ç ÷ è ø è ø 1 1 1 11 1 1 b b a a (1) Theo BĐT Côsi ta có: æ ö+ -ç ÷æ ö è ø- £ =ç ÷ è ø 1 11 1 1 1b b1 b b 2 2 æ ö+ -ç ÷æ ö è ø- £ =ç ÷ è ø 1 11 1 1 1a a1 a a 2 2 Cộng 2 BĐT lại ta được BĐT cần chứng minh. Dấu “=” xảy ra Û ì = - =ïï í ï = - = ïî 1 1 11 b b 2 1 1 11 a a 2 Û a = b = 2. 18. (ĐH Vinh khối A, B 2001) Ta có: 3 – 2a = a + b + c – 2a = b + c – a > 0. Do đó theo BĐT Côsi ta có: (3 – 2a)(3 – 2b)(3 – 2c) ≤ - + - + -æ öç ÷ è ø 33 2a 3 2b 3 2c 3 = 1 Þ 27 – 9(2a + 2b + 2c) + 3(4ab + 4bc + 4ca) – 8abc ≤ 1 Û 27 – 54 + 12(ab + bc + ca) – 8abc ≤ 1 Û 4abc ≥ 6(ab + bc + ca) – 14 Û 3(a2 + b2 + c2) + 4abc ≥ 3(a2 + b2 + c2) + 6(ab + bc + ca) – 14 = 3(a + b +c)2 – 14 = 13 Đẳng thức xảy ra Û 3 – 2a = 3 – 2b = 3 – 2c Û a = b = c = 1. 19. (ĐH Y Thái Bình khối A 2001) Từ giả thiết ta có: +a b c c = 1 Þ 0 < a b, c c +ç ÷ ç ÷ è ø è ø 2 2 3 3a b a b c c c c = 1 Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 25 + £ +c a c a c a a c 3 3 3 3 (3) Mặt khác: + + = + +a b c a b c a b c a b c 3 3 3 3 3 3 (4) Cộng (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta được: æ ö æ ö+ + £ + + + +ç ÷ ç ÷ è ø è øa b c a b c a b c 1 1 13 (a b c) 3 3 3 3 3 3 Hay æ ö+ + £ + +ç ÷ è øa b c a b c a b c 1 1 13 3 3 3 3 3 3 (vì a + b + c = 1) Dấu “=” xảy ra Û a = b = c = 1 3 . 11. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2) Do a2 + b2 + c2 = 1 nên = = + - - 2 2 2 2 2 a a a b c 1 a a(1 a ) (1) Mà 2a2.(1 – a2)2 ≤ æ ö+ - + - æ ö=ç ÷ ç ÷ç ÷ è øè ø 3 32 2 22a (1 a ) (1 a ) 2 3 3 Þ a2.(1 – a2)2 ≤ 4 27 Þ a(1 – a2) ≤ 2 3 3 (2) Từ (1), (2) suy ra: ³ + 2 2 2 a 3 3 a 2b c Do đó: + + ³ + + = + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c 3 3 3 3(a b c ) 2 2b c c a a b Dấu “=” xảy ra Û ì = - ïï = -í ï = -ïî 2 2 2 2 2 2 2a 1 a 2b 1 b 2c 1 c Û a = b = c = 1 3 . 12. (ĐH Kiến trúc HN 2001) Ta có: ì + + =ï í + + =ïî 2 2 2a b c 2 ab bc ca 1 Û ì + - = -ï í + + =ïî 2 2(a b) 2ab 2 c c(a b) ab 1 Ta xem đây là hệ phương trình của a, b và đặt + =ì í =î a b S ab P (S2 – 4P ≥ 0) Ta được hệ: ì - = -ï í ïî 2 2S 2P 2 c (1) cS+P =1 (2) Từ (2) Þ P = 1 – cS, thay vào (1) ta được: Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng 26 S2 – 2(1 – cS) = 2 – c2 Û S2 + 2cS + c2 – 4 = 0 Û = - -é ê = - +ë S c 2 S c 2 · Với S = – c – 2 Þ P = 1 + c(c + 2) = c2 + 2c + 1 BĐT: S2 – 4P ≥ 0 Û (–c – 2)2 – 4(c2 + 2c + 1) ≥ 0 Û –3c2 – 4c ≥ 0 Û - £ £4 c 0 3 (3) · Với S = –c + 2 Þ P = 1 – c(–c + 2) = c2 – 2c + 1 BĐT: S2 – 4P ≥ 0 Û (–c + 2)2 – 4(c2 – 2c + 1) ≥ 0 Û –3c2 + 4c ≥ 0 Û £ £ 40 c 3 (4) Từ (3), (4) ta được: - £ £4 4c 3 3 Tương tự ta chứng minh được: - £ £4 4a,b,c 3 3 13. (Học viện NH TPHCM khối A 2001) Trước hết, ta dễ dàng chứng minh được nếu x, y > 0 thì: + ³ + 1 1 4 x y x y (1) Dấu “=” xảy ra Û x = y. Áp dụng (1) ta được: + ³ = - - - + - 1 1 4 4 p a p b p a p b c + ³ = - - - + - 1 1 4 4 p b p c p b p c a + ³ = - - - + - 1 1 4 4 p c p a p c p a b Cộng 3 BĐT trên vế theo vế, ta được: æ ö æ ö+ + ³ + +ç ÷ ç ÷- - - è øè ø 1 1 1 1 1 12 4 p a p b p c a b c Û đpcm Dấu “=” xảy ra Û a = b = c. 14. (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001) Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương x3, y2 ta có: x3 + y2 ≥ 2 =3 2x y 2xy x Þ £ = +3 2 2 x 2 x 1 xy2xy xx y Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương 2 2 1 1, x y ta có: Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 27 æ ö £ +ç ÷ç ÷ è ø 2 2 1 1 1 1 xy 2 x y Þ æ ö £ +ç ÷ç ÷+ è ø 3 2 2 2 2 x 1 1 1 2x y x y Tương tự ta cũng có: æ ö £ +ç ÷ç ÷+ è ø 3 2 2 2 2 y 1 1 1 2y z y z ; æ ö£ +ç ÷ + è ø3 2 2 2 2 z 1 1 1 2z x z x Suy ra: + + £ + + + + +3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 y2 x 2 z 1 1 1 x y y z z x x y z Dấu “=” xảy ra Û ì ì ì= = =ï ï ï í í í = = =ï ï ïî î î 3 2 3 2 3 2x y y z z xvaø vaø x y y z z x Û x = y = z = 1 15. (ĐH PCCC khối A 2001) Trước hết chú ý rằng nếu a > 1, x > 1 thì hàm số y = alog x là đồng biến và dương. Do đó hàm số y = logxa = a 1 log x là nghịch biến. Vì vai trò của a, b, c là như nhau, nên ta có thể giả thiết a ≥ b ≥ c. Ta được: VT= + + + + + + ++ + ³ + + =b c c a a b a b a b a b a blog a log b log c log a log b log c log abc Vì a, b, c ≥ 2 nên abc ≥ 2ab = ab + ab > a + b Do đó VT ≥ loga+babc > loga+b(a + b) = 1. 16. (ĐH Quốc gia HN khối D 2001) · Xét f(x) = xa – ax + a – 1 (x ≥ 0) f¢(x) = a(xa – 1 – 1); f¢(x) = 0 Û x = 1 Vậy với "x ≥ 0 và a > 1 thì f(x) ≥ 0 hay xa + a – 1 ≥ ax. · BĐT cần chứng minh: æ ö æ ö æ ö+ + ³ + +ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø 3 3 3 2 2 2a b c a b c b c a b c a Áp dụng BĐT đã chứng minh với a = 3 2 , ta có: æ ö + ³ç ÷ è ø 3 2a 1 3 a. b 2 2 b ; æ ö + ³ç ÷ è ø 3 2b 1 3 b. c 2 2 c ; æ ö + ³ç ÷ è ø 3 2c 1 3 c. a 2 2 a Mặt khác, theo BĐT Côsi ta có: Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng 32 31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000) BĐT cần chứng minh Û æ ö æ ö æ ö + + + + + + + +ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y z x z x y1 1 1 x x y y z z ≥ 9 Û 3 + æ ö æ ö æ ö + + + + +ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y z x z x y x x y y z z ≥ 9 32. (ĐH Y Dược TP HCM 1999) Áp dụng BĐT Côsi ta có: * + + ³ = 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 a b c a b c3 . . 3 b c a b c a (1) * + ³ 2 2 a a1 2 bb ; + ³ 2 2 b b1 2 cc ; + ³ 2 2 c c1 2 aa Þ æ ö+ + ³ + + -ç ÷ è ø 2 2 2 2 2 2 a b c a b c2 3 b c ab c a (2) Kết hợp (1) và (2) ta được: æ ö æ ö+ + ³ + +ç ÷ ç ÷ç ÷ è øè ø 2 2 2 2 2 2 a b c a b c2 2 b c ab c a Þ + + ³ + + 2 2 2 2 2 2 a b c a b c b c ab c a 33. (ĐH Hàng hải 1999) · Do (x – 1)2 ≥ 0 nên x2 + 1 ≥ 2x Û + 2 2x 1 x ≤ 1 Tương tự ta cũng có: + 2 2y 1 y ≤ 1; + 2 2z 1 z ≤ 1 Do đó: + 2 2x 1 x + + 2 2y 1 y + + 2 2z 1 z ≤ 3 Hay: + + £ + + +2 2 2 x y z 3 21 x 1 y 1 z (1) · Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số không âm ta có: + + + + + ³ = + + + + + + 3 3 1 1 1 1 11 x 1 y 1 z 3 (1 x)(1 y)(1 z) (1 x)(1 y)(1 z) Þ £ + + + + + + + + 33 (1 x)(1 y)(1 z) 1 1 1 1 x 1 y 1 z ≤ + + + + +(1 x) (1 y) (1 z) 3 ≤ 2 Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 29 Từ đó suy ra: + > 2 2 2 3 3 3a b c 20. (ĐHQG HN khối A 2000) Đặt x = 2a, y = 2b, z = 2c thì x, y, z > 0. Đ.kiện a + b + c = 0 Û xyz = 2a+b+c = 1, do đó theo BĐT Côsi: x + y + z ≥ 3 Mặt khác: x3 + 1 + 1 ≥ 3x Þ x3 ≥ 3x – 2 Tương tự: y3 ≥ 3y – 2; z3 ≥ 3z – 2 Þ x3 + y3 + z3 ≥ 3(x + y + z) – 6 = (x + y + z) + 2(x + y + z – 3) ≥ x + y + z Þ 8a + 8b + 8c ≥ 2a + 2b + 2c 21. (ĐHQG HN khối D 2000) Ta có: + += = + 2 2 2 2 2 2 2 2 b 2a b 2a 1 12. ab a b a b Đặt x = 1 a ; y = 1 b ; z = 1 c thì giả thiết >ì í + + =î a,b,c 0 ab bc ca abc Û >ì í + + =î x,y,z 0 x y z 1 và đpcm Û + + + + + ³2 2 2 2 2 2x 2y y 2z z 2x 3 Theo BĐT Bunhiacopxki ta có: 3(x2 + 2y2) = 3(x2 + y2 + y2) ≥ (x + y + y)2 Þ + ³ +2 2 1x 2y (x 2y) 3 Viết 2 BĐT tương tự, rồi cộng lại, ta có: + + + + + ³ + + =2 2 2 2 2 2 1x 2y y 2z z 2x (3x 3y 3z) 3 3 Đẳng thức xảy ra Û x = y = z = 1 3 Û a = b = c = 3 22. (ĐH Bách khoa HN khối A 2000) Ta có: + +æ ö³ ç ÷ è ø 33 3a b a b 2 2 Û 4(a3 + b3) ≥ (a + b)3 Û (a + b) [4(a2 + b2 – ab) – (a2 + b2 + 2ab)] ≥ 0 Û (a + b)(3a2 + 3b2 – 6ab) ≥ 0 Û (a + b)(a – b)2 ≥ 0 BĐT cuối cùng này đúng, nên BĐT cần chứng minh là đúng. Đẳng thức xảy ra Û a = ± b. 23. (ĐHSP TP HCM khối DE 2000) a) a2 + b2 ≥ 2ab; b2 + c2 ≥ 2bc; c2 + a2 ≥ 2ca Þ a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca. Đẳng thức xảy ra Û a = b = c b) (ab + bc + ca)2 = (ab)2 + (bc)2 + (ca)2 + 2(abbc + bcca + caab) ≥ ≥ abbc + bcca + caab + 2abc(a + b + c) = 3abc(a + b + c) 24. (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000) Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng 30 Ta có: = = = æ ö+ + ++ç ÷ è ø 2 2 2 2 2 1 bc bc 1 a 1 11 1a b a c a (b c) a b cb c Đặt x = 1 a ; y = 1 b ; z = 1 c thì giả thiết ìí î a, b, c > 0 abc = 1 Û >ì í î x,y,z 0 xyz=1 và P = + + + + + 2 2 2x y z y z z x x y Theo BĐT Bunhiacopxki ta có: (y + z + z + x + x + y).P ≥ æ ö + + + + +ç ÷ç ÷+ + +è ø 2 x y zy z. z x. x y. y z z x x y Þ 2(x + y + z).P ≥ (x + y + z)2 Þ P ≥ 1 2 (x + y + z) ≥ =31 1.3 xyz .3 2 2 Þ P ≥ 3 2 Nếu P = 3 2 thì x = y = z = 1 Þ a = b = c = 1 Đảo lại, nếu a = b = c = 1 thì P = 3 2 . Vậy minP = 3 2 25. (ĐH Thuỷ lợi II 2000) (a + 1).(b + 1).(c + 1) = 1 + a + b + c + ab + bc + ca + abc ≥ ≥ 1 + 3 + 3 2 2 23 abc 3 a b c + abc = ( )+ 331 abc Đẳng thức xảy ra Û a = b = c > 0. 26. (ĐH Y HN 2000) ( ) æ ö æ ö+ = + £ + +ç ÷ ç ÷ç ÷ è øè ø 2 2 2 3 2 32 3 . x . y (x y) x y x y = 6(x + y) Þ x + y ≥ ( )+ 22 3 6 Giá trị ( )+ 22 3 6 đạt được Û ( ) ì =ï ï í ï + ï + = î 2 2 3: x : y x y 2 3 x y 6 Û ì + =ïï í +ï =ïî 2( 2 3)x 6 3( 2 3)y 6 Vậy min(x + y) = +5 2 6 6 Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 31 27. (ĐH An Giang khối D 2000) Giả sử a ≥ b ≥ 0 Þ ac(a – b) ≥ bc(a – b) Þ ac + 1 + bc + 1 ≥ ab(ac – 1 + bc – 1) 28. (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000) Áp dụng BĐT Côsi cho 6 số dương ta có: 2 = x + y + z + x + y + z ≥ 6 3 xyz (1) và xy + yz + zx ≥ 3 2 2 23 x y z (2) Nhân các BĐT (1) và (2) vế theo vế ta được: 2(xy + yz + zx) ≥ 18xyz (3) Mặt khác ta có: xyz(xy + yz + zx) > 0 (4) Cộng các BĐT (3) và (4) vế theo vế ta được: (xy + yz + zx)(2 + xyz) > 18xyz Þ xy + yz + zx > + 18xyz 2 xyz (vì 2 +xyz > 0) 29. (ĐH An Ninh khối A 2000) Ta có: 34 = 81, 43 = 64 Þ 34 > 43 Þ BĐT cần chứng minh đúng với n = 3. Với n > 3, đpcm Û n > +æ öç ÷ è ø nn 1 n Û æ ö+ç ÷ è ø n11 n < n (1) Ta có: æ ö+ç ÷ è ø n11 n = = å n k n k k 0 1C n = = 1 + - - - ++ + +2 n n n(n 1) 1 n(n 1)...(n n 1) 1. ... . n 2! n!n n = 1 + 1 + -æ ö æ öæ ö æ ö- + + - - -ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ è ø è øè ø è ø 1 1 1 1 2 n 11 ... 1 1 ... 1 2! n n! n n n < < 1 + 1 + + +1 1... 2! n! < 1 + 1 + - + + n 1 1 1... 2 2 < < 1 + 1 + - + + n 1 1 1... 2 2 + … = 1 + - 1 11 2 = 3 Þ æ ö+ç ÷ è ø n11 n < 3 < n Þ (1) 30. (CĐSP Nha Trang 2000) Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho hai cặp số (1, 1), ( + +a 1, b 1 ), ta có: A = + + +1. a 1 1. b 1 ≤ + + + +(1 1)(a 1 b 1) mà a + b = 1 nên A ≤ 6 Dấu “=” xảy ra Û + = +a 1 b 1 Û a = b Û a = b = 1 2 ( do a + b = 1) Vậy maxA = 6 khi a = b = 1 2 Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng 36 Đặt Q(t) = 9t + 9 t ÞQ¢(t) = 9 – 2 9 t < 0, "tÎ æ ùç úè û 10; 9 ÞQ(t) giảm trên æ ùç úè û 10; 9 Þ Q(t) ³ Q æ öç ÷ è ø 1 9 = 82. Vậy P ³ ³Q(t) 82 Dấu "=" xảy ra Û x = y = z = 1 3 . · Cách 2: Ta có: (x + y + z)2 + æ ö+ +ç ÷ è ø 21 1 1 x y z = 81(x + y + z)2 + æ ö+ +ç ÷ è ø 21 1 1 x y z – 80(x + y + z)2 ³ 18(x + y + z). æ ö+ +ç ÷ è ø 1 1 1 x y z – 80(x + y + z)2 ³ 162 – 80 = 82 Vậy P ³ 82 Dấu "=" xảy ra Û x = y = z = 1 3 . 40. (Đại học khối A 2003 dự bị 1) · Tìm max: y = sin5x + 3 cosx ≤ sin4x + 3 cosx (1) Ta chứng minh: sin4x + 3 cosx ≤ 3 , "x Î R (2) Û 3 (1 – cosx) – sin4x ≥ 0 Û 3 (1 – cosx) – (1 – cos2x)2 ≥ 0 Û (1 – cosx).[ 3 – (1 – cosx)(1 + cosx)2 ] ≥ 0 (3) Theo BĐT Côsi ta có: (1 – cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) = 1 2 (2 – 2cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) ≤ ≤ æ ö = <ç ÷ è ø 31 4 32 3 2 3 27 Vậy BĐT (3) đúng Þ (2) đúng Þ y ≤ 3 , "x. Dấu “=” xảy ra khi cosx = 1 Û x = k2p. Vậy maxy = 3 . · Tìm min: Ta có y = sin5x + 3 cosx ≥ – sin4x + 3 cosx. Tương tự như trên, ta được miny = – 3 , đạt được khi x = p + k2p. 41. (Đại học khối A 2003 dự bị 2) (1) Û + + + - £(a b c)(b c a) 1 bc Û + - £ 2 2(b c) a 1 bc Û + £2bc(1 cosA) 1 bc Û £2 A 1cos 2 4 Û ³2 A 3sin 2 4 Û ³A 3sin 2 2 (do 0 < < pA 2 2 ) (3) Biến đổi vế trái của (2) như sau: æ ö= -ç ÷ è ø A B C 1 A B-C B+Csin sin sin sin cos cos 2 2 2 2 2 2 2 ≤ æ ö-ç ÷ è ø 1 A Asin 1 sin 2 2 2 = Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 33 Û £ + + + + + 3 1 1 1 2 1 x 1 y 1 z (2) Kết hợp (1) và (2) ta được BĐT cần chứng minh. 34. (ĐH An ninh HN khối D 1999) Vì 0 ≤ x, y, z ≤ 1 nên x2 ≥ x3; y2 ≥ y3; z2 ≥ z3. Suy ra: 2(x3 + y3 + z3) – (x2y + y2z + z2x) ≤ 2(x2 + y2 + z2) – (x2y + y2z + z2x) Do đó nếu ta chứng minh được: 2(x2 + y2 + z2) – (x2y + y2z + z2x) ≤ 3 (1) thì (*) đúng. Ta có: (1 – y)(1 + y – x2) ≥ 0 Û x2 + y2 – x2y – 1 ≤ 0 (2) Dấu “=” ở (2) xảy ra Û =é ê =ìêíê =îë y 1 x 1 y 0 Tương tự ta cũng có: x2 + z2 – z2x – 1 ≤ 0 (3) y2 + z2 – y2z – 1 ≤ 0 (4) Cộng (2), (3), (4) vế theo vế ta được: 2(x2 + y2 + z2) – (x2y + y2z + z2x) ≤ 3 Vậy (1) đúng Þ (*) đúng Nhận xét: Dấu “=” ở (*) xảy ra Û (x; y; z) Î { }(1;1;1),(1;1;0),(1;0;1),(0;1;1) 35. (Đại học 2002 dự bị 1) + + = + +1 1 1x y z . ax . by . cz a b c ≤ æ ö+ +ç ÷ è ø 1 1 1 (ax+by+cz) a b c ≤ æ ö+ +ç ÷ è ø 1 1 1 .2S a b c = æ ö+ +ç ÷ è ø 1 1 1 abc a b c 2R = + +ab bc ca 2R ≤ + + 2 2 2a b c 2R Dấu “=” xảy ra Û = =ì í = =î a b c x y z Û ìD í Dî ABC ñeàu M truøng vôùi troïng taâm G cuûa ABC 36. (Đại học 2002 dự bị 3) · Cách 1: S = + + + + ³ 5 1 1 1 1 1 5 x x x x 4y x.x.x.x.4y ≥ + + + + 5.5 x x x x 4y = 5 minS = 5 Û ì =ï ïï =í ï ï + = ïî 1 1 x 4y x 4y 5x y 4 Û =ì ï í =ïî x 1 1y 4 Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng 34 · Cách 2: S = + - 4 1 x 5 4x = f(x), 0 < x < 5 4 f¢(x) = - + -2 2 4 4 x (5 4x) ; f¢(x) = 0 Û ì = - ï í < <ï î 2 2x (5 4x) 50 x 4 Û x = 1 Lập bảng xét dấu f¢(x), suy ra minS = 5. · Cách 3: 2 + = +1 2 1x. y. 2 x 2 y ≤ + +4 1x y. x 4y (3) Dấu “=” ở (3) xảy ra Û ì =ïï í ï + =ïî 2 1 x. x 2 y. y 5x y 4 Û =ì ï í + =ïî x 4y 5x y 4 Û =ì ï í =ïî x 1 1y 4 (3) Û æ öæ ö £ +ç ÷ç ÷ è ø è ø 25 5 4 1. 2 4 x 4y Û +4 1 x 4y ≥ 5 Vậy minS = 5. 37. (Đại học 2002 dự bị 5) Vì a ≥ 1, d ≤ 50 và c > b (c, b Î N) nên c ≥ b + 1 thành thử: S = +a c b d ≥ ++1 b 1 b 50 = + + 2b b 50 50b Vậy BĐT của đề ra đã được chứng minh. Dấu “=” xảy ra Û =ì ï =í ï = +î a 1 d 50 c b 1 Để tìm minS, ta đặt + + 2b b 50 50b = + +b 1 1 50 b 50 và xét hàm số có biến số liên tục x: f(x) = + +x 1 1 50 x 50 (2 ≤ x ≤ 48) f¢(x) = -- = 2 2 2 1 1 x 50 50 x 50x ; f¢(x) = 0 ì =ï í £ £ïî 2x 50 2 x 48 Û =x 5 2 Bảng biến thiên: 5 2 Chuyển về biểu thức f(b) = + + 2b b 50 50b (2 ≤ b ≤ 48, b Î N) Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 35 Từ BBT suy ra khi b biến thiên từ 2 đến 7, f(b) giảm rồi chuyển sang tăng khi b biến thiên từ 8 đến 48. Suy ra minf(b) = min[f(7); f(8)]. Ta có f(7) = + =49 57 53 350 175 ; f(8) = + = >64 58 61 53 400 200 175 Vậy minS = 53 175 khi =ì ï =ï í =ï ï =î a 1 b 7 c 8 d 50 38. (Đại học 2002 dự bị 6) Ta có diện tích tam giác: S = = =a b c 1 1 1ah bh ch 2 2 2 Þ ha = 2S a ; hb = 2S b ; hc = 2S c Þ + + = + + a b c 1 1 1 1 (a b c) h h h 2S Þ æ öæ ö æ ö+ + + + = + + + +ç ÷ç ÷ ç ÷ è ø è øè øa b c 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(a b c) a b c h h h 2S a b c Áp dụng BĐT Côsi ta có: (a + b + c) æ ö+ +ç ÷ è ø 1 1 1 a b c ≥ 9 và vì S = 3 2 , nên ta có: æ öæ ö+ + + + ³ =ç ÷ç ÷ è øè øa b c 1 1 1 1 1 1 9 3 a b c h h h 3 39. (Đại học khối A 2003) Với mọi r r u,v ta có: + £ + r r r r u v u v (*) Đặt æ öæ ö æ ö= = =ç ÷ç ÷ ç ÷ è ø è øè ø r r r1 1 1a x; ; b y; ; c z; x y z Áp dụng bất đẳng thức (*), ta có: + + ³ + + ³ + + r r r r r r r r r a b c a b c a b c Vậy P = + + + + +2 2 22 2 2 1 1 1x y z x y z ³ æ ö+ + + + +ç ÷ è ø 2 2 1 1 1(x y z) x y z · Cách 1: Ta có: P³ æ ö+ + + + +ç ÷ è ø 2 2 1 1 1(x y z) x y z ³ ( ) æ ö+ ç ÷ç ÷ è ø 2 23 3 13 xyz 3 xyz = + 99t t với t = 23( xyz) Þ 0 < t £ + +æ ö £ç ÷ è ø 2x y z 1 3 9 Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng 40 49. (Đại học khối D 2005 dự bị 2) Ta có: + ++ ³ = + + 2 2x 1 y x 1 y2 . x 1 y 4 1 y 4 + ++ ³ = + + 2 2y 1 z y 1 z2 . y 1 z 4 1 z 4 + ++ ³ = + + 2 2z 1 x z 1 x2 . z 1 x 4 1 x 4 Cộng 3 bất đẳng thức trên, vế theo vế, ta có: æ ö æ ö æ ö+ + + + + + + + ³ + +ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷+ + +è ø è ø è ø 2 2 2x 1 y y 1 z z 1 x x y z 1 y 4 1 z 4 1 x 4 Û + ++ + ³ - - + + + + + + 2 2 2x y z 3 x y z x y z 1 y 1 z 1 x 4 4 ³ + + -3(x y z) 3 4 4 ³ - = - =3 3 9 3 3.3 4 4 4 4 2 (vì x + y + z ³ 3 3 xyz = 3) Vậy: + + ³ + + + 2 2 2x y z 3 1 y 1 z 1 x 2 . 50. (Đại học khối A 2006) · Cách 1: Từ giả thiết suy ra: + = + -2 2 1 1 1 1 1 x y xyx y . Đặt 1 x = a, 1 y = b, ta có: a + b = a2 + b2 – ab (1) A = a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) = (a + b)2 Từ (1) suy ra: a + b = (a + b)2 – 3ab. Vì ab ≤ +æ öç ÷ è ø 2a b 2 nên a + b ≥ (a + b)2 – + 23 (a b) 4 Þ (a + b)2 – 4(a + b) ≤ 0 Þ 0 ≤ a + b ≤ 4 Suy ra: A = (a + b)2 ≤ 16 Với x = y = 1 2 thì A = 16. Vậy giá trị lớn nhất của A là 16. · Cách 2: Đặt S = x + y, P = xy với S2 – 4P ³ 0. Từ giả thiết Þ S, P ¹ 0. Ta có: SP = S2 – 3P Û P = + 2S S 3 A = +3 3 1 1 x y = + 3 3 3 3 x y x y = + + - 2 2 3 3 (x y)(x y xy) x y = + 2 3 3 (x y) xy x y = + 2 2 2 (x y) x y Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 37 = – æ ö-ç ÷ è ø 21 A Asin sin 2 2 2 = – é ùæ öê - - úç ÷ è øê úë û 21 A 1 1sin 2 2 2 4 = æ ö- -ç ÷ è ø 21 1 A 1sin 8 2 2 2 Do (3) suy ra: æ ö £ - -ç ÷ç ÷ è ø 2 A B C 1 1 3 1sin sin sin 2 2 2 8 2 2 2 = - -1 1(4 2 3) 8 8 = -2 3 3 8 Dấu “=” xảy ra Û ì =ï ì =ï ïÛí í = =ïï î=ïî 0 0 B-Ccos 1 A 1202 A 3 B C 30sin 2 2 42. (Đại học khối A 2005) Với a, b > 0 ta có: 4ab £ (a + b)2 Û +£ + 1 a b a b 4ab Û æ ö£ +ç ÷+ è ø 1 1 1 1 a b 4 a b Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b. Áp dụng kết quả trên ta có: æ ö£ +ç ÷+è ø 1 1 1 1 2x+y+z 4 2x y z £ é ùæ ö + +ê úç ÷ è øë û 1 1 1 1 1 4 2x 4 y z = æ ö+ +ç ÷ è ø 1 1 1 1 8 x 2y 2z (1) Tương tự: æ ö£ +ç ÷+ + +è ø 1 1 1 1 x 2y z 4 2y x z £ é ùæ ö+ +ç ÷ê ú è øë û 1 1 1 1 1 4 2y 4 x z = æ ö+ +ç ÷ è ø 1 1 1 1 8 y 2z 2x (2) æ ö£ +ç ÷+ + +è ø 1 1 1 1 x y 2z 4 2z x y £ é ùæ ö + +ê úç ÷ è øë û 1 1 1 1 1 4 2z 4 x y = æ ö+ +ç ÷ è ø 1 1 1 1 8 z 2x 2y (3) Vậy: æ ö+ + £ + +ç ÷+ + + + è ø 1 1 1 1 1 1 1 2x+y+z x 2y z x y 2z 4 x yz = 1 Ta thấy trong các bất đẳng thức (1), (2), (3) thì dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y = z. Vậy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 3 4 . 43. (Đại học khối B 2005) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có: æ ö æ ö æ ö æ ö+ ³ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø è ø x x x x12 15 12 152 . 5 4 5 4 Þ æ ö æ ö+ç ÷ ç ÷ è ø è ø x x12 15 5 4 ³ 2.3x (1) Tương tự ta có: æ ö æ ö+ç ÷ ç ÷ è ø è ø x x12 20 5 3 ³ 2.4x (2) æ ö æ ö+ç ÷ ç ÷ è ø è ø x x15 20 4 3 ³ 2.5x (3) Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng 38 Cộng các bất đẳng thức (1), (2), (3), chia 2 vế của bất đẳng thức nhận được cho 2 ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra Û (1), (2), (3) là các đẳng thức Û x = 0. 44. (Đại học khối D 2005) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có: 1 + x3 + y3 ³ 3 3 33 1.x .y = 3xy Û + + ³ 3 31 x y 3 xy xy (1) Tương tự: + + ³ 3 31 y z 3 yz yz (2); + + ³ 3 31 z x 3 zx zx (3) Mặt khác + + ³ 33 3 3 3 3 33 xy yz zx xy yz zx Þ + + ³3 3 3 3 3 xy yz zx (4) Cộng các bất đẳng thức (1), (2), (3), (4) ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra Û (1), (2), (3), (4) là các đẳng thức Û x = y = z = 1. 45. (Đại học khối A 2005 dự bị 1) Ta có: 3 + 4x = 1 + 1 + 1 + 4x ³ 4 4 x4 Þ + ³ = 84x x x3 4 2 4 2 4 Tương tự: + ³ 8y y3 4 2 4 ; + ³ 8z z3 4 2 4 Vậy + + + + +x y z3 4 3 4 3 4 ³ 2 é ù+ +ê úë û 8 8 8x y z4 4 4 ³ 3 8 x y z6 4 .4 .4 ³ 6 + +24 x y z4 = 6 46. (Đại học khối A 2005 dự bị 2) Ta có: 1 + x = 1 + + + ³ 3 4 3 x x x x4 3 3 3 3 1 + y x = 1 + + + ³ 3 4 3 3 y y y y4 3x 3x 3x 3 x 1 + 9 y = 1 + + + ³ 3 4 3 3 3 3 34 y y y y Þ æ ö + ³ç ÷ç ÷ è ø 2 6 4 3 9 31 16 y y Vậy: ( ) æ öæ ö+ + +ç ÷ç ÷ç ÷è øè ø 2 y 91 x 1 1 x y ³ 256 3 3 6 4 3 3 3 3 x y 3. . 3 3 x y = 256 47. (Đại học khối B 2005 dự bị 1) · Cách 1: Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 39 Ta có: + + ++ £ = + +3 a 3b 1 1 1(a 3b).1.1 (a 3b 2) 3 3 + + ++ £ = + +3 b 3c 1 1 1(b 3c).1.1 (b 3c 2) 3 3 + + ++ £ = + +3 c 3a 1 1 1(c 3a).1.1 (c 3a 2) 3 3 Suy ra: [ ]+ + + + + £ + + +3 3 3 1a 3b b 3c c 3a 4(a b c) 6 3 £ é ù+ê úë û 1 34. 6 3 4 = 3 Dấu "=" xảy ra Û ì + + =ï í ï + = + = +î 3a b c 4 a 3b b 3c c 3a=1 Û a = b = c = 1 4 · Cách 2: Đặt x = +3 a 3b Þ x3 = a + 3b; y = +3 b 3c Þ y3 = b + 3c; z = +3 c 3a Þ z3 = c + 3a Þ x3 + y3 + z3 = 4(a + b + c) = 4. 3 4 = 3. BĐT cần ch. minh Û x + y + z £ 3 Ta có: x3 + 1 + 1 ³ 3 3 3x .1.1 = 3x; y3 + 1 + 1 ³ 3 33 y .1.1 = 3y; z3 + 1 + 1 ³ 3 3 3z .1.1 = 3z Þ 9 ³ 3(x + y + z) (vì x3 + y3 + z3 = 3) Vậy x + y + z £ 3 Dấu "=" xảy ra Û ì = = = ï í + + =ï î 3 3 3x y z 1 3a b c 4 Û + = + = +ì ï í ïî a 3b b 3c c 3a=1 3a+b+c= 4 Û a = b = c = 1 4 48. (Đại học khối B 2005 dự bị 2) Ta có: 0 £ x £ 1 Þ x ³ x2 - £ 1x y y x 4 Û £ +1x y y x 4 (1) Theo BĐT Côsi ta có: + ³ + ³ =2 21 1 1y x yx 2 yx . x y 4 4 4 Þ - £ 1x y y x 4 Dấu "=" xảy ra Û ì £ £ £ï =ìï ï= Ûí í =ï ïîï = î 2 2 0 y x 1 x 1 x x 1y 1 4yx 4 Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 43 Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 41 Þ A = +æ ö= ç ÷ è ø 2 2 S S 3 SP Đk: S2 – 4P ³ 0 Û S2 – + 24S S 3 ³ 0 Û S2 -æ ö ç ÷+è ø S 1 S 3 ³ 0 Û - + S 1 S 3 ³ 0 (vì S¹0) Û < -é ê ³ë S 3 S 1 (*) Đặt h = f(S) = +S 3 S Þ h¢ = -2 3 S < 0, "S thoả (*) Từ bảng biến thiên, ta có: 0 < h £ 4 và h ¹ 1, "S thoả (*). Mà A = h Þ MaxA = 16 khi x = y = 1 2 (S = 1, P = 1 4 ). · Cách 3: (x + y)xy = æ ö- +ç ÷ è ø 2 2y 3yx 2 4 > 0 Þ ++ =1 1 x y x y xy > 0 A = +3 3 1 1 x y = + 3 3 3 3 x y x y = æ ö+ç ÷ è ø 21 1 x y Þ = +1 1A x y Dễ chứng minh được: + +æ ö £ç ÷ è ø 3 3 3a b a b 2 2 (với a + b > 0) dấu "=" xảy ra khi a = b. Áp dụng với a = 1 x , b = 1 y , ta có: æ öæ öæ ö ++ ç ÷ ç ÷ç ÷ è ø è øç ÷ £ ç ÷ ç ÷ è ø 333 1 11 1 x yx y 2 2 Û æ ö £ç ÷ç ÷ è ø 3 A A 2 2 Û A £ 16. Dấu "=" xảy ra khi = =1 1 2 x y . Vậy Max A = 16. · Cách 4: A = 2 2 S P , suy ra = = -2 S 3SA P S SP Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng 42 S2 – 4P ³ 0 Û S2 – 4 - 2S SP 3 ³ 0 Û - - P1 S1 4 3 ³ 0 Û ³P 1 S 4 (chia cho S2) Nên: A = 2 2 S P £ 16. Vậy Max A = 16 (khi x = y = 1 2 ). 51. (Đại học khối B 2006) Trong mpOxy, xét M(x – 1; –y), N(x + 1; y). Do OM + ON ≥ MN nên: ( ) ( )- + + + + ³ + = +2 22 2 2 2x 1 y x 1 y 4 4y 2 1 y Do đó: A ≥ 2 + + -21 y y 2 = f(y) · Với y ≤ 2 Þ f(y) = 2 + 21 y + 2 – y Þ f¢(y) = +2 2y y 1 – 1 f¢(y) = 0 Û 2y = + 21 y Û ³ìï í = +ïî 2 2 y 0 4y 1 y Û y = 1 3 Do đó ta có bảng biến thiên như trên · Với y ≥ 2 Þ f(y) ≥ 2 + 21 y ≥ 2 5 > 2 + 3 . Vậy A ≥ 2 + 3 với mọi số thực x, y. Khi x = 0 và y = 1 3 thì A = 2 + 3 Nên giá trị nhỏ nhất của A là 2 + 3 .