Tổng quan tích phân cơ bản

VẤN ĐỀ 1 TÍCH PHÂN CƠ BẢN Bài 1: Tính tích phân các hàm số sau đây : 1) 3x2 – 2x + 5 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) Bài 2: Tính tích phân các hàm số sau đây : 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 11) 12) 13) 14) 15) 16) Bài 3: Tính tích phân các hàm số sau đây : 1) 2) Sin3x.Cos3x 3) 4) (3 – 2Cosx)2 5) Sin4x 6) Cos33x 7) Sin5x.Cos2x 8) (2tgx – 5)2 9) (3 – Sin2x)(2 + 5Cos2x) 10) Cos4x 11) (2Cos23x – 1)Sin23x 12) Cosx.Cos3x.Cos5x 13) Sin3x.Cos3x 14) (tg2x – 3)(2Cotg2 + 5) 15) 16) (3 – tgx)(5 + 4Cotgx) 17) Sin2x.Cos4x 18) Cos6x Bài 4: Tính tích phân các hàm số sau đây : 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) Bài 5: Tính tích phân các hàm số sau đây : 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) Bài 6: Tính tích phân các hàm số sau đây : 1) 2) 3) 4) 5) 6) Bài 7: Tính tích phân các hàm số sau đây : 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) VẤN ĐỀ 2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Bài 1: Tính tích phân các hàm số sau đây : 1) 2) 3) 4 ) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) (a > 0) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) 27) 28) 29) 30) 31) 32) 33) 34) 35) 36) 37) 38) 39) 40) 41) 42) Bài 2: Cho hai số nguyên p và q khác nhau . Tính :I = Bài 3: Cho với t Ỵ R 1) Tính J(t) 2) Tìm MinJ(t) Bài 4: Chứng minh rằng nếu thì (a> 0) Tính : Bài 5: Chứng minh rằng nếu thì (a> 0) Tính : Bài 6: Cho hàm số : Tính đạo hàm của . Tính tích phân VẤN ĐỀ 3 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Bài 1: Tính tích phân các hàm số sau đây : 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) Bài 2: Tính tích phân các hàm số sau đây : 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) Bài 3: Tính tích phân các hàm số sau đây : 1) 2) 3) 4) Bài 4: Cho hàm số : Tìm A và B sao cho Tính với t > 0 Tìm Bài 5: Tính tích phân các hàm số sau đây : 1) Sin5x 2) 3) tgx 4) 5) 6) 7) 8) 9) Sin7x.Cos2x 10) 11) 12) 13) 14) 15) Cos2x.Sin3x 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) Sin4x.Cos5x 27) Sin2x.Cos4x 28) 39) 30) Cotg3x 31) tg4x 32) 33) 34) Bài 6: Tính tích phân các hàm số sau đây : 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) 27) 28) 29) 30) 31) 32) 33) 34) 35) 36) 37) 38) 39) 40) 41) 42) 43) 44) Bài 7: Tìm hai số A, B đề hàm số h(x) = có thể biểu diễn dưới dạng :h(x) =, từ đó tính J = Bài 8: Xác định A , B , C sao cho : Từ đó tính : Bài 9: Cho 1) Xác định A , B , C sao cho : Bài 10: Tính tích phân các hàm số sau đây : 1) 2) 3) Cos(2ex – 3) . ex 4) x.tg(x2 + 1) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) (2ex +3)2.ex Bài 11: Tính tích phân các hàm số sau đây : 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) Bài 12: Tính tích phân các hàm số sau đây : 1) 2) 3) 4) 5) 7) 8) 9) Bài 13: Tính tích phân các hàm số sau đây : 1) 2) 3) 4) 6) 7) 8) 9) Bài 14: Tính tích phân các hàm số sau đây : 1) 2) 3) 4) 5) 6) Bài 15: Tính tích phân các hàm số sau đây : 1) 2) 3) 4) 5) 6) Bài 16: Tính tích phân các hàm số sau đây : 1) (a > 0) 2) (a > 0) 3) 4) 5) (a > 0) 6) 7) 9) 10) 11) 12) Bài 17: Tính tích phân các hàm số sau đây : 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) (n = 1 , 2 …) 23) 24) (a > 0) 25) 26) 27) 28) 29) 30) 31) 32) 33) 34) 35) 36) 37) 38) 39) 40) 41) 42) 43) 44) 45) 46) 46) : BÀI TẬP CĨ HƯỚNG DẪN 1/I = I =2/I = I = ; Đs: HD: Phân tích =; Đặt: t= t2 = 1 –x2 tdt = -xdx (Hay đặt t = 1-x2) I =; Đs: I = ; Đs: I = ; Đs: I =; Đs: I =; Đs: I =; Đs: I =; Đs: I =; Đs: I =; Đs: I = HD: đặt t =t2 = +22tdt=3dx; dx = tdt Đổi cận: x: 1 2 t: I = == = I =; Đs: I =; HD: đặt x = sint ; Đs : I =; Đs: e-1 ; Đs: I =; Đs: e0-1= 0 I = Đặt : t = cos2x dt = -2sin2xdx sin2xdx= -dt x 0 t 1 0 I =-= = = I =; Đs: e-+ I =+ = I1+I2 I1== I =; Đs: e+ -3 I =; Đs:1-cos1 I =; Đs: 2 I =; HD: Đặt x = 2tgt (t ) Đs: I =; HD: Đặt x = 3tgt (t ) Đs: I =; HD: Đặt x = 4tgt (t ) Đs: I =; HD: Đặt x = tgt (t ) Đs: I =; HD: Đặt x = atgt (t,a>0) Đs: I =; HD: Đặt x = 2sint (t ) Đs: I =; HD: Đặt x = 3sint (t ) I =; HD: Đặt x = 4sint (t ) I =; HD:Đặt x =sint;t I =; HD: Đặt x = asint (t ) I = ; HD: Đặt: Đs: I = ; Đs: 2-2 I = I = I = I = I = I = I =; Đs: I = ; Đs: ln2 I =; Đs: HD: Đặt t = 1+cos2x dt = -2cosxsinxdx= -sin2xđx x 0 t 2 1 I = = = = -= I =; Đs : I =; Đs: 1+ln2 I =; Đs: I = HD: Biến đổi: I = = I =; Đs: ln I = ; Đs: -1 I = == =-1 I = I = Đặt t = sinx dt = cosxdx x 0 t 0 1 I ===-= - J = 1 – J ( Với J =) Tính J: Đặt t = tgu ( u (-;))dt = == cos2u Đổi cận: t 0 1 u 0 J = === Vậy: I = 1- I = ; Đs : I = ; Đs: I = ; Đs: I =; Đs: I = I =; Đs: I = I = ; Đs: 2 I = ; Đs : 4 I =; Đs: ln2 I = ; Đs: I = ; Đs: I =; Đs: 0 I =; Đs: I =;Đs: I =; Đs: I =; Đs: I= ; Đs: I =; Đs: I =; Đs: I =; Đs: I =; Đs: I = ; Đs: I =; Đs: I =; Đs: Chứng minh rằng: = I =; Đs: I =; Đs: I = ; Đs : I = ; Đs : I = ; Đs I = ; Đs I =; Đs: I = ; Đs: 1 I = ; Đs: 1 I =; Đs: I =; Đs: -1 I = ; Đs: I =; Đs: I = ; Đs: I =; Đs:ln4- I =; Đs: ln2- I =; Đs: 24ln4- I =; Đs:(248ln4-105) I = ; Đs:ln5- ln2 – I =; Đs: - I =; Đs: I = ; Đs; 2-2 I = ; Đs: 2 -4 I =; -2 I =; Đs: 2 HD: Biến đổi: I = ; đặt t = … 102’. I =; HD đặt t = I = ; Đs HD: Biến đổi I =; đặt u = I =; Đs: I =; Đs: 2ln(-2)+-1 I =; Đs:sin(ln2)+cos(ln2)- I =; Đs: I =; Đs: I =; Đs: I =; Đs 110’. I = 110’’ I = HD. xét =+== = A= -1; B=1; C =1 = +=- I =; HD: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần: Đặt: Tính :; đặt : t = dt ===dx = Tính : ==== Vậy: ===t+C=+C I = - = - =-2 =-= I =; Đs: HD: Hạ bậc trước khi tính. I = ; Đs: HD: Hạ bậc trước khi tính. I =; Đs: HD: Hạ bậc trước khi tính. 115. Cho I = và J =; Tính I+J và I-J từ đĩ suy ra I,J Đề ĐH 2004 Khối A Tính tích phân I = HD: Đặt t = t2 = x1 x = t2+1 dx =2tdt x =1 t = 0; x =2 t =1 Ta cĩ I = =2 =2=2=4ln2 Đề ĐH 2003 Khối A Tính tích phân I = HD: Đặt t =dt =dx và x2 = t2 4 x =t = 3; x =2t = 4 I === == Đề ĐH 2004 Khối B Tính tích phân: I = HD:Đặt t =t2 =1+3lnx 2tdt =3 x = 1 t = 1; x = e t =2 I == == Đề ĐH 2004 Khối D Tính tích phân: I = HD: Đặt I = =3ln62ln2 =3ln6 2ln2 =3ln62ln22ln2 = 3ln3 2 Đề ĐH 2003 Khối B Tính tích phân: I = HD: I = Đặt t = 1+sin2x dt = 2cos2xdx cos2xdx=dt x = 0 t = 1; x =t = 2 I ===ln2 Bài: (ĐH quốc gia HN 1998 Khối A) Câu VIa. Tính tích phân: I = HD: I == Đặt t = ex ta cĩ: I == = VẤN ĐỀ 5 PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Bài 1: Tính tích phân các hàm số sau đây : 1) x.ex 2) x.Cosx 3) x2.Cosx 4) lnx 5) ex.Sinx 6) x2.ex 7) (3x – 5)Cos2x 8) (x3 + 1)lnx 9) Sin(lnx) 10) x.Cos2x 11) 12) 13) ex.Cosx 14) (x2 + 2x + 3)Cosx 15) e2x.Cosx 16) Cos(lnx) 17) 18) 19) x.tg2x 20) Cos2(lnx) 21) 22) 23) 24) 25) 26) x2.Sin3x 27) x2.e3x. Bài 2: Tính tích phân các hàm số sau đây : 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) 27) 28) 29) 30) 31) 32) 33) 34) Bài 3: Tính tích phân các hàm số sau đây : 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) VẤN ĐỀ 6 TÍCH PHÂN LIÊN KẾT Bài 1: Tính tích phân các hàm số sau đây : và và và và và Bài 2: Tính tích phân các hàm số sau đây : 1) Tính: I = và J = 2) Tính: và 3) Tính và 4) Tính : I = và I = 5) Tính : I = (ĐHGTVT) 6) Tính I = và J = 7) Tính : 8) Tính : 9) Tính : 10) Tính : Bài 3: Tính tích phân các hàm số sau đây : 1) Cho hàm số g(x) = Sinx.Sin2x.Cos5x a) Tìm họ nguyên hàm của hàm số g(x). b) Tính : I = 2) Tìm họ nguyên hàm của hàm số: 4) Cho f(x) = 3x3 – x2 – 4x + 1 và g(x) = 2x3 + x2 – 3x – 1 . 1) Giải bất phương trình :f(x) ³ g(x) . 2) Tính : I = (ĐHQG) 5) Tìm họ nguyên hàm của :(ĐHQGHN – 2000 – 2001) 6) Tìm họ nguyên hàm của :(ĐHQGHN – 2000 – 2001) 7) Tìm họ nguyên hàm của hàm số : (ĐHNT) 8) Tìm họ nguyên hàm của hàm số : 9) Tìm họ nguyên hàm : (ĐHNT – 99 – 2000) 10) a) Xác định A , B sao cho : b) Tìm họ nguyên hàm của hàm số : 11) Tìm họ nguyên hàm của hàm số : VẤN ĐỀ 7 CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC Bài 1: Cho hàm số f liên tục trên đoạn [-a, a] (a> 0) .Chứng minh rằng: 1/ Nếu f là hàm chẳn thì : 2/ Nếu f là hàm lẻ thì : Aùp dụng tính : Bài 2:Cho hàm số f liên tục trên [0 , 1]. Chứng minh rằng: 1) (đề 118) Aùp dụng : Tính (đề 15) 2) Aùp dụng: Tính (đề 11) 3) Bài 3: (đề 4) Cho a > 0 , f là hàm số chẳn ,liên tục và xác định trên R. Chứng minh rằng : Aùp dụng: Tính , Bài 4:(đề 12) Cho f là hàm số liên tục trên [0,1]. Chứng minh rằng: Bài 5: Cho f là hàm số liên tục trên [0,1]. Chứng minh rằng: Tính và Bài 6: Cho f là hàm số liên tục trên [a,b] và f(a+b-x) = f(x). Chứng minh rằng: Aùp dụng: Tính Bài 7: Cho f là hàm số liên tục trên [a,b]. Chứng minh rằng: Suy ra: Bài 8: Cho hai số nguyên dương p, q. Tính I = trong hai trường hợp p = q và p ¹ q. Cho các số thực a1 , a2 , a3 , …, an . Giả sử a1.cosx + a2.cos2x + …+an.cosnx = 0 với mọi x Ỵ[0 ; 2p]. Hãy sử dụng kết qủa trên để tính a1 , a2 , a3 , …, an.(ĐHQG – 99-2000) 3) Chứng minh rằng : Từ đó tính : Bài 9: Cho m , n là hai số nguyên dương. Chứng minh rằng: = Aùp dụng tính: I = Bài 10: Chứng minh rằng với m , n là 2 số tự nhiên khác nhau , ta có : (ĐHL – HN – 2000) Bài 11: CMR: (tga > 0) (ĐHL – HN – 1999) Bài 12: Chứng minh rằng : (ĐHGTVT) Bài 13: Chứng minh rằng: = Bài 14: Cho . Chứng minh rằng : m.I(m,n) = (n – 1).I(m + 1,n – 1) ( 2 £ m , n Ỵ Z ) Bài 15: Chứng minh rằng : Bài 16: Chứng minh rằng : 1) (n = 1,2,…) 2) , n Ỵ Z Bài 17: Cho f(x) liên tục trên R. , "x Ỵ R Tính : VẤN ĐỀ 8 BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN Bài 1: Chứng minh rằng : 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ 7/ 8/ 9/ 10/ 11/ 12/ 13/ 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) Bài 2: Với mỗi số nguyên dương k . Đặt Xác định k để : Bài 3: 1) Tính 2) Đặt . Tính I(t) và chứng minh : với (ĐHQG – KA – 1998) Bài 4: 1) Tính tích phân: 2) Đặt với t > 1 Tính J(t) theo t , từ đó suy ra rằng : J(t) 1 (ĐHQG-KA-1997) Bài 5: 1) Tính 2) Tính (ĐHQG – KA – 1998) Bài 6: Cho ( n ³ 0 ) Chứng minh rằng : Chứng minh rằng hàm sao cho : là một hàm hằng. Bài 7: Cho ( n ³ 0 ) Chứng minh rằng : Tìm hệ thức liên hệ và Bài 8: Cho ( n ³ 0 ) Tính Với n > 1 , hãy tìm công thức biểu diển qua . Từ đó tính : Bài 9: Đặt In = (n là số tự nhiên) Tìm hệ thức liên hệ giữa In và In-1 (n > 1) Tính I4. Bài 10: Cho ( n ³ 0 ) Tìm hệ thức liên hệ In+1 và In . Chứng minh : In+1 £ In và (ĐHQG-KA-1996) Bài 11: Đặt với n là số nguyên dương. Tìm hệ thức liên hệ In+1 và In . Tính I1 và I2 . Chứng minh : (ĐHQG-KA-1997) Bài 12: Cho , n = 1,2,3… Chứng minh : In ³ In+1 .Tính In+1 theo In. Chứng minh : với mọi n ³ 2 . Từ đó tính Bài 13: Cho và Tính Jn và CMR: , "n Tính : theo và tính Bài 14: Cho 1) Tính I2 . 2) CMR: (ĐHL – HN – 1997) Bài 15: Cho ( n ³ 0 ) Chứng minh rằng : Chứng minh rằng : Bài 16: Tính Bài 17: Tính Bài 18: Tính Bài 19: Tính Bài 20: Tính Bài 21: Cho a , b là hai số cố định . CMR: Bài 22: Cho hai hàm số : và . Chứng minh rằng : Bài 23: Cho hai hàm số : và . Chứng minh rằng : VẤN ĐỀ 9 DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 1) (C) : y = x2 – 4x + 3 ; trục Ox ; hai đường thẳng x = 0 và x = 4. 2) (C) : y = x – x2 và trục Ox. 3) (C) : y = – x2 + 4x – 3 và các tiếp tuyến với đường cong này tại các điểm A(0,–3) và B(3,0). 4) (C) : y = Sinx ; trục Ox ; hai đường thẳng và 5) (C) : y = 2x2 – 4x – 6 ; x = –2 và x = 4. 6) (C) : y = lnx ; trục Ox ; và x = e. 7) (C) : y = ; trục Ox ; hai đường thẳng x = 2 ; x = 4. 8) (C) : ; trục Ox. 9) (C) : x = 4 – y2 ; trục Oy ; hai đường thẳng y = –2 và y = 2. 10) (C) : x = y2+ 4y ; trục Oy. 11) (C) : , y = 0 và x = 0 , x = 12) , . Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: (C) : y = x2 + 2x ; (D) : y = x + 2. (C) : y = ; tiệm cận xiên của (C) và hai đường thẳng x = 2; x = 4 (C) : y = x2 – 2x và hai tiếp tuyến với (C) tại O(0,0) ; A(3,3). y = Sin3x ; y = Cos3x ; x = 0 ; x = (P) : y2 = 2x và đường thẳng (D) : 2x – y – 2 = 0. (C) : y2 – 24x = 48 và y = 16 – 8x. (P1) : x = –2y2 và (P2) : x = 1 – 3y2. y = 0 ; (C) : y = x3 – 2x2 + 4x – 3 và các tt của đường cong (C) tai điểm x = 2 y = ex , y = lnx , x = 0 , x = 1 , y = a < 0 (P): và 2tiếp tuyến của (P) tại A(1, 2) , B(4, 5) , , Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 1) (C) : y = Sin2x + x (0 £ x £ p) và (D) : y = x. 2) (C1) : y2 = 2x và (C2) : 27y2 = 8(x – 1)3. 3) (C) : y2 = 2x và đường tròn tâm O bán kính R . 4) (C1) : x2 + y2 = 4 và (C2) : x2 + y2 = 4x (phần chung). 5) , với cho trước Bài 4: Cho . Hai điểm A, B di động trên (P) : AB = 2 Tìm tập hợp trung điểm I của AB. Xác định A , B sao cho diện tích của phần mặt phẳng giới hạn bởi AB và (P) đạt giá trị lớn nhất. Bài 5: Xét hình có diện tích chắn bởi và đường thẳng có hệ số góc k đi qua điểm . Xác định k để diện tích đó lớn nhất. Bài 6: Xét hình có diện tích chắn bởi và đường thẳng có hệ số góc k đi qua điểm trong của (P) (Tức là điểm A với tọa độ thỏa mãn điều kiện ). Xác định k để diện tích đó lớn nhất. Bài 7: Cho và Tìm R để (C) tiếp xúc với (P). Xác định tọa độ các tiếp điểm T và T’. Viết phương trình tiếp tuyến chung của (P) và (C) tại T và T’. Tính diện tích tam giác cong giới hạn bởi (P) và 2 tiếp tuyến nói trên. Bài 8: Cho hàm số (C) : với Khảo sát biến thiên hàm số. Tính diện tích tam giác cong chắn bởi trục hoành , đồ thị (C) và đường thẳng x = 1 Bài 9: Parabol chia diện tích của hình tròn tâm O(0,0) bán kính R = theo tỉ số nào. Bài 10: Cho A là một điểm tùy ý trên (p > 0). (D) là một đường thẳng song song với tiếp tuyến tại A của (P) , (D) cắt (P) tại hai điểm M , N . Hãy so sánh diện tích tam giác AMN và diện tích của hình hắn phía trên bởi (D) và phía dưới bởi (P). ỨNG DUNG TÍCH PHÂN A//Diện tích hình phẳng Cơng thức : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường là S = 1.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: a) (C): y = 3x4 – 4x2 + 5 ; Ox ; x = 1; x = 2 b) (C): y = x2 – x và (d): y = 4 – 4x ; Oy ; đường thẳng x = 3 c) y = sinx ; y = cosx ; x = 0; x = p d) y = x2 – x ; Ox d) y = (2 + cosx)sinx ; y = 0 ; x = p/2 ; x = 3p/2 e)y = – x2 ; x + y + 2 = 0 f)x = y5 ; y = 0 ;x = 32 g) (C): y = x2 + x – 5 và (C’): y = – x2 + 3x + 7 h)(C): y = x2 – 4x + 2 ; tiếp tuyến với (C) tại điểm M(3;– 1) và Oy i)(C): y = x3 + 3x2 – 6x + 2 và tiếp tuyến với (C) tại điểm cĩ hồnh độ xo= 1 k)(C): y = – x3 + 2x + 2 và tiếp tuyến với (C) tại điểm cĩ hồnh độ xo = 2 l)(C): y = x3 – 3x và tiếp tuyến với (C) tại điểm cĩ hồnh độ xo= – 1/2 m) y = , x = – 1 ,x = 1 và Ox 2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: a)(C): y = ;tiệm cận xiên và 2 đường thẳng x = 2;x = 4 b)(C): y = ;tiệm cận xiên và 2 đường thẳng x = 0;x = – 1 c)(C): y = – x2 + 2x + 3 và 2 tiếp tuyến tại 2 điểm A(0;3); B(3;0) d)(C): y = x2 – 2x + 2 và các tiếp tuyến xuất phát từ điểm A(3/2;– 1) e) y = ex ; y =1 ; x = 2 f) y = (x – 1)(x + 2)(x – 3) ;y = 0 g) x = ; y = – 2x + 3 ;Ox h) y = – và x2 + 3y = 0 3.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: a) y = x2 và y = b) ax = y2 và ay = x2 ( a > 0 ) c) y = xex , y = 0 , x = – 1, x = 2 d) y = |lnx| và y = 1 e) y = (x – 6)2 và y = 6x – x2 f) x2 + y2 = 8 và y2 = 2x g) x2 + y2 = 16 và y2 = 6x 4. Cho parabol (P): y = ax2 + bx + c cĩ đỉnh là I(1;2) a)Tính b,c theo a b)Biết hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường thẳng y = x + 1 cĩ diện tích bằng 1/6 .Tìm phương trình (P) 5.Cho (P): y = x2.Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(1;4) và cĩ hệ số gĩc là k.Tìm k để diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và d là nhỏ nhất 6.Lập phương trình parabol (P) biết rằng (P) cĩ đỉnh là S(1;2) và hình phẳng giới hạn bởi (P), Ox, x = – 1, x = 2 cĩ diện tích bằng 15 7.Xét hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường (P): y = (x – 3a)2 với a > 0 , y = 0, x = 0.Lập phương trình các đường thẳng đi qua điểm A(0;9a2) chia (H) thành 3 phần cĩ diện tích bằng nhau VẤN ĐỀ 10 THỂ TÍCH VẬT THỂ Bài 1: Tính thể tích các vật thể tạo nên khi quay quanh Ox hình phẳng S với S được giới hạn bởi: 1) (C) : y = 2x – x2 và trục Ox. 2) S là (E) : 3) S là x2 + (y – b)2 = a2 4) (C) : y = x2 ; y = 0 ; x = 0 ; x = 1. 5) (C) : y = x2 – 2x ; y = 0 6) (C) : y = ; trục Ox ; x = 0 ; x = 7) (C) : y = ; trục Ox ; x = 0 ; x = 2 8) (C1) : y = x2 ; (C2) : y = 2x. 9) y = 0 ; ; x = 0 ; x = 10) Hình tròn x2 + (y – 2)2 £ 1 (C): y = x.lnx , y = 0 , x = 1 , x = e y = lnx , y = 0, x = 1 , x = 2 y = 0 , , , , y = 0 , x = 0 và y = 0 , , x = 0 , , x = 1 , y = 0 Hình tròn , với Bài 2: Cho hình phẳng D giới hạn bởi y2 = (4 – x)3 và y2 = 4x. Tính diện tích miền D. Tính thể tích tròn xoay do D quay quanh Ox. Bài 3: Gọi (D) là miền giới hạn bởi các đường , và parabol .Tính vật thể tròn xoay do ta quay (D) quanh trục Ox tạo nên (Miền (D) nằm ngoài (P)) Bài 4: Gọi miền giới hạn bởi các đường y = 0 , là (D). Tính thể tích vật thể được tạo thành do ta quay (D) : Quanh trục Ox. Quanh trục Oy Bài 5: Cho hình tròn có tâm I(2 , 0) , bán kính R = 1 , quay quanh trục Oy. Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo nên. B//Thể tích hình trịn xoay Cơng thức : Thể tích hình trịn xoay do hình thang cong giới hạn bởi : là V = 1.Tính thể tích hình trịn xoay do các hình sau tạo thành khi quay quanh trục Ox: a)y = sinx ; y = 0 ;x = 0 ; x = p/2 b) y = cos2x ; y = 0 ;x = 0 ; x = p/4 c)y = ; y = 0 ; x = 0 ; x = p/2 d)y = ; y = 0 ; x = p/4; x = p/2 e)y = xex ; y = 0 ;x = 0 ; x = 1 f)y= .lnx ; y = 0 ; x =1 ; x = e g)y = ; y = 0 ; x = 1;x = 4 h)y = 2x ,y = – x + 3 , Ox i)y = x2 , y = 2 – x, Ox j)y = x2 ,y = 2 – x, Oy k)y = ,y = – 2x + 7 l)y = 1 – x, y = 3 – 2x – x2 2.Tính thể tích hình trịn xoay do các hình sau tạo thành khi quay quanh trục Ox: a)y = 3x – x2 ; y = 0 b)y = x2 ; y = 3x c)y = x3 + 1; y = 0; x = 0; x = 1 d)y = ; y = – x + 5 e)y = 2x ; y = – x +3 ; y = 0 g)y = x2 ; y = 2 – x ; y = 0 (phần nằm ngồi y = x2) h)y = x2 ;y = 10 – 3x ; y = 1 (phần nằm ngồi y = x2) 3. Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm M(1;1) cĩ hệ số gĩc k < 0 ,(d) lần lượt cắt Ox và Oy tại A và B. a)Tính thể tích vật thể trịn xoay do tam giác OAB tạo thành khi quay quanh Ox b)Tìm k để thể tích ấy nhỏ nhất