Tổng hợp thuật toán lọc Kalman bám tọa độ mục tiêu trên tên lửa tự dẫn với điều khiển tối ưu trục định hướng Anten

Tên lửa V. Đ. Trường, N. T. Cường, "Tổng hợp thuật toán lọc Kalman định hướng anten." 16 TổNG HợP THUậT TOáN LọC KALMAN BáM TọA Độ MụC TIÊU trên TÊN LửA Tự DẫN VớI ĐIềU KHIểN TốI ƯU TRụC ĐịNH HƯớNG ANTEN Vũ Đức Trường, Nguyễn Tăng Cường Tóm tắt: Đặc tính phân biệt của bộ phân lập định hướng Rađa kiểu đơn xung trên tên lửa tự dẫn là phi tuyến, vì vậy có những khó khăn nhất định khi tổng hợp thuật toán lọc Kalman cho hệ bám tọa độ mục tiêu. Trong trường hợp tọa độ góc mục tiêu ở lân cận đủ nhỏ xung quanh đường trục cân bằng định hướng anten, đặc tính này có thể xem xét là tuyến tính, và có thể xấp xỉ bởi một hàm tuyến tính và đưa vào xây dựng bộ lọc. Bài báo giới thiệu phương pháp tiếp cận mới trong tổng hợp bộ lọc Kalman với mở rộng xác định tín hiệu tối ưu điều khiển trục định hướng anten trong hệ bám tọa độ mục tiêu của tên lửa tự dẫn. Các kết quả nhận được có thể được áp dụng trong các hệ thống tên lửa đánh chặn mục tiêu, điều khiển thiết bị bay và các hệ thống dẫn đường. Từ khóa: Lọc Kalman, Điều khiển tối ưu, Đặc tớnh phõn biệt 1. đặt vấn đề Xét nguyên lý rút gọn điều khiển trục định hướng anten bám sát mục tiêu trong một mặt phẳng trên tên lửa tự dẫn [1,5] theo sơ đồ khối hệ bám góc mục tiêu (H. 1) với các kí hiệu: OB- trục định hướng anten (hướng cân bằng tín hiệu); 1X - tọa độ góc mục tiêu quy chiếu theo đường chuẩn tính góc OA; r - tín hiệu điều khiển gắn với trục anten. 1x  r r(t) U Hình 1. Sơ đồ khối hệ bám góc mục tiêu. Nguyên lý hoạt động của hệ bám góc anten như sau. Khi có sai lệch góc  giữa các đại lượng 1X và r ( 1X r   ), hệ bám góc sẽ tạo tín hiệu điều khiển r(t) để quay trục anten bám theo góc mục tiêu 1X . Biểu đồ định hướng anten có dạng đối xứng qua trục cân bằng OB. Trong bài báo nghiên cứu dạng đặc tính phân biệt của bộ phân lập định hướng Rađa tự dẫn kiểu đơn xung và có thể được xem xét xấp xỉ bởi hàm tuyến tính (trong trường hợp tọa độ góc mục tiêu 1X ở lân cận đủ nhỏ xung quanh đường trục cân bằng định hướng anten) như sau Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN Quân sự, Số 29, 02 - 2014 17 1C( ) X (t) r(t)     (1) trong đó: C( ) - là hàm đặc tính bộ phân biệt. Với hệ điều khiển trục định hướng anten bám góc mục tiêu như trên, động học vòng điều khiển tên lửa tự dẫn có thể được mô tả bởi sơ đồ như trên H. 2. [3,8 ] 1 1 1 s  ( )w t ( )v t Hình 2. Sơ đồ động học vòng điều khiển tên lửa tự dẫn. Từ sơ đồ trên H. 2, ta có phương trình trạng thái mô tả các tọa độ pha cần đánh giá khi xây dựng hệ xác định tọa độ mục tiêu như sau [3,8]: 1 2X(t)=A(t)X(t)+B u(t) B ( )  w t (2) trong đó: T 1 2 3X(t) [X ,X ,X ] - Véc tơ 3-chiều trạng thái mô tả các tọa độ pha ; c 1 2 0 1 0 0 0 0 0 A 0 2V / D(t) 1/ D(t) ; B 1 ;B 0 0 0 ; 0 0 0 1/ T0 0 1/ T                                       M 0 a (t) 0 ; u(t)= . D(t) (t) w w             (3) ( )w t - tạp trắng Gauss có kỳ vọng toán học  E (t) 0w ; E[ (t). (t+τ)]=Q(t)δ(τ) Tw w để tạo lập quá trình 3X (t) ; D(t) - cự ly từ tên lửa tới mục tiêu; cV | D(t) |  - vận tốc tiếp cận của tên lửa tới mục tiêu; Ma - Gia tốc pháp tuyến tên lửa; 1X (t) - toạ độ góc mục tiêu; 2X (t) - vận tốc góc quay của đường “tên lửa - mục tiêu”; 3X (t) - gia tốc pháp tuyến mục tiêu; T 1/  - chu kỳ cơ động trung bình của mục tiêu ( - tần số cơ động trung bình của mục tiêu). Biểu thức của quá trình quan sát tuyến tính (đúng trong trường hợp tọa độ góc mục tiêu 1X ở lân cận đủ nhỏ xung quanh đường trục cân bằng định hướng anten) có dạng:  1Y(t)= X (t)-r(t) ( )v t (4) Tên lửa V. Đ. Trường, N. T. Cường, "Tổng hợp thuật toán lọc Kalman định hướng anten." 18 trong đó: ( )v t là véctơ tạp trắng Gauss với kỳ vọng toán học  E ( ) 0v t ; TE (t) (t+τ) R(t)δ(τ)   v v . Mục tiêu của bài báo là xác định tín hiệu tối ưu r(t) điều khiển trục định hướng anten rađa đơn xung lý tưởng trong bài toán tổng hợp thuật toán lọc Kalman xác định tọa độ mục tiêu của tên lửa tự dẫn. Để đạt được mục tiêu này, trước tiên cần khái quát hóa nội dung nghiên cứu trên về dạng đặt bài toán tổng quát với hệ động học mô tả bởi phương trình vi phân ngẫu nhiên sau [2,3]: X(t)=D(t)φ(X,t)+H(X,t) ( )w t (5) trong đó: X(t) - véc tơ n chiều, mô tả trạng thái hệ thống; D(t) - ma trận n n chiều các hệ số; (X, t) - hàm phi tuyến véc tơ n chiều; (t)w - véc tơ n chiều tạp trắng Gauss có ma trận cường độ Q(t) ; H(X, t) - ma trận n n chiều các hệ số. Phương trình kênh quan sát có dạng: Y(t)=C(X,r ,t) ( )v t (6) trong đó: C(X, r , t) - hàm véc tơ phi tuyến m - chiều; ( )v t - véc tơ m - chiều tạp trắng Gauss có ma trận cường độ R(t) và độc lập với (t)w ; r (t) - véc tơ s - chiều điều khiển kênh quan sát. Cần thiết tổng hợp thuật toán lọc Kalman đánh giá các tọa độ pha X(t) đồng thời với xác định tín hiệu r (t) điều khiển tối ưu kênh quan sát. 2. XáC ĐịNH TíN HIệU TốI ƯU ĐIềU KHIểN TRụC ANTEN trên Tên lửa tự dẫn Để giải quyết bài toán điều khiển ngẫu nhiên, trước tiên cần xem xét đặc trưng xác suất tổng quát là mật độ xác suất hậu nghiệm Stratonovich [2,3,7] với mở rộng chứa thêm thành phần điều khiển r (t) - 1 ˆ ˆ ˆω(X,t)=-divπ(X,t)- ω(X,t)*[f(X,Y,r ,t)- f(X,Y,r ,t)ω(X,t)dX] 2    (7) trong đó: ωˆ(X,t) - mật độ xác suất hậu nghiệm; π(X,t) - vector n chiều mật độ của dòng xác suất hậu nghiệm với các thành phần tọa độ [2,3,7] π (X,t)k n k k ki i=1 i 1 ˆ ˆπ (X,t)=A (X,t)ω(X,t)- [B (X,t).ω(X,t)];k=1,n 2 X    (8) kA (X,t) - các hệ số dịch chuyển; kiB (X,t) - các hệ số khuếch tán; j, k 1, n f(X,Y,r,t) - đạo hàm của logarit hàm tựa thực m pq p p q q p,q=1 R (t) f(X,Y,r,t) Y (t)-C (X,r,t) Y (t)-C (X,r,t) R(t)          (9) pqR - phần phụ đại số của phần tử thứ p,q của R(t) . Lưu ý: trong bài báo sử dụng cách viết tương đương dạng như sau: Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN Quân sự, Số 29, 02 - 2014 19 n ˆ ˆf (X,Y, r , t) (X, t)dX ....... f (X,Y, r , t) (X, t)dX             Giả sử ˆψ(X,X,t) là hàm tổn thất để đánh giá chất lượng cho ước lượng tối ưu Xˆ , khi đó chỉ tiêu chất lượng quá trình lọc sẽ là hàm tổn thất theo trung bình xác suất - ˆ ˆ ˆ ˆI(X,t)=E ψ(X,X,t) - ψ(X,X,t)ω(X,t)dX        (10) 0Xˆ (t) sẽ là ước lượng tối ưu khi tối thiểu hóa được hàm tổn thất trung bình xác suất: ˆ0 0 X X ˆ ˆI (t)=I(X ,t)=min I(X,t)  (11) Hàm 0I (t) có chứa các hàm điều khiển r (t) , do vậy điều khiển tối ưu r (t) sẽ được tìm từ điều kiện tối thiểu hóa hàm 0I (t) như sau: 0 0 r(τ) 0 r(τ) 0 t τ<t t τ<t ˆ ˆmin I (t)=min ψ(X,X ,t)ω(X,t)dX        (12) Hàm 0I (t) có thể biểu diễn dưới dạng: 0 t 0 0 0 0 t I (t) I (t ) I ( )d     ; 0 0I (t) dI (t) dt ; (13) Điều kiện ban đầu của hàm 0I (t) là: 0 0 0 0 0 ˆ ˆI (t ) ψ(X,X ,t )ω(X,t )dX     Với điều khiển tối ưu, hàm 0I (t) đạt cực tiểu 0 0 t m r ( ) 0 0 0 t t t I (t) min I (t ) I ( )d               (14) Như vậy, bài toán điều khiển tối ưu nêu trên sẽ được đưa về lớp tìm cực tiểu của chỉ tiêu tối ưu cục bộ trong khoảng thời gian từ 0t đến t [2], theo đó cực tiểu của chỉ tiêu cục bộ sẽ đạt được khi hàm dưới dấu tích phân tại từng thời điểm sẽ cực tiểu. Đạo hàm 0I (t) có dạng: 0 0 0 0 d ˆ ˆI (t) (X,X , t) (X, t)dX dt ˆ ˆˆ ˆ(X, X , t) (X, t)dX (X,X , t) (X, t)dX                          (15) Thay biểu thức ˆ (X, t) từ (7) vào (15) của 0I (t) : Tên lửa V. Đ. Trường, N. T. Cường, "Tổng hợp thuật toán lọc Kalman định hướng anten." 20 T 0 0 0 0 0 ˆ ˆˆ ˆI (t) (X,X , t) (X, t)dX ( (X, t)) grad (X,X , t)dX 1 ˆ ˆ(X, X , t)f (X,Y, r , t) (X, t)dX 2 ˆ ˆ ˆ(X, X , t) (X, t)dX f (X,Y, r , t) (X, t)dX                                      (16) Trong biểu thức (16) có sử dụng công thức chuyển đổi: T 0 0 ˆ ˆˆ ˆ(X,X , t)div (X, t)dX ( (X, t)) grad (X,X , t)dX            (17) Trong (16) chỉ có thành phần cuối cùng có chứa điều khiển r (t) . Do đó, hàm điều khiển tối ưu sẽ được tìm từ điều kiện: 0 r ( ) 0 t t 0 ˆ ˆmin (X, X , t)f (X,Y, r , t) (X, t)dX ˆ ˆ ˆ(X,X , t) (X, t)dX f (X, Y, r , t) (X, t)dX                         (18) Lựa chọn biểu diễn hàm tổn thất ˆψ(X,X,t) dưới dạng toàn phương n T 2 0 0 0 i i0 i 1 ˆ ˆ ˆ ˆ(X,X , t) [X X (t)] [X X (t)] [X X (t)]        (19) Sử dụng biểu thức (9) đạo hàm của logarit hàm tựa thực vào (16), nhận được điều kiện từ điều khiển tối ưu  m n pq 2 r (t ) p q ii q i i p,q i 1 R (t) ˆmin Y (t) C (X, r , t) P (t) C (X, r , t)(X X ) R(t)            2 q p ii p i i ˆY (t) C (X, r , t) P (t) C (X, r , t)(X X )           2q p ii i i q pˆC (X, r , t)C (X, r , t) P (t) (X X ) C (X, r , t)C (X, r , t)          (20) trong đó:  - phép tính lấy trung bình xác suất với mật độ xác suất hậu nghiệm ˆ (X, t) ; iiP (t) - phương sai hậu nghiệm của sai số lọc 2 ii i i ˆ ˆP (t) (X X ) (X, t)dX      (21) Xét kênh quan sát với C(X, r , t) một chiều (m=1). Thực hiện tuyến tính hóa thống kê đặc tính C(X, r , t) ,[3]. 0 1 1 1 ˆC(X, r , t) C ( r , t) C ( r , t)(X X )   (22) trong đó: 0C ( r , t) - đặc tính thống kê hàm phi tuyến C(X, r, t) ; Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN Quân sự, Số 29, 02 - 2014 21 1C ( r , t) - hệ số tuyến tính hóa thống kê theo thành phần ngẫu nhiên trung tâm Thay biểu thức (22) và mật độ xác suất hậu nhiệm ˆ (X, t) dạng xấp xỉ Gauss vào (20) nhận được điều kiện tìm điều khiển tối ưu: 2 2 2 2 r (t ) 1 11 11 r ( t ) 1 2 2 max [C (r , t)] [P (t)] [P (t)] max [C (r , t)] R(t) R(t)   (23) Với đặc tính C( ) của kênh quan sát có dạng hàm đối xứng lẻ qua gốc tọa độ 1X r 0    thì hệ số tuyến tính hóa thống kê 1C ( r , t) cũng là hàm lẻ, đối xứng qua điểm 1X r 0  . Do vậy, cực trị của bình phương 2 1C ( r , t) sẽ đạt được khi chọn điều khiển tối ưu có dạng như sau: 1 ˆr (t) X (24) Như vậy, khi đặc tính phân biệt có dạng hàm đối xứng lẻ thì điều khiển tối ưu trục định hướng anten bám mục tiêu sẽ là ước lượng tối ưu của tọa độ góc mục tiêu 1Xˆ 3. TổNG HợP THUậT TOáN LọC KALMAN BáM TọA Độ MụC TIÊU TRÊN TÊN LửA Tự DẫN Căn cứ thuật toán tổng quát của bộ lọc Kalman như mô tả trong [6,7] và kết hợp công thức (1) ta có thuật toán tổng quát của bộ lọc Kalman cho hệ bám tọa độ mục tiêu trên tên lửa tự dẫn như sau: + Phương trình khối đánh giá: T 1 1 1 0 Xo 0 ˆˆ ˆX(t) AX(t) B u(t) P(t)C (t)R (Y(t) C(X (t), r(t))) Xˆ(t ) m E[X(t )]        (25) + Phương trình khối chính xác (khối tương quan hậu nghiệm) T T 1 T 2 2P(t) AP PA PC R CP B QB      T0 0 0 0 0ˆ ˆP(t ) E [X(t ) X(t )][X(t ) X(t )]   (26) áp dụng các công thức (24), (25), (26) vào bài toán xây dựng hệ tọa độ bám mục tiêu tên lưa tự dẫn với phương trình trạng thái (2), (3), kênh quan sát (4) ta có thuật toán bộ lọc Kalman trên tên lửa tự dẫn biểu diễn dưới dạng vô hướng như sau: + Phương trình khối đánh giá: 11 1 2 1 1 c M 2 2 3 12 1 1 13 3 3 1 1 Pˆ ˆ ˆX (t) X (t) Y(t) X (t) X R 2V a1ˆ ˆ ˆX (t) X X (t) D(t) D(t) D(t) P ˆY(t) X (t) X R P1ˆ ˆ ˆX (t) X (t) Y(t) X (t) X T R                                        (27) trong đó: 1 1ˆX (t) X 0      là trung bình theo xác suất  . + Phương trình khối chính xác (khối tương quan hậu nghiệm): Tên lửa V. Đ. Trường, N. T. Cường, "Tổng hợp thuật toán lọc Kalman định hướng anten." 22 2 11 11 12 c 11 12 12 22 12 13 11 13 13 23 13 P P 2P R(t) 2V P P1 P P P P D(t) D(t) R(t) P P1 P P P T R(t)             2 12 22 22 23 33 23 12 13 23 23 2 33 w 13 33 2 P4V 2 P P P D(t) D(t) R(t) P P P P2V P P D(t) D(t) T R(t) 2P S P P T T R(t)              (28) 11P R 1 s 13P R 1 s 1 T 1 D ( )v t 1( )X t ( )Y t 12P R 1 s 2 cV D 1 D 1Xˆ 3Xˆ 2Xˆ 2 ( )K s Ma Hình 3. Sơ đồ cấu trúc bộ lọc Kalman được tổng hợp đồng thời với điều khiển tối ưu trục định hướng anten. Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN Quân sự, Số 29, 02 - 2014 23 4. Kết luận Bài báo đã tổng hợp được thuật toán bộ lọc Kalman bám tọa độ mục tiêu trên tên lửa tự dẫn với mở rộng xác định đồng thời tín hiệu tối ưu điều khiển trục định hướng anten như mô tả ở các công thức trong (27), (28). So sánh với các thuật toán hệ tọa độ trước đây (khi không xét đến yêu cầu điều khiển tối ưu trục anten) ta thấy có điểm mới khác biệt sau đây: tín hiệu điều khiển trục anten chính là ước lượng hậu nghiệm tối ưu cho góc mục tiêu 1Xˆ và đây cũng là tín hiệu phản hồi của bộ lọc Kalman mới được tổng hợp và sẽ đưa về so sánh trực tiếp với tọa độ góc 1X của hệ xác định tọa độ mục tiêu trong vòng điều khiển tên lửa tự dẫn. Còn các kết quả trước đây khi tổng hợp bộ lọc Kalman xác định tọa độ mục tiêu chưa tính đến kết hợp xác định tín hiệu tối ưu điều khiển trục anten: tín hiệu phản hồi của bộ lọc Kalman này được so sánh với đầu ra kênh quan sát y(t) chứ không trực tiếp với tọa độ góc 1X như nhận được trong bài báo này. Bài báo đã xem xét trong khuôn khổ đặt vấn đề giải quyết bài toán tuyến tính (lọc Kalman) trong trường hợp tọa độ góc mục tiêu 1X ở lân cận đủ nhỏ xung quanh đường trục cân bằng định hướng anten (để sử dụng được giả thiết dạng tuyến tính của bộ phân biệt). Trong thực tế cần thiết tiếp tục mở rộng các nghiên cứu cho trường hợp về xây dựng thuật toán bộ lọc phi tuyến kết hợp đồng thời có điều khiển tối ưu trục định hướng anten khi đặc tính bộ phân biệt là phi tuyến với vùng thay đổi tham số tọa độ góc mục tiêu 1X lớn hơn và nằm trong trường nhìn của anten ra đa đơn xung trên hệ tên lửa tự dẫn. Tài liệu tham khảo [1]. Артемьев В.М., Яшугин Е.А., Основы автоматического управления систем радиоэлектронных средств. Москва. Военное издательство, 1984. [2]. Kазаков И.Е., Статистическая теория систем упраления а пространстве состояний. М. Наука, 1975. [3]. Kазаков. И. Е, Артемьев. В. М., Оптимизация динамических систем случайной структуры. М. Наука, 1980. [4]. Kазаков. И. Е, Артемьев. В. М., Бухалев В.А., Анализ систем случайной структуры. М. Наука, 1993. [5]. Меркулов В.И., Дрогалин В.В. и другие, Авиационнче системы радиоуправления. М. Радиотехника, 2003. [6]. Simon Haykin, Kalman filtering and neural networks. New York, John Wiley & Sons. 2001. [7]. Перов А.И., Статистическая теория радиотехнических систем. М. Радиотехника, 2003. Tên lửa V. Đ. Trường, N. T. Cường, "Tổng hợp thuật toán lọc Kalman định hướng anten." 24 [8]. Nguyễn Tăng Cường, Vũ Đức Trường, “Phân tích chất lượng động học điều khiển thiết bị bay tự dẫn trên cơ sở mô phỏng thử nghiệm thống kê”, Tuyển tập Hội nghị khoa học công nghệ cơ khí chế tạo toàn quốc lần thứ hai, 2009. abstract The synthesis of Kalman filtering algorithms for target coordinations system on a self- guidance missile with optimal control main-lope axis of antenna The discriminate characteristic of the antenna’s beam in monopulse Radar of self- guidance missile is nonlinear, so it is difficult to incorporate into the following Kalman filtering algorithms synthesis for coordinate tracking system. In the case of a small variation between target’s coordinations and the main-lobe axis of antenna, the charateristic is considered as being linear, and could be appropriated by a linear funtion, then this function is integrated into the filter. This paper presents the new approach to synthetize Kalman filter with optimal values of controlling the main-lobe axis for the target’s coordinate tracking system of self- guidance missile. This result could be futher used in intercepting missile systems, moving objects control systems, and other navigation systems. Keywords: Kalman filtering, Optimal control, Discriminate characteristic. Nhận bài ngày 26 tháng 12 năm 2013 Hoàn thiện ngày 16 tháng 01 năm 2014 Chấp nhận đăng ngày 14 tháng 01 năm 2014 Địa chỉ: Học viện KTQS.