Tổng hợp hệ thống điều khiển phi tuyến bậc cao có tham số biến đổi dùng điều khiển trượt bậc hai

Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 49, 06 - 2017 35 TỔNG HỢP HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN PHI TUYẾN BẬC CAO CÓ THAM SỐ BIẾN ĐỔI DÙNG ĐIỀU KHIỂN TRƯỢT BẬC HAI Lê Trần Thắng1, Trần Văn Nhân2*, Nguyễn Khắc Tuấn3 Tóm tắt: Điều khiển trượt – Sliding mode control (SMC) là một phương pháp điều khiển được áp dụng rộng rãi với những ưu điểm nổi bật là sự bền vững chống lại nhiễu loạn và sự biến đổi của tham số, thiết kế hệ thống giảm bậc và cấu trúc điều khiển đơn giản. Tuy nhiên, nếu bậc của hệ thống lớn hơn 2 thì phải xử lý vấn đề siêu bề mặt trượt, điều này đòi hỏi những tính toán phức tạp. Bài báo này trình bày một phương pháp tổng hợp một lớp hệ thống phi tuyến bậc cao trên cơ sở sử dụng SMC bậc hai nhằm đơn giản hóa tính toán và tận dụng các ưu điểm của trượt bậc hai. Từ khóa: Điều khiển trượt bậc hai, Giảm chattering, Hàm chuyển mạch. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Trong thực tế, nhiều giải pháp tổng hợp bộ điều khiển theo các phương pháp kinh điển gặp khó khăn với những hệ thống phi tuyến, hệ thống có các tham số thay đổi... Nếu không kiểm soát được sự biến động của các tham số, không loại trừ được nhiễu thì chất lượng động học hệ thống sẽ bị thay đổi, hệ thống sẽ mất ổn định. Có nhiều phương pháp để giải quyết những khó khăn này một trong số đó là sử dụng bộ điều khiển trượt (SMC) [3]. Đây là phương pháp điều khiển hiện đại có thế mạnh trong tổng hợp các hệ thống điều khiển phức tạp. Tuy nhiên, hạn chế cơ bản của SMC là hiện tượng “chattering” [6]. Hiện nay, SMC đang là một hướng được quan tâm nghiên cứu, phát triển và áp dụng cho nhiều hệ thống kỹ thuật, nhiều đối tượng, trong đó có các hệ thống tự động bám sát mục tiêu (HTĐBSMT) [3, 4]. Khi thiết kế bộ điều khiển SMC cho các hệ thống bậc cao thì phương trình mặt trượt có bậc lớn, hay gọi là siêu mặt trượt, điều đó tăng mức độ phức tạp và khó khăn trong tính toán. Để giảm đi khó khăn trên bài báo này sẽ đề xuất một phương pháp tổng hợp SMC cho các hệ thống điều khiển phi tuyến bậc cao có tham số biến đổi trên cơ sở bộ điều khiển trượt bậc hai. 2. MÔ TẢ VÀ TỔNG HỢP BỘ ĐIỀU KHIỂN CHO HỆ THỐNG 2.1. Mô tả hệ thống Xét một lớp hệ thống điều khiển phi tuyến SISO bậc n có tham số biến đổi với nhiễu loạn, các yếu tố không chắc chắn được mô tả như sau: ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) i n i i i a x t f x d t u t = = + + = (1) Trong phương trình (1): x(t) là tín hiệu ra; x(i)(t) là vi phân cấp i của x(t); ai là hệ số tương ứng của x(i)(t); u(t) tín hiệu điều khiển đầu vào; d(t) là thành phần nhiễu bên ngoài và phụ thuộc vào thời gian; f(x) là nhiễu phụ thuộc trạng thái; ai là các hệ số thỏa mãn điều kiện Huzwit, lớn hơn không. Trong hệ thống (1) không mất tính tổng quát nếu chúng ta giả thiết các thành phần ai, d(t) và ( )f  bị chặn theo qui luật sau: ii M aa  ; M d d và Mf f Kỹ thuật điều khiển & Điện tử L. T. Thắng, T. V. Nhân, N. K. Tuấn, “Tổng hợp hệ thống điều khiển trượt bật hai.” 36 Trong điều khiển nếu bậc của hệ thống lớn hơn hai thì phải giải quyết vấn đề siêu bề mặt trượt trong không gian nhiều chiều, điều này đòi hỏi những kỹ thuật tính toán phức tạp. Trong bài báo này đưa ra một phương pháp sử dụng bộ điều khiển trượt bậc hai cho hệ thống (1) được sử dụng bằng cách xem các thành phần bậc ba trở lên là nhiễu bậc cao. Trong [9] đã bỏ qua các thành phần bậc cao nếu hệ số nhỏ hơn nhiều so với thành phần bậc hai mà không ảnh hưởng nhiều đến các chỉ tiêu đặc trưng của quá trình điều khiển. Vì thế, trong hệ thống (1) nếu các thành phần ( ) 3 ( ) i n i i i a x t = =  bị chặn khi t tiến đến ∞ và các hệ số ia đủ nhỏ thì (1) được xem như hệ thống bậc hai được biểu diễn như sau: 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )a x t a x t F x d t u t+ + + =  , (2) trong đó: ( ) 3 ( ) ( ) ( ) i n i i i F x a x t f x = =   = +     , ( ) MF x F là thành phần nhiễu phụ thuộc trạng thái. Việc nghiên cứu hệ thống (1) sẽ được thay thế bởi hệ thống (2). Sơ đồ điều khiển (2) được mô tả như sau: Hình 1. Sơ đồ cấu trúc hệ thống (2). Do ai biến đổi theo thời gian và hệ thống có các yếu tố nhiễu loạn, không chắc chắn nên chúng ta dùng mô hình danh định sau làm mô hình tham chiếu cho hệ thống (2): 2 1( ) ( ) ( )n n n na x t a x t t+ =  (3) Trong đó: a1n , a2n – Các hệ số danh định, thỏa mãn điều kiện Huzwit, lớn hơn không; xn(t) – Tín hiệu ra danh định; xd(t) – Tín hiệu đặt; ( )t – Tín hiệu điều khiển danh định. Để điều khiển hệ thống (3) sử dụng bộ điều khiển sau [3]: 1 2 1 2 2 ( )n n d d n a a x x h e h e a  = +     với các hệ số h 1 = k 2 và 12 2 2 n n a h k a =  , k  0; n de x x=  . 2.2. Thiết kế bộ điều khiển cho hệ thống Với hệ thống (2) trong [2] các tác giả đã đề xuất một bộ điều khiển trượt và một hàm chuyển mạch mới trong vùng gần bề mặt trượt cho một hệ thống bậc hai có tham số biến đổi. Bộ điều khiển này đảm bảo tổng hợp hệ thống có các chỉ tiêu chất lượng cao như thời Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 49, 06 - 2017 37 gian quá độ và sai số xác lập nhỏ, khả năng chống nhiễu tốt. Tuy nhiên, bài báo [2] chưa chứng minh được tính ổn định tiệm cận của hệ thống khi sử dụng hàm chuyển mạch mới trong vùng gần bề mặt trượt. Để giải quyết vấn đề đó cần tổng hợp một luật điều khiển cho hệ thống (2) và chứng minh tính ổn định tiệm cận của hệ thống (2) trong vùng gần bề mặt trượt theo tiêu chuẩn ổn định Lyapunov. Ta có bổ đề sau. Bổ đề 1: Xét hệ thống điều khiển (2) với p là số nguyên không âm; , , , ,K h   là các số thực dương và nếu hệ (2) thỏa mãn các điều kiện sau: 1 2 10 1 2 1 sin( ) ; M M M M M M d F ph khi s K d F ph d F khi s K h d F s khi s         +  +        +  + = +        +       trong đó, s là mặt trượt, thì bộ điều khiển: 2 1 2 2 1 2 (2 1) ( ) ( ) sin( )(2 1) ( ) n n pKs hsign s a x a x khi s a u spKs h a x a x khi s a  l    l    +  +  +   =  +  +  +       (4) đảm bảo cho hệ thống (2) ổn định tiệm cận. Sau đây, ta sẽ chứng minh bổ đề 1 cho từng trường hợp. 2.2.1. Chứng minh trường hợp s  Để chứng minh bổ đề trên đặt n n e x x=  , lựa chọn mặt trượt như sau: n n s e el= + trong đó 1 2 0n n a a l =  . Vậy s = en +l en . Chọn hàm Lyapunov dạng: 2 2 1 2 V a s= . Đạo hàm của V là: 2V a ss=   , hay : 2 ( )n nV a s e el= +   2 [( ) ( )]n na s x x x xl=  +     2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 [( ) ( )] n n n n n n n n n n a a a s a x a x a x a x a x a x a x x a a a l= +    + +        . Thay l = 1 2 n n a a vào biểu thức trên, ta có: V 22 1 2 1 1 2 2 [( ) ( ) ] n n n n n a s a x a x a x a x a x a x a l= +  +  +      Kỹ thuật điều khiển & Điện tử L. T. Thắng, T. V. Nhân, N. K. Tuấn, “Tổng hợp hệ thống điều khiển trượt bật hai.” 38 2 1 2 2 [ ] n a s u d F a x a x a  l=     +  . (5) Kết hợp (4) (trường hợp s  ) và (5) được: 2V a ss=   2( 1) ( )pKs h s s d F+=    + 2( 1) ( )pKs s h d F+     , vì 2 0a  suy ra: 2( 1) 2 1 ( ( )pss Ks s h d F a +  +   . (6) Theo lý thuyết hàm Lyapunov để hệ thống (2) ổn định tiệm cận thì đạo hàm 2 0V a ss=    , tương ứng với vế phải của (6) phải nhỏ hơn không, điều đó đạt được khi bất đẳng thức sau thỏa mãn: (2 1) ( ( )) 0 p s K s d F s h +  + +  . (7) Do Md d và MF F nên chỉ cần chứng minh: (2 1) ( ( )) 0 p M Ms K s d F s h +  + +  (8) Từ (7) cho thấy: - Nếu 1 2 1M M pd Fs K ++       thì (7) luôn đúng nếu h>0 nhỏ tùy ý. - Nếu 1 2 1M M pd Fs K  ++        thì (8) được viết lại như sau: (2 1) [( ( )] 0 p M Ms K s h d F + +  +  , Khi đó do M Mh d F= + (9) Nên (7) được thỏa mãn, hay đạo hàm của hàm Lyapunov 2 0V a ss=    . Điều kiện trượt được thỏa mãn chặt và hệ thống (2) ổn định tiệm cận. (đpcm) Trong (4), do p là số nguyên không âm nên thành phần (2 1)pKs + sẽ nhanh chóng đưa hệ thống (1) tiến về mặt trượt khi s lớn và cũng nhanh chóng giảm về 0 khi hệ thống đã ở gần mặt trượt (s gần bằng không) mà không làm tăng “chattering” trong hệ thống do đây là một hàm liên tục. Nhận xét: Khi s ở xa mặt trượt, 1 2 1M M pd Fs K ++       thì chọn h>0 nhỏ tùy ý, khi s ở gần bề mặt trượt hơn 1 2 1M M pd Fs K  ++        thì phải chọn h thỏa mãn (9). Vế thứ nhất của bộ điều khiển (4) đảm bảo cho hệ thống (2) ổn định tiệm cận [2], lúc này thành phần không liên tục trong bộ điều khiển: ( )hsign s chỉ phụ thuộc vào biên độ nhiễu, loại bỏ được sự ảnh hưởng về thay đổi các tham số của hệ thống. Điều này cho phép làm giảm “chattering” trong hệ thống. Tuy nhiên, ( )hsign s vẫn giao động với tần số Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 49, 06 - 2017 39 cao trong biên độ  ,h h . Điều này gây ra “chattering” ảnh hưởng xấu đến các hệ thống cơ khí và có thể phá hủy phần dẫn động. 2.2.2. Chứng minh trường hợp s  Để giảm ảnh hưởng của “chattering”, trong vùng gần bề mặt trượt khi s  tác giả sử dụng hàm liên tục sin( ) /s  [2]. Trong [2] đã hạn định 1  , mặt khác ta chỉ cần xét trong trường hợp / 2s     tức là / 2   vậy: 1 / 2    (10) Kết hợp (4) (trường hợp s  ) và (5) được: sin( )2( 1) ( ) sp V Ks hs s d F   + =   + + Hệ thống sẽ ổn định theo tiêu chuẩn Lyapunov nếu: sin( )2( 1) ( ) 0 sp Ks hs s d F   +   + +  (11) Hay sin( ) ( ) 0 s hs s d F    + +  (do 2( 1)p Ks +  0 và p > 0) sin( ) ( ) 0 s s h d F        +     sin( ) ( ) 0 s h d F       +     (12) Do giả thiết sin( )d F s +  (với  là hằng số nào đó) khi s  , khi đó chọn h    hay h    thì (12) đúng nên (11) đúng. (đpcm) Thông thường, hệ số  được chọn đủ lớn để sin( )s giảm về 0 từ giá trị biên  , giá trị này gấp  lần giá trị biên chuyển mạch nhằm hạn định giá trị  không quá lớn. 3. KẾT QUẢ MÔ PHỎNG Mô phỏng HTĐBSMT sử dụng động cơ một chiều không chổi than (Torque BLDC motor) có mô hình toán học đầy đủ được mô tả như sau [1],[6]: [ ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) ( )K T T x t T x t x t f x d t u te e m m+ + + + =   Trong đó, Te là hằng số điện từ, Tm là hằng số điện cơ, Ke là hệ số tỷ lệ. Vậy: a3=KeTeTm; a2=KeTm; a1=Ke; Đây là trường hợp riêng của (1) khi n=3. Biểu diễn dưới dạng (2) được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K T x K x F x d t u te m e F x f x K T T xe e m + + + = = +    Thực hiện mô phỏng với động cơ điện S Series Brushless Torque Motor- Aerotech S- 180-44-A có công suất 313W, các tham số được quy đổi theo [6], [7]. Tham số momen Kỹ thuật điều khiển & Điện tử L. T. Thắng, T. V. Nhân, N. K. Tuấn, “Tổng hợp hệ thống điều khiển trượt bật hai.” 40 quán tính của hệ thống được tính trên cơ sở tải cân bằng và có khối lượng 30 kg. Các tham số của đối tượng: 1 2 3 2, 2 / ; 7, 40 10 ; 3, 4 10 31 12,8 ; 2,5650897; 17 10 ( ); 0, 27 10 ( ) 3 4,3606525; 1,177376 10 K Nm A J kgm L Ht R K T s T L R se m e K T K T Te m e e m   = =  =   =  = =  = =   = =  Giả sử các hệ số ai biến thiên theo quy luật sau: 1 2 3 3 3 2,5650897 sin( ); 4,3606525 2sin(2 ); 1,177376 10 10 sin(3 ). a t a t a t  = + = + =  + Vậy 1 2 2,5650897; 4,3606525 n n a a= = . Đặt :                 [ ( ) ]10 2 [ 2 (20 2 3 3 ) ] f x sin sin x sin x cos x d t sin t sin t sin x t cos t =  + + + =  + + +   Vậy: 3( ) ( ) 1,177376 10F x f x x  = +   Tín hiệu đặt:   ).(dx t sin t= Chọn 0.02 = . Trong (4), nếu chọn K > 0 quá lớn sẽ làm biên độ điện áp đầu ra bộ điều khiển quá lớn, có thế vượt qua các giới hạn vật lý của hệ thống. Trong trường hợp này, ví dụ chọn K = 10. Giá trị lớn nhất của nhiễu: 3.50; 120; 50 1,177376 10 M M M f d F = = = +  Đối với bộ điều khiển của hệ thống (3), do điều kiện k > 0 và k càng lớn thì thời gian phản ứng của hệ thống càng nhanh, ví dụ chọn k = 8, tính được: h1=k 2=64 và 1 2 2 2,5650897 4,3 2 2* 606 8 15.4 5 12 52 n n a h k a =  =  = . Hình 2. Sơ đồ mô phỏng hệ thống (2). 1 - Bộ điều khiển cho hệ thống danh định; 2 - Mô hình danh định của hệ thống (2); 3 - Bộ điều khiển đề xuất (4); 4 - Mô hình thực tế của hệ thống (2). Mô phỏng và so sánh trong trong các trường hợp sau : - Trường hợp 1: Mô phỏng hệ thống (2) trong trường hợp bộ điều khiển (4) chỉ sử dụng Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 49, 06 - 2017 41 hàm dấu chuyển mạch sign(s). - Trường hợp 2: Mô phỏng hệ thống (2) trong trường hợp sử dụng bộ điều khiển (4) với các giá trị  thỏa mãn (10). Kết quả cho thấy sai số xác lập giảm khi  tăng. Lấy ba đại lượng sau làm ví dụ mô phỏng: α = 2; α = 20; α = π/2δ = 78.25975. Hình 3. Sai số bám khi sử dụng (4) với H=FM+dM ;sign(s). Hình 4. Sai số bám khi sử dụng (4) với α = 2. Hình 5. Sai số bám khi sử dụng (4) với α = 20. Kỹ thuật điều khiển & Điện tử L. T. Thắng, T. V. Nhân, N. K. Tuấn, “Tổng hợp hệ thống điều khiển trượt bật hai.” 42 Hình 6. Sai số bám khi sử dụng (4) với α = 78.25975. Bảng 1. Bảng so sánh các kết quả mô phỏng và tính toán. Trường hợp Bộ điều khiển Giá trị ,h  tại 0.02 = Thời gian quá độ ( qdt ) Sai số xác lập ( ) 1 (4) H=FM+dM ;sign(s) 0.5669 (s) 21.3 10   2 (4) h=FM+dM ; 2 = 0.5539 (s) 210  3 (4) h=FM+dM ; 20 = 0.5894 (s) 35 10   4 (4) h=FM+dM 78.25975 = 0.5926 (s) 42 10   Nhận xét : Khi mô phỏng với bộ điều khiển (4) trong các trường hợp khác nhau thì thời gian quá độ chênh lệch không đáng kể (nhỏ hơn 0.03 s). Trong các trường hợp, thời gian quá độ 0.6(s) qd t  . Sai số xác lập khi sử dụng bộ điều khiển (4) với hàm chuyển mạch sign(s) lớn hơn đáng kể khi sử dụng bộ điều khiển (4) với hàm sign(s) kết hợp hàm đề xuất sin( ) / .s  Sai số xác lập giảm nhanh khi  tăng, đặc biệt khi max / 2   = = thì sai số xác lập 42 10 .   4. KẾT LUẬN Bài báo đã đề xuất một phương pháp điều khiển hệ phi tuyến bậc cao sử dụng bộ điều khiển trượt bậc hai và tính toán hạn định một tham số trong hàm chuyển mạch đã đề xuất trong vùng gần bề mặt trượt. Tính ổn định theo tiêu chuẩn Lyapunov đã được chứng minh trong vùng xa và gần bề mặt trượt. Hệ thống tương đương (2) đạt được các chỉ tiêu chất lượng cao, có khả năng chống nhiễu tốt, không bị ảnh hưởng bởi sự thay đổi của các tham số và giảm thiểu được chattering trong quá trình xác lập. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Nguyễn Trung Kiên, “Xây dựng phương pháp tổng hợp hệ thống điều khiển các đài quan sát tự động định vị từ xa các đối tượng di động”, Luận án tiến sỹ kỹ thuật, Viện Khoa học và Công nghệ quân sự, 2015. [2]. Trần Văn Nhân, Lê Trần Thắng, Nguyễn Thượng San, “Một phương pháp tổng hợp hệ thống điều khiển phi tuyến có tham số biến đổi trong vùng gần bề mặt trượt” , Tạp chí Nghiên cứu KH và CN Quân sự, số đặc san Tên lửa, tháng 9/2016, tr. 77-83. Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 49, 06 - 2017 43 [3]. Jinkun Liu, Xinhua Wang, “Advanced Sliding Mode Control for Mechanical Systems”, Tsinghua University Press, Beijing, 2012. [4]. Xinghuo Yu, Okyay Kaynak,“Sliding-Mode Control With Soft Computing: A Survey”, IEEE Transactions on Industrial Electronics, Vol. 56, N0. 9, September 2009. [5]. Lee, H, & Utkin, V. I. “The Chattering Analysis”, Advances in Variable Structure and Sliding Mode Control, Lecture Notes in Control and Information Sciences (Vol. 334), 2006. [6]. PITTMAN Motors, “Servo motor application note”. [7]. series.aspx?p=%2fproduct-catalog%2fmotors.aspx [8].Смольников П.П, “Синтез квазиоптимальных систем aвтоматического управления”. Энергия, Ленинград 1967. ABSTRACT A SYNTHESIS METHOD OF HIGHER-ORDER NONLINEAR CONTROL SYSTEM WITH VARIABLE PARAMETERS USING 2ND SLIDING MODE CONTROL. Sliding mode control (SMC) is a widely used control method with outstanding advantages of durability against disturbance and variable parameters, reduced- order system design and simple control structure. However, if the system order is higher than 2, then the problem of hyperplane which requires complex calculations has to be treated. In this article, a second-order sliding mode control (2nd-SMC) is proposed for synthesizing a higher-order nonlinear system class based on the use of a second-order SMC to simplify calculations and take advantage of 2nd-SMC. Keywords: Second-order sliding mode control, Chattering reduction, Switching function. Nhận bài ngày 11 tháng 5 năm 2017 Hoàn thiện ngày 01 tháng 6 năm 2017 Chấp nhận đăng ngày 20 tháng 6 năm 2017 Địa chỉ: 1 Viện Tự động hóa Kỹ thuật quân sự; 2 Học viện Hải quân; 3 Đại học Sư phạm Vinh. *Email: tranvannhannt@gmail.com.