Tối ưu hóa một số kết cấu giàn theo hàm trọng lượng

Chương 8TỐI ƯU HÓA MỘT SỐ KẾT CẤU GIÀN THEO HÀM TRỌNG LƯỢNG. 8.1. Tổng quan về một số kết cấu giàn phẳng 2D và giàn không gian 3D. Kết cấu giàn là loại kết cấu thường thấy trong đời sống nói chung cũng như trong kỹ thuật nói riêng: ngành công trình, xây dựng dân dụng, cầu đường… Đối với ngành Thiết kế chế tạo máy trục, kết cấu giàn là một kết cấu thường được sử dụng nhiều. Kết cấu giàn dường như đã trở thành điểm đặc trưng trong các loại máy trục có sức nâng và khẩu độ từ trung bình đến lớn và rất lớn. Do nhiều ưu điểm nổi trội, kết cấu giàn đã và đang được sử dụng rộng rãi trong lĩnh vực thiết kế, chế tạo máy trục. Để có thể thấy rõ được ưu, nhược điểm của kết cấu giàn, ta tiến hành so sánh nó với kết cấu hộp trong cùng một điều kiện làm việc. Ưu điểm của kết cấu giàn: + Khi cùng một khẩu độ, kết cấu giàn có trọng lượng nhỏ hơn khá nhiều so với kết cấu dầm hộp. + Kết cấu giàn có độ cản gió thấp, làm giảm tải trọng gió tác dụng vào giàn (đặc biệt có ý nghĩa với các kết cấu làm việc trong vùng có gió lớn thường xuyên như: trên sông biển, vùng thường có bão…). + Dễ chế tạo, lắp đặt và bảo quản. + Vận chuyển thường đơn giản do giàn được chế tạo thành các môđun có độ dài phù hợp. + Phù hợp cho các kết cấu có yêu cầu khẩu độ, nhịp, tải trọng lớn. Nhược điểm của kết cấu giàn: + Mức độ tin cậy trong tính toán không cao (do đặc trưng trong tính toán giàn là phương pháp tính gần đúng). + Có độ bền mỏi thấp hơn kết cấu dầm hộp. + Khó áp dụng tự động hoá trong chế tạo do hình dạng phức tạp. + Khi chế tạo kết cấu giàn thường tốn công sức nhiều hơn kết cấu dầm hộp. Một số tiết diện giàn phẳng 2D thường gặp: Giàn có biên song song Giàn có khoang dạng tam giác Giàn có biên dưới gãy khúc Giàn không có thanh chống đứng Giàn không có thanh xiên Giàn có thanh bụng nghiêng một phía Giàn có thanh bụng hình thoi Giàn biên tam giác Một số tiết diện giàn không gian 3D thường gặp: Giàn không gian có kết cấu 4 mặt Giàn không gian 4 mặt có khoang tam giác Giàn không gian tam giác đáy phía trên Giàn không gian tam giác đáy phía dưới 8.2. Xác định hàm mục tiêu khi tiến hành tối ưu kết cấu giàn. Giả thuyết khi tính toán các kết cấu giàn là trong giàn, các thanh chỉ xuất hiện nội lực dọc theo trục thanh (tức là các thanh chỉ chịu lực dọc trục) mà không chịu mômen uốn hay lực cắt. Điều kiện bền của thanh được cho theo dạng tổng quát sau: (8.1.2a) Trong đó: Nt : là nội lực trong thanh. Ft : là diện tích chịu lực của mặt cắt thanh. []: là ứng suất cho phép của vật liệu chế tạo thanh. Khi giàn chịu tải trọng, các thanh trong giàn chịu một nội lực tương ứng. Nội lực này có thể tìm được bằng các phương pháp của môn cơ kết cấu. Tiến hành chọn tiết diện và kiểm tra bền cho các thanh theo công thức (8.1.2) trên. Khi đó, ta chọn được tiết diện của thanh nghĩa là cũng biết được tổng thể tích của các thanh trong giàn do chiều dài thanh đã xác định. Trọng lượng giàn tỉ lệ thuận với tổng thể tích của các thanh trong giàn và xác định theo công thức sau: (8.1.2b) Trong đó: : trọng lượng riêng của vật liệu chế tạo giàn. : tổng thể tích của các thanh trong giàn. Bài toán tính toán tối ưu đặt ra yêu cầu xác định hàm trọng lượng giàn theo một thông số nào đó của giàn. Tiến hành xem xét các thông số của giàn phẳng , ta có nhận xét như sau: + Nếu chọn trước vật liệu chế tạo giàn thì [] = const, = const. + Ngoại lực đặt vào giàn là xác định: P = const. + Nếu chọn trước hình dáng giàn thì các thông số hình dạng như: góc giữa các thanh, chiều dài thanh, chiều cao giàn là biết trước. + Nội lực trong thanh là phụ thuộc vào hình dạng của giàn. + Tổng thể tích giàn phụ thuộc vào hình dạng giàn. Trong các thông số trên, việc thay đổi thông số nào cũng gây ra việc thay đổi trọng lượng giàn. Tuy nhiên, trong điều kiện: trạng thái làm việc và vật liệu chế tạo giàn là cố định, thì trọng lượng giàn phụ thuộc chủ yếu vào hình dạng của giàn. Do đó, cần thiết lập phương trình biểu diễn mối quan hệ của trọng lượng giàn theo các thông số hình học của giàn. Đây là hàm mục tiêu cần xác định khi tiến hành tính toán tối ưu: Gg = min = (8.1.2c) Trong đó: Gg: là hàm trọng lượng giàn. f(i): là hàm số trọng lượng với tham số i là thông số của giàn. : tổng trọng lượng n thanh trong giàn. 8.3. Xác định giá trị tối ưu theo hàm mục tiêu cho kết cấu giàn phẳng 2D. Theo hàm mục tiêu Gg = f(i), thì trong giàn phẳng, tham số i có thể là: chiều cao giàn hoặc góc giữa các thanh. Xét một số giàn phẳng có tính chất như sau: Giàn có cùng khẩu độ bằng L. Góc giữa các thanh bằng . Các khoang giàn có hình dạng giống nhau, xem số khoang giàn là thay đổi từ 1 đến n (n >1). Dễ dàng nhận thấy, khi số khoang giàn tăng lên thì chiều cao giàn sẽ giảm xuống. Chiều cao giàn h phụ thuộc vào góc và số khoang giàn a: (8.1.3a) Khẩu độ của giàn: L = a.n a: là độ rộng một khoang giàn. Theo đó, ta có: (8.1.3b) Xét trường hợp khi có n=4 khoang giàn, lực P đặt tại giữa giàn. Sử dụng phương pháp mặt cắt trong cơ kết cấu để xác định nội lực nguy hiểm trong các thanh. Ở đây, các thanh có nội lực nguy hiểm nằm ở giữa giàn. Xác định được các giá trị nội lực như sau: (lực nén) (lực kéo) (lực nén) Khi số khoang trong giàn có giá trị lẻ n=1,3,5…, nội lực vẫn giữ giá trị như trên nhưng thay đổi vị trí và chiều tác dụng lên các thanh như hình bên. So sánh các giá trị trên, ta thấy nội lực có giá trị lớn nhất bằng: Trong các thanh bụng trong giàn thì giá trị nội lực không đổi cho dù số khoang trong giàn là chẵn hay lẻ. Tổng chiều dài của các thanh biên ngang trong giàn là: = (2n-1)a (8.1.3c) Công thức (8.1.3c) sử dụng cho cả loại giàn có số khoang lẻ và chẵn. Diện tích mặt cắt cần thiết cho các thanh biên ngang chịu lực lớn nhất được tính theo điều kiện bền như sau: (8.1.3d) Tổng thể tích của các thanh ngang trong giàn bằng: (8.1.3e) Tổng chiều dài của các thanh biên ngang trong giàn là: = 2n. (8.1.3f) Điều kiện bền của các thanh này tính theo công thức (8.1.3d) như sau: (8.1.3g) Tổng thể tích của các thanh bụng trong giàn bằng: (8.1.3h) Theo đó, tổng thể tích của các thanh trong giàn bằng: (8.1.3i) Nhận xét: theo công thức (8.1.3i), ta thấy tổng thể tích của các thanh trong giàn là một hàm phụ thuộc vào tham số n và . Công thức trên cũng cho thấy nếu n=1 thì hàm thể tích sẽ đạt giá trị nhỏ nhất theo tham số thứ 2 là . Do đó, nếu chọn trước tham số n theo hình dạng giàn thì ta có thể tìm được tham số để hàm trọng lượng có giá trị tối ưu nhỏ nhất. Tìm giá trị của sao cho hàm thể tích đạt giá trị tối ưu bằng cách đạo hàm hàm thể tích theo tham số , hàm thể tích có thể được thay thế bằng hàm theo như sau: (8.1.3j) Đạo hàm của hàm y() theo tham số và cho hàm thu được bằng 0, ta sẽ giải ra giá trị của cho hàm y() tối ưu: = 0 Giải phương trình trên, hàm số đạt giá trị tối ưu với: (tan)2 = 2n Có thể tiến hành lập bảng để tính giá trị tỉ số chiều cao giàn trên khẩu độ như sau: Bảng 8.3: Giá trị tỉ số khi tham số n thay đổi Tham số n Góc (o) Tỉ số 1 54,74 0,707 2 63,43 0,500 3 67,79 0,408 4 70,53 0,354 5 72,45 0,316 6 73,90 0,289 7 75,04 0,267 8 75,96 0,250 9 76,74 0,236 10 77,40 0,224 11 77,96 0,213 12 78,46 0,204 13 78,90 0,196 Theo bảng trên, có thể tiến hành chọn trước giá trị của n, theo đó tính ra giá trị của . Từ đó, có thể chọn được chiều cao giàn tối ưu theo độ rộng của khẩu độ giàn. 8.4. Xác định giá trị tối ưu theo hàm mục tiêu cho kết cấu giàn không gian 3D mặt cắt ngang dạng chữ nhật. Tương tự như khi tiến hành tối ưu hoá kết cấu giàn phẳng 2D, ta cũng xét một số giàn không gian 3D kết cấu dạng mặt cắt hình chữ nhật, có một số thông số như sau: Giàn có cùng khẩu độ bằng L. Bề rộng giàn bằng B. Góc giữa thanh xiên và thanh biên trong giàn biên đứng bằng 1. Góc giữa thanh xiên và thanh biên trong giàn biên ngang bằng 2. Các khoang giàn có hình dạng giống nhau, xem số khoang giàn là thay đổi từ 1 đến n (n >1). Tải trọng tác dụng vào giàn đặt giữa giàn, gồm có: + Tải trọng thẳng đứng P: song song mặt phẳng đứng. + Tải trọng nằm ngang W: vuông góc mặt phẳng đứng. Một số giả thiết khi tính toán: + Lực trong mặt phẳng nào chỉ tác dụng vào mặt giàn thuộc mặt phẳng đó. + Các thanh cùng loại trong mặt giàn đứng 2 phía chọn như nhau theo thanh có nội lực lớn nhất. + Các thanh cùng loại trong mặt giàn ngang trên và dưới chọn như nhau theo thanh có nội lực lớn nhất. + Thanh biên chọn theo hợp nội lực đại số của hai mặt giàn (có kể đến dấu và chiều của nội lực trong thanh). Như vậy, tương tự như khi giải bài toán giàn 2D, trong mặt phẳng giàn đứng, ta có nội lực các thanh như sau: (lực nén) (lực kéo) (lực nén) Khi số khoang trong giàn có giá trị lẻ n=1,3,5…, nội lực vẫn giữ giá trị như trên nhưng thay đổi vị trí và chiều tác dụng lên các thanh như hình bên. Trong mặt phẳng giàn ngang, tiến hành tách riêng mặt phẳng giàn phía dưới để tìm nội lực như sau: Tiến hành cắt giàn theo đường S1, ta giải được nội lực f1, f2, f3. Tiến hành tách mắt số  ta giải được f4, f3’. Cắt giàn theo đường S2, ta giải được f5, f6. Giá trị các nội lực thu được như sau: Nếu như chọn trước bề rộng của giàn như sau: B = k.h; với h là chiều cao giàn; k: là hệ số tỉ lệ chiều cao và bề rộng giàn. Ta tính được bề rộng giàn như sau: B = k.h = = Quan hệ giữa các đại lượng góc hình học của giàn như sau: Sau khi tiến hành giải được các nội lực trong các thanh trong giàn, ta tiến hành xác định nội lực lớn nhất trong từng loại thanh như sau: Nội lực lớn nhất trong các thanh của giàn ngang: + Thanh chéo: fmax = + Thanh đứng: fmax = Nội lực lớn nhất trong các thanh của giàn đứng: + Thanh chéo: fmax = Nội lực lớn nhất trong các thanh biên giàn xác định như sau: tiến hành so sánh các nội lực: f1, (f3+fb), ft. Với giá trị của chúng như sau: Trong các đẳng thức trên: W, P là các giá trị chưa biết trị số. Tuy nhiên để so sánh được trị số của đẳng thức, ta coi như W = P = max(W, P) = Po. Thay giá trị Po này vào các đẳng thức trên để so sánh giá trị của chúng. Khi đó, giá trị các biểu thức như sau: = = Hệ số bề rộng giàn so với chiều cao giàn k thường chọn nhỏ hơn 1 (tức B ft. So sánh tiếp giữa f1 và (f3+fb) ta thấy: (f3+fb) - f1 = Ta thấy: [k(n-1)+2 – n] > 0 (k < 1) đây là bất đẳng thức đúng. Do đó, ta thấy (f3+fb) - f1 > 0, nên trong các giá trị trên thì (f3+fb) là lớn nhất. Giá trị độ dài các thanh như sau: + Thanh chéo giàn đứng: = 4na + Thanh chéo giàn ngang: = (2n-1). + Thanh đứng giàn ngang: = (2n+1). + Thanh biên: = 2a(2n-1) Diện tích mặt cắt các thanh cần thiết (tính theo công thức 8.1.2a): Các thanh của giàn ngang: + Thanh chéo: + Thanh đứng: Các thanh của giàn đứng: + Thanh chéo: + Thanh biên: = Khi đó, ta tính được thể tích các thanh cần thiết như sau: Các thanh của giàn ngang: + Thanh chéo: + Thanh đứng: Các thanh của giàn đứng: + Thanh chéo: 4.n.a + Thanh biên: = .2a(2n-1) Tổng thể tích các thanh trong giàn: =+++ Thay số vào ta có: = Để trọng lượng giàn nhỏ nhất thì ta cho =0, tìm được giá trị để hàm số đạt cực trị. Hàm số đạt giá trị cực trị khi biểu thức trong ngoặc vuông đạt cực trị. Tiến hành đạo hàm phần biểu thức trong ngoặc vuông: == 0 Giải phương trình trên ta được: Trong công thức trên, tùy thuộc vào giá trị của k, n mà ta có các giá trị tối ưu khác nhau của chiều cao giàn theo tham số . Có thể tiến hành lựa chọn tỉ số giữa chiều rộng giàn và chiều cao giàn k trước, rồi lập bảng trong đó có giá trị của số khoang giàn n để tìm được chiều cao giàn tối ưu theo khẩu độ như sau: Bảng 8.4: Giá trị tỉ số khi tham số n thay đổi (k=0,8) Số khoang giàn n Tỉ số k = Góc (o) Tỉ số 1 0,8 43,47 0,47 2 0,8 50,05 0,30 3 0,8 53,38 0,22 4 0,8 55,76 0,18 5 0,8 57,65 0,16 6 0,8 59,22 0,14 7 0,8 60,57 0,13 8 0,8 61,74 0,12 9 0,8 62,78 0,11 10 0,8 63,71 0,10 11 0,8 64,55 0,10 12 0,8 65,31 0,09 13 0,8 66,00 0,09 14 0,8 66,64 0,08 15 0,8 67,23 0,08 16 0,8 67,77 0,08 17 0,8 68,28 0,07 18 0,8 68,76 0,07 19 0,8 69,20 0,07 20 0,8 69,62 0,07 21 0,8 70,01 0,07 22 0,8 70,38 0,06 23 0,8 70,73 0,06 24 0,8 71,07 0,06 25 0,8 71,38 0,06 Theo bảng trên, có thể tiến hành chọn trước giá trị của n, k theo đó tính ra giá trị của . Từ đó, có thể chọn được chiều cao giàn tối ưu theo độ rộng của khẩu độ giàn L. Theo các công thức kinh nghiệm trước đây, thường chọn chiều cao giàn bằng L = (0,08 ÷ 0,06)L. Số lượng khoang trong giàn cũng thường nằm trong khoảng từ 10 ÷ 20 khoang. Theo bảng 8.4 ta có giá trị tối ưu tương đương gần giống như các công thức kinh nghiệm.