Tối ưu hóa mô hình giàn ảo bằng phương pháp mật độ

TẠP CHÍ KHOA HỌC CÔNG NGHỆ GIAO THÔNG VẬN TẢI, SỐ 20 - 08/2016 41 TỐI ƯU HÓA MÔ HÌNH GIÀN ẢO BẰNG PHƯƠNG PHÁP MẬT ĐỘ DENSITY - BASED OPTIMIZATION FOR STRUT - TIE MODELING Mai Lựu Khoa Công Trình Giao Thông Đại học Giao Thông Vận tải TP.HCM Tóm tắt: Mô hình giàn ảo là một công cụ đặc biệt thích hợp cho việc tính toán và xử lý các khu vực chịu lực cục bộ của kết cấu bê tông cốt thép. Bài báo này trình bày phương pháp tối ưu Topology với thuật toán mật độ để thiết lập tự động mô hình giàn ảo. Phương pháp phần tử hữu hạn cũng được sử dụng để mô hình và phân tích trong quá trình tối ưu. Các mô phỏng số áp dụng phương pháp trình bày để xây dựng mô hình cho một số vùng D của kết cấu cầu bê tông cốt thép. Kết quả cho thấy chỉ số hiệu quả của mô hình được thiết lập từ phương pháp trình bày là khá tốt so với kết quả từ phương pháp truyền thống trước đây. Từ khóa: Mô hình giàn ảo, tối ưu Topology, vùng D, đầu dầm Super - T. Abstract: Strut - and - tie modeling is an effective design method to deal with D - regions of reinforced concrete structures. This paper presents a Topology optimization technique with the density filtering algorithm for automatically producing optimal strut-and-tie models. The algorithm utilizes the finite element method as a modeling and analytical tool. Some numerical simulations for the D - regions of reinforced concrete bridges are analyzed to illustrate the effectiveness of the presented method. The results show that the performance index obtained by using the proposed approach is better than this by the traditional one for developing strut - and - tie models. Keywords: Strut - and - tie model, topology optimization, D - region, dapped - end beam. 1. Giới thiệu Mô hình giàn ảo (STM) dùng để thiết kế các vùng không liên tục về mặt hình học và tải trọng (vùng D) trong các kết cấu bê tông cốt thép thường và dự ứng lực. Mô hình này có thể làm giảm độ phức tạp phân tích ứng suất trong vùng D bằng cách tạo ra một hệ thanh chỉ có lực dọc trục. Phương pháp thiết kế bê tông cốt thép theo mô hình STM đã chính thức áp dụng trong nhiều tiêu chuẩn tiên tiến trên thế giới như AASHTO LRFD, CSA A23.3, CEB-FIP Model Code 90,và tiêu chuẩn thiết kế cầu của Việt Nam 22TCN272 - 05. Tuy nhiên, tình hình thực tế cho thấy rằng phương pháp mới này được tiếp cận ở nước ta còn rất hạn chế do phần lớn các kỹ sư kết cấu chưa được trang bị một cách cơ bản về lý luận của phương pháp. Theo báo cáo [1], có tới 75% số kỹ sư chỉ sử dụng các thiết kế điển hình, kinh nghiệm hoặc dựa vào các quy định của các quy trình để cấu tạo các khu vực ứng suất phức tạp như các vùng có ứng suất tập trung do cáp dự ứng lực gây ra, vùng đầu dầm dự ứng lực Super - T có cắt khấc, dầm xà mũ của trụ cầuVấn đề này dẫn đến nhiều trường hợp nứt lớn phải xử lý, nhiều thiết kế phải điều chỉnh trong xây dựng công trình thực tế. Các nghiên cứu [1-3] cho thấy rằng việc thiết lập sơ đồ hệ thanh là rất quan trọng trong phương pháp STM. Sơ đồ này được xác định dựa trên nguyên lý giới hạn dưới của lý thuyết dẻo. Nghĩa là một kết cấu sẽ không bị phá hoại dưới tác dụng của một hệ tải trọng nếu có thể tìm được một sự phân bố ứng suất hay nội lực bất kỳ thỏa mãn điều kiện cân bằng và giới hạn cường độ của vật liệu. Nguyên lý này cho thấy có thể có vô số sơ đồ hệ thanh trong mô hình STM để thay thế một kết cấu bê tông cốt thép. Vì vậy, điều quan trọng là cần phải biết cách để có một sơ đồ hệ thanh hợp lý nhất, tức là sát với khả năng chịu lực của kết cấu thực. Hiện nay có ba phương pháp cơ bản để xây dựng sơ đồ hệ thanh: Phương pháp dòng lực, phương pháp dựa trên sự phân bố ứng suất đàn hồi và phương pháp dựa trên các sơ đồ thanh mẫu. Phương pháp dòng lực [2] được dựa trên biểu đồ ứng suất của tất cả các lực tác dụng lên biên của vùng D. Khi đó, các đường dòng lực là đường nối các vùng ứng suất đơn lẻ trên các mặt đối diện của vùng D. Tuy nhiên, nó chỉ phù hợp cho các vùng D có cấu tạo hình học và tải trọng tác 42 Journal of Transportation Science and Technology, Vol 20, Aug 2016 dụng đơn giản. Đối với phương pháp dùng phân bố ứng suất, hệ thanh cho mô hình STM được xây dựng dựa trên chiều của ứng suất chính. Đây là phương pháp được sử dụng rất phổ biến hiện nay. Tuy nhiên, việc chuyển đổi từ trường ứng suất sang sơ đồ hệ thanh tương ứng là không dễ dàng và thậm chí nhiều trường hợp không có khả năng. Phương pháp dựa trên các sơ đồ thanh mẫu thường được dùng trong một số mô hình tiêu biểu. Sự đa dạng kết cấu trong thực tế là một rào cản lớn cho phương pháp này. Để khắc phục các nhược điểm của các phương pháp trên, bài báo này sẽ sử dụng tối ưu Topology để xây dựng sơ đồ hệ thanh cho một số chi tiết của kết cấu bê tông cốt thép. Việc sử dụng tối ưu Topology cho mô hình giàn ảo đã được nghiên cứu trong [6]. Các tác giả đã sử dụng thuật toán ESO (Evolutionary Structural Optimization) để tìm sơ đồ hệ thanh giằng chống cho một số kết cấu đơn giản như kết cấu dầm cao và cột bê tông cốt thép có vai kê. Để tối ưu hình dáng kết cấu nói chung, Bendsoe [5] cũng đã đề xuất thuật toán tối ưu mật độ. Thuật toán cho mô hình kết cấu sau khi tối ưu khá hợp lý và có tiềm năng phát triển cho kết cấu phức tạp. Vì vậy, bài báo sẽ ứng dụng thuật toán này để nghiên cứu thiết lập hệ giàn ảo cho một số chi tiết thường gặp trong kết cấu cầu. Kết quả nghiên cứu của bài báo cho thấy rằng tốc độ hội tụ của phương pháp khá nhanh và đặc biệt việc thiết kế cốt thép theo mô hình giàn từ phương pháp trình bày có nhiều ưu thế hơn so với các mô hình giàn ảo truyền thống. 2. Cơ sở tính toán Mô hình giàn ảo thể hiện cơ cấu truyền lực của kết cấu bê tông cốt thép ở trạng thái giới hạn cường độ, nghĩa là kết cấu bị nứt hoặc chảy dẻo. Do đó, mục tiêu chính của bài toán tối ưu Topology là xác định cơ cấu này để gia cường đảm bảo kết cấu đủ khả năng chịu lực.Thực tế, một số vùng trong kết cấu bê tông cốt thép không hiệu quả để kháng tải trọng. Khi đó, hệ truyền lực chính có thể được xác định bằng cách loại bỏ những vùng này. Nghĩa là bài toán thiết lập hệ giàn ảo có thể được xem như bài toán tối ưu hình học kết cấu hay tối ưu Topology. Khảo sát một vật thể biến dạng có thể tích  dưới tác dụng của lực khối f và lực mặt t, trên phần mặt biên t có các điều kiện biên trên phần biên b. Bài toán tối ưu theo phương pháp mật độ [5] định nghĩa như sau:   ρ 0 Ω min l(ρ,u) s.t.: a (u,v) = l(ρ,u) v U ρ 0,1 ρdΩ = V γV     (1) Trong đó: t T T Ω Γ i k ρ ijkl j lΩ l(ρ,u) = f udΩ+ t uds u v a (u,v) = ρ E dΩ x x        Và u: Trường chuyển vị của vật thể biến dạng; v: Trường chuyển vị khả dĩ ảo; U: Tập của các chuyển vị khả dĩ; V: Thể tích giới hạn; V0: Tổng thể tích miền khảo sát : Hệ số thể tích. Biểu diễn các tính chất vật liệu như là hàm số mật độ  với lũy thừa p [7]: E()=pE0, trong đó E0 là modul đàn hồi Young của vật liệu. Khi đó, bài toán tối ưu (1) được viết: ρ 0 Ω min l(ρ,u) s.t.: a (u,v) = l(ρ,u) v U 0 < ρ ρ ρ ρdΩ = V γV      (2) Với ρ và ρ là cận trên và cận dưới của . Rời rạc hóa bài toán bằng phần tử hữu hạn, (2) được viết dưới dạng rời rạc như sau: N T p T e e e e e=1 N p e e e e=1 e N e e 0 e=1 min J(ρ) = U KU = (ρ ) u K u s.t.: (ρ ) K u = F 0<ρ ρ ρ ρ v = γV      (3) Trong đó: TẠP CHÍ KHOA HỌC CÔNG NGHỆ GIAO THÔNG VẬN TẢI, SỐ 20 - 08/2016 43 ρ : Vector biến thiết kế; J(ρ ): Hàm mục tiêu; U: Vector chuyển vị tổng thể; K: Ma trận độ cứng tổng thể; ue và Ke: Vector chuyển vị và ma trận độ cứng của phần tử thứ e; eρ : Mật độ phần tử thứ e; N: Tổng số phần tử được rời rạc từ miền ; ve: Thể tích của phần tử; F: Vector tải. Để tìm giá trị nhỏ nhất theo phương pháp tiệm cận gradient, độ nhạy của hàm mục tiêu được xác định như sau: T p-1 T i i i i i i J K = -U U = -p(ρ ) u K u ρ ρ     (4) Bài toán tối ưu Topology trong phương trình (3) có thể được giải bằng nhiều cách khác nhau. Trong bài báo này sẽ sử dụng phương pháp OC (Optimality Criteria) [5],[7]. Biến thiết kế e được cập nhật như sau:             η e ee e new η η e ee e e e e η e ee e max ρ,ρ - m , if ρ (B ) max ρ,ρ - m ρ = ρ (B ) , if max ρ,ρ - m < ρ (B ) < max ρ,ρ +m min ρ,ρ +m , if ρ (B ) max ρ,ρ +m      Trong đó: new eρ : Mật độ phần tử thứ e được cập nhật; eρ : Mật độ phần tử đã được lọc; m: Giới hạn dịch chuyển của biến mật độ; Be có thể được xác định từ điều kiện tối ưu qua độ nhạy e J ρ   và hằng số Lagrange [5]: e e e J ρ B = - λv   (6) Để bài toán (3) hội tụ, Sigmund [8] đã hiệu chỉnh độ nhậy hàm mục tiêu như sau: N f fN f=1e f fe f=1 J 1 J = H ρ ρ ρ ρ H       (7) Trong đó: Trọng số f min H = r - dist(e,f),  minf N dist(e,f) r  là khoảng cách giữa trọng tâm phần tử e và phần tử f . Khi đó, giải bài toán (3) kết hợp điều kiện (4 - 7), mô hình giàn ảo có thể được xác định. 3. Kết quả áp dụng Trong kết cấu cầu bê tông cốt thép có khá nhiều khu vực không liên tục về mặt hình học và tải trọng. Một số vùng D phổ biến như: Đầu dầm Super - T có cắt khấc, dầm xà mũ của trụ, mặt cắt ngang dầm hộp, xà mũ trụ T ngược, đài cọc,Tất cả các vùng này thường phát sinh ứng suất nén và kéo cục bộ lớn gây nứt bê tông. Sau đây là một số ví dụ mô hình kết cấu điển hình được áp dụng thuật toán trong mục 2. Khảo sát bài toán dầm bê tông cốt thép có cường độ bê tông fc’ = 40MPa và có các kích thước khu vực đầu dầm như hình vẽ 1. Sau khi tổ hợp tải trọng, phản lực tại gối dầm là P1 = 1560 KN. Các tải trọng quy đổi thành các lực tập trung P2 = 267 KN và P3 = 44.7 KN. Hình 1. Đầu dầm có mặt cắt khấc. Phân tích kết cấu ở khu vực đầu dầm theo phương pháp PTHH với các phần tử tứ giác ứng suất phẳng. Sau một số lần lặp và thử, các thông số cơ bản cho bài toán tối ưu (3) như sau: hệ số thể tích  = 0.2, bán kính ảnh hưởng rmin = 1.2, lũy thừa phạt p = 3 và m = 0.2. Sau 103 vòng lặp thì phương trình (3) hội tụ và cho kết quả như hình 2. 44 Journal of Transportation Science and Technology, Vol 20, Aug 2016 Số lần lặp n = 2 Số lần lặp n = 5 Số lần lặp n = 10 Số lần lặp n = 103 Hình 2. Kết quả tối ưu cho đầu dầm cắt khấc. Kết quả cho thấy những thanh giàn quan trọng nhất được thể hiện rõ nét trong vùng D đầu dầm. Dựa vào kết quả trên, hệ giàn ảo được thiết lập như hình 3. Để hệ không bị biến hình và phù hợp với cấu tạo thép thực tế, các thanh BC, CD, CF và EF được bổ sung tạo thành một hệ giàn ảo hoàn chỉnh với các gối tựa tại E và F. A H B C F D E Hình 3. Thiết lập mô hình giàn ảo. Dùng phương pháp tách nút và cân bằng lực, nội lực trong các thanh giàn có thể được xác định trong bảng 1. Bảng 1. Nội lực trong hệ giàn. Tên thanh giàn Lực dọc (KN) Góc nghiêng (độ) BC 792.33 90 EF 440.78 90 CF 428.65 0 AD 370.55 0 HF 1138.47 45 AH -1603.40 81 CD -900.85 62 DE -557.42 62 BE -968.43 0 BD -366.25 56 HB -1397.12 29 Dựa trên kết quả nội lực trong bảng 1 và áp dụng mục A.5.6.3 của Tiêu chuẩn thiết kế cầu 22TCN272-05, diện tích thép của các thanh giằng được xác định như bảng 2 và bố trí cốt thép cơ bản như hình 4. Bảng 2. Diện tích thép của các thanh giằng. Asr(mm2)  (mm) n Asrp(mm2) BC 2096.1 18 8 2035.8 EF 1166.1 18 5 1272.3 CF 1134.0 18 5 1272.3 AD 980.3 20 3 942.5 HF 3011.8 18 2 3053.6 Ghi chú: Asr và Asp là diện tích thép yêu cầu và diện tích thép bố trí; n là số thanh thép; cường độ chảy dẻo của thép fy = 420MPa; phần cốt thép trong thanh CF có thể thay bằng cáp dự ứng lực. Hình 4. Bố trí thép cơ bản cho mô hình 1. Để đánh giá hiệu quả của phương pháp trình bày, một mô hình giàn ảo khác đã được sử dụng phổ biến hiện nay để thiết kế đầu dầm [3,4] sẽ được phân tích tiếp theo. Mô hình này được thể hiện trên hình 5a. Bằng cách cân bằng nút để xác định nội lực các thanh giàn. Sử dụng hướng dẫn mục A.5.6.3 - 22TCN272 - 05, diện tích thép trong các thanh giằng được xác định như bảng 3 và bố trí thép cơ bản như hình 5b. A B C F D E Hình 5. (a) Mô hình giàn ảo; (b) Bố trí thép cơ bản cho mô hình 2. So sánh kết quả giữa hai mô hình có thể thấy rằng: Số lượng thanh giằng trong mô TẠP CHÍ KHOA HỌC CÔNG NGHỆ GIAO THÔNG VẬN TẢI, SỐ 20 - 08/2016 45 hình trước đây (mô hình 2) được sử dụng ít hơn so với mô hình trong bài báo (mô hình 1). Tuy nhiên, giá trị nội lực của mô hình 1 nhỏ hơn mô hình 2. Theo [3][4], một mô hình giàn ảo được gọi là tối ưu nếu chỉ số N i i i=1 H = TL đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị tối ưu H cũng được xác định cho hai mô hình trên và kết quả thể hiện trong bảng 4. Kết quả cho thấy chỉ số tối ưu của mô hình 1 chỉ bằng khoảng một nửa so với mô hình 2. Nghĩa là mô hình thiết lập theo phương pháp Topology trong bài báo tối ưu hơn nhiều so với mô hình đang được sử dụng phổ biến hiện nay. Bảng 3. Diện tích thép của các thanh giằng theo mô hình 2. Tên thanh giàn Lực dọc (KN) Asr (mm2)  (mm) n Asrp (mm2) BC 2280.4 6032.8 18 24 6107.3 EF 1245.8 3295.8 18 18 4580.4 CF 1233.7 3263.7 20 11 3455.8 AD 1208.5 3197.0 25 7 3436.1 Bảng 4. So sánh chỉ số tối ưu H của các hệ giàn ảo. Mô hình 1 Mô hình 2 Tên thanh giàn L (mm) Ti Li x10-6 Tên thanh giàn L (mm) Ti Li x10-6 BC 1610 1275.7 BC 1610 3671.4 EF 1610 709.6 EF 1610 2005.7 CF 871 373.4 CF 871 1074.5 AD 1037 384.3 AD 1037 1253.2 HF 1868 2126.7 Tổng cộng 4869.6 (KN.m) Tổng cộng 8004.8 (KN.m) 4. Kết luận Phương pháp tối ưu Topology để xác định mô hình giàn ảo trong vùng D của kết cấu bê tông cốt đã được trình bày. Việc sử dụng giải thuật mật độ đã cho mô hình của hệ giàn ảo khá trực quan so với các phương pháp trường ứng suất trước đây và tiến trình hội tụ của bài toán cũng rất nhanh. Hơn nữa, từ kết quả so sánh các mô hình hệ giàn ảo của đầu dầm cắt khấc được xây dựng theo phương pháp trường ứng suất trước kia và phương pháp trình bày trong bài báo cho thấy rằng: Cách bố trí cốt thép và số lượng thanh giằng có sự thay đổi giữa hai phương pháp nhưng về tổng thể thì chỉ số đánh giá tối ưu của hệ giàn ảo phát triển từ thuật toán Topology cho kết quả tốt hơn khá nhiều so với phương pháp truyền thống vốn được sử dụng phổ biến trong các tài liệu hiện nay. Điều này cho thấy việc xây dựng hệ giàn ảo của kết cấu bê tông cốt thép theo phương pháp tối ưu Topology là khá phù hợp để thiết kế các vùng D của kết cấu bê tông cốt thép trong công trình thực tế  Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Đức Thanh (2006), Nghiên cứu áp dụng mô hình chống giằng trong thiết kế các kết cấu cầu bê tông cốt thép, Đề tài nghiên cứu khoa học và phát triển công nghệ - Bộ Giao Thông Vận Tải. [2] J. Schelaich, K. Schaefer (1991), Design and detailing of structural concrete using strut-and-tie models, Journal of Structural Engineering, V. 69. [3] B. T. Martin, D. H. Sanders (2007). Verification and implementation of strut-and-tie model in LRFD Bridge Design Specifications, National Cooperative Highway Research Program. [4] NguyễnViết Trung, Dương Tuấn Minh, Nguyễn Thị Tuyết Trinh (2005), Tính toán kêt câu bê tông côt thép theo mô hình giàn ảo, NXB Xây dựng. [5] M. P. Bendsoe, O. Sigmund (2003), Topology optimization – Theory, Methods and Applications,Springer. [6] Q. Q. Liang (2005), Performance-based optimization of structures,Spon Press – Taylor and Francis Group. [7] M. P. Bendsoe (1989), Optimal shape design as a material distribution problem,Structural Optimization, V.1, 193-202 . [8] O. Sigmund (1997), On the design of compliant mechanicsms using topology optimization, Mech. Struct. V.25, 495-526. [9] Tiêu chuẩn thiết kế cầu 22TCN272-05. Ngày nhận bài: 19/07/2016 Ngày chuyển phản biện: 22/07/2016 Ngày hoàn thành sửa bài: 08/08/2016 Ngày chấp nhận đăng: 16/08/2016