Toán thống kê - Chương 3: Hàm nhiều biến

Chương 3. HÀM NHIỀU BIẾN x1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN Khụng gian n chiều: Một bộ gồm n số thực được sắp xếp thứ tự, ký hiệu (x1, x2, xn) (xi ẻ R, i = 1,.. n) được gọi là một điểm n - chiều. Tập hợp cỏc điểm n - chiều được ký hiệu là Rn. Rn = {x = (x1, x2, xn): xi ẻ R, i = 1,.. n} Trong đú xi là toạ độ thứ i của điểm x. Khoảng cỏch 2 điểm: x = (x1,x2, xn), y = (y1,y2, yn) ẻ Rn: Một số tớnh chất của d: a) d(x,y) ³ 0; d(x,y) = 0 ú xi = yi, "I ú x = y b) d(x,y) = d(y,x) c) d(x,y) Ê d(x,z) + d (z,y) Lõn cận: Cho x0ẻRn và số r > 0. Tập S(x0, r) = {x ẻ Rn: d(x,x0) < r} được gọi là một lõn cận của x0. Điểm trong: Điểm x0ẻRn được gọi là điểm trong của D è Rn nếu D chứa một lõn cận của x0 Điểm biờn: Điểm x0 ẻ Rn được gọi là điểm biờn của D è Rn nếu mọi lõn cận của x0 đều chứa ớt nhất cỏc điểm x, y: x ẻ D, y ẽ D. Tập hợp mọi điểm biờn của D được gọi là biờn của D Tập đúng: Nếu biờn của D thuộc D. Tập mở: Nếu biờn của D khụng thuộc D. Hàm 2 biến: D è R2, một ỏnh xạ f: D đ R, được gọi là hàm số 2 biến. Ký hiệu: D: miền xỏc định f(D) = {zẻD: z = f(x,y), "(x,y) ẻ D} gọi là miền giỏ trị Vớ dụ: Tỡm miền xỏc định: z = 2x – 3y +5 z = ln(x + y -1) Hàm n biến: D è Rn, một ỏnh xạ f: D đ R được gọi là hàm số n biến. Ký hiệu: x2. GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIấN TỤC CỦA HÀM SỐ Giới hạn hàm số: Cho hàm f(x,y) xỏc định tại lõn cận M0(x0,y0), cú thể khụng xỏc định tại M0. Số thực L được gọi là giới hạn của f khi M(x,y) tiến đến M0(x0,y0), nếu: "e > 0, d$ > 0: d(M,M0) |f(M) – L| < e Khỏi niệm vụ hạn cũng được định nghĩa tương tự như đối với hàm số một biến. Cỏc định lý về giới hạn của tổng, tớch, thương đối với hàm số một biến cũng đỳng cho hàm số nhiều biến. Vớ dụ: Liờn tục của hàm: f được gọi là liờn tục tại (x0,y0) nếu Định lý: Nếu f(x,y) liờn tục trờn một tập đúng và bị chặn trờn D è R2 thỡ: Tồn tại số M: |f(x,y)| ≤ M f đạt giỏ trị lớn nhất và nhỏ nhất trờn D Tương tự ta cú thể định nghĩa giới hạn và sự liờn tục của hàm số đối với hàm n biến (n≥3) x3. ĐẠO HÀM RIấNG Định nghĩa: cho hàm z = f(x,y) xỏc định trong miền D, M0(x0,y0) ẻ D. Nếu cho y = y0 là hằng số, hàm số một biến f(x,y0) cú đạo hàm tại x = x0, được gọi là đạo hàm riờng của f đối với x tại M0. Ký hiệu: Đặt Dxf = f(x0 + Dx, y0)-f(x0,y0): Số gia riờng của f tại M0. Tương tự ta cũng cú định nghĩa đạo hàm riờng của f theo biến y. Tương tự ta cũng cú đạo hàm riờng đối với hàm n biến số (n³3). Vớ dụ: Tớnh cỏc đạo hàm riờng: Đạo hàm riờng cấp cao: Cho hàm số f(x,y). Cỏc đạo hàm riờng f’x, f’y được gọi là những đạo hàm riờng cấp 1. Cỏc đạo hàm riờng của đạo hàm riờng cấp 1 nếu tồn tại được gọi là đạo hàm riờng cấp 2. Tương tự, ta cú định nghĩa đạo hàm riờng cấp 3, Định lý (Schwarz): Nếu trong lõn cận nào đú của M0 hàm số f(x,y) tồn tại cỏc đạo hàm riờng và liờn tục tại M0 thỡ fxy = fyx tại M0. Định lý này cũng đỳng cho cỏc đạo hàm riờng cấp cao hơn của n biến số (n³3) Đạo hàm của hàm hợp: Nếu hàm z = f(u,v) là cỏc hàm số khả vi của u,v và cỏc hàm số u = u(x,y), v = v(x,y) cú cỏc đạo hàm riờng ux, uy, vx, vy thỡ tồn tại cỏc đạo hàm riờng: Vớ dụ: Tớnh z = eucosv, u = xy, v = x/y x4. ĐẠO HÀM HÀM ẨN Định nghĩa hàm số ẩn 1 biến: Cho phương trỡnh F(x,y) = 0 Nếu tồn tại hàm y = f(x) sao cho F(x,f(x)) = 0, "x ẻ (A,B) thỡ f được gọi là hàm số ẩn từ phương trỡnh F(x,y) = 0. Vớ dụ: xy – ex + ey = 0 Đạo hàm của hàm số ẩn 1 biến: Vớ dụ: Tớnh y’ nếu: F(x,y) = x3 + y3 – 3axy = 0 F(x,y) = xy – ex + ey = 0 Định nghĩa hàm số ẩn 2 biến: Cho phương trỡnh F(x,y,z) = 0. Nếu tồn tại hàm số hai biến z = f(x,y) sao cho F(x,y,z) = 0, với mọi x, y thuộc miền xỏc định của f, thỡ f gọi là hàm ẩn từ phương trỡnh F(x,y,z Đạo hàm của hàm số ẩn 2 biến: Vớ dụ: tớnh zx, zy nếu xyz = cos(x+y+z) x4. CỰC TRỊ Cực trị tự do: Định nghĩa: Hàm số f(x,y) đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm M0(x0,y0) nếu tồn tại một lõn cận D của M0 sao cho f(M) Ê f(M0), "M ẻ D (f(M) ³ f(M0), "M ẻ D). F(M0) gọi chung là cực trị. Vớ dụ: Tỡm cực trị của hàm số z = x2 + y2 Điều kiện cần để cú cực trị: Nếu f(x0,y0) là cực trị của f và f cú đạo hàm riờng tại (x0,y0) thỡ: f’x(x0,y0) = 0, f’y(x0,y0) = 0 Điều kiện đủ của cực trị: Cho hàm số z = f(x,y). Tại những điểm thỏa zx = zy 0, ta gọi định thức Hessian: Đặt: Nếu |H1|>0, |H2|>0: z đạt cực tiểu Nếu |H1|0: z đạt cực đại Vớ dụ: tỡm cực trị hàm số z = x2 + y2 + 4x – 2y + 8, z = x3 + y3 Điều kiện đủ của cực trị: Cho hàm số y = f(x1,x2xn). Tại những điểm thỏa fx1 = fx1 = fx1 = 0, giả sử tại đú tồn tại cỏc đạo hàm riờng cấp 2, đặt Ta cú định thức Hessian: Nếu |H1|>0, |H2|>0, |Hn|>0 : z đạt cực tiểu Nếu |H1|0, (-1)n|Hn|>0 : z đạt cực đại Vớ dụ: Tỡm cực trị hàm số y = x3 + y2 + 2z2 -3x - 2y – 4z Cực trị cú điều kiện: Định nghĩa: Cực trị của hàm số z = f(x,y) với điều kiện g(x,y) = c gọi là cực trị cú điều kiện. Định lý: Nếu M0(x0,y0) là cực trị cú điều kiện trờn. Đặt hàm Lagrange: L(x,y,l) = f(x,y) + l(c-g(x,y)) với g’x,g’y khụng đồng thời bằng 0 thỡ: l là nhõn tử Lagrange, điểm M0(x0,y0) của hệ trờn gọi là điểm dừng. Vớ dụ: Tỡm điểm dừng của z(x,y), với điều kiện x + y = 1. Mở rộng hàm n biến: Hàm số f(x1,x2,xn) với điều kiện g(x1,x2,xn) = c. Hàm Lagrange L = f + l(c-g) Điều kiện đủ để cú cực trị cú điều kiện: Định lý: Nếu f, g cú đạo hàm riờng cấp hai liờn tục tại điểm dừng M0, xột định thức Hessian đúng: Nếu |H|>0: f đạt cực đại cú điều kiện Nếu |H|<0: f đạt cực đại cú điều kiện Vớ dụ: Tỡm cực trị cú điều kiện của hàm số: f = 6 – 4x – 3y với điều kiện x2 + y2 = 1 Mở rộng hàm n biến: Xột hàm số f(x1,x2,xn) với điều kiện g(x1,x2,xn) = c. Hàm Lagrange: L = f + l(c-g). Xột tại điểm dừng M0(x0,y0), ta xột định thức Hessian đúng: Nếu |H2|<0, |H3|<0, |Hn|<0 : z đạt cực tiểu Nếu |H2|>0, |H3|0 : z đạt cực đại Vớ dụ: Tỡm cực trị hàm số u = x – 2y + 2z với điều kiện x2 + y2 + z2 = 1