Toán thống kê - Chương 3: Hàm nhiều biến

C3. HÀM NHIỀU BIẾN1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢNKhông gian n chiều: Một bộ gồm n số thực được sắp xếp thứ tự, ký hiệu (x1, x2, xn) (xi  R, i = 1,.. n) được gọi là một điểm n - chiều. Tập hợp các điểm n - chiều được ký hiệu là Rn. Rn = {x = (x1, x2, xn): xi  R, i = 1,.. n} Trong đó xi là toạ độ thứ i của điểm x.1C3. HÀM NHIỀU BIẾNKhoảng cách 2 điểm: x = (x1,x2, xn), y = (y1,y2, yn)  Rn:Một số tính chất của d: a) d(x,y)  0; d(x,y) = 0  xi = yi, I  x = y b) d(x,y) = d(y,x) c) d(x,y)  d(x,z) + d (z,y)2C3. HÀM NHIỀU BIẾNĐiểm biên: Điểm x0  Rn được gọi là điểm biên của D  Rn nếu mọi lân cận của x0 đều chứa ít nhất các điểm x, y: x  D, y  D. Tập hợp mọi điểm biên của D được gọi là biên của D.Lân cận: Cho x0Rn và số r > 0. Tập S(x0, r) = {x  Rn: d(x,x0) 0,  > 0: d(M,M0) f(M) – L 0, |H2|>0: z đạt cực tiểu Nếu |H1|0: z đạt cực đại17C3. HÀM NHIỀU BIẾNĐiều kiện đủ của cực trị: Cho hàm số y = f(x1,x2xn). Tại những điểm thỏa fx1 = fx1 = fx1 = 0, giả sử tại đó tồn tại các đạo hàm riêng cấp 2, đặtTa có định thức Hessian: Nếu |H1|>0, |H2|>0, |Hn|>0 : z đạt cực tiểu Nếu |H1|0, (-1)n|Hn|>0 : z đạt cực đạiVí dụ: Tìm cực trị hàm số y = x3 + y2 + 2z2 -3x - 2y – 4z18C3. HÀM NHIỀU BIẾNCực trị có điều kiện:Định nghĩa: Cực trị của hàm số z = f(x,y) với điều kiện g(x,y) = c gọi là cực trị có điều kiện. là nhân tử Lagrange, điểm M0(x0,y0) của hệ trên gọi là điểm dừng.Định lý: Nếu M0(x0,y0) là cực trị có điều kiện trên.Đặt hàm Lagrange: L(x,y,) = f(x,y) + (c-g(x,y)) với g’x,g’y không đồng thời bằng 0 thì:19C3. HÀM NHIỀU BIẾNVí dụ: Tìm điểm dừng của z(x,y), với điều kiện x + y = 1.Mở rộng hàm n biến: Hàm số f(x1,x2,xn) với điều kiện g(x1,x2,xn) = c. Hàm Lagrange L = f + (c-g)20C3. HÀM NHIỀU BIẾNĐịnh lý: Nếu f, g có đạo hàm riêng cấp hai liên tục tại điểm dừng M0, xét định thức Hessian đóng: Nếu |H|>0: f đạt cực đại có điều kiện Nếu |H|0, |H3|0 : z đạt cực đại22C3. HÀM NHIỀU BIẾN Ví dụ: Tìm cực trị hàm số u = x – 2y + 2z với điều kiện x2 + y2 + z2 = 1 23