Toán thống kê - Chương 2: Đạo hàm, vi phân

C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN1. ĐẠO HÀM HÀM SỐ MỘT BIẾNĐịnh nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trong (a,b) và x0  (a,b). Nếu tồn tại thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại x0. Ký hiệu f’(x0), y’(x0) Đặt x = x – x0, ta có x = x0 + x và đặt y = f(x0 + x) – f(x0) thì Ký hiệu dy/dx, df/dx 1C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN - Đạo hàm bên phải: - Đạo hàm bên trái: Hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng đó, f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng (a,b), có đạo hàm phải tại a và đạo hàm trái tại b Ví dụ: Tìm đạo hàm của y = x2, y = sinx 2C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm của tổng thương tích của hai hàm số: Nếu các hàm số u, v có đạo hàm tại x thì: u + v cũng có đạo hàm tại x và (u + v)’ = u’ + v’ u.v cũng có đạo hàm tại x và (u.v)’ = u’v + v’u u/v cũng có đạo hàm tại x\V(x)0 và Đạo hàm của hàm số hợp:Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm theo x, hàm y = f(u) có đạo hàm tương ứng u = u(x) thì hàm số hợp f(u) có đạo hàm theo x và y’(x) = y’(u).u’(x).3C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm của hàm số ngược: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x, f’(x) ≠ 0 và có hàm số ngược x = f-1(y) thì hàm số x = f-1(y) có đạo hàm tại y = f(x):Ví dụ, tìm đạo hàm của y = arcsinx 4C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản: (c)’ = 0(x)’ = x-1(ax)’ = axlna(ex)’ = ex(sinx)’ = cosx(cosx)’ = -sinx5C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂNĐạo hàm cấp cao : Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm thì y’ = f’(x) gọi là đạo hàm cấp 1. Đạo hàm, nếu có, của đạo hàm cấp 1 gọi là đạo hàm cấp 2. Ký hiệu: y’’(x), f’’(x) Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) là đạo hàm cấp n. Ký hiệu: f(n)(x), y(n)(x).6C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂNCông thức Leibniz:Giả sử hàm số u, v có đạo hàm liên tiếp đến n. Khi đó ta có: (u + v)(n) = u(n) + v(n)trong đó u(0) = u, v(0) = v Ví dụ: Cho y = x (  R, x > 0), y = kex, tìm y(n)7C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN2. VI PHÂNĐịnh nghĩa: Cho hàm số y = f(x) khả vi, ta ký hiệu dy = y’dx (df = f’dx) được gọi là vi phân cấp 1 của hàm số f.Vi phân của tổng, tích, thương: d(u + v) = du + dv d(u.v) = vdu + udv8C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) và f(n-1) khả vi, ta ký hiệu d(n)y = y(n)dxn (d(n)f = f(n)dx) được gọi là vi phân cấp n của hàm số f.9C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN3. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐẠO HÀMĐịnh lý Rolle: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) và f(a) = f(b) thì tồn tại c  (a,b) sao cho f’(c) = 0.Định lý Lagrange: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) thì tồn tại c  (a,b) sao cho Nhận xét: Định lý Rolle là một trường hợp đặc biệt của định lý Lagrange trong trường hợp f(b) = f(a).10C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂNĐịnh lý Cauchy: Nếu f , g cùng liên tục trên [a,b], khả vi trong khoảng (a,b) và g’(x) ≠ 0, x  (a,b) thì tồn tại c  (a,b) sao cho Nhận xét: Định lý Lagrange là một trường hợp đặc biệt của định lý Cauchy trong trường hợp g(x) = x.11C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂNĐịnh lý Taylor: Nếu hàm số f khả vi đến cấp (n+1) trong lân cận D của x0 thì x  D, x ≠ x0 thì tồn tại c nằm giữa x và x0 sao cho:Số hạng cuối cùng được gọi là phần dư Lagrang12C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đa thức Taylor:Khi x0=0 thì công thức Taylor trở thành công thức Maclaurin13C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂNL’Hospital khử dựng vô định khi tìm giới hạnĐịnh lý: Giả sử f, g khả vi trong (a,b), g’(x) ≠ 0 với mọi x  (a,b)Nhận xét: Qui tắc L’Hospital vẫn đúng nếu: Qui tắc L’Hospital có thể áp dụng nhiều lần.14C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂNVí dụ: Tìm các giới hạn sau (dạng 0/0)Ví dụ: Tìm giới hạn sau (dạng /)1. Dạng 0/0, /15C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN2. Dạng 0.,  - : Chuyển chúng về dạng 0/0, /.Ví dụ:3. Dạng vô định: 00, 1, 0: Ta xét [f(x)]g(x) = eg(x).ln f(x) (f(x) > 0)Ví dụ:16C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN CỰC TRỊĐịnh nghĩa: Hàm số f được gọi là đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 nếu tồn tại một lân cận của x0 sao cho f(x)  f(x0) (f(x)  f(x0)).Chiều biến thiên của hàm số:Định lý: Cho f khả vi trong (a,b):1. Nếu f’(x) > 0 với mọi x  (a,b) thì f tăng.2. Nếu f’(x) 0 thì f(x) đạt cực tiểu. b) Nếu f”(x0) < 0 thì f(x) đạt cực đại.Giá trị lớn nhất bé nhất của hàm số trên một đoạn:1. Tính giá của f tại các điểm tới hạn và tại điểm hai đầu mút.2. Giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong các giá trị được tính trên là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất cần tìm).21C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂNVí dụ: tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số: f(x) = x3 – 3x2 +1 trên đoạn [-1/2, 4]22MỘT SỐ ỨNG DỤNGBiến kinh tế:QQuantitySản lượngQSQuantity SuppliedLượng cungQDQuantity DemandedLượng cầuPPriceGiá cảCCostChi phíTCTotal CostTổng chi phíRRevenueDoanh thuTRTotal RevenueTổng doanh thuPrProfitLợi nhuậnKCapitalTư bảnLLabourLao độngFCFix CostĐịnh phíVCVariable CostBiến phí23MỘT SỐ ỨNG DỤNGHàm số kinh tế: Hàm sản xuất : Q = f(K,L) Hàm doanh thu : TR = PQ Hàm chi phí : TC = f(Q) Hàm lợi nhuận :  = TR - TCThuê mặt bằng, điện nước50.000đ/ngàyBún300đ/tôGia vị200đ/tôThịt bò, heo2.000đ/tôNhân viên500đ/tôVí dụ: Một quán bún bình dân, hãy tính mỗi ngày bán bao nhiêu tô thì có lời với giá bán 5.000đ/tô và chi phí như sau:24MỘT SỐ ỨNG DỤNGÝ nghĩa đạo hàm trong kinh tế: Sản lượng biên MQ: (Marginal quantity) Đo lường sự thay đổi của sản lượng khi tăng lao động hay vốn lên một đơn vị. Ví dụ: Hãy tìm sản lượng biên của một doanh nghiệp và cho nhận xét khi L=100 cho bởi hàm sản xuất sau:25MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chi phí biên MC: (Marginal Cost) Hàm chi phí: TC = TC(Q)MC là đại lượng đo lường sự thay đổi của chi phí khi sản lượng tăng lên một đơn vị. Ví dụ: Tìm MC và MC là bao nhiêu khi Q = 50 và cho nhận xét.TC = 0,0001Q3 – 0,02Q2 + 5Q + 10026MỘT SỐ ỨNG DỤNG Doanh thu biên MR: (Marginal Revenue) Hàm doanh thu: TR = PQ Nếu: Q do thị trường quyết định, giá do doanh nghiệp quyết định thì MR là đại lượng đo lường sự thay đổi của doanh thu khi sản lượng tăng thêm 1 đơn vị. Nếu: Q do doanh nghiệp quyết định, giá do thị trường quyết định thì MR là đại lượng đo lường sự thay đổi của doanh thu khi giá tăng thêm 1 đơn vị. Ví dụ: Một sản phẩm trên thị trường có hàm cầu là:Q = 1.000 – 14PTìm MR khi p = 40 và p = 3027MỘT SỐ ỨNG DỤNG Lợi nhuận biên MP: (Marginal Profit) Hàm lợi nhuận:  = TR – TC = PQ – (FC + VC(Q))Lợi nhuận biên là đại lượng đo lường sự thay đổi của lợi nhuận khi giá hay sản lượng tăng thêm 1 đơn vị.28MỘT SỐ ỨNG DỤNG Tối đa hóa lợi nhuận: Hàm chi phí: TC = TC(x) Hàm cầu: x = QD = f(P) Giả sử thị trường độc quyền: Hàm lợi nhuận:  = TR – TC = Px – TC(x)29MỘT SỐ ỨNG DỤNGVí dụ: Một công ty độc quyền, phòng kinh doanh cung cấp thông tin: Định phí: FC = 600 Biến phí: VC = 1/8 x2 + 6x Hàm cầu: x = -7/8 P + 100Hãy tìm sản lượng để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tốt đa.30