Toán học - Xác định biến ngẫu nhiên

Xác định biến ngẫu nhiên. Bài 1. Cho hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X có dạng a) [ ][ ] Ax khi x 0,1 f (x) 0 khi x 0,1  ∈ =  ∉ b) [ ][ ] A sin x khi x 0, f (x) 0 khi x 0,  ∈ pi =  ∉ pi c) [ ][ ] 1 2 1 2 A cos x khi x 0, f (x) 0 khi x 0,  pi ∈ =  ∉ d) 4 1A khi x 1f (x) x 0 khi x 1  ≥ =   < Hãy xác định A. Tìm hàm phân phối xác suất của X. Tính µX , σ2X , nếu có. Bài 2. Tuổi thọ của một loại bóng đèn nào đó là 1 biến ngẫu nhiên X (đơn vị năm) với hàm mật độ như sau 2kx (4 x) khi 0 x 4f (x) 0 khi x [0, 4]  − ≤ ≤ =  ∉ a) Tìm k và vẽ đồ thị f(x). b) Tìm xác suất để bóng đèn cháy trước khi nó được 1 năm tuổi. Bài 3. Trọng lượng của một con vịt 6 tháng tuổi là 1 biến ngẫu nhiên X (đơn vị tính là Kg) có hàm mật độ 2k (x 1) khi 1 x 3f (x) 0 khi x [1, 3]  − ≤ ≤ =  ∉ a) Tìm k. b) Với k tìm được, tìm (i) trọng lượng trung bình của vịt 6 tháng tuổi, (ii) hàm phân phối xác suất của X, (iii) tỷ lệ vịt chậm lớn, biết vịt 6 tháng tuổi chậm lớn là vịt có trọng lượng nhỏ hơn 2Kg. Bài 4. Cho hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X có dạng 2 2 2 2 a cos x khi x , f (x) 0 khi x , pi pi pi pi  ∈ −    =  ∉ −    a) Tìm a và xác định hàm phân phối xác suất F(x) của X. b) Tính xác suất để X nhận giá trị trong khoảng , 4 pi  pi    . Bài 5. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối pi < −  pi pi = + − ≤ ≤  pi >  0 khi x , 2 F(x) a b sin x khi x , 2 2 1 khi x 2 với a, b là hằng số. a) Tìm a và b. b) Với a và b tìm được ở câu a), tính hàm mật độ f(x) của X; [ ]Mod x ; [ ]Me x ; P X 4 pi  >    . Vectơ ngẫu nhiên. Bài 6. Số trẻ em sinh ra trong một tuần ở một làng A nào đó là một đại lượng ngẫu nhiên có phân bố xác suất là X 0 1 2 3 P 0,4 0,3 0,2 0,1 Số người chết trong một tuần ở làng A là một đại lượng ngẫu nhiên Y có phân bố xác suất là Y 0 1 2 3 4 P 0,1 0,3 0,4 0,15 0,05 Giả sử rằng X và Y độc lập. a) Tìm phân phối xác suất đồng thời của X và Y. b) Tính P(X > Y). Bài 7. Cho bảng phân phối xác suất đồng thời của X, Y như sau : Y X 4 5 1 0,1 0,06 2 0,3 0,18 3 0,2 0,16 a) Lập bảng phân phối xác suất thành phần của X và Y. b) Lập bảng phân phối xác suất có điều kiện của X và Y. c) Tính covariance và hệ số tương quan của X và Y. Tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên. Bài 8. Các đại lượng ngẫu nhiên X và Y có bảng phân phối xác suất đồng thời như sau Y X 1 2 3 1 0,12 0,15 0,03 2 0,28 0,35 0,07 a) Chứng minh rằng X và Y độc lập. b) Lập bảng phân phối xác suất của Z = XY. Từ đó tính E(Z) và kiểm tra rằng E(Z) E(X)E(Y)= . Bài 9. Cho X, Y là hai đại lượng ngẫu nhiên có phân bố xác suất đồng thời như sau Y X -1 1 -1 1 6 1 4 0 1 6 1 8 1 1 6 1 8 Hãy tính E(X), E(Y), cov(X,Y) và (X, Y)ρ . Bài 10. Cho X,Y là hai đại lượng ngẫu nhiên có phân bố xác suất đồng thời như sau Y X -1 0 1 -1 4 15 1 15 4 15 0 1 15 2 15 1 15 1 0 2 15 0 a) Tìm µX , µY , cov(X,Y) và (X, Y)ρ . b) X và Y có độc lập không ? Bài 11. Có hai hộp, mỗi hộp đựng 6 bi. Trong hộp một có : 1 bi mang số 1, 2 bi mang số 2, 3 bi mang số 3. Trong hộp hai có : 2 bi mang số 1, 3 bi mang số 2, 1 bi mang số 3. Rút từ mỗi hộp 1 bi. Gọi X là số ghi trên bi rút ra từ hộp một, Y là số ghi trên bi rút ra từ hộp hai. a) Hãy lập bảng phân phối xác suất đồng thời của ( )V X, Y= . b) Bảng phân phối xác suất lề của X , Y. c) Kỳ vọng, phương sai của X , Y. d) Hiệp phương sai, hệ số tương quan. Bài 12. Tung ba lần độc lập một con xúc xắc. Gọi X là số lần mặt chẵn xuất hiện và Y là số lần mặt lẻ xuất hiện. a) Lập bảng phân phối xác suất của X và Y. b) Tính hệ số tương quan (X, Y)ρ . Nhận xét? Đáp án Bài 1. a) =A 2 , µ =X 23 , σ = 2 X 0.055 , ( )  ≤ ≤  = <  > 2x khi 0 x 1 F x 0 khi x 0 1 khi x 1 . b) =A 0.5 , piµ =X 2 , pi σ = − 2 2 X 24 , ( ) ( ) − ≤ ≤ pi  = <  > pi   1 1 cos x khi 0 x 2 F x 0 khi x 0 1 khi x . c) = piA , µ = − pi X 1 1 2 , pi − σ = pi 2 X 2 3 , ( ) ( ) pi ≤ ≤  = <   >  1 sin x khi 0 x 2 F x 0 khi x 0 11 khi x 2 . d) =A 3 , µ =X 32 , σ = 2 X 3 4 , ( )  − ≥ =   < 3 11 khi x 1F x x 0 khi x 1 . Bài 2. a) = 3k 64 , 1 2 3 4 0.1 0.2 0.3 0.4 . b) 0.0508 . Bài 3. a) = 3k 20 . b) (i) µ =X 2.4 kg. (ii) ( )  − + ≤ ≤  = <  >   3x 3x 2 khi 1 x 3 20 F x 0 khi x 1 1 khi x 3 . (iii) 0.2 . Bài 4. a) = 1a 2 , ( ) + pi pi − ≤ ≤  pi = < −  pi >  sin x 1 khi x 2 2 2 F x 0 khi x 2 1 khi x 2 . b) 0.1465 . Bài 5. a) = 1a 2 , = 1b 2 . b) [ ] =Mod x 0 , [ ] =Me x 0 , pi > =    P X 0.1465 4 , ( )  pi pi  ∈ −      =  pi pi  ∉ −    1 cos x khi x , 2 2 2f x 0 khi x , 2 2 . Vectơ ngẫu nhiên. Bài 6. a) Y X 0 1 2 3 4 0 0.04 0.12 0.16 0.06 0.02 1 0.03 0.09 0.12 0.045 0.015 2 0.02 0.06 0.08 0.03 0.01 3 0.01 0.03 0.04 0.015 0.005 b) 0.19 . Bài 7. a) X 1 2 3 PX 0.16 0.48 0.36 Y 4 5 PY 0.6 0.4 b) Y X 4 5 1 0.17 0.15 2 0.5 0.45 3 0.33 0.4 X Y 1 2 3 4 0.625 0.625 0.56 5 0.375 0.375 0.44 c) =cov(X, Y) 0.02 , ρ =(X, Y) 0.059 . Tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên. Bài 8. b) Z 1 2 3 4 6 P 0.12 0.43 0.03 0.35 0.07 ( ) =E Z 2.89 , ( ) =E X 1.7 , ( ) =E Y 1.7 . Bài 9. µ = −X 1 8 , µ =Y 0 , = −cov(X, Y) 0.125 , ρ = −(X, Y) 0.1502 . Bài 10. a) µ = −X 0.467 , µ =Y 0 , =cov(X, Y) 0 , ρ =(X, Y) 0 . b) X và Y độc lập. Bài 11. a) Y X 1 2 3 1 2 36 3 36 1 36 2 4 36 6 36 2 36 3 6 36 9 36 3 36 b) X 1 2 3 PX 136 2 36 3 36 Y 1 2 3 PY 236 3 36 1 36 c) µ =X 2.33 , µ =Y 1.83 , σ =2X 0.555 , σ =2Y 0.472 . d) =cov(X, Y) 0.0139 , ρ =(X, Y) 0.027 . Bài 12. a) X 0 1 2 3 PX 0.125 0.375 0.375 0.125 Y 0 1 2 3 PY 0.125 0.375 0.375 0.125 b) ρ = −(X, Y) 1 , X và Y phụ thuộc chặt, nghịch biến.