Tính toán dao động uốn tự do đối xứng của cầu treo dây võng 3 nhịp bằng phương pháp giải tích - số

CHÀO MỪNG NGÀY THÀNH LẬP TRƯỜNG 01/04/2015 Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Hàng hải Số 42 – 04/2015 121 Hình 1. Sơ đồ cầu treo dây võng 3 nhịp l1,q1,J1 l1,q1,J1 l,q,Jz f S2 Sg z TÍNH TỐN DAO ĐỘNG UỐN TỰ DO ĐỐI XỨNG CỦA CẦU TREO DÂY VÕNG 3 NHỊP BẰNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH - SỐ CALCULATING THE SYMMETRIC FREE BENDING VIBRATION OF THREE SPANS SUSPENSION BRIDGE BY ANALYTICAL - NUMERICAL METHOD ThS. LÊ TÙNG ANH Khoa Cơng trình, Trường ĐHHH Việt Nam Tĩm tắt Ưu điểm nổi bật của cầu treo dây võng là khả năng vượt nhịp lớn, tuy nhiên nĩ lại dễ mất ổn định. Tần số dao động tự do đĩng vai trị rất quan trọng trong việc tính tốn ổn định động lực học cơng trình cầu nĩi chung và cầu treo dây võng nĩi riêng. Trong bài báo này, tác giả trình bày phương pháp giải tích - số để tính tốn dao động uốn tự do của cầu treo dây võng ba nhịp sau đĩ so sánh với các phương pháp gần đúng khác. Abstract Outstanding advantage of suspension bridge is the ability to large span, but it easily leads to instability. The free vibration frequency plays an important role in the calculation of general bridges dynamic stability and particular suspension bridge. In this paper, the author presents the analytical - numerical method to calculate the free bending vibration of three spans suspension bridge then compares with other approximate methods. Key words: free vibration, frequency, suspension bridges, analytical - numerical method. 1. Đặt vấn đề Trong tính tốn ổn định động lực học cơng trình cầu, một vấn đề quan trọng là tính tốn dao động tự do của cầu. Trên cơ sở tính tốn dao động tự do, chúng ta cĩ thể tránh được hiện tượng cộng hưởng do tác dụng của đồn tải trọng di động cũng như cĩ thể tính tốn tiếp dao động cưỡng bức của cầu. Hiện nay, để tính tốn tần số dao động tự do thường thực hiện theo các phương pháp gần đúng Ritz, Rayleigh, đối với dự án lớn mới cĩ điều kiện thí nghiệm trên mơ hình vật lý. Trong phạm vi bài báo này, tác giả sẽ nghiên cứu áp dụng phương pháp giải tích - số để tính tốn tần số dao động uốn tự do đối xứng cho cầu treo dây võng 3 nhịp (hình 1). Phần cuối của bài báo là ví dụ tính tốn mơ phỏng số, áp dụng cho một cơng trình cầu treo dây võng. Sau đĩ sẽ so sánh với kết quả tính tốn bằng các phương pháp gần đúng khác, từ đĩ rút ra độ tin cậy của phương pháp và chương trình tính. 2. Mơ hình tính tốn và phương trình vi phân dao động uốn Khảo sát tiết diện ngang dầm cứng của cầu treo dây võng (hình 2). φ(x,t) y η(x,t) B Hình 2. Chuyển vị thẳng và xoay của tiết diện dầm Hg Hg S1 Sg CHÀO MỪNG NGÀY THÀNH LẬP TRƯỜNG 01/04/2015 Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Hàng hải Số 42 – 04/2015 122 Khi hệ dao động thì ngồi các ngoại lực (như lực giĩ) trên tiết diện cịn chịu tác dụng của các phản lực đàn hồi từ các thanh treo S(x). Do tiết diện của dầm thực hiện chuyển vị gĩc  cho nên các phản lực này xuất hiện tại 2 bên thành dầm cứng sẽ khác nhau (S1 ≠ S2) và do đĩ lực căng ngang động trong 2 dây cáp cũng khác nhau. Ở trạng thái tĩnh 2 dây cáp đối xứng, lực căng ngang tĩnh trong 2 dây bằng nhau và kí hiệu là Hg. Khi hệ dao động, lực căng ngang động của 2 dây cáp là H1d và H2d. Phương trình dao động uốn của cầu treo dây võng [3] được viết đầy đủ như sau: 4 2 2 4 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) 2 2 ( ) P z g d x t x t x tq EJ H y x H P gx t x             (1) Trong đĩ: zEJ - Độ cứng chống uốn của tiết diện; q - Trọng lượng 1 đơn vị dài của hệ (gồm cả dầm và cáp treo); gH - Lực căng ngang tĩnh, 2 / 8gH ql f [6], [7]; P dH - Lực căng ngang động trung bình,   / 21 2 P d H Hd dH   ; P - Lực cưỡng bức tác dụng lên tiết diện; ( , )x t - Chuyển vị của tiết diện; ( )y x - Hàm biểu diễn hình dạng dây cáp ở trạng thái tĩnh với quan hệ: ( ) / g y x q H   . Phương trình dao động uốn tự do sẽ nhận được khi 0P  : 4 2 2 4 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) 2 2 0 P z g d g x t q x t x t q EJ H H x g t x H (2) Sử dụng phương pháp tách biến, đặt: ( , ) ( ) ( )x t X x T t  và ( ) P d dH H T t (3) Thay các biểu thức (2) vào (1) ta được phương trình biên độ: 2 2 2 0 IV z g d g q q EJ X H X X H g H (4) Phương trình (4) cĩ nghiệm tổng quát dưới dạng: 1 2 2 2 3 1 4 1 2 2 sin cos d g gH X C x C x C sh x C ch x H           (5) trong đĩ: 1 , 2 - Các hệ số phụ thuộc q ,  , gH , zEJ , được xác định như sau: 2 4 4 1 k     ; 2 4 4 2 k      ; 2 z q k gEJ   ; g z H EJ   Để xác định các hằng số tích phân Ci , trước tiên xét nhịp giữa sau đĩ sẽ xét tất cả các nhịp. CHÀO MỪNG NGÀY THÀNH LẬP TRƯỜNG 01/04/2015 Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Hàng hải Số 42 – 04/2015 123 2.1. Nhịp giữa Từ (5) ta cĩ các giá trị đạo hàm như sau: 2 1 2 2 2 2 1 3 1 1 4 1cos sinX C x C x C ch x C sh x            2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 3 1 1 4 1sin cosX C x C x C sh x C ch x             (6) 3 3 3 3 2 1 2 2 2 2 1 3 1 1 4 1cos sinX C x C x C ch x C sh x             4 4 4 4 2 1 2 2 2 2 1 3 1 1 4 1sin cos IV X C x C x C sh x C ch x           Sử dụng điều kiện biên: (0) (0) 0X X và ( ) ( ) 0X l X l ta cĩ hệ phương trình sau:   2 4 20 2 0 d g gH X C C H       2 22 2 1 40 0X C C      (7)   1 2 2 2 3 1 4 1 2 2 sin cos 0 d g l gH X C l C l C sh l C ch l H              2 2 2 22 1 2 2 2 2 1 3 1 1 4 1sin cos 0lX C l C l C sh l C ch l              Từ (7) ta biểu diễn được 4 hằng số tích phân iC theo dH như sau: 2 1 2 2 1 . 2 2 d g gH lZ C tg H Z      ; 2 2 2 1 . 2 d g gH Z C H Z    ; 13 2 2 1 . 2 2 d g gH lZ C th H Z     ; 4 2 2 1 . 2 d g gH Z C H Z   (8) trong đĩ: 2 2 2 2 4 4 2 1 2 2 2 1 Z k               Mặt khác ta cĩ quan hệ giữa dH và X như sau: 0 c c d c g lqE F H Xdx L H   (9) trong đĩ: cL - Chiều dài dây cáp giữa hai trụ; c cE F - Độ cứng kéo của dây cáp. Thay các hằng số iC vào (5) được biểu thức của X rồi thay vào (9), sau khi thực hiện tích phân và chia cho d H , rút gọn sẽ được phương trình tần số: 3 2 2 22 11 1 . ( 1) 0 2 22 1 1 32 2 gc c c l Hl l LlZ Z Z tg th Z Z E FZ Z qf            (10) Để giải phương trình (6) tìm tần số dao động, tác giả sử dụng phương pháp lặp Newton - Raphson. Sau đĩ sẽ xác định được hàm dao động riêng như sau:         2 1 2 2 2 2 1 os 0, 5 0, 532 1 1 1 ( 1) 2 os 0,5 2 0, 5 d g c l x ch l xHf Z Z X l Z H Z c l Z ch l                   (11) CHÀO MỪNG NGÀY THÀNH LẬP TRƯỜNG 01/04/2015 Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Hàng hải Số 42 – 04/2015 124 2.2. Tất cả các nhịp Tương tự như nhịp giữa, khi xét tồn bộ các nhịp ta cĩ quan hệ sau: 1 12 0 0 c c d c g ll Xdx X dx qE F H L H            (12) trong đĩ: c L - Chiều dài tồn bộ dây cáp. Đối với từng nhịp sẽ cĩ hàm dao động riêng đối xứng dạng (11) (chú ý đối với nhịp bên cần thay , , ,Z f l lần lượt bằng 1 1 1 1, , ,Z f l ). Nếu độ cứng và trọng lượng riêng của các nhịp như sau sẽ cĩ: 1  ; 1Z Z . Đặt 1 /l l  (do đĩ 2 1 /f f  ), từ đĩ phương trình tần số cĩ dạng: 3 2 2 22 2 1 11 1 (1 2 ) 2 2 . ( 1) 0 2 2 2 22 1 1 32 2 c c c l HLl l l llZ Z Z g tg tg th th Z Z E FZ Z qf                              (13) 3. Tính tốn mơ phỏng số Ví dụ tính tốn ở đây là cầu treo dây võng Cửa Đại, tỉnh Quảng Nam [2] được xây dựng mơ hình với sơ đồ cầu chính dài 650m gồm 3 nhịp 150m+350m+150m như hình 3, tiết diện dầm khơng đổi thể hiện trên hình 4. Các thơng số chính như sau: q = q1 = 102,91kN/m; Ec = 1,9.108kN/m2; Fc = 80,12cm2; Hg = 45,03.103kN; E = 2,1.108kN/m2; Jz = J1 = 0,1401.102m4; L’c = 668m; f = 35m. Hình 3. Mơ hình dự án cầu treo dây võng Cửa Đại, Quảng Nam Hình 4. Tiết diện dầm cầu điển hình Trong ví dụ này, tác giả sử dụng phần mềm Matlab để tính tốn tần số dao động tự do ω theo các phương pháp giải tích - số, phương pháp Ritz [1], [3] và phương pháp Rayleigh [1], [3]. Sau đĩ lập bảng so sánh kết quả tính tốn theo các phương pháp đĩ và kết quả tính tốn theo phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) bằng cách sử dụng phần mềm Sap 2000 (hình 5). Hình 5. Mơ hình cầu trong Sap2000 35 00 5000 2000 1100 16.80MMNTN MNCN 18.80M 35 00 0 DỈÛ KIÃÚN 1 GIÃÚNG CHÇM D 22.7x28.0m - L = 40 m  60 00 14000 +7.927 m -42.073 m -42.073m +7.927 m +81.598 m +81.598 m  2000 25 00 10 00 20 00 14000 60 00 4000 2000 15 00 4000 4000 M3 +35.736 m +7.817m 1100 +9.956 m 2000 5000 35 00 - 31.244 m +8.756m +40.100 m +40.100 m +41.970 m 300 15X480 250 1800 16500/2 16500/2 15X480250 1800 300 3700 11700/2 11700/2 3700 19100 594 8X657 8X657 594 200 6X500 780 40 0 40 0 40 0 812 200 9 0 0 1 4 6 5 2 5 0 0 614 I=1.5% I=1.5% 307 2 3 6 5 LíP PHđ MỈT CÇU B£T¤NG NHùA DµY 7CM 10500/2 2000250 25010500/22502000250 CHÀO MỪNG NGÀY THÀNH LẬP TRƯỜNG 01/04/2015 Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Hàng hải Số 42 – 04/2015 125 Bảng 1. So sánh kết quả tính tốn theo các phương pháp Tần số tự do (rad/s) Phương pháp giải tích – số Phương pháp Ritz Phương pháp Rayleigh Phương pháp PTHH ω1 1,926 2,213 2,235 2,018 4. Kết luận Mục đích của bài báo này là trình bày phương pháp giải tích - số để tính tốn dao động uốn tự do đối xứng của cầu treo dây võng 3 nhịp sau đĩ so sánh với 1 số phương pháp gần đúng khác. Phương pháp này đặc biệt thích hợp với việc lập trình tính tốn trên máy tính. Từ bảng 1 trên đây cho thấy kết quả tính tốn theo phương pháp giải tích chính xác hơn các phương pháp Ritz, Rayleigh và cho giá trị gần đúng với kết quả tính theo phương pháp PTHH (sai số 4,56%). Chương trình tính đã thiết lập cho kết quả tính tốn phù hợp tốt với kết quả tính tốn bằng phần mềm Sap 2000, điều đĩ khẳng định sự đúng đắn và độ tin cậy của chương trình tính. Như vậy, trong thiết kế sơ bộ cầu treo dây võng nên áp dụng phương pháp giải tích - số để tính tốn sẽ hợp lý hơn các phương pháp Ritz, Rayleigh thường đang áp dụng. Hướng phát triển tiếp của bài báo là nghiên cứu tính tốn dao động uốn - xoắn của cầu treo dây võng bằng phương pháp đã nêu trên. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Khắc Hùng, Đào Trọng Long, Lê Văn Quý, Lều Thọ Trình, Ổn định và động lực học cơng trình, NXB ĐH&THCN, Hà Nội, 1974. [2] Lê Văn Lạc, Nguyễn Văn Mỹ, Đặng Phước Tồn, Lập trình tính tốn cầu treo dây võng dầm cứng 3 nhịp, Đại học Bách khoa Đà Nẵng, Đà Nẵng. [3] Nguyễn Văn Tỉnh, Cơ sở tính dao động cơng trình, NXB KH&KT, Hà Nội, 1987. [4] Nguyễn Viết Trung, Hồng Hà, Thiết kế cầu treo dây võng, NXB GTVT, Hà Nội, 2003. [5] T. Hayashikawa, N. Watanabe, Dynamic behavior of suspension bridge under moving loads, Hokkaido University, Hokkaido, Japan, 1982. [6] T. Huynh, P. Thoft Christensen, Suspension bridge flutter for girders with separate control flaps, Journal of Bridge Engineering, Vol. 6, pp. 168-175, 2001. [7] S. R. K. Nielsen, T. Huynh, Vibration theory, Vol. 7A. Special Structures: Aerodynamics of suspension bridges, ISSN 1395-8232 U9902, Aalborg University, Denmark, 1999. Người phản biện: PGS.TS. Hà Xuân Chuẩn; TS. Hồng Mạnh Cường