Tính liên tục của hàm vector C – lồi trong không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương hausdorff

TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM VECTOR C – LỒI TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ TUYẾN TÍNH LỒI ĐỊA PHƯƠNG HAUSDORFF Trần Văn Sự 1 Tóm tắt: Mục đích của bài báo này là nghiên cứu một số tính chất của hàm vector C- liên tục trong không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff và đưa ra một số điều kiện cần cho hàm vector C-lồi f, liên tục trên phần trong của miền xác định D của nó. Cho X, Y là các không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, D ⊆ X là tập con khác rỗng trong X, C ⊆ Y là nón trong Y, { tc | c C, t 0}.C = ∈ ≥ Cho hàm vector :f D Y→ . Chúng ta nhắc lại một số định nghĩa cần thiết sau: i. Hàm vector f được gọi là C-u.s.c tại 0x D∈ nếu với mọi W là lân cận của gốc trong Y, tồn tại U là lân cận của 0x trong D sao cho 0( ) ( ) W .f U f x C⊆ + − ii. Hàm vector f được gọi là C-l.s.c tại 0x D∈ nếu với mọi W là lân cận của gốc trong Y, tồn tại U là lân cận của điểm 0x trong D sao cho 0( ) ( ) W+ .f U f x C⊆ + iii. Hàm vector f được gọi là C-u.s.c (t.ư C-l.s.c) nếu f là C-u.s.c (t.ư C-l.s.c) tại mọi điểm 0 .x D∈ iv. Hàm vector f được gọi là C-lồi nếu với mọi , , [0,1]x y D t∈ ∈ thì ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ) .f tx t y tf x t f y C+ − ∈ + − − Trên đồ thị của f được ký hiệu bởi epif và được định nghĩa như sau {(x, y) D : ( ) }.epif Y f x y C= ∈ × ∈ − Tập mức của f được kí hiệu bởi Levαf với α ,Y∈ được định nghĩa như sau ev {x D | f(x) - C}.L fα α= ∈ ∈ 1 ThS, Khoa Toán, trường Đại học Quảng Nam TRẦN VĂN SỰ 102 Các quan hệ trên nón : , , .x y X x y x y C∀ ∈ ⇔ − ∈f Nếu thêm intC không rỗng thì , , int .x y X x y x y C∀ ∈ ⇔ − ∈ff Cho B ⊆ Y. Ta nói rằng B là cơ sở của nón C nếu các điều kiện sau cùng thoả mãn: i) ( ) : {tb: b B, t 0}C cone B= = ∈ ≥ , ii) B không chứa điểm gốc O, iii) Với mỗi , 0,c C c∈ ≠ đều tồn tại duy nhất , 0,b B t∈ > sao cho .c tb= Tập B như trên còn được gọi là cơ sở của nón C. Các kết quả được sử dụng để chứng minh các kết quả trong bài báo này được giới thiệu bởi Đinh Thế Lục [1]. Bổ đề 1. [1] Cho B ⊆ Y là tập con của Y, C ⊆ Y là nón trong Y, vectơ y B∈ . Khi đó ( | ) .y IMin B C B y C∈ ⇔ ⊆ + Bổ đề 2. [1] Nếu nón C có cơ sở lồi đóng và giới nội trong Y thì C là nón đóng và nhọn. Bổ đề 3. [1] Giả sử nón C có cơ sở lồi đóng và giới nội trong Y thì với mọi W là lân cận của gốc trong Y, tồn tại V là lân cận của gốc sao cho ( ) ( ) W.V C V C− ∩ + ⊆ Bổ đề 4. [1] Giả sử C là nón lồi trong Y, khi đó , ( 0), int int .C C C tC C t C C C C+ ⊆ ⊆ ∀ ≥ − − ⊆− ⊆ − Sau đây chúng tôi giới thiệu một số kết quả mới để khảo sát tính liên tục của hàm vector C-lồi và một số tính chất cơ bản của hàm vector C-u.s.c và C-l.s.c. Các kết quả chính trong bài báo này được thể hiện qua các định lí cơ bản như sau: Định lí 1. Cho mC ⊆ R nón lồi có cơ sở lồi đóng giới nội, int ,C φ≠ D là tập con lồi chứa trong không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff X với int ,D φ≠ hàm vector : mf D → R là C-lồi với không gian mR được sắp thứ tự bởi nón C. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: i. f là (-C)-bị chặn trong một lân cận nào đó của một điểm 0x nào đó thuộc intD. ii. f liên tục tại một điểm 0x nào đó thuộc intD. iii. Trên đồ thị của f có phần trong khác rỗng, nghĩa là int( ) .epi f φ≠ iv. f liên tục trên phần trong của D. TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM VECTOR C – LỒI TRONG KHÔNG GIAN 103 Chứng minh: :i ii⇒ Giả sử có i, lấy 0 int ,x D∈ gọi U là một lân cận nào đó của điểm 0x chứa trong D. Theo định nghĩa C-bị chặn, với mọi W là lân cận của gốc trong không gian mR tồn tại số thực t>0 sao cho ( ) .f U tW C⊆ − (1) Không làm mất tính tổng quát của bài toán, chúng ta có thể xem 0 0, (0) 0,x f= = bởi vì, nếu 0 0x ≠ thì chúng ta thay U bởi 0U x− , còn nếu (0) 0f ≠ chúng ta thay f(x) bởi 0 0( ) ( )f x x f x+ − . Vì nón C có cơ sở lồi đóng giới nội nên tồn tại một lân cận cân đối V của gốc sao cho: ( ) ( ) .V C V C W+ ∩ − ⊆ (2) Tiếp theo chọn 0ε > tuỳ ý sao cho .t W V ε ε ≤⎧⎨ ± ⊆⎩ Ta có U U t t ε ε⎛ ⎞ ⎛ ⎞∩ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ là lân cận cân đối của gốc và ta gọi là Uε . Chúng ta nhận thấy rằng nếu x Uε∈ thì .t x Uε ⎛ ⎞± ∈⎜ ⎟⎝ ⎠ Như vậy với mỗi x Uε∈ ta có: ( ) ( ) (1 ) (0) 1(0) ( ) ( ) 1 1 tf x f x f t t ttf f x f x t t ε ε ε ε ε ε ε ⎧ + −⎪⎪⎪⎨⎪ + −⎪ + +⎪⎩ p p (3) Để kiểm tra kết quả (3) trên chúng ta dễ dàng thấy rằng: 1( ) (1 )0 , 0 ( ) , 1 1 t ttx x D x x D t t t t ε ε ε ε εε ε= + − ∈ = + − ∈+ + và vận dụng giả thiết f là hàm vector C-lồi. Hệ quả, từ (3) suy ra ( ) ( ) 1 0f x f U C t t ε ε⎛ ⎞∈ + − −⎜ ⎟⎝ ⎠ và ( ) ( ) 1 (0)f x C f U f t t ε ε⎛ ⎞∈ − + +⎜ ⎟⎝ ⎠ . TRẦN VĂN SỰ 104 Điều trên kết hợp với (1) ta được ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) W W W W W W W W W W ( ì , ) ( ) ì W ( ) ( ). f x t C C C t C t t C C C C t t C C C C C C C C C C v C C C C C t V C C V v V V C V C ε ε ε εε ε ε ε ε ε εε ε ε ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∈ − − ∩ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⊆ − − ∩ + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⊆ − − ∩ + − ⊆ − + ∩ + − ⎛ ⎞⊆ − ∩ + − = + ⊆⎜ ⎟⎝ ⎠ ⊆ − ∩ + − ⊆ = + ∩ − Hệ quả: Với mọi x Uε∈ ta có ( ) ( ) ( ).f x V C V C∈ − ∩ + (4) Kết hợp (4) với (2) chúng ta thu được một kết quả như sau: ( )f U Wε ⊆ . Hay, hàm vectơ f liên tục tại điểm 0 0.x = :ii iii⇒ Lấy 0 intx D∈ và giả sử f liên tục tại 0 .x Ta có f cũng là C-u.s.c tại 0 .x Áp dụng định nghĩa C-u.s.c gọi W là lân cận lồi tuỳ ý của gốc trong không gian mR sao cho: 0( ) ( ( ) )f U f x W C⊆ + − (5) Với U là một lân cận nào đó của 0x trong D. Chọn t > 0 sao cho 0( ) . f x W t ∈ Áp dụng tính chất lồi của W suy ra (1 ) .tW W t W+ ⊆ + Áp dụng (5) ta có: ( ) ( ) (1 ) .f U tW W C t W C⊆ + − ⊆ + − Vậy f là (-C)-bị chặn trong một lân cận U của điểm 0 int .x D∈ :iii iv⇒ Giả sử int( ) .epif φ≠ Xét cặp ( , ) int( ) ,x epi fα ∈ tồn tại cặp (U, V) là lân cận của ( , )x α sao cho ( , )U V epi f⊆ suy ra ( , )U epi fα ⊆ hay ( ) .f U Cα⊆ − Bây giờ chúng ta chọn số thực t>0 sao cho với mọi W là lân cận của gốc trong không gian mR ta có W t α ∈ nghĩa là .tWα ∈ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM VECTOR C – LỒI TRONG KHÔNG GIAN 105 Vậy ( ) .f U tW C⊆ − Ta kết luận f là (-C)-bị chặn trong lân cận U của x với int .x D∈ Tiếp theo chứng minh khẳng định sau: int { | , ( , ) int ( )}.mD x D x epi fα α= ∈ ∃ ∈ ∈R (6) Với mỗi int , int ,x D c C∈ ∈ đặt y = f(x) + c ta có ( ) intf x y c y C= − ∈ − hay ( , ) int( ).x y epi f∈ Từ đó chúng ta có bao hàm thức int { | , ( , ) int ( )}.mD x D x epi fα α⊆ ∈ ∃ ∈ ∈R Ngược lại giả sử x thuộc vào vế phải của (6), khi đó có cặp ( , ) int ( ), .mx epi fα α∈ ∈R Vì int(epi f) là tập mở trong không gian tích nên tồn tại U là lân cận mở của x trong D sao cho ( , ) int( )U epi fα ⊆ và do đó intU D⊆ suy ra int .x D∈ Vậy có bao hàm thức { | , ( , ) int ( )} int .mx D x epi f Dα α∈ ∃ ∈ ∈ ⊆R Vậy khẳng định (6) đúng. Bây giờ dựa vào chứng minh trên chúng ta dễ dàng nhận thấy rằng nếu intx D∈ thì f là (-C)-bị chặn trong một lân cận U nào đó của x trong intD và theo i ii⇒ ta khẳng định f liên tục tại x. Vậy f liên tục trên intD. :iv ii⇒ Khẳng định này là hiển nhiên. :i iii⇒ Giả sử f là (-C)-bị chặn trong một lân cận mở U nào đó của điểm 0 int( )x D∈ nào đó trong D. Theo định nghĩa với mọi W là lân cận của gốc trong không gian mR đều tồn tại số thực t>0 sao cho: ( ) .f U tW C⊆ − Chọn vector tWα∈ sao cho ( ) .f U Cα⊆ − Đặt 0 0{ ( , ) : , } mV x D x Uα α α= ∈ × ∈ ffR . Ta chứng minh V φ≠ : Vì int C φ≠ nên tồn tại vector intt C∈ và z αff , suy ra 0( , )x z V∈ hay V φ≠ . Chứng minh V mở: Do U mở và intC mở nên V mở. Chứng minh :V epi f⊆ Với mọi cặp ( , )x z V∈ ta có , ( ) .x U f x Cα∈ ∈ − Suy ra: ( ) ( ) int intf x z f x z C C Cα α− = − + − ∈ − − = − Do intC nón lồi. Do đó ( , ) ,x z epi f∈ hay int( ) int( ) .V epi f epi f φ⊆ ⇒ ≠ (Định lí được chứng minh) TRẦN VĂN SỰ 106 Nhận xét: Kết quả trên là cơ sở của cấu trúc hàm vector C-lồi, chúng ta tiếp tục nghiên cứu cấu trúc hàm vector C-lồi trong trường hợp không gian nguồn là một không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff. Chúng ta có các Định lí sau: Định lí 2. Cho D là tập con lồi trong không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff X, C ⊆ Y là nón lồi và có cơ sở lồi đóng giới nội trong Y, hàm vector :f D Y→ với Y được sắp thứ tự bởi C là C-lồi. Kí hiệu: {x D | Y, (x, ) int(epif) }.S α α= ∈ ∃ ∈ ∈ Giả sử .S φ≠ Khi đó f liên tục trên S. Chứng minh: Trước tiên chứng minh f là -C-bị chặn trong một lân cận U nào đó của một điểm x0 S∈ nào đó trong D. Theo giả thiết .S φ≠ Với mọi 0x S∈ tồn tại một α0 Y∈ sao cho: (x0, α0) ∈ int(epif). Gọi U là lân cận của x0 trong D và V là lân cận của α0 trong Y sao cho: ( , )U V epif⊆ Suy ra 0( , ) .U epifα ⊆ (1) Gọi W là lân cận tuỳ ý của gốc trong Y, tồn tại t0 >0 sao cho: 0 0W.tα ∈ (2) Từ (1) suy ra 0( )f U Cα⊆ − và kết hợp với (2) ta có 0( ) W .f U t C⊆ − Tiếp theo để không mất tính tổng quát của bài toán chúng ta giả sử x0=0 và f(0)=0, bởi vì nếu x0 0≠ thì thay U bởi U - x0, và nếu f(0) 0≠ thì thay f(x) bởi f(x+x0) - f(x0). Vì C có cơ sở lồi đóng và giới nội trong Y nên theo Bổ đề 3 tồn tại một lân cận cân đối V của gốc sao cho: ( ) ( ) W.V C V C− ∩ + ⊆ (3) Chọn 0ε > tuỳ ý sao cho 0 , W .t Vε ε≤ ⊆ Đặt 0 0 'U U U t t ε ε⎛ ⎞ ⎛ ⎞−= ∩⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ thì U’ cũng là một lân cận của gốc trong D. Với mỗi 'x U∈ chúng ta có các phân tích sau: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM VECTOR C – LỒI TRONG KHÔNG GIAN 107 0 0 0 0 0 0 0 1( ) (1 )0, 0 ( ). 1 1 t t tx x x x t t t t ε ε ε ε εε ε= + − = + −+ + Vì U D⊆ , [ ] 0 0, 1 t ε ∈ , 0 , 0t x Uε ∈ và D là tập con lồi trong không gian X theo giả thiết, do đó x D.∈ Tiếp theo ta cũng có 0 D∈ bởi vì 0 0 0 1 1, 1 1 t D t t ε ε ε+ =+ + là một tập con lồi trong không gian X và 0 , 0t x U D U Dε− ∈ ⊆ ∈ ⊆ Như vậy chứng minh được , 0 .x D∈ Áp dụng tính chất C-lồi của hàm vector f ta có: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) (1 ) (0) ( ) W , (4) 10 (0) ( ) ( ) 1 1 1 ( ) ( ) 1 1 1 ( ( ) W ). 1 tf x f x f C f U C t t t C V C t tf f x f x C t t tf x f U C t t f x C t ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε εε ∈ + − − ⊆ − ⊆ − ⊆ − = ⊆ + − − + + ⊆ + − + + ⊆ + − + Suy ra ( ) W+ . (5)f x C V C V Cε∈− ⊆ − + = + Bởi vì V cân đối .V V⇔ = − Từ (3), (4) và (5) suy ra ( ') Wf U ⊆ với U’ là một lân cận của gốc trong D. Vậy f liên tục tại x0=0 và Định lí 2 được chứng minh xong. TRẦN VĂN SỰ 108 Định lí 3. Cho X, Y là các không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, D là tập con lồi có phần trong khác rỗng chứa trong X, nón lồi đóng C có cơ sở lồi đóng giới nội trong Y và C có phần trong khác rỗng, hàm vector :f D Y→ với Y được sắp thứ tự bởi C là C-lồi. Ta có khẳng định sau Nếu f là C-u.s.c trên intD thì f liên tục trên intD. Chứng minh: Trước hết chúng ta chứng minh: intD = S với : { | , ( , ) int( )}.S x D Y x epi fα α= ∈ ∃ ∈ ∈ Đầu tiên int .S D⊆ Thật vậy, lấy x S∈ tuỳ ý, khi đó tồn tại Yα ∈ sao cho: ( , ) int( ).x epifα ∈ Vì ( )int epif là một tập mở trong không gian tích X Y× , nên tồn tại U là lân cận mở của x trong D sao cho ( )( , ) int .U epifα ⊆ Hiển nhiên, với mọi x' U∈ thì ( ', ) int( )x epi fα ∈ . Do đó U S⊆ . Từ đây suy ra int int intU U S D= ⊆ ⊆ (theo định nghĩa của S) và do đó int .x D∈ Vậy int .S D⊆ Tiếp theo chúng ta kiểm tra int .S D⊇ Lấy 0 intx D∈ tuỳ ý. Ta có f là C-u.s.c tại x0 nên với mọi W là lân cận của gốc trong Y tồn tại U là lân cận mở của x0 trong D sao cho: 0( ) ( ( ) W) .f U f x C⊆ + − Do C đóng và W là lân cận tuỳ ý của gốc trong Y nên 0( ) ( ) .f U f x C⊆ − Vì int(C) φ≠ nên tồn tại vector e ∈ int(C), khi đó chúng ta đặt z = e + f(x0) thì z ∈ f(x0) + int(C). Hiển nhiên U khác rỗng. Tiếp theo đặt: 0{( , ) | , ( )}.V x z D Y x U z f x= ∈ × ∈ ff Ở đây int .a b a b C⇔ ∈ +ff Ta có 0( , )x z V∈ nên suy ra V φ≠ . Cuối cùng chứng minh V mở, V epi f⊆ . V mở trong X Y× vì U và int(C) lần lượt là các tập mở tương ứng trong D và Y. Với mọi ( , )x z V∈ ta có 0, ( ) int( ).x U z f x C∈ ∈ + Do đó TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM VECTOR C – LỒI TRONG KHÔNG GIAN 109 0( ) ( ) ( ) ( ( ) ) int int . f x z f x z z f U z z f x z C z C C z C z C = + − ∈ + − ⊆ + − − ⊆ − − ⊆ − ⊆ − Theo định nghĩa trên đồ thị của hàm vector f suy ra ( , ) .x z epif∈ Vậy V mở và bị chứa trong int(epif) nên (x0, z) ∈ int(epif). Suy ra 0x S∈ và do đó intD=S. Áp dụng định lí 2 ta có f liên tục trên S và do đó f liên tục trên intD. Điều phải chứng minh. Vận dụng tính C-u.s.c, C-l.s.c của hàm vector f, chúng ta sẽ chỉ ra một số tập sau mở trong D. Kí hiệu: B ={x D:f(x) -intC}, {x D:f(x) intC}.B − + ∈ ∈ = ∈ ∈ Định lí 4. Cho X, Y là các không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, D ⊆ X là tập con nằm trong X, C ⊆ Y là nón lồi trong Y có phần trong khác rỗng và hàm vector :f D Y→ . Khi đó: i. Nếu f là C-u.s.c trên D thì B- là tập mở trong D. ii. Nếu f là C-l.s.c trên D thì B+ là tập mở trong D. Chứng minh: i. Nếu B-=φ thì kết quả hiển nhiên đúng, ngược lại lấy điểm 0x B−∈ tuỳ ý. Ta có 0( ) int( ).f x C∈− Theo định nghĩa tính C-u.s.c của f suy ra tồn tại một lân cận U nào đó của x0 trong D sao cho: ( ) int( ) .f U C C⊆ − − Áp dụng Bổ đề 4 ta có ( ) int( ).f U C⊆ − Vậy U B−⊆ và khi đó B- là tập mở trong D. ii. Nếu B+ = φ thì kết quả hiển nhiên đúng, ngược lại lấy điểm 0x B+∈ tuỳ ý. Ta có 0( ) int( ).f x C∈ Theo định nghĩa tính C-l.s.c của f suy ra tồn tại một lân cận U nào đó của x0 trong D sao cho: ( ) int( ) .f U C C⊆ + Áp dụng Bổ đề 4 ta có ( ) int( ).f U C⊆ Vậy U B+⊆ và khi đó B+ là tập mở trong D. Định lí 4 được chứng minh xong. TRẦN VĂN SỰ 110 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lục,D.T., Theory of Vector Optimization, Lectures Notes in Economics and Mathemathtical Systems, Spring Verlag, Berlin, Germany, Vol 319, 1989. [2] Rockafellar, R. T., Convex Analysis, Princeton Univ. Press, Princeton, New Jersay. [3] Sawaragi, Y., H. Nakayama and T. Tanino, Theory of Multiobjective Optimization, Academic Press INC., New York and London. Title: ON THE C-CONTINUITY OF C-CONVEX VECTOR FUNCTION ON INFINITE DIMENSIONAL SPACE TRAN VAN SU Quang Nam University Abstract: The purpose of this article is to prove some new results about C- continuity of C-convex vector function on Hausdorff locally convex linear topology space and to find sufficient conditions for the C-continuity of vector convex functions.