Tính điều khiển của hệ thú - Mồi ngẫu nhiên có đáp ứng chức năng dạng Crowley - Martin

22 Journal of Transportation Science and Technology, Vol 20, Aug 2016 TÍNH ĐIỀU KHIỂN CỦA HỆ THÚ - MỒI NGẪU NHIÊN CÓ ĐÁP ỨNG CHỨC NĂNG DẠNG CROWLEY - MARTIN CONTROLABILITY OF A STOCHASTIC PREDATOR - PREY MODEL WITH CROWLEY - MARTIN FUCTIONAL RESPONSE Trần Đình Tướng1, Trần Hà Lan2 1Khoa Cơ bản, Trường ĐH GTVT Tp. HCM, Tp. HCM 2Khoa Cơ sở, Trường ĐH Kinh tế Nghệ An, Tp. Vinh Tóm tắt: Bài báo này mở rộng kết quả [2] về dáng điệu tiệm cận của mô hình thú - mồi chịu nhiễu ngẫu nhiên có đáp ứng chức năng dạng Crowley - Martin trong trường hợp suy biến, từ đó tính điều khiển của hệ được xem xét. Từ khóa:Tính điều khiển; sự suy biến; tính ergodic; mô hình thú-mồi. Abstract: In this work, we improve some results of dynamic behaviour of a stochastic predator - prey model with Crowley - Martin functional response in [2] (degenerate case). From this, its controlability is considered. Keywords: Controllability; degenerate; ergodicity; predator - prey model. 1. Giới thiệu Dạng tất định của mô hình Kolmogorov hai lọai có dạng tổng quát như sau: { ẋ(t) = xf(x, y) ẏ(t) = yg(x, y) Trong trường hợp f(x, y) = b − py và g(x, y) = cx − d ta gọi mô hình trên là mô hình Lotka - Volterra cổ điển. Tuy nhiên khi nghiên cứu dạng tất định của hệ sinh thái, người ta nhận thấy rằng chúng thường gặp phải một số hạn chế nhất định: Không xét được các yếu tố nhiễu ngẫu nhiên như là chuyển động Brown; không rõ nguồn thức ăn; thiếu sự nghiên cứu về tập tính cá thể của từng loài,... Một lý do góp phần quan trọng không kém là không xét được các tác động ngẫu nhiên của môi trường. Do vậy, mô hình quần thể dưới tác động các yếu tố ngẫu nhiên được quan tâm nghiên cứu như là xu thế tất yếu. Theo thời gian, hệ thú - mồi ngẫu nhiên được nghiên cứu dưới nhiều dạng đáp ứng chức năng khác nhau. Chẳng hạn Gause năm 1934 (xem [2]) đã trình bày mô hình dưới dạng: { ẋ(t) = x(t)[a1 − b1y(t)p(x(t))] ẏ(t) = y(t)[−a2 + b2x(t)p(x(t))] Với hàm cường độ p(x) được thể hiện với các đặc trưng riêng biệt. Như p(x) = x m1+m2x (Dạng Holling II), hoặc p(x) = x2 m1+m2x2 (Dạng Holling III), hoặc p(x) = x m1+m2x+m3x2 (Dạng Holling IV) (xem [2]). Hoặc mô hình thú mồi có đáp ứng chức năng dạng Beddington - DeAngelis [3] nghiên cứu về dáng điệu tiệm cận mô hình thú-mồi ngẫu nhiên với nhiễu Brown. Mặt khác [2] đã nghiên cứu điều kiện cần và gần như đủ cho tính bền vững và tính ergodic của hệ ngẫu nhiên có đáp ứng chức năng dạng Crowley - Martin, mô hình này có dạng: { dx(t) = x(t)[a1 − b1x(t) − c1y(t) (1+m1x(t))(1+m2y(t)) ]dt +αx(t)dB1(t) dy(t) = y(t)[−a2 − b2y(t) + c2x(t) (1+m1x(t))(1+m2y(t)) ]dt +βy(t)dB2(t) (1) Trong đó: ai, bi, ci, mi , i = (1; 2): Các hằng số dương; α, β ≠ 0, B1(. ), B2(. ): Hai quá trình Brown độc lập. Hai đại lượng x(t), y(t) được kí hiệu lần lượt là mật độ của mồi và thú tại thời điểm t (t ≥ 0). Tuy nhiên các kết quả mô hình trên được xét cho hai quá trình Brown B1(. ), B2(. ) độc lập nhau. Trong trường hợp B1(. ) = B2(. ) = W(. ) thì kết quả sẽ như thế nào? Và từ đó ta có thể tìm hiểu tính điều khiển của hệ. Trong TẠP CHÍ KHOA HỌC CÔNG NGHỆ GIAO THÔNG VẬN TẢI, SỐ 20 - 08/2016 23 trường hợp suy biến (B1(. ) = B2(. ) = W(. ) ), hệ (1) trở thành { dx(t) = x(t)[a1 − b1x(t) − c1y(t) (1+m1x(t))(1+m2y(t)) ]dt +αx(t)dW(t) dy(t) = y(t)[−a2 − b2y(t) + c2x(t) (1+m1x(t))(1+m2y(t)) ]dt +βy(t)dW(t). (2) Do tính đối xứng của chuyển động Brown, ta có thể giả sử rằng 𝛼 ≥ 0. Cấu trúc bài báo được trình bày như sau, trong mục 1, chúng tôi giới thiệu tình hình thời sự của vấn đề đang nghiên cứu. Phần đầu tiên của mục 2 chúng tôi trình bày lại các kết quả [2] trong trường hợp hệ không suy biến. Trọng tâm của mục 2, chúng tôi trình bày những kết quả chính của bài báo. Mục cuối cùng bày tỏ lòng biết ơn đến những cơ quan, đơn vị đã tài trợ và tạo điều kiện thuận lợi cho quá trình nghiên cứu này. 2. Kết quả chính Trước hết ta nhắc lại một số kết quả trong trường hợp hệ (2) không suy biến (xem [2]). Định lý 1: Nếu λ < 0 thì lim t→∞ y(t) = 0 hầu chắc chắn và phân phối của x(t) sẽ hội tụ yếu đến μ−(. ) , đại lượng này là độ đo xác suất bất biến duy nhất của φ(t) trên ℝ+. Mặt khác μ−(. ) là phân phối của e θ với θ là biến ngẫu nhiên có hàm mật độ f∗ (với λ ≔ −a2 − β2 2 + ∫ c2e x 1 + m1ex f∗(x)dx ∞ −∞ ) Định lý 2: Với λ > 0 quá trình (x(t), y(t)) có một độ đo bất biến tập trung trên ℝ+ 2,0 (với ℝ+ 2,0 là phần trong của ℝ+ 2 .) Định lý 3: Nếu λ > 0, hệ (1) sẽ tồn tại duy nhất độ đo xác suất bất biến 𝜇∗ với giá ℝ+ 2,0. Hơn nữa: a) Với bất kỳ hàm f(x, y) là μ∗ khả tích đi từ ℝ+ 2,0 vào ℝ, ta có:     2,0 * 0 1 f x,y μ dx,dl yim f(x(s),y(s))ds , t t t    ∀(𝑥(0), 𝑦(0) ∈ ℝ+ 2,0. b) lim t→∞ ‖P(t, (x, y), . ) − μ∗(. )‖ = 0, ∀x, y ∈ ℝ+ 2,0. Trong đó P(t, (x, y), . ) là xác suất chuyển của (x(t), y(t)) và ‖. ‖ là chuẩn biến phân toàn phần. Bây giờ, ta sẽ trình bày nội dung chính của bài báo. Từ kết quả lim t→∞ y(t) = 0 khi λ < 0 điều này dẫn đến x(t) hội tụ yếu đến phân phối dừng μ−(. ) của φ(t). Do vậy, ta giả sử λ > 0 cho quá trình có độ đo xác suất bất biến μ∗ trên ℝ+ 2,0. Đặt ζ(t) = lnx(t) và η(t) = lny(t). Hệ phương trình (2) trở thành: { dζ(t) = (a1 − α2 2 −b1e ζ(t) − c1e η(t) (1+m1eζ (t))(1+m2eη (t)) )dt +αdB1(t) dη(t) = (−a2 − β2 2 − b2η(t) + c2e ζ(t) (1+m1eζ (t))(1+m2eη (t)) )dt +βdB2(t) (3) Ký hiệu ζu,v(t), ηu,v(t) là nghiệm của (3) với giá trị ban đầu (u, v). Gọi P̂(t, (u, v), . ) là xác suất chuyển: A(u, v) = ( a1 − α2 2 −b1e u − c1e v (1 + m1eu)(1 + m2ev) −a2 − β2 2 −b1e v − c1eu (1 + m1eu)(1 + m2ev)) Và: B(u, v) = (α β ) Ta cần nhắc lại vài khái niệm về hoán tử của trường vector (Lie bracket). Nếu X(x) = (X1, X2) T và Y(x) = (Y1, Y2) T là các vector trên ℝ2 thì hoán tử của trường vector này là trường vector được định nghĩa bởi: [X, Y]i(x) = (X1 ∂Yi ∂x1 (x) − Y1 ∂Xi ∂x1 (x)) + (X2 ∂Yi ∂x1 (x) − Y2 ∂Xi ∂x1 (x)), i = (1,2) Ta cần giả thiết sau: 24 Journal of Transportation Science and Technology, Vol 20, Aug 2016 Giả thiết: Đại số Lie L(u, v) được sinh bởi A(u, v), B(u, v) thỏa mãn dim L(u, v) = 2 với mỗi (u, v) ∈ ℝ2. Mặt khác, tập các vector A, B, [A, B], [A, [A, B]], [B, [A, B]], là span của ℝ2. Ta nhận thấy rằng giả thiết trên thỏa mãn với hầu hết tình huống. Chẳng hạn, xét trường hợp ai, bi, ci, mi , α (i = 1,2) là các hằng số dương và β ≠ 0. Chú ý rằng bộ số (u, v) thỏa mãn tính chất khi các vector A, B, [A, B], [A, [A, B]], [B, [A, B]], tác động trên bộ số này không phải là span của ℝ2 sẽ là nghiệm của hệ phương trình det(A, B) = 0, det(A, [A, B]) = 0, Mỗi thành phần của nó là phương trình đa thức với các biến eu, ev. Do vậy, ta có thể chứng minh rằng không có bộ (u, v) nào thỏa mãn hệ phương trình trên khi số phương trình đủ lớn. Để mô tả giá của độ đo bất biến 𝜇∗ và để chứng minh tính ergodic của (3), ta cần xét hệ điều khiển sau { u̇∅(t) = α∅(t) + a1 − α2 2 −b1e u∅(t) − c1e v∅(t) m1+m2e v∅(t)+m3e v∅(t) v̇∅(t) = β∅(t) − a2 − β2 2 −b2e v∅(t) − c2e u∅(t) m1+m2e u∅(t)+m3e u∅(t) (4) Trong đó ∅ nhận được từ tập của các hàm thực liên tục từng khúc nhận giá trị trên ℝ+. Gọi (u∅(t, u, v), v∅(t, u, v)) là nghiệm của (4) với điều khiển ∅ và giá trị ban đầu (u, v). Ký hiệu O1 +(u, v) là tập đạt được từ bộ (u, v), theo nghĩa tập các giá trị của (u′, v′) ∈ ℝ2 sao cho tồn tại t ≥ 0 và điều khiển ∅(. ) thỏa mãn u∅(t, u, v) = u ′, v(t, u, v) = v′ . Ta thấy rằng với giả thiết 1 đảm bảo tính truy cập được của (4), nghĩa là O1 +(u, v) có phần trong khác rỗng với mỗi (u, v) ∈ ℝ2 (xem [8]). Bây giờ ta sẽ xét một vài tính chất đã được trình bày trong [9]. Gọi A là tập con của ℝ2 thỏa mãn tính chất với mọi 𝑤1, 𝑤2 ∈ 𝐴, ta có w2 ∈ O1 +(w1)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ( w1 ∈ ℝ 2). Khi đó tồn tại duy nhất tập B cực đại B ⊃ A sao cho tính chất này vẫn thỏa mãn cho B. Do vậy 𝐵 là tập điều khiển. Tập điều khiển C được gọi là bất biến nếu O1 +(w)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ⊂ C̅ với mọi w ∈ C. Đặt z∅ = v∅ − β α u∅, ta có hệ tương đương { u̇∅(t) = α∅(t)+ g(u∅(t), z∅(t)) ż∅(t) = h(u∅(t), z∅(t)) (5) Trong đó: g(u, z) = a1 − α2 2 − b1e u − c1e z+ β αu (1 + m1eu) (1 + m1e z+ β αu) . Và: h(u, z) = −(a2 + β2 2 + β α (a1 − α2 2 )) −b2e z+ β αu + β α b1e u + c2e u + β α c1e z+ β αu (1 + m1eu) (1 + m1e z+ β αu) Ký hiệu O2 +(u, v) là tập tất cả (u′, v′) ∈ ℝ2 sao cho tồn tại t > 0 và điều khiển ∅(. ) sao cho u∅(t, u, v) = u ′, z∅(t, u, v) = z ′. Ta có một số kết quả sau: Mệnh đề 1 : Với mỗi u0, u1, z0 ∈ ℝ, ϵ > 0 tồn tại điều khiển ∅ và T > 0 sao cho u∅(T, u0, v0) = u1, |u∅(T, u0, v0) − z0| < ϵ. Thật vậy, giả sử rằng u0 < u1 và gọi ρ1 = sup{|g(u, z)|, |h(u, z)|: u0 ≤ u ≤ u1, |z − z0| ≤ ϵ}. Ta chọn ∅(t) ≡ ρ2 với ( αρ2 ρ1 − 1) ϵ ≥ u1 − u0. Ta dễ dàng kiểm tra với điều khiển trên, có 0 ≤ T ≤ ϵ ρ1 sao cho u∅(T, u0, v0) = u1, |z∅(T, u0, v0) − z0| < ϵ. Nếu u0 > u1, ∅(t) được thiết kế tương tự. Mệnh đề 2 : Với z0 > z1 bất kỳ, khi đó sẽ có u0 ∈ ℝ và điều khiển ∅ và T > 0 sao cho z∅(T, u0, v0) = z1 và u∅(t, u0, v0) = u0, ∀0 ≤ t ≤ T. Do vậy, nếu β > 0 và −u0 đủ lớn, sẽ tồn tại ρ3 > 0 sao cho h(u0, z) = −ρ3, ∀z1 ≤ z ≤ z0. Từ tính chất này, kết hợp với (5), suy ra rằng tồn tại điều khiển ∅ và T > 0 thỏa mãn. Trong trường hợp β < 0 ta có thể chọn u0 đủ lớn, từ đó ta có kết quả tương tự. TẠP CHÍ KHOA HỌC CÔNG NGHỆ GIAO THÔNG VẬN TẢI, SỐ 20 - 08/2016 25 Định lý 4: Giả sử rằng β < 0 và β ≥ α. Gọi c∗ = sup{ z̅ 𝑠𝑎𝑜 𝑐ℎ𝑜 sup u∈ℝ {h(u, z)} > 0, ∀z ≤ z̅}. Khi đó c∗ > −∞ (c∗ có thể bằng ∞). Ngoài ra với (u, z) ∈ ℝ2 tùy ý, ta có O2 +(u, v)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ⊃ {(u′, z′): z′ < c∗}. Chứng minh. Thật vậy, ta có ngưỡng (xem [2]) λ ≔ −a2 − β2 2 + ∫ c2e x 1 +m1ex f∗(x)dx > 0 ∞ −∞ Theo bất đẳng thức Jensen, ta có: ∫ 𝑐2𝑒 𝑥 1 +𝑚1𝑒𝑥 𝑓∗(𝑥)𝑑𝑥 ∞ −∞ ≤ 𝑐2 ∫ exp (𝑥)𝑓∗(𝑥)𝑑𝑥ℝ 1 + 𝑚1 ∫ exp (𝑥)𝑓∗(𝑥)𝑑𝑥ℝ = 𝑐2 𝑎1 − 𝛼2 2 𝑏1 1 +𝑚1 𝑎1 − 𝛼2 2 𝑏1 . Đặt eu̅ = a1− α2 2 b1 , ta có : h(u̅, z) = c1 a1 − α2 2 b1 (1 + m1 a1 − α2 2 b1 )(1 + m2. e z+ β α u̅) −(a2 + β2 2 ) + b2e z+ β α u̅ + β α c1e z+ β α u̅ (1 + m1eu̅) (1 + m2e z+ β α u̅) Ta chú ý rằng : K ≔ c1 a1 − α2 2 b1 (1 + m1 a1 − α2 2 b1 )(1 + m2. e z+ β α u̅) > 0 Với giá trị K > 0 ta có h(u̅, z) > 0 khi ez đủ nhỏ. Phần còn lại của định lý có thể chứng minh như sau. Trước hết ta nhận xét rằng từ tính liên tục phụ thuộc liên tục tại giá trị ban đầu nếu O2 +(w2)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ⊂ O2 +(w1)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ , ta có w2 ∈ O2 +(w1)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ (với w1, w2 ∈ ℝ 2. Với (u, v) ∈ ℝ2, ta định nghĩa Ξu,v: = {z1: ∃u1 sao cho (u1, z1) ∈ O2 +(u, z)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ } . Do vậy, với bất kỳ (u0, z0) ∈ ℝ 2 ta dễ dàng suy ra từ mệnh đề 1 và 2 ở trên O2 +(u0, z0)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ⊃ {(u1, z1): z1 ≤ z0}. Do vậy, O2 +(u, z) ⊃ {(u1, z1): z1 ≤ Ξu,v}. Nếu Ξu,v < c ∗, sẽ tồn tại h(û, Ξu,v) > 0. Do h(. ) liên tục, ẑ > Ξu,v sao cho inf{h(û, Ξu,v): z ∈ [Ξu,v, ẑ]} > 0. Do vậy, sẽ có điều khiển ∅ và T > 0 thỏa mãn u∅(t, û, Ξu,v) = û, ∀t ∈ [0, T]. Do vậy, (û, v̂) ∈ O2 +(û, Ξu,v) ⊂ O2 +(u, z)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ . Điều này mâu thuẫn với định nghĩa của Ξu,v. Chứng minh được hoàn tất∎ Định lý 5: Hệ điều khiển (4) có duy nhất tập điều khiển bất biến C. Nếu 0 < β < α, thì 𝐶 = ℝ2. Nếu β < 0 hoặc β ≥ α, thì tập C = {(u, v): = v − β α u ≤ c∗}. Chứng minh. Nếu 0 < β < α, từ hai mệnh đề trên, với bất kỳ bộ số (u1, z1), (u2, z2) ∈ ℝ2, ta luôn có (u2, z2) ∈ O1 +(u1, z1)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ . Điều này dẫn đến ℝ2 là tập điều khiển bất biến duy nhất. Xét trường hợp β < 0 hoặc β ≥ α, khi đó ta có thể suy ra trực tiếp từ định lý 1 trên nếu c∗ = ∞. Nếu c∗ < ∞, từ định nghĩa của c∗ ta có h(u, c∗) ≤ 0, ∀u ∈ ℝ. Do vậy, xét cho mọi điều khiển ∅, ta có z∅(T, u, z) ≤ c ∗, ∀t ≥ 0 và dẫn đến z ≤ c∗. Mặt khác O2 +(u, z)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ⊂ {(u′, z′): z′ ≤ c∗}. Kết hợp với định lý 1, ta suy ra O2 +(u, z)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = {(u, z): z ≤ c∗} với mọi 𝑢 ∈ ℝ, z ≤ c∗. Do vậy, {(u, z): z ≤ c∗} là tập điều khiển bất biến cho (5). Sự duy nhất của tập điều khiển này được suy ra từ {(u, z): z ≤ c∗} ⊂ O2 +(u, z)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ với mỗi (u, z) ∈ ℝ2. Từ đó C ≔ {(u, v): v − β α u ≤ c∗} chính là tập điều khiển bất biến cho (4). Trong trường hợp λ > 0, khi đó sẽ có độ đo xác suất bất biến π∗ kết hợp với μ∗ của (1). Do tính duy nhất của tập C, từ giả thiết trên ta suy ra π∗ là độ đo xác suất bất biến duy nhất với giá C. Hơn nữa, ∀(u, v) ∈ C và f là μ∗ − khả tích: P{lim t→∞ 1 t ∫ f(ζu,v(s) t 0 , ηu,v(s)) 26 Journal of Transportation Science and Technology, Vol 20, Aug 2016 = ∫ f(u′, v′)π∗ ℝ2 (du′, dv′)} = 1 Kết quả này đã được chứng minh trong [9]. Hơn nữa, từ [12] ta được lim t→∞ ||P̂(t, (u, v), . ) − π∗(. )|| → 0, ∀(u, v) ∈ C, với ‖. ‖ là chuẩn biến phân toàn phần theo điều kiện Hormander ∎ 3. Kết luận Trong trường hợp hệ suy biến, với giả thiết tập các vector A, B, [A, B], [A, [A, B]], [B, [A, B]],là span của ℝ2 ta đã mô tả giá của độ đo bất biến μ∗ và kiểm tra tính ergodic của hệ bằng việc xét tính điều khiển của hệ. Ngoài ra, do khuôn khổ có hạn của bài báo, ta có thể chứng minh được với những điều kiện thích hợp, hệ tất định của (1) sẽ tồn tại phân phối dừng và hệ này cũng có tính ergodic. 4. Lời cảm ơn Bài báo này được tài trợ một phần từ đề tài “Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của hệ sinh thái với môi trường ngẫu nhiên” với mã số KH1511. Ngoài ra, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến nhóm nghiên cứu đã quan tâm giúp đỡ cho nhiều ý kiến hết sức xác đáng và giá trị. Cuối cùng, tác giả còn xin chân thành cảm ơn Viện nghiên cứu Cao cấp về toán (VIASM), Viện Đào tạo và Hợp tác Quốc tế (IEC), Khoa Cơ bản Trường ĐH GTVT Tp. HCM đã tạo điều kiện thuận lợi để bài báo được hoàn thành Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Hữu Dư (2005), Điều khiển tối ưu hệ tất định và ngẫu nhiên, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội. [2] Trần Đình Tướng (2015), Ngưỡng cho sự phát triển bền vững và tuyệt chủng của mô hình quần thể ngẫu nhiên có hàm đáp ứng dạng Crowley-Martin, Tạp chí khoa học công nghệ vận tải, số tháng 8. [3] Du. N. H., Dang N. H., Yin G. (2016), Conditions for permanence and ergodicity of certain stochastic predator-prey models, J. Appl. Prob. 543, no. 1, 187 - 202. [4] Gause, G. F. (1934) The Struggle for Existence, Williams and Wilkins, Baltimore. [5] Ji C., Jiang D. (2011), Dynamics of a stochastic density dependent predator-prey system with Beddington-DeAngelis functional response. J. Math. Anal. Appl., no. 1, 441-453. [6] Liu, X. Q.; Zhong, S. M.; Tian, B. D.; Zheng, F. X. (2013), Asymptotic properties of a stochastic predator-prey model with Crowley-Martin functional response. J. Appl. Math. Comput. 43, no. 1-2, 479 - 490 [7] Lotka, A. J. (1925), Elements of Physical Biology, Williams and Wilkins, Baltimore. [8] Jurdjevic, V. (2009), Geometric Control Theory, Cambridge University Press, Vol. 52. [9] Kliemann, W. (1987), Recurrence and invariant measures for degenerate diffusions. Ann. Probab., no. 2, 690-707. [10] Stettner, L. (1986), On the existence and uniqueness of invariant measure for continuous time Markov processes. LCDS Report No. 86-16, Brown University, Providence. [11] Ichihara, K., Kunita, H. (1977), A classification of the second order degenerate elliptic operators and its probabilistic characterization, Z. Wahrsch. Verw. Gebiete, 235-254. [12] Ikeda, N., Watanabe, S. (1989), Stochastic differential equations and diffusion processes. Second Edition, North-Holland Publishing Co., Amsterda. Ngày nhận bài: 25/07/2016 Ngày chuyển phản biện: 28/07/2016 Ngày hoàn thành sửa bài: 13/08/2016 Ngày chấp nhận đăng: 20/08/2016