Tính chaos của hệ phương trình fitzhugh-Nagumo - Phan Văn Long Em

Phan Văn Long Em Tính Chaos của hệ phương trình... 66 TÍNH CHAOS CỦA HỆ PHƢƠNG TRÌNH FITZHUGH-NAGUMO Phan Văn Long Em(1) (1) Trường Đại học An Giang Ngày nhận bài: 10/8/2018; Ngày gửi phản biện 25/8/20111; Chấp nhận đăng 20/11/2018 Email: pvlem@agu.edu.vn Tóm tắt Hệ phương trình FitzHugh-Nagumo được xem là mô hình đơn giản mô tả điện áp của màng tế bào. Nếu có những thay đổi làm cho nghiệm của nó bất ổn định hay có tính Chaos, sẽ dẫn đến việc khó phán đoán những kết quả mong muốn. Một hệ Chaos là hệ có hình dạng không thể dự đoán được, nhạy cảm đối với những điều kiện ban đầu và sự thay đổi của những tham số. Bài báo này nghiên cứu sự ảnh hưởng của một tham số, cụ thể là tần số của dòng điện tác động từ bên ngoài, lên tính Chaos của hệ phương trình FitzHugh-Nagumo (FHN) bằng đồ thị rẽ đôi và số mũ Lyapunov lớn nhất. Thông qua kết quả bằng phương pháp số, có ba miền Chaos được tìm thấy tương ứng với các khoảng giá trị khác nhau của tần số của dòng điện kích hoạt từ bên ngoài. Từ khóa : chaos, đồ thị rẽ đôi, hệ phương trình FitzHugh-Nagumo, số mũ Lyapunov Abstract CHAOTIC BEHAVIOR OF FITZHUGH-NAGUMO SYSTEM The FitzHugh-Nagumo system is a simple model describing the membrane voltage. If there are some changes making the solution unstable or chaotic, it will be difficult to predict some desired results. The chaotic system is unpredictable behavior, high sensitivity to initial conditions and parameter variations. This paper investigates the effect of a parameter, especially the frequency of the external electrical stimulation, on the chaos dynamics of FitzHugh-Nagumo (FHN) by using the bifurcation diagram and the largest Lyapunov exponent. Through simulations results, three chaotic regions were specified by varying the frequency of the external electrical stimulation. 1. Đặt vấn đề Tính Chaos là một hiện tượng phi tuyến phức tạp, rất hấp dẫn và được quan tâm trong khoảng ba thập niên gần đây trong nhiều lĩnh vực như: vật lý, hóa học, sinh thái học, sinh học và nhiều lĩnh vực khác. Các dao động Chaos được tìm thấy trong nhiều hệ động lực thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau, tính chất của hệ như thế được đặc trưng bởi sự bất ổn định và khả năng dự đoán kết quả bị giới hạn theo thời gian. Nói một cách tổng quát, một hệ Chaos nếu nó xác định, có tính chất không tuần hoàn theo thời gian, nhạy cảm đối với những điều kiện ban đầu và sự thay đổi của những tham số. Như vậy, đối với một hệ thống Chaos thì các quỹ đạo của nó bắt đầu có thể gần nhau nhưng đột ngột trở nên không tương quan, tách ra rất xa nhau một cách nhanh chóng theo thời gian. Sự hấp dẫn của hệ phương trình Chaos nằm ở chỗ tính phức hợp của chúng, cũng như tính chất không thể dự đoán trước và sự nhạy cảm đối với điều kiện ban Tạp chí Khoa học Đại học Thủ Dầu Một Số 4(39)-2018 67 đầu với sự thay đổi của các tham số. Trong sinh học, tính Chaos và nhiều tính phức hợp khác như: sự rẽ đôi, tính tuần hoàn, bán tuần hoànđược tìm thấy ở rất nhiều trong thực tiễn, điển hình như điện áp tế bào (Guevara, Glass, & Shrier, 1981; Matsumoto, Aihara, Ichikawa, & Tasaki, 1984; Braun, Wissing, Schäfer, & Hirsch, 1994). Năm 1952, Hodgkin và Huxley đã đưa ra một mô hình toán học bốn chiều có thể xấp xỉ được các tính chất hoạt náo của điện áp tế bào (Hodgkin & Huxley, 1952). Kế từ đó, tính Chaos đã được nghiên cứu trong hệ thống tế bào thực sự và tạo được nhiều thành công một cách định lượng nhờ vào mô hình mang tên Hodgkin-Huxley (Aihara, Matsumoto & Ichiwaka, 1985). Dựa trên mô hình này, rất nhiều mô hình đơn giản hơn đã được công bố nhằm mô tả sự hoạt náo của điện áp tế bào. Năm 1962, FitzHugh R. và Nagumo J. đã công bố một mô hình mới mang tên Mô hình FitzHugh-Nagumo (FHN) được biết là mô hình hai chiều đơn giản hóa từ hệ phương trình nổi tiếng của Hodgkin-Huxley (Fitzhugh, 1960; Nagumo, Arimoto & Yoshizawa, 1962). Tuy là mô hình đơn giản hơn, nhưng nó có nhiều kết quả giải tích đáng chú ý và giữ được các tính chất, ý nghĩa về mặt sinh học. Mô hình này được tạo thành từ hai phương trình của hai biến u và v . Biến đầu tiên là biến nhanh, được gọi là biến hoạt náo, nó thể hiện cho điện áp của màng tế bào. Biến thứ hai là biến chậm, nó thể hiện cho một số đại lượng vật lí phụ thuộc thời gian như độ dẫn điện của dòng ion đi ngang qua màng tế bào. Hệ phương trình FitzHugh-Nagumo được biểu diễn bởi hệ sau: ( 1)(1 ) ( ), , du u u bu v s t dt dv cu dt           (1) trong đó, ,b c là các hằng số dương, ( )s t là dòng điện kích hoạt từ bên ngoài được cho bởi công thức: ( ) cos2 , 2 a s t ft f    (2) với a và f tương ứng là các biên độ và tần số của dòng điện kích hoạt từ bên ngoài. Kết quả bên dưới cho thấy tính tuần hoàn và tính chaos của điện áp màng tế bào khi cho tần số hay biên độ thay đổi. Tính tuần hoàn của những sóng dao động của điện áp đươc phân chia thành các dạng như: dạng chu kì nhịp :m n , trong đó m và n tương ứng là các số sóng thực sự và số lượng các dao động xuất hiện một cách đều đặn theo thời gian trong một chu kì. Ví dụ, dạng chu kì nhịp 1:1 nghĩa là điện áp của màng tế bào đồng bộ với các dao động. Cụ thể, Hình 1 giới thiệu các dạng trạng thái khác nhau của hệ phương trình (1) tương ứng với các tần số và biên độ khác nhau của dòng điện kích hoạt từ bên ngoài được cho bởi công thức (2). Sự thay đổi từ trạng thái tuần hoàn sang trạng thái bất ổn định hay Chaos làm cho nghiệm của hệ phương trình (1) có những hình dạng khác nhau, đặc biệt là tính Chaos được rất nhiều nhà nghiên cứu quan tâm hiện nay. Hệ phương trình FitzHugh-Nagumo được xem là mô hình đơn giản mô tả điện áp của màng tế bào, do đó nếu có những thay đổi làm cho nghiệm của nó bất ổn định hay có tính Chaos, sẽ dẫn đến việc khó phán đoán những kết quả mong muốn. Vì vậy, việc nghiên cứu tính Chaos của hệ phương trình FitzHugh-Nagumo là hết sức cần thiết. Hình 1. Các dạng trạng thái khác nhau của hệ phương trình (1) tướng ứng với các giá trị khác nhau của f và ( 10, 1.0).a b c  : (a) là dạng chu kì nhịp 1:1 với 0.06f  và 0.1.a  ; Phan Văn Long Em Tính Chaos của hệ phương trình... 68 (b) là dạng chu kì nhịp 2 :3 với 0.076f  và 0.1.a  ; (c) là dạng chu kì nhịp 1: 2 với 0.08f  và 0.1.a  ; (d) là dạng chu kì nhịp 1:5 với 0.129f  và 0.081.a  ; (e) là dạng chu kì nhịp 0 :1 với 0.17f  và 0.081.a  ; (f) là dạng Chaos với 0.129f  và 0.1.a  (a) Dạng chu kì nhịp 1:1 với 0.06f  và 0.1.a  (b) Dạng chu kì nhịp 2 :3 với 0.076f  và 0.1.a  (c) Dạng chu kì nhịp 1: 2 với 0.08f  và 0.1.a  (d) Dạng chu kì nhịp 1:5 với 0.129f  và 0.081.a  Tạp chí Khoa học Đại học Thủ Dầu Một Số 4(39)-2018 69 (e) Dạng chu kì nhịp 0 :1 với 0.17f  và 0.081.a  (f) Dạng Chaos với 0.129f  và 0.1.a  2. Cơ sở lý thuyết và phƣơng pháp nghiên cứu Như đã nói ở trên, hệ phương trình FitzHugh-Nagumo là mô hình đơn giản mô tả điện áp của màng tế bào, nếu có những thay đổi làm cho nghiệm của nó bất ổn định hay có tính Chaos, sẽ dẫn đến việc khó phán đoán những kết quả mong muốn. Vì vậy, việc nghiên cứu tính Chaos của hệ phương trình FitzHugh-Nagumo là hết sức cần thiết. Để nghiên cứu tính Chaos của hệ phương trình FitzHugh-Nagumo, bài báo đã dựa trên biểu đồ rẽ đôi và sự biến thiên của số mũ Lyapuov lớn nhất (Dang-Vu & Delcarte, 2000). Biểu đồ rẽ đôi được xây dựng dựa trên phần Poincaré của không gian bắt được tất cả các sóng hay quỹ đạo của hệ phương trình (1) (tức là : 0.045 0u   và 0 dv dt  ). Số mũ Lyapunov lớn nhất được tính dựa vào phương pháp được miêu tả trong (Wolf, Swift, Swinney & Vastano, 1985). Cho một hệ phương trình động lực liên tục n chiều, số mũ lớn nhất Lyapuov được xác định bởi công thức: max 1 ( ) lim log , (0)t t t     (3) trong đó, ( )t là trục chính của n ellipsoid được sinh bởi một n hình cầu vô hạn của những điều kiện ban đầu. Nếu max 0  thì hệ phương trình có tính Chaos. Ngược lại, hệ phương trình sẽ có một đường tròn giới hạn (tuần hoàn) hoặc là bán tuần hoàn (Wolf và ctv., 1985; Aguirre, Mosekilde & Sanjuan, 2004). Kết quả tính toán của bài báo được thực hiện trên C++ và dùng thuật toán Runge-Kutta để lấy tích phân hệ phương trình (1) với bước thời gian 0.005.t  Giá trị của các tham số được cố định như sau 0.1, 10, 1.0.a b c   Đặc biệt, tần số f của dòng điện kích hoạt từ bên ngoài được xem như là tham số của sự rẽ đôi. Phan Văn Long Em Tính Chaos của hệ phương trình... 70 3. Kết quả Hình 2 là biểu đồ rẽ đôi (hình bên trên) tương ứng với sự biến thiên của số mũ Lyapunov lớn nhất (hình bên dưới) đối với miền xác định của tần số là 0.06 0.17.f  Kết quả cho thấy hệ phương trình động lực (1) có nhiều tính chất phong phú. Nếu tần số f đủ lớn ( 0.1625)f  thì điện áp tế bào sẽ có dạng chu kì nhịp 0 :1. Nghĩa là, nó bị triệt tiêu hoàn toàn. Nếu 0.078 0.095f  và 0.131 0.1609f  thì điện áp tế bào có dạng chu kì nhịp 1: 2. Nếu 0.067f  và 0.095 0.1245f  thì điện áp tế bào có dạng chu kì nhịp 1:1. Như vậy, từ Hình 2, sẽ có 3 miền làm cho hệ phương trình (1) có tính Chaos, được gọi là miền Chaos và đặt tên tương ứng là (I), (II) và (III). Các miền Chaos này được xác định bởi các số mũ Lyapunov lớn nhất có giá trị dương (phần bên dưới của Hình (2)). Các miền Chaos và các số mũ Lyapunov lớn nhất được phóng đại ở Hình 3. Miền Chaos (I) xuất hiện ở khoảng giữa của dạng chu kì nhịp 0 :1 và 1: 2. Khi đó, tính Chaos của (1) được mô tả bằng dãy các rẽ đôi được tăng gấp đôi tương ứng với các giá trị của f tăng dần (Hình 3(a)). Ở mỗi điểm rẽ đôi được tăng gấp đôi này, số mũ Lyapunov lớn nhất tiến đến 0 từ giá trị âm (xem phần bên dưới của Hình 3(a)). Chú ý rằng có một khoảng nhỏ của dao động có chu kì ổn định giữa 0.1613f  và 0.16149.f  Xung quanh giá trị 0.1613,f  kích cỡ của miền hấp dẫn Chaos giảm xuống một cách đáng kể. Điều này cho thấy hệ phương trình (1) chuyển từ trạng thái rẽ đôi homoclinic sang trạng thái sóng đều spiking (Belykh, Belykh, Colding- Jogrensen & Mosekilde, 2000). Tính Chaos của hệ (1) kết thúc ở 0.1609f  bởi sự xuất hiện của dạng chu kì nhịp 1: 2 , vì có mặt của một điểm yên ngựa rẽ đôi. Tại điểm đó, số mũ Lyapunov lớn nhất thay đổi đột ngột từ một giá trị dương sang một giá trị âm. Tính Chaos của (1) trong miền (II) với 0.1245 0.1311f  được mô tả trong Hình 3(b), vì số mũ Lyapunov lớn nhất có giá trị dương, nghĩa là trạng thái Chaos của (1) tồn tại trong miền này (phần dưới của Hình 3(b)). Xung quang 0.1311f  , có một sự thay đổi đột ngột của số mũ Lyapunov lớn nhất từ giá trị dương sang âm. Điều này chứng tỏ hệ phương trình chuyển từ trạng thái Chaos sang trạng thái tuần hoàn ổn định với sự xuất hiện của điểm yên ngựa rẽ đôi. Miền Chaos cuối cùng là miền (III), xảy ra ở khoảng giữa của hai dạng chu kì nhịp 1: 2 và 1:1 với các giá trị khá nhỏ của f (Hình 3(c)). Trong miền này, có một dãy các lớp chu kì nối nhau : ( 1)n n bắt đầu với 1.n  Khi giá trị của f giảm dần (~0.067), thì số mũ lớn nhất Lyapunov âm, khi đó trạng thái Chaos chuyển sang trạng thái tuần hoàn ổn định, tương ứng với dạng chu kì nhịp 1:1, với sự xuất hiện của điểm yên ngựa rẽ đôi. Hình 2. Biểu đồ rẽ đôi (trên) và sự thay đổi của số mũ Lyapunov lớn nhất tương ứng (dưới) của hệ phương trình (1) với 0.06 0.17.f  Tạp chí Khoa học Đại học Thủ Dầu Một Số 4(39)-2018 71 Hình 3. Ba miền Chaos được phóng đại từ Hình 2: biểu đồ rẽ đôi (trên) và sự thay đổi của số mũ Lyapunov lớn nhất tương ứng (dưới). (a) Miền (I) được phóng đại từ hình 2 với 0.16 0.163.f  (b) Miền (II) được phóng đại từ hình 2 với 0.124 0.132.f  Phan Văn Long Em Tính Chaos của hệ phương trình... 72 (c) Miền (III) được phóng đại từ hình 2 với 0.065 0.08.f  4. Kết luận Bài báo đã đưa ra kết quả rằng hệ phương trình FitzHugh-Nagumo với sự thay đổi của dòng điện kích hoạt từ bên ngoài sẽ có tính Chaos bằng đồ thị rẽ đôi và số mũ Lyapunov lớn nhất. Thông qua kết quả bằng phương pháp số, có ba miền Chaos được tìm thấy tương ứng với các khoảng giá trị khác nhau của tần số của dòng điện kích hoạt từ bên ngoài. Điều này giúp cho người nghiên cứu có thể chọn được các giá trị của tần số phù hợp, để đạt được các trạng thái mong muốn của hệ phương trình đang xét. Giả sử rằng trong một hệ thống gồm nhiều hệ phương trình FitzHugh-Nagumo có tính Chaos như thế thì việc nghiên cứu chắc chắn sẽ khó khăn hơn. Do đó, kết quả của bài báo này là cơ sở ban đầu cho việc nghiên cứu về sự tương tác giữa các hệ phương trình có tính Chaos trong một hệ thống mạng lưới các hệ phương trình được liên kết với nhau theo một kiểu cho trước. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Aguirre, J., Mosekilde, E., & Sanjuan, M.A.F. (2004). Analysis of the noise-induced bursting- spiking transition in a pancreatic beta-cell model, Phys. Rev.E, (69), 041910. [2]. Aihara, K., Matsumoto, G. , & Ichiwaka, M. (1985). An alternating periodic–chaotic sequence observed in neural oscillations, Phys. Lett. A, (111), 251–255. [3]. Belykh, V.N., Belykh, I.V., Colding-Jogrensen & Mosekilde, E. (2000). Homoclinic bifurcations leading to the emergence of bursting oscillations in cell models, Eur. Phys. J. E, (3), 205–219. Tạp chí Khoa học Đại học Thủ Dầu Một Số 4(39)-2018 73 [4]. Braun, H.A., Wissing, H., Schäfer, K., & Hirsch, M.C. (1994). Oscillation and noise determine signal transduction in shark multimodel sensory cells, Nature, (367), 270–273. [5]. Dang-Vu H., Delcarte C. (2000). Bifurcations et chaos, une introduction à la dynamique contemporaine avec des programmes en Pascal, Fortran et Mathematica, Eds Ellipses, Universités –Mécanique. [6]. Fitzhugh, R. (1960). Thresholds and plateaus in the Hodgkin–Huxley nerve equations, J. Gen. Physiol., (43), 867–896. [7]. Guevara, M.R., Glass, L., & Shrier, A. (1981). Phase locking, period-doubling bifurcation, and irregular dynamics in periodically stimulated cardiac cells, Science, (214),1350-1353. [8]. Hodgkin, A.L., & Huxley, A.F. (1952). A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve, J. Physiol., (117), 500–544. [9]. Matsumoto, G., Aihara, K., Ichikawa, M., & Tasaki, A. (1984). Periodic and nonperiodic response of membrane potentials in squid giant axons during sinusoidal current stimulation, J. Theoret. Neurobiol., (3), 1–14. [10]. Nagumo, J., Arimoto, S., & Yoshizawa, S. (1962). An active pulse transmission line simulating nerve axon, Proc. IRE, (50), 2061–2070. [11]. Wolf, A., Swift, J.B., Swinney, H.L., & Vastano, J.A. (1985). Determining Lyapunov exponents from a time series, Physica D (16), 285–317.