Tìm hiểu sâu thêm vật lý sơ cấp: Chuyển động tròn: đều và không đều

t×m hiÓu s©u thªm vËt lý s¬ cÊp ChuyÓn ®éng trßn: ®Òu vµ kh«ng ®Òu ChuyÓn ®éng trßn lµ d¹ng chuyÓn ®éng th­êng gÆp trong kÜ thuËt vµ trong thùc tÕ. ViÖc gi¶i bµi to¸n chuyÓn ®éng trßn cã ý nghÜa quan träng. Tr­íc hÕt chóng ta h·y nh¾c l¹i vµi kh¸i niÖm c¬ b¶n. Gi¶ sö vËt (chÊt ®iÓm) chuyÓn ®éng trßn. VËn tèc gãc ®­îc ®Þnh nghÜa lµ giíi h¹n cña tØ sè gi÷a gãc quay cña b¸n kÝnh ®i qua vËt vµ thêi gian Dt ®Ó quay gãc ®ã, khi Dt tiÕn ®Õn kh«ng : khi . Gãc quay ®­îc ®o b»ng radian, v× vËy vËn tèc gãc trong hÖ SI ®­îc do b»ng rad/s (hay 1/s). §é lín V cña vÐct¬ vËn tèc trong chuyÓn ®éng trßn ®­îc gäi lµ vËn tèc dµi. VËn tèc gãc vµ vËn tèc dµi ë thêi ®iÓm bÊt k× liªn hÖ nhau bëi hÖ thøc , ë ®©y R lµ b¸n kÝnh cña quü ®¹o. ChuyÓn ®éng trßn ®­îc gäi lµ ®Òu nÕu ®é lín vËn tèc dµi (vµ do ®ã vËn tèc gãc) kh«ng thay ®æi theo thêi gian, trong tr­êng hîp ng­îc l¹i th× chuyÓn ®éng gäi lµ trßn, kh«ng ®Òu. §èi víi chuyÓn ®éng trßn ®Òu ng­êi ta ®­a vµo kh¸i niÖm chu k× vµ tÇn sè. Chu k× chuyÓn ®éng lµ kho¶ng thêi gian T vËt chuyÓn ®éng ®­îc trän mét vßng. TÇn sè f lµ sè vßng vËt quay ®­îc trong mét ®¬n vÞ thêi gian. DÔ thÊy T=1/f vµ . Trong chuyÓn ®éng trßn ®Òu gia tèc ®­îc tÝnh theo c«ng thøc . Vect¬ gia tèc lu«n h­íng vµo t©m quü ®¹o v× vËy ®­îc gäi lµ gia tèc h­íng t©m. Theo ®Þnh luËt II Newton , ë ®©y lµ tæng hîp c¸c lùc do vËt kh¸c t¸c dông lªn vËt. V× trong chuyÓn ®éng trßn ®Òu vect¬ gia tèc lu«n h­íng vµo t©m nªn còng h­íng vµo t©m, do ®ã nã ®­îc gäi lµ lùc h­íng t©m. CÇn l­u ý r»ng lùc h­íng t©m kh«ng ph¶i lµ mét lùc g× huyÒn bÝ ®Æc biÖt, xuÊt hiÖn do vËt chuyÓn ®éng trßn, mµ ®ã lµ tæng hîp c¸c lùc cña nh÷ng vËt kh¸c t¸c dông lªn vËt. V× vËy khi b¾t ®Çu gi¶i mét bµi to¸n vÒ chuyÓn ®éng trßn nªn biÓu diÔn c¸c lùc thùc sù t¸c dông lªn vËt, chø kh«ng ph¶i lµ lùc h­íng t©m. x R O H×nh 1. Trong chuyÓn ®éng trßn, kh«ng ®Òu vect¬ gia tèc kh«ng h­íng vµo t©m quay, v× thÕ nªn ph©n tÝch nã thµnh hai thµnh phÇn vµ (H.1). Thµnh phÇn h­íng theo tiÕp tuyÕn quü ®¹o vµ ®­îc gäi lµ gia tèc tiÕp tuyÕn. Nã ®Æc tr­ng cho møc ®é biÕn ®æi nhanh chËm cña ®é lín vËn tèc. Thµnh phÇn h­íng theo ph¸p tuyÕn quü ®¹o vµo t©m quay vµ ®­îc gäi lµ gia tèc ph¸p tuyÕn (hay gia tèc h­íng t©m). §é lín cña gia tèc ph¸p tuyÕn ë thêi ®iÓm bÊt k× ®­îc tÝnh theo c«ng thøc: , trong ®ã V vµ lµ vËn tèc dµi vµ vËn tèc gãc ë thêi ®iÓm ®ã. Tõ h×nh vÏ râ rµng r»ng trong chuyÓn ®éng trßn kh«ng ®Òu h×nh chiÕu cña vect¬ gia tèc trªn trôc x (h­íng däc theo b¸n kÝnh vµo t©m quay) lu«n b»ng . §©y lµ c¬ së ®Ó gi¶i nhiÒu bµi to¸n chuyÓn ®éng trßn kh«ng ®Òu. Bµi 1. Mét c¸i ®Üa quay trßn quanh trôc th¼ng ®øng vµ ®i qua t©m cña nã. Trªn ®Üa cã mét qu¶ cÇu nhá ®­îc nèi víi trôc nhê sîi d©y m¶nh dµi l. D©y lËp víi trôc mét gãc (H.2). Ph¶i quay hÖ víi chu k× b»ng bao nhiªu ®Ó qu¶ cÇu kh«ng rêi khái mÆt ®Üa? a x a H×nh 2. Qu¶ cÇu chuyÓn ®éng trßn ®Òu trªn ®­êng trßn b¸n kÝnh b»ng víi vËn tèc gãc vµ víi gia tèc , ë ®©y T lµ chu k× quay. Qu¶ cÇu chÞu t¸c dông cña träng lùc, lùc c¨ng cña d©y vµ ph¶n lùc cña ®Üa. Ph­¬ng tr×nh ®Þnh luËt II Niut¬n: . ChiÕu ph­¬ng tr×nh vect¬ nµy lªn trôc x vu«ng gãc víi sîi d©y, ta cã: Tõ ®ã: . Qu¶ cÇu kh«ng rêi khái mÆt ®Üa nÕu ph¶n lùc , tøc lµ: . Thay gia tèc a qua chu k× T theo biÓu thøc ë trªn ta ®uîc: . DÊu b»ng trong biÓu thøc nµy øng víi tr­êng hîp qu¶ cÇu n»m ë giíi h¹n cña sù rêi khái mÆt ®Üa, tøc lµ cã thÓ coi lµ tiÕp xóc mµ còng cã thÓ coi lµ kh«ng cßn tiÕp xóc víi ®Üa n÷a (trªn thùc tÕ tr­êng hîp nµy kh«ng cã ý nghÜa g× quan träng), v× vËy cã thÓ coi c©u tr¶ lêi hîp lÝ lµ øng víi dÊu lín h¬n. Bµi 2. Mét qu¶ cÇu nhá khèi l­îng m ®­îc treo b»ng mét sîi d©y m¶nh. KÐo qu¶ cÇu ®Ó sîi d©y n»m theo ph­¬ng ngang råi th¶ ra. H·y t×m lùc c¨ng cña sîi d©y khi nã lËp víi ph­¬ng n»m ngang mét gãc b»ng O X a B A a H×nh 3. §©y lµ bµi to¸n vÒ chuyÓn ®éng trßn, kh«ng ®Òu. Qu¶ cÇu chÞu t¸c dông cña träng lùc vµ lùc c¨ng cña sîi d©y (H.3). Hai lùc nµy g©y ra gia tèc cña qu¶ cÇu, kh«ng h­íng vµo t©m O. Theo ®Þnh luËt II Newton: ChiÕu ph­¬ng tr×nh vect¬ nµy lªn trôc X ta ®­îc: , trong ®ã , víi V lµ vËn tèc cña qu¶ cÇu, R lµ chiÒu dµi sîi d©y. Tõ ®Þnh luËt b¶o toµn c¬ n¨ng suy ra: Tõ 3 ph­¬ng tr×nh trªn tÝnh ®­îc lùc c¨ng cña sîi d©y: Bµi 3. Mét c¸i ®Üa cã thÓ quay xung quanh trôc th¼ng ®øng, vu«ng gãc víi ®Üa vµ ®i qua t©m cña nã. Trªn ®Üa cã mét vËt khèi l­îng M. ë mÆt trªn cña khèi M cã mét vËt nhá khèi l­îng m. VËt m ®­îc nèi víi trôc nhê mét sîi d©y m¶nh (H×nh 4). Quay ®Üa (cïng vËt M vµ m) nhanh dÇn lªn, tøc lµ vËn tèc gãc t¨ng dÇn. Ma s¸t gi÷a ®Üa vµ khèi M kh«ng ®¸ng kÓ. Hái víi vËn tèc gãc b»ng bao nhiªu th× khèi M b¾t ®Çu tr­ît ra khái d­íi vËt m, biÕt hÖ sè ma s¸t tr­ît gi÷a vËt m vµ khèi M b»ng k. Tr­íc hÕt ta h·y t×m vËn tèc gãc mµ khèi M ch­a tr­ît ra phÝa d­íi vËt m, tøc lµ m vµ M cïng quay víi nhau. Trong tr­êng hîp nµy chóng chuyÓn ®éng theo ®­êng trßn, b¸n kÝnh R vµ víi gia tèc h­íng t©m a Fms N N1 N mg Mg Fms FC H×nh 4. Trong hÖ cã nhiÒu vËt vµ nhiÒu lùc t¸c dông. §Ó kh«ng lµm cho h×nh vÏ qu¸ rèi, trªn h×nh c¸c vÐc t¬ lùc ®­îc ký hiÖu nh­ lµ c¸c ®é lín cña chóng. VËt m chÞu t¸c dông cña träng lùc , ph¶n lùc cña khèi M, lùc c¨ng cña sîi d©y vµ lùc ma s¸t nghØ (do M t¸c dông). Theo ®Þnh luËt II Newton tæng hîp c¸c lùc nµy ph¶i h­íng vµo trôc quay. Tõ ®ã suy ra lùc ma s¸t ph¶i h­íng song song sîi d©y. Theo ®Þnh luËt III Newton vËt m còng t¸c dông lªn khèi M mét lùc ma s¸t cã cïng ®é lín nh­ng ng­îc chiÒu. Khèi M chÞu t¸c dông cña träng lùc , ¸p lùc cña vËt m (cã ®é lín b»ng träng l­îng mg cña nã) vµ lùc ma s¸t nghØ cña vËt m, ph¶n lùc cña ®Üa. Ph­¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña khèi M chiÕu lªn trôc song song víi sîi d©y cã d¹ng:.Khèi M sÏ kh«ng tr­ît ra khái vËt m nÕu ®é lín cña lùc ma s¸t nghØ nhá h¬n gi¸ trÞ cùc ®¹i cña nã (b»ng lùc ma s¸t tr­ît), tøc lµ : , ® Tõ ®ã suy ra r»ng khèi M b¾t ®Çu tr­ît ra khái phÝa d­íi vËt m khi vËn tèc gãc ®¹t gi¸ trÞ: Bµi 4. Mét nhµ du hµnh vò trô ngåi trªn Ho¶ tinh ®o chu kú quay cña con l¾c h×nh nãn (mét vËt nhá treo vµo sîi d©y, chuyÓn ®éng trßn trong mÆt ph¼ng n»m ngang víi vËn tèc kh«ng ®æi, khi ®ã d©y treo quÐt thµnh mét h×nh nãn) nhËn ®­îc kÕt qu¶ T=3s. §é dµi cña d©y L=1m. Gãc t¹o bëi sîi d©y vµ ph­¬ng th¼ng ®øng . H·y t×m gia tèc r¬i tù do trªn Ho¶ tinh. m µ µ H×nh 5. VËt chuyÓn ®éng theo ®­êng trßn b¸n kÝnh víi vËn tèc gãc vµ gia tèc . VËt m chÞu t¸c dông cña lùc c¨ng cña d©y treo, träng lùc , ë ®©y g’ lµ gia tèc r¬i tù do trªn Ho¶ tinh. Ph­¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña vËt cã d¹ng: . Tõ h×nh 5 râ rµng . ThÕ biÓu thøc cña a ë trªn vµo sÏ t×m ®­îc gia tèc r¬i tù do trªn Ho¶ tinh: . Bµi 5. Mét qu¶ cÇu ®­îc g¾n cè ®Þnh trªn m¨t bµn n»m ngang. Tõ ®Ønh A cña qu¶ cÇu mét vËt nhá b¾t ®Çu tr­ît kh«ng ma s¸t víi vËn tèc ban ®Çu b»ng 0. Hái vËt sÏ ch¹m vµo mÆt bµn d­íi mét gãc b»ng bao nhiªu? ° ° · X R O a b a H×nh 6. A Gi¶ sö b¸n kÝnh qu¶ cÇu b»ng R (H.6). ChuyÓn ®éng cña vËt trªn mÆt qu¶ cÇu cho ®Õn khi rêi khái nã lµ chuyÓn ®éng trßn kh«ng ®Òu víi b¸n kÝnh quü ®¹o b»ng R. Tr­íc hÕt chóng ta t×m gãc vµ vËn tèc V cña vËt khi rêi khái mÆt qu¶ cÇu. VËt chÞu t¸c dông cña träng lùc vµ ph¶n lùc ph¸p tuyÕn cña qu¶ cÇu. Ph­¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña vËt chiÕu lªn trôc X cã d¹ng: , ë ®©y lµ gia tèc ph¸p tuyÕn. Vµo thêi ®iÓm vËt rêi khái mÆt qu¶ cÇu th× N=0, v× vËy ta ®­îc: . §Ó t×m V vµ cÇn cã thªm mét ph­¬ng tr×nh n÷a. Sö dông ®Þnh luËt b¶o toµn c¬ n¨ng: Þ Gi¶i hÖ hai ph­¬ng tr×nh víi c¸c Èn lµ V vµ ta t×m ®­îc : . B©y giê chóng ta t×m vËn tèc cña vËt khi ch¹m vµo mÆt bµn. Dïng ®Þnh luËt b¶o toµn c¬ n¨ng: c¬ n¨ng cña vËt t¹i ®Ønh h×nh cÇu b»ng c¬ n¨ng khi vËt ch¹m bµn. , tõ ®ã tÝnh ®­îc Trong kho¶ng thêi gian tõ lóc rêi mÆt qu¶ cÇu ®Õn khi ch¹m mÆt bµn thµnh phÇn vËn tèc theo ph­¬ng ngang cña vËt kh«ng thay ®æi. V× vËy nÕu gäi gãc r¬i cña vËt khi ch¹m bµn lµ th× ta cã: . Thay c¸c biÓu thøc cña V, vµ ®· t×m ®­îc ë trªn vµo sÏ tÝnh ®­îc: . Bµi tËp: 2a Hinh 7 l 1. Mét vËt nhá ®­îc buéc vµo ®Ønh cña h×nh nãn th¼ng ®øng xoay b»ng mét sîi chØ dµi l (H.7). Toµn bé hÖ thèng quay trßn xung quanh trôc th¼ng ®øng cña h×nh nãn. Víi sè vßng quay trong mét ®¬n vÞ thêi gian b»ng bao nhiªu th× vËt nhá kh«ng n©ng lªn khái mÆt h×nh nãn ? Cho gãc më ë ®Ønh cña h×nh nãn . 2. Mét c¸i ®Üa cã thÓ quay xung quanh trôc th¼ng ®øng, vu«ng gãc víi ®Üa vµ ®i qua t©m cña nã. Trªn ®Üa cã mét vËt khèi l­îng M vµ ë mÆt trªn cña khèi M cã mét vËt nhá khèi l­îng m. VËt ®­îc nèi víi trôc nhê sîi d©y m¶nh (H.4). Quay ®Üa (cïng khèi M vµ vËt m) nhanh dÇn lªn, tøc lµ vËn tèc gãc t¨ng dÇn. Coi ma s¸t gi÷a vËt m vµ khèi M lµ nhá kh«ng ®¸ng kÓ . Hái víi vËn tèc gãc b»ng bao nhiªu th× khèi M b¾t ®Çu tr­ît ra khái d­íi vËt m, biÕt hÖ sè ma s¸t tr­ît gi÷a ®Üa vµ khèi M b»ng k. 3. Mét qu¶ cÇu b¸n kÝnh R=54cm, ®­îc g¾n chÆt vµo mét bµn n»m ngang. Mét viªn bi nhá b¾t ®Çu tr­ît kh«ng ma s¸t tõ ®Ønh cña qu¶ cÇu. Hái sau khi r¬i xuèng mÆt bµn viªn bi nÈy lªn ®é cao cùc ®¹i b»ng bao nhiªu nÕu va ch¹m gi÷a nã víi mÆt bµn lµ va ch¹m ®µn håi?. T« Linh (S­u tÇm & giíi thiÖu) Tõ tr­êng Tõ tr­êng lµ tr­êng lùc t¸c dông lªn c¸c ®iÖn tÝch chuyÓn ®éng, c¸c dßng ®iÖn vµ c¸c vËt cã m«men tõ (vÝ dô nh­ c¸c kim la bµn, ch¼ng h¹n) ®Æt trong ®ã. §Æc tr­ng cho tõ tr­êng vÒ ph­¬ng diÖn t¸c dông lùc lµ vect¬ c¶m øng tõ . Vect¬ nµy (tøc ®é lín vµ h­íng cña nã) hoµn toµn x¸c ®Þnh lùc do tõ tr­êng t¸c dông lªn mét ®iÖn tÝch ®iÓm chuyÓn ®éng t¹i mét ®iÓm cña tr­êng, lùc nµy cßn ®­îc gäi lµ lùc Lorentz. NÕu cã mét ®iÖn tÝch ®iÓm q t¹i mét ®iÓm nµo ®ã trong tõ tr­êng cã vËn tèc lËp víi vect¬ mét gãc , th× lùc Lorentz do tõ tr­êng t¸c dông lªn nã cã ®é lín b»ng: , cã ph­¬ng vu«ng gãc víi hai vect¬ vµ , cã chiÒu ®­îc x¸c ®Þnh theo qui t¾c bµn tay tr¸i. T¸c dông cña tõ tr­êng lªn mét ®o¹n d©y dÉn cã dßng ®iÖn ch¹y qua lµ kÕt qu¶ t¸c dông cña tr­êng lªn c¸c h¹t t¶i ®iÖn chuyÓn ®éng trong ®äan d©y dÉn ®ã. Lùc do tõ tr­êng t¸c dông lªn mét phÇn tö dßng ®iÖn lËp víi vect¬ mét gãc cã ®é lín b»ng: cã chiÒu còng ®­îc x¸c ®Þnh b»ng qui t¾c bµn tay tr¸i. Lùc nµy ®­îc gäi lµ lùc Ampe. Nguån cña tõ tr­êng lµ c¸c vËt nhiÔm tõ, c¸c d©y dÉn cã dßng ®iÖn ch¹y qua vµ c¸c vËt tÝch ®iÖn chuyÓn ®éng. B¶n chÊt cña sù xuÊt hiÖn tõ tr­êng trong tÊt c¶ c¸c tr­êng hîp ®ã chØ cã mét - ®ã lµ tõ tr­êng xuÊt hiÖn do chuyÓn ®éng cña c¸c h¹t vi m« tÝch ®iÖn (nh­ c¸c electron, proton, ion) vµ nhê sù cã mÆt mét m«men tõ riªng cña c¸c vi h¹t ®ã. Tõ tr­êng biÕn thiªn còng xuÊt hiÖn khi cã sù biÕn thiªn cña ®iÖn tr­êng theo thêi gian. §Õn l­ît m×nh, tõ tr­êng biÕn thiªn nµy l¹i lµm xuÊt hiÖn mét ®iÖn tr­êng xo¸y (c¶m øng ®iÖn tõ). B©y giê chóng ta sÏ ®i tíi kh¶o s¸t mét sè bµi to¸n cô thÓ. Bµi to¸n 1. Trong khu«n khæ mÉu nguyªn tö cæ ®iÓn cña hi®r«, h·y ®¸nh gi¸ ®é lín c¶m øng tõ t¹i t©m quÜ ®¹o trßn cña electron. Cho biÕt b¸n kÝnh quÜ ®¹o trßn nµy (b¸n kÝnh Bohr) . Gîi ý: c¶m øng tõ t¹i t©m mét d©y dÉn trßn cã dßng ®iÖn I ch¹y qua b»ng , trong ®ã Gi¶i: Trong mÉu nguyªn tö cæ ®iÓn cña hi®r«, electron cã ®iÖn tÝch (-e) víi vµ khèi l­îng quay xung quanh mét pr«ton theo qui ®¹o trßn cã b¸n kÝnh (øng víi tr¹ng th¸i c¬ b¶n cña electron trong nguyªn tö hi®r«). Gi¶ sö lµ vËn tèc cña electron trªn quÜ ®¹o nãi trªn, khi ®ã ph­ong tr×nh chuyÓn ®éng cña electron theo quÜ ®¹o trßn cã d¹ng: Tõ ph­¬ng tr×nh ®ã ta t×m ®­îc vËn tèc cña electron: . Thùc ra, ®Ó tr¶ lêi cho c©u hái cña bµi to¸n, kh«ng cÇn ph¶i tÝnh vËn tèc cña electron. Nh­ng gi¸ trÞ cña vËn tèc nµy còng rÊt ®¸ng quan t©m trªn ph­¬ng diÖn nhËn thøc: vËn tèc cña electron nhá h¬n vËn tèc cña ¸nh s¸ng tíi 2 bËc. C¬ häc l­îng tö cho phÐp chøng minh ®­îc r»ng tû sè ®­îc biÓu diÔn qua nh÷ng h»ng sè vò trô, do ®ã tû sè nµy còng lµ mét h»ng sè. Tû sè nµy trong vËt lý nguyªn tö ®­îc gäi lµ h»ng sè cÊu tróc tÕ vi. Ng­êi ta ký hiÖu h»ng sè ®ã lµ vµ nã cã gi¸ trÞ b»ng 1/137. ChuyÓn ®éng cña electron theo quÜ ®¹o trßn, nªn chóng ta cã thÓ coi nh­ mét dßng ®iÖn trßn. DÔ dµng thÊy r»ng c­êng ®é cña dßng ®iÖn nµy b»ng tû sè ®iÖn tÝch cña electron vµ chu kú quay cña nã: . Thay biÓu thøc cña vËn tèc ë trªn vµo, ta ®­îc: Dïng biÓu thøc c¶m øng tõ ë t©m cña dßng ®iÖn trßn cho trong ®Ò bµi, ta ®­îc: Bµi to¸n 2. Khi s¶n xuÊt c¸c mµng polyetilen, mét tÊm mµng réng ®­îc kÐo theo c¸c con l¨n víi vËn tèc (H.1). Trong qu¸ tr×nh xö lý (do ma s¸t) trªn bÒ mÆt mµng xuÊt hiÖn mét ®iÖn tÝch mÆt ph©n bè ®Òu. H·y x¸c ®Þnh ®é lín tèi ®a cña c¶m øng tõ ë gÇn bÒ mÆt cña mµng víi l­u ý r»ng c­êng ®é ®iÖn tr­êng ®¸nh thñng trong kh«ng khÝ b»ng Gîi ý: c¶m øng tõ ë gÇn mét d©y dÉn cã dßng ®iÖn I ch¹y qua cã ®é lín b»ng , trong ®ã r - lµ kho¶ng c¸ch ®Õn trôc d©y dÉn. H×nh 1. Gi¶i: DÔ dµng thÊy r»ng giíi h¹n cña c­êng ®é ®iÖn tr­êng cho phÐp cã vai trß quyÕt ®Þnh gi¸ trÞ cùc ®¹i cña mËt ®é ®iÖn tÝch mÆt trªn mµng. Dïng mèi liªn hÖ gi÷a c­êng ®é ®iÖn tr­êng ë gÇn mét tÊm tÝch ®iÖn ®Òu vµ mËt ®é ®iÖn tÝch mÆt cña tÊm ®ã, ta cã thÓ viÕt: Tõ ®ã suy ra mËt ®é ®iÖn tÝch mÆt tèi ®a trªn mµng b»ng: V× c¸c ®iÖn tÝch xuÊt hiÖn chuyÓn ®éng cïng víi mµng víi vËn tèc , nªn cã thÓ coi nh­ cã mét dßng ®iÖn mÆt víi mËt ®é: H×nh 2. H×nh 3. §Ó x¸c ®Þnh c¶m øng tõ ë gÇn bÒ mÆt cña mµng, ta h·y kh¶o s¸t h×nh 2, trong ®ã dßng bÒ mÆt ch¹y theo mÆt ph¼ng n»m ngang vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng h×nh vÏ, cßn mµng (cã bÒ réng b»ng 2b) ®Æt trong mÆt ph¼ng x = 0 vµ chuyÓn ®éng theo ph­¬ng z víi chiÒu ®i vµo trong phÝa trang giÊy. Ta sÏ t×m c¶m øng tõ t¹i ®iÓm c¸ch mµng mét kho¶ng b»ng a (). Muèn vËy, ta xÐt mét phÇn tö nhá cña mµng, cã bÒ réng dy ®Æt ®èi xøng. Mçi mét d¶i cã bÒ réng nh­ vËy sÏ t­¬ng øng víi mét dßng ®iÖn: . C¶m øng tõ do hai d¶i ®èi xøng nh­ vËy t¹o ra h­íng theo trôc y vµ cã ®é lín b»ng: §Ó t×m c¶m øng tõ t¹o bëi tÊt c¶ c¸c dßng bÒ mÆt cña mµng, ta cÇn tÝch ph©n biÓu thøc trªn theo y tõ 0 ®Õn b: Do chóng ta chØ quan t©m c¶m øng tõ ë gÇn bÒ mÆt cña mµng, tøc . Trong tr­êng hîp ®ã cã thÓ coi vµ ta cã: Bµi to¸n 3. Trªn mÆt bµn n»m ngang kh«ng dÉn ®iÖn cã ®Æt mét vßng m¶nh b»ng kim lo¹i khèi l­îng M vµ b¸n kÝnh a. Vßng ë trong mét tõ tr­êng ®Òu n»m ngang cã c¶m øng tõ . X¸c ®Þnh c­êng ®é dßng ®iÖn cÇn ph¶i cho ®i qua vßng kim lo¹i ®Ó nã b¾t ®Çu ®­îc n©ng lªn. H×nh 4. Gi¶i: Gi¶ sö c¶m øng tõ cã h­íng nh­ trªn h×nh 3, cßn dßng ®iÖn I ®i qua vßng kim lo¹i ng­îc chiÒu kim ®ång hå. XÐt mét phÇn tö v« cïng bÐ kÑp gi÷a hai vect¬ b¸n kÝnh ®­îc dùng d­íi c¸c gãc vµ , trong ®ã lµ gãc v« cïng nhá. ChiÒu dµi cña phÇn tö nµy b»ng . Lùc Ampe t¸c dông lªn phÇn tö nµy khi cã dßng ®iÖn I ch¹y qua cã h­íng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng h×nh vÏ (còng ®­îc coi lµ mÆt ph¼ng n»m ngang) vµ ®i vµo phÝa sau trang giÊy. §é lín cña lùc nµy b»ng: Nh­ thÊy râ tõ h×nh vÏ, t¹i c¸c gãc lùc Ampe h­íng vµo phÝa trong trang giÊy , cßn t¹i c¸c gãc lùc nµy l¹i ®i ra phÝa ngoµi trang giÊy. Do ®ã, trªn vßng kim lo¹i t¸c dông mét m«men lùc n©ng ®èi víi trôc OO' vµ m«men c¶n cña träng lùc. DÔ dµng thÊy r»ng khi t¨ng c­êng ®é dßng ®iÖn I th× m«men cña lùc Ampe t¨ng vµ t¹i mét gi¸ trÞ giíi h¹n cña dßng ®iÖn th× m«men lùc nµy sÏ so ®­îc víi m«men träng lùc vµ vßng kim lo¹i sÏ b¾t ®Çu ®­îc n©ng lªn, b»ng c¸ch quay xung quanh trôc OO'. B©y giê ta sÏ tÝnh m«men lùc Ampe t¸c dông lªn phÇn tö ®èi víi trôc OO': Suy ra m«men lùc Ampe toµn phÇn t¸c dông lªn toµn vßng kim lo¹i b»ng: TÝch ph©n thø nhÊt b»ng , cßn tÝch ph©n thø hai b»ng 0. Bëi vËy: M«men träng lùc t¸c dông lªn vßng kim lo¹i ®èi víi trôc OO': Vßng b¾t ®Çu ®­îc n©ng lªn khi m«men lùc tæng céng b»ng 0: Tõ ®ã suy ra c­êng ®é dßng ®iÖn ph¶i ®i qua ®Ó vßng kim lo¹i b¾t ®Çu n©ng lªn b»ng: . Bµi to¸n 4. Trªn mét ®Üa n»m ngang kh«ng dÉn ®iÖn cã g¾n mét thanh kim lo¹i m¶nh AC n»m däc theo b¸n kÝnh ®Üa (H.4). §Üa ë trong mét tõ tr­êng ®Òu cã c¶m øng tõ vµ thùc hiÖn mét dao ®éng xo¾n ®iÒu hoµ xung quanh trôc th¼ng ®øng ®i qua t©m O cña ®Üa: . ChiÒu dµi cña thanh L= a+b, trong ®ã vµ . H·y x¸c ®Þnh hiÖu ®iÖn thÕ (h.®.t.) cùc ®¹i gi÷a hai ®Çu A vµ C cña thanh, nÕu vµ H×nh 4. Gi¶i: Gi¶ sö t¹i thêi ®iÓm nµo ®ã thanh chuyÓn ®éng ng­îc chiÒu kim ®ång hå. VËn tèc gãc cña thanh b»ng: VËn tèc dµi cña ®iÖn tÝch tù do ë c¸ch trôc quay mét kho¶ng x (H.5) t¹i thêi ®iÓm ®ã b»ng: Lùc Lorentz t¸c dông lªn ®iÖn tÝch ®ã b»ng: H×nh 5 D­íi t¸c dông cña lùc Lorentz sÏ x¶y ra sù ph©n bè l¹i c¸c ®iÖn tÝch tù do: t¹i c¸c ®Çu cña thanh sÏ cã d­ c¸c ®iÖn tÝch d­¬ng, cßn t¹i vïng gÇn t©m O sÏ xuÊt hiÖn c¸c ®iÖn tÝch ©m. Sù ph©n bè l¹i c¸c ®iÖn tÝch tù do sÏ dÉn tíi xuÊt hiÖn trong thanh mét ®iÖn tr­êng. C­êng ®é cña ®iÖn tr­êng ®ã t¹i mét ®iÓm bÊt kú cã thÓ t×m ®­îc tõ ®iÒu kiÖn c©n b»ng ®iÖn tÝch (kh«ng cã dßng ®iÖn trong thanh), khi lùc Lorentz b»ng lùc tÜnh ®iÖn do ®iÖn tr­êng nãi trªn t¸c dông. Cô thÓ lµ: Tõ ®ã suy ra: §©y chÝnh lµ ph©n bè c­êng ®é ®iÖn tr­êng trong thanh t¹i thêi ®iÓm bÊt kú. Khi ®ã, h.®.t gi÷a hai ®Çu A vµ C cña thanh b»ng: DÔ dµng thÊy r»ng h.®.t. cùc ®¹i b»ng: . Bµi to¸n 5 Trªn mÆt bµn n»m ngang g¾n mét khung d©y dÉn m¶nh h×nh vu«ng c¹nh a (H. 6). Trªn khung n»m mét thanh cã khèi l­îng M ®Æt song song víi c¹nh bªn cña khung vµ c¸ch c¹nh nµy mét kho¶ng b = a/4. Khung vµ thanh ®­îc lµm tõ cïng mét lo¹i d©y dÉn cã ®iÖn trë trªn mét ®¬n vÞ dµi lµ . T¹i mét thêi ®iÓm nµo ®ã ng­êi ta bËt mét tõ tr­êng cã vect¬ c¶m øng tõ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng khung. Hái thanh chuyÓn ®éng víi vËn tèc b»ng bao nhiªu sau thêi gian thiÕt lËp tõ tr­êng, nÕu gi¸ trÞ cña c¶m øng tõ sau khi tõ tr­êng ®· æn ®Þnh b»ng ? Bá qua sù dÞch chuyÓn cña thanh sau khi tõ tr­êng ®· æn ®Þnh vµ ma s¸t gi÷a trôc vµ khung. Gi¶i: H×nh 6 Trong kho¶ng thêi gian thiÕt lËp tõ tr­êng, xÐt mét thêi ®iÓm t nµo ®ã, khi c¶m øng tõ b»ng B(t). T¹i thêi ®iÓm ®ã, tõ th«ng göi qua m¹ch kÝn ACDK (xem H.7) b»ng vµ göi qua m¹ch kÝn DNOK b»ng . Do tõ tr­êng biÕn thiªn theo thêi gian, nªn c¸c tõ th«ng trªn còng biÕn thiªn, do ®ã xuÊt hiÖn mét ®iÖn tr­êng xo¸y. NÕu tõ tr­êng ®èi xøng ®èi víi trôc vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng khung vµ ®i qua t©m khung, th× c¸c ®­êng søc cña ®iÖn tr­êng xo¸y sÏ cã d¹ng lµ nh÷ng vßng trßn ®ång t©m n»m trong mÆt ph¼ng khung (xem H.7). C«ng do ®iÖn tr­êng xo¸y thùc hiÖn lµm dÞch chuyÓn mét ®iÖn tÝch d­¬ng theo mét m¹ch kÝn (nh­ m¹ch AVDK, ch¼ng h¹n), nh­ ®· biÕt, cã trÞ sè ®óng b»ng s.®.®. c¶m øngxuÊt hiÖn trong m¹ch vµ theo ®Þnh luËt Faraday vÒ c¶m øng ®iÖn tõ, ta cã thÓ tÝnh ®­îc s.®.®. qua vËn tèc biÕn thiªn tõ th«ng göi qua m¹ch ®ã. §èi víi m¹ch ACDK, ta cã: T­¬ng tù, ®èi víi m¹ch DNOK: . H×nh 7. Gi¶ sö t¹i thêi ®iÓm ®ang xÐt c¸c dßng ®iÖn ®i qua c¸c d©y dÉn nh­ ®­îc chØ ra trªn h×nh 7. ¸p dông ®Þnh luËt Kirchhoff cho m¹ch ACDK, ta ®­îc: . T­¬ng tù ®èi víi m¹ch DNOK, ta cã: T¹i ®iÓm nót D ta cã: . Gi¶i ba ph­¬ng tr×nh trªn, ta t×m ®­îc: . DÊu trõ ë c«ng thøc trªn cã nghÜa lµ chóng ta ®· gi¶ thiÕt kh«ng ®óng chiÒu cña dßng ®iÖn qua thanh, ®óng ra nã ph¶i ®i tõ K ®Õn D. Do cã dßng ®iÖn ®i qua, nªn thanh DK chÞu t¸c dông cña lùc Ampe cã h­íng ®i vµo phÝa t©m khung vµ cã ®é lín b»ng: Sau thêi gian x¸c lËp tõ tr­êng thanh chÞu t¸c dông cña mét xung lùc b»ng; Xung lùc nµy g©y ra mét ®é biÕn thiªn ®éng l­îng cña thanh b»ng: Tõ ®©y ta t×m ®­îc vËn tèc cña thanh: . Bµi to¸n 6. Mét ®i«t ch©n kh«ng, trong ®ã kho¶ng c¸ch gi÷a an«t vµ catèt b»ng d, ë trong mét tõ tr­êng cã c¶m øng tõ b»ng B vµ h­íng song song víi mÆt ph¼ng c¸c b¶n cùc. Hái ®iÖn ¸p tèi thiÓu gi÷a hai cùc b»ng bao nhiªu ®Ó c¸c electron tõ bÒ mÆt catèt cã thÓ ®Õn ®­îc anèt. Coi c¸c electron ë bÒ mÆt catèt lµ ®øng yªn vµ bá qua t¸c dông cña träng tr­êng. Gi¶i: . H×nh 8 Ta sÏ kh¶o s¸t c¸c ®iÖn ¸p trªn ®i«t sao cho c¸c electron khi rêi cat«t sÏ quay trë l¹i mµ kh«ng tíi ®­îc an«t. Trªn h×nh 8 biÓu diÔn ®o¹n ®Çu cña quü ®¹o víi h­íng cña c¶m øng tõ ®· cho. Gi¶ sö electron t¹i mét ®iÓm nµo ®ã trªn quü ®¹o vµ cã 2 thµnh phÇn vËn tèc vµ , cßn gi÷a hai b¶n cùc cña ®i«t cã mét ®iÖn tr­êng ®Òu . Khi ®ã electron chÞu t¸c dông lùc cña c¶ tõ tr­êng lÉn ®iÖn tr­êng vµ ta cã ph­¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña electron theo c¸c ph­¬ng x vµ y nh­ sau: vµ Hai ph­¬ng tr×nh trªn cã thÓ viÕt l¹i d­íi d¹ng sau: vµ trong ®ã hÖ sè ®­îc gäi lµ tÇn sè cyclotron. §©y lµ tÇn sè quay cña electron hay cña bÊt kú mét h¹t tÝch ®iÖn nµo kh¸c cã cïng ®iÖn tÝch riªng (tøc lµ cã cïng tû sè ®iÖn tÝch vµ khèi l­îng cña nã) theo mét quü ®¹o trßn trong mét tõ tr­êng ®Òu cã c¶m øng tõ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng quü ®¹o cña h¹t ®ã. Vi ph©n ph­¬ng tr×nh thø hai theo thêi gian vµ tÝnh ®Õn ph­¬ng tr×nh thø nhÊt, ta ®­îc: §©y lµ ph­¬ng tr×nh m« t¶ dao ®éng ®iÒu hoµ quen thuéc. NghiÖm tæng qu¸t cña nã cã d¹ng: , trong ®ã A vµ C lµ c¸c h»ng sè ®­îc x¸c ®Þnh tõ ®iÒu kiÖn ban ®Çu. Theo ®Ò bµi, t¹i , vµ . Tõ ®ã suy ra vµ . Cuèi cïng, biÓu thøc cña cã d¹ng: B©y giê ta cã thÓ t×m ®­îc ®é dÞch chuyÓn cña electron theo trôc y: Tõ ph­¬ng tr×nh cña ta dÔ dµng t×m ®­îc thêi ®iÓm khi electron ë xa cat«t nhÊt: ®ã chÝnh lµ thêi ®iÓm = 0, hay víi N = 0, 1, 2,... (B¹n thö gi¶i thÝch xem t¹i sao l¹i kh«ng lÊy nghiÖm ). T¹i nh÷ng thêi ®iÓm ®ã ®é dÞch chuyÓn theo ph­¬ng y cña electron b»ng: Khi quü ®¹o cña electron cã ®Ønh ch¹m vµo an«t, th× ®é dÞch chuyÓn cña nã b»ng kho¶ng c¸ch d gi÷a cat«t vµ an«t vµ ®iÖn ¸p trªn ®i«t sÏ b»ng ®iÖn ¸p cùc tiÓu cÇn t×m: Tõ ®©y ta t×m ®­îc: . Bµi tËp 1. Theo trôc cña mét h×nh trô kim lo¹i rçng kh«ng tõ tÝnh ng­êi ta c¨ng mét sîi d©y tÝch ®iÖn víi mËt ®é ®iÖn tÝch dµi H×nh trô quay xung quanh trôc cña m×nh víi vËn tèc gãc . Coi chiÒu dµi h×nh trô lín h¬n nhiÒu so víi ®­êng kÝnh ngoµi cña nã, h·y x¸c ®Þnh c¶m øng tõ: a) t¹i vïng rçng cña h×nh trô; b) trong vËt liÖu cÊu t¹o nªn h×nh trô; c) trong kh«ng gian bªn ngoµi h×nh trô. Gîi ý: C¶m øng tõ trong mét èng d©y dµi b»ng , trong ®ã N lµ tæng sè vßng d©y trªn èng d©y, L - chiÒu dµi èng d©y vµ I - c­êng ®é dßng ®iÖn ®i qua c¸c vßng d©y. 2. Trªn mét mÆt bµn n»m ngang kh«ng dÉn ®iÖn ®Æt mét khung kim lo¹i cøng vµ m¶nh, ®­îc lµm tõ mét d©y dÉn ®ång tÝnh, cã d¹ng mét tam gi¸c ®Òu, c¹nh a. Khung ë trong mét tõ tr­êng ®Òu cã vect¬ c¶m øng tõ song song víi mÆt ph¼ng ngang vµ vu«ng gãc víi mét c¹nh cña khung.BiÕt khèi l­îng cña khung lµ M vµ ®é lín cña c¶m øng tõ lµ B. H·y x¸c ®Þnh c­êng ®é dßng ®iÖn cÇn ph¶i cho ®i qua khung ®Ó khung ®­îc b¾t ®Çu n©ng lªn ®èi víi mét trong c¸c ®Ønh cña nã? 3. Mét thanh kim lo¹i AC cã ®Çu A nèi khíp víi thanh ®iÖn m«i th¼ng ®øng AO, cßn ®Çu C nèi víi thanh th¼ng ®øng b»ng mét sîi d©y c¸ch ®iÖn kh«ng d·n OC, cã chiÒu dµi b»ng R = 1m (H.9). Thanh AC quay xung quanh thanh th¼ng ®øng AO trong mét tõ tr­êng ®Òu víi vËn tèc gãc . BiÕt r»ng vect¬ c¶m øng tõ h­íng th¼ng ®øng lªn trªn vµ cã ®é lín H·y x¸c ®Þnh h.®.t. gi÷a hai ®iÓm A vµ C. H×nh 9. H×nh 10 4. Trªn mÆt bµn n»m ngang cã g¾n mét khung d©y dÉn m¶nh h×nh tam gi¸c ®Òu c¹nh a. Trªn khung ®Æt mét thanh kim lo¹i song song víi ®¸y tam gi¸c, ®iÓm gi÷a cña thanh trïng víi ®iÓm gi÷a cña ®­êng cao AC (H.10). Khung vµ thanh ®­îc lµm tõ cïng mét lo¹i d©y dÉn, cã ®iÖn trë trªn mét ®¬n vÞ chiÒu dµi b»ng. T¹i mét thêi ®iÓm nµo ®ã ng­êi ta bËt mét tõ tr­êng ®Òu cã vect¬ c¶m øng tõ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng cña khung. Hái sau thêi gian x¸c lËp tõ tr­êng thanh cã vËn tèc b»ng bao nhiªu, nÕu ®é lín cña c¶m øng tõ sau khi tõ tr­êng ®· æn ®Þnh b»ng ? Cho biÕt khèi l­îng cña thanh lµ M. Bá qua ma s¸t vµ ®é dÞch chuyÓn cña thanh trong thêi gian thiÕt lËp tõ tr­êng. L­îng Tö (S­u tÇm & giíi thiÖu) bµi to¸n gi¶ c©n b»ng H¶i NguyÔn Minh (H¶I Phßng) Trong nh÷ng bµi to¸n tÜnh häc, cã rÊt nhiÒu c¸c hÖ c¬ häc ®éc ®¸o vµ ®a d¹ng. Kh¸ nhiÒu trong sè chóng th­êng chØ ®­îc sö dông trong c¸c bµi to¸n tÜnh häc v× sù chuyÓn ®éng cña nh÷ng c¬ hÖ ®ã nÕu cã lµ rÊt phøc t¹p. Tuy nhiªn, nÕu ta chØ xÐt sù chuyÓn ®éng cña c¬ hÖ ®ã t¹i nh÷ng thêi ®iÓm ®Æc biÖt (®Çu cña qu¸ tr×nh) th× sÏ thu ®­îc nh÷ng bµi to¸n ®éc ®¸o th­êng ®­îc gäi lµ gi¶ c©n b»ng. Lo¹i bµi nµy g©y cho häc sinh phæ th«ng , kÓ c¶ häc sinh chuyªn nhiÒu khã kh¨n. V× thÕ bµi viÕt nµy sÏ ®i s©u vµo tõng vÝ dô cô thÓ ®Ó cã thÓ rót ra nh÷ng ph­¬ng ph¸p chung nhÊt cho viÖc gi¶i nh÷ng bµi to¸n lo¹i ®ã. Nh÷ng c©u hái th­êng gÆp trong bµi to¸n gi¶ c©n b»ng lµ x¸c ®Þnh c¸c yÕu tè vÒ gia tèc, vÒ lùc ngay t¹i thêi ®iÓm ban ®Çu cña qu¸ tr×nh chuyÓn ®éng cña hÖ. VÝ dô 1. Cho hÖ c¬ nh­ h×nh vÏ. Ban ®Çu hÖ ë tr¹ng th¸i c©n b»ng sau ®ã ng­êi ta ®èt d©y n»m ngang gi÷ . X¸c ®Þnh gia tèc cña ngay sau khi ®èt d©y. BiÕt gãc a vµ c¸c khèi l­îng . Sai lÇm th­êng gÆp ®èi víi nh÷ng b¹n lÇn ®Çu tiªn gÆp d¹ng to¸n nµy lµ vÉn g¾n nã víi c¸c lùc tÜnh häc do ®iÒu kiÖn c©n b»ng ban ®Çu cña c¬ hÖ. V× thÕ ®Ó gi¶i quyÕt ®­îc bµi to¸n viÖc ®Çu tiªn cÇn lµm lµ lo¹i bá tÊt c¶ c¸c ý niÖm vÒ lùc tÜnh häc vµ coi nã lµ mét bµi to¸n ®éng lùc häc thËt sù. Ngay t¹i thêi ®iÓm ban ®Çu c¸c lùc t¸c dông lªn qu¶ cÇu 1 gåm : träng lùc , lùc c¨ng c¸c d©y vµ . Lùc t¸c dông lªn qu¶ cÇu 2 gåm: träng lùc , lùc c¨ng d©y (ta kh«ng biÓu diÔn träng lùc trªn h×nh) Khi Êy qu¶ cÇu 2 sÏ chØ cã thµnh phÇn gia tèc theo ph­¬ng th¼ng ®øng . Do d©y kh«ng gi·n nªn thµnh phÇn gia tèc theo ph­¬ng th¼ng ®øng cña qu¶ 1 còng lµ . C¸c ph­¬ng tr×nh Newton theo ph­¬ng Y: Ngay t¹i thêi ®iÓm ban ®Çu vËn tèc cña m1 b»ng 0: nªn thµnh phÇn gia tèc cña theo ph­¬ng h­íng t©m b»ng kh«ng: Tõ (1), (2), (3) ta dÔ dµng thu ®­îc: Chóng ta cã thÓ thö l¹i kÕt qu¶ trªn víi nh÷ng tr­êng hîp ®Æc biÖt: + Khi : a = 0. + Khi : a = g. + Khi : a = g. C¸c kÕt qu¶ thö l¹i trªn ®Òu phï hîp víi xem xÐt ®Þnh tÝnh. §Ó thu ®­îc kÕt qu¶ trªn chóng ta còng cã thÓ thay (2) vµ (3) b»ng hai ph­¬ng tr×nh kh¸c liªn hÖ gi÷a hai thµnh phÇn gia tèc theo ph­¬ng x vµ y cña qu¶ 1. C¸c b¹n hoµn toµn cã thÓ tù lµm ®iÒu ®ã nh­ mét sù tù më réng thªm. VÝ dô 2. Mét thanh nh½n ®­îc cè ®Þnh vµo t­êng vµ lµm víi ®­êng n»m ngang gãc a. X©u chiÕc nhÉn khèi l­îng m1 vµo thanh. Sîi d©y m¶nh kh«ng gi·n khèi l­îng kh«ng ®¸ng kÓ ®­îc buéc mét ®Çu vµo nhÉn cßn ®Çu kia buéc mét qu¶ cÇu khèi l­îng m2. Gi÷ nhÉn cè ®Þnh sao cho d©y ë vÞ trÝ th¼ng ®øng. TÝnh lùc c¨ng d©y ngay sau khi th¶ nhÉn ra. Ngay sau khi th¶ nhÉn ra ta cã thÓ kh¼ng ®Þnh r»ng gia tèc cña h­íng theo thanh cßn gia tèc cña h­íng theo ph­¬ng ®øng. ¸p dông ®Þnh luËt hai Newton cho vËt 1, ta cã Do d©y kh«ng d·n nªn qu¶ chuyÓn ®éng trßn trong hÖ quy chiÕu g¾n víi vßng nhÉn. Ta l¹i ¸p dông ®iÒu kiÖn ngay sau khi ®èt d©y: vËn tèc cña m2 b»ng kh«ng. Trong hÖ quy chiÕu g¾n víi vßng nhÉn qu¶ cÇu chÞu lùc qu¸n tÝnh: ¸p dông ®Þnh luËt hai Newton cho qu¶ cÇu 2 theo ph­¬ng d©y: Do vËn tèc qu¶ 2 b»ng kh«ng nªn Tõ (4) vµ (5) ta dÔ dµng thu ®­îc: KÕt qu¶ trªn còng phï hîp víi xem xÐt ®Þnh tÝnh khi ta xÐt víi nh÷ng gi¸ trÞ ®Æc biÖt cña a. Ngoµi ra trong lêi gi¶i ë trªn ta cã thÓ dïng mèi quan hÖ gi÷a gia tèc cña m1 vµ m2 chø kh«ng thËt cÇn thiÕt ph¶i ®æi hÖ quy chiÕu. Bµi viÕt muèn cho c¸c b¹n thÊy ®­îc sù hiÖu qu¶ cña viÖc sö dông ®iÒu kiÖn vËn tèc ban ®Çu b»ng kh«ng víi nh÷ng bµi to¸n gi¶ c©n b»ng trong giíi h¹n chÊt ®iÓm. Sö dông ®iÒu kiÖn vËn tèc ban ®Çu "b»ng kh«ng" tá ra hiÖu qu¶ trong c¸c bµi to¸n gi¶ c©n b»ng liªn quan ®Õn chÊt ®iÓm. Nh­ng sÏ lµ kh«ng thùc tiÔn nÕu ta sö dông c¸ch ®ã ®èi víi c¸c c¬ hÖ vËt r¾n. Tuy thÕ viÖc sö dông c¸c mèi liªn hÖ gi÷a c¸c gia tèc l¹i tá ra hiÖu qu¶ h¬n. §Ó minh ho¹ ta h·y xÐt vÝ dô 3 d­íi ®©y. VÝ dô 3. Mét thanh AB ®ång chÊt chiÒu dµi 2l khèi l­îng m ®­îc gi÷ n»m ngang bëi hai d©y treo th¼ng ®øng nh­ h×nh vÏ. X¸c ®Þnh lùc c¨ng d©y tr¸i ngay sau khi ®èt d©y ph¶i. Ngay sau khi ®èt d©y c¸c lùc t¸c dông lªn thanh gåm: lùc c¨ng d©y T, träng lùc mg. §Þnh luËt 2 Newton theo trôc y: §Þnh luËt hai Newton cho chuyÓn ®éng quay cña thanh quanh khèi t©m: Ta cÇn t×m mèi liªn hÖ gi÷a vµ gia tèc gãc g. XÐt sau mét kho¶ng thêi gian t rÊt nhá sau khi ®èt d©y, d©y vÉn cßn th¼ng ®øng, thanh th× bÞ lÖch khái ph­¬ng ngang mét gãc f nhá. Trong kho¶ng thêi gian rÊt nhá ®ã, ta coi nh­ gia tèc khèi t©m vµ gia tèc gãc cña thanh lµ kh«ng ®æi. Khi ®ã ®é dÞch chuyÓn cña khèi t©m lµ: §¹o hµm hai lÇn hai vÕ cña ph­¬ng tr×nh trªn theo t, ta ®­îc: Tõ c¸c ph­¬ng tr×nh (6), (7) ,(8) ta thu ®­îc: VÝ dô 4. Mét thanh ®ång chÊt AB dµi 2l, träng l­îng P, ®Çu A tùa trªn sµn ngang nh½n vµ lËp víi sµn mét gãc a0, ®Çu B ®­îc treo b»ng d©y DB th¼ng ®øng, kh«ng gi·n, kh«ng träng l­îng. T¹i mét thêi ®iÓm nµo ®ã d©y bÞ ®øt vµ thanh b¾t ®Çu chuyÓn ®éng. X¸c ®Þnh ¸p lùc cña thanh lªn sµn ngay t¹i thêi ®iÓm thanh b¾t ®Çu chuyÓn ®éng. Do kh«ng cã ngo¹i lùc t¸c dông lªn thanh theo ph­¬ng ngang nªn khèi t©m thanh chØ chuyÓn ®éng theo ®­êng th¼ng ®øng xuèng d­íi. Ngay sau khi thanh b¾t ®Çu chuyÓn ®éng c¸c lùc t¸c dông lªn thanh lµ: träng lùc mg, ph¶n lùc N cña sµn. §Þnh luËt 2 Newton theo trôc y: §Þnh luËt 2 Newton cho chuyÓn ®éng quay cña thanh quanh khèi t©m: Ta cÇn t×m mèi liªn hÖ gi÷a ay vµ g dùa trªn c¸c ®iÒu kiÖn ban ®Çu cña chuyÓn ®éng. XÐt khi thanh hîp víi ph­¬ng ngang mét gãc a = a0 - da . Qu·ng ®­êng mµ khèi t©m ®· dÞch chuyÓn lµ: §¹o hµm hai vÕ cña ph­¬ng tr×nh trªn ta cã : Tõ (10), (11), (12) ta thu ®­îc: Trong bµi to¸n trªn viÖc sö dông mèi liªn hÖ gi÷a c¸c gia tèc tá ra rÊt hiÖu qu¶, nh­ng vÉn lu«n ph¶i dùa trªn c¸c ®iÒu kiÖn giíi h¹n cña thêi ®iÓm ngay sau khi ®èt d©y. §ã lµ mét ®Æc ®iÓm chung cña c¸c bµi to¸n gi¶ c©n b»ng. Tuú thuéc vµo tõng d¹ng cña bµi to¸n gi¶ c©n b»ng mµ b¹n chän mét trong hai ph­¬ng ph¸p ®· nªu trªn ®Ó cã lêi gi¶i tèi ­u. Sau ®©y lµ mét sè bµi tËp ®Ó c¸c b¹n luyÖn tËp thªm: Bµi t©p 1. Mét d©y AB dµi 2l kh«ng gi·n kh«ng khèi l­îng ®­îc buéc chÆt mét ®Çu vµo thanh n»m ngang. §iÓm chÝnh gi÷a cña thanh cã buéc mét vËt khèi l­îng . §Çu cßn l¹i cña d©y buéc vµo vËt khèi l­îng , vËt nµy cã thÓ chuyÓn ®éng kh«ng ma s¸t theo thanh. Ban ®Çu ng­êi ta gi÷ vËt ®Ó hÖ c©n b»ng, d©y hîp víi ph­¬ng ngang gãc a. X¸c ®Þnh gia tèc cña ngay sau khi th¶ nã ra. Bµi 2. Cho con l¾c vËt lý nh­ h×nh vÏ. Con l¾c nµy quay quanh ®iÓm O cè ®Þnh. C¸c thanh cøng kh«ng khèi l­îng cã chiÒu dµi b»ng nhau vµ b»ng L. T¹i mçi ®Çu cña c¸c thanh cã g¾n mét qu¶ cÇu khèi l­îng m. Lµm lÖch con l¾c ®i mét gãc a. X¸c ®Þnh lùc mµ thanh t¸c dông lªn qu¶ 2 ngay sau khi th¶ cho hÖ chuyÓn ®éng. Bµi 3: Cho c¬ hÖ gåm hai thanh cøng, mçi thanh khèi l­îng M, chiÒu dµi L liªn kÕt nhau bëi mét khíp nèi . Ban ®Çu hai thanh hîp víi nhau gãc vµ ®øng cè ®Þnh trªn mÆt ph¼ng ngang nh½n kh«ng ma s¸t. Th¶ cho hÖ tù do. X¸c ®Þnh ph¶n lùc cña mÆt ngang ngay t¹i thêi ®iÓm ®ã. Nh÷ng nghÞch lý n¨ng l­îng Phan Hång Minh Tr­íc hÕt, chóng ta ph©n tÝch mét nghÞch lý næi tiÕng trong vËt lý s¬ cÊp: Mét chiÕc «t« ®å ch¬i cã d©y cãt ®­îc lªn hÕt cì, ch¹y víi vËn tèc v. Bá qua sù mÊt m¸t n¨ng l­îng do ma s¸t, cã thÓ xem r»ng thÕ n¨ng W cña d©y cãt ®­îc biÕn hoµn toµn thµnh ®éng n¨ng cña xe. XÐt qu¸ tr×nh nµy trong mét hÖ quy chiÕu qu¸n tÝnh kh¸c chuyÓn ®éng víi vËn tèc v ®èi víi mÆt ®Êt vµ tíi gÆp chiÕc xe ®å ch¬i. Trong hÖ quy chiÕu nµy, vËn tèc cña chiÕc xe lµ 2v, tøc lµ lín h¬n gÊp ®«i, cßn ®éng n¨ng cña nã lín h¬n gÊp 4 lÇn tøc lµ 4W. V× trong hÖ quy chiÕu chuyÓn ®éng, «t« ngay tõ ®Çu ®· cã ®éng n¨ng W, nªn do sù xo¾n cña d©y cãt mµ ®éng n¨ng cña xe ®· t¨ng thªm 3W, chø kh«ng ph¶I lµ W trong hÖ quy chiÕu qu¸n tÝnh ban ®Çu. Tuy nhiªn, thÕ n¨ng cña d©y cãt trong c¶ 2 tr­êng hîp chØ lµ W mµ th«i. T¹i sao vËy? Së dÜ cã nghÞch lý nµy lµ do trong c¸c lý luËn ®­a ra ta ®· kh«ng tÝnh ®Õn ®éng n¨ng cña Tr¸i §Êt vµ sù thay ®æi cña nã khi cã t­¬ng t¸c cña b¸nh xe ®èi víi ®­êng. NÕu tÝnh to¸n chi li ®Õn sù thay ®æi ®ã th× nãi chung sÏ kh«ng cã nghÞch lý nµo c¶ vµ tÊt nhiªn, ®Þnh luËt b¶o toµn vÉn ®­îc tho¶ m·n. Tr­íc hÕt, ta h·y kh¶o s¸t hÖ quy chiÕu trong ®ã Tr¸i §Êt lóc ®Çu ®øng yªn. Trong hÖ quy chiÕu nµy, tr­íc khi ch¹y, ®éng n¨ng cña «t« b»ng 0. Khi «t« b¾t ®Çu ch¹y víi vËn tèc v, Tr¸i §Êt sÏ cã vËn tèc V theo h­íng ng­îc l¹i (V<0). Do ®éng l­îng cña hÖ ®­îc b¶o toµn nªn (1) ë ®©y m lµ khèi l­îng cña xe vµ M lµ khèi l­îng Tr¸I §Êt. V× lùc t¸c dông lªn Tr¸i §Êt tõ phÝa b¸nh xe kh«ng ® qua t©m Tr¸I §Êt, nªn ngoµi vËn tèc V cña chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn ra, Tr¸i §Êt cßn chuyÓn ®éng quay víi vËn tèc gãc nµo ®ã (h×nh vÏ). B©y giê ta t¹m quªn ®I chuyÓn ®éng quay nµy vµ h·y xem Tr¸I §Êt chØ chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn. Khi lªn d©y cãt, thÕ n¨ng W cña nã ®­îc biÕn thµnh ®éng n¨ng cña xe vµ cña Tr¸i §Êt: (2) Rót V tõ (1) råi thay vµo (2), ta ®­îc: (3) V× khèi l­îng m cña xe ®å ch¬i rÊt nhá h¬n khèi l­îng M cña Tr¸I §Êt , nªn tõ (3) ta thÊy r»ng thùc tÕ thÕ n¨ng cña d©y cãt biÕn thµnh ®éng n¨ng cña xe. B©y giê, ta xÐt chÝnh qu¸ tr×nh nµy trong hÖ quy chiÕu thø hai trong ®ã vËn tèc cña ®å ch¬I vµ Tr¸i §Êt ban ®Çu ®· lµ v. §éng l­îng toµn phÇn cña hÖ ban ®Çu b»ng . Sau khi xe ch¹y, vËn tèc cña xe ®èi víi hÖ quy chiÕu nµy b©y giê lµ , cßn vËn tèc cña Tr¸i §Êt ký hiÖu lµ . Theo ®Þnh luËt b¶o toµn ®éng l­îng: (4) §éng n¨ng cña xe khi ®ang ch¹y lµ vµ cña Tr¸i §Êt b»ng . §é biÕn thiªn cña ®éng n¨ng toµn phÇn b»ng: (5) Rót tõ (4) thay vµo (5), ta thu ®­îc: (6) Sau mét sè phÐp biÕn ®æi ®¹i sè ®¬n gi¶n, biÓu thøc (6) cã d¹ng: (7) So s¸nh vÕ ph¶I cña (7) víi (3), ta thÊy r»ng trong tr­êng hîp nµy ®é biÕn thiªn ®éng n¨ng cña c¶ hÖ ®óng b»ng thÕ n¨ng W cña d©y cãt. Sù biÕn thiªn ®éng n¨ng cña xe khi ch¹y trong hÖ quy chiÕu nµy ®óng lµ lín gÊp 3 lÇn ®é biÕn thiªn ®éng n¨ng cña xe trong hÖ quy chiÕu g¾n víi Tr¸i §Êt. Tuy nhiªn ®é biÕn thiªn ®éng n¨ng cña Tr¸i §Êt cïng cì nh­ ®é biÕn thiªn ®éng n¨ng cña xe, ®iÒu nµy kh¸c víi sù biÕn thiªn n¨ng l­îng cña Tr¸i §Êt trong hÖ quy chiÕu xuÊt ph¸t, trong ®ã ®é biÕn thiªn nµy lµ rÊt nhá, kh«ng ®¸ng kÓ. Trong hÖ quy chiÕu míi, b¸nh xe ®ang ch¹y c¶n trë chuyÓn ®éng cña Tr¸i §Êt lµm cho ®éng n¨ng cña nã gi¶m. Sù t¨ng ®éng n¨ngcña chiÕc xe ®å ch¬I trong hÖ quy chiÕu nµy x¶y ra kh«ng chØ nhê thÕ n¨ng cña d©y cãt mµ cßn do sù gi¶m ®éng n¨ng cña Tr¸i §Êt. VÝ dô võa xÐt ë trªn lµ mét minh ho¹ trùc quan cho thÊy viÖc xem c¸I g× lµ quan träng trong hiÖn t­îng kh¶o s¸t vµ c¸I g× cã thÓ bá qua ph¶I hÕt søc thËn träng. Sau ®©y mêi c¸c b¹n cïng t×m hiÓu mét sè vÝ dô t­¬ng tù. C©u hái 1: Gia tèc trong c¸c hÖ quy chiÕu qu¸n tÝnh cã b»ng nhau??? Trong ch­¬ng tr×nh vËt lý phæ th«ng, cã c«ng thøc liªn hÖ gi÷a c«ng suÊt vµ lùc ph¸t ®éng nh­ sau: víi v lµ vËn tèc chuyÓn ®éng cña vËt. Tuy nhiªn, khi ta xÐt trong mét vÝ dô cô thÓ nh­ sau, d­êng nh­ sÏ xuÊt hiÖn nh÷ng nghÞch lý kh«ng nhá. Mét con tµu vò trô bay trong kh«ng gian, gi¶ sö tµu nhËn ®­îc mét c«ng suÊt kh«ng ®æi P tõ ®éng c¬. Ng­êi ta quan s¸t chuyÓn ®éng cña tµu trong 2 hÖ quy chiÕu qu¸n tÝnh: hÖ quy chiÕu O (xyz) vµ hÖ quy chiÕu O’ () chuyÓn ®éng th¼ng ®Òu so víi hÖ quy chiÕu O theo ph­¬ng chuyÓn ®éng cña tµu, vËn tèc cña O’ so víi O lµ . Coi tµu kh«ng chÞu mét lùc c¶n nµo. (xÐt c¸c hiÖn t­îng x¶y ra ë ®©y lµ phi t­¬ng ®èi tÝnh, tøc lµ hoµn toµn tu©n theo c¸c ®Þnh luËt cña c¬ häc cæ ®iÓn Newton). Trong hÖ O, c«ng suÊt tµu nhËn ®­îc tõ ®éng c¬ lµ: Víi lµ t¸c dông cña ®éng c¬ vµo tµu, lµ vËn tèc cña tµu. Trong chuyÓn ®éng cña tµu, do vµ cïng chiÒu nªn (1). Trong hÖ tµu cã vËn tèc , c«ng suÊt mµ tµu nhËn ®­îc tõ ®éng c¬ lµ: (2). C­êng ®é lùc t¸c ®éng vµo tµu trong hÖ O: (3) C­êng ®é lùc t¸c ®éng vµo tµu trong hÖ : (4). Do nªn tõ (1) vµ (2) suy ra: . Víi lµ gia tèc cña tµu trong hÖ vµ lµ gia tèc cña tµu trong hÖ . Nh­ vËy ta cã (5). Tøc lµ gia tèc cña tµu xÐt trong hÖ quy chiÕu O vµ lµ kh¸c nhau. MÆt kh¸c ta thÊy r»ng: Trong hÖ O: Trong hÖ : Tøc lµ gia tèc cña tµu kh«ng thay ®æi khi xÐt trong hai hÖ qui chiÕu qu¸n tÝnh O vµ . VËy theo b¹n, trong hai kÕt luËn (5) vµ (6), kÕt luËn nµo ®óng. C©u hái 2: trë l¹i víi nghÞch lý cña lß xo vµ n¨ng l­îng ®µn håi. Mét vËt cã khèi l­îng m liªn kÕt víi mét lß xo th«ng qua mét rßng räc cè ®Þnh, lß xo cã mét ®Çu g¾n xuèng mÆt ph¼ng ngang P cßn vËt m tr­ît kh«ng ma s¸t trªn mÆt bµn n»m ngang (h×nh vÏ ), bµn ®­îc g¾n chÆt víi P. §Çu tiªn kÐo vËt m cho lß xo gi·n ra, sau ®ã th¶ cho vËt chuyÓn ®éng tù do. Gäi lµ thêi ®iÓm lóc vËt b¾t ®Çu chuyÓn ®éng, lµ thêi ®iÓm lß xo trë vÒ tr¹ng th¸I ban ®Çu, lóc ®ã toµn bé n¨ng l­îng tÝch luü trong lß xo ®­îc biÕn thµnh ®éng n¨ng cña vËt. XÐt sù chuyÓn ®éng cña vËt trong hai hÖ qui chiÕu: HÖ O(xyz) trong ®ã hÖ thèng trªn ®øng yªn vµ hÖ O’(x’y’z’) chuyÓn ®éng ®Òu víi vËn tèc ®èi víi hÖ O(xyz) cïng chiÒu chuyÓn ®éng cña vËt. Trong hÖ O: Gäi vËn tèc cña vËt t¹i lµ (), vËn tèc cña vËt t¹i t 1 lµ v1 . T¹i ®éng n¨ng cña vËt lµ: . T¹i ®éng n¨ng cña vËt lµ :. DÔ dµng thÊy ®­îc n¨ng l­îng lß xo cung cÊp cho vËt lµ :. Trong hÖ : Gäi vËn tèc cña vËt t¹i lµ (), vËn tèc cña vËt t¹i lµ . §éng n¨ng cña vËt t¹i lµ : . §éng n¨ng cña vËt t¹i lµ :. N¨ng l­îng tÝch luü trong lß xo lµ: Nh­ vËy lµ ( v× ), ®iÒu ®ã cã nghÜa lµ n¨ng l­îng tÝch luü trong lß xo phô thuéc vµo hÖ qui chiÕu. NÕu vËy ta cho hÖ thèng trªn ®øng yªn vµ tÝch luü cho lß xo mét n¨ng l­îng, sau ®ã cho hÖ chuyÓn ®éng vµ ®Ó lß xo gi¶i phãng n¨ng l­îng ®· tÝch tr÷ , ta sÏ thu ®­îc mét n¨ng l­îng kh¸c víi n¨ng l­îng ban ®Çu tÝch luü trong lß xo. Tr¸i víi ®Þnh luËt b¶o toµn n¨ng l­îng. TÝnh chÊt sãng cña ¸nh s¸ng Sãng ph¼ng vµ sãng cÇu lµ hai lo¹i sãng phæ biÕn nhÊt. Trong bµi nµy, chóng ta sÏ kh¶o s¸t c¸c chïm s¸ng song song vµ ®¬n s¾c. Ph¶i nãi ngay lµ, trong thùc tÕ kh«ng tån t¹i nh÷ng chïm s¸ng nh­ vËy. §©y chØ lµ sù lý t­ëng ho¸: chóng ta ®· thay chïm s¸ng thùc, ph©n k× yÕu víi ®é kh«ng ®¬n s¾c nhá b»ng chïm s¸ng ph¼ng ®¬n s¾c. (Tiªu chuÈn ®Ó kh¼ng ®Þnh sù ®óng ®¾n cña viÖc thay thÕ nµy lµ møc ®é trïng hîp cña tÝnh to¸n vµ thùc nghiÖm). Nh­ vËy, d­íi ®©y chóng ta sÏ xem chïm s¸ng lý t­ëng ho¸ ®ã nh­ mét sãng ph¼ng ®¬n s¾c truyÒn, ch¼ng h¹n nh­, theo ph­¬ng cña trôc z. Gi¶ sö vect¬ c­êng ®é ®iÖn tr­êng thuéc sãng nµy cã ph­¬ng n»m trªn trôc x, khi ®ã sù phô thuéc cña h×nh chiÕu vµo to¹ ®é z vµ thêi gian t cã d¹ng: , trong ®ã lµ biªn ®é cña ®iÖn tr­êng; lµ tÇn sè vµ lµ b­íc sãng cña ¸nh s¸ng. Tr­íc hÕt ta h·y x¸c ®Þnh xem mÆt ph¼ng cã pha kh«ng ®æi, tøc còng cã nghÜa lµ mÆt sãng, cã d¹ng nh­ thÕ nµo. §iÒu kiÖn kh«ng ®æi cña pha t¹i mét thêi ®iÓm t tuú ý ®­îc viÕt d­íi d¹ng: víi A lµ h»ng sè. V× , vµ t cã gi¸ trÞ cè ®Þnh nªn quü tÝch c¸c ®iÓm cã pha kh«ng ®æi ®­îc m« t¶ bëi ph­¬ng tr×nh: . Do vËy, mÆt sãng cña mét sãng ph¼ng truyÒn däc theo mét trôc nµo ®ã lµ mét mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi trôc ®ã. NÕu sau kho¶ng thêi mÆt sãng dÞch chuyÓn ®­îc mét kho¶ng th× tõ ph­¬ng tr×nh (*) ta suy ra: §iÒu nµy cã nghÜa lµ vËn tèc dÞch chuyÓn cña mÆt sãng, còng tøc lµ vËn tèc pha, b»ng: VËn tèc pha cña sãng lu«n lu«n cã h­íng vu«ng gãc víi mÆt sãng. NÕu mét sãng ¸nh s¸ng ®¬n s¾c truyÒn trong m«i tr­êng cã chiÕt suÊt n (®èi víi tÇn sè ®· cho cña ¸nh s¸ng) th× vËn tèc pha cña nã liªn hÖ víi vËn tèc ¸nh s¸ng trong ch©n kh«ng c theo c«ng thøc: §èi víi c¸c m«i tr­êng ®ång tÝnh vµ ®¼ng h­íng cã sù phô thuéc yÕu cña chiÕt suÊt vµo tÇn sè (tøc t¸n s¾c yÕu), th× vËn tèc truyÒn n¨ng l­îng, tøc vËn tèc nhãm, cña mét sãng thùc kh«ng ®¬n s¾c thùc tÕ lµ trïng (c¶ vÒ ®é lín lÉn h­íng) víi vËn tèc pha cña nã. Khi ®ã ta cã thÓ kh«ng cÇn ph©n biÖt vËn tèc pha víi vËn tèc nhãm vµ ta sÏ chØ gäi ®¬n gi¶n lµ vËn tèc sãng. Do sù ph¸t x¹ cña mét nguån ®iÓm lµ ®Òu theo mäi h­íng, nªn ta cã thÓ coi bøc x¹ nµy lµ sãng cÇu víi mÆt sãng lµ c¸c mÆt cÇu. NÕu chóng ta biÓu diÔn mét nguån nh­ vËy lµ mét tËp hîp c¸c nguyªn tö ph¸t x¹ c¸c photon víi tÇn sè nh­ nhau vµ nhê mét thÊu kÝnh héi tô ta nhËn ®­îc chïm song song cña c¸c photon ®ã, th× chïm nµy còng cã thÓ ®­îc xem nh­ mét chïm song song ®¬n s¾c víi tÇn sè . Mét sãng nh­ vËy truyÒn trong m«i tr­êng ®ång tÝnh cã chiÕt suÊt n sÏ ®­îc truyÒn víi vËn tèc . Khi khóc x¹ vµ ph¶n x¹ t¹i mÆt ng¨n c¸ch gi÷a hai m«i tr­êng hay khi nhiÔu x¹ t¹i nh÷ng chç kh«ng ®ång tÝnh, sãng sÏ thay ®æi mÆt sãng cña nã, nh­ng trong mäi tr­êng hîp, tÇn sè cña nã ®Òu kh«ng thay ®æi. Trong m«i tr­êng míi (víi chiÕt suÊt kh¸c), sãng sÏ truyÒn víi vËn tèc míi vµ cã b­íc sãng kh¸c, nh­ng tÇn sè cña nã còng kh«ng thay ®æi. D­íi ®©y chóng ta sÏ xÐt mét sè vÝ dô sö dông nh÷ng ®iÒu mµ ta võa nãi ë trªn. VÝ dô 1. Mét chïm s¸ng song song ®¬n s¾c chiÕu vu«ng gãc tíi mÆt trªn cña mét mét nªm trong suèt cã gãc nghiªng (H.1). H·y x¸c ®Þnh gãc lÖch cña chïm s¸ng sau khi ®i qua nªm, biÕt r»ng chiÕt suÊt cña chÊt lµm nªm b»ng n. H×nh 1. Gi¶i. §©y lµ mét bµi to¸n ®¬n gi¶n. Cã thÓ dÔ dµng gi¶i bµi to¸n nµy b»ng quang h×nh häc, tøc lµ b»ng ®Þnh luËt khóc x¹ (cÇn nhí r»ng quang h×nh häc chØ lµ tr­êng hîp giíi h¹n cña quang häc sãng !). Nh­ng ta sÏ tiÕp cËn vÝ dô nµy trªn quan ®iÓm truyÒn sãng ph¼ng vµ sö dông nguyªn lý Huyghen. Ký hiÖu bÒ réng cña chïm song song lµ d (, trong ®ã lµ b­íc sãng cña ¸nh s¸ng) vµ coi biªn cña chïm s¸ng c¸ch c¹nh cña nªm mét kho¶ng b»ng x (xem h×nh 2) H×nh 2. Sau khi ®i qua mÆt trªn AB cña nªm sãng vÉn truyÒn theo h­íng cò víi v©n tèc , víi c lµ vËn tèc truyÒn sãng trong ch©n kh«ng. Sau thêi gian: mÆt sãng ®¹t tíi ®iÓm vµ, theo nguyªn lý Huyghen, chóng ta cã thÓ xem ®iÓm nh­ mét nguån ph¸t sãng cÇu thø cÊp tiÕp tôc truyÒn víi vËn tèc c. Sau thêi gian: mÆt sãng ph¼ng sÏ truyÒn tíi ®iÓm. B©y giê chóng ta sÏ t×m vÞ trÝ cña mÆt sãng míi (sau khi ®i qua nªm) vµ t¹m gi¶ thiÕt r»ng mÆt ®ã lµ ph¼ng. T¹i thêi ®iÓm khi mÆt sãng ph¼ng ®¹t tíi , sãng cÇu ph¸t ra tõ ®· truyÒn ®­îc mét kho¶ng c¸ch: VÞ trÝ cña mÆt sãng b©y giê ®­îc x¸c ®Þnh bëi tiÕp tuyÕn víi vßng trßn b¸n kÝnh . Tõ tam gi¸c, ta cã: DÔ dµng thÊy r»ng gãc quay cña mÆt sãng (vµ còng chÝnh lµ gãc lÖch cña chïm s¸ng) b»ng: Tõ biÓu thøc võa thu ®­îc ta thÊy r»ng ®é lín cña gãc kh«ng phô thuéc vµo vµ . §iÒu ®ã chøng tá r»ng mÆt sãng ph¼ng sau khi ®i qua nªm vÉn cßn thùc sù lµ ph¼ng. §èi víi gãc nhá, gãc quay cña mÆt sãng b»ng: . VÝ dô 2. Mét b×nh trong suèt cã d¹ng h×nh hép ch÷ nhËt, chøa ®Çy mét dung dÞch muèi cã khèi l­îng riªng (sau ®©y ®Ó cho gän sÏ gäi lµ mËt ®é) thay ®æi theo ®é cao (H.3). ChiÕu mét chïm s¸ng song song ®¬n s¾c vu«ng gãc víi mÆt bªn cña b×nh. Sù phô thuéc cña chiÕt suÊt dung dÞch vµo ®é cao cã d¹ng trong ®ã , vµ lµ c¸c h»ng sè. BÒ réng cña b×nh lµ . H·y x¸c ®Þnh gãc lÖch cña chïm lã. H×nh 3. Gi¶i. Tho¹t nh×n, theo quang h×nh häc, chïm s¸ng sÏ ®i th¼ng, nghÜa lµ chïm lã kh«ng hÒ lÖch so víi chïm tíi. Nh­ng thùc tÕ kh«ng ph¶i nh­ vËy. Ta sÏ thö t×m hiÓu xem t¹i sao (l¹i vÉn ph¶i nhí r»ng quang h×nh häc chØ lµ tr­êng hîp giíi h¹n cña quang häc sãng !). NÕu trong VÝ dô 1 ta cã thÓ thay c¶ chïm s¸ng b»ng mét tia vµ dïng ®Þnh luËt khóc x¹ ë mÆt ng¨n c¸ch gi÷a hai méi tr­êng ®ång tÝnh, th× b©y giê m«i tr­êng cña chóng ta kh«ng cßn lµ ®ång tÝnh n÷a, do ®ã viÖc thay thÕ nh­ vËy lµ kh«ng cßn ®óng n÷a. Nh­ng chóng ta cã thÓ chia chïm s¸ng cña ta thµnh c¸c chïm m¶nh cã bÒ dµy vµ coi mçi chïm nh­ vËy ®­îc truyÒn trong m«i tr­êng ®ång tÝnh víi chiÕt suÊt riªng . Khi ®ã mçi chïm sÏ truyÒn tíi mÆt sau cña b×nh theo mét thêi gian riªng vµ kÝch thÝch mét sãng cÇu thø cÊp riªng. Bao h×nh cña tÊt c¶ c¸c sãng cÇu thø cÊp nµy sÏ lµ mÆt sãng cña chïm lã. Gi¶ thiÕt r»ng mÆt sãng vÉn cßn lµ ph¼ng, ta sÏ kh¶o s¸t hai chïm con t¹i c¸c to¹ ®é vµ víi lµ ®é réng cña chïm ban ®Çu theo ph­¬ng th¼ng ®øng (H.4). Thêi gian ®Ó chïm cã to¹ ®é ®i qua b×nh lµ: T­¬ng tù, thêi gian ®Ó chïm cã to¹ ®é ®i qua b×nh lµ: DÔ dµng thÊy r»ng , bëi vËy sãng cÇu thø cÊp sau thêi gian sÏ ®i ®­îc qu·ng ®­êng b»ng: Gãc quay cña mÆt sãng AB sÏ ®­îc t×m tõ hÖ thøc: . Tõ ®ã suy ra: . Tõ biÓu thøc trªn, dÔ dµng thÊy r»ng gãc quay cña mÆt sãng kh«ng phô thuéc vµo to¹ ®é còng nh­ bÒ réng cña chïm s¸ng, do ®ã gi¶ thiÕt chïm lã ra cã mÆt sãng ph¼ng lµ ®óng. VÝ dô 3. Mét thÊu kÝnh héi tô cã tiªu cù bÞ c¾t ®i phÇn trung t©m cã bÒ réng theo h­íng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng h×nh 5, sau ®ã dÞch hai nöa l¹i cho tíi khi tiÕp xóc víi nhau. VÒ mét phÝa cña thÊu kÝnh ghÐp nµy, t¹i ®iÓm c¸ch thÊu kÝnh mét kho¶ng b»ng ®Æt nguån s¸ng ®iÓm ph¸t ¸nh s¸ng ®¬n s¾c cã b­íc sãng vµ ë phÝa kia cña thÊu kÝnh ®Æt mét mµn ¶nh ®Ó quan s¸t c¸c v©n giao thoa (H.6). H·y x¸c ®Þnh kho¶ng v©n. H×nh 5. Gi¶i. Sãng cÇu tõ nguån ®iÓm S sau khi ®i qua hai nöa thÊu kÝnh biÕn thµnh hai sãng ph¼ng kÕt hîp, mçi sãng ®­îc truyÒn d­íi gãc ®èi víi ph­¬ng ngang (H.7). Khi ®ã mÆt cña sãng lã ra ë nöa thÊu kÝnh trªn quay theo chiÒu kim ®ång hå, cßn ë nöa thÊu kÝnh d­íi ng­îc chiÒu kim ®ång hå. Quang t©m cña mçi nöa thÊu kÝnh dÞch ®èi víi trôc ®èi xøng ngang mét kho¶ng b»ng ( c¸c ®­êng ®øt nÐt trªn h×nh 7 ®i qua quang t©m hai nöa thÊu kÝnh). H×nh 6 H×nh 7 H×nh 8 Nh­ vËy, ta cã hai sãng ph¼ng, ®¬n s¾c, kÕt hîp ®Ëp vµo mµn. Trong vïng hai sãng nµy chång chËp lªn nhau ta sÏ quan s¸t thÊy bøc tranh giao thoa. Trªn h×nh 8 ta phãng to khu vùc gÇn mµn, trong ®ã cã vÏ thªm hai mÆt sãng t­¬ng øng. Giao ®iÓm O cña hai mÆt sãng nµy ®Æt ë t©m cña mµn vµ dùng trôc x nh­ h×nh vÏ. Ta h·y kh¶o s¸t ®iÓm A trªn mµn cã to¹ ®é x. §Æt pha ban ®Çu cña hai sãng t¹i t©m O trªn mµn b»ng 0. Khi ®ã pha cña sãng tíi A tõ phÝa trªn b»ng: , cßn pha cña sãng tíi A tõ phÝa d­íi b»ng: §é lÖch pha gi÷a hai sãng t¹i A b»ng: §iÒu kiÖn ®Ó A lµ mét cùc ®¹i giao thoa (v©n s¸ng) ®­îc viÕt d­íi d¹ng: , trong ®ã Suy ra kho¶ng v©n b»ng: VÝ dô 4. S¬ ®å thÝ nghiÖm giao thoa gåm g­¬ng ph¼ng M, mµn ¶nh E, m¸y thu quang ®iÖn A vµ nguån s¸ng ®iÓm ®¬n s¾c S chuyÓn ®éng víi vËn tèc vu«ng gãc víi trôc OA (H.9). H·y x¸c ®Þnh tÇn sè dao ®éng cña dßng quang ®iÖn trong m¸y thu khi nguån s¸ng chuyÓn ®éng tíi gÇn trôc OA, nÕu b­íc sãng ¸nh s¸ng , kho¶ng c¸ch vµ kho¶ng c¸ch . BiÕt r»ng dßng quang ®iÖn trong m¸y thu tû lÖ víi ®é räi t¹i ®iÓm A. Gîi ý: Víi nh÷ng gi¸ trÞ nhá cña x, cã thÓ dïng c«ng thøc gÇn ®óng . H×nh 9. Gi¶i. Kh¶o s¸t t¹i mét thêi ®iÓm tïy ý, khi nguån s¸ng c¸ch trôc OA mét kho¶ng x kh«ng lín l¾m. T¹i thêi ®iÓm ®ã mµn ®­îc chiÕu s¸ng bëi hai sãng cÇu: mét sãng tíi trùc tiÕp tõ S vµ sãng kia toi sau khi ph¶n x¹ tõ g­¬ng. Sãng thø hai cã thÓ coi nh­ mét sãng cÇu ph¸t ra tõ nguån ®iÓm ¶o - lµ ¶nh cña qua g­¬ng ph¼ng-, c¸ch g­¬ng mét kho¶ng . Quang lé SA b»ng: Quang lé b»ng: . HiÖu quang lé cña hai sãng b»ng: . Gi¶ sö t¹i thêi ®iÓm ®ang xÐt , t¹i A cã cùc ®¹i giao thoa. §iÒu ®ã cã nghÜa lµ hiÖu quang léb»ng mét sè nguyªn lÇn b­íc sãng: , trong ®ã H×nh 10 B©y giê chóng ta t×m kho¶ng thêi gian ®Ó hiÖu quang lé gi¶m mét b­íc sãng vµ t¹i A ta l¹i quan s¸t ®­îc mét cùc ®¹i giao thoa. Sau thêi gian ®ã x thay ®æi mét l­îng, cßn m thay ®æi mét ®¬n vÞ, bëi vËy ta cã ®¼ng thøc sau: Nh­ng thêi gian b»ng chu kú dao ®éng T cña c­êng ®é s¸ng t¹i A, nªn tÇn sè dao ®éng cña dßng quang ®iÖn trong m¸y thu sÏ b»ng: . Bµi tËp Mét b×nh thñy tinh cã tiÕt diÖn h×nh thang víi gãc chøa ®Çy n­íc víi chiÕt suÊt (H.11). Mét chïm s¸ng song song chiÕu tíi mÆt bªn cña b×nh. Sau b×nh ®Æt mét thÊu kÝnh héi tô cã tiªu cù . Trªn mµn ¶nh ®Æt t¹i mÆt ph¼ng tiªu ¶nh cña thÊu kÝnh, ng­êi ta quan s¸t thÊy mét ®iÓm s¸ng. Hái ®iÓm s¸ng nµy dÞch chuyÓn mét kho¶ng b»ng bao nhiªu, nÕu ta bá b×nh ®i? Gîi ý: ®èi víi gãc ®ñ nhá, ta cã thÓ dïng c«ng thøc gÇn ®óng . H×nh 11. 2. Mét l¨ng kÝnh côt lµm b»ng mét khèi chÊt trong suèt cã chiÒu dµi ®¸y trªn cm vµ ®é cao (H.12). Ng­êi ta chiÕu tíi mÆt bªn l¨ng kÝnh mét chïm ®¬n s¾c hÑp c¸ch ®¸y d­íi mét kho¶ng cm. BiÕt r»ng tia lã ra khái l¨ng kÝnh kh«ng ®æi h­íng so víi tia ban ®Çu vµ chiÕt suÊt cña chÊt lµm l¨ng kÝnh phô thuéc vµo ®é cao theo c«ng thøc: . H·y x¸c ®Þnh gãc chiÕt quang cña l¨ng kÝnh. Gîi ý: ®èi víi gãc ®ñ nhá, ta cã thÓ dïng c«ng thøc gÇn ®óng . H×nh 12. 3. Mét s¬ ®å giao thoa cho trªn h×nh 13, gåm nguån s¸ng ®iÓm ®¬n s¾c S chuyÓn ®éng víi vËn tèc tíi gÇn trôc OA vµ hai mµn. Trªn mµn E cã hai lç nhá c¸ch nhau mét kho¶ng , cßn mµn dïng ®Ó quan s¸t bøc tranh giao thoa. T¹i t©m cña mµn ng­êi ta ®Æt mét m¸y thu quang ®iÖn A. H·y x¸c ®Þnh tÇn sè dao ®éng cña dßng quang ®iÖn trong m¸y thu khi nguån s¸ng ë gÇn OA, biÕt r»ng vµ b­íc sãng . Coi c­êng ®é dßng quang ®iÖn tû lÖ víi ®é räi t¹i ®iÓm A. H×nh 13. L­îng Tö (s­u tÇm vµ giíi thiÖu) NghÞch lý vËt “lín” LTS. Häc kü ®µo s©u nh­ng ®iÒu ®­îc tr×nh bµy trong s¸ch gi¸o khoa tÊt nhiªn lµ rÊt quan träng. Tuy nhiªn, häc qua c¸c nghÞch lý nhiÒu khi còng mang l¹i cho ta nhiÒu ®iÒu thó vÞ, gióp ta hiÓu s©u s¾c h¬n vµ n¾m v÷ng h¬n c¸c kiÕn thøc ®· ®­îc häc trªn líp. Trong sè 20 th¸ng 4 n¨m 2005, VL&TT ®· giíi thiÖu bµi “NghÞch lý n¨ng l­îng” cña t¸c gi¶ Phan Hång Minh, nay chóng t«i xin giíi thiÖu tiÕp mét bµi n÷a ®­îc ph©n tÝch kü l­ìng h¬n ®Ó b¹n ®äc tham kh¶o. Giíi thiÖu bµi b¸o nµy, VL&TT hy väng lµ ®· trao vµo tay b¹n mét tµi liÖu «n tËp hÌ thó vÞ vµ bæ ich. Khi gi¶i c¸c bµi to¸n trong ®ã cã sù t­¬ng t¸c gi÷a c¸c vËt cã khèi l­îng rÊt kh¸c nhau, ta th­êng bá qua sù biÕn thiªn n¨ng l­îng cña c¸c vËt cã khèi l­îng lín h¬n. (VËt “lín” nãi trong tiªu ®Ò lµ chØ vËt cã khèi l­îng lín h¬n nhiÒu lÇn so víi c¸c vËt kh¸c trong bµi to¸n). Vµ sù bá qua ®ã th­êng l¹i hoµn toµn ®óng ®¾n. Tuy nhiªn, còng cÇn h×nh dung cho râ khi nµo th× sù bá qua ®ã lµ ®­îc phÐp cßn khi nµo th× kh«ng. §Ó lµm s¸ng tá vÊn ®Ò nµy ta sÏ xÐt mét lo¹t vÝ dô ®­îc ph¸t biÓu d­íi d¹ng c¸c nghÞch lý d­íi ®©y. VÝ dô 1. Mét hßn ®¸ cã khèi l­îng m r¬i tõ ®é cao h xuèng mÆt ®Êt. a) Chóng ta h·y viÕt ®Þnh luËt b¶o toµn n¨ng l­îng, khi xÐt chuyÓn ®éng cña hßn ®¸ trong hÖ quy chiÕu (H.Q.C) g¾n víi khèi t©m cña hÖ gåm hßn ®¸ vµ Tr¸i §Êt (T§). Vµo thêi ®iÓm hßn ®¸ s¾p ch¹m ®Êt, toµn bé thÕ n¨ng mgh cña nã chuyÓn hÕt thµnh ®éng n¨ng : trong ®ã lµ vËn tèc cña hßn ®¸ ngay tr­íc khi ch¹m ®Êt. b) B©y giê ta l¹i viÕt ®Þnh luËt b¶o toµn n¨ng l­îng khi kh¶o s¸t chuyÓn ®éng cña hßn ®¸ trong H.Q.C. g¾n víi mét thang m¸y chuyÓn ®éng h­íng xuèng d­íi víi vËn tèc kh«ng ®æi so víi T§. Trong hÖ nµy, T§ cã ®éng n¨ng (M lµ khèi l­îng cña T§), cßn hßn ®¸ ë thêi ®iÓm ban ®Çu cã ®éng n¨ng vµ thÕ n¨ng mgh. T¹i thêi ®iÓm ngay tr­íc khi hßn ®¸ ch¹m mÆt ®Êt, c¶ ®éng n¨ng vµ thÕ n¨ng cña nã ®Òu b»ng kh«ng, sao cho ®èi víi toµn hÖ, ta cã thÓ viÕt: (!) Ho¸ ra ®Þnh luËt b¶o toµn n¨ng l­îng kh«ng ®­îc nghiÖm ®óng trong H.Q.C. g¾n víi thang m¸y (!), nh­ng l¹i nghiÖm ®óng trong H.Q.C. mµ ®èi víi nã thang m¸y chuyÓn ®éng víi vËn tèc kh«ng ®æi. Tøc lµ ta ®· cã mét nghÞch lý (!). VÝ dô 2. Mét viªn ®¹n cã khèi l­îng m bay víi vËn tèc ®Ëp vµo s­ên nói vµ m¾c trong ®ã. a) ¸p dông ®Þnh luËt b¶o toµn n¨ng l­îng trong H.Q.C. T§ ®øng yªn, ta t×m ®­îc ®é biÕn thiªn n¨ng l­îng cña viªn ®¹n: b) B©y giê ta kh¶o s¸t chuyÓn ®éng cña viªn ®¹n trong H.Q.C. g¾n víi «t« chuyÓn ®éng víi vËn tèc cïng h­íng víi viªn ®¹n. Khi ®ã ®é biÕn thiªn cña ®éng n¨ng b»ng: c) MÆt kh¸c, trong H.Q.C. g¾n víi «t« chuyÓn ®éng còng víi vËn tèc nh­ng theo chiÒu ng­îc l¹i th× VËy mét phÇn ®éng n¨ng cña viªn ®¹n ®· mÊt ®i ®©u? Khi viªn ®¹n bÞ h·m ®ét ngét, mét l­îng nhiÖt ®· ®­îc to¶ ra, nãi mét c¸ch kh¸c, n¨ng l­îng cña viªn ®¹n ®· chuyÓn thµnh nhiÖt: . Vµ chóng ta cã thÓ ®o ®­îc l­îng nhiÖt to¶ ra ®ã (vÝ nh­ viªn ®¹n r¬i ®óng vµo b×nh nhiÖt l­îng kÕ, ch¼ng h¹n). Tuy nhiªn, tõ nh÷ng tÝnh to¸n nªu ë trªn, ta suy ra r»ng, khi tiÕn hµnh cïng mét phÐp ®o cho ba tr­êng hîp nªu ë trªn, chóng ta sÏ nhËn ®­îc 3 kÕt qu¶ kh¸c nhau, tøc lµ . Tøc lµ l¹i xuÊt hiÖn nghÞch lý (!). Cßn cã thÓ nghÜ ra nhiÒu bµi to¸n t­¬ng tù , trong ®ã nghÞch lý xuÊt hiÖn chØ lµ do hÖ c¸c vËt ®­îc kh¶o s¸t kh«ng ph¶i lµ kÝn, nh­ng trong lËp luËn chóng ta l¹i kh«ng tÝnh ®Õn ®iÒu ®ã. Trong vÝ dô 2 nªu ë trªn, hÖ ®ang xÐt kh«ng bao gåm vËt lín lµ T§. Cßn trong VÝ dô 1, phÇn b, mÆc dï ®· bao gåm c¶ T§, nh­ng sù biÕn thiªn ®éng n¨ng cña nã l¹i ®­îc coi b»ng kh«ng. Trong phÇn a cña VÝ dô 1 n¨ng l­îng cña T§ nãi chung kh«ng hiÖn diÖn, tuy nhiªn bÊt cø ®éc gi¶ nµo còng nãi r»ng, ë ®©y ch¾c ch¾n mäi thø ®· ®­îc viÕt ®óng. VËy r¾c rèi lµ ë ®©u? T¹i sao khi chän mét H.Q.C. nµo ®ã l¹i nhËn ®­îc kÕt qu¶ ®óng, trong khi chän nh÷ng hÖ kh¸c l¹i nhËn ®­îc c¸c nghÞch lý? Ph¶i chän H.Q.C. nµo ®Ó gi¶i bµi to¸n sao cho cã thÓ bá qua vËt cã khèi l­îng lín vµ chÝnh b»ng c¸ch ®ã lµm ®¬n gi¶n qu¸ tr×nh gi¶i? §Ó tr¶ lêi c¸c c©u hái ®ã chóng ta h·y quay trë l¹i c¸c “bµi to¸n-nghÞch lý” vµ tiÕn hµnh c¸c lËp luËn mét c¸ch “tuyÖt ®èi chÆt chÏ”. VÝ dô 1. a) Trong H.Q.C. g¾n víi khèi t©m cña hÖ gåm hßn ®¸ vµ T§, t¹i thêi ®iÓm ban ®Çu, T§ ®øng yªn vµ toµn bé n¨ng l­îng cña hÖ b»ng thÕ n¨ng cña hßn ®¸. Tíi thêi ®iÓm hßn ®¸ s¾p ch¹m mÆt ®Êt, n¨ng l­îng cña hÖ b»ng , trong ®ã lµ vËn tèc mµ hßn ®¸ cã ®­îc d­íi t¸c dông cña lùc hÊp dÉn T§, cßn - vËn tèc mµ T§ cã ®­îc d­íi t¸c dông cña lùc hÊp dÉn cña hßn ®¸. Chóng ta sÏ t×m vËn tèc tõ ®Þnh luËt b¶o toµn ®éng l­îng: B©y giê chóng ta h·y viÕt ®Þnh luËt b¶o toµn n¨ng l­îng cña hÖ: BiÓu thøc trªn lµ “tuyÖt ®èi chÆt chÏ”. Tuy nhiªn, râ rµng lµ trong tÊt c¶ c¸c bµi to¸n thùc (vÒ sù r¬i cña c¸c vËt xuèng mÆt ®Êt) ta ®Òu cã vµ ®¹i l­îng lµ rÊt nhá so víi 1 sao cho ta cã thÓ bá nã ®i. Khi ®ã, trong H.Q.C. g¾n víi khèi t©m cña hÖ gåm hßn ®¸ vµ T§, ®Þnh luËt b¶o toµn n¨ng l­îng cã thÓ viÕt lµ: b)Trong H.Q.C. “thang m¸y”, n¨ng l­îng ban ®Çu cña hÖ gåm hßn ®¸ vµ T§ b»ng , cßn tíi thêi ®iÓm hßn ®¸ ch¹m mÆt ®Êt, n¨ng l­îng cña hÖ b»ng víi lµ vËn tèc cña T§ ë thêi ®iÓm ®ã. ¸p dông ®Þnh luËt b¶o toµn ®éng l­îng ta sÏ t×m ®­îc : Nh­ vËy, n¨ng l­îng cña hÖ ë thêi ®iÓm hßn ®¸ r¬i ch¹m mÆt ®Êt b»ng: Tr­íc kia chóng ta ®· coi r»ng n¨ng l­îng cña T§ kh«ng thay ®æi vµ b»ng , tøc lµ chóng ta ®· bá qua ®¹i l­îng: §¹i l­îng nµy lín h¬n ®éng n¨ng cña hßn ®¸. DÔ dµng thÊy r»ng sai lÇm cña chóng ta chÝnh lµ ë chç ®ã, vµ do ®ã mµ dÉn tíi nghÞch lý. §Þnh luËt b¶o toµn n¨ng l­îng “chÆt chÏ” ph¶i ®­îc viÕt d­íi d¹ng: Sö dông ®iÒu kiÖn vËt lín, tøc coi , ta cã thÓ bá qua sè h¹ng , vµ khi ®ã tõ ®Þnh luËt b¶o toµn n¨ng l­îng ta t×m ®­îc: (!) Nh­ vËy, trong H.Q.C. g¾n víi khèi t©m hÖ gåm hßn ®¸ vµ T§, trong ®ã vËt “lín” lµ T§, ban ®Çu ®øng yªn, ta cã thÓ bá qua ®é biÕn thiªn n¨ng l­îng cña vËt “lín”. Trong H.Q.C. “thang m¸y”, vËt “lín” T§ cã vËn tèc ban ®Çu , nªn sù biÕn thiªn n¨ng l­îng cña nã so ®­îc víi sù biÕn thiªn n¨ng l­îng cña hßn ®¸, vµ do ®ã ta kh«ng thÓ bá qua sù biÕn thiªn ®ã. §« biÕn thiªn ®éng n¨ng cña T§ trong hai H.Q.C. võa xÐt còng cã thÓ tÝnh ®­îc b»ng c¸ch kh¸c, cô thÓ lµ th«ng qua viÖc tÝnh c«ng cña lùc hót do hßn ®¸ t¸c dông lªn T§. Trong c¶ hai H.Q.C. lùc hót nµy lµ nh­ nhau vµ b»ng: Tuy nhiªn, ®é dÞch chuyÓn cña T§ trong hai H.Q.C. lµ kh«ng nh­ nhau: C«ng do lùc thùc hiÖn vµ do ®ã, ®é bݪn thiªn ®éng n¨ng cña T§ trong hai H.Q.C. t­¬ng øng b»ng: Thay vµ vµo hai biÓu thøc trªn, ta ®­îc: Nh÷ng kÕt qu¶ nµy chøng tá r»ng ®é biÕn thiªn ®éng n¨ng cña cïng mét vËt cã thÓ sÏ rÊt kh¸c nhau trong c¸c H.Q.C. kh¸c nhau. Tuy nhiªn, ®Þnh luËt b¶o toµn n¨ng l­îng ®èi víi mét hÖ kÝn vÉn ®óng trong mäi H.Q.C. qu¸n tÝnh. B©y giê chóng ta sÏ quay trë l¹i vÝ dô 2. VÝ dô 2. §é biÕn thiªn ®éng n¨ng cña viªn ®¹n trong c¸c H.Q.C. ®ang xÐt còng kh¸c nhau: Do ®ã theo ®Þnh lý ®éng n¨ng () , c«ng cña ngo¹i lùc, tøc lùc cña s­ên nói t¸c dông lªn viªn ®¹n, còng kh¸c nhau. Nãi mét c¸ch kh¸c, do tÝnh t­¬ng ®èi cña ®é dÞch chuyÓn trong c¸c H.Q.C. kh¸c nhau, nªn c¶ c«ng cña c¸c ngo¹i lùc còng lµ t­¬ng ®èi, vµ do ®ã ®é biÕn thiªn ®éng n¨ng cña hÖ c¸c vËt kh«ng kÝn còng lµ t­¬ng ®èi. V× vËy nguyªn nh©n dÉn ®Õn nghÞch lý trong vÝ dô nµy lµ do c¸ch viÕt: BiÓu thøc nµy chØ ®óng víi c¸c hÖ kÝn, v× ®èi víi c¸c hÖ nµy, ®é biÕn thiªn ®éng n¨ng cña tÊt c¶ c¸c vËt trong hÖ lµ bÊt biÕn (tøc kh«ng thay ®æi) ®èi víi bÊt kú H.Q.C. qu¸n tÝnh nµo. Do nh÷ng ®iÒu nãi trªn, trong VÝ dô 2, nhiÖt l­îng to¶ ra ph¶i ®­îc viÕt lµ , trong ®ã vµ lµ ®é biÕn thiªn ®éng n¨ng cña viªn ®¹n vµ cña T§. Tuy nhiªn, ®¸p sè ë c©u a) cña VÝ dô 2 lµ ®óng bÊt kÓ ta gi¶i bµi to¸n trong H.Q.C. nµo: Ta sÏ chøng minh kh¼ng ®Þnh nµy. Muèn vËy ta h·y tiÕn hµnh thËt chÆt chÏ tÊt c¶ c¸c b­íc lËp luËn. a) Trong H.Q.C. T§ (còng tøc lµ tr¸i nói) ban ®Çu ®øng yªn, n¨ng l­îng cña hÖ b»ng ®éng n¨ng cña viªn ®¹n. Khi viªn ®¹n ®Ëp vµo nói, T§ cã mét vËn tèc nµo ®ã, mµ ta cã thÓ t×m tõ ®Þnh luËt b¶o toµn ®éng l­îng: Do ®ã T§ cã ®éng n¨ng , nªn ®Þnh luËt b¶o toµn n¨ng l­îng cña c¶ hÖ ph¶i viÕt d­íi d¹ng: hay Sö dông ®iÒu kiÖn vËt “lín” () , ta ®­îc: (!). b) Trong H.Q.C. g¾n víi «t« chuyÓn ®éng víi vËn tèc cïng h­íng víi viªn ®¹n, ®éng n¨ng cña T§ thay ®æi mét l­îng b»ng . §é biÕn thiªn nµy g©y bëi ®é gi¶m vËn tèc cña nã tõ ®Õn . Ta cã thÓ tÝnh tõ ®Þnh luËt b¶o toµn ®éng l­îng ®èi víi hÖ gåm viªn ®¹n vµ T§ trong H.Q.C. g¾n víi khèi t©m cña chóng (®é biÕn thiªn cña vËn tèc lµ bÊt biÕn ®èi víi c¸c H.Q.C. qu¸n tÝnh !): Dïng kÕt qu¶ trªn, ta cã thÓ tÝnh ®­îc ®« biÕn thiªn ®éng n¨ng cña T§: V× , ta cã thÓ viÕt Do ®é gi¶m ¨nng l­îng cña T§, ®Þnh luËt b¶o toµn n¨ng l­îng giê ®©y cã thÓ viÕt d­íi d¹ng: Tõ ®ã ta l¹i nhËn ®­îc hÖ thøc: (!) c) Trong H.Q.C. g¾n víi xe «t« chuyÓn ®éng víi vËn tèc ng­îc h­íng v¬i viªn ®¹n, ®éng n¨ng cuat T§ t¨ng mét l­îng (chøng minh t­¬ng tù nh­ trªn). TÝnh ®Õn sù t¨ng ®ã cña ®éng n¨ng T§, ®Þnh luËt b¶o toµn n¨ng l­îng b©y giê ®­îc viÕt d­íi d¹ng: Vµ tõ ®ã ta l¹i t×m ®­îc biÓu thøc: (!) Nh­ vËy, biÓu thøc vèn chØ ®óng ®èi víi nh÷ng hÖ kÝn (tøc lµ khi lµ ®é biÕn thiªn n¨ng l­îng cña toµn hÖ), ho¸ ra còng ®óng cho c¶ nh÷ng hÖ kh«ng kÝn ®­îc kh¶o s¸t trong H.Q.C. mµ vËt “lín” ban ®Çu ®øng yªn. Cuèi cïng xin giíi thiÖu víi c¸c b¹n mét sè “nghÞch lý” ®Ó c¸c b¹n tù t×m hiÓu. 1. Mét «t« A chuyÓn ®éng víi vËn tèc ®èi víi T§. Sau khi vËn tèc «t« t¨ng 2 lÇn, ®éng n¨ng cña nã t¨ng mét l­îng: . Theo quan ®iÓm cña ng­êi quan s¸t ë trong «t« B chuyÓn ®éng cïng chiÒu vµ cïng vËn tèc nh­ «t« A, th× ®é biÕn thiªn ®éng n¨ng cña «t« A b»ng: §èi víi ng­êi quan s¸t trong «t« C chuyÓn ®éng víi cïng tèc ®é nh­ «t« A nh­ng ng­îc chiÒu, th× ®é biÕn thiªn ®éng n¨ng cña «t« A b»ng: Tho¹t nh×n kÕt qu¶ thu ®­îc ë trªn kh¸ l¹ lïng, v× l­îng nhiªn liÖu tiªu thô cña «t« A kh«ng ®æi, thÕ mµ ®é biÕn thiªn cña nã trong c¸c H.Q.C. kh¸c nhau l¹i kh¸c nhau. LiÖu ë ®©y cã m©u thuÉn g× víi ®Þnh luËt b¶o toµn n¨ng l­îng kh«ng? 2. Mét viªn ®¹n cã khèi l­îng m chuyÓn ®éng víi vËn tèc r¬i vµo mét sµn toa chë c¸t chuyÓn ®äng víi vËn tèc vµ bÞ g¨m vµo trong ®ã. Ta h·y t×m nhiÖt l­îng to¶ ra khi ®ã. Trong H.Q.C. g¾n víi T§: Trong H.Q.C. g¾n víi toa xe: L¹i xuÊt hiÖn nghÞch lý: liÖu cã thÓ víi cïng mét viªn ®¹n mµ ë H.Q.C. nµy nã bÞ nãng ch¶y mµ ë hÖ kia th× kh«ng?! 3. Mét khÈu sóng m¸y ®Æt trªn m¸y bay chuyÓn ®éng víi vËn tèc b¾n theo h­íng bay cña m¸y bay. a) Gi¶ sö ®èi víi H.Q.C. còng chuyÓn ®éng víi vËn tèc , viªn ®¹n cã vËn tèc . §éng n¨ng mµ viªn ®¹n cã ®­îc lµ do n¨ng l­îng E cña khÝ thuèc sóng ch¸y cung cÊp: . b) §èi víi H.Q.C. g¾n víi T§, vËn tèc cña viªn ®¹n b»ng vµ do ®ã: . V× E lµ bÊt biÕn trong mäi H.Q.C. nªn tõ nh÷ng ®iÒu nãi trªn suy ra: . H·y t×m sai lÇm trong nh÷ng lËp luËn tr×nh bµy ë trªn. L­îng Tö (S­u tÇm & giíi thiÖu) Tæng hîp vËn tèc Qui t¾c tæng hîp vËn tèc x¸c lËp mèi liªn hÖ gi÷a c¸c vËn tèc cña cïng mét chÊt ®iÓm trong c¸c hÖ quy chiÕu kh¸c nhau. Trong bµi nµy chóng ta sÏ nghiªn cøu quy t¾c ®ã th«ng qua viÖc gi¶i mét sè bµi tËp cô thÓ. Chóng ta nh¾c l¹i r»ng mçi hÖ quy chiÕu ph¶i ®­îc g¾n liÒn víi mét vËt lµm mèc nµo ®ã vµ chuyÓn ®éng cña cïng mét chÊt ®iÓm sÏ diÔn ra kh¸c nhau trong c¸c hÖ quy chiÕu kh¸c nhau. Gi¶ sö cã hai hÖ quy chiÕu S vµ S’ chuyÓn ®éng ®èi víi nhau. V× chuyÓn ®éng vµ ®øng yªn cã tÝnh t­¬ng ®èi nªn chóng ta quy ­íc coi hÖ S lµ ®øng yªn, cßn hÖ S’ chuyÓn ®éng. ChuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm M ®èi víi hÖ S ®­îc gäi lµ chuyÓn ®éng tuyÖt ®èi, cßn chuyÓn ®éng ®èi víi hÖ S’ ®­îc gäi lµ chuyÓn ®éng t­¬ng ®èi. Mét c¸ch t­¬ng øng, vËn tèc cña M ®èi víi hÖ S ®­îc gäi lµ vËn tèc tuyÖt ®èi, cßn ®èi víi hÖ S’ ®­îc gäi lµ vËn tèc t­¬ng ®èi. §Ó dÔ h×nh dung chóng ta cã thÓ lÊy thÝ dô nh­: chän c¨n phßng lµm hÖ S, cßn qu¶ cÇu kh«ng khÝ võa bay võa quay lµ hÖ S’ vµ chÊt ®iÓm M lµ con kiÕn ®ang bß trªn qu¶ cÇu. Chóng ta ®­a thªm vµo kh¸i niÖm n÷a lµ vËn tèc kÐo theo. §©y lµ vËn tèc cña mét ®iÓm trong hÖ S’, mµ chÊt ®iÓm M ®i qua vµo thêi ®iÓm ®· cho, ®èi víi hÖ S. Trong thÝ dô cña chóng ta ®ã lµ vËn tèc ®èi víi c¨n phßng cña ®iÓm trªn qu¶ cÇu mµ con kiÕn ®ang bß qua ®ã. ë bÊt kú thêi ®iÓm nµo vËn tèc tuyÖt ®èi , vËn tèc t­¬ng ®èi vµ vËn tèc kÐo theo còng liªn hÖ víi nhau bëi hÖ thøc: =+. §©y chÝnh lµ c«ng thøc tæng hîp vËn tèc. Chóng ta nªu ra hai nhËn xÐt sau ®©y: Nãi chung vËn tèc kÐo theo kh«ng ph¶i lµ vËn tèc cña hÖ S’ ®èi víi hÖ S. Thùc vËy, trong khi chuyÓn ®éng qu¶ cÇu kh«ng khÝ cßn quay nªn vËn tèc cña c¸c ®iÓm kh¸c nhau trªn qu¶ cÇu ®èi víi c¨n phßng lµ kh¸c nhau. ChÝnh v× vËy nãi ®Õn vËn tèc cña qu¶ cÇu (tøc cña hÖ S’) ®èi víi c¨n phßng (tøc hÖ S) lµ v« nghÜa. ChØ trong tr­êng hîp hÖ S’ chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn chø kh«ng quay th× vËn tèc cña tÊt c¶ ®iÓm cña S’ ®èi víi S lµ nh­ nhau vµ ng­êi ta gäi ®ã lµ vËn tèc cña hÖ S’ ®èi víi hÖ S. HÖ thøc gi÷a vËn tèc tuyÖt ®èi, vËn tèc t­¬ng ®èi vµ vËn tèc kÐo theo chØ thuÇn tuý lµ hÖ thøc ®éng häc, kh«ng cã liªn quan g× ®Õn c¸c hÖ S vµ hÖ S’ lµ hÖ quy chiÕu qu¸n tÝnh hay kh«ng qu¸n tÝnh. C¶ hai hÖ ®Òu cã thÓ lµ hÖ kh«ng qu¸n tÝnh. a v0 u H×nh 1. B©y giê chóng ta xÐt c¸c bµi to¸n cô thÓ. v b v0 a H×nh 2. Bµi to¸n 1.Trªn boong mét con tµu thñy ®ang chuyÓn ®éng ®èi víi bê s«ng víi vËn tèc u = 15km/h cã mét hµnh kh¸ch ®i víi vËn tèc ®èi víi boong tµu, theo ph­¬ng lËp víi trôc däc cña tµu gãc (xem H.1). H·y t×m vËn tèc cña hµnh kh¸ch ®ã ®èi víi bê. Chóng ta lÊy bê s«ng lµm hÖ quy chiÕu ®øng yªn vµ tµu thñy lµm hÖ quy chiÕu chuyÓn ®éng. Khi ®ã lµ vËn tèc t­¬ng ®èi, lµ vËn tèc kÐo theo. VËn tèc cña hµnh kh¸ch ®èi víi bê sÏ lµ vËn tèc tuyÖt ®èi. Theo c«ng thøc c«ng vËn tèc: = + Sö dông ®Þnh lý cosin chóng ta t×m ®­îc ®é lín vËn tèc v cña hµnh kh¸ch ®èi víi bê vµ gãc gi÷a vËn tèc nµy vµ trôc tµu: » 13km/h. v0 O A w H×nh 3. 0,33; Bµi to¸n 2. Trong phßng cã mét c¸i ®Üa quay víi vËn tèc gãc kh«ng ®æi quanh trôc cè ®Þnh O ®i qua t©m ®Üa vµ vu«ng gãc víi ®Üa. Mét con bä dõa bß trªn mÆt ®Üa däc theo b¸n kÝnh víi vËn tèc ®èi víi ®Üa (H.3). H·y t×m ®é lín vËn tèc cña con bä dõa ®èi víi phßng vµo thêi ®iÓm nã ë ®iÓm A c¸ch trôc O kho¶ng R. v0 O A w H×nh 4. vC v TÊt nhiªn lµ nªn chän phßng lµm hÖ quy chiÕu ®øng yªn, cßn ®Üa lµ hÖ quy chiÕu chuyÓn ®éng. Khi ®ã lµ vËn tèc t­¬ng ®èi. VËn tèc kÐo theo lµ vËn tèc cña ®iÓm A ®èi víi phßng. VËn tèc kÐo theo h­íng vu«ng gãc víi ph­¬ng b¸n kÝnh OA vµ cã ®é lín b»ng: . VËn tèc cña con bä dõa ®èi víi phßng lµ vËn tèc tuyÖt ®èi. Theo quy t¾c céng vËn tèc : = + . §é lín vËn tèc cña con bä dõa ®èi víi phßng b»ng : H×nh 5. R w O v1 r vC vO v2 M Bµi to¸n 3. B¸n kÝnh cña mét hµnh tinh r = 2000km. VËn tèc c¸c ®iÓm trªn xÝch ®¹o b»ng . Mét vÖ tinh chuyÓn ®éng trong mÆt ph¼ng xÝch ®¹o cña hµnh tinh trªn quü ®¹o b¸n kÝnh R = 3000km, theo chiÒu quay cña hµnh tinh víi vËn tèc . H·y t×m vËn tèc cña vÖ tinh ®èi víi hµnh tinh. Chän hÖ quy chiÕu ®øng yªn lµ hÖ mµ vËn tèc vµ ®­îc cho trong ®ã. LÊy hµnh tinh lµm hÖ chuyÓn ®éng. VËn tèc tuyÖt ®èi cña vÖ tinh ®· cho vµ b»ng . Chóng ta cÇn t×m vËn tèc cña vÖ tinh ®èi víi hµnh tinh tøc lµ vËn tèc t­¬ng ®èi . Gi¶ sö vµo thêi ®iÓm nµo ®ã vÖ tinh ®i qua ®iÓm M g¾n liÒn víi hµnh tinh b»ng mét thanh t­ëng t­îng OM (H.5). VËn tèc cña ®iÓm M trong hÖ quy chiÕu ®øng yªn chÝnh lµ vËn tèc kÐo theo . Chóng ta h·y t×m nã. VËn tèc gãc quay cña hµnh tinh b»ng , cßn vËn tèc kÐo theo . Theo quy t¾c céng vËn tèc ta cã: . Ta nhËn thÊy r»ng vËn tèc t­¬ng ®èi cña vÖ tinh cïng h­íng víi vËn tèc tuyÖt ®èi vµ cã ®é lín b»ng: A1 v1 R/2 R R v2 M D C A2 H×nh 6. =1,1km/s. Bµi to¸n 4. Trªn hai ®­êng trßn b¸n kÝnh mçi ®­êng b»ng R, n»m trong cïng mét mÆt ph¼ng, cã hai « t« vµ chuyÓn ®éng víi c¸c vËn tèc vµ . KÝch th­íc c¸c « t« rÊt nhá so víi R. Vµo mét thêi ®iÓm nµo ®ã th× c¸c « t« n»m ë c¸c ®iÓm M vµ C c¸ch nhau R/2 (H.6). 1) H·y t×m vËn tèc cña « t« ®èi víi hÖ quy chiÕu g¾n liÒn víi « t« vµo thêi ®iÓm ®ã. 2) H·y t×m vËn tèc cña « t« ®èi víi hÖ quy chiÕu g¾n liÒn víi « t« khi ë ®iÓm D. Chän ®­êng lµm hÖ quy chiÕu ®øng yªn. VËn tèc cña « t« trong hÖ quy chiÕu nµy lµ vËn tèc tuyÖt ®èi. Ký hiÖu vµ lµ vËn tèc tuyÖt ®èi cña khi ®i qua c¸c ®iÓm C vµ D (H.7). Theo ®Ò ra: Chóng ta g¾n hÖ quy chiÕu chuyÓn ®éng víi « t« . Râ rµng hÖ nµy quay xung quanh trôc O víi vËn tèc gãc . Ký hiÖu vËn tèc kÐo theo khi « t« ®i qua c¸c ®iÓm C vµ D lµ vµ . §é lín c¸c vËn tèc nµy b»ng: H×nh 7. A1 vCtd R/2 R O vD M D C A2 R w vDtd vDkt vCkt vC , . Chóng ta cÇn ph¶i t×m c¸c vËn tèc t­¬ng ®èi vµ cña « t« khi nã ®i qua c¸c ®iÓm C vµ D. Theo quy t¾c céng vËn tèc (xem H.7): ; VËn tèc cña ®èi víi ë c¸c ®iÓm C vµ D trïng h­íng víi c¸c vËn tèc cña ®èi víi ®­êng t¹i c¸c ®iÓm nµy vµ b»ng: ==10km/h. ==110km/h.. Bµi to¸n 5. Trong khi trêi ®ang m­a ®¸, mét « t« ch¹y trªn ®­êng n»m ngang víi vËn tèc kh«ng ®æi u=25km/h. Mét h¹t m­a ®¸ r¬i xuèng va ch¹m víi tÊm kÝnh ch¾n giã phÝa tr­íc vµ bËt ra theo ph­¬ng ngang cïng chiÒu chuyÓn ®éng cña xe. KÝnh ch¾n giã nghiªng gãc so víi ph­¬ng th¼ng ®øng (H.8). Cho r»ng tr­íc khi va ch¹m vËn tèc c¸c h¹t m­a cã ph­¬ng th¼ng ®øng vµ va ch¹m lµ hoµn toµn ®µn håi, h·y t×m vËn tèc h¹t m­a ®¸: 1) tr­íc khi va ch¹m; 2) sau khi va ch¹m. H×nh 8 Chóng ta chän ®­êng lµm hÖ quy chiÕu ®øng yªn vµ « t« lµm hÖ quy chiÕu chuyÓn ®éng. Chóng ta sÏ t×m vËn tèc vµ cña h¹t m­a ®¸ ®èi víi ®­êng tr­íc vµ sau va ch¹m, tøc lµ c¸c vËn tèc tuyÖt ®èi cña h¹t m­a. Theo ®Ò ra th× h­íng th¼ng ®øng xuèng d­íi, cßn h­íng n»m ngang (H.9). Ngay sau khi va ch¹m vËn tèc tuyÖt ®èi , vËn tèc t­¬ng ®èi vµ vËn tèc kÐo theo cña h¹t m­a (còng lµ vËn tèc cña « t«) liªn hÖ nhau bëi hÖ thøc: =+. V× vµ h­íng theo ph­¬ng ngang nªn còng h­íng n»m ngang, do ®ã: VËn tèc t­¬ng ®èi lËp víi ph¸p tuyÕn AB cña mÆt kÝnh mét gãc nµo ®ã chÝnh lµ gãc ph¶n x¹. Tõ phÇn ®éng lùc häc chóng ta ®· biÕt trong va ch¹m ®µn håi cña mét vËt víi bÒ mÆt cña mét vËt nÆng, ®øng yªn th× gãc tíi b»ng gãc ph¶n x¹, cßn ®é lín vËn tèc tíi vµ vËn tèc ph¶n x¹ b»ng nhau. V× vËy vËn tèc cña h¹t m­a ®¸ ®èi víi « t« ngay tr­íc khi va ch¹m còng lËp víi ph¸p tuyÕn AB cña mÆt kÝnh mét gãc vµ vÒ ®é lín: = . Tr­íc khi va ch¹m hÖ thøc gi÷a vËn tèc tuyÖt ®èi , vËn tèc t­¬ng ®èi vµ vËn tèc kÐo theo lµ: = + . Tõ H.9 dÔ dµng chøng minh ®­îc vµ vËn tèc t­¬ng ®èi lËp víi ph­¬ng ngang mét gãc 2. Sö dông h×nh 9 chóng ta còng t×m ®­îc vËn tèc cña h¹t m­a ®¸ tr­íc vµ sau va ch¹m: ==3u=75km/h. v/2 a v H×nh 10. Bµi to¸n 6. Mét b¨ng chuyÒn chuyÓn ®éng víi vËn tèc kh«ng ®æi v. B¨ng n»m trong cïng mÆt ph¼ng víi mÆt bµn. Mét hép nhá ®ang chuyÓn ®éng trªn mÆt bµn víi vËn tèc v/2 th× ®i vµo b¨ng chuyÒn theo h­íng lËp mét gãc (= 1/9) víi mÐp b¨ng. HÖ sè ma s¸t tr­ît gi÷a hép vµ b¨ng lµ . §é lín vËn tèc cña hép ®èi víi b¨ng vµo lóc b¾t ®Çu chuyÓn ®éng trªn b¨ng chuyÒn b»ng bao nhiªu? Víi ®é réng tèi thiÓu cña b¨ng b»ng bao nhiªu ®Ó hép kh«ng ®i ra khái b¨ng? vA H×nh 11. a g vC vO Chän hÖ quy chiÕu ®øng yªn g¾n liÒn víi bµn, cßn hÖ quy chiÕu chuyÓn ®éng g¾n liÒn b¨ng chuyÒn. Khi ®ã vËn tèc cña b¨ng chÝnh lµ vËn tèc kÐo theo . Lóc b¾t ®Çu chuyÓn ®éng trªn b¨ng th× vËn tèc tuyÖt ®èi cña hép b»ng vËn tèc cña hép ®èi víi bµn tr­íc khi ®i vµo b¨ng, v× vËy . VËn tèc t­¬ng ®èi cña hép ®èi víi b¨ng lóc b¾t ®Çu chuyÓn ®éng trªn b¨ng lµ . Theo quy t¾c céng vËn tèc (H.11): . Sö dông ®Þnh lý cosin ®èi víi tam gi¸c ta ®­îc: §Ó tr¶ lêi c©u hái thø hai nªn chuyÓn sang hÖ quy chiÕu qu¸n tÝnh g¾n liÒn víi b¨ng. §èi víi b¨ng, hép cã vËn tèc ban ®Çu theo h­íng lËp víi mÐp b¨ng mét gãc nµo ®ã vµ chuyÓn ®éng th¼ng, chËm dÇn ®Òu víi gia tèc g. Yªu cÇu ®é réng cña b¨ng nhá nhÊt mµ hép kh«ng ®i ra khái b¨ng dÉn tíi hép ph¶i dõng l¹i ë mÐp b¨ng ®èi diÖn. Khi ®ã hép ®i ®­îc ®o¹n ®­êng . §èi víi chuyÓn ®éng chËm dÇn ®Òu cña hép trªn b¨ng chuyÒn cã thÓ viÕt: Tõ hai biÓu thøc cuèi suy ra: . Dùa vµo ®Þnh lý sin ®èi víi tam gi¸c ta cã: ; ë ®©y: . Tõ ®ã chó ý ®Õn biÓu thøc cña vµ qua v ta ®­îc: . ThÕ vµo biÓu thøc cña d ta nhËn ®­îc ®é réng cùc tiÓu cña b¨ng chuyÒn ®Ó hép kh«ng ®i ra khái b¨ng: O R A K C D v v/4 H×nh 12. Bµi tËp Mét ®Çu m¸y tµu háa chuyÓn ®éng trªn ®o¹n ®­êng ray th¼ng CD víi vËn tèc v (H.12). Mét « t« chuyÓn ®éng víi vËn tèc v/4 trªn con ®­êng cã d¹ng mét cung trßn b¸n kÝnh R. Kho¶ng c¸ch tõ t©m cung trßn ®Õn ®­êng ray b»ng OK=2R. Vµo mét thêi ®iÓm nµo ®ã ®Çu tµu ë ®iÓm K cßn « t« ë ®iÓm A. H·y t×m vËn tèc cña ®Çu tµu ®èi víi « t« (hÖ quy chiÕu g¾n liÒn víi « t«) vµo thêi ®iÓm ®ã. Bá qua kÝch th­íc cña « t« vµ ®Çu tµu so víi R. §S: VËn tèc t­¬ng ®èi b»ng vµ cïng h­íng víi ®Çu m¸y. Trêi ®ang m­a ®¸ cã mét « t« chuyÓn ®éng víi vËn tèc u=29km/h. trªn ®­êng n»m ngang. Mét h¹t m­a ®¸ ®Ëp lªn kÝnh ch¾n sau cña « t«. KÝnh nµy nghiªng mét gãc so víi ph­¬ng ngang. H¹t m­a bËt ra theo ph­¬ng ngang, ng­îc chiÒu chuyÓn ®éng cña « t«. Cho r»ng va ch¹m cña h¹t m­a ®¸ víi kÝnh « t« lµ hoµn toµn ®µn håi vµ vËn tèc cña h¹t m­a tr­íc khi va ch¹m h­íng th¼ng ®øng, h·y t×m vËn tèc cña h¹t m­a a) tr­íc va ch¹m. b) sau va ch¹m. §S: a) Mét b¨ng t¶i n»m ngang chuyÓn ®éng víi vËn tèc kh«ng ®æi v. Trªn b¨ng cã mét ®Üa nhá (vßng ®Öm) chuyÓn ®éng ngang víi vËn tèc 3v theo h­íng lËp víi mÐp ®Üa mét gãc (. a) §Üa nhá cã ®é lín vËn tèc b»ng bao nhiªu so víi b¨ng t¶i khi b¾t ®Çu chuyÓn ®éng trªn b¨ng? b) HÖ sè ma s¸t tr­ît gi÷a ®Üa vµ b¨ng t¶i lín nhÊt b»ng bao nhiªu ®Ó ®Üa nhá vÉn ®i v­ît qua ®­îc b¨ng t¶i? §S: a) T« B¸ ( s­u tÇm & giíi thiÖu) C¸c ®Þnh luËt b¶o toµn trong bµi to¸n va ch¹m Trong vËt lý, va ch¹m ®­îc hiÓu lµ mét qu¸ tr×nh t­¬ng t¸c trong kho¶ng thêi gian ng¾n gi÷a c¸c vËt theo nghÜa réng cña tõ nµy, kh«ng nhÊt thiÕt c¸c vËt ph¶i tiÕp xóc trùc tiÕp víi nhau. Khi ®ang ë c¸ch xa nhau mét kho¶ng lín c¸c vËt lµ tù do. Khi ®i ®Õn gÇn ngang qua nhau, c¸c vËt t­¬ng t¸c víi nhau dÉn ®Õn cã thÓ xÈy ra nh÷ng qu¸ tr×nh kh¸c nhau: c¸c vËt chËp l¹i víi nhau thµnh mét vËt, t¹o thµnh c¸c vËt míi, hoÆc ®¬n gi¶n chØ thay ®æi h­íng vµ ®é lín cña vËn tèc,.. Còng cã thÓ xÈy ra va ch¹m ®µn håi vµ va ch¹m kh«ng ®µn håi. Trong va ch¹m ®µn håi c¸c vËt sau khi t­¬ng t¸c nhau sÏ bay ra xa nhau mµ kh«ng cã bÊt k× thay ®æi nµo vÒ néi n¨ng, cßn trong va ch¹m kh«ng ®µn håi th× tr¹ng th¸i bªn trong c¸c vËt sau va ch¹m sÏ bÞ thay ®æi. Trong thùc tÕ, ë møc ®é nµo ®ã va ch¹m xÈy ra gi÷a c¸c vËt th­êng lµ va ch¹m kh«ng ®µn håi v× bao giê c¸c vËt còng bÞ nãng lªn do mét phÇn ®éng n¨ng ®· chuyÓn thµnh néi n¨ng. Tuy nhiªn trong vËt lý th× kh¸i niÖm vÒ va ch¹m ®µn håi l¹i ®ãng vai trß quan träng, ®Æc biÖt lµ trong nh÷ng thÝ nghiÖm vÒ c¸c hiÖn t­îng nguyªn tö. D­íi ®©y chóng ta sÏ xÐt mét sè bµi to¸n cô thÓ. Bµi to¸n 1. Mét proton khi bay ngang qua mét h¹t nh©n cña nguyªn tè nµo ®ã ®ang ®øng yªn bÞ lÖch ®i mét gãc (víi , cßn gi¸ trÞ vËn tèc cña nã gi¶m ®i 10% (xem h×nh vÏ). H·y x¸c ®Þnh sè khèi cña h¹t nh©n nguyªn tè ®ã. m v1 m b v2 M Gi¶i: T­¬ng t¸c gi÷a c¸c h¹t ë ®©y lµ ®µn håi, v× vËy ®éng l­îng vµ ®éng n¨ng cña hÖ ®­îc b¶o toµn: (1) (2) ë ®©y M vµ v lµ khèi l­îng vµ vËn tèc cña h¹t nh©n. Tõ ®Þnh luËt b¶o toµn ®éng l­îng vµ ®Þnh lý hµm sè cosin ta ®­îc: (3) Tõ (2) vµ (3) chóng ta t×m ®­îc sè khèi A: ë ®©y VËy proton ®· t¸n x¹ víi h¹t nh©n liti. Bµi to¸n 2. H¹t anpha t¸n x¹ ®µn håi trªn h¹t nh©n hy®r« (lóc ®Çu ®øng yªn). Gãc t¸n x¹ cùc ®¹i b»ng bao nhiªu? biÕt khèi l­îng cña hyd« nhá h¬n cña h¹t bèn lÇn. Gi¶i: Chóng ta cã thÓ gi¶i bµi to¸n nµy theo hai c¸ch. d j C¸ch thø nhÊt: Chóng ta h·y ph©n tÝch va ch¹m ®µn håi trong hÖ quy chiÕu phßng thÝ nghiÖm (®øng yªn). KÝ hiÖu: lµ khèi l­îng h¹t , lµ vËn tèc cña nã tr­íc va ch¹m, lµ khèi l­îng cña nguyªn tö hi®r«, vµ t­¬ng øng lµ vËn tèc cña h¹t vµ cña nguyªn tö hi®r« sau va ch¹m. V× va ch¹m lµ ®µn håi nªn ¸p dông ®­îc ®Þnh luËt b¶o toµn ®éng l­îng vµ b¶o toµn ®éng n¨ng : Khö vµ trong c¸c hÖ thóc nµy, chóng ta sÏ nhËn ®­îc ph­¬ng tr×nh bËc hai ®èi víi NghiÖm cña ph­¬ng tr×nh nµy lµ thùc khi . Gãc cùc ®¹i tho¶ m·n ®iÒu kiÖn nµy øng víi dÊu b»ng vµ ®ã chÝnh lµ gãc q cÇn t×m. VËy: . Chóng ta thÊy r»ng t¸n x¹ víi gãc lÖch cùc ®¹i chØ cã thÓ xÈy ra víi ®iÒu kiÖn khèi l­îng h¹t tíi ph¶i lín h¬n khèi l­îng h¹t ®øng yªn. C¸ch thø hai: Nãi chung, kh¶o s¸t bµi to¸n va ch¹m trong hÖ khèi t©m cña c¸c h¹t va ch¹m lµ dÔ dµng h¬n. Trong hÖ nµy vect¬ ®éng l­îng tæng céng cña hÖ lu«n b»ng kh«ng. vËn tèc khèi t©m cña hÖ b»ng: Tr­íc va ch¹m ®éng l­îng cña h¹t b»ng cßn ®éng l­îng cña h¹t b»ng . Víi va ch¹m ®µn håi th× ®éng l­îng vµ ®éng n¨ng cña hÖ c¸c vËt t­¬ng t¸c ®­îc b¶o toµn. V× vËy nÕu kÝ hiÖu ®éng l­îng cña h¹t thø nhÊt sau va ch¹m lµ , th× ®éng l­îng cña h¹t thø hai sÏ lµ . Tõ ®Þnh luËt b¶o toµn n¨ng l­îng ®­îc viÕt d­íi d¹ng: chóng ta t×m ®­îc Nh­ vËy vect¬ ®éng l­îng (vµ do ®ã vÐc t¬ vËn tèc) cña h¹t chØ quay ®i mét gãc nµo ®Êy mµ vÉn gi÷ nguyªn gi¸ trÞ. Gãc quay phô thuéc vµo ®Æc ®iÓm cô thÓ cña t­¬ng t¸c vµ vÞ trÝ t­¬ng ®èi gi÷a c¸c vËt va ch¹m. Khi chuyÓn sang hÖ quy chiÕu phßng thÝ nghiÖm ta dïng quy t¾c céng vËn tèc.Theo quy t¾c nµy vËn tèc cña h¹t tíi sau va ch¹m b»ng V q , ë ®©y lµ vËn tèc cña nã trong hÖ khèi t©m. Trªn h×nh bªn V lµ vËn tèc khèi t©m cña hÖ, v lµ vËn tèc h¹t tíi tr­íc khi va ch¹m. §¹i l­îng x¸c ®Þnh b¸n kÝnh cña vßng trßn mµ vect¬ kÕt thóc trªn ®ã. Tõ h×nh vÏ suy ra r»ng trong tr­êng hîp gãc gi÷a c¸c vect¬ vËn tèc vµ cña h¹t tíi tr­íc vµ sau va ch¹m kh«ng thÓ v­ît qu¸ gi¸ trÞ cùc ®¹i , khi ®ã tiÕp tuyÕn víi ®­êng trßn, tøc lµ . Bµi to¸n 3. Ph¶n øng h¹t nh©n nh©n t¹o ®Çu tiªn do Rutherford thùc hiÖn n¨m 1919 lµ ph¶n øng thu n¨ng l­îng b»ng Q = 1,13Mev. TÝnh ®éng n¨ng ng­ìng cÇn truyÒn cho h¹t trong hÖ phßng thÝ nghiÖm ®Ó khi b¾n ph¸ vµo h¹t nh©n bia nit¬ ®øng yªn th× ph¶n øng cã thÓ x¶y ra. Gi¶i: Tr­íc khi gi¶i bµi to¸n nµy chóng ta h·y t×m mèi liªn hÖ gi÷a c¸c ®éng n¨ng vµ cña mét hÖ chÊt ®iÓm trong hÖ phßng thÝ nghiÖm vµ trong hÖ khèi t©m. Theo c«ng thøc céng vËn tèc th× ®èi víi chÊt ®iÓm thø i cña hÖ ta cã , ë ®©y lµ vËn tèc khèi t©m cña hÖ. Khi ®ã ®éng n¨ng cña hÖ trong hÖ phßng thÝ nghiÖm b»ng: Tæng = 0, do vËn tèc khèi t©m trong hÖ khèi t©m th× ph¶i b»ng kh«ng. Nh­ vËy: . ë ®©y VËy ®éng n¨ng cña hÖ trong hÖ phßng thÝ nghiÖm b»ng ®éng n¨ng cña hÖ trong hÖ khèi t©m céng víi . B©y giê ta sÏ b¾t tay vµo viÖc gi¶i Bµi to¸n 3. KÝ hiÖu ®éng l­îng cña h¹t tr­íc khi va ch¹m lµ . §éng n¨ng khèi t©m cña hÖ kh«ng thay ®æi trong qu¸ tr×nh ph¶n øng, v× ®éng l­îng cña mét hÖ kÝn ®­îc b¶o toµn vµ do ®ã n¨ng l­îng nµy kh«ng gãp phÇn vµo c¸c biÕn ®æi h¹t nh©n. Nh­ vËy n¨ng l­îng ng­ìng ph¶i tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: Tõ ®ã Nh­ vËy, chóng ta nhËn thÊy r»ng ®éng n¨ng h¹t tíi nhá nhÊt khi c¸c h¹t t¹o thµnh sau ph¶n øng ®øng yªn trong hÖ khèi t©m. Bµi to¸n 4. Nguyªn tö hi®r« ë tr¹ng th¸i c¬ b¶n, ®øng yªn hÊp thô mét photon. KÕt qu¶ lµ nguyªn tö chuyÓn sang tr¹ng th¸i kÝch thÝch vµ b¾t ®Çu chuyÓn ®éng. H·y tÝnh gi¸ trÞ vËn tèc v cña nguyªn tö hi®r«. Cho n¨ng l­îng kÝch thÝch cña nguyªn tö hi®r« . N¨ng l­îng nghØ cña hi®r« . Gi¶i: C¸ch 1: Tõ ®Þnh luËt b¶o toµn n¨ng l­îng: vµ ®Þnh luËt b¶o toµn ®éng l­îng: sÏ tÝnh ®­îc vËn tèc v (lo¹i nghiÖm v>c): , ë ®©y chóng ta ®· sö dông gÇn ®óng do n¨ng l­îng kÝch thich nhá h¬n rÊt nhiÒu so víi n¨ng l­îng nghØ . §iÒu nµy còng cho thÊy khi gi¶i bµi to¸n ta chØ cÇn sö dông phÐp gÇn ®óng phi t­¬ng ®èi tÝnh. C¸ch 2: Sö dông c«ng thøc t­¬ng ®èi tÝnh cho c¸c ®Þnh luËt b¶o toµn n¨ng l­îng vµ ®éng l­îng ta cã: vµ . Chia hÖ thøc thø hai cho hÖ thøc thø nhÊt, ta ®­îc : . V× n¨ng l­îng cña photon bÞ hÊp thô nhá h¬n nhiÒu n¨ng l­îng nghØ cña nguyªn tö nªn mét c¸ch gÇn ®óng ta cã: Bµi to¸n 5. Mét nguyªn tö hi®r« ë tr¹ng th¸i c¬ b¶n bay ®Õn va ch¹m víi mét nguyªn tö hi®r« kh¸c còng ë tr¹ng th¸i c¬ b¶n vµ ®øng yªn. §éng n¨ng cña hi®r« tíi nhá nhÊt ph¶i b»ng bao nhiªu ®Ó khi va ch¹m ph¸t ra mét photon. N¨ng l­îng ion ho¸ cña nguyªn tö hi®r« lµ 13,6eV. Gi¶i: §©y lµ mét bµi to¸n va ch¹m kh«ng ®µn håi. Nguyªn tö hi®r« tíi sÏ truyÒn mét n¨ng l­îng lín nhÊt cã thÓ ®Ó ion ho¸ khi c¶ hai nguyªn tö sau va ch¹m ®øng yªn trong hÖ khèi t©m. §éng n¨ng cña khèi t©m b»ng: , ë ®©y lµ khèi l­îng proton, cßn lµ n¨ng l­îng ng­ìng cña ph¶n øng. N¨ng l­îng ng­ìng kh«ng thay ®æi. Photon mang n¨ng l­îng nhá nhÊt nÕu electron trong nguyªn tö chuyÓn tõ møc c¬ b¶n lªn møc kÝch thÝch thø nhÊt. Muèn vËy nguyªn tö ph¶i hÊp thô mét n¨ng l­îng , ë ®©y R lµ h»ng sè Rydberg. Khi ion ho¸, electron chuyÓn tõ møc c¬ b¶n lªn møc v« cïng, n¨ng l­îng ion ho¸ b»ng Tõ ®ã ta t×m ®­îc Bµi to¸n 6. Mét photon R¬nghen va ch¹m víi electron ®øng yªn vµ bÞ ph¶n x¹ theo h­íng ng­îc l¹i. H·y t×m ®é biÕn thiªn cña b­íc sãng photon do t¸n x¹. Gi¶i: Víi n¨ng l­îng hµng ngµn electron-v«n th× ta ph¶i tÝnh ®Õn hiÖu øng t­¬ng ®èi tÝnh. §Þnh luËt b¶o toµn n¨ng l­îng vµ ®éng l­îng cã d¹ng: vµ , ë ®©y m lµ khèi l­îng electron, vµ l lµ b­íc sãng cña photon tr­íc vµ sau t¸n x¹. Tõ hÖ hai ph­¬ng tr×nh nµy dÔ dµng rót ra ®­îc : Nh­ vËy b­íc sãng cña photon t¨ng. KÕt qu¶ nµy hoµn toµn phï hîp sè liÖu thùc nghiÖm. Bµi tËp 1. H¹t nh©n liti bÞ kÝch thÝch bëi chïm proton b¾n vµo bia liti ®øng yªn. Khi ®ã xÈy ra ph¶n øng T×m tØ sè gi÷a n¨ng l­îng cña photon tíi vµ n¨ng l­îng kÝch thÝch cña liti ®Ó xuÊt hiÖn c¸c photon t¸n x¹ theo h­íng ng­îc víi c¸c photon tíi. 2. Mét electron bay ®Õn va ch¹m víi mét nguyªn tö hydr« ë tr¹ng th¸i c¬ b¶n, ®øng yªn. TÝnh n¨ng l­îng ng­ìng cña electron tíi ®Ó khi va ch¹m ph¸t ra photon. N¨ng l­îng ion ho¸ nguyªn tö hydr« lµ 13,6 eV. 3. Photon R¬nghen va ch¹m víi mét electron ®øng yªn vµ ph¶n x¹ theo h­íng vu«ng gãc. H·y tim ®é t¨ng b­íc sãng cña photon do t¸n x¹. Ph¹m T« (S­u tÇm vµ giíi thiÖu) Chän HÖ quy chiÕu trong c¸c bµi to¸n c¬ häc Tr­íc hÕt, ta h·y xÐt bµi to¸n sau: Khi b¬i thuyÒn d­íi chiÕc cÇu A, mét ng­êi ®·ng trÝ ®· ®Ó r¬i chiÕc mò xuèng s«ng, nh­ng do kh«ng ®Ó ý, nªn anh ta vÉn tiÕp tôc chÌo thuyÒn ng­îc theo dßng n­íc. Sau 15 phót, ph¸t hiÖn ra m×nh mÊt mò, anh ta chÌo thuyÒn ng­îc l¹i, vÉn víi nhÞp ®é nh­ cò, vµ t×m l¹i ®­îc chiÕc mò ë d­íi cÇu B ë c¸ch xa cÇu A 1km. X¸c ®Þnh tèc ®é cña n­íc. Hoµn toµn kh«ng ph¶i ngÉu nhiªn mµ chóng t«i më ®Çu bµi viÕt vÒ viÖc chän hÖ quy chiÕu b»ng bµi to¸n rÊt cæ ®· trë thµnh kinh ®iÓn nµy. Nã minh ho¹ mét c¸ch rÊt trùc quan cho mét kh¼ng ®Þnh nãi r»ng viÖc khÐo chän hÖ quy chiÕu (H.Q.C) sÏ lµm cho viÖc gi¶i bµi to¸n trë nªn ®¬n gi¶n h¬n rÊt nhiÒu, vµ ®«i khi trong nhiÒu bµi to¸n vËt lý, ta cã thÓ gi¶i nhÈm ®­îc. Thùc vËy, ®Ò t×m vËn tèc cña dßng n­íc trong bµi to¸n trªn, ta cÇn ph¶i biÕt thêi gian tr«i cña chiÕc mò gi÷a hai c©y cÇu (v× vËn tèc cña mò b»ng vËn tèc dßng n­íc). Ta h·y chuyÓn sang xÐt H.Q.C. g¾n víi mò. Trong H.Q.C. nµy n­íc lµ ®øng yªn cßn vËn tèc cña thuyÒn theo c¶ hai h­íng lµ nh­ nhau. §iÒu nµy cã nghÜa lµ thêi gian thuyÒn quay trë l¹i tíi khi gÆp chiÕc mò b»ng thêi gian lóc thuyÒn ®i xa chiÕc mò, tøc lµ b»ng 15 phót. Do ®ã thêi gian tÝnh tõ khi mÊt mò tíi khi t×m thÊy nã lµ 30 phót. VËy vËn tèc cña dßng n­íc ( vµ còng chÝnh lµ vËn tèc tr«i cña mò) lµ: 1km : 0,5h= 2km/h. L­u ý r»ng khi chuyÓn tõ mét H.Q.C. nµy sang mét H.Q.C. kh¸c nhiÒu ®¹i l­îng vËt lý m« t¶ chuyÓn ®éng c¬ häc cña c¸c vËt , nh­ vËn tèc, gia tèc..., còng thay ®æi. Khi ®ã c¸c ®¹i l­îng t­¬ng øng trong hai H.Q.C. sÏ tu©n theo quy t¾c céng nh­ sau: , Trong ®ã lµ vËn tèc (gia tèc) cña vËt ®èi víi H.Q.C. thø nhÊt; lµ vËn tèc (gia tèc) cña vËt ®èi víi H.Q.C. thø hai, cßn lµ vËn tèc (gia tèc) cña H.Q.C. thø hai ®èi víi H.Q.C. thø nhÊt. TÊt nhiªn, ë ®©y ta chØ xÐt chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn cña c¸c H.Q.C. ®èi víi nhau. B©y giê chóng ta h·y xÐt mét sè bµi to¸n cô thÓ, mµ tr­íc hÕt lµ mét sè bµi to¸n ®éng häc. Ph¶i nãi ngay r»ng trong khu«n khæ ®éng häc th× tÊt c¶ c¸c H.Q.C. (dï lµ ®øng yªn, chuyÓn ®éng ®Òu, cã gia tèc, hay lµ quay ...) ®Òu b×nh ®¼ng víi nhau, v× vËy viÖc chän H.Q.C. miÔn sao lµ thuËn tiÖn vµ hîp lÏ nhÊt. Bµi to¸n 1. Cho vËn tèc dßng n­íc lµ vµ vËn tèc cña thuyÒn khi n­íc ®øng yªn lµ . Hái ng­êi chÌo thuyÒn ph¶i chÌo theo h­íng nµo ®Ó thuyÒn bÞ tr«i theo dßng n­íc lµ Ýt nhÊt? Gi¶i: DÔ thÊy r»ng, ë ®©y ta xÐt hai H.Q.C. lµ hîp lý. Yªu cÇu ®¶m b¶o cho thuyÒn bÞ tr«i theo dßng n­íc Ýt nhÊt cã liªn quan tíi H.Q.C. g¾n víi bê s«ng, cô thÓ lµ gãc t¹o bëi vËn tèc cña thuyÒn (®èi víi bê) lËp víi ®­êng vu«ng gãc víi bê lµ bÐ nhÊt. Trong H.Q.C. g¾n liÒn víi dßng n­íc, ng­êi ta ®· cho ®é lín vËn tèc cña thuyÒn vµ ®ßi hái t×m h­íng cña vËn tèc nµy, ch¼ng h¹n nh­ gãc t¹o bëi vËn tèc nµy vµ ®­êng vu«ng gãc víi bê. Do trong ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n kh«ng nãi g× vÒ t­¬ng quan gi÷a u vµ , nªn ta ph¶i xÐt hai kh¶ n¨ng: a) > u. Trong tr­êng hîp nµy ta cã thÒ ®¶m b¶o chÌo cho thuyÒn ®i theo h­íng vu«ng gãc víi bê (tøc lµ thuyÒn kh«ng bÞ tr«i theo dßng). Theo quy t¾c céng vËn tèc: Tõ h×nh 1 biÓu diÔn ph­¬ng tr×nh trªn, ta nhËn ®­îc: b) < u. Ph­¬ng tr×nh biÓu diÔn quy t¾c céng vËn tèc, b©y giê ®­îc biÓu diÔn trªn h×nh 2. Khi thay ®æi h­íng chÌo ngän cña vect¬ vÏ nªn mét nöa vßng trßn. Gãc cùc tiÓu gi÷a vect¬ vµ ®­êng vu«ng gãc víi bê t­¬ng ®­¬ng víi ®iÒu kiÖn vect¬ nµy tiÕp xóc víi vßng trßn ®ã. Tõ ®©y suy ra: Nh­ vËy, khi > u th× , cßn khi < u th× . Tr­êng hîp = u xin dµnh cho b¹n ®äc nh­ mét bµi tËp nhá.g a a a H×nh 1 H×nh 2 Khi xÐt sù r¬i tù do cña mét sè vËt, viÖc chän H.Q.C. g¾n víi mét trong sè c¸c vËt ®ã còng tá ra rÊt thuËn tiÖn. Trong H.Q.C. nµy chuyÓn ®éng cña c¸c vËt sÏ lµ th¼ng ®Òu ®èi víi nhau (tÊt nhiªn ë ®©y bá qua søc c¶n cña kh«ng khÝ). C¸ch lµm nµy th­êng ®­îc gäi lµ "ph­¬ng ph¸p b¸ t­íc Munhausen" (b¹n cã hiÓu t¹i sao kh«ng?). Ta sÏ sö dông ph­¬ng ph¸p nµy trong bµi to¸n sau: Bµi to¸n 2. Tõ hai ®iÓm ë cïng ®é cao h trªn mÆt ®Êt vµ c¸ch nhau mét kho¶ng l, ng­êi ta ®ång thêi nÐm hai hßn ®¸: mét h­íng lªn trªn theo ph­¬ng th¼ng ®øng víi vËn tèc vµ mét theo ph­¬ng n»m ngang víi vËn tèc . Hái trong qu¸ tr×nh hai hßn ®¸ chuyÓn ®éng, kho¶ng c¸ch ng¾n nhÊt gi÷a chóng b»ng bao nhiªu? BiÕt r»ng vËn tèc ban ®Çu cña hai hßn ®¸ cïng n»m trong mét mÆt ph¼ng th¼ng ®øng. Gi¶i: Ta chän H.Q.C. g¾n víi hßn ®¸ thø nhÊt. Khi ®ã chuyÓn ®éng cña hßn ®¸ thø hai sÏ lµ th¼ng ®Òu () víi vËn tèc: Kho¶ng c¸ch nhá nhÊt gi÷a hai hßn ®¸ dÔ dµng t×m ®­îc tõ h×nh 3: Chó ý: Hai hßn ®¸ ®¹t tíi kho¶ng c¸ch ng¾n nhÊt nµy sau thêi gian: §Ó kÕt qu¶ trªn cã nghÜa cÇn ph¶i ®¶m b¶o sao cho tíi thêi ®iÓm ®ã hßn ®¸ thø nhÊt ph¶i ch­a r¬i xuèng ®Êt, tøc lµ ph¶i tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: l d a H×nh 3 Cã thÓ b¹n sÏ n¶y ra c©u hái: kho¶ng c¸ch ng¾n nhÊt gi÷a hai hßn ®¸ mµ ta t×m ®­îc trong H.Q.C. g¾n víi mét hßn ®¸ ®ang bay liÖu cã thÓ kh¸c víi kÕt qu¶ mµ ta t×m ®­îc trong H.Q.C. g¾n víi mÆt ®Êt kh«ng? Kh«ng, kh«ng thÓ nh­ vËy ®­îc. Kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm chuyÓn ®éng thuéc sè c¸c ®¹i l­îng gäi lµ bÊt biÕn, tøc lµ c¸c ®¹i l­îng mµ gi¸ trÞ cña chóng kh«ng thay ®æi khi ta chuyÓn tõ H.Q.C nµy sang H.Q.C kh¸c. Trong c¬ häc cæ ®iÓn, kho¶ng thêi gian gi÷a hai sù kiÖn, kÝch th­íc cña c¸c vËt , sù ®Þnh h­íng cña chóng trong kh«ng gian lµ nh÷ng vÝ dô vÒ c¸c ®¹i l­îng bÊt biÕn. g B©y giê chóng ta chuyÓn sang c¸c bµi to¸n ®éng lùc häc. ë ®©y ph¹m vi "cho phÐp" cña c¸c H.Q.C. bÞ thu hÑp l¹i ®¸ng kÓ. V× nh÷ng quy t¾c lµm viÖc víi c¸c H.Q.C. phi qu¸n tÝnh v­ît ra ngoµi khu«n khæ ch­¬ng tr×nh vËt lý ë tr­êng phæ th«ng, nªn chóng ta buéc ph¶i giíi h¹n chØ sö dông c¸c H.Q.C qu¸n tÝnh. Trong bÊt kú H.Q.C. nµo thuéc lo¹i nµy, ta ®Òu cã thÓ sö dông c¸c ®Þnh luËt Newton, c¸c ®Þnh luËt b¶o toµn n¨ng l­îng vµ ®éng l­îng nh­ b×nh th­êng. Bµi to¸n 3. Mét chiÕc xe nhá cã khèi l­îng M vµ chiÒu dµi l ®øng trªn mét mÆt ph¼ng n»m ngang tr¬n nh½n. Trªn xe cã hai ng­êi khèi l­îng lµ vµ ngåi ë hai ®Çu. Hái chiÕc xe sÏ dÞch chuyÓn mét ®o¹n b»ng bao nhiªu, nÕu nh­ hai ng­êi nµy ®æi chç cho nhau? Gi¶i: Mét mÆt chóng ta quan t©m tíi sù dÞch chuyÓn cña chiÕc xe ®èi víi mÆt ®Êt; mÆt kh¸c, chóng ta l¹i biÕt sù dÞch chuyÓn cuèi cïng cña hai ng­êi kh«ng ph¶i ®èi víi ®Êt mµ lµ ®èi víi xe. VËy th× lµm thÕ nµo ®©y? Ta sÏ xem r»ng chuyÓn ®éng cña tÊt c¶ c¸c vËt - hai ng­êi vµ xe- lµ ®Òu vµ chuyÓn sang H.Q.C. cã vËn tèc b»ng vËn tèc cña xe, ë mét thêi ®iÓm nµo ®ã. §èi víi H.Q.C. nµy vËn tèc ban ®Çu cña ba vËt ®Òu b»ng - §èi víi hÖ kÝn "xe + 2 ng­êi" ta cã thÓ viÕt ®Þnh luËt b¶o toµn ®éng l­îng: Nh©n hai vÕ ph­¬ng tr×nh nµy víi , ta sÏ t×m ®­îc mèi liªn hÖ gi÷a c¸c ®é dÞch chuyÓn t­¬ng øng: Râ rµng mèi liªn hÖ nh­ vËy còng ®óng ®èi víi ®é dÞch chuyÓn toµn phÇn sau toµn bé thêi gian chuyÓn ®éng. Chó ý r»ng vµ , ta ®­îc: Bµi to¸n trªn còng dÔ dµng gi¶i ®­îc trong H.Q.C. g¾n víi khèi t©m cña hÖ (xin dµnh cho b¹n nh­ mét bµi tËp). g Ta nhí l¹i r»ng to¹ ®é vµ vËn tèc cña khèi t©m ®­îc tÝnh theo c«ng thøc: Tõ ®¼ng thøc thø hai ta thÊy r»ng nÕu hÖ vËt lµ kÝn, th× vËn tèc khèi t©m sÏ lµ kh«ng ®æi (v× tö sè chÝnh lµ ®éng l­îng toµn phÇn cña hÖ, mµ ®èi víi hÖ kÝn ®éng l­îng ®­îc b¶o toµn). Bëi vËy, H.Q.C. g¾n víi khèi t©m cña mét hÖ kÝn lµ mét H.Q.C. qu¸n tÝnh. Còng dÔ dµng thÊy r»ng ®éng l­îng toµn phÇn cña hÖ vËt trong H.Q.C t©m qu¸n tÝnh b»ng kh«ng. Ta sÏ sö dông H.Q.C nµy ®Ó gi¶i bµi to¸n sau: Bµi to¸n 4. Trªn mét mÆt ph¼ng nh½n n»m ngang cã hai vËt chuyÓn ®éng nèi víi nhau b»ng mét sîi d©y kh«ng gi·n cã chiÒu dµi l. T¹i mét thêi ®iÓm nµo ®ã, vËt cã khèi l­îng ®øng yªn vµ vËt cã khèi l­îng cã vËn tèc v h­íng vu«ng gãc víi sîi d©y (h×nh 4a). T×m søc c¨ng cña d©y t¹i thêi ®iÓm ®ã. Gi¶i: Khèi t©m cña hÖ n»m trªn sîi d©y vµ c¸ch vËt thø nhÊt mét kho¶ng vµ chuyÓn ®éng ®èi víi mÆt ph¼ng n»m ngang víi vËn tèc: B©y giê ta chän H.Q.C. trong ®ã khèi t©m cña hÖ lµ ®øng yªn. Trong H.Q.C. nµy hai vËt chuyÓn ®éng trßn ®Òu xung quanh khèi t©m ®øng yªn (h×nh 4b) vµ vËn tèc cña vËt thø nhÊt cã ®é lín ®óng b»ng V. · o · · · o m1 R1 m2 m2 m1 K.T. K.T. b) a) H×nh 4 Theo ®Þnh luËt II Newton, lùc c¨ng cña d©y t¸c dông lªn vËt thø nhÊt b»ng: Thay biÓu thøc cña R1 vµ V vµo, cuèi cïng ta t×m ®­îc: g Trong nhiÒu tr­êng hîp khi chuyÓn sang H.Q.C. g¾n liÒn víi khèi t©m, viÖc gi¶i bµi to¸n trë nªn ®¬n gi¶n ®i nhiÒu tíi møc ban ®Çu ng­êi ta th­êng chuyÓn tÊt c¶ c¸c d÷ liÖu cña bµi to¸n sang H.Q.C. nµy, sau khi nhËn ®­îc kÕt qu¶ l¹i chuyÓn vÒ H.Q.C. xuÊt ph¸t. §Ò thÊy râ ®iÒu ®ã ta h·y xÐt hai bµi to¸n sau vÒ va ch¹m ®µn håi tuyÖt ®èi cña hai qu¶ cÇu. Bµi to¸n 5. Hai qu¶ cÇu cã khèi l­îng vµ chuyÓn ®éng víi vËn tèc vµ tíi va ch¹m trùc diÖn víi nhau. Gi¶ sö r»ng va ch¹m lµ tuyÖt ®èi ®µn håi. X¸c ®Þnh vËn tèc cña hai qu¶ cÇu sau va ch¹m. Gi¶i: Nh­ ®· nãi ë trªn, trong H.Q.C g¾n víi khèi t©m cña hÖ, ®éng l­îng toµn phÇn cña hÖ b»ng kh«ng, c¶ tr­íc còng nh­ sau va ch¹m. DÔ dµng ®o¸n ra r»ng c¶ hai ®Þnh luËt b¶o toµn ®éng n¨ng vµ ®éng l­îng sÏ ®­îc tho¶ m·n nÕu ta chØ cÇn ®æi h­íng hai vËn tèc thµnh ng­îc l¹i. Ta h·y viÕt c¸c c«ng thøc t­¬ng øng: VËn tèc ban ®Çu cña hai qu¶ cÇu trong H.Q.C khèi t©m b»ng: T­¬ng tù: VËn tèc cuèi cïng cña hai qu¶ cÇu trong H.Q.C khèi t©m b»ng: Suy ra vËn tèc cuèi cïng cña hai qu¶ cÇu ®èi víi mÆt ®Êt lµ: T­¬ng tù: .g §Ó lµm vÝ dô cuèi cïng, chóng ta sÏ xÐt bµi to¸n vµ ch¹m ®µn håi kh«ng xuyªn t©m. Bµi to¸n 6. Qu¶ cÇu cã khèi l­îng bay víi vËn tèc tíi ®Ëp vµo qu¶ cÇu thø hai ®øng yªn cã khèi l­îng (<). Hái sau khi va ch¹m qu¶ cÇu thø nhÊt sÏ bÞ lÖch ph­¬ng chuyÓn ®éng mét gãc tèi ®a b»ng bao nhiªu? Coi c¸c qu¶ cÇu lµ nh½n vµ va ch¹m lµ tuyÖt ®èi ®µn håi. Gi¶i: Trong H.Q.C g¾n víi khèi t©m cña hÖ, hai qu¶ cÇu tiÕn l¹i gÇn nhau víi vËn tèc: §ång thêi, . Do kÕt qu¶ cña va ch¹m kh«ng xuyªn t©m, vËn tèc c¸c qña cÇu vÉn gi÷ nguyªn ®é lín nh­ cò vµ vÉn h­íng ng­îc nhau: o o o m2 o m1 a H×nh 5 H×nh 6 Tuy nhiªn, vect¬ vËn tèc cuèi cña qu¶ cÇu thø nhÊt quay mét gãc ®èi víi vect¬ vËn tèc ban ®Çu cña nã. Tuú thuéc vµo vÞ trÝ t­¬ng ®èi cña hai qu¶ cÇu ë thêi ®iÓm va ch¹m mµ mµ gãc nµy cã thÓ thay ®æi tõ 0 (hai qu¶ cÇu chØ h¬i tiÕp xóc víi nhau) ®Õn 180 ®é ( va ch¹m trùc diÖn). C¸c vÞ trÝ kh¶ dÜ cña ngän vect¬ n»m trªn vßng trßn b¸n kÝnh (h×nh 60) . VËn tèc cuèi cïng cña qu¶ cÇu thø nhÊt ®èi víi mÆt ®Êt b»ng: . Gãc t¹o bëi c¸c vÐct¬ vµ ®¹t cùc ®¹i khi vect¬ lµ tiÕp tuyÕn víi vßng trßn. Tõ ®©y ta tÝnh ®­îc gãc cÇn t×m: hay . g Bµi tËp 1) T¹i thêi ®iÓm mét vËt b¾t ®Çu r¬i tù do, ng­êi ta nÐm mét hßn ®¸ nh»m vµo vËt. Hái vËn tèc ban ®Çu cña hßn ®¸ ( kÓ c¶ ®é lín vµ gãc nghiªng cña nã so víi ph­¬ng n»m ngang) ph¶i b»ng bao nhiªu, nÕu nh­ tr­íc khi r¬i vËt ë ®é cao h vµ c¸ch ng­êi nÐm trªn mÆt ®Êt mét kho¶ng lµ l? 2) Mét vËt nhá treo trªn sîi d©y dµi l. Hái ®iÓm treo d©y ph¶i dÞch chuyÓn nh­ thÕ nµo theo ph­¬ng n»m ngang ®Ó vËt nÆng quay ®­îc mét vßng trän vÑn? 3) Mét bøc t­êng nh½n, ®µn håi chuyÓn ®éng víi vËn tèc v. Mét qu¶ cÇu ®µn håi bay tíi theo ph­¬ng vu«ng gãc bøc t­êng víi vËn tèc V. T×m vËn tèc cña qu¶ cÇu sau khi va ch¹m víi bøc t­êng. 4) D­íi t¸c dông cña lùc hÊp dÉn, hai ng«i sao chuyÓn ®éng theo c¸c qòy ®¹o trßn, nh­ng t¹i mäi thêi ®iÓm chóng c¸ch nhau mét kho¶ng l kh«ng ®æi. T×m chu kú quay cña sao ®«i nµy, nÕu khèi l­îng cña nã b»ng M. Ph¹m Nam Long (S­u tÇm vµ giíi thiÖu) CÁC PHÂN TỬ PHI TUYẾN TRONG MẠCH ĐIỆN Nguyễn Xuân Quang Những khó khăn lớn nhất đối với các thí sinh trong các kỳ thi học sinh giỏi là những bài tập về điện trong đó có mặt các phần tử phi tuyến. Đó là các phần tử có đường đặc trưng vôn - ampe, tức đồ thị mô tả sự phụ thuộc của điện áp U hai đầu phần tử đó vào cường độ dòng điện I đi qua nó - không phải là đường thẳng đi qua gốc toạ độ. Một ví dụ điển hình về phần tử phi tuyến và cũng là phần tử thường gặp nhất trong các bài tập là một điôt lý tưởng. Khi người ta đặt một điện áp ngược với bất kỳ độ lớn bằng bao nhiêu lên phần tử này thì không có dòng điện đi qua điôt và ta nói điôt bị đóng. Trong trường hợp đó điện trở của điôt bằng vô cùng – tình huống này tương đương với sự ngắt mạch. Trong trường hợp điện áp đặt vào là thuận, điện trở của điôt bằng không và nó không có ảnh hưởng gì đến dòng điện đi qua nó. Một loại phần tử phi tuyến khác là những điện trở phụ thuộc vào cường độ dòng điện đi qua nó. Ví dụ, dây tóc của các bóng đèn điện: theo sự tăng của cường độ dòng điện qua dây này mà nhiệt độ và do đó cả điện trở của nó cũng tăng lên. Một phần tử phi tuyến nữa là những dụng cụ trong đó xảy ra sự phóng điện, ví dụ các đèn chứa đầy khí, các đèn tiratron và các linh kiện vô tuyến khác. Ngoài ra, phần tử phi tuyến có thể là: cuộn dây có lõi sắt (do hiện tượng từ trễ), tụ điện có xecnhec (hiệu ứng áp điện), v.v. Để giải các bài toán có phần tử phi tuyến người ta thường dùng các phương pháp sau: phương pháp đồ thị, phương pháp số, phương pháp biểu diễn gần đúng bằng hàm giải tích. Dưới đây chúng ta sẽ xét một số mạch điện cụ thể có chứa các phần tử phi tuyến. Ví dụ 1. Trên hình 1 là đường đặc trưng vôn-ampe của một phần tử phi tuyến nào đó. Trước điện áp U0 = 100V, không có dòng điện đi qua phần tử này, nhưng sau đó cường độ dòng điện tăng tuyến tính theo hiệu điện thế (h.đ.t.). Khi mắc phần tử này vào một nguồn điện có suất điện động không đổi và điện trở trong r = 25W thì cường độ dóng điện đi qua nó là I1 = 2mA, nhưng khi mắc nó với cùng nguồn điện đó nhưng qua một tải có điện trở R = r thì dòng qua nó là I2 = 1mA. Hãy xác định suất điện động của nguồn điện. I, mA 0 U,V Uo Giải: Dựa vào đường đặc trưng vôn-ampe ta thấy dòng điện I chạy qua phần tử phi tuyến này phụ thuộc vào h.đ.t. U giữa hai đầu phần tử: khi 0 U0 thì I = a(U – U0) với a = DI/DU = const. Khi mắc phân tử phi tuyến trên vào nguồn điện có s.đ.đ. E và điện trở trong r, cường độ dòng điện trong mạch là I1, ta có: (1) Khi mắc phần tử này vào nguồn điện nhưng qua một tải có điện trở R = r thì dòng điện trong mạch là I2, ta có: (2) Từ (1) và (2) suy ra: Thay số ta được: E = 150V. Ví dụ 2. Cho một mạch điện như hình 2, X là một phần tử phi tuyến mà cường độ dòng điện đi qua nó phụ thuộc h.đ.t. hai đầu phần tử theo công thức: với a = 0,25A/V3. Hãy tính công suất toả ra trên X, khi dòng qua điện kế G bằng không. Biết rằng R1= 2W, R2=4W và R3=1W. Giải: Gọi U là h.đ.t. hai đầu mạch điện, U2 là h.đ.t. hai đầu điện trở R2, ta có: Khi điện kế G chỉ số 0 thì h.đ.t. giữa hai đầu phần tử phi tuyến X bằng h.đ.t. hai đầu R2: UX = U2. Ta cũng có : U1=U3 = Cường độ dòng điện chạy qua X là : Theo bài ra : nên ta có : Từ đó rút ra : (1) Công suất toả ra trên X là : (2) Từ (1) và (2) ta được: Thay số ta được PX = 1W. Vi dụ 3. Trong mạch điện trên hình 3, tụ điện có điện dung C = 100mF được tích điện đến U0 = 5V và được nối điện trở R = 100W qua điôt D . Đường đặc trưng vôn-ampe của điôt như hình vẽ. Ở thời điểm ban đầu, khoá K mở. Sau đó đóng K. Xác định cường độ dòng điện trong mạch ngay sau khi đóng K. Tính h.đ.t trên tụ điện khi dòng điện trong mạch bằng 10mA. Tính lượng nhiệt toả ra trên điôt sau khi đóng khoá K. Giải: Ngay sau khi đóng khoá, h.đ.t. trên tụ vẫn còn chưa thay đổi cả về độ lớn và dấu. Giả thiết rằng dòng điện ban đầu I0 trong mạch lớn hơn 10mA. Định luật Ôm đối với mạch kín tại thời điểm đó có dạng: trong đó Ud là h.đ.t. hai đầu điôt (Ud = 1V). Thay số vào ta được: Vì giá trị nhận được của dòng điện lớn hơn 10mA, nên giả thiết của chúng ta là đúng. Sau khi đóng khoá, tụ điện sẽ phóng điện, còn dòng điện trong mạch sẽ giảm. Khi dòng giảm tới giá trị I1 = 10mA, áp dụng định luật Ôm ta tìm được h.đ.t. UC giữa hai bản tụ: Từ thời điểm đóng khoá cho tới khi tụ phóng hết điện, điôt sẽ p73 hai chế độ: khi dòng điện trong mạch biến thiên từ I0 = 40mA đến I1 = 10mA và khi dòng điện giảm từ I1 = 10mA đến 0. Trong chế độ thứ nhất, h.đ.t. trên điôt không đổi và bằng Ud = 1V, còn đ.đ.t trên tụ giảm từ U0 = 5V đến UC = 2V. Trong thời gian đó, điện lượng chạy qua điôt là: và nhiệt lượng toả ra trên điôt là: Trong chế độ thứ hai, điôt hoạt động như một điện trở Rd = Ud/I1 = 100W. Sau khi kết thúc chế độ thứ nhất, h.đ.t. trên tụ bằng UC = 2V và năng lượng còn lại của điện trường trong tụ là: Vì điện trở Rd của điôt bằng điện trở R, nên năng lượng toả ra trên điôt và trên R là như nhau. Do đó, nhiệt lượng toả ra trên điôt ở chế độ thứ hai bằng: Vậy nhiệt lượng toả ra trên sau khi đóng khoá bằng: Ví dụ 4. Cho mạch điện như hình vẽ, các đại lượng trên hình đã biết. Đ là điôt lý tưởng. Khoá K đóng trong thời gian t rồi ngắt. Ở thời điểm khoá K ngắt, dòng điện trong cuộn cảm là I0. Sau bao lâu kể từ khi ngắt khoá K, dòng điện trong cuộn cảm đạt giá trị cực đại, biết giá trị đó bằng 2I0. Vẽ đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của cường độ dòng điện qua cuộn cảm vào thời gian (lấy t = 0 lúc ngắt khoá K). Giải: a)Trong thời gian t, dòng qua cuộn cảm tăng tuyến tính theo thời gian, nên ta có E = LI0/t (1). Lúc t = 0, dòng điện trong cuộn cảm bằng I0, điện tích của tụ điện q0 = EC, hiệu điện thế U giữa A và B dương, nên điôt Đ đóng, trong mạch bắt đầu xảy ra dao động. Khi dòng điện trong cuộn cảm cực đại, thì điện tích của tụ điện bằng 0. Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng, ta có: Suy ra: (2) Từ (1) và (2), ta được: (3) Mặt khác, trong đó iL là dòng điện đi qua cuộn cảm. Từ phương trình trên suy ra: Như đã biết, phương trình này có nghiệm là: q = Q0sin(wt +j) với và iL = -q’ = - Q0wcos(wt +j) với wQ0 = 2I0. Khi t = 0, q = EC = Q0sinj = 2I0(sinj)/w iL = I0 = -2I0cosj Suy ra: j = 2p/3. Do đó biểu thức của dòng điện qua cuộn cảm là: iL = - Q0wcos(wt +2p/3) = Q0wcos(wt - p/3). Như vậy, iL cực đại khi: cos(wt - p/3) = 1, suy ra: (4). Từ (3) và (4), ta được: . Vậy sau thời gian 1,814t, kể từ khi ngắt khoá K, thì dòng điện trong cuộn cảm đạt cực đại. b)+ Khi , thì iL = 2I0wcos(wt - p/3) + Khi , thì điện tích q của tụ bằng 0 và U = 0, điôt Đ bắt đầu mở. Kể từ thời điểm này dòng điện không đổi, chỉ đi qua cuộn cảm và điôt Đ. Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của iL vào t, xin dành cho bạn đọc tự vẽ. Bài tập Cho mạch điện như trong Ví dụ 2, nhưng bây giờ sự phụ thuộc của cường độ dòng điện IX vào hiệu điện thế UX có dạng và các điện trở R1 = R3 = 2W, R2 = 4W. Với giá trị nào của hằng số a, công suất toả ra trên X bằng PX = 1W trong trường hợp cầu cân bằng (tức điện kế chỉ số 0). ĐS: Cho mạch điện như hình vẽ, khoá K đóng trong thời gian t, rồi sau đó ngắt. Tại thời điểm ngắt K cường độ đòng điện qua cuộn dây là I0. Hỏi qua thời gian bao lâu sau khi ngắt K cường độ dòng điện qua cuộn dây đạt giá trị cực đại bằng 2I0? Dựng đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của cường độ dòng điện trong cuộn dây theo thời gian, bắt đầu từ thời điểm đóng khoá K. Bỏ qua điện trở thuần trong mạch điện đã cho. ĐS: * * Bạn đọc tự vẽ đồ thị g CHUYÊN ĐỀ/TRAO ĐỔI MẠCH DAO ĐỘNG Trong bài báo này chúng tôi đề cập tới một số bài toán khá thú vị trong đó phần tử cơ bản là một mạch dao động (MDĐ) nhằm đào sâu và nâng cao kiến thức đã được cung cấp trong sách giáo khoa vật lý lớp 12. Như đã biết mạch dao động thường gồm một cuộn cảm, một tụ điện và đôi khi có cả điện trở thuần mắc nối tiếp với nhau. Bài toán cơ bản đối với MDĐ là xác định sự phụ thuộc thời gian của dòng điện trong mạch hoặc hiệu điện thế trên các phần tử của nó với các điều kiện ban đầu cho trước. Các quá trình diễn ra trong MDĐ, như đã biết, được mô tả bởi một phương trình vi phân tuyến tính cấp hai (giống như phương trình vi phân mô tả dao động điều hoà) với nghiệm tổng quát chứa hai hằng số chưa biết. Hai hằng số này sẽ được xác định từ các điều kiện ban đầu. Điều này giải thích tại sao để tìm nghiệm ta cần phải biết cường độ dòng điện ban đầu và hiệu điện thế ban đầu, ví dụ như trên hai bản tụ điện, chẳng hạn. Tuy nhiên, trong các bài toán về MDĐ người ta thường không yêu cầu tìm nghiệm tổng quát, mà yêu cầu tìm một tham số cụ thể nào đó, chẳng hạn như giá trị cực đại của cường độ dòng điện hay hiệu điện thế cực đại hai đầu tụ điện. Để giải những bài tập loại này, người ta thường dùng định luật bảo toàn năng lượng và những suy luận vật lý chung. Chẳng hạn, khi dòng điện trong MDĐ cực đại, suất điện động (s.đ.đ) cảm ứng trong cuộn dây bằng không và nếu điện trở thuần của mạch bằng không thì h.đ.t. trên tụ điện cũng bằng không. Hoặc nếu h.đ.t. trên tụ đạt cực đại thì dòng điện trong mạch bằng không. Bây giờ chúng ta sẽ xét từng bài toán cụ thể. Để việc trình bày được hệ thống chúng ta sẽ bắt đầu từ một bài toán đơn giản đã được xét trong sách giáo khoa. Ví dụ 1. Trong mạch dao động LC (H.1), ở thời điểm ban đầu khoá K mở và tụ C được nạp điện đến h.đ.t U0. Tìm sự phụ thuộc của h.đ.t trên tụ và cường độ dòng điện trong mạch vào thời gian sau khi đóng khoá K. Hình 1 Ngay sau khi đóng khoá K, h.đ.t trên tụ u(0) = U0, còn cường độ dòng điện trong mạch i(0) = 0. Giả sử tại một thời điểm tùy ý sau khi K đóng, dòng điện chạy trong mạch đi ra từ bản tích điện dương của tụ điện. Theo định luật Ohm (Ôm) ta có : Vì , ta có: Đây chính là phương trình vi phân quen thuộc mô tả dao động điều hoà mà chúng ta đã biết. Nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng: trong đó - tần số dao động riêng của MDĐ, A và B la hai hằng số được tìm từ điều kiện ban đầu. Đặt điều kiện ban đấu thứ nhất u(0) = U0 vào nghiệm ở trên, ta tìm được A = U0. Còn từ điều kiện thứ hai i(0) = - Cu' = 0, ta được B = 0. Kết quả ta được: và So sánh hai biểu thức trên ta thấy h.đ.t trên tụ và cường độ dòng điện trong mạch đều dao động điều hoà với cùng tần số góc, nhưng dao động của dòng điện sớm pha p/2 so với h.đ.t. Ví dụ 2. Tại thời điểm t = 0 người ta mắc một nguồn điện một chiều có s.đ.đ. E điện trở trong nhỏ không đáng kể vào mạch LC (H.2). Xác định sự phụ thuộc của h.đ.t. uC trên tụ vào thời gian. Hình 2 Xét tại một thời điểm tuỳ ý sau khi đóng khoá. Giả sử dòng điện chạy trong mạch đi ra từ cực dương của nguồn. Theo định luật Ohm: Mặt khác, i = q' = . Lấy đạo hàm hai vế ta được: i' = . Thay biểu thức của i' vào phương trình định luật Ôm ta được: trong đó - tần số dao động riêng của mạch. Phương trình vi phân này khác với phương trình ở ví dụ trước là có vế phải là hằng số khác không. Để giải phương trình này chỉ cần đổi biến : X = uC - E , Thay vào phương trình vi phân trên ta được: Nghiệm của phương trình này như đã biết: Để xác định A và B ta dùng điều kiện ban đầu: tại t = 0 uC = 0 hay X = -E, và i = = 0, thay vào nghiệm vừa tìm được ở trên, ta có: A = - E và B = 0. Kết quả ta được: X(t) = -E cosw0t hay uC(t) = E (1- cosw0t) Sự biến thiên theo thời gian của h.đ.t. trên tụ vẫn theo quy luật điều hoà nhưng khác với Ví dụ 1 ở chỗ không phải đối với mức 0 mà đối với mức uC = E (xem H.3). Hình 3 Ví dụ 3. Trong mạch dao động LC trên hình 4, khi khoá K ngắt, điện tích trên tụ thứ nhất có điện dung C1 bằng q0, còn tụ thứ hai có điện dung C2 không tích điện. Hỏi bao lâu sau khi khoá K đóng điện tích trên tụ C2 đạt giá trị cực đại? Bỏ qua điện trở thuần của mạch. Hình 5 Hình 4 Ta xét tại một thời điểm tùy ý sau khi khoá K đóng. Giả sử tại thời điểm đó, điện tích trên tụ thứ nhất là q1, còn trên tụ thứ hai là q2 và trong mạch có dòng điện i (H. 5). Vì ta chỉ quan tâm tới giá trị q2max , nên ta sẽ tìm biểu thức q2(t). Theo định luật Ohm ta có: Vì và q1 + q2 = q0, nên phương trình trên ta có thể đưa về phương trình của q2: Giống như ví dụ 2, ta đưa vào biến mới: ta lại nhận được phương trình mô tả dao động điều hoà: trong đó - là tần số dao động riêng