Tìm hiểu phương pháp triệt nhiễu bằng wavelets

CHÖÔNG 4: TÌM HIEÅU PHÖÔNG PHAÙP TRIEÄT NHIEÃU BAÈNG WAVELETS I. CÔ SÔÛ TOAÙN HOÏC CHO VIEÄC PHAÂN TÍCH TÍN HIEÄU 1. Theá naøo laø phaân tích Fourier Töø tröôùc ñeán nay coù nhieàu phöông phaùp ñeå phaân tích tín hieäu. Ñöôïc bieát ñeán nhieàu nhaát laø phaân tích Fourier. Treân cô sôû chia moät tín hieäu thaønh toång cuûa caùc haøm sin vôùi taàn soá khaùc nhau. Noùi caùch khaùc, phaân tích Fourier laø kyõ thuaät bieán ñoåi tín hieäu töø mieàn thôøi gian sang mieàn taàn soá. Vôùi nhieàu tín hieäu, phaân tích Fourier raát coù ích vì noäi dung taàn soá cuûa tín hieäu laø raát quan troïng. Vaäy taïi sao coøn caàn caùc kyõ thuaät khaùc, nhö laø bieán ñoåi Wavelets ? Hình 4.1. Bieán ñoåi Fourier Nhö chuùng ta ñaõ bieát, phaân tích Fourier coù vaøi nhöôïc ñieåm lôùn. Khi bieán ñoåi sang mieàn taàn soá, thoâng tin thôøi gian ñaõ bò maát. Khi nhìn vaøo moät bieán ñoåi Fourier cuûa tín hieäu, khoâng theå naøo bieát ñöôïc thôøi gian dieãn ra söï kieän. Neáu moät thuoäc tính tín hieäu khoâng thay ñoåi nhieàu theo thôøi gian, noù ñöôïc goïi laø tín hieäu döøng (Stationary) thì caùc nhöôïc ñieåm treân khoâng coù aûnh höôûng quan troïng. Tuy nhieân, nhieàu tín hieäu coù chöùa caùc thoâng soá ñoäng: troâi, nghieâng, bieán ñoåi ñoät ngoät, khôûi ñaàu vaø keát thuùc cuûa caùc söï kieän. Nhöõng ñaëc tính naøy thöôøng laø phaàn quan troïng nhaát cuûa tín hieäu, vaø phaân tích Fourier khoâng thích hôïp ñeå phaùt hieän chuùng. 2. Bieán ñoåi Fourier Caëp bieán ñoåi Fourier Cho moät haøm f(t) khaû tích tuyeät ñoái, bieán ñoåi Fourier cuûa noù ñöôïc ñònh nghóa: F() = (4.1) Noù ñöôïc goïi laø coâng thöùc phaân tích Fourier. Bieán ñoåi Fourier ngöôïc laø: f(t) = (4.2) Giaû söû raèng bieán ñoåi Fourier vaø Fourier ngöôïc cuûa noù toàn taïi ta kyù hieäu: f(t) = F() (4.3) Laø moät caëp bieán ñoåi Fourier. Caùc tính chaát cuûa bieán ñoåi Fourier Tuyeán tính: Cho f(t) vaø g(t) coù bieán ñoåi Fourier laø F() vaø G() vaø C hoaëc R thì: (4.4) Ñoái xöùng: Neáu F( laø bieán ñoåi Fourier cuûa f(t) thì: F( (4.5) Dòch: Neáu trong mieàn thôøi gian neáu f(t) bò dòch moät ñoaïn laø t0 thì trong mieàn taàn soá bieán ñoåi Fourier cuûa noù ñöôïc nhaân vôùi moät heä soá pha: f(t – t0) (4.6) Ngöôïc laïi, neáu trong mieàn taàn soá seõ nhaân moät heä soá pha trong mieàn thôøi gian: e (4.7) Tyû leä: Moät tæ leä trong mieàn thôøi gian seõ sinh ra moät tæ leä trong mieàn taàn soá: f(at) (4.8) Moment: Goïi mn laø moment thöù n cuûa F(t): mn = , n = 1, 2 … (4.9) Tích chaäp : Tích chaäp cuûa hai haøm F(t) vaø g(t) ñöôïc ñònh nghóa: h(t) = (4.10) Kyù hieäu h(t) = F(t)*g(t) = g(t)*F(t) Goïi F( vaø G( laø bieán ñoåi Fourier cuûa F(t) vaø g(t) thì F(t)*g(t) (4.11) Söû duïng tính chaát ñoái ngaãu ta coù: f(t)g(t) (4.12) Ñaây chính laø ñònh lyù ñieàu cheá cuûa bieán ñoåi Fourier. 3. Haøm Dirac vaø toång Poisson Haøm Dirac ñöôïc ñònh nghóa: (4.13) Hay 4. Quaù trình laáy maãu Quaù trình laáy maãu Quaù trình laáy maãu laø heát söùc quan troïng trong xöû lyù tín hieäu rôøi raïc thôøi gian. Goïi f(t) = f(t).S(t) = (4.14) Bieán ñoåi Fourier cuûa F(t) laø: F (4.15) F laø moät haøm tuaàn hoaøn vôùi chu kyø noù laø baûn sao cuûa F( taïi moãi nguyeân laàn cuûa . Laáy bieán ñoåi Fourier tröïc tieáp töø (4.15) ta coù: F (4.16) Ñònh lyù laáy maãu Neáu F(t) laø lieân tuïc vaø baêng thoâng höõu haïn ñeán thì noù coù theå ñöôïc ñònh nghóa duy nhaát bôûi maãu laáy taïi 2. Taàn soá laáy maãu nhoû nhaát ñeå coù theå khoâi phuïc laïi F(t) laø . Khi ñoù: f(t) = (4.17) Trong ñoù: Sin c (4.18) II.GIÔÙI THIEÄU VEÀ WAVELETS 1. Theá naøo laø phaân tích Wavelets ? Chuùng ta ñaõ bieát vaøi tröôøng hôïp phaân tích Wavelets trôû neân höõu ích. Vaäy caàn traû lôøi caâu hoûi ”Theá naøo laø phaân tích Wavelets” ? vaø hôn nöõa “Wavelets laø gì” ? Wavelets laø daïng soùng coù thôøi gian duy trì tôùi haïn vôùi giaù trò trung bình baèng 0. So saùnh Wavelets vôùi soùng sin (cô sôû cuûa phaân tích Fourier). Soùng sin khoâng coù thôøi khoaûng giôùi haïn noù keùo töø aâm voâ cuøng ñeán döông voâ cuøng. Vaø trong khi soùng sin laø trôn tru vaø coù theå döï ñoaùn, Wavelets laïi baát thöôøng vaø baát ñoái xöùng. Hình 4.2: Bieán ñoåi Wavelets Phaân tích Fourier chia taùch tín hieäu thaønh soùng sin vôùi caùc taàn soá khaùc nhau. Töông töï phaân tích Wavelets chia taùch tín hieäu thaønh caùc phieân baûn dòch vò vaø tæ leä cuûa Wavelets cô baûn (meï). Haõy nhìn vaøo hình caùc soùng sin vaø Wavelets, coù theå thaáy raèng caùc tín hieäu vôùi thay ñoåi nhanh coù theå phaân tích toát vôùi moät Wavelets baát oån ñònh hôn laø vôùi moät soùng sin trôn. Caùc ñaëc tính cuïc boä seõ ñöôïc mieâu taû toát hôn vôùi caùc Wavelets voán coù tính cuïc boä. Söï phaùt trieån cuûa Wavelets Tröôùc naêm 1930, lyù thuyeát phaân tích tín hieäu ñöôïc baét ñaàu vôùi lyù thuyeát phaân tích taàn soá cuûa Fourier (1807) maø chuùng ta thöôøng goïi laø phaân tích Fourier. OÂâng phaùt bieåu raèng moïi haøm f(x) tuaàn hoaøn chu kyø 2ñeàu coù theå ñöôïc bieåu dieãn baèng toång a (4.19) Caùc heä soá a0, ak, vaø bk ñöôïc tính theo caùc tích phaân: a , a , b Toång treân ñöôïc goïi laø chuoãi Fourier. Sau naêm 1807 qua quaù trình nghieân cöùu baûn chaát cuûa caùc haøm, söï hoäi tuï cuûa chuoãi Fourier, vaø caùc heä tröïc giao. Caùc nhaø toaùn hoïc daàn daàn chuyeån yù töôûng phaân tích taàn soá sang phaân tích tæ leä. Coù nghóa laø phaân tích f(x) baèng caùch taïo caùc caáu truùc toaùn hoïc thay ñoåi theo tæ leä. Laøm nhö theá naøo? Taïo moät haøm, dòch haøm ñoù moät löôïng naøo ñoù vaø thay ñoåi tæ leä cuûa noù. Caáu truùc naøy ñöôïc aùp duïng trong xaáp xæ tín hieäu. Laáy caáu truùc cô sôû, dòch noù vaø thay ñoåi tæ leä noù moät laàn nöõa. AÙp duïng cô sôû naøy cho tín hieäu treân ñeå coù moät xaáp xæ môùi v.v . Nhö vaäy, loaïi phaân tích tæ leä naøy ít nhaïy hôn ñoái vôùi nhieãu bôûi vì noù tính toaùn thay ñoåi trung bình cuûa tín hieäu ôû caùc tæ leä khaùc nhau. Trong nhöõng naêm 1930 nhieàu nhoùm khaùc nhau ñoäc laäp nghieân cöùu caùch bieåu dieãn caùc haøm duøng caùc haøm cô sôû coù tæ leä thay ñoåi (Scale-Varying basic function). Caùc nhaø khoa hoïc thaáy raèng caùc haøm cô sôû Haar coù nhieàu öu ñieåm hôn so vôùi caùc haøm cô sôû Fourier. Naêm 1985, Stephene Mallat aùp duïng Wavelets trong xöû lyù soá tín hieäu. OÂâng ta phaùt hieän moät soá lieân heä giöõa caùc maïch loïc göông hai keânh (Quadrature mirror filter), caùc thuaät toaùn hình thaùp, vaø caùc cô sôû Wavelets tröïc giao. Maeyer Wavelets ñöôïc coâng boá. Ingrid Daubechies söû duïng keát quaû nghieân cöùu cuûa Maeyer ñeå xaây döïng caùc haøm cô sôû tröïc giao maø hieän nay ñang ñöôïc söû duïng nhieàu trong caùc öùng duïng Wavelets. 3. Giôùi thieäu veà Wavelets vaø heä thoáng khai trieån Wavelets. Bieán ñoåi vaø khai trieån Wavelets Moät tín hieäu hoaëc moät haøm f(t) coù theå ñöôïc phaân tích, moâ taû hoaëc xöû lyù neáu noù ñöôïc bieåu dieãn nhö laø moät phaân tích tuyeán tính bôûi: f(t) = (4.20) Trong ñoù: l laø moät soá nguyeân Al laø caùc heä soá khai trieån (coù giaù trò thöïc) laø taäp caùc giaù trò thöïc cuûa t, ñöôïc goïi laø taäp khai trieån. Neáu khai trieån (4.20) laø duy nhaát, thì ñoù goïi laø cô sôû. Neáu cô sôû naøy laø tröïc giao, coù nghóa laø: vôùi k l (4.21) Heä soá Wavelets laø gì ? Taäp khai trieån Wavelets laø khoâng duy nhaát. Coù raát nhieàu loaïi heä thoáng Wavelets khaùc nhau ñöôïc duøng raát hieäu quaû nhöng chuùng ñeàu coù 3 ñaëc tính sau: + Moät heä thoáng Wavelets laø moät taäp caùc khoái ñeå xaây döïng hoaëc bieåu dieãn moät tín hieäu hoaëc moät haøm. Noù laø moät taäp khai trieån 2 chieàu (thöôøng laø moät cô sôû) vôùi vaøi lôùp cuûa tín hieäu moät chieàu (hoaëc cao hôn). Noùi caùch khaùc, neáu moät taäp Wavelets ñöôïc cho bôûi vôùi caùc chæ soá j, k = 1, 2 …, moät khai trieån tuyeán tính laø : f(t) = vôùi caùc taäp heä soá a. + Khai trieån Wavelets cho bieát thoâng tin veà vò trí thôøi gian - taàn soá cuûa tín hieäu. Ñieàu naøy coù nghóa raèng haàu heát naêng löôïng cuûa tín hieäu ñöôïc bieåu dieãn roõ raøng bôûi moät vaøi heä soá khai trieån a. + Vieäc tính toaùn caùc heä soá khai trieån coù theå thöïc hieän moät caùch hieäu quaû. Nhieàu pheùp bieán ñoåi Wavelets coù theå tính vôùi O(N) coâng vieäc. Ñieàu naøy coù nghóa raèng soá pheùp nhaân vaø pheùp coäng taêng tuyeán tính vôùi chieàu daøi cuûa tín hieäu. Caùc ñaëc tính boå sung cuûa heä thoáng Wavelets Coù 3 ñaëc tính boå sung cuûa heä thoáng Wavelets: + Haàu heát caùc heä thoáng Wavelets thuoäc theá heä thöù nhaát ñöôïc ñöa ra töø moät haøm tæ leä hoaëc Wavelets ñôn baèng moät tæ leä hoaëc moät pheùp dòch ñôn giaûn. Ñaëc tính hai chieàu naøy ñaït ñöôïc töø haøm Wavelets (ñoâi luùc goïi laø Wavelets meï) baèng caùch: j, k (4.22) + Heä soá 2 duy trì moät söï ñoäc laäp chuaån haèng soá cuûa thang j , k bieåu dieãn vò trí veà thôøi gian hoaëc khoâng gian vaø j bieåu dieãn vò trí veà taàn soá hoaëc tæ leä. + Taát caû caùc heä thoáng Wavelets höõu duïng ñeàu thoaû maõn ñieàu kieän ña phaân giaûi. Coù nghóa laø neáu moät taäp caùc tín hieäu coù theå ñöôïc bieåu dieãn bôûi toång caùc haøm thì moät taäp hôïp lôùn hôn (bao goàm caû tín hieäu goác) coù theå ñöôïc bieåu dieãn bôûi toång cuûa caùc haøm . Caùc heä soá coù ñoä phaân giaûi thaáp coù theå ñöôïc tính töø caùc heä soá coù ñoä phaân giaûi cao baèng moät giaûi thuaät caáu truùc caây goïi laø daûi loïc. Ñieàu naøy cho pheùp vieäc tính toaùn raát hieäu quaû caùc heä soá khai trieån (ñöôïc goïi laø bieán ñoåi Wavelets rôøi raïc) vaø quan heä giöõa bieán ñoåi Wavelets vôùi caùc phaàn tröôùc ñoù trong xöû lyù tín hieäu soá. Phaân tích Wavelets phuø hôïp vôùi caû tín hieäu quaù ñoä. Phaân tích Fourier thích hôïp cho tín hieäu tuaàn hoaøn hoaëc caùc tín hieäu maø ñaëc tính cuûa noù khoâng ñoåi theo thôøi gian. Vôùi phaân tích Wavelets, noù cho pheùp moät khai trieån Wavelets cuûa moät söï kieän quaù ñoä ñeå ñöôïc moâ hình baèng caùc heä soá. Ñaây laø moät theá maïnh trong vieäc aùp duïng khai trieån Wavelets trong phaân tích tín hieäu. 4. Caùc coâng cuï cuûa moät heä thoáng Wavelets. Khoâng gian tín hieäu Moät khoâng gian haøm laø moät khoâng gian vector tuyeán tính (höõu höôùng hoaëc voâ höôùng) maø caùc vector laø caùc haøm, caùc voâ höôùng laø caùc soá thöïc (ñoâi luùc laø soá phöùc), pheùp nhaân voâ höôùng vaø pheùp coäng vector thì töông töï nhö trong (4.20). Tích trong cuûa hai vector f(t) vaø g(t) laø moät voâ höôùng, noù ñöôïc ñònh nghóa: a = (4.23) Vôùi phaïm vi cuûa tích phaân phuï thuoäc vaøo lôùp tín hieäu ñang khaûo saùt. Tích trong naøy ñònh nghóa moät chuaån hoaëc chieàu daøi cuûa vector vaø ñöôïc ñònh nghóa nhö sau : (4.24) Noù laø khaùi quaùt ñôn giaûn veà tính chaát hình hoïc ñöôïc ñònh nghóa trong khoâng gian Euclice ba chieàu. Hai tín hieäu (hoaëc vector) khaùc zero ñöôïc goïi laø tröïc giao neáu tích trong cuûa chuùng laø zero. Moät khoâng gian con ñaëc bieät quan troïng trong xöû lyù tín hieäu laø L(R). Ñaây laø khoâng gian cuûa taát caû caùc haøm f(t) ñöôïc ñònh nghóa tích phaân cuûa bình phöông Module cuûa haøm. “L” bieåu thò cho tích phaân Lebesque; “2” bieåu thò tích phaân bình phöông Module cuûa haøm, R cho bieát bieán T cuûa tích phaân laø bieán thöïc. Vôùi moät haøm g(t) laø moät phaàn töû cuûa khoâng gian ñoù seõ ñöôïc kyù hieäu laø g hoaëc moät caùch ñôn giaûn: g. Cho moät khoâng gian vector tín hieäu S, neáu f(t)S coù theå ñöôïc bieåu dieãn f(t) = , thì caùc haøm laø moät taäp khai trieån cuûa khoâng gian S. Neáu bieåu dieãn laø duy nhaát, thì taäp haøm goïi laø cô sôû. Ngöôïc laïi, moät khoâng gian vector tín hieäu coù theå baét ñaàu vôùi taäp khai trieån hoaëc cô sôû vaø ñònh nghóa khoâng gian S nhö laø moät taäp cuûa taát caû caùc haøm maø coù theå bieåu dieãn: f(t) = . Ñaây ñöôïc goïi laø taäp sinh cuûa cô sôû. Haøm tyû leä Ñeå duøng ñöôïc yù töôûng veà ña phaân giaûi, chuùng ta seõ baét ñaàu baèng caùch ñònh nghóa haøm tæ leä vaø sau ñoù ñònh nghóa Wavelets. Taäp caùc haøm tæ leä laø haøm tæ leä cô sôû ñöôïc dòch ñi moät soá nguyeân laàn: (4.25) Töø haøm tæ leä cô sôû chuùng ta thay ñoåi tæ leä vaø duøng pheùp dòch seõ cho ra moät haøm hai chieàu: (4.26) Vôùi k Z. Nhö vaäy, vôùi f(t) , thì noù coù theå ñöôïc bieåu dieãn: f(t) = (4.27) Vôùi j >0, thì taäp sinh coù theå laø lôùn hôn khi laø heïp hôn vaø ñöôïc dòch ôû caùc böôùc nhoû hôn. Vì vaäy coù theå bieåu dieãn chi tieát hôn. Ngöôïc laïi, ôû j<0, laø roäng hôn vaø ñöôïc dòch ôû caùc böôùc lôùn hôn. Phaân tích ña phaân giaûi. Chuùng ta dieãn taû yeâu caàu cô baûn cuûa phaân tích ña phaân giaûi baèng caùch thieát laäp haøng loaït caùc khoâng gian con: … Hoaëc V , vôùi j Vaø V, V Khoâng gian chöùa caùc tín hieäu coù ñoä phaân giaûi cao seõ chöùa caùc tín hieäu coù ñoä phaân giaûi thaáp. Bôûi vì vieäc ñònh nghóa cuûa Vj caùc khoâng gian naøy thoaû maõn ñieàu kieän tæ leä: f(t) (4.28) Ñieàu naøy baûo ñaûm caùc thaønh phaàn trong moät khoâng gian naøy laø moät phieân baûn tæ leä cuûa caùc thaønh phaàn trong moät khoâng gian keá tieáp. Moät taäp sinh cuûa ñöôïc kyù hieäu laø Vj nhö trong (4.28), thì coù nghóa laø vaø , khoâng gian naøy ñöôïc sinh bôûi haøm . Nhö vaäy coù theå ñöôïc bieåu dieãn qua haøm : , n (4.29) h(n) laø chuoãi soá haøm tiû leä coù giaù trò thöïc hoaëc phöùc toàn taïi chuaån cuûa haøm tiû leä. Haøm Wavelets Caùc ñaëc tính quan troïng cuûa tín hieäu laø coù theå moâ taû hoaëc soá hoaù. Trong ñoù khoâng duøng vaø vieäc taêng j ñeå taêng kích thöôùc cuûa caùc khoâng gian sinh con bôûi haøm tæ leä, thay vaøo ñoù ta ñònh nghóa moät taäp khaùc . Noù ñöôïc goïi laø haøm Wavelets. Coù nhieàu thuaän lôïi ñeå thieát laäp caùc haøm tæ leä vaø Wavelets tröïc giao. Caùc haøm cô baûn tröïc giao cho pheùp vieäc tính toaùn heä soá moät caùch ñôn giaûn. Buø tröïc giao cuûa Vj trong Vj+1 ñöôïc ñònh nghóa laø Wj. Luùc ñoù taát caû caùc thaønh phaàn cuûa Vj thì tröïc giao vôùi caùc thaønh phaàn cuûa Wj, chuùng ta coù: (4.30) Vôùi j, k, l Haøm Wavelets coù theå ñöôïc ñònh nghóa töø haøm Wavelets : , n (4.31) Vôùi h1(n) laø heä soá Wavelets, h1(n) coù theå ñöôïc tính töø heä soá h(n) nhö sau: h (4.32) Töø haøm Wavelets meï, ta coù moät lôùp caùc haøm Wavelets khai trieån ôû daïng: (4.33) Trong ñoù 2j laø tiû leä cuûa t ( j coù tæ leä laø log2), vaø 2 toàn taïi chuaån L2 cuûa Wavelets taïi caùc tæ leä khaùc nhau. Moät haøm g(t) coù theå ñöôïc xaây döïng thoâng qua caùc haøm vaø theo bieåu thöùc sau: g(t) = (4.34) Trong khai trieån (3.34) toång ñaàu tieân bieåu dieãn moät ñoä phaân giaûi thaáp hay thoâng tin cuûa g(t). Vôùi vieäc taêng j ôû toång thöù hai, moät haøm coù ñoä phaân giaûi cao ñöôïc coäng vaøo vaø vì vaäy möùc ñoä chi tieát taêng leân. Caùc heä soá c(k) vaø d(j,k) trong (4.34) ñöôïc tính nhö sau: c(k) = c (4.35) vaø d (4.36) Bieán ñoåi Wavelets rôøi raïc. Theo (4.34) tín hieäu g(t) ñöôïc bieåu dieãn baèng haøm tæ leä vaø Wavelets: g(t) = (4.37) Trong ñoù: vaø (4.38) Trong ñoù j ñöôïc choïn moät caùch tuyø yù. Vieäc choïn j thieát laäp moät tæ leä thoâ nhaát maø khoâng gian cuûa noù ñöôïc sinh bôûi . Phaàn coøn laïi cuûa Lñöôïc sinh bôûi Wavelets, noù chöùa caùc chi tieát phaân giaûi cao hôn cuûa tín hieäu. Caùc heä soá trong khai trieån Wavelets ñöôïc goïi laø bieán ñoåi Wavelets rôøi raïc (DWT) cuûa tín hieäu g(t). Neáu heä thoáng Wavelets laø tröïc giao, caùc heä soá naøy ñöôïc tính bôûi tích trong: c (4.39) d (4.40) 6. Daõi loïc. Quaù trình loïc vaø laáy maãu giaûm Theo nguyeân taéc cuûa xöû lyù tín hieäu soá, vieäc loïc moät chuoãi soá ñaàu vaøo baèng caùch chaäp noù vôùi moät chuoãi khaùc (laø heä soá loïc hay ñaùp öùng xung). Vôùi moät chuoãi ñaàu vaøo x(n) vaø heä soá loïc laø h(n), thì chuoãi ñaàu ra laø: y(n) = (4.41) Neáu heä soá loïc N laø höõu haïn, thì boä loïc ñöôïc goïi laø boä loïc ñaùp öùng xung höõu haïn (FIR - Finite Impulse Response). Coøn neáu N laø voâ haïn thì boä loïc ñöôïc goïi laø boä loïc ñaùp öùng xung khoâng giôùi haïn (IIP –Infinite Impulse Response). Vaán ñeà thieát keá laø choïn h(n) ñeå ñöôïc caùc muïc ñích loaïi boû nhieãu hay caùch ly tín hieäu. Trong caùc boä loïc soá ña toác, coù söï giaû söû moái quan heä giöõa heä soá nguyeân cuûa tín hieäu vaø thôøi gian. Thöôøng thì chuoãi soá ñöôïc xem moät caùch ñôn giaûn laø maãu khoâng gian cuûa haøm thôøi gian. Hai maïch laøm vieäc cô baûn trong boä loïc ña toác laø boä laáy maãu giaûm (down –sampler ) vaø boä laáy maãu taêng (up –sampler ). Boä laáy maãu giaûm bieán moät tín hieäu x(n) ñaàu vaøo thaønh moät tín hieäu ñaàu ra y(n) = x(2n). Noù ñöôïc kyù hieäu: Hình 4.3 : Boä laáy maãu giaûm. ÔÛ quaù trình laáy maãu giaûm, roõ raøng moät nöûa thoâng tin ñaàu vaøo bò loaïi boû. Neáu tín hieäu nguyeân thuûy coù baêng thoâng giôùi haïn (moät nöûa heä soá Fourier laø zero) thì khoâng coù söï maát maùt thoâng tin do quaù trình laáy maãu giaûm. Quaù trình taùch, loïc, laáy maãu giaûm ñöôïc minh hoïa trong Hình 4.4 Hình 4.4 : Daõi phaân tích hai baêng tích hai baêng. ÔÛ ñaây h= h(n) laø heä soá haøm tæ leä. Trong Hình 4.4 daõy chia phoå cuûa cthaønh hai baêng: moät thoâng thaáp vaø moät thoâng cao, keát quaû ta ñöôïc heä soá tæ leä vaø Wavelets c vaø d. Ñaùp öùng taàn soá cuûa boä loïc soá laø bieán ñoåi Fourier rôøi raïc thôøi gian cuûa ñaùp öùng xung h(n) cuûa noù. Nhö vaäy H( laø ñaùp öùng taàn soá cuûa boä loïc thì: H( (4.42) Ñoä lôùn cuûa H(laø tæ soá giöõa ñaàu ra vaø ñaàu vaøo cuûa boä loïc vôùi moät chu kyø laáy taïi taàn soá naøo ñoù. Coøn goùc pha cuûa H( laø ñoä leäch pha cuûa ñaàu ra vaø ñaàu vaøo. Quaù trình loïc vaø laáy maãu taêng Vôùi vieäc toång hôïp ôû daõi loïc, ñaàu tieân baét ñaàu quaù trình laáy maãu taêng, sau ñoù quaù trình loïc. Ñieàu ñoù coù nghóa raèng, tín hieäu ñaàu vaøo cuûa boä loïc seõ ñöôïc cheøn theâm caùc zero vaøo giöõa. Hay: y(2n) = x(n) vaø y(2n +1) = 0 (4.43) Trong ñoù tín hieäu ñaàu vaøo ñöôïc traûi ra vôùi chieàu daøi gaáp ñoâi tín hieäu nguyeân thuûy, caùc zero ñöôïc cheøn vaøo. Roõ raøng quaù trình laáy maãu taêng khoâng laøm maát thoâng tin. Quaù trình laáy maãu taêng chuoãi tæ leä c, coù nghóa laø gaáp ñoâi chieàu daøi cuûa c baèng caùch cheøn theâm caùc zero, sau ñoù tích chaäp noù vôùi caùc heä soá tæ leä h(n). Quaù trình naøy ñöôïc thöïc hieän töông töï nhö ñoái vôùi heä soá Wavelets, keát quaû naøy ñöôïc coäng laïi ñeå ñöôïc heä soá haøm tæ leä möùc j+1. Caáu truùc naøy ñöôïc minh hoaï trong hình (4.5) vôùi g vaø g Hình 4.5: Daõi toång hôïp hai baêng. III.KHAI TRIEÅN CHUOÃI DUØNG WAVELETS 1. Ñònh nghóa. Khai trieån chuoãi cuûa caùc tín hieäu rôøi raïc Khai trieån chuoãi ñöôïc bieát thoâng duïng nhaát laø chuoãi Fourier. Trong ñoù moät haøm tuaàn hoaøn f(t+nT) = f(t) coù theå ñöôïc vieát nhö moät toå hôïp tuyeán tính cuûa caùc Sine vaø Cosine Hoaëc soá muõ phöùc: F(t) = (4.44) F(k) laø heä soá Fourier noù ñöôïc tính: F(k) = (4.45) Ñoù laø bieán ñoåi Fourier cuûa xaáp xæ coù chu kyø taïi nguyeân laàn . Deã daøng thaáy raèng taäp caùc haøm soá k , t laø moät taäp tröïc giao, hay laø: (4.46) Moät khai trieån chuoãi tieâu bieåu khaùc laø cuûa caùc tín hieäu coù baêng thoâng höõu haïn. Cho tín hieäu x(t) coù vôùi thì taàn soá maãu cuûa x(t) vaø x coù ñöôïc baèng caùch nhaân x(t) vôùi xung Dirac taïi nguyeân laàn cuûa T. x (4.47) Laáy bieán ñoåi Fourier cuûa xvôùi chu kyø ta coù: X (4.48) Töø coâng thöùc treân ta thaáy raèng bieán ñoåi Fourier cuûa x(t) vaø x treân ñoaïn coù quan heä vôùi nhau, X( (). Ñeå khoâi phuïc laïi tín hieäu X(), chuùng ta phaûi laáy cöûa soå tín hieäu maãu X hoaëc laø X()= G(trong ñoù G() laø haøm cöûa soå: G() = Bieán ñoåi Fourier ngöôïc cuûa noù : g goïi laø haøm Sinc. Töông öùng trong mieàn thôøi gian, chuùng ta chaäp haøm maãu x vôùi haøm cöûa soå g(t) ñeå ñöôïc tín hieäu nguyeân thuyû x(t): x (4.49) Taäp haøm laø moät taäp tröïc giao vì: (4.50) Moät tín hieäu x(t) coù baêng thoâng höõu haïn, quaù trình xöû lyù maãu taïi nT coù theå ñöôïc vieát: x (4.51) Khai trieån Haar Chuùng ta tìm hieåu khai trieån Haar vì noù laø moät ví duï ñôn giaûn veà khai trieån Wavelets, noù chöùa taát caû caùc thaønh phaàn ñeå xaây döïng Wavelets. Thay cho cöûa soå coù chieàu daøi coá ñònh T laø cöûa soå coù kích thöôùc thay ñoåi ñöôïc. Vaán ñeà baát bieán thôøi gian laø khoâng ñaït ñöôïc. Haar Wavelets hoaëc haøm cô sôû maãu coù support höõu haïn trong mieàn thôøi gian vaø suy giaûm 1/ trong mieàn taàn soá. Haar Wavelets ñöôïc ñònh nghóa: Taát caû caùc haøm cô sôû ñaït ñöôïc baèng caùch co giaõn vaø dòch : Hình 4.6 : Haøm tyû leä vaø Wavelets Haar Haøm tæ leä . Bieân ñoä cuûa bieán ñoåi Fourier . Wavelets . Bieân ñoä cuûa bieán ñoåi Fourier m,n (4.52) Caùc haøm cô sôû ôû treân laø tröïc giao m laø heä soá tæ leä, coù chieàu daøi laø 2 n laø heä soá dòch laø heä soá chuaån hoaù ñeå Thaät vaäy, taïi moät tæ leä naøo ñoù vaø khoâng coù moät support chung. Ngay caû khi coù support chung, thì haøm cô sôû daøi hôn laø haèng soá treân support cuûa cô sôû ngaén hôn. Do ñoù tích trong vôùi trò trung bình cuûa haøm ngaén hôn laø baèng 0, hay: Öu ñieåm cuûa caùc haøm cô sôû laø chuùng ñònh vò toát trong mieàn thôøi gian. Khi m, chuùng neùt trong mieàn thôøi gian vì chieàu daøi tieán veà 0. Tuy nhieân, söï ñònh vò trong mieàn taàn soá laø khoâng toát vì bieán ñoåi Fourier bò suy giaûm 1/ khi . Caùc haøm cô sôû khoâng baèng phaúng thaäm chí khoâng lieân tuïc. Moät ñaëc tính cô baûn cuûa caùc loaïi khai trieån Wavelets laø chuùng khai trieån qua toång keùp (Double-sum). Trong doù moät toång dòch vaø toång kia cho tæ leä, coù söï ñaùnh ñoåi giöõa ñoä phaân giaûi thôøi gian vaø taàn soá. Caùc haøm cô sôû daøi (m lôùn vaø döông) laø neùt ôû taàn soá (töông öùng maát maùt ñoä phaân giaûi trong mieàn thôøi gian). Caùc haøm cô sôû daøi (vôùi n lôùn) laø neùt trong mieàn thôøi gian. 2. Khaùi nieäm vaø phaân tích ña phaân giaûi. Trong phaàn naøy ta phaân tích tín hieäu ra caùc thaønh phaàn döïa treân daõy xaáp xæ. Moät tín hieäu seõ ñöôïc xaáp xæ thoâ coäng vôùi caùc chi tieát. Trong ñoù khoâng gian con thoâ vaø khoâng gian con chi tieát laø tröïc giao vôùi nhau. Noùi caùch khaùc, tín hieäu chi tieát laø hieäu cuûa phieân baûn thoâ vaø phieân baûn tinh cuûa tín hieäu. Baèng caùch aùp duïng moät caùch ñeä quy caùc daõy xaáp xæ chuùng ta seõ thaáy khoâng gian caùc tín hieäu ñaàu vaøo laø L(R) coù theå ñöôïc sinh ra bôûi caùc khoâng gian cuûa daõy xaáp xæ taïi taát caû caùc ñoä phaân giaûi. Khi ñoä phaân giaûi chi tieát ñeán voâ cuøng thì sai soá xaáp xæ tieán ñeán 0. Ñoä phaân giaûi ñöôïc ñöa ra bôûi Mallat vaø Meyer, noù khoâng chæ laø cô sôû cho Wavelets maø coøn laø coâng cuï toaùn hoïc raát maïnh ñeå lieân keát Wavelets vaø phaân tích baêng con tín hieäu. Ñònh nghóa mang tính nguyeân taéc cuûa phaân tích ña phaân giaûi. Moät phaân tích ña phaân giaûi bao goàm moät chuoãi cuûa khoái caùc khoâng gian con ñoùng. …V Sao cho: Ñaày ñuû hôïp: (4.53) Ñaày ñuû giao: (4.54) Baát bieán tyû leä: f(t) (4.55) Baát bieán dòch: f(t) (4.56) Toàn taïi sao cho: (4.57) Laø moät cô sôû tröïc chuaån V Chuù yù: Neáu kyù hieäu proj(f(t) laø hình chieáu tröïc giao cuûa f(t) leân V thì (4.53) ñöôïc bieåu dieãn: YÙ töôûng phaân tích ña phaân giaûi lieân heä maät thieát vôùi (4.56) vì taát caû caùc khoâng gian chæ laø caùc baûn ñöôïc ñònh tæ leä cuûa khoâng gian chính V Haøm trong (4.57) laø haøm tæ leä Duøng coâng thöùc Poisson, tính tröïc giao cuûa hoï nhö trong (4.57) laø töông ñöông trong mieàn bieán ñoåi Fourier sau: Tính tröïc giao cuûa laø khoâng caàn thieát, vì moät cô sôû baát kyø coù theå ñöôïc tröïc giao hoaù. Ví duï: ñònh nghóa V laø khoâng gian cuûa caùc haøm haèng soá töøng ñoaïn coù chieàu daøi 2 vaø ñònh nghóa laø haøm Indicator cuûa ñoaïn ñôn vò. Luùc ñoù ta thaáy raèng Haar Wavelets thoaû maõn nguyeân taéc cuûa ña phaân giaûi. Theo taäp caùc khoâng gian vaø tính chaát tæ leä chuùng ta thaáy raèng haøm tæ leä thoaû maõn phöông trình hai tæ leä. Khi V. Vì vaäy, noù coù theå ñöôïc vieát thaønh moät toå hôïp tuyeán tính cuûa caùc haøm cô sôû töø V. Tuy nhieân, chuùng ta bieát raèng laø moät cô sôû tröïc chuaån cuûa V , thì coù theå ñöôïc vieát (4.58) Trong ñoù vaø g Laáy bieán ñoåi Fourier hai veá ta coù: = = = (4.59) Trong ñoù G Nhö vaäy, haøm ñaëc tröng cho moät phaân tích ña phaân giaûi. Noù tuaàn hoaøn vôùi chu kyø 2 vaø coù theå xem nhö moät bieán ñoåi Fourier rôøi raïc cuûa moät boä loïc rôøi raïc thôøi gian. Cuoái cuøng laø söï baûo toaøn moái lieân heä giöõa thôøi gian rôøi raïc vaø lieân tuïc. Noù cho pheùp chuùng ta xaây döïng caùc cô sôû Wavelets lieân tuïc töø caùc boä loïc rôøi raïc laëp laïi. Noù cuõng cho pheùp tính toaùn caùc khai trieån Wavelets thôøi gian lieân tuïc duøng caùc giaûi thuaät thôøi gian rôøi raïc. 3. Chuoãi Wavelets vaø caùc tính chaát cuûa noù. Ñònh nghóa Giaû söû moät phaân tích ña phaân giaûi ñöôïc ñònh nghóa töø caùc nguyeân taéc töø (4.53) ñeán (4.57) vaø Wavelets meï , thì moät haøm fcoù theå bieåu dieãn: (4.60) Phöông trình treân laø coâng thöùc phaân tích Trong ñoù F(m, n) = (4.61) Phöông trình (4.61) laø coâng thöùc toång hôïp. Chuùng ta giaû söû moät Wavelets laø thöïc (ñoâi khi moät lieân hieäp phöùc laø caàn thieát). Caùc tính chaát Tuyeán tính: Giaû söû raèng toaùn töû T ñöôïc ñònh nghóa: T (4.62) Vôùi a, b thì: T (4.63) Dòch . Neáu tín hieäu vaø heä soá bieán ñoåi cuûa noù ñöôïc kyù hieäu laø f(t) vaø F(m, n) thì tín hieäu f(t-, seõ coù F(m Vôùi k Tyû leä. Neáu tín hieäu f(t) coù heä soá bieán ñoåi Wavelets laø F(m,n) thì: f (4.64) Laáy maãu ñoâi. Khi ñeà caäp moät khai trieån chuoãi, ñieàu quan troïng laø xaùc ñònh vò trí caùc haøm cô sôû trong mieàn thôøi gian - taàn soá. Quaù trình laáp maãu ôû mieàn thôøi gian, taïi tæ leä m ñöôïc thöïc hieän vôùi chu kyø 2, luùc ñoù ÔÛ daïng tæ leä, soá muõ cuûa 2 thöôøng ñöôïc ñeà caäp. Khi taàn soá laø ñaûo cuûa tæ leä thì ta thaáy neáu Wavelets taäp trung quanh m. Ñieàu naøy sinh ra moät quaù trình laáy maãu ñoâi cuûa mieàn thôøi gian - taàn soá ñöôïc trình baøy trong Hình (4.7) Hình 4.7: Laáy maãu ñoâi cuûa mieàn thôøi gian taàn soá cuûa khai trieån chuoãi Wavelets Ñònh vò: Ñònh vò thôøi gian: giaû söû raèng chuùng ta quan taâm ñeán tín hieäu xung quanh t = t. Caâu hoûi ñaët ra: giaù trò naøo cuûa F(m, n) seõ mang moät thoâng tin veà tín hieäu f(t) taïi t, hay laø vuøng löôùi (m,n) naøo seõ cho thoâng tin veà f(t ? Giaû söû moät Wavelets coù support chaët cheõ treân ñoaïn . Do ñoù laø support treân vaø laø support treân . Vì vaäy taïi tæ leä m, heä soá Wavelets vôùi chæ soá n thoaû maõn: Seõ ñöôïc ñaûm baûo. Ñieàu naøy coù theå ñöôïc vieát laïi: Caâu hoûi ngöôïc laïi: cho moät ñieåm F(m0, n0) trong khai trieån chuoãi Wavelets, vuøng naøo cuûa tín hieäu phaân boá ñeán noù ? Töø support cuûa , theo ñoù f(t) vôùi t thoaû maõn: (-nbaûo ñaûm F(m0, n0). Ñònh vò taàn soá: Bieán ñoåi Fourier cuûa laø 2 Giaû söû moät Wavelets (t) bieán maát trong mieàn Fourier beân ngoaøi vuøng [ Taïi tæ leä m support cuûa seõ laø . Vì vaäy moät thaønh phaàn taàn soá baûo ñaûm chuoãi Wavelets taïi tæ leä m neáu : IV.CAÙC ÖÙNG DUÏNG CUÛA WAVELETS ÖÙng duïng cuûa Wavelets cho xöû lyù tín hieäu Ñeå xöû lyù tín hieäu trong mieàn taàn soá, ta laáy bieán ñoåi Fourier cuûa tín hieäu nhaân vôùi moät heä soá Fourier vôùi 0 sau ñoù laáy bieán ñoåi Fourier ngöôïc. Ñieàu naøy coù theå loaïi boû moät soá thaønh phaàn cuûa tín hieäu. Trong khi caùc thaønh phaàn khaùc khoâng ñoåi. Vaán ñeà cuõng ñöôïc xöû lyù töông töï nhö ñoái vôùi bieán ñoåi trong mieàn Wavelets. DWT Processor Inverse DWT Linear Linear or nonlinear Linear X X Sô ñoà khoái cho vieäc xöû lyù tín hieäu trong mieàn bieán ñoåi Wavelets ñöôïc cho trong hình (4.7) Hình 4.8: Boä xöû lyù tín hieäu baèng pheùp bieán ñoåi. Quaù trình xöû lyù tín hieäu döïa treân Wavelets tuyeán tính coù sô ñoà khoái nhö hình (4.8). Noù thöïc hieän nhaân DWT vôùi moät soá haèng soá (coù theå laø 0). Neáu caùc tín hieäu khoâng mong muoán hoaëc nhieãu coù theå ñöôïc caùch ly vôùi tín hieäu mong muoán trong mieàn bieán ñoåi Wavelets, thì chuùng coù theå bò loaïi boû baèng caùch nhaân vôùi caùc zero, sau quaù trình naøy ta laáy bieán ñoåi DWT ngöôïc ñeå ñöôïc tín hieäu ban ñaàu. Söû duïng Wavelets trieät nhieãu Giaû söû moät tín hieäu coù chieàu daøi höõu haïn vôùi nhieãu coäng: y, i=1, …N (4.65) Trong ñoù nlaø nhieãu traéng, coù trung bình laø zero. :ñoä leäch chuaån. Muïc ñích cuûa chuùng ta laø taùi taïo laïi tín hieäu x töø tín hieäu thu ñöôïc y. Goïi W laø ma traän bieán ñoåi Wavelets (khaû ñaûo) DWT, thì bieåu thöùc (4.65) ñöôïc vieát ôû mieàn bieán ñoåi: Y = X+N hoaëc Y (4.66) Caùc chöõ caùi hoa bieåu thò bieán trong mieàn bieán ñoåi vôùi Y = Wy. Ma traän bieán ñoåi nghòch ñaûo toàn taïi: W (4.67) Goïi laø xaáp xæ cuûa X döïa treân söï baûo toaøn cuûa Y. Ma traän hình chieáu tuyeán tính ñöôøng cheùo: (4.68) Ta tính ñöôïc: Caùc heä soá toái öu cuûa laø , nhö vaäy caùc giaù trò Y töông öùng vôùi caùc thaønh phaàn cuûa X lôùn hôn ñöôïc giöõ laïi. Taát caû caùc thaønh phaàn khaùc baèng 0. Sai soá lyù töôûng: R( (4.69) Sai soá lyù töôûng khoâng theå ñaït ñöôïc trong thöïc teá. Giaûi thuaät cho trieät nhieãu baèng Wavelets goàm 3 böôùc: Choïn moät Wavelets, Choïn moät möùc N. Tính phaân tích Wavelets: Y = Wy (4.70) Choïn möùc ñeå laáy ngöôõng trong mieàn bieán ñoåi Wavelets theo 2 phöông phaùp ngöôõng cöùng hoaëc laáy ngöôõng meàm: Ngöôõng cöùng: (4.71) Ngöôõng meàm: (4.72) Taùi taïo: Taùi taïo laïi tín hieäu döïa treân heä soá xaáp xæ caáp N vaø caùc heä soá chi tieát töø 1 –N.