Tiểu luận Ứng dụng maple trong số học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ---v--- TIỂU LUẬN ỨNG DỤNG MAPLE TRONG SỐ HỌC Giáo viên hướng dẫn: PGS.TSKH.Trần Quốc Chiến Học viên thực hiện: 1. Vũ Văn Khiên 2. Lưu Thế Vinh 3. Nguyễn Hoàng Vy 4. Phan Thành Nhất 5. Mai Quốc Toản Lớp: Phương pháp Toán Sơ Cấp Khoá: 2009 – 2011 Kon Tum, tháng 03 – 2010 Mục lục Trang • Mục lục ....................................................................................................................1 • Lời nói đầu ...............................................................................................................2 • Chương 1 – TỔNG QUAN VỀ MAPLE .................................................................3 - I. Cấu trúc và giao diện. Cấu trúc tài nguyên của Maple ........................................3 - II. Lưu trữ và trích xuất dữ liệu................................................................................4 - III. Các môi trường làm việc trong maple ...............................................................5 • Chương 2 – ỨNG DỤNG CỦA MAPLE TRONG SỐ HỌC - Các phép toán số học……………………………………………………………....5 - I. Số nguyên………………………………………………………………………..5 1. Thương và số dư…………………………………………………….......5 2. Ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất……………………………......6 3. Số nguyên tố cùng nhau………………………………………………….8 4. Số nguyên tố…………………………………………………………....10 5. Phương trình nghiệm nguyên………………………………………...…11 - II. Số thực………………………………………………………………………...12 - III. Số phức……………………………………………………………………….14 - IV.Bài tập vận dụng………………………………………………………............15 • Kết luận.....................................................................…………………………..…17 • Tài liệu tham khảo..................................................................................................18 LỜI GIỚI THIỆU ššµœœ Đổi mới phương pháp dạy học đang là vấn đề được tất cả các thầy, cô giáo và những người làm trong lĩnh vực giáo dục quan tâm. Đặc biệt là vấn đề đổi mới phương pháp giáo dục phổ thông. Môn Toán trong nhà trường phổ thông có vai trò quan trọng, hơn nữa môn Toán được đánh giá là một môn khó đối với cả người dạy và người học. Câu hỏi đặt ra là: làm thế nào để việc dạy và học môn Toán trở lên thuận lợi hơn? Có hiệu quả hơn? Maple là một phần mềm Toán học có khả năng ứng dụng trong hầu hết các nội dung của môn Toán trong nhà trường phổ thông. Với khả năng tính toán, minh họa của mình, Maple là một công cụ rất tốt, giúp cho giáo viên và học sinh thuận lợi hơn trong quá trình tìm hiểu và học tập môn Toán. CHƯƠNG I TỔNG QUAN VỀ MAPLE I. CẤU TRÚC VÀ GIAO DIỆN. CẤU TRÚC TÀI NGUYÊN CỦA MAPLE - Việc cài đặt và khởi động chương trình Maple trên môi trường Windows không có gì khác biệt so với các chương trình ứng dụng khác. - Giao diện của Maple khá giống với giao diện làm việc của các chương trình ứng dụng khác trên Windows và cũng rất “ thân thiện” với người sử dụng. - Khi khởi động Maple, chương trình chỉ tự động kích hoạt nhân của Maple bao gồm các phép toán và chức năng cơ bản nhất. Phần nhân chiếm khoảng 10% dung lượng của toàn chương trình. - Các dữ liệu và chương trình còn lại của Maple được lưu giữ trong thư viện Maple và được chia ra 2 nhóm: nhóm các lệnh cơ bản và nhóm các gói lệnh. Gói lệnh có thể nạp vào bằng: > with(plots): Lệnh của Maple - Lệnh được gõ vào trang làm việc (worksheet) tại dấu nhắc lệnh ">" và theo ngầm định được hiển thị bằng font Courier màu đỏ. Một lệnh đựợc kết thúc bởi dấu " :" hoặc dấu ";" và được ra lệnh thực hiện bằng việc nhấn Enter khi con trỏ đang ở trên dòng lệnh. > factor(2*x^102+x^100-2*x^3-x+60*x^2+30): - Kết quả của lệnh được hiển thị ngay bên dưới dòng lệnh nếu dùng dấu " ;". Có thể dễ dàng dùng chuột và bàn phím để thực hiện các chức năng bôi đen, copy, paste, cut, delete...đối với dữ liệu trên dòng lệnh hay kết quả thực hiện. Sử dụng dịch vụ trợ giúp (Help) trong Maple Maple có dịch vụ trợ giúp khá đầy đủ và thuận lợi bao gồm cú pháp, giải thích cách dùng và các ví dụ đi kèm. Để nhận được trợ giúp, có thể: - Nếu đã biết tên lệnh thì từ dấu nhắc gõ vào > factor - Nếu dùng một gói lệnh thì khi nạp gói lệnh, Maple sẽ hiển thị toàn bộ lệnh trong gói đó. - Một cách thông dụng nữa là dùng trình Help|Topic Search rồi gõ vào từ khóa cần tìm. II. LƯU GIỮ VÀ TRÍCH XUẤT DỮ LIỆU - Trang làm việc của Maple sẽ được lưu giữ bằng file có đuôi ".mws". File được lưu giữ bằng trình File|Save. Một file đó được mở bằng File|Open. - Ngoài việc lưu giữ bằng định dạng của Maple như trên, dữ liệu có thể được trích xuất thành các định dạng khác như LaTex hay HTML. Trích xuất bằng File|Export. III.MÔI TRƯỜNG TÍNH TOÁN VÀ CÁC ĐỐI TƯỢNG TRONG LÀM VIỆC * Maple có 2 môi trường làm việc là toán và văn bản. Sau khi khởi động, Maple tự động bật môi trường toán. Muốn chuyển sang môi trường văn bản, kích chuột vào biểu tượng T trên thanh công cụ hay vào trình Insert->Text. Ngược lại, từ môi trường văn bản, kích chuột vào dấu "[>" trên thanh công cụ hay vào Insert để chuyển sang môi trường toán. * Một trang làm việc (worksheet) của Maple có thể bao gồm những thành phần cơ bản như sau: 1. Cụm xử lý (Execution Group) 2. Lệnh và kết quả tính toán của Maple 3. Mục (Section) 4. Đồ thị (Graph) 5. Siêu liên kết (Hyperlink) 6. Văn bản và đoạn văn bản (Text và paragraph) CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG CỦA MAPLE TRONG SỐ HỌC TÍNH TOÁN SỐ HỌC THÔNG DỤNG ￧Các phép toán số học: +, -, *, / ￧Lũy thừa: ^, giai thừa: x! ￧Logarit: ln(x), log[a](b), exp(x) ￧Các hàm lượng giác: sin(x), cos(x), tan(x), cot(x),... ￧Một số hàm khác: abs(x) - |x|, sqrt(x) - căn bậc 2 của x SỐ NGUYÊN Ký hiệu Z tập số nguyên, N tập số tự nhiên. Thương và số dư Định nghĩa Cho a, b là số nguyên. Ta nói a chia hết cho b, , nếu tồn tại số nguyên c thỏa mãn b=a.c Ta nói a đồng dư b modulo n (n>0), a=b[n], nếu Mệnh đề Quan hệ =[n] là quan hệ tương đương với mọi n nguyên dương. Hệ quả Với mọi a, b nguyên, n, k nguyên >0, ta có: a =b[n] => ak=bk[n] Các hàm Maple Cho a, b là số nguyên . Hàm iquo(a,b): Trả về thương của a chia b Hàm irem (a,b): Trả về số dư của a chia b - Ví dụ > iquo(21,6); > iquo(-21,6); > > irem(-15,7); * Hàm iquo (a,b,r ) : trả về thương của a chia b, lưu số dư vào r * Hàm irem (a,b,q ) : trả về số dư của a chia b, lưu thương vào q + Ví dụ: > iquo(21,8,'r');r; > irem(-15,7,q);q; Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất Cho x1, x2,...,xn là các số nguyên dương. Định nghĩa Ước số chung lớn nhất (uccln) của x1, x2,...,xn là số nguyên dương lớn nhất chia hết x1, x2,...,xn . Bội số chung nhỏ nhất của x1, x2,...,xn là số nguyên dương nhỏ nhất là bội của x1, x2,...,xn . Định lý Cho x1, x2,...,xn là các số nguyên dương. Ký hiệu u là ước số chung lớn nhất và b là bội số chung nhỏ nhất của x1, x2,...,xn . Khi đó ta có: và * Thuật toán Euclide tìm uscln + Đầu vào: Số nguyên a, b, a>b + Đầu ra: uscln(a,b) + Phương pháp: (1) đặt r(0):=a, r(1):=b, i:=1 (2) Biết r(i-1), r(i) tính r(i+1): r(i+1):=r(i) mod r(i-1) ( số dư của r(i) chia cho r(i-1)) Nếu r(i+1)=0, thì r(i) là uscln(a,b), kết thúc. Nếu r(i+1)0, thì đặt i:=i+1 và quay lại bước (2). + Sơ đồ tính Số dư: r(0) r(1) r(2)... r(n-1) r(n) r(n+1)=0 Thương: q(1) q(2)... q(n-1) q(n) +/ Ví dụ: Tìm uscln(9100, 1848) Số dư: 9100 1848 1708 140 28 0 Thương: 4 1 12 5 Suy ra uscln (9100,1848)=28 * Đề tính bscnn(a1,a2,...,ak), ta tính uscln(a1,a2,...,ak), sau đó đặt bscnn(a1,a2,...,ak):=(a1,a2,...,ak)/uscln(a1,a2,...,ak) Các hàm MAPLE Cho a1,a2,...,ak là các số nguyên. * Hàm igcd(a1,a2,...,ak): trả về ước chung lớn nhất của a1,a2,...,ak. * Hàm ilcm(a1,a2,...,ak): trả bội số chung nhỏ nhất của a1,a2,...,ak. + Ví dụ: > igcd(15,20); > igcd(12,20,34); > ilcm(3,4); > ilcm(3,4,6); > ilcm(-2,3,10); Số nguyên tố cùng nhau Định nghĩa: Cho x1, x2, ..xn là các số nguyên dương. Ta nói x1, x2, ..xn là nguyên tố cùng nhau, nếu uscln(x1, x2, ..xn )=1 Định lý Bezout: Cho x1, x2,...,xn là các số nguyên dương. Khi đó x1, x2, ..xn là các số nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi tồn tại các số nguyên u1,u2,..,un thỏa: u1.x1+u2.x2+...+un.xn=1 Hệ quả: Cho a, b là các số nguyên dương, nguyên tố cùng nhau. Khi đó tồn tại các số nguyên u,v thỏa: a.u+b.v=1, * Thuật toán giải phương trình: ax+by=1 (uscln(a,b)=1) Theo thuật toán Euclide ta có dãy Số dư: r(0)=a> r(1)=b> r(2)>... >r(n-1)> r(n)> r(n+1)=0 Thương: q(1) q(2) q(n-1) q(n) thỏa r(0)=r(1)q(1)+r(2); r(1)=r(2)q(2)+r(3);...;r(n-2)=r(n-1)q(n-1)+r(n); r(n-1)=r(n)q(n) và r(n) =uscln(a,b)=1 Từ đó ta xây dựng các số u,v thỏa mãn phương trình như sau 1=r(n-2)-r(n-1).q(n-1) =r(n-2)-[r(n-3)-r(n-2)q(n-2)]q(n-1) =r(n-2)[1+q(n-2)q(n-1)]-r(n-3)q(n-1) =r(0).u+r(1).v=a.u+b.v Ví dụ: Giải phương trình 693.x+680.y =1 Giải Trước tiên ta tìm ước số chung lớn nhất của a=693 và b=680 theo thuật toán Euclide. Ta có sơ đồ sau Số dư: 693 680 13 4 1 0 Thương: 1 52 3 4 Từ đó ta có: 1=13-3.4=13-3.(680-52.13)=157.13-3.680=157.(693-1.680)-3.680= 693.157-680.160 Suy ra nghiệm phương trình là x=157 và y= -160 + Ghi chú: Phương trình a.x+b.y=uscln(a,b) cũng giải bằng phương pháp tương tự Các hàm MAPLE Cho a,b là các số nguyên. * Hàm igcdex(a,b,u,v): trả về ước số chung lớn nhất của a,b và giải phương trình a.u+b.v =UCLN(a,b) với nghiệm lưu vào biến u, v > d :=igcdex(12,7,'u','v');u;v; d:=1 3 -5 > 12*u+7*v=d; 1=1 Số nguyên tố Định nghĩa Số nguyên dương p là số nguyên tố, nếu p>1 và chỉ chia hết cho 1 và chỉ chính nó. Định lý Mọi số nguyên >1 có thể phân tích thành tích các thừa số nguyên tố duy nhất Định lý Tập hợp số nguyên tố là vô hạn. Các hàm MAPLE * Hàm isprime (p): trả về true nếu p là số nguyên tố, false nếu p không phải là số nguyên tố * Hàm ithprime(n): trả về số nguyên tố thứ n, * Hàm nextprime(n): trả về số nguyên tố nhỏ nhất lớn hơn n * Hàm prevprime(n): trả về số nguyên tố lớn nhất lớn hơn n * Hàm infactor(n): trả về phân tích thừa số nguyên tố của n. > ithprime(1); > ithprime(123); > prevprime(100); > nextprime(100); > ifactor(561); > ifactor(1234); Phương trình, hệ phương trình nghiệm nguyên Lệnh isolve: - Cú pháp 1: isolve(phuong_trinh/he_phuong_trinh); - Cú pháp 2: isolve(phuong_trinh/he_phuong_trinh, ); > isolve({x+y=36,2*x+4*y=100}); > isolve(x+y=5,{a,b,c}); Hàm isolve(p(x,y,z,...)=a): trả về nghiệm nguyên của phương trình p(x,y,z,...)=a theo các ẩn x,y,z,... + Ví dụ: > > Ghi chú: Ký hiệu _Z1 là tham số nhận giá trị nguyên. Muốn biểu diễn nghiệm theo tham số khác, ta khai báo tham số trong hàm isolve như sau: * Hàm isolve(p(x,y,z,...)=a, {,,...}): trả về nghiệm biểu diễn theo tham sốt1>,,... > isolve(x^2-11*y^2 = 1,{t}); > isolve(3*x-11*y+z = 1,{m,n}); II. SỐ THỰC * Hàm Whattype(): trả về kiểu số gồm: integer: Kiểu số nguyên fraction: Kiểu phân số float: kiểu số thập phân chấm động + Ghi chú: Hàm này không áp dụng cho các kiểu khác * Hàm Float (a,b): trả về số a.10^b + Ví dụ: > > > > > > > * Hàm convert(a, fraction): trả về dạng phân số của số thập phân a. + Ví dụ: > convert(1.345,fraction); * Hàm convert(a,confrac,t): Lưu vào biến t dãy phân số tiệm cận đến số vô tỉ a. Ví du: > > > * Tính toán với độ chính xác theo yêu cầu Lệnh evalf - Cú pháp 1: evalf(bieu_thuc) - tính toán chính xác giá trị của biểu thức và biểu diễn kết quả với mặc định là 10 chữ số. - Cú pháp 2: evalf(bieu_thuc, k) - tính toán chính xác giá trị của biểu thức và biểu diễn kết quả với k chữ số. > > 3.142857143 > 3.1416 III. SỐ PHỨC *Hàm evalc(z) trả về dạng a+Ib của số phức z. Ví dụ: > > > *Hàm Re(z): trả về phần thực của số phức z *Hàm Im(z) trả về phần ảo của số phức z +Ví dụ: > > * Ý nghĩa: với việc sử dụng các hàm trên sẽ giúp cho giáo viên ra đề kiểm tra dễ dàng hơn, và đưa ra một kết quả chính xác nhanh gọn.Học sinh có thể so sánh kết quả bài làm của mình. * Hàm conjugate(z): trả về số phức liên hợp của số phức z *Hàm abs(z): trả về modun của số phức z *Hàm evalf(z): trả về số phức dạng a+Ib với a,b là các số thập phân +Ví dụ: > > > > IV. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2.x-3.y=-5x.y+39 > Bài 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình 7.x-12.y=x.y > Bài 3. Viết phương trình tham số của đường thẳng 3.x-4.y=75 > Bài 4. Tìm tọa độ nguyên của đường cong > Bài 5. Viết phương trình tham số của mặt phẳng 3.x+4.y+2z=75 > Bài 6: Xác định phần thực phần ảo của số phức > > Bài 7: Tìm modun của số phức > Bài 8: Tìm ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất của các cặp số sau (12,1234,124);(34;2345); (12334,1234,24,145) > > > KẾT LUẬN Với các tính năng cơ bản của mình, Maple có thể thực hiện được hầu hết các phép toán cơ bản trong chương trình toán đại học và phổ thông. Maple là chương trình tính toán vạn năng rất đồ sộ, không thể nào nắm bắt cho hết (dù chỉ trên phương diện tính toán và biểu diễn)( Phạm Huy Điển). ở đây chúng tôi đã trình bày các bước cơ bản về số học và các vấn đề liên quan, giới thiệu các câu lệnh, các hàm thường sử dụng, cách viết các thủ tục. Từ đó có thể xây dựng nhiều chương trình khác phục vụ cho việc giảng dạy và học tập. Vấn đề ở đây không phải là đi giải một bài toán, mà là xây dựng một công cụ trên máy tính để có được một phương pháp dạy và học tốt hơn. Vì vậy, chúng ta hướng dẫn cho học sinh sử dụng các lệnh đó như thế nào để đáp ứng được yêu cầu giảm nhẹ phần tính toán cho học sinh nhưng lại không đánh mất khả năng tư duy độc lập của các em đồng thời khơi gợi trí tò mò, óc sáng tạo trong quá trình học toán? Nói cách khác, máy không chỉ hỗ trợ các em trong quá trình học tập còn giúp các em có cái nhìn sâu sắc hơn đối với vấn đề đang xét chứ tuyệt đối máy không làm thay con người. Người giáo viên cần phải chủ động phát huy tối đa khả năng sáng tạo của mình. Qua đó vai trò của người thầy không bị máy móc lấn lướt mà được nâng lên một tầm cao hơn, người thầy của sự sáng tạo trong thời đại công nghệ mới. Trong đề tài này, mặc dù nhóm chúng tôi đã dành nhiều thời gian nghiên cứu, thảo luận, và được sự hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo của Thầy PGS.TSKH Trần Quốc Chiến, nhưng do khả năng có hạn nên chắc chắn đề tài không tránh khỏi thiếu sót. Kính mong Thầy cùng các bạn học viên trong lớp góp ý, bổ sung, chỉnh sửa để đề tài được hoàn thiện hơn. Chúng tôi xin chân thành cám ơn sự giảng dạy và hướng dẫn nhiệt tình, tận tụy, sự động viên khích lệ của Thầy dành cho chúng tôi . TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] PGS.TSKH. Trần Quốc Chiến - Giáo trình phần mềm toán học - 2008 (Lưu hành nội bộ). [2] Phạm Huy Điển - Tính toán, lập trình và giảng dạy toán học trên Maple - NXB Khoa học và Kỹ thuật. [3] Nguyễn Văn Quí, Nguyễn Tiến Dũng, Nguyễn Việt Hà (1998) - Giải toán trên máy vi tính NXB Đà Nẵng.