Tiểu luận Định lý giới hạn trung tâm – các xấp xỉ xác suất và bài tập

KHOA: KHOA HỌC CƠ BẢN TIỂU LUẬN XÁC SUẤT THỐNG KÊ ĐỀ TÀI: ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM – CÁC XẤP XỈ XÁC SUẤT VÀ BÀI TẬP GVHD: Trần Chiến Lớp: 211301101 Khoa: Kế Toán – Kiểm Toán Nhóm 1: Nguyễn Ngọc Thịnh (08106071) Bùi Văn Tiệp (08267261) Phạm Văn Toàn (08096701) Nguyễn Như Tuân (08251411) Thành phố Hồ Chí Minh, 11/2009 KHOA: KHOA HỌC CƠ BẢN TIỂU LUẬN XÁC SUẤT THỐNG KÊ ĐỀ TÀI: ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM – CÁC XẤP XỈ XÁC SUẤT VÀ BÀI TẬP GVHD: Trần Chiến Lớp: 211301101 Khoa: Kế Toán – Kiểm Toán Nhóm 1: Nguyễn Ngọc Thịnh (08106071) Bùi Văn Tiệp (08267261) Phạm Văn Toàn (08096701) Nguyễn Như Tuân (08251411) Thành phố Hồ Chí Minh, 11/2009 PHẦN I: LÝ THUYẾT Bài 3: Định lý giới hạn trung tâm – các xấp xỉ xác suất 3.1. Phân phối liên tục: Phân phối đều và phân phối chuẩn 3.1.1. Phân phối đều: Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên có phân phối đều trên đoạn [a,b] nếu có hàm mật độ là: Hàm phân phối xác suất: Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên có phân phối đều là: Đồ thị: Ta xét đồ thị của hàm mật độ và hàm phân phối xác suất của phân phối đều trên [a,b] là: Hình 1: Đồ thị hàm mật độ Hình 2: Đồ thị hàm phân phối xác suất của phân phối đều. của phân phối đều. Các đặc trưng số của phân phối đều: Kỳ vọng: Phương sai: D(X) = E(X2) – E2(X) Với: E(X2) = (Tính ở trên) Suy ra phương sai: D(X) = E(X2) – E2(X) = - ()2 = 3.1.2. Phân phối chuẩn: Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với hai tham số µ và σ2 nếu có hàm mật độ là: f(x)= Kí hiệu: X ~ N(µ;σ2) Hàm phân phối xác suất: Phân phối chuẩn có hàm phân phối xác suất là: F(X)= à Do hàm mật độ của phân phối chuẩn không có nguyên hàm sơ cấp nên ta không thể biểu diễn hàm phân phối xác suất F(X) bởi một hàm số sơ cấp. Đồ thị: Ta xét đồ thị của hàm mật độ và hàm phân phối xác suất của phân phối chuẩn như sau: Hình 3: Đồ thị hàm mật độ của Hình 4: Đồ thị hàm phân phối xác phân phối chuẩn. suất của phân phối chuẩn. à Đồ thị hàm mật độ của phân phối chuẩn có dạng hình chuông nên phân phối chuẩn còn có tên gọi là phân phối hình chuông. Các đặc trưng số của phân phối chuẩn: Kỳ vọng: E(X) = = Phương sai: D(X) = E(X2) – E2(X) Với: E(X2) = = µ2 + σ2 E2(X) = 2 Suy ra: D(X) = E(X2) – E2(X) = µ2 + σ2 – 2 = σ2 Vậy phương sai : D(X) = σ2 à Ta thấy hai tham số và σ2 chính là kì vọng và phương sai của phân phối chuẩn. Tới đây ta có thể khẳng định phân phối chuẩn hoàn toàn xác định khi biết kì vọng và phương sai của nó. Tính xác suất: Giả sử X ~ N(;σ2) P[a≤ X ≤b] = = Quy tắc 3: Xét biến ngẫu nhiên X với kì vọng và phương sai σ2 Với ta có: Với ta có: Với ta có: à Như vậy nếu X ~ N((;σ2) thì khi . Điều này có nghĩa là nếu biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với kì vọng µ và phương sai σ2 thì gần như chắc chắn rằng X sẽ nhận giá trị trong khoảng [- 3σ ,+ 3σ] Bổ sung về kiến thức phân phối chuẩn tắc: Nếu biến ngẫu nhiên X có phân phối với kì vọng µ = 0 và phương sai σ2 = 1 thì X được gọi là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc hoặc phân phối Gauss. Hàm mật độ của phân phối chuẩn tắc được kí hiệu là còn gọi là hàm Gauss, hàm phân phối được kí hiệu là còn gọi là hàm Laplace. - Hàm là hàm chẵn, , trong khoảng (0, +∞) thì hàm đơn điệu giảm. , , , , và nếu x≥4 thì - Hàm = à Hàm là hàm lẻ. Ta có: , , , , và nếu x≥4 thì và nếu x < -4 thì Hình 5 : Đồ thị hàm Hình 6 : Đồ thị hàm 3.2. Định lý giới hạn trung tâm (Lyapounov) Cho họ các biến ngẫu nhiên {X1, X2, X3,...Xn) độc lập từng đôi một. Đặt Y =  ; và Nếu EXi , VarXi hữu hạn và Thì Y 3.3. Xấp xỉ xác suất giữa: Siêu bội và nhị thức, Poisson và Nhị thức 3.3.1. Xấp xỉ xác suất giữa siêu bội và nhị thức: Khi N khá lớn, n khá nhỏ so với N lúc đó quy luật phân phối siêu bội xấp xỉ với quy luật phân phối nhị thức. H(N, M, n) B(n, p) Ta có: P[X=K] = với (q=1–p) Ví dụ : Một lô hàng có 1000 sản phẩm trong đó có: 600 sản phẩm tốt và 400 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng ra 10 sản phẩm. Tìm xác suất để trong 10 sản phẩm lấy ra có 3 sản phẩm tốt ? Giải: Gọi X là số sản phẩm tốt lấy ra được trong 10 sản phẩm lấy ra. à X={0,1,2,...,9,10} Ta có: X ~ H(1000, 600, 10) B(10; 0,6) Suy ra: P[X=K] = với K= Gọi A là biến cố lấy được 3 sản phẩm tốt trong 10 sản phẩm lấy ra. Suy ra: P(A) = P[X=3]= = 0,04246 3.3.2. Xấp xỉ xác suất giữa poisson và nhị thức: Khi n khá lớn (n≥100) và p khá nhỏ (p≤0,05) thì quy luật phân phối nhị thức xấp xỉ quy luật phân phối poisson. B(n, p) () Ta có: P(X=K) = với =np và K= Ví dụ: Tại một trận địa phòng không, người ta bố trí 1000 khẩu súng trường. Xác suất bắn trúng máy bay của mỗi khẩu súng là 0,001. Nếu máy bay bị bắn trúng 1 phát thì xác suất rơi là 0,8. Nếu máy bay bị bắn trúng ít nhất 2 phát thì chắc chắn bị rơi. Tính xác suất máy bay bị bắn rơi khi 1000 khẩu súng cùng bắn, mỗi lần bắn một viên. Giải: Gọi X là số viên đạn bắn trúng mục tiêu à X={0,1,2,...,1000} Ta có: X ~ B(1000; 0,001) () Với: = np = 1000 x 0,001 = 1 Suy ra: X ~ B(1000; 0,001) (1) Gọi B là biến cố máy bay bị rơi. Gọi A0 là biến cố không có viên đạn nào trúng máy bay A1 là biến cố có 1 viên đạn bắn trúng máy bay A2 là biến cố có 2 viên đạn bắn trúng máy bay Ta có A0 , A1 , A2 lập thành một hệ đầy đủ xung khắc từng đôi. Theo công thức xác suất đầy đủ ta có: P(B) = P(A0).P(B/ A0) + P(A1).P(B/A1) + P(A2).P(B/A2) Với P(A0) = P(X=0) = P(B/ A0) = 0 P(A1) = P(X=1) = P(B/A1) = 0,8 P(A2) = P[X≥2] = 1 – P[X<2] = 1 - P(B/A2) = 1 Suy ra: P(B) = P(A0).P(B/ A0) + P(A1).P(B/A1) + P(A2).P(B/A2) = .0 + .0,8 + (1 - ).1 = 0,5585 Vậy xác suất máy bay bị bắn rơi khi 1000 khẩu súng cùng bắn, mỗi khẩu bắn một viên là 0,5585 3.4. Xấp xỉ xác suất giữa: Chuẩn và nhị thức Khi n khá lớn (n≥30) và không quá gần 0, cũng không quá gần 1 (0<<1) thì quy luật phân phối nhị thức xấp xỉ quy luật phân phối chuẩn và ta có: P[X=K] = với P[K1<X<K2] = Ví dụ: Một xạ thủ bắn 100 viên đạn vào một mục tiêu, xác suất trúng mục tiêu của mỗi viên đạn là 0,8. Tìm xác suất để có 70 viên đạn trúng mục tiêu? Giải: Gọi X là số viên đạn bắn trúng mục tiêu à X = {0,1,2,..100} X ~ B(100; 0,8) N Với =100. 0,8 = 80 và = npq = 100.0,8.0,2 = 16 Suy ra: X ~ B(100; 0,8) N(80;16) Gọi A là biến cố có 70 viên đạn trúng mục tiêu Suy ra: P(A) = P(X=70) = Vậy xác suất để có 70 viên trúng mục tiêu là 0,004375 PHẦN II: BÀI TẬP XÁC SUẤT II.1. CÔNG THỨC XÁC SUẤT TỔNG – TÍCH Câu 3: Trong một hộp có 8 bi trắng và 6 bi đen. Lấy lần lượt từ hộp ra 2 bi (không hoàn lại). Tính xác suất cả 2 đều là bi trắng; một bi trắng và một bi đen? Giải: Xác suất cả hai đều là bi trắng: Gọi A là biến cố lần 1 lấy được bi trắng B là biến cố lần 2 lấy được bi trắng C là biến cố cả hai lần lấy đươc bi trắng Vậy xác suất lấy được cả hai đều là bi trắng là : Xác suất 1 bi trắng và 1 bi đen Gọi A là biến cố lấy được lần 1 là bi trắng B là biến cố lấy được lần 2 là bi đen C là biến cố lấy được một bi trắng và một bi đen II.2. CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ - BAYES Câu 15: Bao lúa thứ nhất nặng 20kg có tỉ lệ hạt lép là 1%; bao lúa thứ hai 30kg và 2% hạt lép; bao thứ ba 50kg và 3% hạt lép. Trộn cả ba bao lúa vào bao thứ tư rồi bốc ra 1 hạt. Tính xác suất hạt bốc ra là hạt lép; giả sử hạt bốc ra không lép, tính xác suất hạt này là của bao thứ 2. Giải: Xác suất hạt bốc ra là hạt lép Gọi A1: “Biến cố bốc được hạt lúa từ bao thứ nhất” A2: “Biến cố bốc được hạt lúa từ bao thứ hai” A3: “Biến cố bốc được hạt lúa từ bao thứ ba” B: “Biến cố hạt bốc ra là hạt lép” Ta có P(B) = P(A1).P(B/A1) + P(A2).P(B/A2) + P(A3).P(B/A3) Với P(A1) = P(A2) = P(A3) = P(B/A1) = 0,01 P(B/A2) = 0,02 P(B/A3) = 0,03 P(B) = 0,2.0,01+0,3.0,02+0,5.0,03 = 0,023 = 2,3% Vậy xác suất bốc ra hạt lép là 2,3% Xác suất hạt bốc ra là hạt không lép ở bao thứ hai: Gọi : “Biến cố hạt lấy ra không lép” P() = 1- P(B) = 1 – 0,023 = 0,977 Suy ra : = = = 30,09% Vậy xác suất bốc ra hạt không lép ở bao thứ hai là 30,09% Câu 27: Hộp thứ nhất có 3 bi xanh và 4 bi đỏ, hộp thứ hai có 6 bi xanh và 2 bi đỏ; hộp thứ ba có 4 bi xanh và 7 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 1 bi từ hộp thứ nhất bỏ sang hộp thứ hai, tiếp tục lấy ngẫu nhiên 1 bi từ hộp thứ hai bỏ vào hộp thứ ba. Sau đó lấy ngẫu nhiên từ hộp thứ ba ra 1 bi, tính xác suất bi này là màu xanh. Giải: Gọi A là biến cố bốc được bi xanh ở hộp 1 thì là biến cố bốc được bi đỏ ở hộp 1 Gọi B là biến cố bốc được bi xanh ở hộp 2 thì là biến cố bốc được bi đỏ ở hộp 2 Gọi C là biến cố bốc được bi xanh ở hộp 3 P(A) = Áp dụng công thức đầy đủ P(B)= P(B/A).P(A) + P(B/)P()= = Áp dụng công thức đầy đủ P(C) = P(C/B).P(B) + P(C/).P() = Vậy xác suất bốc được bi xanh ở hộp 3 là: II.3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN RỜI RẠC VÀ LIÊN TỤC Câu 28: Một kiện hàng có 5 sản phẩm tốt và 3 sản phẩm xấu. Chọn ngẫu nhiên từ kiện hàng đó ra 2 sản phẩm (chọn một lần) Lập hàm phân phối xác suất của số sản phẩm tốt chọn được. Lập hàm phân phối xác suất của số sản phẩm xấu chọn được. Tính kỳ vọng phương sai của số sản phẩm tốt, sàn phẩm xấu. Giải: a) Lập hàm phân phối xác suất của số sản phẩm tốt chọn được. Gọi X là số sản phẩm tốt chọn được Ta có bảng phân phối xác suất của X(Số sản phẩm tốt) X 0 1 2 Khi Khi Khi Khi Vậy hàm phân phối xác suất là: 0 nếu nếu 0<x1 nếu 1<x2 1 nếu x>2 b) Lập hàm phân phối xác suất của số sản phẩm xấu chọn được. Gọi X là số sản phẩm xấu được chọn: Ta tính xác suất tương đương của X Khi Khi Khi Bảng phân phối xác suất của X(Số sản phẩm xấu) X 0 1 2 Khi Khi Khi Khi Hàm phân phối xác suất sản phẩm xấu chọn được là: 0 nếu nếu F(X) = nếu 1 nếu x>2 c) Tính kỳ vọng phương sai của số sản phẩm tốt, sàn phẩm xấu. Kỳ vọng sản phẩm tốt: Kỳ vọng sản phẩm xấu là: Ta có: Suy ra phương sai của số sản phẩm tốt là: Và phương sai của số sản phẩm xấu là: Câu 48: Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ: a) Tìm hàm phân phối F(x). Tính ModX, MedX, EX, VarX b) Tính xác suất để trong 3 phép thử độc lập có 2 lần X nhận giá trị trong khoảng (1;4) Giải: a) Tìm hàm phân phối F(x). Tính ModX, MedX, EX, VarX * Tìm hàm phân phối F(x): Khi x 0 Khi 0<x Khi x >3 Vậy hàm phân phối xác suất của x là: nếu x nếu 0<x nếu x>3 * ModX: Ta có f(x)= nếu Bảng xét dấu f(x): x 0 3 f ’(x) + f(x) mod(x) = 3 * MedX: Gọi a là median của x thì a Vậy med(x)= * EX: E(x)= * VarX: D(x)= b) Tính xác suất để trong 3 phép thử độc lập có 2 lần X nhận giá trị trong khoảng (1;4) Xác xuất để x nhận giá trị trong khoảng (1,4) là : P(1<x<4)= Gọi A là biến cố để trong 3 phép thử độc lập cố 2 lần x thuộc (1,4) thì A tuân theo công thức bernoulli vói p=, k=2,n=3 = Vậy xác suất để trong 3 phép thử độc lập có 2 lần x nhận giá trị trong khoảng (1; 4) là P(A) = 0,103 II.4. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG VÀ CÁC LOẠI XẤP XỈ XÁC SUẤT II.4.1. Phân phối Poisson Câu 49: Một trạm điện thoại tự động nhận được trung bình 300 cuộc gọi trong một giờ. Tìm xác suất trạm điện thoại này nhận đúng hai cuộc gọi trong một phút, không ít hơn hai cuộc gọi trong một phút. Giải: Gọi X là số cuộc điện thoại gọi đến trong một phút. là số cuộc điện thoại trung bình gọi đến trong một phút: Suy ra: X~ Ta có: Gọi A là biến cố trong một phút có đúng hai cuộc gọi đến. Suy ra: Gọi B là biến cố trong một phút không ít hơn 2 cuộc điện thoại gọi đến. Suy ra: Vậy: Xác suất trạm điện thoại nhận đúng hai cuộc gọi trong một phút là 0,0842 Xác suất trạm điện thoại nhận không ít hơn hai cuộc gọi trong một phút là 0,9595 Câu 50: Trong 1000 trang sách có 100 lỗi in sai. Tìm xác suất để khi chọn ngẫu nhiên một trang sách này có đúng 3 lỗi in sai, nhiều hơn 3 lỗi in sai. Giải: Gọi X là số lỗi in sai trong một trang sách. là số lỗi in sai trung bình trong một trang sách: = Suy ra: X~ Ta có: Gọi A là biến cố trong một trang sách có đúng 3 lỗi in sai. Suy ra: Gọi B là biến cố trong một trang sách có nhiều hơn 3 lỗi in sai. Suy ra: Vậy: Xác suất để một trang sách có đúng 3 lỗi in sai là: 0,00015 Xác suất để một trang sách có nhiều hơn 3 lỗi in sai là: 0,0000038 II.4.2. Phép thử Bernoulli và phân phối Nhị thức Câu 56: Một lô hàng có rất nhiều sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm là 0,3%. Kiểm tra ngẫu nhiên lần lượt từng sản phẩm của lô hàng này. Tính số sản phẩm tối thiểu cần kiểm tra để xác suất chọn được ít nhất 1 phế phẩm không bé hơn 91%. Giải: Gọi A là biến cố chọn dược ít nhất một phế phẩm trong tối thiểu n sản phẩm lấy ra để xác suất chọn được ít nhất một phế phẩm không nhỏ hơn 91% thì là biến cố không nhận được phế phẩm nào trong tối thiểu n sản phẩm lấy ra để xác xuất nhận được ít nhất 1 phế phẩm không nhỏ hơn 91% Hai biến cố A và là hai biến cố đối lập nhau nên giả sử P(A) là xác suất của biến cố A thì xác suất của biến cố là P() = 1- P(A) Vì tỉ lệ phế phẩm = 0,003 là không thay đổi và khi thực hiện chọn ra sản phẩm chỉ xảy ra 2 khả năng hoặc nhận được chính phẩm hoặc nhận được phế phẩm nên bài toán tuân theo lược đồ bernoulli Gọi X là số phế phẩm lấy được thì X tuân theo lược đồ Bernoulli Với p =0,003 và q = 0,997 P() = P(X=0)= .(0,003)0.(0,997)n = (0,997)n P(A) = 1- (0,997)n Theo đề P(A) 0,91 1- (0,997)n 0,91 Vì n Z nên chọn n = 802 Vậy phải chọn tối thiểu 802 sản phẩm để xác suất nhận được ít nhất một phế phẩm không nhỏ hơn 91% Câu 57: Một trường tiểu học có tỉ lệ học sinh bị cận thị là 0,9%. Kiểm tra ngẫu nhiên lần lượt từng học sinh của trường này. Tính số học sinh tối thiểu cần kiểm tra để xác suất chọn được ít nhất một học sinh bị cận thị không bé hơn 95%. Giải: Gọi A là biến cố chọn dược ít nhất một học sinh bị cận thị trong tối thiểu n học sinh chọn ra để xác suất chọn được ít nhất một học sinh bị cận thị không nhỏ hơn 95% Suy ra là biến cố không chọn được học sinh nào bị cận thị trong tối thiểu n học sinh chọn ra để xác xuất nhận được ít nhất một học sinh bị cận thị không nhỏ hơn 95% Hai biến cố A và là hai biến cố đối lập nhau nên với P(A) là xác suất của biến cố A thì xác suất của biến cố là P() = 1- P(A) Vì tỉ lệ học sinh bị cận thị là 0,9% là không thay đổi và khi thực hiện chọn ra chỉ xảy ra 2 khả năng hoặc chọn được học sinh bị cận thị hoặc chọn được học sinh không bị cận thị nên bài toán tuân theo lược đồ Bernoulli Gọi X là số học sinh bị cận thị chọn được thì X tuân theo lược đồ Bernoulli Với p= 0,009 và q = 0,991 P() = P(X=0)= .(0,009)0.(0,991)n = (0,991)n P(A) = 1 - (0,991)n Theo đề P(A) 0,95 1 - (0,991)n 0,95 (*) Dễ thấy giá trị nguyên nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện (*) là n = 332 Vậy phải chọn tối thiểu 332 học sinh để kiểm tra thỏa mãn xác suất chọn được ít nhất một học sinh bị cận thị không bé hơn 95% Câu 68: Một người có 3 chỗ yêu thích như nhau để câu cá. Xác suất câu được cá ở 3 chỗ 1, 2, 3 tương ứng là 0,6; 0,7; 0,8. Người đó chọn ngẫu nhiên 1 chỗ thả câu 3 lần và chỉ câu được 1 con cá. Tính xác suất để con cá câu được ở chỗ thứ 3. Giải: Gọi A là biến cố 3 lần thả câu chỉ được một con cá Gọi Ai (i=1,2,3) là biến cố câu được cá ở cỗ thứ i Gọi Bilà biến cố chỉ câu được một con cá ở chỗ thứ i thì P(Bi) = P(A/Ai) A1, A2, A3 là các biến cố đồng khả năng và chúng lập thành hệ đầy đủ các biến cố xung khắc từng đôi. Vì khả năng câu được cá ở 3 chỗ là như nhau nên : P(A1) = P(A2) = P(A3)= Gọi x là số cá câu được sau 3 lần thả câu (x = 0,1,2,3) xác suất câu được x con cá ở mỗi chỗ là phân phối nhị thức với n=3 và P1= 0.6, P2=0.7,P3= 0.8 P(B1)= P(X=1)= P(B2)= P(X=1)= P(B3)= P(X=1)= P(A)= P(A1). P(A/A1)+P(A2). P(A/A2)+P(A3). P(A/A3) = P(A1). P(B1). +P(A2). P(B2). +P(A3). P(B3). = 0.191 P(A3/A)== Vậy xác suất để con cá câu được ở chỗ thứ ba là II.4.3. Phân phối chuẩn Câu 73: Cho X. Tính P(X<2), P(X2≤4), P(), P() Giải: Đại lượng ngẫu nhiên X tuân theo qui luật phân phối chuẩn với Giả sử ta cần tính P() Ta có P()= Đặt P()= = 0,65866 Câu 83: Một doanh nghiệp cần mua 1 loại trục máy có đường kính từ 1,18cm đến 1,22cm. Có hai nhà máy bán loại trục máy này và đường kính các loại trục máy được sản xuất ra là biến ngẫu nhiên X và Y có phân phối chuẩn với các đặc trưng: Đặc điểm Nhà máy Đường kính trung bình Độ lệch tiêu chuẩn Giá bán X(Nhà máy I) 1,2cm 0,01 3 triệu/hộp/100 cái Y(Nhà máy II) 1,2cm 0,015 2,7 triệu/hộp/100 cái Vậy doanh nghiệp nên mua trục của nhà máy nào? Giải: Gọi X là số trục máy đạt tiêu chuẩn của nhà máy 1 thì X tuân theo quy luật phân phối chuẩn với và suy ra: P(X)= Vậy giả sử mua 100 cái trục của nhà máy 1 thì số trục đạt yêu cầu là 95,45 trong khi đó số tiền phải bỏ ra là 3tr đồng suy ra giá trị sử dụng trung bình của một trục là Gọi Y là số trục đạt tiêu chuẩn của nhà máy 2 thì Y tuân theo qui luật phân phối chuẩn với và suy ra: Suy ra trong 100 sản phẩm có 81,684 sản phẩm đạt yêu cầu Suy ra giá trị sử dụng của một trục của nhà máy 2 là tr Vậy giá trị sử dụng một trục sản phẩm của nhà máy X nhỏ hơn giá trị sử dụng một trục của nhà máy Y suy ra công ty nên mua trục của nhà máy X. II.4.4. Các loại xấp xỉ xác suất thông dụng (Siêu bội ~ Nhị thức ~ Poisson, Chuẩn) Câu 84: Một bao thóc có tỷ lệ hạt lép là 0,01%. Chọn ngẫu nhiên liên tiếp 5000 hạt. Tính xác suất để: a) Có đúng 2 hạt thóc lép. b) Có ít nhất 2 hạt thóc lép. Giải: Gọi X là số hạt lép trong 5000 hạt. Ta có: X ~ B(5000; 0,0001) Do n = 5000 khá lớn và p = 0,0001 khá bé ta dùng xấp xỉ: X P() với = 5000. 0,0001 = 0,5 X ~ P(0,5) Với P(X=K) = Gọi A là biến cố có đúng 2 hạt thóc lép khi chọn ngẫu nhiên liên tiếp 5000 hạt thóc. à P(A)=P(X=2)= Gọi B là biến cố có ít nhất 2 hạt thóc lép khi chọn ngẫu nhiên liên tiếp 5000 hạt thóc. à P(B) = P(X≥2)= 1- [P(X=0)+P(X=1)] = 1 – (+) = 0,0902 Câu 85: Một hãng sản xuất trung bình 1000 đĩa nhạc thì có 1 đĩa hỏng. Tính xác suất để khi hãng đó sản xuất 9000 đĩa nhạc thì có nhiều hơn 10 đĩa không hỏng. Giải: Gọi X là số đĩa nhạc không hỏng (0 ) Gọi A là biến cố số đĩa nhạc không hỏng >10 Thì là biến cố số đĩa nhạc bị hỏng P(A)=1- P() Vì tỷ lệ số đĩa nhạc bị hỏng = 0,001 là không đổi nên bài toán tuân theo công thức bernoulli với n=9000 và p=0,001 Mặt khác p quá nhỏ (p<0,05) và n quá lớn nên công thức bernoulli xấp xỉ công thức poisson với =np=0,001.9000 = 9 Vậy xác xuất để hãng đó sản xuất 9000 đĩa nhạc có nhiều hơn 10 đĩa không hỏng là 1 Câu 93: Một trường cấp 3 có 900 học sinh. Giả sử trong 1 năm trung bình mỗi học sinh phải nằm ở trạm y tế của trường 1 ngày và khả năng bị bệnh của học sinh phân phối đều các ngày trong năm. Số giường của trạm y tế tối thiểu là bao nhiêu để tỉ lệ không đủ giường cho người bệnh ít hơn 0,01. Giải: Gọi X là số học sinh phải nằm trạm y tế trong 1 ngàyà X Gọi là số học sinh bị bệnh trung bình trong 1 ngàyà = Suy ra: X~P() Với P(X=K) = Gọi m là số giường tối thiểu để tỉ lệ không đủ giường cho người bệnh ít hơn 0,01 Suy ra: à m=7 Vậy số giường tối thiểu để tỉ lệ không đủ giường cho người bệnh ít hơn 0,01 là 7 giường. PHẦN III: BÀI TẬP THỐNG KÊ III.1. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG Câu 1: Người ta kiểm tra ngẫu nhiên 400 sản phẩm của một nhà máy thì thấy có 20 phế phẩm. Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng tỉ lệ chính phẩm của nhà máy này. Giải: Gọi p là tỉ lệ số chính phẩm trong 400 sản phẩm kiểm tra: p = = 0,95 Tính với độ tin cậy 95%, ta ước lượng tỉ lệ p đám đông Vậy ước lượng tỉ lệ chính phẩm của nhà máy này là (0,9256 ; 0,9714) Câu 4: Trong kho có 1000 sản phẩm của nhà máy A sản xuất bỏ lẫn với nhiều sản phẩm do nhà máy B sản xuất. Lấy ngẫu nhiên từ kho ra 100 sản phẩm thấy có 9 sản phẩm do nhà máy A sản xuất. Với độ tin cậy 92%, hãy ước lượng trong kho này có khoảng bao nhiêu sản phẩm do nhà máy B sản xuất? Giải: Nếu dự đoán thô: 100 sản phẩm có: 9 sản phẩm nhà máy A và 91 sản phẩm nhà máy B 1000 sản phẩm nhà máy Aà sản phẩm nhà máy B Tỉ lệ số sản phẩm do nhà máy B sản xuất trong 100 sản phẩm là: FB = Độ tin cậy: 1 - =0,92 à à tα = 1,76 Độ chính xác: = 1,76.= 0,05 Suy ra ước lượng tỉ lệ số sản phẩm do nhà máy B sản xuất ra: PB =(fB-; fB+) = (0,91-0,05; 0,91+0,05) = (0,86; 0,96) Số sản phẩm do nhà máy B sản xuất là N với: N1N N2 Trong đó: N1= N2= Vậy trong kho có khoảng (10532; 11757) sản phẩm do nhà máy B sản xuất ra với độ tin cậy 92% Câu 30: Một nông dân gieo thử nghiệm 1000 hạt của một giống lúa mới thì có 640 hạt nảy mầm. Với độ tin cậy là 95%, hãy ước lượng tỉ lệ nảy mầm của giống lúa này. Muốn có độ tin cậy 97% và sai số ước lượng tỉ lệ hạt nảy mầm là 2% thì người nông dân cần gieo tối thiểu bao nhiêu hạt? Giải: a) Tỉ lệ hạt giống nảy mầm là: fn = Độ tin cậy: 1 - =0,95 à à tα = 1,96 Độ chính xác: Ước lượng tỉ lệ hạt nảy mầm là: P(fn-; fn+) = (0,61; 0,67) b) Với độ tin cậy: 1 - =0,97 à à tα = 2,17 Độ chính xác: Gọi n là số hạt cần gieo thỏa mãn yêu cầu bài toán. Suy ra: n= = +1= 2712+1=2713 Vậy số hạt lúa tối thiểu cần gieo để thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 2713 (hạt) Chú thích: gọi là phần nguyên của x, là số nguyên lớn nhất không vượt quá x Câu 40: Độ dày của một bản kim loại (đơn vị: mm) là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Đo ngẫu nhiên 10 bản loại này thu được kết quả như sau: 4,1 3,9 4,7 4,4 4,0 3,8 4,4 4,2 4,4 5,0 a) Ước lượng độ dày trung bình của bản kim loại này với độ tin cậy 90% b) Ước lượng độ phân tán của độ dày bản kim loại với độ tin cậy 95% Giải: a) Tính ước lượng độ dày trung bình của bản kim loại với độ tin cậy 90% Độ dày trung bình của bản kim loại là: Trung bình bình phương của bản kim loại là: Phương sai mẫu chưa hiệu chỉnh: - = 18,527 – 4,292 = 0,1229 Suy ra phương sai mẫu đã hiệu chỉnh là: S = . = . = 0,37 Độ tin cậy: 1 - = 0,9 à = 0,1 Vì n = 10 <30 nên (Tra bảng C) Do đó độ chính xác: =. = 1,833.= 0,214 (mm) Vậy ước lượng độ dày trung bình của bản kim loại là: = (4,29-0,214; 4,29+0,214) = (4,076; 4,504) b) Độ tin cậy: 1 - = 0,95 à Gọi là độ phân tán (phương sai) của độ dày bản kim loại. Ta có: và Suy ra: Vậy độ phân tán (phương sai) của độ dày bản kim loại từ (; 0,4563) với độ tin cậy là 95% III.2. KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT Câu 41: Tỉ lệ phế phẩm do công ty A sản xuất là 5%. Nhằm giảm tỉ lệ phế phẩm, công ty A đã cải tiến kỹ thuật. Sau cải tiến người ta kiểm tra ngẫu nhiên 400 sản phẩm thấy có 18 phế phẩm.Với mức ý nghĩa 5%, hãy cho kết luận về hiệu quả của việc cải tiến kỹ thuật của công ty A? Giải: Gọi tỷ lệ phế phẩm của công ty A sau khi cải tiến kỹ thuật là p. Đặt giả thiết H0: p= p0 = 0,05 Với mức ý nghĩa Từ mẫu đã cho ta có Vì nên ta chấp nhận giả thiết. Kết luận: Sau khi cải tiến kỹ thuật chưa làm giảm được tỉ lệ phế phẩm. Câu 42: Điểm danh ngẫu nhiên 100 sinh viên khoa Kinh tế thấy có 8 người vắng, điểm danh 120 sinh viên Cơ khí thấy có 12 người vắng. Với mức ý nghĩa 3% hãy cho biết mức độ chuyên cần của sinh viên hai khoa? Giải: Mức ý nghĩa: = 0,03 à à tα = 2,17 * Tỉ lệ sinh viên khoa Kinh tế nghỉ học: fKT = Độ chính xác: Ước lượng tỉ lệ sinh viên khoa Kinh tế nghỉ học là: PKT(fKT-; fKT+) = (0,08 - 0,05887; 0,08+0,05887) = (0,02113; 0,13887) * Tỉ lệ sinh viên khoa Cơ khí nghỉ học: fCK = Độ chính xác: Ước lượng tỉ lệ sinh viên khoa Cơ khí nghỉ học là: PCK(fCK-; fCK+) = (0,1 - 0,05943; 0,1 + 0,05943) = (0,04057; 0,15943) Dựa vào ước lượng tỉ lệ sinh viên nghỉ học của sinh viên hai khoa ta thấy sinh viên khoa Kinh tế chuyên cần hơn sinh viên khoa Cơ khí. Câu 55: Để kiểm tra thời gian sản xuất ra 1 sản phẩm của hai máy (đơn vị: giây), người ta theo dõi ngẫu nhiên cả hai máy và ghi lại kết quả: Máy 1 58 58 56 38 70 38 42 75 68 67 Máy 2 57 55 63 24 67 43 33 68 56 54 Với mức ý nghĩa 5%, có thể xem máy 2 tốt hơn máy 1 không? Giả sử độ lệch tiêu chuẩn thời gian xuất ra 1 sản phẩm của hai máy là như nhau và có phân phối chuẩn. Giải: Gọi thời gian trung bình để sản xuất của máy 1 và máy 2 lần lượt là X, Y. Theo giả thiết ta có X, Y là các đại lượng ngẫu nhiên phân phối chuẩn. Đặt giả thiết : H0 : E(X) = E(Y) Lập bảng cho máy 1 và máy 2: MÁY 1 38 2 76 2888 42 1 42 1764 56 1 56 3136 58 2 116 6728 67 1 67 4489 68 1 68 4624 70 1 70 4900 75 1 75 5625 10 570 34154 Ta có : , Và MÁY 2 24 1 24 576 33 1 33 1089 43 1 43 1849 54 1 54 2916 55 1 55 3025 56 1 56 3136 57 1 57 3249 63 1 63 3969 67 1 67 4489 68 1 68 4624 10 520 28922 Ta có : , Và Với mức ý nghĩa Ta tính được Ta thấy nên ta chấp nhận giả thiết, tức là hai máy tốt như nhau. III.3. BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu 56: Thu nhập (triệu đồng/năm) của 80 hộ dân trong bản A là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Điều tra ngẫu nhiên về thu nhập của 40 hộ dân trong bản A, có bảng số liệu: Thu nhập 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 Số hộ dân 1 3 4 6 8 7 6 3 2 a) Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng số hộ dân của bản A có thu nhập dưới 5tr/năm b) Nếu biết trước đây 2 năm, thu nhập bình quân của các hộ dân ban A là 5,5tr/năm, với mức ý nghĩa 3% có nhận xét gì về mức sống của dân trong bản A? Giải: a) Ước lượng số hộ dân có thu nhập dưới 5tr/năm với độ tin cậy 95% Tỉ lệ số hộ dân có thu nhập dưới 5tr/năm: fn = Độ tin cậy: 1 - =0,95 à à tα = 1,96 Độ chính xác: Ước lượng tỉ lệ số hộ dân có thu nhập dưới 5tr/năm là: P(fn-; fn+) = (0,1 – 0,093; 0,1 + 0,093) = (0,007; 0,193) Vậy ước lượng số hộ dân có thu nhập dưới 5tr/năm là: M=(0,007.80; 0,193.80) = (0,56; 15,44) b) Nhận xét về mức sống của dân trong bản A: Thu nhập trung bình của 40 hộ dân là: Thu nhập trung bình bình phương của 40 hộ dân là: = 38,31875 Phương sai mẫu chưa hiệu chỉnh: - = 38,31875 – 2 = 0,956 Suy ra phương sai mẫu đã hiệu chỉnh là: S = . = . = 0,99 Mức ý nghĩa: = 0,03 à à tα = 2,17 Kiểm định: Vì t = 3,9129 > tα = 2,17 nên bác bỏ giả thiết. Vậy mức sống của người dân trong bản A cao hơn 5,5tr/năm so với mức ý nghĩa 3% Câu 57: Thu nhập (triệu đồng / tháng) của nhân viên trong 1 công ty nước ngoài A là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Khảo sát ngẫu nhiên một số nhân viên ở công ty A, có kết quả: Thu nhập 8,0-8,5 8,5-9,0 9,0-9,5 9,5-10 10-10,5 10,5-11 11-11,5 11,5-12 Số người 12 35 66 47 24 20 6 3 a) Ước lượng thu nhập trung bình của nhân viên ở công ty A với độ tin cậy 97%. b) Nếu muốn ước lượng thu nhập trung bình của nhân viên ở công ty A với độ tin cậy 99% và độ chính xác 0,3 triệu đồng / tháng thì cần khảo sát thêm bao nhiêu nhân viên nữa. c) Những nhân viên có thu nhập trên 10,5 triệu đồng / tháng là có thu nhập cao. Với độ tin cậy 98%, hãy ước lượng thu nhập trung bình của nhân viên có thu nhập cao. d) Có người nói tỉ lệ nhân viên có thu nhập cao ở công ty A là 13%, với mức ý nghĩa 1% có nhận xét gì về lời nói trên. Giải: Ta lập bảng tính : xi ni xini xi2ni 8,25 12 99 816,75 8,75 35 306,25 2679,688 9,25 66 610,5 5647,125 9,75 47 458,25 4467,938 10,25 24 246 2521,5 10,75 20 215 2311,25 11,25 6 67,5 759,375 11,75 3 35,25 414,1875 n = 213 2037,75 19617,81 a) của mức thu nhập chưa biết Với n =213 > 30 và chưa biết.Ta áp dụng công thức: Vậy mức thu nhập trung bình của nhân viên ở công ty A trong khoảng ước lượng (9,45triệu đồng ; 9,68triệu đồng). b) Với độ tin cậy Độ chính xác . Từ công thức Vậy cần khảo sát thêm 43 nhân viên nữa với độ tin cậy 99% c) Ta lập bảng tính cho nhân viên có thu nhập cao xi ni xini xi2ni 10,75 20 215 2311,25 11,25 6 67,5 759,375 11,75 3 35,25 414,1875 29 317,75 3484,813 Với độ tin cậy ta có: Vậy ước lượng thu nhập trung bình của nhân viên có thu nhập cao là khoảng (10,86triệu ; 11,06triệu) d) Tỉ lệ nhân viên có thu nhập cao là p0=0,13 Ta đặt giả thiết H0 : p= p0=0,13 Từ mẫu đã cho ta có vậy Với mức ý nghĩa Ta thấy nên ta chấp nhận giả thiết H0, tức là lời nhận xét trên là đúng. Câu 68: Theo dõi lượng phân bón X(kg/ha) và năng suất một loại cây trồng Y(tạ/ha) của một thửa ruộng (có cùng diện tích 1 ha), có bảng số liệu: X Y 120 140 160 180 200 20 – 24 5 4 24 – 28 7 10 5 28 – 32 15 20 12 32 – 36 7 9 6 a) Ước lượng năng suất trung bình của những thửa ruộng bón phân 180kg/ha với độ tin cậy là 98% b) Để ước lượng năng suất trung bình với độ chính xác và độ tin cậy như câu a thì cần phải theo dõi thêm bao nhiêu thửa ruộng nữa? c) Một tài liệu cũ nói rằng năng suất trung bình của loại cây trồng này là 30 tạ/ha. Với mức ý nghĩa 2% hãy cho kết luận về nhận xét này? d) Lập phương trình hồi quy tuyến tính mẫu của năng suất cây trồng theo lượng phân bón. Dự đoán xem nếu lượng phân bón là 190 kg/ha thì năng suất khoảng bao nhiêu? Giải: a) Tính ước lượng năng suất trung bình của những thửa ruộng bón phân 180kg/ha với độ tin cậy là 98% Ta có bảng số liệu sau: xi ni xini xi2ni 26 5 130 3380 30 12 360 10800 34 9 306 10404 26 796 24584 Suy ra: Phương sai mẫu chưa hiệu chỉnh: - = 945,538 – 30,6152 = 8,259775 Suy ra phương sai mẫu đã hiệu chỉnh là: S = . = . = 2,93 Độ tin cậy: 1 - = 0,98 à = 0,02 Suy ra: (Tra bảng C) Do đó độ chính xác: =. = 2,485.= 1,428 (mm) Vậy ước lượng năng suất trung bình của những thửa ruộng thỏa mãn yêu cầu bài toán là: = (30,615 – 1,428; 30,615 + 1,428) = (29,187; 32,043) b) Để ước lượng năng suất trung bình với độ chính xác và độ tin cậy như câu a thì cần phải theo dõi thêm bao nhiêu thửa ruộng nữa? Gọi n là số thửa ruộng phải theo dõi: Với S2 = 8,5849 và độ tin cậy Ta có: Suy ra: n= = +1= 22+1= 23 Ta thấy n = 23 < n0 = 26 vậy không phải điều tra thêm thửa ruộng nào nữa. c) Gọi a0 là năng suất trung bình của loại cây trồng theo tài liệu cũ a là năng suất trung bình của loại cây trồng theo hiện tại Kiểm định giả thuyết H có a = a0 = 30 tạ/ha với mức ý nghĩa 2% Ta lập bảng thống kê X: xi ni xini xi2ni 22 9 198 4356 26 22 572 14872 30 47 1410 42300 34 22 748 25432 n = 100 2928 86960 Suy ra: Phương sai mẫu chưa hiệu chỉnh: - = 869,6 – 29,282 = 12,2816 Suy ra phương sai mẫu đã hiệu chỉnh là: S = . = . = 3,522 Với độ tin cậy Lại có: à Z= 2,0443 < Z= 2,33 nên chấp nhận giả thiết a = a0 d) Lập phương trình hồi quy tuyến tính mẫu của năng suất cây trồng theo lượng phân bón. Dự đoán xem nếu lượng phân bón là 190 kg/ha thì năng suất khoảng bao nhiêu? Ta lập bảng thống kê Y: yj mj yjmj yj2mj 120 5 600 72000 140 26 3640 509600 160 37 5920 947200 180 26 4680 842400 200 6 1200 240000 n = 100 16040 2611200 Suy ra: Phương sai mẫu chưa hiệu chỉnh: - = 26112 – 160,42 = 383,84 Suy ra phương sai mẫu đã hiệu chỉnh là: S = . = . = 19,69 Lập bảng để tính nij nij.xi.yj 5 5.22.120 = 13200 4 4.22.140 = 12320 7 7.26.140 = 25480 15 15.30.140 = 63000 10 10.26.160 = 41600 20 20.30.160 = 96000 7 7.34.160 = 38080 5 5.26.180 = 23400 12 12.30.180 = 64800 9 9.34.180 = 55080 6 6.34.200 = 40800 100 473760 Suy ra: = = Theo câu trên ta có: và Ta có: à Vậy phương trình hồi quy tuyến tính mẫu của năng suất cây trồng theo lượng phân bón là : Nếu lượng phân bón là 190 kg/ha thì năng suất khoảng: (kg/ha) HẾT LỜI CẢM ƠN Sau một thời gian tìm tòi tài liệu trong thư viện trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh, phòng Đa phương tiện, các phương tiện thông tin đại chúng, sự hướng dẫn của Thầy Trần Chiến_giảng viên bộ môn Xác suất thống kê chúng em đã hoàn thành xong đề tài tiểu luận “Định lý giới hạn trung tâm – các xấp xỉ xác suất và bài tập”. Thông qua bài tiểu luận này, chúng em đã phần nào hiểu thêm về kiến thức của bộ môn Xác suất thống kê, hiểu hơn về ngôi trường mình đang học để chúng em càng thêm yêu Đại Học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh, đặc biệt thông qua quá trình làm bài tiểu luận đã giúp chúng em có những kỹ năng ban đầu trong việc tìm tòi tài liệu, kỹ năng phân tích tài liệu, kỹ năng làm việc theo nhóm,…đồng thời giúp các bạn trong nhóm gần gũi và hiểu nhau hơn, tạo động lực giúp đỡ nhau trong quá trình học tập sau này. Một lần nữa, chúng em xin chân thành cảm ơn: Trường ĐH Công Nghiệp TP.HCM đã tạo môi trường thuận lợi cho việc học tập và nghiên cứu làm tiểu luận. Khoa: KHOA HỌC CƠ BẢN đã trang bị cho chúng em những kiến thức về bộ môn Xác suất thống kê Thày giáo Trần Chiến - giảng viên bộ môn Xác suất thống kê đã giúp đỡ và hướng dẫn chúng em tận tình cách làm tiểu luận. Thư viện trường đã cung cấp những tài liệu cần thiết, là nơi chúng em thảo luận và học tập. Thay mặt nhóm, Nhóm trưởng: Bùi Văn Tiệp Thành phố Hồ Chí Minh tháng 11/2009 TÀI LIỆU THẢM KHẢO Giáo trình Xác suất – Thống kê và Ứng dụng – Nguyễn Phú Vinh – NXB Thống Kê Ngân hàng câu hỏi Xác suất – Thống kê và Ứng dụng – ĐHCN TP.HCM Lý thuyết Xác suất và Thống kê – Đinh Văn Gắng – NXB Giáo dục Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán – Nguyễn Thanh Sơn, Lê Khánh Luận – NXB Thống Kê Xác suất – Thống kê – Lý thuyết và các bài tập – Đậu Thế Cấp – NXB Giáo dục Xác suất – Thống kê và Ứng dụng – Lê Sĩ Đồng – NXB Giáo dục Xác suất và Thống kê – Đặng Hấn – NXB Giáo dục Giáo trình Xác suất và Thống kê – Phạm Xuân Kiều – NXB Giáo dục Giáo trình Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán – Nguyễn Cao Văn – NXB Kinh tế Quốc dân