Tích phân không xác định - Tích phân xác định

Chuyên đề VII: Tích phân không xác định - tích phân xác địnhI. Khái niệm - Tính chất - công thức: + F(x) là một nguyên hàm của f(x) Û F ’(x) = f(x). Nhận xét Nếu F(x) là nguyên hàm của f(x) thì F(x) + C cũng là nguyên hàm của f(x). Kí hiệu: f(x)dx = F(x) + C.+ Tính chất: [f(x) + g(x) - h(x)]dx = f(x)dx + g(x)dx - h(x)dx; k.f(x)dx = kf(x)dx. (f(x)dx)’ = f(x); f ‘(x)dx = f(x) + C; f(x)dx =f(t)dt =f(s)ds.+ Nếu : f(x)dx = F(x) + C. Thì : f(x)dx = F(x) = F(b) - F(a) Ngoài các tính chất trên còn: f(x)dx = -f(x)dx; f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. Nếu f(x) Ê g(x) trên [a,b]ị:f(x)dx Ê g(x)dx+ Các công thức: 0dx = C dx = x + C (ax + b)adx = (ax + b)a+1 + C (a ạ - 1)  dx = ln|ax + b| + C Aax + bdx = Aax + blogAe + C eax + bdx = eax + b + C sin(ax + b)dx = -cos(ax + b) + C cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C  tg(ax + b)dx = -ln|cos(ax + b)| + C cotg(ax + b)dx = ln|sin(ax + b)| + C = tg(ax + b) + C = - cotg(ax + b) + C  dx = arcsin + C = - arccos + C dx = arctg + C = -arccotg + C dx = ln|| + C = ln |f(x) | + C  dx = + ln|x + | + C; dx = ln|x + | + C eaxsinbxdx = + C eaxcosbxdx = + CI. Phương pháp biến đổi hàm số dưới dấu tích phân:1. a . I = sin2xdx = (1 - cos2x)dx = x - sin2x + C (MĐ chất. 98: I = sinxdx) b. I = sin3xdx = (3sinx - sin3x)dx = - cosx + cos3x + C c. I = sin4xdx = ( - + )dx = x - sin2x + sin4x + C d. I = sin5xdx = sin2x.sin3xdx = .(1 - cos2x)(3sinx - sin3x)dx =  = [3sinx - sin3x - 3cos2xsinx + sin3xcos2x)dx = [3sinx - sin3x]dx - [sin3x - sinx]dx + + [sin5x + sinx]dx = - cosx + cos3x + cos3x - cosx - cos5x - cosx + C = = - cos5x + cos3x - cosx + C.2. a. I = cos2xdx = (1 + cos2x)dx . b. I = cos3xdx = (3cosx + cos3x)dxc. I = cos4xdx = ( + + )dx = x + sin2x + sin4x + CĐH An Ninh. 98: (cos3x + sin3x)dx Bách khoa. 98: cos2x(cos4x + sin4x)dx. I = (cos6x + sin6x)dxd. ĐH dân lập Đông Đô. 97 º An Ninh. 98: I = = = (tgx + tg3x) = e. ĐH Nông nghiệp I. 97: I = = 3. a. I = tg2xdx = ( - 1)dx = tgx - x + C b. I = cotg2xdx = ( - 1)dx = -Cotgx - x + Cc. I =tg3xdx = = = -cos-3xd(cosx) = ln |cosx| ++ C d. I = tg4xdx = tg2xsin2xd(tgx) = tg2x(1 - cos2x)d(tgx) = tg2x(1 - )d(tgx) = = tg2xd(tgx) - d(tgx) = tg3x - tgx + arctg(tgx) + C = tg3x - tgx + x + C4. a - 85.IVa: I = = []dx = arctgx - arctg =(3- 2)b - 104. IVa º Đông Đô. 97: I = = []dx = (tgx - cotgx) = 4c - 68.IVa: I = = =[4sinx - 2sin2x]dx . Bạn tự giải tiếpd - 84.IVa: I = = = -[1 + cotg2x]d(cotgx) = - (cotgx + ) = 4/3.5. a : I = dx = = tg2(x - )dx = [ - 1]d(x - ) = = [tg(x - ) - x] = 1 - . b - 70.IVa: Giải f(t) =(4sin4x - )dx = 0 Û (cos4x - 2cos2x)dx = 0 Û sin4t - 8sin2t = 0 Û t = kp/2.c - ĐH mở. 98 - 126: Giải f(x) = cos(t - x2)dt = sinx Û sin(x - x2) + sinx2 = sinx Û  Û 2sin cos( - x2) = 2sin cos Û  (*) Û (**) Û x = ( 1 - 8kp > 0).d - 103: I = = = = = (sin + cos)dx - (sin + cos)dx = 4e - 104.IVb - DLPĐông.98:: I = = = [(x + 1)- (x - 1) ]dx. f. HVKTQS. 98: I = . (Nhân liên hợp). XDựng. 98: Tìm A, B để g(x) = A.f(x) + B.f ‘(x).Với : f(x) = 4cosx + 3sinx; g(x) = cosx + 2sinx . Tính: I = I = = x + ln(x6 + 1) + arctgx + arctgx3 + Cg - 18.2 º MĐ Chất. 98: I = = = [(x + 1)-2 - (x + 1)-3]dx. Bạn tự giải tiếp .6. a: I = ( b2 - 4ac 0) ị I = . Bạn tự giải tiếp  b. I = ( b2 - 4ac 0) ị I = + (B - b.)  7. a - I = Ta có: = + + = = Û Vậy I = - - = ln|| - arctg + C.Cách 2: I = = = -  = - = ln || - arctg + C+ I = Cách 1: Biến đổi: I = ]dx = = - ln2 c. CĐSP Q Ninh. 97(D): I = Cách 1: Cách 2: I = = - = -arctgx + Cd. Đại học thuỷ lợi. 97:I = = = 2+ I = = 100 = 200 (Vì hàm cos2x tuần hoàn chu kỳ p)e. Đại học Quốc gia TP. Hồ Chí Minh. 97(B): I = = = - + ln2 f. Đại học quốc gia. 97 (D): I = = - = - 1 - ln = ln . J =   II. Đổi biến số: f(x)dx = f[j(t)]j’(t)dt; f(t)dt = f[j(x)]j’(x)dx. Chú ý đổi cận nếu có.1. a. I = = (chia cả tử và mẫu cho 4x = 22x). Đăt: ()x = t ị ()xdx = dt. ị I = = arctg()x + C. ĐHTMại. 98: I =b. I = = (chia cả tử và mẫu cho 4x = 22x). Đăt: ()x = t ị ()xdx = dt. ị I = = ln|| + C = ln|| + C.c. I = Đặt : ln(lnx) = t ị = dt ị I = = lnt = ln(ln4) - ln(ln3)d. Đại học I = (a, b ạ 0)+ Nếu: a2 = b2 Thì I = = - cos2x = . + Nếu: a2 ạ b2 Thì đặt a2cos2x + b2sin2x = t2 Û sinxcosxdx = dt ị I = dt = = = 2. a - ĐH Tài chính kế toán. 96: I = = = . Đặt tgx = t I = t-3/4dt = 4t + C = 4(tgx) + C. (Thêm một số bài đặt tgx = t) b - CĐ.96: I = Đặt tg = t ị dx = ; sinx = ; cosx =. I = = = = arctg(2t + 1) + C = arctg(2tg+1) + Cc. I = Đặt = t Û sinx = t3 ; cosxdx = 3t2; cos2x = 1 - t6 ị I = = 3 = [ ]dt t6 ĐHNN 1. 98: Ta có: = = Û A + B = 0; - A + B + C = 0; A + C = 1 Û A =; B = - ; C=  =  Û A + B = 0; A - B + C = 0; A - C = 1 Û A = ; B = - ; C = - Vậy I = [ - +-  = ln - ln + arctg - arctg + C. Bạn tự giải tiếp d - HV Kỹ thuật quân sự. 97: I = . Đặt: Cotgx = t ị = - dt; Còn: . Vậy: I = = t= - (e. I = = 2. Đặt : tg2x = t ị dx = ; cos4x = .f. I = = = = ln| | Bạn tự giải tiếp.  BK. 98: |cosx|dx. HVCNBCVThông. 98: 3.a - Đại học mở. 96: I = . b. Đại học thương mại. 95: I = Đặt 1 + x2 = t c. Đại học GTVTải. 96: I = . Đặt: 1 + x2 = t2 ị I = (t2 - 1)2tdt = (t6 - t4 + t2)d. Đại học thương mại. 96: I = . Đặt: 1 - x = t2; Hay x = cos2t; Hay x = sin2te.BK. 95: I = . Đặt: x2 - 1 = t2 Hay: x = f. GTVT. 98: I = . Đặt: 3x + 1 = t3g. Đại học thương mại. 97: I = . Đặt: x2 + 1 = t3; I = = = = = (Tích phân thứ hai: đặt ex = t)h. Đại học mỏ địa chất. 97: I = = ; I = i. Thuỷ lợi. 97: I = . Đặt: x = 2sint Hay x = 2cost. k. TCKT. 97: I = . Đặt: x = sint Hay x = cost. k. ĐH Quốc gia TP. Hồ Chí Minh. 97(B): I = = . Đặt 1 + cosx = t3. a. Đại học Thái Nguyên. 97 (A): I = . Đặt: x= t ị x = ; xp+2 = t2b. Đại học Thái Nguyên. 97 (D) º Đại học Quốc gia TP. Hồ Chí Minh. 97(A): I = = -. Đặt: x + = t ị (1 - )dx = dt; x2 + = t2- 2 ị I = -...c. Đại học quốc gia. 97 (A): I = . Đặt cosx = t . 1998 (D): (A): d. ĐH Kinh tế quốc dân. 97: I = . Đặt 1 - x3 = t ị I = = - 4. a . I = = . Đặt: ị I = 2b. (Liên kết). ĐH Xây dựng. 95: I = Có: = Û = - (*). Tính: J = = (Đặt: x = - t). Thay vào (*) ị I = c. ĐH Giao thông. 97: Tính I = ; J = d. 15: I = . Đặt: x = p - t ị I = p - I Û I = e. 11: I = = arctgf. 12: Cho f(x) liên tục trên [0,1]. CMR: = 2. f(x) chẵn Thì: = . BK. 99: I = . BCVThông. 99: Có: = + Trong tích phân II đặt x = p - t có Å.g. 108: Cho f(x) liên tục trên [0,1]. CMR: = . Đặt x = p - t có Å.5. a. 93: f(x) lẻ liên tục trên [-a,a]. CMR: . Tính: I = Có: = . Tích phân I đặt : x = - t có Å. Lại có: f(-x) = [ln(- x + = [ln]3 = - [ln(x + = -f(x) Û f(x) lẻ ịị I = = 0 b - ĐH SP II. 96: I = = 0 (Hàm lẻ)c. I = = 2 = 2(Vì chu kỳ 2p) = 0 (Hàm lẻ)d. I = = 0 (Vì hàm lẻ) e. I = = 2 (Tổng - Hàm lẻ). 6. Tích phân một số hàm chứa căn: a. I = . Đặt: ax + b = tk với k là BCNN của n,q,. . .,s. VD: I = . Đặt : 2x + 1 = t6b. I = . Phép thế Ơle: Đặt: c. I = = d. I =. Đặt x - a = e. I =xm(axn + b)p.dx Chỉ tính được nếu:+ p ẻ Z ị đặt x = ts với s là BCNN của mẫu của m,n. VD: I = . Đặt x = t4.+ Nếu ẻ Z ị đặt axn + b = ts với s là mẫu của p. + + p ẻ Z ị đặt bx-n + a = ts với s là mẫu của p SP 2. 98: f(x) liên tục "x và f(x) + f(-x) = (*). Tính: I = = Tính từ - 3 đến 0 cộng với từ 0 đến 3 Tích phân trước đặt x = - t; sử dụng (*). ĐH Biên phòng. 98: I = . Đặt: x - 1 = cost ị dx = - sintdt; x2 = 3cos2t - 2 cost + 1 ị I = . Bạn tự giải tiếp. Cách 2: I = . TP đầu đưa về arcsin. TP sau; Đặt x - 1 = t có: = I1 + I2; I1: Đặt = u; I2: Đặt: =u(-t)ĐH Thái Nguyên (D, G). 98: I = , m nguyên dương. Giải: Đặt: t = Û x = (tm - 1)dx = . Vậy: I = = (Có: ẻ Z) Đặt: u = 1 - ị ị I = Lượng giác ngược, logarit, đa thức nhân lựơng giác, đa thức nhân hàm mũ, đa thức nhân lượng giác. I = . Đặt: U =xn ; dV = sinmxdx (TP n lần, n ẻ N). I =. I = tương tự.1.a. CĐSP QNinh. 97: I = x2sin2xdx. b. KS - 12. 97: I = x2sinxdx c. Mở. 97: I =  I = và I = . TPTP hai lần. ; TCKế Toán. 98: 2.a. ĐHSP II. 97: I = b. ĐH công đoàn. 96: I = c. ĐH Ngoại thương. 96: d. I = e. NN1. 98: .3. a - 149: I = b -144: I = c - KS 12.98: I = d - Hải Phòng. 97: I = e - ĐH Ngoại ngữ. 97: I = Đặt: ị ị I = - + = - + ln = 0.f - ĐH Lâm nghiệp. 97: I = g. I = h. I = i. I = k. I = l. THKTYTế1.98: I = (x2 + 1)cos2xdx m. GTVT. 97: I = = I1 + I2 + I3. Trong đó I3 tính bằng TPTP.4. a - 97: I = b. I = c. I = d. I = . Đặt = t ị TPTP e. I = f. ĐH TCKT. 98: g. TN 12. 98: I = = Bạn tự giải tiếp. h. TN (A). 97: I = i. TN (A). 95: I = k. TTĐT BCVT 1. 98: I = = = I1 + I2Trong I2: Đặt Thì Vậy: I2 = . Vậy I = |l. Hàng Hải. 98: I = x.ln(. n. GTVT. 98: I = = I1 - I2 (*). Tính I2 = .Đặt: U = ; dV = dx ị dU = - ; V = x ị I2 = - e + I1. Vậy: Thay vào (*) có: I = e - o. I = = = I1 - I2 Tính I1 = = ln+ Tính J = . Đặt - x = t ị J = = I2 Vậy: I = lnp. I = = = I1 - I2 Tính: I1 = Đặt: x - = t Thì I2 = =  = I2 +  Đặt: 1 + cosx = y Thì: I1 = I2 + = I2 + ylny - = I2 + 2ln2 - 1 Thay vào I = 2ln2 - 15. (Truy hồi): a. 6: CMR: In+1 = với :In = . Tính: In+1: U = xn+1; dV = dx b. 13 º 23: CMR: In+2 = với In = . Tính: In: Đặt: U = sinn-1xdx; dV = sinxdx. c. 19: Tìm mối liên hệ giữa In và In+2 của In = 6. Cách 2: Đặt 1 + x2 = t Cách 3: Đặt x = tgt Cách 4: Đặt x = arctgt Cách 5: Đặt U = x2 dV = Cách 6: Đặt U = x dU = dx dV = V = x - arctgxCách 7: Đặt U = x3 dU = 3x2dx dV = V = arctgxd. ĐH Thái Nguyên. (A). 98: CMR: et = 1 + t + + . . . + + ; n ẻN+ (quy nạp)V. ứng dụng của tích phân xác định: 1. Tính diện tích hình phẳng: S = = 1 - a. {x = 0; x = 1; y = 0; y = x4 + 3x2 + 1} S = (x4 + 3x2 + 1)dx = b - {y = 0; x = 1; y = xex} . S = xexdx = 1 c - {y = 0; y = 2x - x2}. S = (2x - x2)dx = d - {x = -2; x = 1; y = 0; y = x3}. S = (-x)3dx + x3dx = e - 38: {y2 = ax; x2 = ay} (a > 0) f - {x2 + y2 = 3a2; y2 = 2ax; x2 = 2ay; x ³ 0; y ³ 0}; a > 0 g – {y = x2 – 2x và hai tiếp tuyến tại O(0,0) A(3,3).+ Tìm hai tiếp tuyến: Tại O(0,0): y = y ‘(0)x Û y = - 2x; Tại A(3,3): y = 4x – 9 + Giao của hai tiếp tuyến: B(, -3). + S = S1 + S2 = h. ĐH công đoàn. 97: {y = x2 - 2x và hai tiếp tuyến qua A(2,-9)} i. CĐSP Kỹ thuật I. 97: {y - x2 - 1 = 0; x + y - 3 = 0}k. HV Quân y. 97: {y = 0; y = x3 - 2x2 + 4x - 3 và tiếp tuyến tại điểm có x0 = 2}l. ĐH Kiến trúc. 94: {y = |x2 - 4x + 3|; y = 3 - x}2. a – {y = ; y = } (m > 0). Tìm m để SMax. Tìm giao điểm: -x2 – 2mx + 4m2 = x2 Û x = - 2m; x = m. S = (-x2 – mx + 2m2)dx = == Ê = Vậy: SMax = Đạt được Û m4 = 1 Û m = b – {y2 = 2x + 4; 2y = 3x – 10; y ³ -2}. Tìm các giao điểm: của (x – 5)2 = 2x + 4 Û x= 6 Hoặc x = 14/9 S = S1 + S2 + S3 = 2dx + + 2)dx + == + ( + ) + ( - ) = 24c – {y = x2 – 2x và hai tiếp tuyến tại O(0,0) A(3,3). + Tìm hai tiếp tuyến: Tại O(0,0): y = y ‘(0)x Û y = - 2x; Tại A(3,3): y = 4x – 9+ Giao của hai tiếp tuyến: B(, -3)+ S = S1 + S2 = d – 64: {y = arcsinx; y = arccosx; y = 0}Cách 1: S = S1 + S2 = arsinxdx + arccosxdx = - 1. Cách 2: S = (cosy – siny)dy = (siny + cosy) = - 1.e – 65: {y = artgx; y = arcotgx; x = 0}. Tương tự. S = ln23. a - ĐH Thuỷ lợi. 97: {y = 4 – x2; y = x2 – 2x}. Tìm giao điểm: x2 - 2x = 4 - x2 Û x2 - x - 2 = 0 Û x = - 1; x = 2. ị S = (-2x2 + 2x + 4)dx = (- x3 + x2 + 4x) = 9 ĐVDT. b – CĐ Hải quan. 97: {y = 0; x – y = 2; x = }c - ĐHThái Nguyên. 97: S1: {y = m2; y = x2; x = 0} S2: { y = m2; y = x2; x = 1}. Với m ẻ[0,1].CMR: Ê S1 + S2 Ê . Có: S1 = = m3 Có S2 = dy = (1 – m2) -(1 - m3) ị S1 + S2 = m3 - m2 + = f(m); Với 0 Ê m Ê 1. Khảo sát: ị fMax(m) = f(1) = fMin = f() = 4. Cho (P): x2 = 2py (p > 0). Điểm A bất kỳ ẻ (P). D là tiếp tuyến tại A. Đường thẳng d Ô Ô D, d cắt (P) tại M; N. Gọi S1 là diện tích DAMN; S2 = {x2 = 2py; d}. CMR: không đổi.Giải: Ta có y = x2; đặt = k ị y = kx2. Gỉa sử A(a,ka2). Hệ số góc của tiếp tuyến là 2ka  ị d: y = 2kax + m. Gọi x1; x2 là hoành độ của M; N thì chúng là nghiệm của phương trình: kx2 = 2kax + m Û kx2 - 2kax - m = 0. S2 = (2kax + m - kx2)dx = (kax2 + mx - x3) | = = ka(x2 - x1)(x2 + x1) + m(x2 - x1) - (x2 - x1)[(x2 + x1)2 - x1x2 ] =  (Chú ý: x1 + x2 = 2a; x1.x2 = - ; x2 - x1 = 2 ) Mặt khác AH = d(A,MN) = || = ; còn MN = = = =  Vậy: S1 = MN.AH = ị = Å.5. Xét hình (H) giới hạn bởi các đuờng: y = x2 + 1; y = 0; x = 0; x = 1. Tiếp tuyến của y = x2 + 1tại điểm nào sẽ  cắt từ (H) ra một hình thang có diện tích lớn nhất. Giải: Gọi M(m,m2 + 1) là tiếp điểm thì tiếp tuyến là: y = 2m(x - m) + m2 + 1. Diện tích hình thang là: S = (2mx - m2 + 1)dx = - m2 + m + 1 = - (m - )2 + Ê  Vậy SMax Û S = đạt được Û m = , m2 + 1 = .6. a. Tính phần diện tích chung của hai elip: (E1) : = 1; (E2): . (ĐS: S = 4abarctg)b. Cho a > b. CMR tổng diện tích hai (E): = 1; bằng pa2. Vì diện tích (E): = 1 là pab Nên: S = pab + pa(a - b) = pa2 Å.c*. Xét hình (H) giới hạn bởi: y = ; y = 0; x = 1; x = 2. Tiếp tuyến tại điểm nào của y = sẽ cắt từ (H) ra  một hình thang có diện tích lớn nhất. Giải: Gọi tiếp điểm là M(m,). Tiếp tuyến tại M: y = - x + ị S = (- x + )dx = = ĐVDT. Khảo sát: S = . Ta có SMax = ĐVDT đạt được Û m = . Vậy: M(,) II. Tính thể tích vật thể tròn xoay:V = p; VOx = p ; VOy = p = 2p1 - Quay quanh trục Ox: a. {y = ; x = - 1; x = ; y = 0} V = p . (Đặt tgx = t)b. {y = 2-x; x = 2; x = 4; y = 10} V = p2-2xdx = -= c. {y = x2 + 1; x = 0; x = 1; y = 0}. V = p2 + 1)2dx = d. {Tam giác ABC: A(1,0); B(2,2); C(4,0)} e. {xy = 4; x = 1; x = 4; y = 0} f. {y = cos2x; y = 0; x = 0; x = }2. a. 42: {y = xex; x = 1; y = 0; 0 4 x Ê 1}. V = p(x.ex)2dx = b. 58: {Hình tròn tâm I(2,0) R = 1 quay quanh Oy} c. {= 1 quay quanh Ox}III. Tính tổng:1. a. ( ) = = dx = b. = ()5 = x5dx = c. () = = = ln2d. (sin + sin + . . . + sin ) = = sinxdx = e. (++ . . . + ) = = xdx = f. ) = = g. n() = h. () = = (2-1)i. () = () = = k. () = () = = ln2.l. [(1 + )(1 + ) . . . (1 + )] = Pn. Đặt: Qn = ln Pn = [ln(1 + ) + ln(1 + ) + ... + ln(1 +)] =ị Qn = = 2ln2 - 1 Û Pn = e.m. HVKTQS. 99: Sn Với Sn = ln. Có Sn = ln= ln[(3 + )(3 + )...(3 + )] = = = ln(3 + x)dx = ln