Tích phân hàm một biến - Nguyễn Phúc Sơn

Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Trường Đại học Kinh tế - Luật Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Ngày 17 tháng 11 năm 2014 Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ôn tập kiến thức tích phân Nguyên hàm và tích phân bất định. Tích phân xác định và ý nghĩa. Bảng các tích phân thông dụng. Phương pháp đổi biến. Tích phân từng phần. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ôn tập kiến thức tích phân Nguyên hàm và tích phân bất định. Tích phân xác định và ý nghĩa. Bảng các tích phân thông dụng. Phương pháp đổi biến. Tích phân từng phần. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ôn tập kiến thức tích phân Nguyên hàm và tích phân bất định. Tích phân xác định và ý nghĩa. Bảng các tích phân thông dụng. Phương pháp đổi biến. Tích phân từng phần. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ôn tập kiến thức tích phân Nguyên hàm và tích phân bất định. Tích phân xác định và ý nghĩa. Bảng các tích phân thông dụng. Phương pháp đổi biến. Tích phân từng phần. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ôn tập kiến thức tích phân Nguyên hàm và tích phân bất định. Tích phân xác định và ý nghĩa. Bảng các tích phân thông dụng. Phương pháp đổi biến. Tích phân từng phần. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Tích phân suy rộng Định nghĩa Cho hàm f liên tục. Đặt F (x) = ∫ x a f (t)dt, x > a Tích phân suy rông với cận trên vô hạn là∫ +∞ a f (x)dx = lim x→∞F (x) = limx→∞ ∫ x a f (t)dt Nếu giới hạn trên hữu hạn thì ta nói tích phân suy rộng hội tụ. Ngược lại thì tích phân suy rộng phân kỳ. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Tích phân suy rộng Định nghĩa Cho hàm f liên tục. Đặt F (x) = ∫ x a f (t)dt, x > a Tích phân suy rông với cận trên vô hạn là∫ +∞ a f (x)dx = lim x→∞F (x) = limx→∞ ∫ x a f (t)dt Nếu giới hạn trên hữu hạn thì ta nói tích phân suy rộng hội tụ. Ngược lại thì tích phân suy rộng phân kỳ. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Tích phân suy rộng Định nghĩa Cho hàm f liên tục. Đặt F (x) = ∫ x a f (t)dt, x > a Tích phân suy rông với cận trên vô hạn là∫ +∞ a f (x)dx = lim x→∞F (x) = limx→∞ ∫ x a f (t)dt Nếu giới hạn trên hữu hạn thì ta nói tích phân suy rộng hội tụ. Ngược lại thì tích phân suy rộng phân kỳ. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Tích phân suy rộng Định nghĩa Cho hàm f liên tục. Đặt F (x) = ∫ x a f (t)dt, x > a Tích phân suy rông với cận trên vô hạn là∫ +∞ a f (x)dx = lim x→∞F (x) = limx→∞ ∫ x a f (t)dt Nếu giới hạn trên hữu hạn thì ta nói tích phân suy rộng hội tụ. Ngược lại thì tích phân suy rộng phân kỳ. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Tích phân suy rộng (tt) Tượng tự, tích phân với cận dưới vô hạn là lim x→−∞ ∫ b x f (t)dt Tích phân với 2 cận vô hạn là lim x→−∞ ∫ b x f (t)dt + lim x→∞ ∫ x a f (t)dt Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Tích phân suy rộng (tt) Tượng tự, tích phân với cận dưới vô hạn là lim x→−∞ ∫ b x f (t)dt Tích phân với 2 cận vô hạn là lim x→−∞ ∫ b x f (t)dt + lim x→∞ ∫ x a f (t)dt Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Tính chất tích phân suy rộng ∫ ∞ a rf (x)± g(x)sdx = ∫ ∞ a f (x)dx ± ∫ ∞ a g(x)dx ∫ ∞ a k · f (x)dx = k · ∫ ∞ a f (x)dx Ví dụ thường gặp∫∞ a 1 xα dx , α > 0 hội tụ khi và chỉ khi α > 1 và phân kỳ khi và chỉ khi α ≤ 1 Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Tính chất tích phân suy rộng ∫ ∞ a rf (x)± g(x)sdx = ∫ ∞ a f (x)dx ± ∫ ∞ a g(x)dx ∫ ∞ a k · f (x)dx = k · ∫ ∞ a f (x)dx Ví dụ thường gặp∫∞ a 1 xα dx , α > 0 hội tụ khi và chỉ khi α > 1 và phân kỳ khi và chỉ khi α ≤ 1 Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Tính chất tích phân suy rộng ∫ ∞ a rf (x)± g(x)sdx = ∫ ∞ a f (x)dx ± ∫ ∞ a g(x)dx ∫ ∞ a k · f (x)dx = k · ∫ ∞ a f (x)dx Ví dụ thường gặp∫∞ a 1 xα dx , α > 0 hội tụ khi và chỉ khi α > 1 và phân kỳ khi và chỉ khi α ≤ 1 Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Tiêu chuẩn hội tụ Tiêu chuẩn so sánh Nếu 0 ≤ f (x) ≤ g(x), ∀x ≥ a thì Nếu ∫∞ a g(x)dx hội tụ thì ∫∞ a f (x)dx cũng hội tụ và∫∞ a f (x)dx ≤ ∫∞ a g(x)dx Nếu ∫∞ a f (x)dx phân kỳ thì ∫∞ a g(x)dx cũng phân kỳ. Tiêu chuẩn so sánh dạng giới hạn Nếu f (x), g(x) ≥ 0 và liên tục sao cho lim x→∞ f (x) g(x) = k, k hữu hạn thì ∫∞ a g(x)dx và ∫∞ a f (x)dx cùng hội tụ hay cùng phân kỳ. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Tiêu chuẩn hội tụ Tiêu chuẩn so sánh Nếu 0 ≤ f (x) ≤ g(x), ∀x ≥ a thì Nếu ∫∞ a g(x)dx hội tụ thì ∫∞ a f (x)dx cũng hội tụ và∫∞ a f (x)dx ≤ ∫∞ a g(x)dx Nếu ∫∞ a f (x)dx phân kỳ thì ∫∞ a g(x)dx cũng phân kỳ. Tiêu chuẩn so sánh dạng giới hạn Nếu f (x), g(x) ≥ 0 và liên tục sao cho lim x→∞ f (x) g(x) = k, k hữu hạn thì ∫∞ a g(x)dx và ∫∞ a f (x)dx cùng hội tụ hay cùng phân kỳ. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Tiêu chuẩn hội tụ Tiêu chuẩn so sánh Nếu 0 ≤ f (x) ≤ g(x), ∀x ≥ a thì Nếu ∫∞ a g(x)dx hội tụ thì ∫∞ a f (x)dx cũng hội tụ và∫∞ a f (x)dx ≤ ∫∞ a g(x)dx Nếu ∫∞ a f (x)dx phân kỳ thì ∫∞ a g(x)dx cũng phân kỳ. Tiêu chuẩn so sánh dạng giới hạn Nếu f (x), g(x) ≥ 0 và liên tục sao cho lim x→∞ f (x) g(x) = k, k hữu hạn thì ∫∞ a g(x)dx và ∫∞ a f (x)dx cùng hội tụ hay cùng phân kỳ. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Tiêu chuẩn hội tụ Tiêu chuẩn so sánh Nếu 0 ≤ f (x) ≤ g(x), ∀x ≥ a thì Nếu ∫∞ a g(x)dx hội tụ thì ∫∞ a f (x)dx cũng hội tụ và∫∞ a f (x)dx ≤ ∫∞ a g(x)dx Nếu ∫∞ a f (x)dx phân kỳ thì ∫∞ a g(x)dx cũng phân kỳ. Tiêu chuẩn so sánh dạng giới hạn Nếu f (x), g(x) ≥ 0 và liên tục sao cho lim x→∞ f (x) g(x) = k, k hữu hạn thì ∫∞ a g(x)dx và ∫∞ a f (x)dx cùng hội tụ hay cùng phân kỳ. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Tiêu chuẩn hội tụ (tt) Tiêu chuẩn Cauchy Giả sử f (x) ≥ 0, limx→∞ f (x) = 0 và f (x) ∼ kxα , tức là limx→∞ f (x)x α = k. Khi đó,∫∞ a f (x)dx hội tụ khi và chỉ khi α > 1. ∫∞ a f (x)dx phân kỳ khi và chỉ khi α ≤ 1. Một số trường hợp hay gặp: Nếu f (x) = p(x)q(x) trong đó deg(p) = α và deg(q) = β ngoài ra, hệ số lớn nhất của p và q dương thì f (x) ∼ 1xα−β Nếu f (x) không dương thì ta dùng hàm −f (x). Khi đó,∫ ∞ a f (x)dx = − ∫ ∞ a [−f (x)]dx Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Tiêu chuẩn hội tụ (tt) Tiêu chuẩn Cauchy Giả sử f (x) ≥ 0, limx→∞ f (x) = 0 và f (x) ∼ kxα , tức là limx→∞ f (x)x α = k. Khi đó,∫∞ a f (x)dx hội tụ khi và chỉ khi α > 1.∫∞ a f (x)dx phân kỳ khi và chỉ khi α ≤ 1. Một số trường hợp hay gặp: Nếu f (x) = p(x)q(x) trong đó deg(p) = α và deg(q) = β ngoài ra, hệ số lớn nhất của p và q dương thì f (x) ∼ 1xα−β Nếu f (x) không dương thì ta dùng hàm −f (x). Khi đó,∫ ∞ a f (x)dx = − ∫ ∞ a [−f (x)]dx Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Tiêu chuẩn hội tụ (tt) Tiêu chuẩn Cauchy Giả sử f (x) ≥ 0, limx→∞ f (x) = 0 và f (x) ∼ kxα , tức là limx→∞ f (x)x α = k. Khi đó,∫∞ a f (x)dx hội tụ khi và chỉ khi α > 1.∫∞ a f (x)dx phân kỳ khi và chỉ khi α ≤ 1. Một số trường hợp hay gặp: Nếu f (x) = p(x)q(x) trong đó deg(p) = α và deg(q) = β ngoài ra, hệ số lớn nhất của p và q dương thì f (x) ∼ 1xα−β Nếu f (x) không dương thì ta dùng hàm −f (x). Khi đó,∫ ∞ a f (x)dx = − ∫ ∞ a [−f (x)]dx Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Tiêu chuẩn hội tụ (tt) Tiêu chuẩn Cauchy Giả sử f (x) ≥ 0, limx→∞ f (x) = 0 và f (x) ∼ kxα , tức là limx→∞ f (x)x α = k. Khi đó,∫∞ a f (x)dx hội tụ khi và chỉ khi α > 1.∫∞ a f (x)dx phân kỳ khi và chỉ khi α ≤ 1. Một số trường hợp hay gặp: Nếu f (x) = p(x)q(x) trong đó deg(p) = α và deg(q) = β ngoài ra, hệ số lớn nhất của p và q dương thì f (x) ∼ 1xα−β Nếu f (x) không dương thì ta dùng hàm −f (x). Khi đó,∫ ∞ a f (x)dx = − ∫ ∞ a [−f (x)]dx Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Tiêu chuẩn hội tụ (tt) Tiêu chuẩn Cauchy Giả sử f (x) ≥ 0, limx→∞ f (x) = 0 và f (x) ∼ kxα , tức là limx→∞ f (x)x α = k. Khi đó,∫∞ a f (x)dx hội tụ khi và chỉ khi α > 1.∫∞ a f (x)dx phân kỳ khi và chỉ khi α ≤ 1. Một số trường hợp hay gặp: Nếu f (x) = p(x)q(x) trong đó deg(p) = α và deg(q) = β ngoài ra, hệ số lớn nhất của p và q dương thì f (x) ∼ 1xα−β Nếu f (x) không dương thì ta dùng hàm −f (x). Khi đó,∫ ∞ a f (x)dx = − ∫ ∞ a [−f (x)]dx Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ứng dụng của tích phân trong kinh tế Quỹ vốn là nguyên hàm của lượng đầu tư. Gọi K (t) và I(t) lần lượt là quỹ vốn và lượng đầu tư của một doanh nghiệp tại thời điểm t. Quan sát: Lượng tăng của K (t) chính là I(t), do đó K ′(t) = I(t), t > 0 Dưới dạng tích phân, ta có K (t) = ∫ I(t)dt Xác định hàm theo giá trị cận biên. Nếu Q(x) là đại lượng cần tính thì Q′(x) được gọi là cận biên (marginal) của Q. Khi đó, Q(x) = ∫ Q′(x)dx Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ứng dụng của tích phân trong kinh tế Quỹ vốn là nguyên hàm của lượng đầu tư. Gọi K (t) và I(t) lần lượt là quỹ vốn và lượng đầu tư của một doanh nghiệp tại thời điểm t. Quan sát: Lượng tăng của K (t) chính là I(t), do đó K ′(t) = I(t), t > 0 Dưới dạng tích phân, ta có K (t) = ∫ I(t)dt Xác định hàm theo giá trị cận biên. Nếu Q(x) là đại lượng cần tính thì Q′(x) được gọi là cận biên (marginal) của Q. Khi đó, Q(x) = ∫ Q′(x)dx Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ứng dụng của tích phân trong kinh tế Quỹ vốn là nguyên hàm của lượng đầu tư. Gọi K (t) và I(t) lần lượt là quỹ vốn và lượng đầu tư của một doanh nghiệp tại thời điểm t. Quan sát: Lượng tăng của K (t) chính là I(t), do đó K ′(t) = I(t), t > 0 Dưới dạng tích phân, ta có K (t) = ∫ I(t)dt Xác định hàm theo giá trị cận biên. Nếu Q(x) là đại lượng cần tính thì Q′(x) được gọi là cận biên (marginal) của Q. Khi đó, Q(x) = ∫ Q′(x)dx Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ứng dụng của tích phân trong kinh tế Quỹ vốn là nguyên hàm của lượng đầu tư. Gọi K (t) và I(t) lần lượt là quỹ vốn và lượng đầu tư của một doanh nghiệp tại thời điểm t. Quan sát: Lượng tăng của K (t) chính là I(t), do đó K ′(t) = I(t), t > 0 Dưới dạng tích phân, ta có K (t) = ∫ I(t)dt Xác định hàm theo giá trị cận biên. Nếu Q(x) là đại lượng cần tính thì Q′(x) được gọi là cận biên (marginal) của Q. Khi đó, Q(x) = ∫ Q′(x)dx Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ứng dụng của tích phân trong kinh tế (tt) Thặng dư Ta xét bài toán ngược: lượng cung và cầu của một loại hàng hóa thay đổi theo giá P của hàng hóa đó.Khi đó, ta có hàm ngược của hai hàm cung và cầu: P = S(Qs) P = D(Qd) Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ứng dụng của tích phân trong kinh tế (tt) Thặng dư Ta xét bài toán ngược: lượng cung và cầu của một loại hàng hóa thay đổi theo giá P của hàng hóa đó.Khi đó, ta có hàm ngược của hai hàm cung và cầu: P = S(Qs) P = D(Qd) Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ứng dụng của tích phân trong kinh tế (tt) Thặng dư của người tiêu dùng Xét điểm cân bằng (P0, Q0). Khi đó, Tổng số tiền người tiêu dùng thực trả là P0 · Q0. Số tiền lớn nhất mà người tiêu dùng có thể trả là∫ Q0 0 D(Qd)dQd . Như vậy, thặng dư của người tiêu dùng (Consumer’s surplus) là CS = ∫ Q0 0 D(Qd)dQd−P0·Q0 Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ứng dụng của tích phân trong kinh tế (tt) Thặng dư của người tiêu dùng Xét điểm cân bằng (P0, Q0). Khi đó, Tổng số tiền người tiêu dùng thực trả là P0 · Q0. Số tiền lớn nhất mà người tiêu dùng có thể trả là∫ Q0 0 D(Qd)dQd . Như vậy, thặng dư của người tiêu dùng (Consumer’s surplus) là CS = ∫ Q0 0 D(Qd)dQd−P0·Q0 Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ứng dụng của tích phân trong kinh tế (tt) Thặng dư của người tiêu dùng Xét điểm cân bằng (P0, Q0). Khi đó, Tổng số tiền người tiêu dùng thực trả là P0 · Q0. Số tiền lớn nhất mà người tiêu dùng có thể trả là∫ Q0 0 D(Qd)dQd . Như vậy, thặng dư của người tiêu dùng (Consumer’s surplus) là CS = ∫ Q0 0 D(Qd)dQd−P0·Q0 Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ứng dụng của tích phân trong kinh tế (tt) Thặng dư của người tiêu dùng Xét điểm cân bằng (P0, Q0). Khi đó, Tổng số tiền người tiêu dùng thực trả là P0 · Q0. Số tiền lớn nhất mà người tiêu dùng có thể trả là∫ Q0 0 D(Qd)dQd . Như vậy, thặng dư của người tiêu dùng (Consumer’s surplus) là CS = ∫ Q0 0 D(Qd)dQd−P0·Q0 Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ứng dụng của tích phân trong kinh tế (tt) Thặng dư của nhà sản xuất Xét điểm cân bằng (P0, Q0). Khi đó, Tổng số tiền nhà sản xuất thực thu là P0 · Q0. Số tiền lớn nhất mà nhà sản xuất có thể thu là∫ Q0 0 S(Qs)Qs . Như vậy, thặng dư của nhà sản xuất (Producer’s surplus) là PS = P0 ·Q0− ∫ Q0 0 S(Qs)Qs Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ứng dụng của tích phân trong kinh tế (tt) Thặng dư của nhà sản xuất Xét điểm cân bằng (P0, Q0). Khi đó, Tổng số tiền nhà sản xuất thực thu là P0 · Q0. Số tiền lớn nhất mà nhà sản xuất có thể thu là∫ Q0 0 S(Qs)Qs . Như vậy, thặng dư của nhà sản xuất (Producer’s surplus) là PS = P0 ·Q0− ∫ Q0 0 S(Qs)Qs Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ứng dụng của tích phân trong kinh tế (tt) Thặng dư của nhà sản xuất Xét điểm cân bằng (P0, Q0). Khi đó, Tổng số tiền nhà sản xuất thực thu là P0 · Q0. Số tiền lớn nhất mà nhà sản xuất có thể thu là∫ Q0 0 S(Qs)Qs . Như vậy, thặng dư của nhà sản xuất (Producer’s surplus) là PS = P0 ·Q0− ∫ Q0 0 S(Qs)Qs Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ứng dụng của tích phân trong kinh tế (tt) Thặng dư của nhà sản xuất Xét điểm cân bằng (P0, Q0). Khi đó, Tổng số tiền nhà sản xuất thực thu là P0 · Q0. Số tiền lớn nhất mà nhà sản xuất có thể thu là∫ Q0 0 S(Qs)Qs . Như vậy, thặng dư của nhà sản xuất (Producer’s surplus) là PS = P0 ·Q0− ∫ Q0 0 S(Qs)Qs Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN