Tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh theo hướng kiến tạo khi dạy học các khái niệm giải tích trong chương trình lớp 11 Trung học Phổ thông với các mô hình quy nạp - Lê Thị Bạch Liên

An Giang University Journal of Science – 2018, Vol. 20 (2), 79 – 89 79 TÍCH CỰC HÓA HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP CỦA HỌC SINH THEO HƯỚNG KIẾN TẠO KHI DẠY HỌC CÁC KHÁI NIỆM GIẢI TÍCH TRONG CHƯƠNG TRÌNH LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VỚI CÁC MÔ HÌNH QUY NẠP Lê Thị Bạch Liên1, Phạm Thị Sen Giang1 1Trường Đại học Quảng Bình Thông tin chung: Ngày nhận bài: 16/03/2018 Ngày nhận kết quả bình duyệt: 18/05/2018 Ngày chấp nhận đăng: 06/2018 Title: Motivating active learning of students through teaching Analytics concepts of the 11th grade within inductive models Keywords: Concepts teaching, Analytics, inductive, positive, learning activities, constructive Từ khóa: Dạy học khái niệm, giải tích, quy nạp, tích cực, hoạt động học tập, kiến tạo ABSTRACT Nowadays, motivating active learning among students is one of the teaching trends not only in Viet nam but also on over the world. There are many ways to enhance the positivity of students when teaching mathemitical concepts, in which, the inductive method plays an important role, especially through teaching constructive theories. This paper presents three inductive models, then represents examples in order to apply those models into teaching Analytics concepts in the 11th-grade program at high school to motivate the positivity and initiation of students, especially to help students understand the meaning of the concepts deeply. TÓM TẮT Tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh là một trong những xu hướng dạy học hiện nay không những ở Việt Nam mà cả trên thế giới. Có nhiều con đường để phát huy tính tích cực của học sinh khi hình thành khái niệm toán học, trong đó con đường quy nạp đóng một vai trò quan trọng, đặc biệt trong xu hướng dạy học theo lý thuyết kiến tạo hiện nay. Bài viết giới thiệu 3 mô hình quy nạp, từ đó thiết kế ví dụ minh họa vận dụng các mô hình trên vào dạy học một số khái niệm giải tích trong chương trình lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tăng cường tính tích cực, chủ động của học sinh và đặc biệt giúp học sinh hiểu được sâu sắc nghĩa của khái niệm. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Nằm trong lộ trình đổi mới đồng bộ phương pháp dạy học và kiểm tra đánh giá ở các trường phổ thông theo định hướng phát triển năng lực học sinh trên tinh thần Nghị quyết 29-NQ/TW về đổi mới căn bản toàn diện giáo dục đào tạo, việc thay đổi từ dạy học theo cách tiếp cận nội dung sang dạy học phát triển năng lực cho học sinh là một hệ quả tất yếu. Nếu như dạy học tiếp cận nội dung là dạy cho học sinh biết cái gì thì dạy học phát triển năng lực là dạy học sinh làm được những gì trên cơ sở các em đã biết. Trong dạy học nên tránh các cách dạy mà qua đó học sinh tiếp thu kiến thức toán học như “đã làm sẵn” hay “đã hình thành”. Theo GS Nguyễn Cảnh Toàn, quy nạp có vai trò lớn trong việc rèn luyện trí thông minh cho học sinh, ông chỉ ra rằng, việc dạy toán chỉ với mục đích “truyền thụ kiến thức” sẽ dẫn tới An Giang University Journal of Science – 2018, Vol. 20 (2), 79 – 89 80 việc coi trọng suy diễn và coi nhẹ quy nạp. Nhưng nếu đặt vấn đề “rèn luyện óc thông minh sáng tạo” cho học sinh thì vai trò của “quy nạp” sẽ lên ngang với “suy diễn” (Nguyễn Cảnh Toàn, 1997). Lý thuyết kiến tạo như là một triết học không phải là mới, nhưng việc thực hành lý thuyết đó vào nền giáo dục hiện đại vẫn còn đang ở giai đoạn định hình. Đến nay đã có nhiều nghiên cứu về các phương pháp dạy học đổi mới theo hướng kiến tạo. Trong bài viết này, chúng tôi chủ yếu tập trung bàn về việc sử dụng các mô hình quy nạp để làm rõ hơn con đường kiến tạo khái niệm cho học sinh khi dạy học các khái niệm giải tích trong chương trình lớp 11 trung học phổ thông (THPT) hiện nay ở Việt Nam. Các tài liệu hiện hành về phương pháp dạy học Toán hiện nay đưa ra chưa nhiều mô hình cụ thể cho việc hình thành khái niệm toán theo con đường quy nạp nên sinh viên ngành Sư phạm Toán và giáo viên Toán đã gặp nhiều khó khăn trong quá trình hình thành khái niệm cho học sinh theo con đường quy nạp. Vì vậy, việc đưa ra nhiều mô hình hình thành khái niệm trong Toán học nói chung và trong giải tích nói riêng theo con đường quy nạp là một yêu cầu cần thiết hiện nay. Các khái niệm giải tích khá mới mẻ với học sinh lớp 11 khi từ trước đến nay các em chỉ quen thuộc với khái niệm đại số. Việc hiểu và vận dụng được các khái niệm này lại càng khó khăn. Mặt khác, các khái niệm về giới hạn và đạo hàm là những khái niệm cơ bản của giải tích, việc nắm vững các khái niệm này vừa giúp các em tiếp cận thành công một khía cạnh mới của Toán học vừa là tiền đề giúp các em tìm hiểu các nội dung khác của giải tích. 2. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Trước hết, chúng tôi sẽ trình bày tóm tắt các quan điểm về lý thuyết kiến tạo, quy nạp khoa học và các mô hình hình thành khái niệm theo con đường quy nạp (Nguyễn Phú Lộc, 2010). Từ đó, chúng tôi sẽ làm rõ quy trình vận dụng các mô hình quy nạp theo quan điểm kiến tạo vào dạy học một số khái niệm giải tích trong chương trình toán lớp 11 THPT. 2.1 Lý thuyết kiến tạo Lý thuyết kiến tạo (constructivism) được đề xuất vào khoảng những năm 60 của thế kỷ 20 bởi Jean Piaget (1896 – 1980), nhà tâm lý học và triết học người Thụy Sĩ. Từ đó cho tới nay, nó đã ảnh hưởng sâu rộng trong giáo dục và trở thành một xu hướng hiện đại được nhiều nước phát triển trên thế giới quan tâm. An Giang University Journal of Science – 2018, Vol. 20 (2), 79 – 89 81 Hình 1. Chu trình kiến tạo tri thức mới Lý thuyết kiến tạo cơ bản được trình bày dựa trên hai nguyên tắc sau (Von Glasersfeld, 1989): • Tri thức được kiến tạo một cách tích cực bởi chủ thể nhận thức chứ không phải được tiếp thu một cách thụ động từ môi trường bên ngoài. • Nhận thức là quá trình điều ứng và tổ chức lại thế giới quan của chính mỗi người. Nhận thức không phải là khám phá một thế giới độc lập đang tồn tại bên ngoài ý thức của chủ thể. Như vậy, theo quan điểm kiến tạo, kiến thức được học sinh hình thành chứ không phải áp đặt lên học sinh qua môi trường bên ngoài. Giáo viên không thể truyền đạt sự hình thành khái niệm của mình đến đầu óc của học sinh mà chỉ có thể truyền tải các thông tin cần thiết để các em sử dụng các thông tin đó như một nguồn có ích cho sự hình thành khái niệm (Trần Vui, 2017). Học sinh xây dựng nên kiến thức cho chính mình bằng cách thử nghiệm các ý tưởng từ những kinh nghiệm và hiểu biết đã có, từ đó áp dụng những hiểu biết này vào tình huống mới và liên kết với những kiến thức mới. Con đường kiến tạo tri thức của học sinh được mô tả như trong Hình 1. Chu trình này bắt đầu từ kiến thức đang có của học sinh để hình thành kiến thức mới. Kiến thức “mới” nhanh chóng trở thành kiến thức “cũ” và chu trình kiến tạo mới lại bắt đầu và phát triển không ngừng theo nhiều vòng rộng dần ra để làm giàu tri thức cho người học. Trong quá trình kiến tạo tri thức, học sinh có thể phải trải qua nhiều lần thất bại để có được một tri thức mới. Người giáo viên cần động viên, hỗ trợ học sinh để các em có đủ niềm tin và động lực trong quá trình kiến tạo tri thức. 2.2 Quy nạp khoa học Quy nạp khoa học là phép quy nạp không hoàn toàn được thực hiện trên cơ sở nghiên cứu một bộ phận cần khái quát. Song quy nạp khoa học có đặc trưng là kết luận của nó phản ánh chính xác các dấu hiệu bản chất của cả lớp rút ra từ một bộ phận đối tượng thông qua mối liên hệ tất yếu của các đối tượng trong lớp. Quy nạp khoa học dựa trên cơ sở thiết lập các mối liên hệ nhân quả giữa các hiện tượng. Để xây dựng các mô hình hình thành khái niệm theo con đường quy nạp, chúng tôi dựa vào ba phương pháp để xác định mối liên hệ nhân quả của các hiện tượng của John Stuart Mill (1843) sau đây: phương pháp tương đồng, phương pháp cộng biến và phương pháp loại trừ. Hình 2. Sơ đồ mô tả phương pháp tương đồng Phương pháp tương đồng được Mill xem là phương pháp quan sát bởi dựa vào việc quan sát các trường hợp để rút ra những yếu tố nào đó có mặt trong mọi trường hợp đang xét. Sơ đồ của phương pháp này được mô tả tóm tắt như trong Hình 2. Phương pháp cộng biến và phương pháp loại trừ được mô tả theo các sơ đồ như sau: Hiện tượng a xuất hiện trong các điều kiện A, Hiện tượng a xuất hiện trong các điều kiện A, Hiện tượng a xuất hiện trong các điều kiện A, Có thể điều kiện A là nguyên nhân của hiện tượng a. An Giang University Journal of Science – 2018, Vol. 20 (2), 79 – 89 82 Hình 3. Sơ đồ mô tả phương pháp cộng biến Hình 4a. Sơ đồ mô tả phương pháp loại trừ Hiện tượng a xuất hiện trong các điều kiện A, B, C. Hiện tượng a1 xuất hiện trong các điều kiện A1, B, C. Hiện tượng a2 xuất hiện trong các điều kiện A2, B, C. Có thể điều kiện A là nguyên nhân của hiện tượng a. Hiện tượng a, b, c xuất hiện trong các điều kiện A, B, C. Hiện tượng b xuất hiện trong điều kiện B. Hiện tượng c xuất hiện trong điều kiện C. Có thể điều kiện A là nguyên nhân của hiện tượng a. An Giang University Journal of Science – 2018, Vol. 20 (2), 79 – 89 83 Hình 4b. Sơ đồ mô tả phương pháp loại trừ 2.3 Các mô hình hình thành khái niệm theo con đường quy nạp 2.3.1 Mô hình quan sát – tìm kiếm Mô hình gồm ba bước được mô tả như trong Hình 5. Bước chính yếu nhất trong mô hình này là học sinh tìm kiếm các tính chất chung trong các ví dụ được giáo viên đưa ra trước. Hình 5. Mô hình quan sát – tìm kiếm Mô hình quan sát – tìm kiếm có thể được tiến hành theo sơ đồ kiến tạo tri thức như sau: Hình 6. Sơ đồ kiến tạo khái niệm với mô hình quan sát – tìm kiếm 2.3.2 Mô hình quan sát – tìm đoán Mô hình này được đề xuất dựa trên phương pháp tương đồng (Hình 2) và phương pháp loại trừ theo sơ đồ thứ hai của Mill (Hình 4b), cũng gồm ba bước tương tự như trong mô hình quan sát – tìm kiếm (Hình 7). Tuy nhiên, nếu trong mô hình quan sát – tìm kiếm học sinh có thể quan sát các ví dụ để nhận ra các đặc điểm chung cần thiết thì trong mô hình này, học sinh cần phải tích cực tư duy hơn để phán đoán ra các đặc trưng (theo định hướng của giáo viên) ẩn chứa bên dưới các ví dụ. Do vậy, điểm cần chú ý trong mô hình này là ở bước thứ nhất, giáo viên nên đưa số lượng ví dụ ít hơn nhưng có nhiều đặc điểm chung hơn so với mô hình quan sát – tìm kiếm và nên có nhiều yếu tố gây “nhiễu” nhằm kích thích học sinh tư duy, tìm tòi, phán đoán. Hiện tượng a xuất hiện trong các điều kiện A, B, C. Hiện tượng a xuất hiện trong các điều kiện A, C. Có thể điều kiện A là nguyên nhân của hiện tượng a. Hiện tượng a xuất hiện trong các điều kiện A, B. Bước 1. Quan sát Học sinh quan sát các ví dụ liên quan đến khái niệm Bước 2. Tìm kiếm Học sinh tìm ra thuộc tính chung, đặc trưng của các đối tượng đang xem xét. Bước 3. Kết luận Khái quát hóa từ đặc điểm chung để được định nghĩa khái niệm. Giáo viên đặt vấn đề, đưa ra các ví dụ phù hợp để hình thành khái niệm mới Giáo viên nhận xét, đánh giá các ý kiến của học sinh, kết luận tên khái niệm và các đặc trưng của khái niệm Học sinh dựa trên những kiến thức đã biết, thảo luận theo nhóm tìm các tính chất chung Giáo viên khuyến khích học sinh trình bày, bảo vệ ý kiến trước lớp Học sinh phát biểu định nghĩa khái niệm dưới sự hướng dẫn của giáo viên Tri thức mới An Giang University Journal of Science – 2018, Vol. 20 (2), 79 – 89 84 Hình 7. Mô hình quan sát – tìm đoán cho dạy học khái niệm Bước quan trọng nhất trong mô hình này là bước 2, giáo viên nên khuyến khích, động viên học sinh đưa ra ý kiến cá nhân nhận xét về các đặc điểm chung của các đối tượng đang xem xét và hướng về đặc điểm mà người giáo viên mong muốn bằng câu hỏi: “Trong các ví dụ trên có chung tính chất a (hay một số tính chất) mà thầy (cô) đặc biệt chú ý, các em hãy đoán xem đó là tính chất gì?”. Mỗi khi học sinh chỉ ra một tính chất không là a, giáo viên cho thêm ví dụ có tính chất a mà không có tính chất học sinh vừa đưa ra nhằm bác bỏ ý kiến của học sinh. Cứ như thế, đến khi học sinh rút ra đúng tính chất a cần dùng để định nghĩa (Hình 8). Nếu sau một thời gian nhất định (theo kế hoạch của giáo viên) học sinh không tìm ra tính chất a để định nghĩa thì giáo viên có thể tự cho thêm một ví dụ và phản ví dụ, hoặc giáo viên gợi ý (nếu cần) sao cho học sinh dễ nhận ra tính chất a. Hình 8. Sơ đồ kiến tạo khái niệm với mô hình quan sát – tìm đoán Bước 1. Quan sát Học sinh quan sát các ví dụ liên quan đến khái niệm. Bước 2. Tìm đoán Học sinh phân tích để phán đoán ra thuộc tính đặc trưng theo định hướng của giáo viên. Bước 3. Kết luận Khái quát hóa từ đặc điểm chung để được định nghĩa khái niệm. Thuộc tính a phù hợp Thuộc tính a không phù hợp Giáo viên đặt vấn đề, đưa ra các ví dụ phù hợp để hình thành khái niệm mới Học sinh dựa trên những kiến thức đã biết, thảo luận theo nhóm, dự đoán một tính chất chung a theo định hướng của giáo viên Giáo viên kết luận, giới thiệu tên và các thuộc tính đặc trưng của khái niệm Cho ví dụ không chứa thuộc tính a Học sinh phát biểu định nghĩa khái niệm Tri thức mới An Giang University Journal of Science – 2018, Vol. 20 (2), 79 – 89 85 2.3.3 Mô hình cộng biến Hình 9. Mô hình cộng biến cho dạy học khái niệm Mô hình này được đề xuất trên cơ sở tư tưởng phương pháp cộng biến (Hình 3) và phương pháp loại trừ theo sơ đồ thứ nhất của Mill (Hình 4a). Trong mô hình cộng biến, việc dạy học một khái niệm có thể tiến hành theo ba bước: quan sát, phát hiện và kết luận (Hình 9). Điểm cần lưu ý khi vận dụng mô hình này là ở bước thứ nhất, giáo viên cần khéo léo thiết kế các ví dụ sao cho học sinh thấy được khi thay đổi các điều kiện quan trọng thì hiện tượng cũng thay đổi theo. Và ở bước thứ hai, giáo viên nên dẫn dắt học sinh phát hiện ra các đặc điểm của từng ví dụ, từ đó phân tích, so sánh để thấy đâu là nguyên nhân gây ra sự thay đổi của hiện tượng và đó cũng chính là thuộc tính bản chất của khái niệm cần định nghĩa. Có thể kiến tạo khái niệm theo mô hình này như sơ đồ ở Hình 10. Hình 10. Sơ đồ kiến tạo khái niệm theo mô hình cộng biến 2.4 Vận dụng các mô hình hình thành khái niệm theo con đường quy nạp vào dạy học một số khái niệm giải tích trong chương trình môn Toán lớp 11 THPT Trong phần này, chúng tôi sẽ vận dụng các mô hình vừa trình bày ở phần trên để thiết kế một số tình huống dạy học các khái niệm giải tích trong chương trình môn Toán lớp 11 THPT: cấp số cộng, hàm số liên tục và đạo hàm của hàm số tại một điểm. 2.4.1 Dạy học khái niệm cấp số cộng 2.4.1.1 Sử dụng mô hình quan sát - tìm kiếm Bước 1. Quan sát Cho ba dãy số (1), (2), (3) như sau: (1) 1, 2, 3, 4, 5, 6, (2) 3, 1, -1, -3, -5, (3) -5, -2, 1, 4, 7, 10, Bước 2. Tìm kiếm Giáo viên: Ba dãy số này cùng có chung một tính chất. Dựa vào các tính chất về dãy số đã được học, các em hãy tìm xem tính chất chung đó là gì? Học sinh thảo luận theo nhóm để đưa ra các đặc điểm chung như: số nguyên, dãy tăng, bị chặn dưới, số hạng đứng sau bằng số hạng đứng kề trước cộng cùng một số Bước 1. Quan sát Học sinh quan sát một số ví dụ trong đó có một nguyên nhân gây ra sự thay đổi của một hiện tượng. Bước 2. Phát hiện Dẫn dắt học sinh phân tích để rút ra nguyên nhân của hiện tượng. Bước 3. Kết luận Khái quát hóa từ đặc điểm chung để được định nghĩa khái niệm. Giáo viên đặt vấn đề, đưa ra lần lượt các ví dụ, ví dụ sau mở rộng từ ví dụ trước bằng cách thêm (bớt) một vài giả thiết phù hợp để học sinh quan sát sự thay đổi Học sinh dựa trên những kiến thức đã biết, phân tích, dự đoán nguyên nhân làm thay đổi các đặc điểm của đối tượng đang xem xét Giáo viên kết luận, giới thiệu tên và các thuộc tính đặc trưng của khái niệm Học sinh phát biểu định nghĩa khái niệm Tri thức mới An Giang University Journal of Science – 2018, Vol. 20 (2), 79 – 89 86 Giáo viên khuyến khích học sinh đưa ra các ý kiến, đưa ra các lập luận để bảo vệ ý kiến của mình, không nên vội vàng kết luận tính đúng sai các ý kiến của học sinh. Bước 3. Kết luận, phát biểu định nghĩa Giáo viên kết luận tính chất chung chính xác của ba dãy số đã cho là: dãy số nguyên có tính chất kể từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng kề trước cộng với một số không đổi. Giáo viên nêu tên khái niệm “cấp số cộng” và tổ chức cho học sinh phát biểu định nghĩa. Lưu ý rằng để học sinh có thể dễ dàng khái quát hóa chính xác định nghĩa, giáo viên có thể đưa ra một dãy số không nguyên có cùng tính chất đó ở trong ví dụ ban đầu. Nếu học sinh không nêu ra được đặc điểm cần dùng để định nghĩa cấp số cộng thì giáo viên có thể gợi ý: tìm mối liên hệ giữa số đứng sau với số đứng kề trước nó? Như vậy, vấn đề quan trọng nhất khi vận dụng mô hình này là giáo viên cần thiết kế các ví dụ sao cho các tính chất chung của các đối tượng trong ví dụ vừa đủ để định nghĩa khái niệm, nếu thiếu hoặc thừa tính chất thì dễ gây khó khăn cho học sinh. Và người giáo viên cần khéo léo dẫn dắt để học sinh phát biểu được định nghĩa chính xác. 2.4.1.2 Sử dụng mô hình quan sát – tìm đoán Bước 1. Quan sát Cho hai dãy số (1), (2) như sau: (1) 1, 2, 3, 4, 5, 6, (2) 3, 6, 9, 12, 15, Bước 2. Tìm đoán Giáo viên: Hai dãy số trên có một đặc điểm giống nhau mà thầy cô đặc biệt chú ý, các em thử dự đoán xem đặc điểm đó là đặc điểm gì? Khả năng 1: Nếu học sinh phát hiện ra ngay đặc điểm: số hạng đứng sau bằng số hạng đứng kề trước cộng cùng một số, lúc bấy giờ giáo viên sẽ cho học sinh biết dãy số (1) và (2) là cấp số cộng và yêu cầu học sinh phát biểu định nghĩa cấp số cộng một cách tổng quát. Khả năng 2: Nếu học sinh đưa ra đặc điểm: dãy số dương, giáo viên cho biết đó là một đặc điểm chung của hai dãy số đó nhưng chưa phải là đặc điểm mà thầy cô muốn nhắc tới và đưa ra thêm dãy thứ ba cũng có tính chất này mà không phải dãy số dương để phủ nhận ý kiến học sinh: (3) -5, -2, 1, 4, 7, 10, Khả năng 3: Nếu học sinh đưa ra đặc điểm: dãy số tăng, giáo viên cũng nhận xét như trên và đưa ra thêm dãy thứ tư cũng có tính chất này mà không phải dãy số tăng để phủ nhận ý kiến học sinh: (4) 10, 5, 0, -5, -10, Nếu học sinh dự đoán chưa đúng, giáo viên lặp lại quá trình tương tự như trên sao cho cuối cùng học sinh dự đoán đúng (gợi ý nếu cần). Bước 3. Kết luận, phát biểu định nghĩa Giáo viên nêu tên khái niệm “cấp số cộng” và tổ chức cho học sinh phát biểu định nghĩa. Như vậy, điểm khác biệt khi vận dụng mô hình quan sát – tìm kiếm và mô hình quan sát – tìm đoán là cách người giáo viên thiết kế ví dụ và tạo tình huống có vấn đề. Tùy vào nội dung khái niệm, đối tượng học sinh, mục đích dạy học, để người giáo viên lựa chọn mô hình phù hợp. 2.4.2 Dạy học khái niệm hàm số liên tục Khi dạy học khái niệm hàm số liên tục, chúng ta có thể sử dụng mô hình cộng biến như sau. Bước 1. Quan sát Giáo viên đưa ra bài toán sau: Tính 1 lim ( ), x f x  trong đó 2 1 ( ) (1). 1 x f x x    Giáo viên gọi một học sinh lên bảng tính giới hạn này. Trong khi học sinh tính giới hạn, giáo viên vẽ đồ thị của hàm số (1) (Hình 11). Giáo viên: Ta có 1 lim ( ) 2, x f x   tại sao đồ thị của (1) bị “ngắt quảng” tại điểm có tọa độ (1,2)? Học sinh: Vì hàm số không xác định tại x = 1. An Giang University Journal of Science – 2018, Vol. 20 (2), 79 – 89 87 Hình 11. Đồ thị hàm số 2 1 ( ) . 1 x y f x x     Bây giờ mở rộng hàm số (1) thành hàm số (2) như sau: 2 1 1 ( ) (2)1 3 1 x khi x y f x x khi x         Bước 2. Phát hiện Giáo viên yêu cầu học sinh nêu các đặc điểm, tính chất của hàm số (2), so sánh với hàm số (1). Học sinh: hàm số (2) xác định tại x = 1; f(1) = 3, và 1 lim ( ) 2, x f x   Giáo viên vẽ đồ thị hàm số (2) (Hình 12) và nhận xét: hàm số (2) xác định tại x = 1 với f(1) = 3, và 1 lim ( ) 2, x f x   nhưng đồ thị của (2) vẫn bị “đứt” tại (1,2). Tại sao? Học sinh: Vì 1 lim ( ) (1). x f x f   Giáo viên: Vậy, cần thay f(1) của hàm số trên bằng bao nhiêu để đồ thị trên không bị “đứt”? Học sinh: Đồ thị của hàm số là một đường thẳng không bị “đứt” tại điểm (1,2) khi f(1) = 2. Hình 12. Đồ thị hàm số (2) Hình 13. Đồ thị hàm số (3) Bước 3. Kết luận Giáo viên: Như vậy chúng ta xét hàm số 2 1 1 ( ) (3)1 2 1 x khi x y f x x khi x         có đồ thị như ở Hình 13 là một đường liền nét và 1 lim ( ) 2 (1). x f x f    Trong trường hợp này, người ta nói rằng hàm số (3) liên tục tại x = 1. Một cách tổng quát, các em thử phát biểu định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm. 2.4.3 Dạy học khái niệm đạo hàm Khi dạy học khái niệm đạo hàm, ta có thể sử dụng mô hình quan sát – tìm kiếm như sau: Bước 1. Quan sát Xét hai ví dụ sau đây: An Giang University Journal of Science – 2018, Vol. 20 (2), 79 – 89 88 Ví dụ 1 Cho hàm số f(x) = - x2 +4 có đồ thị (P) như hình vẽ, điểm A thuộc (P) có hoành độ bằng 1. Xét điểm M thuộc (P) có hoành độ 1 + h, h là một số khác 0, nhưng rất gần với số 0. a. Chứng minh hệ số góc của đường thẳng AM là:    1 1f h f m h    b. Tính giới hạn k của m khi h dần tới 0? c. Vẽ đường thẳng d đi qua A, có hệ số góc k tìm được ở câu b. Nhận xét về đường thẳng AM khi h dần tới 0. Giáo viên dẫn dắt học sinh làm câu a và tính được giới hạn:     0 0 1 1 lim lim 2. h h f h f k m h        Từ đó viết được phương trình của đường thẳng d: 2 5y x   Học sinh nhận xét được khi h dần tới 0 thì đường thẳng AM trùng vào đường thẳng d. (Giáo viên có thể sử dụng các phần mềm hình học động để cho học sinh quan sát thấy). Giáo viên giới thiệu đường thẳng đó được gọi là tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) tại điểm x = 1 và yêu cầu học sinh nhận xét về hệ số góc của tiếp tuyến. Học sinh: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) tại điểm x = 1 là:     0 1 1 lim . h f h f k h    Ví dụ 2 Cho một ô tô chuyển động thẳng. Quãng đường s của ô tô chuyển động là một hàm số của thời gian t: s = s(t). Hãy tìm một đại lượng đặc trưng cho độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm t0. Giáo viên: Trong khoảng thời gian từ 0t đến t, ô tô đi được quãng đường bao nhiêu? Học sinh: Quãng đường đi được là 0 0( ) ( ).s s s t s t   Giáo viên: Xét    00 0 0 s t s ts s t t t t     . Có nhận xét gì về tỉ số này khi ô tô chuyển động đều? Học sinh: Tỉ số trên là một hằng số. Giáo viên nhận xét nếu chuyển động không đều thì tỉ số trên là vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian 0t t . Khi t càng gần 0t , tức là 0t t càng nhỏ thì vận tốc trung bình càng thể hiện được chính xác hơn mức độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm 0t . Từ đó, ta có đại lượng đặc trưng cho độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm 0t , hay còn gọi là vận tốc tức thời vtt của chuyển động tại thời điểm 0t được tính bằng công thức:     0 0 0 limtt t t s t s t v t t    . An Giang University Journal of Science – 2018, Vol. 20 (2), 79 – 89 89 Bước 2. Tìm kiếm Giáo viên: Ở trong hai ví dụ trên có hai giới hạn mà chúng ta xét đến. Vậy hai giới hạn đó có đặc điểm giống nhau gì? Khả năng 1: Nếu học sinh phát hiện ra đặc điểm: cả hai giới hạn đều có dạng     0 0 0 lim x x f x f x x x   . Giáo viên giới thiệu tiếp: giới hạn đó nếu tồn tại hữu hạn thì được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0. Bước 3. Kết luận Giáo viên: Một cách tổng quát, giới hạn     0 0 0 lim x x f x f x x x   được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) khi nào? Học sinh phát biểu, giáo viên chỉnh sửa (nếu cần) để có một định nghĩa chính xác khái niệm đạo hàm. Khả năng 2: Nếu học sinh dự đoán chưa đúng, giáo viên cần gợi ý cho học sinh ở ví dụ 1, đặt 0 01; 1 .x h x h x x      Khi h dần về 0 thì x dần về 0 .x Từ đó hướng dẫn học sinh viết lại biểu thức tính giới hạn và so sánh. Học sinh: Cả hai giới hạn trên đều có dạng     0 0 0 lim . x x f x f x x x   Giáo viên: dẫn dắt học sinh đến với khái niệm đạo hàm như ở khả năng 1. 3. KẾT LUẬN Việc sử dụng các mô hình quy nạp nói trên vào dạy học hình thành khái niệm cho học sinh không những giúp học sinh hiểu sâu khái niệm mà còn tạo cơ hội cho các em tự phát hiện khái niệm, tự kiến tạo tri thức theo đúng quan điểm của lý thuyết kiến tạo, từ đó phát huy tính tích cực và các năng lực phân tích, trừu tượng hóa, khái quát hóa của người học. Để quá trình dạy học thực sự phát huy hết hiệu quả của nó, giáo viên cần biết vận dụng, kết hợp một cách linh hoạt các mô hình khác nhau, các phương pháp khác nhau, tạo môi trường phù hợp cho học sinh tự khám phá, tìm tòi, từ đó phát triển được các phẩm chất và năng lực cần thiết cho người học, góp phần thực hiện thành công đổi mới giáo dục hiện nay. TÀI LIỆU THAM KHẢO Ban Chấp hành Trung ương Đảng khóa XI. (2013). Nghị quyết số 29-NQ/TW Hội nghị Trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo. Hà Nội. Đoàn Quỳnh. (2011). Sách giáo khoa Đại số và giải tích lớp 11 cơ bản và nâng cao. Hà Nội: Nhà xuất bản Giáo dục. Lydia Misset. (2010). Délic mathématiques 1ESL. Paris: Hachette éducation. Nguyễn Bá Kim. (2002). Phương pháp dạy học môn Toán. Hà Nội: Nhà xuất bản Đại học Sư phạm Hà Nội. Nguyễn Cảnh Toàn. (1997). Phương pháp luận duy vật biện chứng với việc học, dạy, nghiên cứu toán học (Tập 1, 2). Hà Nội: Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội. Nguyễn Phú Lộc. (2010). Dạy học hiệu quả môn giải tích trong trường phổ thông. Hà Nội: Nhà xuất bản Giáo dục. Trần Vui. (2017). Từ các lý thuyết học đến thực hành trong giáo dục toán. Huế: Nhà xuất bản Đại học Huế. Von Glasersfeld, E. (1989). Constructivism in Education. In T. Husen & N. Postlethwaite (Eds.), International Encyclopedia of Education (Supplementary Vol., pp 162-163). Oxford: Pergamon.