Thiết lập phương trình năng lượng tổng quát

1 THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH NĂNG LƯỢNG TỔNG QUÁT PGS.TS. Trịnh Văn Quang. ĐHGT Đặt vấn đề : Khi khảo sát quá trình tỏa nhiệt đối lưu, chúng ta phải xây dựng từng phương trình (PT) riêng biệt gồm các PT chuyển động, năng lượng, liên tục, và toả nhiệt. Việc này vô hình đã tách rời các hiện tượng xảy ra đồng thời thành những quá trình riêng biệt độc lập dường như không liên quan nhau. Vấn đề đặt ra là bốn PT trên có liên hệ gì với nhau không, trong khi các hiện tượng trong dòng chảy thực tế luôn phụ thuộc vào nhau. Vậy có thể biểu thị toàn bộ các hiện tượng trong quá trình bằng một mô hình toán nào đó mà nó có bản chất thống nhất tự nhiên như quá trình đã xảy ra hay không? Bài viết trình bày cách xây dựng một PT như thế trong đó bao hàm cả biến đổi năng lượng và cả mọi dạng vận động của hệ thống và sự biến đổi giữa chúng. Gọi đó là PT năng lượng tổng quát. 1. Các yếu tố đặc trưng cơ bản của phân tố chất lỏng Trong dòng chảy, mỗi phân tố chất lỏng vừa chuyển động vừa biến dạng biểu thị qua cách yếu tố đặc trưng sau. 1.1. Tốc độ và ứng suất: phân tố chất lỏng trong toạ độ xyz có tốc độ (hình 1), do có ma sát tại các bề mặt xuất hiện ứng suất ̿ (hình 2). Tốc độ là một véc tơ : k.j.i.),r( zyx  = (1) Ứng suất là một ten xơ:            zzzyzx yzyyyx xzxyxx ppp ppp ppp P = [Pij] (2) Tenxơ ứng suất là đối xứng *PP  (tenxơ chuyển vị) Với i chỉ hướng pháp tuyến của bề mặt, j chỉ hướng của ứng suất. 1.2. Biến dạng thuần tuý là dãn nở hoặc nén không gây méo. Biến dạng thuần tuý do sự khác nhau giữa tốc độ tại 2 điểm nút cùng hướng với cạnh phân tố gây nên. Độ dãn dài của cạnh theo hướng x trong thời gian d là:      ddx x dddx x x x x x .. -            (3) Tương tự theo hướng y và z, độ dãn dài của cạnh là:    d.dy. y y ,    d.dz. z z . Tốc độ dãn dài tương đối của cả ba cạnh phân tố là:   div zxx zxx          (4) Thấy rằng, nếu phân tố không bị dãn hay nén thì: 0div (5) 1.3. Méo thuần tuý. Phân tố bị méo dạng do các thành phần tốc độ vuông góc với các cạnh phân tố gây nên (hình 3). Góc méo quanh trục z trên mặt xy do hai cạnh quay hai góc d và d có giá trị khác nhau: PZZ PZX PZY PYZ PYY PYX PXY PXX PXZ X Y Z Hình .2 y z Hình .1 d d Hình .3 2    d yx dd x y .=-            . (6) Tốc độ méo góc quanh trục z là:              yxd dd xy    . (7) Tương tự như vậy, tốc độ méo góc quanh trục x là:            yz zy  . Tốc độ méo góc quanh trục y là:            xz zx 2. Các phương trình cơ bản 2.1. Phương trình dịch chuyển trong dòng chảy Trong quá trình dịch chuyển, các phân tố luôn gắn với các đại lượng đặc trưng nhất định. Gọi F(x) là hàm dung lượng mở rộng biểu thị các đại lượng đặc trưng phụ thuộc vào thể tích khảo sát, thì F(x) là hàm của thời gian và được xác định bởi: F() =    )(V dV),r(f (8) Trong đó: r - vectơ toạ độ;  - thời gian; V() - thể tích của hệ kín được khảo sát thay đổi theo thời gian; ,r(f ) là hàm mật độ tổng quát phụ thuộc vào toạ độ và thời gian. Hàm F() có thể là: khối lượng, xung lượng, năng lượng. Hàm ),( rf tương ứng với nó sẽ phải là: mật độ , động lượng (  ), tổng nội năng và động năng phân tố  2/2 u . Cụ thể: Khối lượng:  )( .   V dVM ; Xung lượng:  )( ..   V dVJ ; Năng lượng:         )( 2 2 .    V dVuE . Sự thay đổi thực của hàm F() theo thời gian chính là đạo hàm toàn phần của F():  )( ),()(      V dVrf D D F D D (9) Việc tính trực tiếp (9) là rất phức tạp và khó khăn vì khi khảo sát dòng chảy, đạo hàm toàn phần được tính theo phương pháp Lagrange, còn tích phân lại tính theo phương pháp Euler là hai phương pháp độc lập nhau. Bởi vậy, cần biến đổi vế phải của (9) theo định nghĩa đạo hàm tại thời điểm  = 0:                        )()( 0 )( 00 0 ),(),( 1 lim),(      VV o t V dVrfdVrfdVrf D D (10) Với V(0),V(o+) là thể tích trước và sau thay đổi của miền tích phân mở rộng: V(0+) = V(0) + V(0+) (11) V(0 + ) là hiệu của V1 (diện tích gạch dọc) và V2 (diện tích gạch ngang): V(0 + ) = V2 - V1 (12) Thay thế (11) vào (10) sẽ được:                         )( )( 0 )( 0 0 )( 0 0 0 0 ),(),(),( 1 lim),(         V V Vt V dVrfdVrfdVrfdVrf D D (13) V2 V1 V(0) V(0 +) Hình .4 3 Sau khi khai triển chuỗi Taylor đối với hàm ),( 0  rf tại lân cận  = 0 và bỏ qua các đạo hàm bậc hai trở lên được: dVrfdV f dVrf D D V t VV                   )( 0 0 )()( 00 0 ),( 1 lim),(      (14) Thấy rằng số hạng đầu của vế phải là xác định vì miền tích phân có vị trí và hình dạng cố định. Còn số hạng sau của vế phải cần phải biến đổi tiếp . Chú ý đến (11) phân tích sự thay đổi thể tích V(0 + ). Xét phân tố thể tích dV được xác định bởi: AdrdV .).,( 0   (15) Ở đây và Ad là véc tơ tốc độ và véc tơ pháp tuyến của các mặt cắt diện tích phân tố dA. Tích hai véc tơ trên là: dV < 0 khi dV thuộc V1; dV > 0 khi dV thuộc V2 , (hình 5). Áp dụng (15) có    )( 0 )( .).,().,(),( oo A o V o AdrrfdVrf   (16) Sau khi lại khai triển chuỗi Taylo hàm ),r(f 0  tại lân cận  = 0 rồi thay thế vào (16) sẽ được:           )( 0 )( .....),(),( oo AV o Ad f rfdVrf     (17) Trở lại số hạng sau của (14) sẽ là:                  )( 0 )( 0 0 )( 0 .),(.....),( 1 lim),( 1 lim ooo AAV o dArfAd f rfdVrf           (18) Thay (18) vào (10) sẻ có :              )( 00 )()( ).,(),().( oo o o AVV dArrfdV f dVrf D D      . Nếu lấy tại lân cận 0 thì (9) trở thành:     )( 00 )()( ).,(),(),()(        AVV dArrfdV f dVrF D D F D D (19) (19) được gọi là phương trình dịch chuyển trong dòng chảy. Về ý nghĩa vật lý có thể hiểu sự thay đổi thực của đại lượng dung lượng mở rộng nào đó của hệ kín trong môi trường chảy liên tục gồm hai thành phần, phần thứ nhất là sự thay đổi cục bộ trong thể tích khảo sát mà đó chứa đầy trong hệ kín, phần thứ hai là sự thay đổi đối lưu là lượng đi vào và đi ra qua bề mặt giới hạn thể tích trên trong một đơn vị thời gian. 2.2. Nguyên lý bảo toàn năng lượng Theo định luật bảo toàn và biến hoá năng lượng thì biến đổi năng lượng của hệ được thể hiện bằng công và nhiệt (định luật 1 Nhiệt động học): QL D DE    (20) trong đó: E là năng lượng tổng cộng của hệ trong dòng chảy; L là công hệ sinh ra trong một đơn vị thời gian gọi là công suất cơ;  Q là nhiệt hệ sinh ra trong một đơn vị thời gian gọi là công suất nhiệt 2.3. Phương trình năng lượng cơ bản d d  dV> 0 dV< 0 Hình .5 4 Năng lượng tổng của hệ trong dòng chảy có tốc độ ),r(  nói chung gồm động năng và nội năng:         V dVuE 2 2  (21) trong đó: u là nội năng của 1 kg (kJ/kg); (2/2 + u) là năng lượng tổng của 1 m3 (kJ/m3) Thấy rằng (2/2 + u) đóng vai trò f, và E đóng vai trò F trong (8) bởi vậy thay vào (19) sẽ có:                              AVV dAudVudVu D D          222 222 (22) Xét số hạng đầu vế phải của (22):                                         VVV dVudVudVu 2 )( 22 222        Theo điều kiện liên tục của dòng chảy; 0)(    dV  bởi vậy (22) trở thành: dAudVudVu D D AVV .) 2 () 2 ( 2 222                           (23) Theo ý nghĩa vật lý của phương trình dịch chuyển thấy rằng, số hạng đầu trong vế phẳi của (23) biểu thị biến đổi năng lượng bên trong thể tích kín V của hệ trong một đơn vị thời gian. Đó chính là công suất cơ toàn phần của hệ. Số hạng sau trong vế phải của (23) biểu thị thành phần năng lượng đi qua diện tích A bao kín hệ, đó là dạng truyền năng lượng vi mô do các phân tử thực hiện. Nó phải là công suất nhiệt toàn phần của phân tố. Bởi vậy (23) sẽ được viết thành: dAqdVldVu D D AVV ..) 2 ( 2       (24) trong đó:  l là công tổng cộng của một đơn vị thể tích trong một đơn vị thời gian;  q là mật độ dòng nhiệt tại A. Theo tích phân Gauss - Ostrogradski : dVqdivdAq VA ...    (25) thay (25) vào (24) có: dVqdivldVqdivdVldVu D D VVVA ).(..) 2 ( 2       (26) (26) được gọi là Phương trình năng lượng cơ bản dạng vi phân, biểu thị công suất toàn phần gồm công suất cơ và công suất nhiệt. Công suất cơ gồm có công suất của lực khối và công suất của các lực bề mặt của phân tố :   qdivlu D D ) 2 ( 2   (27) 3. Xây dựng các thành phần của phương trình năng lượng tổng quát 3.1. Công suất của các lực bề mặt PXY PXZ PXX y x z Hình 6 Y X Z x z Hình 7 5 Xét phân tố chất lỏng trong môi trường liên tục. Ứng suất và tốc độ tại các mặt theo các hướng : + Theo hướng x: - Mặt thứ nhất có các ứng suất: Pxx, Pxy, Pxz và các tốc độ: x, y, z (hình 6, hình 7) - Mặt thứ hai có các ứng suất:                          dx x P Pdx x P Pdx x P P XZXYXX XZXYXX ,, và các tốc độ:                          dx x dx x dx x Z Z Y Y X X       ,, , + Theo hướng y : - Mặt thứ nhất có các ứng suất và tốc độ: Pyy, Pyx, Pyz ; x, y, z - Mặt thứ hai có các ứng suất:                          dy y P Pdy y P Pdy y P P YZYXYY YZyxYY ,, , và các tốc độ:                          dx y dx y dx y Z Z Y Y X X       ,, + Theo hướng z cũng tương tự như trên . Tích số giữa lực do ứng suất tại các mặt với tốc độ tại các mặt đó theo cả ba hướng là công suất riêng của phân tố. Xét riêng thành phần pháp tuyến :  XP x dx x dx x P PP    XX X X XX XXXXX .                    , Sau khi bỏ qua đạo hàm bậc cao, một cách tương tự theo cả ba hướng, tích giữa lực ứng suất với tốc độ tạo nên công suất của các lực bề mặt:                ZZZYZYXZXZYZYYYXYXZXZYXYXXX + + . + + . + + .  PPP z PPP y PPP x    iij j p x pdiv  ...    (28) Công suất của các lực bề mặt sẽ làm phân tố thực hiện chuyển động và biến dạng. Nếu phân tố chỉ chuyển động thuần tuý không biến dạng nghĩa là phân tố được coi như vật rắn thì công suất đó chính là động năng của phân tố, gọi là công suất chuyển động. Trong trường hợp chung phân tố chất lỏng vừa chuyển động vừa biến dạng. Biến dạng gồm hai thành phần: biến dạng thuận nghịch: nén hoặc dãn nở đối với chất lỏng chịu nén và biến dạng không thuận nghịch đối với chất lỏng không bị nén. Sau đây sẽ phân tích các thành phần của công suất cơ của các lực bề mặt: 3.1.1. Công suất chuyển động Trường hợp phân tố không bị biến dạng, lúc đó các thành phần tương ứng của tốc độ tại các mặt bằng nhau. Các thành phần công suất của các lực bề mặt theo ba hướng gây nên chuyển động của phân tố . Công suất riêng chuyển động của phân tố:                 x P x P x P xz z xy y xx x  +               y P y P y P yz z yy y yx x  +                 z P z P z P zz z zy y zx x  = = j ij i x P Pdiv    ..  (29) Công suất này có thể gọi là công suất chuyển động của trọng tâm vì các lực bề mặt gây chuyển động được quy về trọng tâm. 3.1.2. Công suất biến dạng phân tố Từ phân tích ở trên thấy rằng công suất biến dạng của phân tố chính là hiệu công suất toàn phần và công suất chuyển động, tức là:    PdivPdiv ,  divP x P x P P x jjj         i ij ij iiij -) ( (30) Trong các ứng suất Pịj thì các ứng suất pháp (i = j) gây nên biến dạng thuận nghịch, làm phân tố thay đổi thể tích thuần tuý: nén hoặc dãn. Các ứng suất tiếp còn lại (i  j) là ứng suất trượt do tính nhớt của chất lỏng thực tạo ra. Các ứng suất trượt gây méo dạng phân tố không trở lại hình dạng cũ nên làm y 6 tiêu hao công suất không thuận nghịch. Trong chất lỏng không chịu nén chúng gây méo góc, còn trong chất lỏng chịu nén chúng còn gây nên cả sự thay đổi thể tích của phân tố. Có thể viết ứng P suất dưới dạng: ij i j j i div xx PP    ).( + . - = 2ijij              (31) Công suất biến dạng (30) được biến đổi như sau: ji j j i j x div xx P x PdivP                             i2ij i ij ).( + . -                                          222 2. zyx Pdiv z yx  +  22 222 .   div zxyzxy xzzyyx                                           hoặc: DPdiv x P j      .iij (32) trong đó: .Pdiv là Công suất biến dạng thuận nghịch: chất lỏng bị nén: div  0, không bị nén: div  = 0 D là Công suất biến dạng không thuận nghịch:                                  222 2 zyx D z yx  +  22 222 .   div zxyzxy xzzyyx                                           (33)  Công suất biến dạng thuận nghịch không bị tiêu hao trong quá trình chảy. Trong đường ống thu hep tốc độ tăng, áp suất giảm, đến khu vực đường ống mở rộng, áp suất lại tăng lên nhờ tốc độ giảm đi. Các phấn tố chất lỏng thay đổi thể tích: dãn nở hoặc nén (không biến dạng).  Công suất biến dạng không thuận nghịch làm phân tố chất lỏng quay, méo dạng. Công suất này không thể lấy lại được, biểu thị bằng D. 3.2. Công suất của các lực khối Lực khối tác dụng lên phân tố chất lỏng do tác dụng của trọng trường là: g dxdydz trong đó:  - mật độ chất lỏng, g - gia tốc trọng trường. Vậy công suất riêng của lực khối là: g .  (34) 3.3. Công suất nhiệt Lượng nhiệt truyền đi trong một đơn vị thời gian là hiệu số lượng nhiệt qua mặt thứ nhất và thứ hai. Công suất nhiệt truyền đi theo cả ba hướng trong một đơn vị thể tích: dV Qd  = -                 z q y q x q zyx  = - div q = + div(gradT) (35) 4. Phương trình năng lượng tổng quát 4.1. Phương trình năng lượng tổng quát Từ phương trình năng lượng cơ bản (26) và các thành phần dẫn đến: )(... 2 2 gradTdivPdivPdivgu D D            D (36) (36) gọi là Phương trình năng lượng tổng quát Vế trái biểu thị công suất tổng của động năng và thế năng Vế phải biểu thị các thành phần:  ..g là công suất lực khối Pdiv. là công suất chuyển động Pdiv là công suất biến dạng thuận nghịch D là công suất biến dạng không thuận nghịch 7 div(gradT) là công suất nhiệt Như trên đã phân tích, có thể tách (36) thành hai phương trình: phương trình cơ năng và phương trình nhiệt năng 4.2. Phương trình cơ năng Pdivg D D .. 2 2           (37) 4.3. Phương trình nhiệt năng )( gradTdivPdivu D D    D (38) 5. Một vài dạng ứng dụng của phương trình năng lượng dạng tổng quát 5.1. Phương trình chuyển động 5.1.1. Phương trình chuyển động tổng quát Từ phương trình cơ năng (37) ta có: Pdivg D D    )( (39) đơn giản cho  sẽ được: Pdivg D D     )( (40) hoặc dạng ký hiệu: j ij i i x P g D D        (41) 5.1.2. Phương trình Navier – Stokes Từ (41) viết theo các thành phần ứng suất z P y P x P g D D x          ZXYXXXX     z P y P x P g D D Y          ZYYYXYY     (42) z P y P x P g D D Z          ZZYZXZZ    Với các giá trị của Pij trong (31) sẽ được:                                                           xzzxyy div xxx P D D zxyxxx         2x 2g =                                                           yzzxyx div yyy P D D zYyxYY         2 Y 2g = (43)                                                      yzyxzx div zzz P D D ZYZXZZ         2 Z 2g = Hệ (43) được gọi là hệ phương trình chuyển động Navier - Stokes dạng tổng quát. Cũng có thể viết gọn thành một phương trình dạng tenxơ:   EPdivDdivg D D s     22 (44) hay ở dạng ký hiệu: 8                           ij i j j i j i Pdiv xxx g D D       + = i (45) trong đó:               i j j i s xx D  là tenxơ tốc độ biến dạng Phương trình trên ứng dụng với các chất lỏng Newton. 5.1.3. Phương trình chuyển động Navier - Stokes trong chất lỏng không chịu nén Khi đó div  = 0,  không phụ thuộc vào áp suất (  f(P)),  phụ thuộc nhiệt độ  = (T). Triển khai hệ (43) theo điều kiện này sẽ được hệ:                                          xzz T xyy T xx T dT d x P g D D ZXyXX XX x     22                                          yzz T xyx T yy T dT d y P g D D ZYYXY YY Y     22 (46)                                          zyy T zxx T zz T dT d z P g D D YZXZZ ZZ Z     22 5.1.4. Phương trình chuyển động Navier - Stokes trong chất lỏng không chịu nén, đẳng nhiệt Trường hợp này  = const,  = 0 = const bởi vậy hệ phương trình trên trở thành: XX x x p g D D     20     YY Y y p g D D     20     (47) ZZ Z z p g D D     20     hoặc dạng vectơ:     2.  gradPg D D (48) (47) và (48) là các phương trình quen thuộc trong các giáo trình nhiệt, đó là dạng đơn giản nhất trong các trường hợp đã nêu ở trên. 5.2. Phương trình nhiệt năng 5.2.1. Dạng tổng quát: viết theo nội năng ).(. gradTdivDPdiv D Du     (49) 5.2.2. Dạng chứa entanpy (i) Bằng cách thay u = i - P/ vào (49) sẽ được: ).( gradTdivD D DP D Di     (50) 5.2.3. Dạng chứa nhiệt độ Thay i = i(P, T) vào (50) sau khi biến đổi sẽ được: 9 ).( gradTdivD D DP T D DT CP      (51) với PT             1 5.2.4. Trong dòng chảy đẳng áp ).( gradTdivD D Di     (52) hoặc ).( gradTdivD D DT CP     (53) Trong dòng chảy đẳng áp, bỏ qua các tổn thất không thuận nghịch D và coi  = const, Cp = const. TgradTdiv D DT CP 2)(     hay TagradT T D DT 2.       (54) là dạng đơn giản nhất đã quen thuộc Fourier – Kirshopp, trong đó pC a    gọi là hệ số khuếch tán nhiệt độ. 5.3. Hệ phương trình truyền nhiệt đối lưu 5.3.1. Phương trình chuyển động Trong dòng chảy không bị nén, thay đổi nhiệt độ không lớn lắm thì có thể coi  = (T) = const và  = (T)  a. Khi đó phương trình chuyển động có dạng     2.  gradPg D D (55) 5.3.2. Phương trình nhiệt Với điều kiện như trên phương trình nhiệt có dạng: TagradT T 2.      (56) 5.3.3. Phương trình liên tục: G = const Từ phương trình dịch chuyển lấy f = , suy ra   V dV = G = const thì: 0)(      VAVV dVdivdVdVdV D D     (57) suy ra: div( ) = 0. Trong môi trường không bị nén, nhiệt độ thay đổi không lớn:  = const, khi đó: div  = div  = 0 hay div = 0 5.3.4. Phương trình vi phân toả nhiệt : Trường hợp dòng chảy có truyền nhiệt với bề mặt vật rắn sẽ có thêm điều kiện biên gọi là phương trình vi phân toả nhiệt: t n T m           (58) trong đó: mn T         là grad nhiệt độ tại bề mặt,  là hệ số toả nhiệt t là độ chênh nhiệt độ chất lỏng 1 và chất lỏng 2 10 Kết luận Phương trình năng lượng tổng quát được xây dựng từ sự tương tác của các yếu tố của phân tố dòng chảy trong quá trình dich chuyển, bởi vậy nó đã mang bản chất thống nhất tự nhiên của các quá trình biến đổi cơ năng và nhiệt năng xảy ra trong dòng chảy. Tài liệu tham khảo: [1]. Pr. Konecsny Ferencs. уравнение энeргии и возоможностии егo упросщении пpи исследoвa- нии охлаждeнния элeктрoмoтoрoв. Periodica Polytechnica – Transp.Eng.6.(1978) No.2 [2]. Trịnh Văn Quang. " Xây dựng phương trình năng lượng tổng trong truyền nhiệt đối lưu ". Đề tài NCKH cấp cơ sở. Nghiệm thu: 12 tháng 11 năm 1993. Kết quả: Xuất sắc. [3]. Bruce R. Munson et al. Fundamentals of Fluid Mechanics . West Virginia University Morgantown, West Virginia, USA. John. Wiley & Sons, Inc. [4]. Yunus A. Aenge et al. Fluid Mechanics: Fundamentals and Applications. Mc Graw Hill