So sánh và lựa chọn hàm dạng phù hợp trong nội suy trường nhiệt độ

Phạm Thành Long và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 189(13): 73 - 77 73 SO SÁNH VÀ LỰA CHỌN HÀM DẠNG PHÙ HỢP TRONG NỘI SUY TRƯỜNG NHIỆT ĐỘ Phạm Thành Long*1, Lê Thị Thu Thủy1, Nguyễn Hữu Thắng1, Lê Đức Độ2 1Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp – ĐH Thái Nguyên, 2Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội TÓM TẮT Các đại lượng vật lý tồn tại dưới dạng các trường liên tục như nhiệt độ, độ ẩm, âm thanh, ánh sáng rất phổ biến trong kỹ thuật. Khi khảo sát các trường này, do tính liên tục của nó nên có thể giảm chi phí tính toán bằng cách nội suy. Ngoài các điểm chốt có dữ liệu mẫu, các điểm nội suy có độ chính xác phụ thuộc vào dạng hàm nội suy và mật độ các điểm chốt lớn hay nhỏ. Bài báo này so sánh hai kiểu hàm dạng là hàm dạng lý thuyết và hàm dạng thực nghiệm nhằm chọn kiểu phù hợp hơn khi nội suy nhiệt độ. Cách làm ở đây là so sánh các kết quả nhận được của mỗi phương pháp áp dụng trên cùng một mô hình vật lý với kết quả đo được thực tế bằng cảm biến nhiệt, ở cùng vị trí. Kết quả so sánh cho thấy hàm dạng thực nghiệm có độ chính xác cao hơn trong cùng điều kiện, đây là cơ sở để cải thiện chất lượng khi tiến hành nội suy một đại lượng mà chưa quan tâm đến dạng hàm. Từ khóa: Hàm dạng, điểm chốt, nội suy, nhiệt độ, trường liên tục. MỞ ĐẦU* Nội suy là phương pháp ước tính giá trị của các điểm dữ liệu chưa biết trong phạm vi của một tập hợp rời rạc chứa một số điểm dữ liệu đã biết với độ chính xác đánh giá được. Độ chính xác của phép nội suy phụ thuộc chặt chẽ vào tính liên tục của đại lượng được nội suy, mật độ điểm chốt và đặc biệt là dạng hàm sử dụng trong quá trình tính toán [1,2,3]. Sai số do dạng hàm gây ra khi nội suy là sai số phương pháp, việc xác định đúng dạng hàm xấp xỉ có ý nghĩa quan trọng khi mật độ điểm chốt không đủ lớn, điều này đặc biệt quan trọng khi chi phí lấy mẫu cao. Theo [4], hàm dạng lý thuyết này được áp dụng hiệu quả trên mô hình nội suy sai số máy công cụ, tuy nhiên chưa có kiểm chứng nào trong lĩnh vực nội suy trường nhiệt độ. Theo [5], hàm hồi quy thực nghiệm này có quy trình khá phức tạp để nhận dạng mặc dù đáp ứng yêu cầu độ chính xác kết quả. Hàm dạng lý thuyết theo [4] không cần quá trình phức tạp này nhưng độ chính xác của nó như thế nào so với hàm dạng thực nghiệm ở [5] chính là mục tiêu của bài báo này. * Tel: 0947 169291, Email: kalongkc@gmail.com HÀM DẠNG LÝ THUYẾT VÀ HÀM DẠNG THỰC NGHIỆM * Khái niệm hàm dạng Hàm dạng được sử dụng phổ biến trong nội suy [6,7,8,9] và có nhiều dạng khác nhau, phù hợp các hoàn cảnh khác nhau.Xét một không gian nội suy như hình 1. Hình 1. Mô tả ảnh hưởng của các điểm chốt đến điểm khảo sát qua hàm dạng Theo hình 1, ảnh hưởng cường độ của các nguồn vô hướng 1 n  tới điểm khảo sát pi tính toán theo (1): ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2. . ... . i i i pi n nN N N       (1) Trong đó các hệ số N1 – Nn là các hàm dạng, mô tả ảnh hưởng của các nguồn 1 n  đến điểm khảo sát theo thứ tự đó. Về cơ bản hàm dạng của một điểm chốt sẽ cho ra giá trị ảnh hưởng cực đại bằng 1 tại điểm đó và giảm dần bằng 0 tại các điểm chốt còn lại [5]. Phương trình (1) diễn tả nguyên lý chồng chất tại Phạm Thành Long và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 189(13): 73 - 77 74 điểm khảo sát. Bản thân các hàm dạng Ni có thể xác định theo một trong hai phương pháp sau đây. * Hàm dạng lý thuyết Xét một cửa sổ có dạng hộp chữ nhật thuộc vùng khảo sát như hình 2. Hình 2. Các điểm chốt và hệ quy chiếutrên vùng khảo sát Theo [5] hàm dạng lý thuyết cho 8 điểm chốt trên hình 2 xác định như sau: )1)(1)(1( 8 1 )1)(1)(1( 8 1 )1)(1)(1( 8 1 )1)(1)(1( 8 1 4 3 2 1 tsrN tsrN tsrN tsrN     )1)(1)(1( 8 1 )1)(1)(1( 8 1 )1)(1)(1( 8 1 )1)(1)(1( 8 1 8 7 6 5 tsrN tsrN tsrN tsrN     (2) Hệ quy chiếu r,s,t đặt tại trọng tâm của hộp nên có công thức chuyển trục: c zz t b yy s a xx r * ; * ; *       (3) Trong đó a, b, c xác định theo hình 2, tọa độ trọng tâm của phần tử đang xét: 2 *; 2 *; 2 * 312141 zz z yy y xx x       (4) Như vậy các giá trị (r, s, t) này biến thiên trong đoạn [-1,1], hệ quả là các giá trị Ni cũng thuộc đoạn [-1,1] sau khi đổi biến. * Hàm dạng thực nghiệm Giống với hàm dạng lý thuyết, các giá trị Ni trong phương trình (1) có thể là giá trị dừng của hàm tọa độ fi(x,y,z) là hàm khoảng cách của các tọa độ tương ứng. 1 1( , , ) ( , , ) pi n pi n f x y z N f x y z N      M với 1i n  (5) Hàm fi(x,y,z) ở vế trái của (5) được gọi chung là hàm dạng thực nghiệm, Ni là giá trị dừng của hàm này tính cho các điểm khảo sát pi khác nhau. Theo hình 1, khảo sát một điểm pi nằm bên trong của trường n điểm cực biết trước sai số 1 2( , ,..., )n   kể cả sai số điểm khảo sát pi . Quan tâm đến các thành phần của dữ liệu đo tại điểm khảo sát pi gồm ( ) ( , , , , , ) i p pi x y z x y zd d d    , quan hệ này có thể biểu diễn theo giá trị của các điểm cực đã biết (6): (1) (2) ( ) 1 1 2 (1) (2) ( ) 1 2 . . ... . . . ... . pi n x x n x pi n n z z n z N d N d N d N N N                  M (6) Từ đây xác định được giá trị dừng của hàm dạng thực nghiệm đối với điểm pi: 1 (1) ( ) 1 (1) ( ) . pin xx x n pi n z z zpi dN d d N                           L M L L L L L (7) Một bộ giá trị dừng duy nhất theo (7) không đủ để xác định được hàm dạng tổng quát, cần tiếp tục khảo các điểm khác nữa, chẳng hạn khảo sát các điểm từ 1 mp p để có được: 1 1 1 1 2 ; ;...; n n np p pm N N N N N N                              M M M (8) Như vậy luật hồi quy cho phép xác định được hàm dạng thực nghiệm ở nguồn thứ i như sau: ( ) ( ) ( ) 1 2( , ,..., ) ( , , ) i i i p p pm iN N N f x y z (9) Phạm Thành Long và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 189(13): 73 - 77 75 SO SÁNH VÀ LỰA CHỌN HÀM DẠNG PHÙ HỢP Dễ thấy giá trị nội suy (1) tính theo hàm dạng lý thuyết (2) và hàm dạng thực nghiệm (9) với cùng cường độ các điểm chốt sẽ khó đồng nhất ngoại trừ điểm chốt. Nếu so sánh hai cách tính này với dữ liệu đo dùng kiểm chứng độc lập hai cách nội suy sẽ biết được độ chính xác của từng phương pháp. * Mô tả thiết bị đo Hình 3. Cảm biến nhiệt độ sử dụng trong thí nghiệm Hình 4. Mạch hiển thị thông số nhiệt độ sử dụng LM35 và Arduino UNO Cảm biến LM35 là bộ cảm biến nhiệt mạch tích hợp chính xác cao mà điện áp đầu ra của nó tỷ lệ tuyến tính với nhiệt độ theo thang độ Celsius. Chúng cũng không yêu cầu cân chỉnh ngoài vì vốn chúng đã được cân chỉnh. Cảm biến LM35 hoạt động bằng cách cho ra một giá trị hiệu điện thế nhất định tại chân Vout (chân giữa) ứng với mỗi mức nhiệt độ. * Mô tả mô hình thí nghiệm Trên hình 5 bố trí 8 cảm biến nhiệt, theo sơ đồ trên hình 2 với các kích thước: 2a = 500(mm); 2c = 380(mm); 2b = 400(mm). Hai quạt thông gió làm mát bố trí ở hai đầu của nhà kính có công suất 2.5W/chiếc; 3 bóng đèn sưởi ấm bố trí rải rác trong không gian của nhà có công suất 10W/bóng; Sử dụng một cảm biến nhiệt di động phía bên trong để đo nhiệt độ tại một điểm bất kỳ nhằm đối chứng với kết quả nội suy. Kết quả nội suy theo hai phương pháp và kết quả đo được thể hiện trên hình 6. Hình 5. Mô hình nhà kính thí nghiệm và đường khảo sát nhiệt độ 9 điểm phía trong Phạm Thành Long và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 189(13): 73 - 77 76 Hình 6. Kết quả nội suy theo hai phương pháp và kết quả đo đối chứng Tại các điểm nội suy trên hình 6 do không thể hiện điểm chốt nào nên có thể nhận thấy kết quả là không có điểm nào trùng nhau về giá trị giữa phương pháp hàm dạng lý thuyết và hàm dạng thực nghiệm, điều này có thể nhận thấy ngay từ mô hình toán. KẾT LUẬN Rõ ràng hàm dạng lý thuyết thể hiện sự đối xứng trong kết cấu không gian nội suy, nó rất thuận tiện khi sử dụng do tính có sẵn của nó. Tuy nhiên khi đối chứng thực nghiệm cho thấy độ chính xác của hàm dạng thực nghiệm đem lại luôn vượt trội hơn so với hàm dạng lý thuyết, kết quả sẽ luôn trùng nhau tại các điểm lấy mẫu đo, do vậy có thể thấy rằng sai số trong tình huống này chính là sai số do dạng hàm chưa hợp lý mang lại (sai số phương pháp). Với những gì cho thấy trong bài báo này hoàn toàn có cơ sở để tin tưởng rằng trong điều kiện cùng một mật độ điểm mẫu,phương pháp hàm dạng thực nghiệm luôn cho kết quả tốt hơn do trường tham số không đối xứng lý tưởng.Mặc dù hàm dạng thực nghiệm có chi phí thành lập cao hơn nhưng điều này xứng đáng với độ chính xác kết quả mà nó mang lại. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. E. Oktavia, Widyawan, and I. W. Mustika.(2016), Inverse distance weighting and kriging spatial interpolation for data center thermal monitoring. Proc. 1st Int. Conf. Inf. Technol. Inf. Syst. Electr. Eng. ICITISEE 2016, pp. 69–74. 2. R. L. Wang, X. Li, W. J. Liu, T. Liu, M. T. Rong, and L. Zhou.(2014), Surface spline interpolation method for thermal reconstruction with limited sensor data of non-uniform placements. J. Shanghai Jiaotong Univ. vol. 19, no. 1, pp. 65–71. 3. M. Bullo, V. D’Ambrosio, F. Dughiero, and M. Guarnieri.(2006), Coupled electrical and thermal transient conduction problems with a quadratic interpolation Cell Method approach. IEEE Trans. Magn. vol. 42, no. 4, pp. 1003–1006. 4. Long. PT, Lê T.T Thuy and Thang N.H (2018), Determining the parameter area at the request of a physical field based on shape function technique, ICERA 2018. 5. Hoe. N.D (2004), Volumtric error compensation for multi-axis machine by using shape function interpolation, tạp chí khoa học công nghệ các trường đai học kỹ thuật, số 48+49/2004. 6. O. C. Zienkiewicz, R. L. Taylor, and J. Z. Zhu.(2013), The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals- Chapter 6: Shape Functions, Derivatives, and Integration. 7. X. Z. Xia, Q. Jiang, and Q. Zhang.(2016), Calculation of the derivative of interpolation shape function for three-dimensional natural element method. vol. 3839, no. January. 8. J. B. Gao and T. M. Shih.(1995), Interpolation methods for the construction of the shape function space of nonconforming finite elements. Comput. Methods Appl. Mech. Eng., vol. 122, no. 1–2, pp. 93–103. Phạm Thành Long và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 189(13): 73 - 77 77 ABSTRACT COMPARISON AND SELECTION APPROPRIATE SHAPE FUNCTION IN INTERPOLATING TEMPERATURE FIELD Pham Thanh Long 1* , Le Thi Thu Thuy 1 , Nguyen Huu Thang 1 , Le Duc Do 2 1University of Technology – TNU, 2Ha Noi University of Siences and Technology Physical quantities existing in the form of continuous fields such as temperature, humidity, sound, light are common in engineering. Physical quantities existing in the form of continuous fields such as temperature, humidity, sound, light are common in engineering. When examining these fields, due to its continuity, it is possible to reduce the computational cost by interpolating. Except for the key points with sample data, the interpolation points have accuracy depending on the type of interpolation function and the density of key points more or less. This paper compares two types of shape functions, the theoretical and experimental functions, to select the more appropriate type when interpolating temperature. The way to do this is to compare the results obtained by each method applied to the same physical model and the actual measured result by the thermal sensor at the same location. The results show that the experimental shape function has higher accuracy under the same conditions. This is the basis for improving quality when interpolating a quantity without considering the type of function. Keywords: Shape function, key point, interpolation, temperature, continuous field. Ngày nhận bài: 26/9/2018; Ngày hoàn thiện: 06/11/2018; Ngày duyệt đăng: 30/11/2018 * Tel: 0947 169291, Email: kalongkc@gmail.com