Số phức - Đại số tổ hợp

SOÁ PHệÙC – ẹAẽI SOÁ TOÅ HễẽP SỐ PHỨC Lí THUYẾT I. Dạng đại số (sgk) II. Dạng lượng giỏc của số phức (r > 0) là dạng lương giỏc của z = a + bi (a, b ẻ R, z ạ 0) * là mụđun của z. * j là một acgumen của z thỏa Nhõn chia số phức dưới dạng lượng giỏc. Nếu , thỡ: * * Cụng thức Moivre: thỡ Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giỏc Căn bậc hai của số phức (r > 0) là và Vớ dụ 1 :Tớnh số phức sau: z = Giải: z = = = cos(-15p) + isin(-15p) = -1. Vớ dụ 2: Tỡm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau: 1) 2) Giải: Xột số phức: = Vậy: phần thực bằng: và phần ảo bằng 0. 2) Xột số phức: = Vậy: phần thực bằng: 0 và phần ảo bằng 128. Vớ dụ 3 :Giải phương trỡnh: z4 – 4z3 +7z2 – 16z + 12 = 0 (1) Giải: Do tổng tất cả cỏc hệ số của phương trỡnh (1) bằng 0 nờn (1) cú nghiệm z = 1. (1) Û (z – 1)(z3 – 3z2 + 4z – 12) = 0 Û (z – 1) (z – 3) (z2 + 4) = 0 Û Vậy phương trỡnh đó cho cú 4 nghiệm. Vớ dụ 4 : Giải phương trỡnh: z4 – z3 + + z + 1 = 0 (1) Giải: Do z = 0 khụng phải là nghiệm của phương trỡnh (1) nờn: (1) Û zz – z + + + = 0 Û (z-)2 – (z-) + = 0. Đặt y = z- ị pt cú dạng: y2 – y + = 0 Û 2y2 – 2y + 5 = 0 Û +) Với y = ị z - = Û 2z2 – (1+3i)z – 2 = 0 (2) Ta cú : D = (1+3i)2 + 16 = 8 +6i = (3+i)2 ị phương trỡnh (2) cú 2 nghiệm: z1 = 1+i z2 = + i +) Với y = ị z - = Û 2z2 – (1-3i)z – 2 = 0 (3) Ta cú : D = (1-3i)2 + 16 = 8 -6i = (3-i)2 ị phương trỡnh (3) cú 2 nghiệm: z3 = 1-i z4 = - i Vậy phương trỡnh đó cho cú 4 nghiệm. Vớ dụ 5: Giải hệ phương trỡnh 2 ẩn z và w: Giải: Từ (2) ta cú: (z + w)3 – 3zw(z + w) = 9(-1+i) (3) Thay (1) vào (3) ta được: 27(1+i)3 – 9zw(1+i) = 9 (-1+i) ị 3(1+3i+3i2+i3) – zw(1+i) = -1 + i ị zw = Vậy ta cú hệ phương trỡnh: Theo định lý Viet ị z, w là cỏc nghiệm của phương trỡnh: t2 -3(1+i) + 5i = 0 (4) Ta cú: D = -2i = (1 – i)2 ị Phương trỡnh (4) cú hai nghiệm Vậy hệ đó cho cú hai nghiệm (z;w) là (2+i; 1+2i) và (1+2i;2+i) BÀI TẬP (ĐH_Khối A 2009) Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trỡnh z2+2z+10=0. Tớnh giỏ trị biểu thức . ĐS: A=20 Cho z1, z2 là cỏc nghiệm phức của phương trỡnh . Tớnh giỏ trị của biểu thức . ĐS: A=11/4 (CĐ_Khối A 2009) a. Số phức z thỏa món (1+i)2(2-i)z=8+i+(1+2i)z. Tỡm phần thực, phần ảo của z. b. Giải phương trỡnh sau trờn tập số phức: . ĐS: a. a=2, b=-3 b. z=1+2i, z=3+i Tỡm số phức z thoả món: . Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị. ĐS: . (ĐH_Khối B 2009) Tỡm số phức z thỏa món và . ĐS: z=3+4i hoặc z=5 Tỡm số phức z thỏa món: . HD: Gọi z=x+yi; (1)ịx=y, (2)ịy=1. ĐS: z=1+i. Giải phương trỡnh: . ĐS: zẻ{0;1;-1} Giải phương trỡnh: . HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trỡnh ị x, y ị z. ĐS: zẻ{0;i;-i} Giải phương trỡnh: . HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trỡnh ị x, y ị z. ĐS: z=0, z=-1, Giải phương trỡnh: . HD: Chia hai vế phương trỡnh cho z2. ĐS: z=1±i, . Giải phương trỡnh: z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 =0. HD: Đặt thừa số chung ĐS:. Cho phương trỡnh: (z + i)(z2-2mz+m2-2m)=0. Hóy xỏc định điều kiện của tham số m sao cho phương trỡnh: a. Chỉ cú đỳng 1 nghiệm phức. b. Chỉ cú đỳng 1 nghiệm thực. c. Cú ba nghiệm phức. Tỡm đa thức bậc hai hệ số thực nhận a làm nghiệm biết: a. a = 2-5i b. a = -2-i c. a = Giải phương trỡnh sau biết chỳng cú một nghiệm thuần ảo: a. z3-iz2-2iz-2 = 0. b. z3+(i-3)z2+(4-4i)z-7+4i = 0. (ĐH_Khối D 2009) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tỡm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thừa món điều kiện . ĐS: (x-3)2+(y+4)2=4 Xỏc định tập hợp cỏc điểm trờn mặt phẳng biểu diễn số phức: . ĐS: . Trong cỏc số phức thỏa món . Tỡm số phức z cú mụđun nhỏ nhất. HD: *Gọi z=x+yi. ị … ị. * Vẽ hỡnh ị|z|min ịz. ĐS: . Tỡm phần thực, phần ảo của cỏc số phức sau: a. . b. . HD: Sử dụng cụng thức Moivre. ĐS: a. Phần thực , phần ảo bằng 0, b. Phần thực 0, phần ảo bằng 128. Tỡm phần thực và phần ảo của số phức sau: 1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+ … + (1+i)20. HD: Áp dụng cụng thức tớnh tổng của CSN. ĐS: phần thực -210, phần ảo: 210+1. ĐẠI SỐ TỔ HỢP Lí THUYẾT Giai thừa: n!= n.(n-1)!=n.(n-1).(n-2). … .3.2.1, n≥0. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: , n≥k>0. Số tổ hợp chập k của n phần tử: , n≥k≥0. Quy ước n!=0!=1. Nhị thức Newton . Cụng thức số hạng tổng quỏt: , 0≤k≤n. BÀI TẬP (CĐ_Khối D 2008) Tỡm số hạng khụng chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của , (x>0). ĐS: 6528 (ĐH_Khối D 2004) Tỡm số hạng khụng chứa x trong khai triển nhị thức Newton của với x>0. ĐS: 35 (ĐH_Khối A 2003) Tỡm số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Newton của , biết rằng , (n nguyờn dương, x>0, ( là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: 495 (ĐH_Khối D 2005) Tớnh giỏ trị biểu thức , biết rằng (n là số nguyờn dương, là số chỉnh hợp chập k của n phần tử và là số tổ hợp chập k của n phần tử) ĐS: (ĐH_Khối A 2006) Tỡm số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Newton của , biết rằng , (n nguyờn dương và là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: 210 (ĐH_Khối D 2008) Tỡm số nguyờn dương n thỏa món hệ thức . ( là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: n=6 (ĐH_Khối D 2007) Tỡm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của x(1-2x)5+x2(1+3x)10. ĐS: 3320 (ĐH_Khối D 2003) Với n là số nguyờn dương, gọi a3n-3 là hệ số của x3n-3 trong khai triển thành đa thức của (x2+1)n(x+2)n. Tỡm n để a3n-3=26n. ĐS: n=5 (ĐH_Khối D 2002) Tỡm số nguyờn dương n sao cho . ĐS: n=5 (ĐH_Khối B 2008) Chứng minh rằng (n, k là cỏc số nguyờn dương, k≤n, là số tổ hợp chập k của n phần tử). (ĐH_Khối B 2007) Tỡm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức Newton của (2+x)n, biết: 3nCn0-3n-1Cn1+3n-2Cn2-3n-3Cn3+ … +(-1)nCnn=2048 (n là số nguyờn dương, là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: 22 (ĐH_Khối B 2006) Cho tập A gồm n phần tử (n≥4). Biết rằng, số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A. Tỡm kẻ{1,2,…,n} sao cho số tập con gồm k phần tử cua A lớn nhất. ĐS: k=9 (ĐH_Khối B 2003) Cho n là số nguyờn dương. Tớnh tổng , ( là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: (ĐH_Khối B 2002) Cho đa giỏc đều A1A2…An (n≥2, n nguyờn) nội tiếp đường trũn tõm (O). Biết rằng số tam giỏc cú cỏc đỉnh là 3 trong 2n điểm A1A2…An nhiều gấp 20 lần số hỡnh chữ nhật cú cỏc đỉnh là 4 trong 2n điểm A1A2…An, tỡm n. ĐS: n=8 (ĐH_Khối A 2008) Cho khai triển (1+2x)n=a0+a1x+ … +anxn, trong đú nẻN* và cỏc hệ số a0, a1,…an thỏa món hệ thức . Tỡm số lớn nhất trong cỏc số a0, a1,…an. ĐS: a8=126720 (ĐH_Khối A 2007) Chứng minh rằng , ( là số tổ hợp chập k của n phần tử). (ĐH_Khối A 2005) Tỡm số nguyờn dương n sao cho , ( là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: n=1002 (ĐH_Khối A 2004) Tỡm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của [1+x2(1-x)]8. ĐS: 238 (ĐH_Khối A 2002) Cho khai triển nhị thức (n là số nguyờn dương). Biết rằng trong khai triển đú và số hạng thứ 4 bằng 20n, tỡm n và x. ĐS: n=7, x=4 Cho số phức a. Viết khai triển nhị thức Newton của nhị thức (1+i)n. b. Tớnh cỏc tổng S1=1-Cn2+Cn4-Cn6+… S2=Cn1-Cn3+Cn5-… --------------------------o0o--------------------------