Sơ lược về phương trình vi phân - Nguyễn Phúc Sơn

Chương 8: SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Trường Đại học Kinh tế - Luật Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Ngày 1 tháng 12 năm 2014 Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 8: SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm phương trình vi phân Cho y là một ẩn hàm theo biến x , nghĩa là ta có phương trình F (x , y) = 0 nhưng không có công thức cụ thể của y Nếu F (x , y) chứa các đạo hàm của y thì F được gọi là một phương trình vi phân. Nghiệm của phương trình là hàm y theo biến x thỏa F (x , y) = 0. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 8: SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm phương trình vi phân Cho y là một ẩn hàm theo biến x , nghĩa là ta có phương trình F (x , y) = 0 nhưng không có công thức cụ thể của y Nếu F (x , y) chứa các đạo hàm của y thì F được gọi là một phương trình vi phân. Nghiệm của phương trình là hàm y theo biến x thỏa F (x , y) = 0. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 8: SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm phương trình vi phân Cho y là một ẩn hàm theo biến x , nghĩa là ta có phương trình F (x , y) = 0 nhưng không có công thức cụ thể của y Nếu F (x , y) chứa các đạo hàm của y thì F được gọi là một phương trình vi phân. Nghiệm của phương trình là hàm y theo biến x thỏa F (x , y) = 0. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 8: SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm phương trình vi phân Cho y là một ẩn hàm theo biến x , nghĩa là ta có phương trình F (x , y) = 0 nhưng không có công thức cụ thể của y Nếu F (x , y) chứa các đạo hàm của y thì F được gọi là một phương trình vi phân. Nghiệm của phương trình là hàm y theo biến x thỏa F (x , y) = 0. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 8: SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Các loại nghiêm Nghiệm tổng quát: Công thức cụ thể của y được tính ra và chứa các hằng số (giống như nguyên hàm) Nghiệm riêng: Khi các hằng số trong nghiệm tổng quát được gán các giá trị cụ thể (thường là từ điều kiện đầu). Nghiệm kỳ dị: Đôi khi để có nghiệm tổng quát, ta cần giả sử vài điều là đúng (ví dụ như mẫu khác không). Khi đó, nghiệm có được từ các trường hợp riêng khi giả thiết không thỏa được gọi là nghiệm kỳ dị. Khi không giải được công thức cụ thể cho y thì phương trình mô tả nghiệm Φ(x , y ,C1, . . . ) = 0 được gọi là tích phân tổng quát. Tương tự, ta có khái niệm tích phân riêng và tích phân kỳ dị . Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 8: SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Các loại nghiêm Nghiệm tổng quát: Công thức cụ thể của y được tính ra và chứa các hằng số (giống như nguyên hàm) Nghiệm riêng: Khi các hằng số trong nghiệm tổng quát được gán các giá trị cụ thể (thường là từ điều kiện đầu). Nghiệm kỳ dị: Đôi khi để có nghiệm tổng quát, ta cần giả sử vài điều là đúng (ví dụ như mẫu khác không). Khi đó, nghiệm có được từ các trường hợp riêng khi giả thiết không thỏa được gọi là nghiệm kỳ dị. Khi không giải được công thức cụ thể cho y thì phương trình mô tả nghiệm Φ(x , y ,C1, . . . ) = 0 được gọi là tích phân tổng quát. Tương tự, ta có khái niệm tích phân riêng và tích phân kỳ dị . Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 8: SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Các loại nghiêm Nghiệm tổng quát: Công thức cụ thể của y được tính ra và chứa các hằng số (giống như nguyên hàm) Nghiệm riêng: Khi các hằng số trong nghiệm tổng quát được gán các giá trị cụ thể (thường là từ điều kiện đầu). Nghiệm kỳ dị: Đôi khi để có nghiệm tổng quát, ta cần giả sử vài điều là đúng (ví dụ như mẫu khác không). Khi đó, nghiệm có được từ các trường hợp riêng khi giả thiết không thỏa được gọi là nghiệm kỳ dị. Khi không giải được công thức cụ thể cho y thì phương trình mô tả nghiệm Φ(x , y ,C1, . . . ) = 0 được gọi là tích phân tổng quát. Tương tự, ta có khái niệm tích phân riêng và tích phân kỳ dị . Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 8: SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Các loại nghiêm Nghiệm tổng quát: Công thức cụ thể của y được tính ra và chứa các hằng số (giống như nguyên hàm) Nghiệm riêng: Khi các hằng số trong nghiệm tổng quát được gán các giá trị cụ thể (thường là từ điều kiện đầu). Nghiệm kỳ dị: Đôi khi để có nghiệm tổng quát, ta cần giả sử vài điều là đúng (ví dụ như mẫu khác không). Khi đó, nghiệm có được từ các trường hợp riêng khi giả thiết không thỏa được gọi là nghiệm kỳ dị. Khi không giải được công thức cụ thể cho y thì phương trình mô tả nghiệm Φ(x , y ,C1, . . . ) = 0 được gọi là tích phân tổng quát. Tương tự, ta có khái niệm tích phân riêng và tích phân kỳ dị . Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 8: SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Các loại nghiêm Nghiệm tổng quát: Công thức cụ thể của y được tính ra và chứa các hằng số (giống như nguyên hàm) Nghiệm riêng: Khi các hằng số trong nghiệm tổng quát được gán các giá trị cụ thể (thường là từ điều kiện đầu). Nghiệm kỳ dị: Đôi khi để có nghiệm tổng quát, ta cần giả sử vài điều là đúng (ví dụ như mẫu khác không). Khi đó, nghiệm có được từ các trường hợp riêng khi giả thiết không thỏa được gọi là nghiệm kỳ dị. Khi không giải được công thức cụ thể cho y thì phương trình mô tả nghiệm Φ(x , y ,C1, . . . ) = 0 được gọi là tích phân tổng quát. Tương tự, ta có khái niệm tích phân riêng và tích phân kỳ dị . Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 8: SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Phương trình vi phân cấp 1 Phương trình có biến số phân ly f (x)dx = g(y)dy Nói cách khác, làm cách nào đó dồn hết x về vế trái và dồn hết y về vế phải. Cách giải: Lấy tích phân bên trái theo x và tích phân bên phải theo y . Nếu có điều kiện đầu thì dùng điều kiện này tìm hằng số C thích hợp. Ví dụ: Giải các phương trình phân ly biến số 1 y ′ − xy2 = 2xy 2 y ′ = ex+y Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 8: SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Phương trình vi phân cấp 1 Phương trình có biến số phân ly f (x)dx = g(y)dy Nói cách khác, làm cách nào đó dồn hết x về vế trái và dồn hết y về vế phải. Cách giải: Lấy tích phân bên trái theo x và tích phân bên phải theo y . Nếu có điều kiện đầu thì dùng điều kiện này tìm hằng số C thích hợp. Ví dụ: Giải các phương trình phân ly biến số 1 y ′ − xy2 = 2xy 2 y ′ = ex+y Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 8: SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Phương trình vi phân cấp 1 Phương trình có biến số phân ly f (x)dx = g(y)dy Nói cách khác, làm cách nào đó dồn hết x về vế trái và dồn hết y về vế phải. Cách giải: Lấy tích phân bên trái theo x và tích phân bên phải theo y . Nếu có điều kiện đầu thì dùng điều kiện này tìm hằng số C thích hợp. Ví dụ: Giải các phương trình phân ly biến số 1 y ′ − xy2 = 2xy 2 y ′ = ex+y Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 8: SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Phương trình vi phân cấp 1 Phương trình có biến số phân ly f (x)dx = g(y)dy Nói cách khác, làm cách nào đó dồn hết x về vế trái và dồn hết y về vế phải. Cách giải: Lấy tích phân bên trái theo x và tích phân bên phải theo y . Nếu có điều kiện đầu thì dùng điều kiện này tìm hằng số C thích hợp. Ví dụ: Giải các phương trình phân ly biến số 1 y ′ − xy2 = 2xy 2 y ′ = ex+y Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 8: SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Phương trình vi phân cấp 1 Phương trình có biến số phân ly f (x)dx = g(y)dy Nói cách khác, làm cách nào đó dồn hết x về vế trái và dồn hết y về vế phải. Cách giải: Lấy tích phân bên trái theo x và tích phân bên phải theo y . Nếu có điều kiện đầu thì dùng điều kiện này tìm hằng số C thích hợp. Ví dụ: Giải các phương trình phân ly biến số 1 y ′ − xy2 = 2xy 2 y ′ = ex+y Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 8: SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Phương trình vi phân cấp 1 (tt) Phương trình đẳng cấp y ′ = f
y x Cách giải: Đặt z = yx , x 6= 0, ta được y = zx do đó y ′ = z ′x + z Sau đó, ta đưa phương trình về dạng tách biến theo z và x rồi giải. Ví dụ: Giải phương trình y ′ = yx + tan y x Đáp số: Tích phân tổng quát của phương trình trên là sin yx = Cx , C là hằng số. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 8: SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Phương trình vi phân cấp 1 (tt) Phương trình đẳng cấp y ′ = f
y x Cách giải: Đặt z = yx , x 6= 0, ta được y = zx do đó y ′ = z ′x + z Sau đó, ta đưa phương trình về dạng tách biến theo z và x rồi giải. Ví dụ: Giải phương trình y ′ = yx + tan y x Đáp số: Tích phân tổng quát của phương trình trên là sin yx = Cx , C là hằng số. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 8: SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Phương trình vi phân cấp 1 (tt) Phương trình đẳng cấp y ′ = f
y x Cách giải: Đặt z = yx , x 6= 0, ta được y = zx do đó y ′ = z ′x + z Sau đó, ta đưa phương trình về dạng tách biến theo z và x rồi giải. Ví dụ: Giải phương trình y ′ = yx + tan y x Đáp số: Tích phân tổng quát của phương trình trên là sin yx = Cx , C là hằng số. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 8: SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Phương trình vi phân cấp 1 (tt) Phương trình đẳng cấp y ′ = f
y x Cách giải: Đặt z = yx , x 6= 0, ta được y = zx do đó y ′ = z ′x + z Sau đó, ta đưa phương trình về dạng tách biến theo z và x rồi giải. Ví dụ: Giải phương trình y ′ = yx + tan y x Đáp số: Tích phân tổng quát của phương trình trên là sin yx = Cx , C là hằng số. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 8: SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Phương trình vi phân cấp 1 (tt) Phương trình tuyến tính y ′ + p(x)y = q(x) Nghiệm tổng quát: y = ∫ q(x) e ∫ p(x)dx dx + C e− ∫ p(x)dx Trong trường hợp vế phải q(x) = 0, nghiệm tổng quát rút về y = Ce− ∫ p(x)dx Nhận xét: Khi q(x) = 0 thì thực ra phương trình tuyến tính có thể phân ly biến. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 8: SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Phương trình vi phân cấp 1 (tt) Phương trình tuyến tính y ′ + p(x)y = q(x) Nghiệm tổng quát: y = ∫ q(x) e ∫ p(x)dx dx + C e− ∫ p(x)dx Trong trường hợp vế phải q(x) = 0, nghiệm tổng quát rút về y = Ce− ∫ p(x)dx Nhận xét: Khi q(x) = 0 thì thực ra phương trình tuyến tính có thể phân ly biến. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 8: SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Phương trình vi phân cấp 1 (tt) Phương trình tuyến tính y ′ + p(x)y = q(x) Nghiệm tổng quát: y = ∫ q(x) e ∫ p(x)dx dx + C e− ∫ p(x)dx Trong trường hợp vế phải q(x) = 0, nghiệm tổng quát rút về y = Ce− ∫ p(x)dx Nhận xét: Khi q(x) = 0 thì thực ra phương trình tuyến tính có thể phân ly biến. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 8: SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Phương trình vi phân cấp 1 (tt) Phương trình tuyến tính y ′ + p(x)y = q(x) Nghiệm tổng quát: y = ∫ q(x) e ∫ p(x)dx dx + C e− ∫ p(x)dx Trong trường hợp vế phải q(x) = 0, nghiệm tổng quát rút về y = Ce− ∫ p(x)dx Nhận xét: Khi q(x) = 0 thì thực ra phương trình tuyến tính có thể phân ly biến. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 8: SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ví dụ Giải các phương trình vi phân tuyến tính sau: y ′ + y cos x = 0 Lưu ý: Nếu có điều kiện đầu y0 = y(x0) thì nghiệm riêng của phương trình là y = y0e − ∫ x x0 p(t)dt , a < x < b Giải y ′ + 3x2y = 0, y(0) = 5 Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 8: SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ví dụ Giải các phương trình vi phân tuyến tính sau: y ′ + y cos x = 0 Lưu ý: Nếu có điều kiện đầu y0 = y(x0) thì nghiệm riêng của phương trình là y = y0e − ∫ x x0 p(t)dt , a < x < b Giải y ′ + 3x2y = 0, y(0) = 5 Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 8: SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ví dụ Giải các phương trình vi phân tuyến tính sau: y ′ + y cos x = 0 Lưu ý: Nếu có điều kiện đầu y0 = y(x0) thì nghiệm riêng của phương trình là y = y0e − ∫ x x0 p(t)dt , a < x < b Giải y ′ + 3x2y = 0, y(0) = 5 Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 8: SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN