Slide bài giảng Toán A2DH - Toán cao cấp A2 Đại học

ThS. ðồn Vương Nguyên Slide bài giảng Tốn A2ðH Trang 1 TỐN CAO CẤP A2 ðẠI HỌC Tài liệu tham khảo 1. Giáo trình Tốn cao cấp A2 – Nguyễn Phú Vinh – ðHCN TP. HCM. 2. Ngân hàng câu hỏi Tốn cao cấp – ðHCN TP.HCM. 3. Tốn cao cấp A2 – ðỗ Cơng Khanh – NXBðHQG TP. HCM. 4. Tốn cao cấp A2 – Nguyễn ðình Trí – NXB Giáo dục. 5. Tốn cao cấp A2 – Nguyễn Viết ðơng – NXB Giáo dục. 6. Tốn cao cấp ðại số Tuyến tính – Lê Sĩ ðồng – NXB Giáo dục. 7. Bài tập Tốn cao cấp ðại số Tuyến tính – Hồng Xuân Sính – NXB Giáo dục. 8. ðại số tuyến tính – Bùi Xuân Hải (chủ biên) – ðHKHTN TP. HCM. Chương 1. MA TRẬN – ðỊNH THỨC – HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH §1. MA TRẬN 1.1. ðịnh nghĩa a) Ma trận A cấp m n× trên ℝ là 1 hệ thống gồm m.n số ( ) 1, ; 1,ija i m j n∈ = =ℝ và được sắp xếp thành bảng: 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... ... ... ... ... n n m m mn a a a a a a A a a a       =       (gồm m dịng và n cột). • aij là các phần tử của A ở dịng thứ i và cột thứ j. • Cặp số (m, n) là kích thước của A. • Khi m = 1, A = (a11 a12 … a1n) là ma trận dịng; n = 1, 11 1 ... m a A a     =       là ma trận cột; m = n = 1, A = (a11) (1 phần tử). • Tập hợp các ma trận A là , ( ) m n M ℝ , để cho gọn ta viết ( )ij m nA a ×= . b) Hai ma trận A và B bằng nhau, ký hiệu A = B khi và chỉ khi chúng cùng kích thước và aij = bij. VD 1. 1 1 0 1 0; 1; 2; 2; 3 2 2 3 x y x y z u t z t u −    = ⇔ = = − = = =        . c) Ma trận (0 )ij m n×Ο = gồm tất cả các phần tử đều bằng 0 là ma trận khơng. d) Khi m = n: A là ma trận vuơng cấp n, ký hiệu ( )ij nA a= . Các ma trận vuơng đặc biệt: • ðường chéo chứa a11, a22, …, ann là đường chéo chính của A, đường chéo cịn lại là đường chéo phụ. • Ma trận vuơng cĩ tất cả các phần tử nằm ngồi đường chéo chính đều bằng 0 là ma trận chéo. • Ma trận chéo cấp n gồm tất cả các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1 là ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu In. VD 2. 2 1 0 0 1 I  =     , 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 I     =       . • Ma trận tam giác trên (dưới) cấp n là ma trận cĩ các phần tử nằm phía dưới (trên) đường chéo chính đều bằng 0. VD 3. 1 0 2 0 1 1 0 0 0 A −    = −      là ma trận tam giác trên; 3 0 0 4 1 0 1 5 2 B     =     −  là ma trận tam giác dưới. • Ma trận đối xứng cấp n là ma trận cĩ các phần tử đối xứng qua đường chéo chính bằng nhau (aij = aji). • Ma trận phản đối xứng cấp n là ma trận cĩ các phần tử đối xứng qua đường chéo chính đối nhau (aij = –aji) và tất cả các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 0. VD 4. 3 4 1 4 1 0 1 0 2 A −    =     −  là ma trận đối xứng; 0 4 1 4 0 0 1 0 0 B −    =     −  là ma trận phản đối xứng. 1.2. Các phép tốn trên ma trận a) Phép cộng và trừ Cho ( )ij m nA a ×= , ( )ij m nB b ×= ta cĩ: ( )ij ij m nA B a b ×± = ± . VD 5. 1 0 2 2 0 2 1 0 4 2 3 4 5 3 1 7 0 3 −      + =      − − −      ; 1 0 2 2 0 2 3 0 0 2 3 4 5 3 1 3 6 5 − −      − =      − − − −      . • Phép cộng ma trận cĩ tính giao hốn và kết hợp. b) Nhân vơ hướng Cho ( )ij m nA a ×= , λ ∈ℝ ta cĩ: ( )ij m nA aλ λ ×= . VD 6. 1 1 0 3 3 0 3 2 0 4 6 0 12 − −    − =    − −    ; 2 6 4 1 3 2 2 4 0 8 2 0 4     =    − −    . • Phép nhân vơ hướng cĩ tính phân phối đối với phép cộng ma trận. • Ma trận –A là ma trận đối của A. ThS. ðồn Vương Nguyên Slide bài giảng Tốn A2ðH Trang 2 c) Nhân hai ma trận • Cho ( )ij m nA a ×= , ( )jk n pB b ×= ta cĩ: ( ) 1 ( ) , 1, ; 1, n ik m p ik ij jk j AB c c a b i m k p× = = = = =∑ . VD 7. Tính a) ( ) 1 1 2 3 2 5 −        −  ; b) 1 0 0 0 4 0 3 2       −   ; c) 2 0 1 1 1 1 1 1 2 2 0 3 1 3 2   −    −    −    − −  . • Phép nhân ma trận cĩ các tính chất: 1) (AB)C = A(BC); 2) A(B + C) = AB + AC; 3) (A + B)C = AC + BC; 4) λ(AB) = (λA)B = A(λB); 5) n m AI A I A= = , với , ( ) m n A M∈ ℝ . VD 8. Tính a) 1 1 2 0 1 3 2 1 2 1 2 3 0 1 2 1 1 0 2 1 1 1 4 2 1 3 3 1 0 2 − − −                − − − −                − − − −        ; b) 1 0 1 1 2 1 2 2 0 0 3 1 3 0 3 2 1 0 − − −      − −      − −   và 1 2 1 1 0 1 0 3 1 2 2 0 2 1 0 3 0 3 − − −        − −        − −    . • Phép nhân ma trận khơng cĩ tính giao hốn. • ðặc biệt, khi ( )ij nA a= và *p ∈ℕ ta cĩ: A0 = In; Ap = Ap–1A (lũy thừa ma trận). VD 9. a) Cho 1 1 0 1 A −  =     , tính A2009; b) Cho 2 0 1 2 B  =     , tính (I2 – B)2009. VD 10. Cho A = (aij) là ma trận vuơng cấp 100 cĩ các phần tử ở dịng thứ i là (–1)i. Tìm phần tử a36 của A2. d) Phép chuyển vị • Cho ( )ij m nA a ×= , ma trận chuyển vị của A là: ( )T ji n mA a ×= (chuyển tất cả dịng thành cột). • Tính chất: 1) (A + B)T = AT + BT; 2) (λA)T = λAT; 3) (AT)T = A; 4) (AB)T = BTAT; 5) TA A= ⇔ A đối xứng; 6) TA A= − ⇔ A phản xứng. 1.3. Phép biến đổi sơ cấp trên dịng của ma trận a) ðịnh nghĩa • Cho ( )ij m nA a ×= ( 2)m ≥ . Các phép biến đổi sơ cấp dịng e trên A là: – (e1): Hốn vị hai dịng cho nhau i kd dA A↔ ′→ . – (e2): Nhân 1 dịng với số 0λ ≠ , i id dA Aλ→ ′′→ . – (e3): Thay 1 dịng bởi tổng của dịng đĩ với tích λ dịng khác i i kd d dA Aλ→ + ′′′→ . Chú ý 1) Trong thực hành ta thường làm i i kd d dA Bµ λ→ +→ . 2) Sau 1 số hữu hạn các PBðSC dịng ta được ma trận B tương đương với A, ký hiệu B A∼ . 3) Tương tự, ta cũng cĩ các phép biến đổi sơ cấp trên cột của ma trận. VD 11. Cho 1 2 3 2 1 1 3 1 2 A −    = −    −  và 1 2 3 0 1 7 / 5 0 0 0 B −    = −      . Chứng tỏ A B∼ . b) Ma trận sơ cấp • Ma trận thu được từ In bởi đúng 1 phép biến đổi sơ cấp dịng (cột) là ma trận sơ cấp. VD 12. 0 0 1 0 1 0 1 0 0           , 1 0 0 0 5 0 0 0 1     −      và 1 0 0 2 1 0 0 0 1           là các ma trận sơ cấp. 1.4. Ma trận bậc thang và ma trận bậc thang rút gọn a) Ma trận bậc thang • Hàng cĩ tất cả các phần tử đều bằng 0 được gọi là hàng bằng 0. • Phần tử khác 0 đầu tiên tính từ trái sang của 1 hàng được gọi là phần tử cơ sở của hàng đĩ. • Ma trận bậc thang là ma trận khác 0 cấp m n× ( , 2)m n ≥ thỏa: 1) Các hàng bằng 0 ở dưới các hàng khác 0; 2) Phần tử cơ sở của 1 hàng bất kỳ nằm bên phải phần tử cơ sở của hàng trên nĩ. ThS. ðồn Vương Nguyên Slide bài giảng Tốn A2ðH Trang 3 VD 13. + 1 0 2 0 0 3 0 0 0           , 0 1 2 3 0 0 4 5 0 0 0 1           và In là các ma trận bậc thang; + 0 2 7 0 3 4 0 0 5           và 2 3 5 0 0 0 0 1 3           khơng là ma trận bậc thang. ðịnh lý • Mọi ma trận đều cĩ thể đưa về bậc thang bằng hữu hạn phép biến đổi sơ cấp trên dịng. b) Ma trận bậc thang rút gọn • Ma trận bậc thang rút gọn là ma trận bậc thang cĩ phần tử cơ sở của một dịng bất kỳ đều bằng 1 và là phần tử khác 0 duy nhất của cột chứa nĩ. VD 14. In, 1 3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1           và 0 1 0 3 0 0 1 2 0 0 0 0           là các ma trận bậc thang rút gọn. 1.5. Ma trận khả nghịch a) ðịnh nghĩa • Ma trận ( ) n A M∈ ℝ được gọi là khả nghịch nếu tồn tại ( ) n B M∈ ℝ sao cho AB = BA = In. Ma trận B là duy nhất và được gọi là ma trận nghịch đảo của A, ký hiệu A–1. Khi đĩ: A–1A = AA–1 = In; (A–1)–1 = A. • Nếu B là ma trận nghịch đảo của A thì A cũng là ma trận nghịch đảo của B. VD 15. 2 5 1 3 A  =     và 3 5 1 2 B −  =   −  là nghịch đảo của nhau vì AB = BA = I2. Nhận xét 1) Nếu ma trận vuơng A cĩ 1 dịng (hoặc 1 cột) bằng 0 thì khơng khả nghịch. 2) Mọi ma trận sơ cấp đều khả nghịch và ma trận nghịch đảo cũng là ma trận sơ cấp. 3) (AB)–1 = B–1A–1. b) Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp dịng • Cho ( ) n A M∈ ℝ , ta tìm A–1 như sau: Bước 1. Lập ma trận ( )nA I (ma trận chia khối) bằng cách ghép In vào bên phải A. Bước 2. Dùng phép biến đổi sơ cấp dịng để đưa ( )nA I về dạng ( )A B′ ( A′ là ma trận bậc thang dịng rút gọn). 1) Nếu A′ cĩ 1 dịng (cột) bằng 0 hoặc n A I′ ≠ thì A khơng khả nghịch. 2) Nếu n A I′ = thì A khả nghịch và A–1 = B. VD 16. Tìm ma trận nghịch đảo (nếu cĩ) của: 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 A −    −  =       và 1 1 1 1 0 1 2 1 0 B −    =       . §2. ðỊNH THỨC 2.1. ðịnh nghĩa a) Ma trận con cấp k • Cho ma trận vuơng ( ) ( )ij nnA a M= ∈ ℝ . Ma trận vuơng cấp k được lập từ các phần tử nằm trên giao k dịng và k cột của A được gọi là ma trận con cấp k của A. • Ma trận Mij cấp n–1 thu được từ A bằng cách bỏ đi dịng thứ i và cột thứ j là ma trận con của A ứng với phần tử aij. b) ðịnh thức • ðịnh thức cấp n của ma trận vuơng ( ) ( )ij nnA a M= ∈ ℝ , ký hiệu detA hay A , là 1 số thực được định nghĩa: 1) A cấp 1: 11 11( ) detA a A a= ⇒ = ; 2) A cấp 2: 11 12 11 22 12 21 21 22 det a a A A a a a a a a   = ⇒ = −    ; 3) A cấp n: det A = a11A11 + a12A12 + … + a1nA1n, trong đĩ Aij = (–1)i+jdet(Mij) là phần bù đại số của phần tử aij. ThS. ðồn Vương Nguyên Slide bài giảng Tốn A2ðH Trang 4 Chú ý • 11 12 13 21 22 23 11 22 33 12 23 31 21 32 13 31 32 33 a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + + 31 22 13 12 21 33 23 32 11a a a a a a a a a− − − (quy tắc 6 đường chéo). ðặc biệt. det In = 1, det 0n = 0. VD 1. Tính các định thức của: 3 2 1 4 A −  =     , 1 2 1 3 2 1 2 1 1 B −    = −      và 1 0 2 0 4 1 2 1 3 1 0 2 2 3 3 5 C     −  =       . 2.2. Các tính chất cơ bản của định thức • Cho ma trận vuơng ( ) ( )ij nnA a M= ∈ ℝ , ta cĩ các tính chất cơ bản sau: Tính chất 1 ( )det detTA A= . VD 2. 1 3 2 1 2 1 2 2 1 3 2 1 1 1 1 2 1 1 − − = − − ; 1 3 2 1 0 0 0 2 1 3 2 0 0 0 1 2 1 1 − = − . Tính chất 2. Hốn vị hai dịng (cột) cho nhau thì định thức đổi dấu. VD 3. 1 3 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 3 2 3 1 2 − − − = − − = − − . Hệ quả • ðịnh thức cĩ ít nhất 2 dịng (cột) giống nhau thì bằng 0. VD 4. 3 3 1 2 2 1 0 1 1 7 = ; 2 3 2 5 2 5 1 0 1 x x x y y y y = ; 2 5 2 5 2 5 1 1 0 1 y y y y y y = . Tính chất 3. Nhân 1 dịng (cột) với số thực λ thì định thức tăng lên λ lần. VD 5. 3 0 3 1 0 1 2 1 2 3 2 1 2 3 1 7 3 1 7 − − − = − ; 3 3 3 3 3 3 1 1 ( 1) 1 1 1 1 x x x x x x y y x y y z z x z z + + = + + . Hệ quả 1) ðịnh thức cĩ ít nhất 1 dịng (cột) bằng 0 thì bằng 0. 2) ðịnh thức cĩ 2 dịng (cột) tỉ lệ với nhau thì định thức bằng 0. Tính chất 4 • Nếu định thức cĩ 1 dịng (cột) mà mỗi phần tử là tổng của 2 số hạng thì cĩ thể tách thành tổng 2 định thức. VD 6. 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x y y x y y y y x z z x z z z z + + = + − − . Tính chất 5 • ðịnh thức sẽ khơng đổi nếu ta cộng vào 1 dịng (cột) với λ lần dịng (cột) khác. VD 7. Tính các định thức: 1 2 3 1 2 1 2 3 4 − − ; 1 1 1 1 1 1 x x x . Chú ý • Phép biến đổi 1 2 121 5 0 7 2 3 1 3 d d d→ − − = là sai do dịng 1 đã nhân với số –2. 2.3. ðịnh lý Laplace • Cho ma trận vuơng ( ) ( )ij nnA a M= ∈ ℝ , ta cĩ các khai triển det A sau: a) Khai triển theo dịng thứ i 1 1 2 2 1 det ... , ( 1) det( ) i i i i in in n i j ij ij ij ij j A a A a A a A a A A M+ = = + + + = = −∑ . b) Khai triển theo cột thứ j 1 1 2 2 1 det ... , ( 1) det( ) j j j j nj nj n i j ij ij ij ij i A a A a A a A a A A M+ = = + + + = = −∑ . VD 8. Tính định thức 1 0 0 2 2 1 1 2 1 2 2 3 3 0 2 1 bằng cách khai triển theo dịng 1; cột 2. VD 9. Áp dụng tính chất và định lý Laplace, tính định thức: 1 1 1 2 2 1 1 3 1 2 1 2 3 3 2 1 − − . Các kết quả đặc biệt: 1) 11 12 1 11 22 2 21 22 11 22 1 2 ... 0 ... 0 0 ... ... 0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 ... ... n n nn nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a = = (dạng tam giác). ThS. ðồn Vương Nguyên Slide bài giảng Tốn A2ðH Trang 5 2) det(AB) = detA.detB (định thức của tích hai ma trận). 3) det .det 0 n A B A C C = , với , , ( ) n A B C M∈ ℝ (định thức chia khối). VD 10. a) 1 2 3 4 0 2 7 19 1 2 3 0 0 0 3 0 0 2 0 1 0 0 0 1 − = − − − ; b) 1 1 1 2 1 4 1 1 1 2 1 4 2 0 3 2 1 3 2 0 3 2 1 3 1 2 3 1 2 1 1 2 3 1 2 1 − −        =        − −    ; c) 1 1 1 2 1 4 3 1 4 2 0 3 2 1 3 0 1 2 1 2 3 1 2 1 1 2 1 T − −            =            −      1 1 1 2 1 4 3 1 4 2 0 3 2 1 3 0 1 2 1 2 3 1 2 1 1 2 1 − − = − . 2.4. Ứng dụng định thức tìm ma trận nghịch đảo a) ðịnh lý • Ma trận vuơng A khả nghịch khi và chỉ khi det A khác 0. b) Thuật tốn tìm A–1 • Bước 1 Tính det A. Nếu det A = 0 thì kết luận A khơng khả nghịch, ngược lại làm tiếp bước 2. • Bước 2 Lập ma trận ( ) ( )TTij ijn nA A A⇒ = (ma trận phụ hợp của A). • Bước 3. Ma trận nghịch đảo là: 1 1 . det T A A A − = . VD 11. Tìm ma trận nghịch đảo (nếu cĩ) của: 1 2 1 1 1 2 3 5 4 A     =       và 1 2 1 0 1 1 1 2 3 B     =       . Nhận xét • Nếu 0ac bd− ≠ thì: 1 1a b c b d c d aac bd − −    =    −−    . 2.5. Hạng của ma trận a) ðịnh thức con cấp k • Cho ma trận ( )ij m nA a ×= . ðịnh thức của ma trận con cấp k của A được gọi là định thức con cấp k của A. ðịnh lý • Nếu trong ma trận A tất cả các định thức con cấp k đều bằng 0 thì các định thức con cấp k + 1 cũng bằng 0. b) Hạng của ma trận • Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của định thức con khác 0 của A, ký hiệu r(A). Ta cĩ: 1 ( ) min{ , }r A m n≤ ≤ . • Nếu A là ma trận khơng thì ta quy ước r(A) = 0. c) Phương pháp tìm hạng của ma trận ðịnh lý • Hạng của ma trận bậc thang (dịng) bằng số dịng khác 0 của ma trận đĩ. • Cho A là ma vuơng cấp n, ( ) det 0r A n A= ⇔ ≠ . Phương pháp • Bước 1. Dùng PBðSC dịng đưa ma trận A về bậc thang. • Bước 2. Số dịng khác 0 của A sau biến đổi là r(A). VD 12. Tìm hạng của ma trận 2 1 1 3 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 1 4 A −    −  =     − −  . VD 13. Tìm hạng của ma trận 1 3 4 2 2 5 1 4 3 8 5 6 A −    = −    −  . VD 14. Tùy theo giá trị m, tìm hạng của ma trận 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 2 2 1 1 m A m − −    − − −  =     −  . ThS. ðồn Vương Nguyên Slide bài giảng Tốn A2ðH Trang 6 §3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 3.1. ðịnh nghĩa • Hệ phương trình tuyến tính gồm n ẩn và m phương trình cĩ dạng: 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 ... ... ................................................. ... n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + =  + + + =    + + + = (1). ðặt ( ) 11 1 1 ... ... ... ... ... n ij m n m mn a a A a a a ×     = =      (ma trận hệ số), ( ) 1 1... ... T m m b B b b b     = =      (ma trận cột tự do) và ( ) 1 1... ... T n n x X x x x     = =      là ma trận cột ẩn. Khi đĩ, hệ (1) trở thành AX B= . • Bộ số ( )1 ... Tnα α α= được gọi là nghiệm của (1) nếu A Bα = . VD 1. Cho hệ phương trình: 1 2 3 4 1 2 3 2 3 2 4 4 2 4 3 2 7 5 x x x x x x x x x − + + =  + + = −  − = ðưa hệ về dạng ma trận: 1 2 3 4 1 1 2 4 4 2 1 4 0 3 0 2 7 0 5 x x x x   −          = −        −        . Khi đĩ, (1; –1; –1; 1) là 1 nghiệm của hệ. 3.2. ðịnh lý Crocneker – Capelli • Cho hệ phương trình tuyến tính AX = B. Xét ma trận mở rộng ( ) 11 12 1 1 1 2 ... ... ... ... ... ... ... n m m mn m a a a b A A B a a a b     = =       . Hệ cĩ nghiệm khi và chỉ khi ( ) ( )r A r A r= = . Khi đĩ: 1) r = n: Hệ phương trình tuyến tính cĩ nghiệm duy nhất; 2) r < n: Hệ phương trình tuyến tính cĩ vơ số nghiệm phụ thuộc vào n – r tham số. 3.3. Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính a) Phương pháp ma trận nghịch đảo • Cho hệ pttt AX = B, A là ma trận vuơng cấp n khả nghịch. Ta cĩ 1AX B X A B−= ⇔ = . VD 2. Giải hệ phương trình 2 1 3 3 2 1 x y z y z x y z + − =  + =  + + = − . b) Phương pháp định thức (Cramer) • Cho hệ pttt AX = B, A là ma trận vuơng cấp n. ðặt 11 1 1 1 ... ... det ... ... ... ... ... ... ... j n n nj nn a a a A a a a ∆ = = , 11 1 1 ... ... ... ... ... ... ... , 1, ... ... j n j n j nn a b a j n a b a ∆ = = (thay cột j trong A bởi cột tự do). Khi đĩ, ta cĩ các trường hợp: 1) Nếu 0∆ ≠ thì hệ cĩ nghiệm duy nhất , 1,jjx j n ∆ = ∀ = ∆ . 2) Nếu 0, 1,j j n∆ = ∆ = ∀ = thì hệ cĩ vơ số nghiệm (thay tham số vào hệ và tính trực tiếp). 3) Nếu 0∆ = và 0, 1,j j n∃∆ ≠ = thì hệ vơ nghiệm. VD 3. Giải hệ phương trình sau bằng định thức: 2 1 3 3 2 1 x y z y z x y z + − =  + =  + + = − . VD 4. Tùy theo tham số m, giải và biện luận hệ phương trình: 2 1mx y z x my z m x y mz m  + + =  + + =  + + = . c) Phương pháp Gauss • Bước 1. ðưa ma trận mở rộng ( )A B về dạng bậc thang bởi PBðSC trên dịng. • Bước 2. Giải ngược từ dịng cuối cùng lên trên. Chú ý Trong quá trình thực hiện bước 1, nếu: 1) Cĩ 2 dịng tỉ lệ thì xĩa đi 1 dịng; 2) Cĩ dịng nào bằng 0 thì xĩa dịng đĩ; 3) Cĩ 1 dịng dạng ( )0 ... 0 , 0b b ≠ thì kết luận hệ vơ nghiệm. 4) Gặp hệ giải ngay được thì khơng cần phải đưa ( )A B về bậc thang. ThS. ðồn Vương Nguyên Slide bài giảng Tốn A2ðH Trang 7 VD 5. Giải hệ phương trình: 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 2 5 2 4 2 12 6 18 5 5 3 18 8 23 6 2 x x x x x x x x x x x x x x x + + − − = −  + + − − = −  + + − − = − . VD 6. Giải hệ phương trình: 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 5 2 5 3 3 4 3 2 1 2 7 = 1 x x x x x x x x x x x − + − =  + + − =  + − − . 3.4. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất a) ðịnh nghĩa • Hệ pttt thuần nhất là hệ pttt cĩ dạng: 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 ... 0 ... 0 ............................................. ... 0 n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x AX a x a x a x θ + + + =  + + + = ⇔ =   + + + = (2). Nhận xét • Do ( ) ( )r A r A= nên hệ pttt thuần nhất luơn cĩ nghiệm. Nghiệm (0; 0;…; 0) được gọi là nghiệm tầm thường. b) ðịnh lý • Hệ (2) chỉ cĩ nghiệm tầm thường ( ) det 0r A n A⇔ = ⇔ ≠ . c) Liên hệ với hệ pttt tổng quát ðịnh lý • Xét hệ pttt tổng quát AX = B (1) và hệ pttt thuần nhất AX θ= (2). Khi đĩ: 1) Hiệu hai nghiệm bất kỳ của (1) là nghiệm của (2); 2) Tổng 1 nghiệm bất kỳ của (1) và 1 nghiệm bất kỳ của (2) là nghiệm của (1). Chương 2. KHƠNG GIAN VECTOR §1. KHÁI NIỆM KHƠNG GIAN VECTOR 1.1. ðịnh nghĩa • Khơng gian vector V trên ℝ là cặp (V, ℝ ) trang bị hai phép tốn ( , ) ( , ) V V V V V x y x y y xλ λ × → × → + ℝ ֏ ֏ thỏa 8 tính chất sau: 1) x + y = y + x; 2) (x + y) + z = x + (y + z); 3) ! :V x x xθ θ θ∃ ∈ + = + = ; 4) ( ) : ( ) ( )x V x x x x θ∃ − ∈ − + = + − = ; 5) 1 2 1 2( ) ( )x xλ λ λ λ= ; 6) ( )x y x yλ λ λ+ = + ; 7) 1 2 1 2( )x x xλ λ λ λ+ = + ; 8) 1.x = x. VD 1. Tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là khơng gian vector. Tập { }( )nV A M= ∈ ℝ các ma trận vuơng cấp n là kgvt. { }1 2( , ,..., ) , 1,n iV u x x x x i n= = ∈ ∀ ∈ℝ là kgvt Euclide nℝ . 1.2. Khơng gian con của kgvt • Cho kgvt V, tập W V⊂ là kgvt con của V nếu (W, ℝ ) cũng là một kgvt. • Cho kgvt V, tập W V⊂ là kgvt con của V nếu: ( ) , , , x y W x y Wλ λ+ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ℝ . VD 2. Tập { }W θ= là kgvt con của mọi kgvt V. Trong nℝ , tập { }1 1( ,0,...,0)W u x x= = ∈ℝ là kgvt con. §2. SỰ ðỘC LẬP TUYẾN TÍNH VÀ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH 2.1. ðịnh nghĩa Trong kgvt V, cho n vector ui (i = 1, 2,…, n). • Tổng 1 , n i i i i uλ λ = ∈∑ ℝ được gọi là một tổ hợp tuyến tính của n vector ui. • Hệ n vector {u1, u2,…, un} được gọi là độc lập tuyến tính nếu cĩ 1 n i i i uλ θ = =∑ thì 0, 1,i i nλ = ∀ = . • Hệ n vector {u1, u2,…, un} khơng là độc lập tuyến tính thì được gọi là phụ thuộc tuyến tính. VD 1. Trong 2ℝ , hệ {u1 = (1;–1), u2 = (2; 3)} là đltt. Trong nℝ , hệ {ui = (0; 0;…; 1; 0;…; 0)} (vị trí thứ i là 1) là đltt. Trong 3ℝ , hệ {u1=(–1;3;2), u2=(2;0;1), u3=(0;6;5)} là pttt. ðịnh lý • Hệ n vector phụ thuộc tuyến tính ⇔ ∃ 1 vector là tổ hợp tuyến tính của n – 1 vector cịn lại. VD 2. Nếu x1 = 2x2 – 3x3 thì hệ {x1, x2, x3} là phụ thuộc tuyến tính. Hệ quả • Hệ cĩ 1 vector khơng thì phụ thuộc tuyến tính. • Nếu cĩ 1 bộ phận của hệ phụ thuộc tuyến tính thì hệ phụ thuộc tuyến tính. 2.2. Hệ vector trong nℝ ðịnh nghĩa • Trong nℝ cho m vector 1 2( , ,..., ), 1,i i i inu a a a i m= = . Ta gọi ( )ij m nA a ×= là ma trận dịng của m vector ui. ThS. ðồn Vương Nguyên Slide bài giảng Tốn A2ðH Trang 8 §3. CƠ SỞ – SỐ CHIỀU – TỌA ðỘ ðịnh lý • Trong nℝ , hệ { }1 2, ,..., mu u u độc lập tuyến tính khi và chỉ khi r(A) = m (bằng số phần tử của hệ). • Trong nℝ , hệ { }1 2, ,..., mu u u phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi r(A) < m. VD 3. Xét sự đltt hay pttt của các hệ: B1 = {(–1;2;0), (1;5;3), (2;3;3)}, B2 = {(–1; 2; 0), (2; 1; 1)}. Hệ quả • Trong nℝ , hệ cĩ nhiều hơn n vector thì phụ thuộc tuyến tính. • Trong nℝ , hệ n vector độc lập tuyến tính det 0A⇔ ≠ . 3.1. Cơ sở của kgvt ðịnh nghĩa • Trong kgvt V, hệ B = {u1, u2,…, un} được gọi là một cơ sở của V nếu hệ B đltt và mọi vector của V đều biểu diễn tuyến tính qua B. VD 1. – Trong nℝ , hệ E = {e1 = (1; 0;…; 0), e2 = (0; 1;…; 0), …, en = (0;…; 0; 1)} là cơ sở chính tắc. – Trong 2ℝ , hệ B = {u1 = (1;–1), u2 = (2; 3)} là cơ sở. 3.2. Số chiều của kgvt ðịnh nghĩa • Kgvt V được gọi là cĩ n chiều, ký hiệu dimV = n, nếu trong V cĩ ít nhất 1 hệ gồm n vector đltt và mọi hệ gồm n+1 vector đều pttt. ðịnh lý • dimV = n khi và chỉ khi trong V tồn tại 1 cơ sở gồm n vector. Hệ quả • Trong nℝ , mọi hệ gồm n vector đltt đều là cơ sở. 3.3. Tọa độ a) ðịnh nghĩa • Trong kgvt V cho cơ sở B = {u1, u2,…, un}. Khi đĩ, mỗi x V∈ cĩ biểu diễn tuyến tính duy nhất x = x1u1+…+xnun. Ta nĩi x cĩ tọa độ đối với B là (x1,…, xn). Ký hiệu [ ] 1 ...B n x x x     =       . • ðặc biệt, tọa độ của vector x đối với cơ sở chính tắc E là [x]E = [x] (tọa độ cột thơng thường của x). VD 2. Trong 2ℝ cho cơ sở B = {u1 = (2;–1), u2 = (1; 1)} và x = (3;–5). Tìm [x]B. b) ðổi cơ sở • Ma trận chuyển cơ sở – Trong kgvt V cho 2 cơ sở B1 = {u1, u2,…, un} và B2 = {v1, v2,…, vn}. Ma trận [ ] [ ] [ ]( ) 1 1 11 2 ... nB B B v v v được gọi là ma trận chuyển cơ sở từ B1 sang B2. Ký hiệu 1 2B BP → . – ðặc biệt, nếu E là cơ sở chính tắc thì: [ ][ ] [ ]( ) 1 1 2 ...E B nP u u u→ = . • Cơng thức đổi tọa độ [ ] [ ] 1 21 2B BB B x P x→= . VD 3. Trong 2ℝ cho 2 cơ sở B1 = {u1 = (1; 0), u2 = (0;–1)}, B2 = {v1 = (2;–1), v2 = (1; 1)} và [ ] 2 1 2B x   =     . a) Tìm 1 2B B P → ; b) Tìm [ ] 1Bx . ðịnh lý Trong kgvt nℝ cho 3 cơ sở B1, B2 và B3. Khi đĩ: 1) i iB B n P I→ = (i = 1, 2, 3); 2) 1 3 1 2 2 3 .B B B B B BP P P→ → →= ; 3) ( )1 2 2 1 1B B B BP P −→ →= . Hệ quả ( )1 2 1 2 1 21B B B E E B E B E BP P P P P−→ → → → →= = . VD 4. Giải lại VD 3. 3.4. Khơng gian con sinh bởi 1 hệ vector • Trong kgvt V cho hệ m vector S = {u1,…, um}. Tập tất cả các tổ hợp tuyến tính của S được gọi là khơng gian con sinh bởi S trên ℝ . Ký hiệu spanS hoặc . • Trong kgvt nℝ , ta cĩ: { }1 2 1 1 2 2, ,..., : ... ,nm m m iu u u x x u u uλ λ λ λ= ∈ = + + + ∈ℝ ℝ . Khi đĩ: 1) dim = r(S) (hạng ma trận dịng m vector của S); 2) Nếu dim = r thì mọi hệ con gồm r vector đltt của S đều là cơ sở của spanS. VD 5. Trong 4ℝ cho hệ vector S = {u1 =(–2; 4;–2;–4), u2 = (2;–5;–3; 1), u3 = (–1; 3; 4; 1)}. Tìm 1 cơ sở và dimspanS. ThS. ðồn Vương Nguyên Slide bài giảng Tốn A2ðH Trang 9 §4. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 4.1. ðịnh nghĩa • Ánh xạ : n mf →ℝ ℝ thỏa ( ) ( ) ( ) , ,( ) ( ) n f x y f x f y x yf x f x λλ λ + = + ∀ ∈ ∀ ∈ = ℝ ℝ được gọi là ánh xạ tuyến tính. • Ánh xạ : n nf →ℝ ℝ thỏa ( ) ( ) ( ) , ,( ) ( ) n f x y f x f y x yf x f x λλ λ + = + ∀ ∈ ∀ ∈ = ℝ ℝ được gọi là phép biến đổi tuyến tính. VD 1. f(x1; x2; x3) = (x1–x2 +x3; 2x1 +3x2) là AXTT từ 3 2→ℝ ℝ . f(x1; x2) = (x1 – x2; 2x1 + 3x2) là PBðTT từ 2 2→ℝ ℝ . f(x1; x2) = (x1 – x2; 2 + 3x2) khơng là PBðTT từ 2 2→ℝ ℝ . Chú ý ðiều kiện ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x y f x f y f x f xλ λ + = +  = ( ) ( ) ( ) , ,nf x y f x f y x yλ λ λ⇔ + = + ∀ ∈ ∀ ∈ℝ ℝ . VD 2. Các PBðTT thường gặp trong mặt phẳng: 1) Phép chiếu vuơng gĩc xuống trục Ox, Oy: f(x; y) = (x; 0), f(x; y) = (0; y). 2) Phép đối xứng qua Ox, Oy: f(x; y) = (x;–y), f(x; y) = (–x; y). 3) Phép quay gĩc φ quanh gốc tọa độ O: f(x; y) = (xcosφ – ysinφ; xsinφ + ycosφ). 4.2. Ma trận của ánh xạ tuyến tính a) ðịnh nghĩa • Cho AXTT : n mf →ℝ ℝ và hai cơ sở lần lượt là B1 = {u1, u2,…, un} và B2 = {v1, v2,…, vm}. Ma trận cấp m n× [ ] [ ] [ ]( ) 2 2 21 2 ( ) ( ) ... ( ) nB B B f u f u f u được gọi là ma trận của AXTT f trong cặp cơ sở B1, B2. Ký hiệu 2 1 [ ]BBf hoặc A. Cụ thể, nếu ( ) ( ) ( ) 1 11 1 21 2 31 3 1 2 12 1 22 2 32 3 2 1 1 2 2 3 3 ... ... .................................................................... ... m m m m n n n n mn m f u a v a v a v a v f u a v a v a v a v f u a v a v a v a v = + + + +  = + + + +    = + + + + thì 2 1 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ...[ ] ... ... ... ... ... n nB B m m mn a a a a a af a a a       =       . • Cho PBðTT : n nf →ℝ ℝ và cơ sở B = {u1, u2,…, un}. Ma trận vuơng cấp n [ ] [ ] [ ]( )1 2( ) ( ) ... ( )nB B Bf u f u f u được gọi là ma trận của PBðTT f trong cơ sở B. Ký hiệu [ ]Bf hoặc [f] hoặc A. Chú ý • Nếu A là ma trận của AXTT f trong cặp cơ sở B1, B2 thì 1 2 1 2( , ,..., ) ( ... )Tn nf x x x A x x x= . VD 3. a) Cho AXTT f(x, y, z, t) = (3x + y – z; x – 2y + t; y + 3z – 2t). Tìm 3 4 [ ]EEf . b) Cho AXTT f(x, y) = (3x; x – 2y; –5y). Tìm 3 2 [ ]EEf . c) Cho PBðTT f(x, y, z) = (3x + y – z; x – 2y; y + 3z). Tìm 3 [ ]Ef . VD 4. Cho AXTT 2 3:f →ℝ ℝ cĩ ma trận của f trong hai cơ sở chính tắc E2 và E3 là 1 3 0 2 4 3 A −    =       . Tìm ma trận f trong hai cơ sở B1 = {u1 = (1; 1), u2 = (1; 2)} và B2 = {v1 = (1; 0; 1), v2 = (1; 1; 1), v3 = (1; 0; 0)}. b) Ma trận đồng dạng ðịnh nghĩa • Hai ma trận vuơng A, B cấp n được gọi là đồng dạng với nhau nếu tồn tại ma trận khả nghịch P thỏa B = P–1AP. ðịnh lý • Nếu AXTT : n mf →ℝ ℝ cĩ ma trận trong các cặp cơ sở ( )/1 1,B B , ( )/2 2,B B tương ứng là A1, A2 và 1 2B BP P →= , / / 1 2B B P P → ′ = thì ( ) 12 1A P A P−′= . • ðặc biệt, nếu PBðTT : n nf →ℝ ℝ cĩ ma trận trong hai cơ sở B1, B2 lần lượt là A, B và 1 2B BP P →= thì B = P –1AP. VD 5. Cho PBðTT f(x, y) = (x + y; x – 2y). Tìm ma trận của f trong cơ sở chính tắc E và trong B={u1=(2;1),u2=(1;–1)}. VD 6. Cho AXTT f(x, y, z) = (x + y – z; x – y + z). Tìm ma trận của f trong cặp cơ sở: 1 2 3{ (1;1;0), (0;1;1), (1;0;1)}B u u u= = = = và / /1 2{ (2;1), (1;1)}B u u′ = = = . c) Thuật tốn tìm ma trận của AXTT • Cho AXTT : n mf →ℝ ℝ và hai cơ sở lần lượt là B1 = {u1, u2,…, un} và B2 = {v1, v2,…, vm}. – Ký hiệu: [ ][ ] [ ]( )1 2 ... mS v v v= (ma trận cột các vector của B2), [ ][ ] [ ]( )1 2( ) ( ) ... ( )nQ f u f u f u= . – Dùng PBðSC dịng đưa ma trận ( ) [ ]( )2 1 B B S Q I f→ . VD 7. Tìm lại các ma trận f trong VD 4 và VD 6. ThS. ðồn Vương Nguyên Slide bài giảng Tốn A2ðH Trang 10 §5. CHÉO HĨA MA TRẬN 5.1. Giá trị riêng, vector riêng của PBðTT a) ðịnh nghĩa Cho PBðTT : n nf →ℝ ℝ cĩ ma trận trong cơ sở B = {u1, u2,…, un} là A. • Số λ ∈ℝ được gọi là giá trị riêng của A (hay f) nếu: , :nx x Ax xθ λ∃ ∈ ≠ =ℝ . • Vector x được gọi là vector riêng của A (hay f) ứng với giá trị riêng λ . • ða thức PA(λ) = det(A – λI) được gọi là đa thức đặc trưng của A (hay f) và λ là nghiệm của pt đặc trưng PA(λ) = 0. Cách tìm giá trị riêng và vector riêng: • Bước 1. Giải phương trình đặc trưng 0A Iλ− = để tìm giá trị riêng λ. • Bước 2. Giải hệ phương trình ( )A I xλ θ− = , nghiệm khơng tầm thường là vector riêng. VD 1. Cho 0 0 1 0 1 0 1 0 0 A     =       . Tìm giá trị riêng và vector riêng của A. VD 2. Cho 1 3 3 3 5 3 3 3 1 B     = − − −      . Tìm giá trị riêng và vector riêng của B. b) Tính chất • Các vector riêng ứng với giá trị riêng λ cùng với vector khơng tạo thành 1 khơng gian vector con riêng E(λ) của n ℝ . • Các vector riêng ứng với giá trị riêng khác nhau thì độc lập tuyến tính. 5.2. Chéo hĩa ma trận a) ðịnh nghĩa • Cho PBðTT : n nf →ℝ ℝ , nếu cĩ một cơ sở sao cho ma trận của f là ma trận đường chéo thì ta nĩi f chéo hĩa được. • Ma trận vuơng A là chéo hĩa được nếu nĩ đồng dạng với ma trận đường chéo D, nghĩa là P–1AP = D. Khi đĩ, ta nĩi P làm chéo hĩa A. VD 3. Cho 0 0 0 0 1 0 1 0 1 A     =       , xét ma trận: 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 P P−         = ⇒ =        −    . Khi đĩ: 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 P AP A P P− −         = ⇒ =            . b) ðiều kiện chéo hĩa được ðịnh lý • Nếu A cĩ n giá trị riêng đơi phân biệt thì A chéo hĩa được. • A chéo hĩa được khi và chỉ khi A cĩ n giá trị riêng kể cả bội và số chiều của tất cả khơng gian con riêng bằng số bội của giá trị riêng tương ứng. c) Thuật tốn chéo hĩa ma trận • Bước 1. Giải phương trình đặc trưng để tìm các giá trị riêng của A. 1) Nếu A khơng cĩ giá trị riêng nào thì A khơng chéo hĩa được. 2) Giả sử A cĩ k giá trị riêng phân biệt λ1, λ2,…, λk với số bội tương ứng n1, n2,…, nk. Khi đĩ: a) n1 + n2 +…+ nk < n thì A khơng chéo hĩa được. b) n1 + n2 +…+ nk = n thì ta làm tiếp bước 2. • Bước 2. Với mỗi λi tính r(A – λiI) = ri. Khi đĩ dimE(λi) = n – ri. 1) Nếu cĩ một λi mà dimE(λi) < ni thì A khơng chéo hĩa được. 2) Nếu dimE(λi) = ni với mọi λi thì kết luận A chéo hĩa được. Ta làm tiếp bước 3. • Bước 3. Lập ma trận P cĩ các cột là các vector cơ sở của E(λi). Khi đĩ, P–1AP = D với D là ma trận đường chéo cĩ các phần tử trên đường chéo chính lần lượt là λi (xuất hiện liên tiếp ni lần). VD 4. Chéo hĩa các ma trận: 3 0 8 1 A  =   −  , 1 0 6 1 B  =   −  . VD 5. Chéo hĩa các ma trận : 0 0 0 0 1 0 1 0 1 A     =       , 1 3 3 3 5 3 3 3 1 B     = − − −      . ThS. ðồn Vương Nguyên Slide bài giảng Tốn A2ðH Trang 11 Chương 3. DẠNG TỒN PHƯƠNG §1. KHÁI NIỆM DẠNG TỒN PHƯƠNG 1.1. Dạng tồn phương tổng quát ðịnh nghĩa • Hàm số n biến số x = (x1, x2,…, xn) : nQ →ℝ ℝ cho bởi biểu thức [ ] [ ] 1 1 ( ) n n T ij i j i j Q x x A x a x x = = = =∑∑ (A là ma trận đối xứng) được gọi là dạng tồn phương trong nℝ . • Ma trận A và r(A) được gọi là ma trận và hạng của dạng tồn phương Q. VD 1. Tìm dạng tồn phương Q(x) hai biến x1, x2. Biết ma trận của Q(x) là 1 1 1 2 A −  =   −  . VD 2. Cho dạng tồn phương 3 biến 2 2 2 1 2 3 1 2 2 3( ) 2 3 6Q x x x x x x x x= + − − + . Tìm ma trận A. 1.2. Dạng chính tắc của dạng tồn phương ðịnh nghĩa • Dạng chính tắc là dạng tồn phương trong nℝ chỉ chứa bình phương của các biến 2 1 ( ) n ii i i Q x a x = =∑ . • Ma trận A của dạng chính tắc là ma trận đường chéo. VD 3. Tìm dạng chính tắc Q(x) hai biến x1, x2. Biết ma trận của Q(x) là 1 0 0 2 A  =   −  . VD 4. Cho dạng chính tắc 3 biến 2 2 21 2 3( ) 5 3Q x x x x= − − . Tìm ma trận A. 1.3. Dạng tồn phương xác định dấu a) ðịnh nghĩa • Dạng tồn phương Q(x) là xác định dương nếu: ( ) 0, ( )nQ x x x θ> ∀ ∈ ≠ℝ . • Dạng tồn phương Q(x) là xác định âm nếu: ( ) 0, ( )nQ x x x θ< ∀ ∈ ≠ℝ . • Dạng tồn phương Q(x) là nửa xác định dương (âm) nếu: ( ) 0, ( ( ) 0, )n nQ x x Q x x≥ ∀ ∈ ≤ ∀ ∈ℝ ℝ . • Dạng tồn phương Q(x) là khơng xác định nếu nĩ nhận cả giá trị dương lẫn âm. b) các tiêu chuẩn xác định dấu ðịnh lý 1 • Dạng tồn phương Q(x) của nℝ xác định dương khi và chỉ khi tất cả các hệ số dạng chính tắc của nĩ đều dương. • Dạng tồn phương Q(x) của nℝ xác định âm khi và chỉ khi tất cả các hệ số dạng chính tắc của nĩ đều âm. ðịnh lý 2 (Sylvester) Cho ma trận vuơng cấp n ( )ij nA a= . ðịnh thức: 11 1 1 ... ... ... ... ... k k k kk a a D a a = (1 )k n≤ ≤ được gọi là định thức con chính của A (A cĩ n định thức con chính). • Dạng tồn phương Q(x) của nℝ xác định dương khi và chỉ khi tất cả các định thức con chính Dk > 0. • Dạng tồn phương Q(x) của nℝ xác định âm khi và chỉ khi các định thức con chính cấp chẵn dương, cấp lẻ âm. §2. ðƯA DẠNG TỒN PHƯƠNG VỀ DẠNG CHÍNH TẮC Phương pháp chung ðổi biến nx ∈ℝ bằng biến [ ] [ ] [ ] [ ]1:ny x P y y P x−∈ = ⇔ =ℝ (P là ma trận vuơng khơng suy biến, det 0P ≠ ) sao cho D = PTAP cĩ dạng chéo. Khi đĩ: [ ] [ ] [ ] [ ]( ) T TQ x x A x y D y= = (dạng chính tắc theo biến y). 2.1. Thuật tốn Lagrange Cho dạng tồn phương 2 1 1 1 1 ( ) 2 n n n ij i j ii i ij i j i j i i j n Q x a x x a x a x x = = = ≤ < ≤ = = +∑∑ ∑ ∑ (aij = aji). a) Trường hợp 1 (cĩ 1 hệ số aii ≠ 0) • Bước 1. Giả sử 11 0a ≠ , ta tách tất cả các số hạng chứa x1 trong Q(x) và thêm (bớt) để cĩ dạng: ( )211 1 12 2 1 1 2 3 11 1( ) ... ( , ,..., )n n nQ x a x a x a x Q x x x a = + + + + , 1 2 3( , ,..., )nQ x x x cĩ n – 1 biến. ðổi biến 1 11 1 12 2 1... n ny a x a x a x= + + + , ( ) 2,i iy x i n= = . ðổi biến ngược ( )1 1 12 2 1 11 1 ... n nx y a y a y a = − − − , ( ) 2,i ix y i n= = . Với biến mới thì 21 1 2 11 1( ) ( ,..., )nQ y y Q y y a = + . ThS. ðồn Vương Nguyên Slide bài giảng Tốn A2ðH Trang 12 • Bước 2. Tiếp tục làm như bước 1 cho Q1(y2,…, yn), sau 1 số hữu hạn bước thì Q(x) cĩ dạng chính tắc. b) Trường hợp 2 (các hệ số aii = 0) Giả sử 12 0a ≠ , ta đổi biến 1 1 2 2 1 2 ( 3,..., )i i x y y x y y x y i n = +  = −  = = . Khi đĩ, 2 2 12 1 12 22 2 ...Q a y a y= − + cĩ hệ số của 21y là 12 0a ≠ . Trở lại trường hợp 1. VD 1. ðưa dạng tồn phương 2 2 2 3 1 2 1 34 2 4Q x x x x x x= − + + + về dạng chính tắc. Tìm P. VD 2. ðưa dạng tồn phương 1 2 1 3 2 32 2 6Q x x x x x x= + − về dạng chính tắc. Tìm P. 2.2. Thuật tốn Jacobi Cho dạng tồn phương ( )Q x cĩ ma trận ( )ij nA a= thỏa 0, 1,kD k n≠ ∀ ∈ . Với j > i, ta đặt Dj–1,i là định thức của ma trận cĩ các phần tử nằm trên giao của các dịng 1, 2,…, j–1 và các cột 1, 2, …, i–1, i+1,…, j (bỏ cột i) của A. • ðổi biến theo cơng thức: 1 1 21 2 31 3 41 4 1 2 2 32 3 42 4 2 ... ... ............................................................ n n n n n n x y b y b y b y b y x y b y b y b y x y = + + + + +  = + + + +    = , với 1, 1 ( 1) j ii jji j D b D −+ − = − . • Khi đĩ, 2 2 2 2321 1 2 3 1 2 1 ... n n n D DDQ D y y y y D D D − = + + + + . VD 3. ðưa dạng tồn phương 2 2 2 1 2 3 1 2 1 32 3 4Q x x x x x x x= + + + + về dạng chính tắc. Tìm P. 2.3. Thuật tốn chéo hĩa trực giao a) ðịnh nghĩa • Ma trận vuơng P được gọi là ma trận trực giao nếu: PT = P–1 hay PTP = In. • Nếu cĩ ma trận trực giao P làm chéo hĩa ma trận A thì ta gọi P chéo hĩa trực giao ma trận A. Chú ý – Nếu ( )ij nP a= là ma trận trực giao thì : 2 1 1 n ij i a = =∑ (tổng bình phương cột). b) ðịnh lý • Mọi dạng tồn phương Q(x) của nℝ đều đưa được về dạng chính tắc 2 2 21 1 2 2 ... n nQ y y yλ λ λ= + + + bằng phép đổi biến [x] = P[y], với P là ma trận làm chéo hĩa trực giao A và các iλ là các giá trị riêng của A. c) Thuật tốn • Bước 1. Tìm các giá trị riêng iλ và vector riêng iu (i = 1,…,n). • Bước 2. Trực chuẩn hĩa ui như sau: 1) ðặt 1 1v u= , 2 1 2 2 1 1 1 u v v u v v v = − , 3 1 3 2 3 3 1 2 1 1 2 2 u v u v v u v v v v v v = − − ,… (ký hiệu u v là tích vơ hướng của u và v). 2) Chuẩn hĩa ii i v w v = , với iv là độ dài vector vi. • Bước 3. Ma trận P = ([w1] [w2] … [wn]). VD 4. ðưa dạng tồn phương 2 2 2 1 2 3 1 2 1 3 2 36 6 5 4 2 2Q x x x x x x x x x= + + − − − về dạng chính tắc. Tìm P. Cho biết A cĩ 1 13, (1;1;1);uλ = = 2 2 3 36, ( 1; 1;2); 8, ( 1;1;0)u uλ λ= = − − = = − . §3. RÚT GỌN QUADRIC 2.4. Thuật tốn biến đổi sơ cấp ma trận đối xứng • Bước 1. Biến đổi sơ cấp dịng ( )A I và đồng thời lặp lại các biến đổi cùng kiểu trên các cột của ( )A I để đưa A về dạng chéo. Khi đĩ, I sẽ trở thành PT và 1 2 0 ... 0 0 ... 0 ... ... ... ... 0 0 0 T n P AP λ λ λ       =       . • Bước 2. ðổi biến [x] = P[y] ta cĩ 2 2 2 1 1 2 2 ... n nQ y y yλ λ λ= + + + . VD 5. ðưa dạng tồn phương 1 2 1 3 2 32 4 6Q x x x x x x= − + về dạng chính tắc. Tìm P. 3.1. ðường bậc hai trên mặt phẳng tọa độ Oxy a) ðịnh nghĩa • Trên mpOxy, đường bậc hai là tập hợp tất cả các điểm M(x; y) cĩ tọa độ thỏa phương trình: Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 (1). Trong đĩ, A2 + B2 + C2 > 0. • Các dạng chính tắc của đường bậc hai: 1) 2 2 2 2 1 x y a b + = (đường elip); 2) 2 2 2 2 1 x y a b − = (đường hyperbol); 3) 2 2y px= (parabol); 4) 2 2 0x y− = (cặp đường thẳng cắt nhau); ThS. ðồn Vương Nguyên Slide bài giảng Tốn A2ðH Trang 13 5) 2y a= , a > 0 (cặp đường thẳng song song); 6) 2 0y = (cặp đường thẳng trùng nhau). • Các đường bậc hai cĩ phương trình dạng 1), 2) và 3) được gọi là khơng suy biến. b) Nhận biết các đường Conic • Cho (C) là đường bậc hai cĩ phương trình (1). ðặt A B D Q B C E D E F     =       , khi đĩ: (C) khơng suy biến ( )det 0 3Q r Q⇔ ≠ ⇔ = . • Cho (C) là đường bậc hai khơng suy biến (Conic) cĩ phương trình (1). ðặt A BQ B C   =     , khi đĩ: 1) (C) là đường elip det 0Q⇔ > ; 2) (C) là đường hyperbol det 0Q⇔ < ; 3) (C) là đường parabol det 0Q⇔ = ; 4) (C) là đường trịn 0, 0A C B⇔ = ≠ = . c) Phương pháp lập phương trình chính tắc của đường bậc hai • Giả sử đường bậc hai (C) cĩ phương trình (1) trong Oxy. Xét dạng tồn phương: Q(x, y) = Ax2 + 2Bxy + Cy2 xác định bởi phần đẳng cấp trong (1). • Bước 1. Chính tắc hĩa trực giao Q(x, y) nhờ phép quay thích hợp trong hệ tọa độ đang xét. • Bước 2. Tịnh tiến hệ tọa độ một cách thích hợp để phương trình (C) cĩ dạng chính tắc. VD 1. Xác định dạng của đường bậc hai (C): x2 – 4xy + 4y2 + 4x – 3y – 7 = 0. Ta cĩ ( ) 1 2 2 2 4 3 / 2 3 3 / 2 7 Q r Q E −    = − − ⇒ =    − −  ⇒ (C) khơng suy biến. 1 2 det 0 2 4 Q Q− = ⇒ = ⇒  −  (C) là đường parabol. VD 2. Lập phương trình chính tắc của (C): 5x2 + 4xy + 8y2 – 32x – 56y + 80 = 0 trong Oxy. Giải. Xét dạng tồn phương Q(x, y) = 5x2 + 4xy + 8y2. Ta cĩ 5 2 2 8 Q  =     1 2 5 5 2 1 5 5 P   −   ⇒ =       là ma trận trực giao chéo hĩa Q. Quay quanh O một gĩc ϕ sao cho cos sin sin cos P ϕ ϕ ϕ ϕ   =   −  , nghĩa là ta đổi tọa độ: 1 2 5 5 2 1 5 5 x x y y x y  ′ ′= −   ′ ′= +  . Khi đĩ, (C) cĩ phương trình: 2 2 144 89 4 80 0 5 5 x y x y′ ′ ′ ′+ − + + = 2 28 19 4 36 5 5 x y   ′ ′⇔ − + + =        2 28 1 5 5 1 4 9 x y   ′ ′− +       ⇔ + = . Dùng phép tịnh tiến hệ tọa độ: 8 5 1 5 X x Y y  ′= −   ′= +  thì 2 2 ( ) : 1 4 9 X YC + = (elip). 3.2. Mặt bậc hai trong khơng gian tọa độ Oxyz a) ðịnh nghĩa • Trong khơng gian Oxyz, mặt bậc hai là tập hợp tất cả các điểm M(x; y; z) cĩ tọa độ thỏa phương trình: Ax2 + 2Bxy + 2Cxz + Dy2 + 2Eyz + Fz2 + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0(2). Trong đĩ A, B, C, D, E, F khơng đồng thời bằng 0. • Các dạng chính tắc của mặt bậc hai: 1) 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + + = (mặt elipxoit); 2) 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + − = (hyperboloit 1 tầng); 3) 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + − = − (hyperboloit 2 tầng); 4) 2 2 2 2 2 2 0 x y z a b c + − = (nĩn eliptic); 5) 2 2 2 2 2 x y z a b + = (parabolit eliptic); 6) 2 2 2 2 2 x y z a b − = (parabolit hyperbolic – yên ngựa); 7) 2 2 2 2 1 x y a b + = (mặt trụ eliptic); 8) 2 2 2 2 1 x y a b − = (mặt trụ hyperbolic); 9) 2 2y px= (mặt trụ parabolic). ThS. ðồn Vương Nguyên Slide bài giảng Tốn A2ðH Trang 14 b) Nhận biết các mặt bậc hai • Cho (S) là mặt bậc hai cĩ phương trình (2). ðặt A B C Q B D E C E F     =       và A B C G B D E HQ C E F K G H K L       =       , ta cĩ: (S) khơng suy biến ( )det 0 4Q r Q⇔ ≠ ⇔ = . Khi đĩ: 1) (S) là mặt elipxoit Q⇔ xác định dương hoặc xác định âm. 2) (S) là mặt parabolic det 0Q⇔ = . VD 3. Xác định dạng của mặt bậc hai sau đây rồi lập phương trình chính tắc (S): 22x2 + 8xy + 28y2 + 15z2 – 112x – 184y – 30z + 343 = 0. Giải. Ta cĩ 22 4 0 4 28 0 0 0 15 Q     =       và 22 4 0 56 4 28 0 92 0 0 15 15 56 92 15 343 Q −    −  =   −   − − −  . Do ( ) 4r Q = nên (S) khơng suy biến. Theo định lý Sylvester, Q cĩ D1 = 22 > 0; D2 = 600 > 0; D3 = 9000 > 0 nên Q xác định dương. Vậy (S) là mặt elipxoit. Ta cĩ: 1 2 0 5 522 4 0 2 14 28 0 0 5 50 0 15 0 0 1 Q P   −        = ⇒ =               là ma trận trực giao chéo hĩa Q. ðổi tọa độ: 1 2 5 5 2 1 5 5 x x y y x y z z  ′ ′= −   ′ ′= +   ′=   . Khi đĩ, (S) cĩ phương trình: 2 2 2 480 4030 20 15 30 343 0 5 5 x y z x y z′ ′ ′ ′ ′ ′+ + − − − + = ( ) 2 2 2 8 1 15 5 1 2 3 4 x y z     ′ ′ − −    ′ −   ⇔ + + = . Dùng phép tịnh tiến hệ tọa độ: 8 5 1 5 1 X x Y y Z z  ′= −   ′= −   ′= −   thì 2 2 2 ( ) : 1 2 3 4 X Y ZS + + = (mặt elipxoit). ……………………………Hết…………………………….