Rèn luyện kĩ năng đặt ẩn phụ và khả năng chuyển đổi cách phát biểu bài toán cho học sinh khi dạy học giải các bài toán có chứa tham số - Nguyễn Hữu Hậu

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE DOI: 10.18173/2354-1075.2015-0165 Educational Sci., 2015, Vol. 60, No. 8A, pp. 53-63 This paper is available online at RÈN LUYỆN KĨ NĂNG ĐẶT ẨN PHỤ VÀ KHẢ NĂNG CHUYỂN ĐỔI CÁCH PHÁT BIỂU BÀI TOÁN CHO HỌC SINH KHI DẠY HỌC GIẢI CÁC BÀI TOÁN CÓ CHỨA THAM SỐ Nguyễn Hữu Hậu Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Hồng Đức Tóm tắt. Trong bài viết này tác giả trình bày về một số phương thức mà giáo viên có thể sử dụng góp phần giúp học sinh rèn luyện kĩ năng đặt ẩn phụ và khả năng chuyển đổi cách phát biểu bài toán, trong đó phân tích về những tình huống điển hình có liên quan đến việc chuyển một bài toán sang bài toán tương đương và những khó khăn, sai lầm của học sinh xung quanh vấn đề này, đồng thời đưa ra gợi ý phương pháp dạy cho học sinh kĩ năng biến đổi tương đương các phương trình có chứa tham số; kĩ năng ý thức và phát hiện được mối quan hệ tương hỗ giữa hai biến lượng theo định hướng hoạt động hoá người học. Từ khóa: ẩn phụ; tham số, biến đổi tương đương. 1. Mở đầu Giải bài toán là quá trình đòi hỏi sự tư duy nhạy bén vì bài toán thật đa dạng và phong phú. Đứng trước một bài toán nếu vận dụng những thuật giải đã biết không tìm ra hướng giải quyết thì học sinh cần phải thay đổi tư duy của mình. Trong [3; 70] cho rằng “thành công trong giải bài tập là nhờ xác định phương hướng chính xác, nhờ vào biết công đồn đúng phía. Mà muốn tìm ra phương hướng đúng, phía công đồn đúng thì phải thử nghiệm đủ các mặt, các phía. tức là phải biến đổi vấn đề” Một phương pháp hay được sử dụng nhằm giải các bài toán có chứa tham số, đó là đặt ẩn phụ. Việc đặt ẩn phụ (khác với ẩn đã cho) nhằm chuyển bài toán về dạng khác với mong muốn bài toán với ẩn mới (ẩn phụ) sẽ dễ giải hơn bài toán đã cho, tác giả trong [1; 394] đưa ra yêu cầu sư phạm cho giáo viên khi định hướng cho học sinh giải toán là “có thể phát biểu bài toán một cách khác hay không? một cách khác nữa?”. Phát hiện ra cách thức đặt ẩn phụ là cả một nghệ thuật, đòi hỏi người làm toán phải quan sát kĩ bài ra, vận dụng các mối liên hệ trong bài toán, huy động kiến thức, kinh nghiệm đã có. Tuy nhiên, sau khi phát hiện ra cách thức đặt ẩn phụ thì cần đặt điều kiện cho ẩn phụ, phát hiện ra mối tương quan giữa ẩn phụ và ẩn ban đầu, để từ đó chuyển đổi yêu cầu bài toán đối với ẩn ban đầu sang ẩn phụ. Tìm điều kiện cho ẩn phụ, chuyển đổi cách phát biểu bài Ngày nhận bài: 05/07/2015. Ngày nhận đăng: 06/10/2015. Liên hệ: Nguyễn Hữu Hậu, e-mail: hauncsthanhhoa@gmail.com. 53 Nguyễn Hữu Hậu toán là khâu quan trọng trong quá trình giải bài toán có tham số bằng phương pháp đặt ẩn số phụ, nó quyết định đến sự đúng hay sai của lời giải bài toán, tác giả G.Polia cho rằng “khi chuyển từ điều kiện ban đầu sang một điều kiện hẹp hơn, chúng ta sẽ bị mất nghiệm còn như khi chuyển sang một điều kiện rộng hơn chúng ta sẽ nhận được những nghiệm thừa, thứ yếu khác hẳn với bài toán ban đầu” [3; 67]. Chính vì lẽ đó mà “khi làm những bài toán liên quan đến tư duy hàm, học sinh hay sai lầm trong việc phát hiện, thiết lập sự tương ứng giữa các đối tượng tham gia trong bài toán, đặc biệt nổi bật trong các bài toán về hàm số, phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có chứa tham số, hoặc cần đặt ẩn phụ” [6; 45]. 2. Nội dung dung nghiên cứu 2.1. Một số khó khăn và sai lầm của học sinh trong việc đặt điều kiện cho ẩn phụ, chuyển đổi cách phát biểu bài toán khi giải quyết các vấn đề về phương trình có chứa tham số Phương pháp giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ là rất hay được sử dụng. Với bài toán phương trình có chứa tham số giải bằng việc đặt ẩn số phụ học sinh thường gặp khá nhiều khó khăn, đặc biệt trong việc đặt điều kiện cho ẩn phụ và chuyển đổi cách phát biểu bài toán ban đầu sang bài toán với ẩn phụ. Ở mục này sẽ nêu ra một số khó khăn sai lầm của học sinh khi giải quyết các vấn đề trên. * “Khi đặt ẩn phụ thường lãng quên việc đặt điều kiện của ẩn phụ, và cho rằng, phương trình f(x) = 0 có nghiệm khi và chỉ khi phương trình g(t) = 0 có nghiệm, trong đó g(t) là biểu thức thu được từ f(x) thông qua một phép đặt ẩn phụ t = ϕ(x) nào đó. Nói cách khác, nếu phương trình xuất phát có dạng f [g(x)] = 0 thì HS thường đặt t = g(x) để đưa về phương trình f(t) = 0, và quan niệm rằng, phương trình f [g(x)] = 0 có nghiệm khi và chỉ khi phương trình f(t) = 0 có nghiệm” [6; 51]. Với bài toán giải phương trình không chứa tham số thì không nhất thiết phải đặt điều kiện cho ẩn phụ thật chính xác, bởi việc này chỉ giúp ta loại bỏ trường hợp vô nghiệm. Chẳng hạn, nếu ta đặt ẩn phụ: u = √ x+ 2 2 √ x với điều kiện: x > 0. Khi đó theo bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, ta có: u = √ x+ 2 2 √ x ≥ 2 √ √ x. 1 2 √ x = √ 2 Vậy điều kiện chính xác là u ≥ √2, còn điều kiện thừa là: u > 0. Giả sử phương trình khi đó với ẩn u có 2 nghiệm: u = 1 và u = 2. Rõ ràng hai nghiệm thỏa mãn điều kiện thừa u > 0, tất nhiên khi quay trở lại giải để tìm ẩn ban đầu thì giá trị u = 1 sẽ vô nghiệm. Nếu đặt điều kiện chính xác thì sẽ loại được giá trị u = 1. Tuy nhiên, trong bài toán có chứa tham số thì kiên quyết phải đặt chính xác điều kiện của ẩn phụ, bởi bài toán sẽ được tiến hành trên ẩn phụ. Do học sinh khi học về phương trình không chứa tham số đã quen với việc không đặt điều kiện cho ẩn phụ hoặc có đặt nhưng không thật chính xác, nên thường dẫn đến những sai lầm khi tìm điều kiện của ẩn phụ trong bài toán có chứa tham số. 54 Rèn luyện kĩ năng đặt ẩn phụ và khả năng chuyển đổi cách phát biểu bài toán... Với bài toán có chứa tham số mà giải bằng phương pháp đặt ẩn số phụ t = ϕ(x), thì việc tìm điều kiện cho ẩn phụ thực chất là tìm miền giá trị của hàm số t = ϕ(x)với mọi x thuộc miền xác định của bài toán. Đặt đúng điều kiện của ẩn phụ là điều kiện tiên quyết đối với việc giải phương trình đã cho. Tuy nhiên, “học sinh chỉ đưa ra được một điều kiện cần đối với t, chứ chưa phải là một điều kiện cần và đủ đối với t để phương trình t = ϕ(x) có nghiệm theo ẩn x” [4], xin trích dẫn một số sai lầm cụ thể trong việc đặt điều kiện không thật chính xác: +) Đặt u = 2sinx với x ∈ R, học sinh thấy hàm số luôn dương, nên đặt điều kiện là: u > 0. +) Đặt u = √ (4− x)(x+ 2), học sinh đặt điều kiện u ≥ 0 vì căn bậc hai luôn dương hoặc bằng không. +) Với bài toán: Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x thỏa mãn 0 ≤ x ≤ 1: m.92x 2−x − (2m+ 1)62x2−x +m42x2−x ≤ 0. Để giải bài toán này học sinh sẽ đặt ẩn phụ: t = ( 3 2 )2x2−x = ( 3 2 )f(x) Sẽ không ít học sinh sai lầm khi đặt điều kiện t > 0, bởi t là hàm số mũ. Với học sinh khá hơn sẽ ý thức được việc x ∈ [0; 1] nên suy luận:( 3 2 )f(0) ≤ t ≤ ( 3 2 )f(1) ⇔ 1 ≤ t ≤ 3 2 như vậy học sinh sai lầm khi cho rằng: f(0) ≤ f(x) = 2x2 − x ≤ f(1)”. Ngoài sai lầm do đặt điều kiện ẩn phụ không chính xác thì trong khi giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn số phụ, học sinh thường gặp sai lầm trong phát biểu chuyển đổi yêu cầu bài toán từ ẩn ban đầu sang ẩn phụ. “Một sai lầm phổ biến đó là học sinh thường mang yêu cầu bài toán đối với ẩn ban đầu sang áp dụng cho ẩn phụ” [6; 53]. Xét bài toán: Tìmm để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: x4 − 2mx2 +m+ 12 = 0 (2.1) Để tiến hành giải phương trình trên học sinh đặt ẩn phụ: t = x2, điều kiện: t ≥ 0. Được: t2 − 2mt+m+ 12 = 0 (2.2) Thực tiễn dạy học đã chỉ rõ có khá nhiều học sinh chuyển đổi yêu cầu bài toán: Để phương trình (2.1) có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (2.2) phải có 4 nghiệm phân biệt. Chính việc chuyển đổi sai lầm này sẽ nẩy sinh mâu thuẫn trong kiến thức của học sinh khi học giải quyết vấn đề phương trình bậc 2 mà lại có đến 4 nghiệm phân biệt. Cũng có một số học sinh ý thức được bài toán thì phát biểu: Để phương trình (2.1) có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (2.2) phải có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn t ≥ 0. Học sinh này đã sai lầm khi không ý thức được sự tương quan giữa các nghiệm và đã không nhận ra vấn đề khi phương trình (2.2) có nghiệm thỏa mãn yêu cầu đó là: Có một nghiệm bằng 0 và nghiệm kia dương, tuy nhiên lúc này phương trình (2.1) sẽ chỉ có 3 nghiệm - tức là không thỏa mãn yêu cầu bài toán. 55 Nguyễn Hữu Hậu Có những học sinh đã gặp phải một trong các kiểu sai lầm nêu trên, nhưng đáp số cuối cùng vẫn đúng. Phải tinh ý thì mới phát hiện được sai lầm trong khâu suy luận. Chẳng hạn Bài toán: Tìm m để phương trình (x− 2)(x+ 2) + 3(x− 2) √ x+ 2 x− 2 = m(m+ 3) có nghiệm. Sau khi nêu điều kiện x 6= 2 và x+ 2 x− 2 ≥ 0. Tương đương x > 2 hoặc x ≤ −2, nhiều học sinh đặt u = (x− 2) √ x+ 2 x− 2 để đưa về phương trình u 2 + 3u = m2 +3m; phương trình này trở thành u2 + 3u− (m2 + 3m) = 0. Do nhận thấy∆ = 9+ 4(m2 +3m) = 4m2 +12m+ 9 = (2m+ 3)2 ≥ 0 với mọim, nên học sinh kết luận rằng: Với mọim thì phương trình luôn có nghiệm. Thực ra, lập luận trên đây chưa hoàn toàn chặt chẽ (mặc dầu đáp số là đúng). Học sinh chưa chỉ ra được rằng, với mỗi t0 bất kì thì phương trình (x− 2) √ x+2 x−2 = t0 luôn có nghiệm đối với ẩn x. Cũng cần nói thêm, việc chứng minh với mỗi t0 bất kì, phương trình (x− 2) √ x+ 2 x− 2 = t0 luôn có nghiệm không hoàn toàn đơn giản. 2.2. Một số phương thức nhằm rèn luyện kĩ năng đặt ẩn phụ và khả năng chuyển đổi cách phát biểu bài toán cho học sinh 2.2.1. Chỉ rõ cho học sinh thấy tầm quan trọng của việc tìm điều kiện cho ẩn phụ * Tìm điều kiện cho ẩn phụ là gì? Với những học sinh nắm kiến thức không vững thì ngay cả việc trả lời câu hỏi: Tìm điều kiện cho ẩn số phụ là làm gì? Cũng đã là khó khăn, nên nếu khi họ đã không hiểu hoạt động này thì mọi thứ rao giảng của giáo viên đều trở nên vô ích. Như vậy trong quá trình giảng dạy giáo viên cần chỉ rõ cho học sinh thấy: Tìm điều kiện cho ẩn phụ thực chất là “tìm miền giá trị của hàm t = ϕ(x) (biểu thức đặt ẩn phụ), với x thuộc miền xác định mà bài toán đã cho” [2; 6]. Hay nói cách khác tìm điều kiện ẩn phụ tức là với giá trị của x, xác định miền giá trị của t. Để giúp học sinh hiểu việc tìm điều kiện ẩn số phụ, giáo viên có thể đưa ra ví dụ đơn giản, chẳng hạn: “Tìm miền giá trị của ẩn phụ: t = x2; t = |x|; . . . ”. * Giúp học sinh ý thức được việc tìm điều kiện cho ẩn phụ Khi giải phương trình không chứa tham số, học sinh tự nhận thấy việc đặt điều kiện cho ẩn phụ thật không cần thiết lắm, bởi sau khi giải ra ẩn phụ rồi quay về tìm ẩn ban đầu do đó điều kiện chỉ là bước đệm giúp loại ẩn phụ không thỏa mãn mà thôi. Học sinh thấy việc đặt điều kiện có thể bỏ qua, hoặc có thể đặt thừa điều kiện cho ẩn phụ, chẳng hạn: Ví dụ 1: Giải phương trình: tan4 x+ cot4 x = 8(tan x+ cot x)2 − 9 Đặt ẩn phụ: u = tan2 x+ cot2 x Tới đây học sinh có thể đặt điều kiện cho ẩn phụ và cũng có thể không. Nếu đặt điều kiện có thể học sinh đặt là: 56 Rèn luyện kĩ năng đặt ẩn phụ và khả năng chuyển đổi cách phát biểu bài toán... 1. Điều kiện: u ≥ 0 (Tìm thừa điều kiện cho ẩn phụ) hoặc 2. Điều kiện: u ≥ 2 (Tìm đúng điều kiện cho ẩn phụ) Tiếp tục tiến hành giải, với cách đặt ẩn phụ như vậy ta thu được phương trình: u2−8u−9 = 0 được u = −1;u = 9 Từ đây do phải trở về tìm ẩn đã cho là x nên buộc phải giải phương trình: u = tan2 x+cot2 x Nên với u = −1 không tồn tại x, với u = 9 ta có: tan2 x + cot2 x = 9. Điều kiện: sinx 6= 0, cos x 6= 0 (*) Khi đó sin4 x + cos4 x = 9 sin2 x. cos2 x tương đương cos 4x = cosα = 3 11 hay x = ±α 4 + k π 2 Đối chiếu điều kiện (*) ta có nghiệm của phương trình là: x = ±α 4 + k π 2 . Như vậy, nếu không đặt điều kiện cho ẩn phụ u thì bài toán vẫn giải đúng, còn nếu đặt điều kiện cho ẩn phụ là u ≥ 0 thì vẫn dẫn tới loại được trường hợp u = −1. Nếu đặt điều kiện cho ẩn phụ chính xác thì cũng chỉ giúp loại trường hợp u = −1 mà thôi. Chính những bài toán không chứa tham số này làm cho học sinh “thờ ơ” với bước đặt điều kiện của ẩn phụ, họ có thể đặt có thể không, có thể đặt thừa điều kiện của ẩn phụ mà vẫn không ảnh hưởng đến lời giải bài toán và lối suy nghĩ như vậy dễ dẫn học sinh đến sai lầm trong bài toán về phương trình có chứa tham số. Bởi đối với dạng toán là phương trình có chứa tham số thì điều kiện kiên quyết ảnh hưởng đến lời giải chính là điều kiện của ẩn phụ, điều kiện của ẩn phụ chính là cơ sở cho những lập luận, trong bài toán mới - bài toán đối với ẩn phụ. Khi đặt ẩn phụ đối với bài toán không chứa tham số thì sau khi tìm ra ẩn phụ phải quay lại tìm ẩn ban đầu nên việc đặt điều kiện cho ẩn phụ không thật quan trọng, còn với bài toán chứa tham số thì sau khi đặt ẩn phụ yêu cầu bài toán sẽ được chuyển sang đối với ẩn phụ và sẽ tiến hành suy luận trên phương trình mới (phương trình đối với ẩn phụ). Do vậy, giáo viên cần giúp học sinh nhận ra việc đặt điều kiện của ẩn phụ có ảnh hưởng rất lớn đến lời giải bài toán, tác giả trong [2;7] nhắc nhở rằng “với bài toán mà ẩn phụ được dùng với tư cách là ẩn thứ hai (bài toán không trở về với ẩn ban đầu) thì tuyệt đối phải đặt đúng điều kiện cho ẩn phụ”. Để góp phần giúp học sinh ý thức được tầm quan trọng của việc đặt điều kiện cho ẩn phụ thì thông qua Ví dụ 1, giáo viên có thể đưa ra hoạt động sau: Hoạt động: Tìmm để phương trình sau có nghiệm: tan4 x+ cot4 x = 8(tan x+ cot x)2 +m− 18 (2.3) Bằng phương pháp đặt ẩn phụ như trên là: u = tan2 x+ cot2 x. Ta được: u2 − 8u+m = 0 (2.4) Đến đây giáo viên đưa ra các lời giải tương ứng với các cách đặt điều kiện, yêu cầu học sinh tìm ra lời giải đúng. Lời giải 1: (Không đặt điều kiện tham số) Phương trình (2.3) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2.4) có nghiệm: ∆′ = 16−m ≥ 0⇔ m ≤ 16 57 Nguyễn Hữu Hậu . Lời giải 2: u = tan2 x+ cot2 x, điều kiện: u ≥ 0. Để phương trình (2.3) có nghiệm thì phương trình (2.4) phải có nghiệm thỏa mãn u ≥ 0. Tương đương  S = u1 + u2 = 8 > 0 P = u1.u2 = m > 0 ∆′ = 16−m ≥ 0 hoặc P = u1.u2 = m ≤ 0. Tương đương 0 < m ≤ 16 hoặc m ≤ 0⇔ m ≤ 16 Lời giải 3: u = tan2 x+ cot2 x, điều kiện: u ≥ 2. Phương trình (2.3) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2.4) có nghiệm thỏa mãn u ≥ 2. Để tìm tham số m sao cho phương trình (2.4) có nghiệm thỏa mãn u ≥ 2, ta dùng phương pháp đồ thị: Đồ thị (C1) : y = u2 − 8u, đồ thị (C2) : y = −m Khi đó nghiệm của phương trình (2) chính là giao điểm của 2 đồ thị (C1) và (C2). Phương trình (2) sẽ có nghiệm thỏa mãn u ≥ 2 khi và chỉ khi đồ thị (C2) cắt đồ thị (C1) ở điểm nằm về phía phải của đường thẳng x = 2. Dựa vào đồ thị ta nhận thấy với m ≥ −16 thì (2) luôn có nghiệm thoả mãn u ≥ 2. Vậy để phương trình đã cho có nghiệm thì:m ≥ −16. Sau khi đưa ra 3 lời giải giáo viên có thể đặt câu hỏi nhằm giúp học sinh hoạt động, chẳng hạn: Nhận xét về kết quả của 3 lời giải? Lời giải nào là đúng đắn và lập luận chính xác? Tại sao lại phải đặt điều kiện chặt chẽ cho ẩn phụ với bài toán có chứa tham số? 2.2.2. Khắc sâu mối tương quan giữa ẩn ban đầu và ẩn phụ Để giải phương trình, bất phương trình nhiều khi ta sử dụng phép đặt ẩn phụ t = ϕ(x), mối quan hệ giữa ẩn ban đầu và ẩn phụ được thể hiện thông qua hàm số ϕ. Giáo viên cần giúp học sinh nhận ra mối tương quan của t và x, tức là trả lời câu hỏi: với giá trị t bất kì thì sẽ có bao nhiêu giá trị x tương ứng? Với giá trị x bất kì thuộc miền xác định của bài toán, thì tồn tại một giá trị t, tuy nhiên vấn đề mà ta cần quan tâm lại là vấn đề ngược lại. Trước hết, giáo viên cần hướng dẫn học sinh nhận ra với giá trị nào của ẩn phụ t thì tồn tại giá trị x tương ứng, điều này giống như bài toán tìm điều kiện tham số t để phương trình t = ϕ(x) có nghiệm. Học sinh cần trả lời được câu hỏi: Với những giá trị nào của t để phương trình t = ϕ(x) tồn tại x? Với những cả giá trị nào của t thì t = ϕ(x) sẽ không tồn tại x? Thực chất chỉ cần tìm câu trả lời được một trong hai câu hỏi và phủ định lại đáp án đó thì được đáp án cho câu hỏi còn lại. Khi đặt ẩn phụ thì có thể với mọi giá trị của t đều dẫn đến sự tồn tại của x, chẳng hạn như phép đặt ẩn phụ: t = tan x; t = cot x; t = loga x; Tuy nhiên, cần lưu ý học sinh bởi điều này không phải bao giờ cũng đúng, chẳng hạn phép đặt ẩn phụ: t = √ x2 + 1. Học sinh sẽ đễ dàng nhận thấy điều kiện của t là: t ≥ 0, do đó với những giá trị t < 0 thì sẽ không tồn tại giá trị x tương ứng. Tuy nhiên, kết luận trên vẫn chưa đầy đủ, bởi nó chưa xác định hết những giá trị của t để không tồn tại x tương ứng. Cần nhắc nhở học sinh biết xem 58 Rèn luyện kĩ năng đặt ẩn phụ và khả năng chuyển đổi cách phát biểu bài toán... xét biểu thức trong dấu căn, chứ không nên suy luận đơn giản là: t = √ x2 + 1 ≥ 0, nên với giá trị t ≥ 0 thì sẽ tồn tại giá trị x tương ứng. Ở đây học sinh có thể đánh giá: x2+1 ≥ 1⇒ √x2 + 1 ≥ 1. Nên t ≥ 1, vậy với giá trị t ≥ 1 thì sẽ tồn tại giá trị x tương ứng. Do vậy, ngoài việc xem xét phép toán, cần xem xét biểu thức trong phép toán: √ f(x) = t; 2f(x) = t; |f(x)| = t; Với những phép đặt ẩn phụ trên ta chưa được khẳng định với t ≥ 0 thì sẽ tồn tại x, điều này rất có thể dẫn đến sai lầm. Để tìm miền xác định của t cần phải xem xét đến miền xác định của f(x). Tiếp đến, học sinh cần nhận thấy trong các giá trị của t dẫn tới tồn tại x trong biểu thức t = ϕ(x), thì ứng với một giá trị t cụ thể bất kì nào đó có bao nhiêu giá trị x. Sự tương ứng giữa t và x là rất quan trọng trong những bài toán yêu cầu tìm giá trị tham số để phương trình có số nghiệm xác định. Với phép đặt ẩn phụ t = ϕ(x), nếu ϕ là hàm đơn điệu thì trong miền giá trị của t sự tương ứng sẽ là 1− 1. Chẳng hạn, với phép đặt ẩn phụ: t = √ x+ 1 = ϕ (x) Khi đó miền giá trị của ẩn phụ sẽ là: [0;+∞), hàm ϕ là hàm số đồng biến do: ϕ ′(x) = 1 2 √ x+ 1 > 0 với mọi x ∈ (−1;+∞) nên sự tương ứng giữa x và t ở đây là 1 − 1. Thật vậy, với giá trị t0 bất kì thuộc miền xác định [0;+∞) tồn tại một giá trị x duy nhất tương ứng, đó là: x = t20 − 1 Tất nhiên, mối tương quan giữa ẩn ban đầu và ẩn phụ không phải bao giờ cũng là 1 − 1. Bên cạnh đó có nhiều phép đặt ẩn phụ thì với mỗi giá trị của ẩn phụ thuộc miền giá trị có thể cho nhiều giá trị x tương ứng. Chẳng hạn, phép đặt ẩn phụ: t0 = 2x 2+1 ⇔ x2 + 1 = log2 t0 ⇔ x2 = log2 t0 − 1 +) Với t0 = 2 thì sẽ tồn tại 1 giá trị x tương ứng là x = 0 +) Với t0 > 2 thì sẽ tồn tại 2 giá trị x tương ứng là: x = ± √ log2 t0 − 1 Vậy với mỗi t0 > 2 sẽ tồn tại 2 giá trị x tương ứng. Giáo viên cần nhắc nhở học sinh suy xét kĩ càng mối tương quan giữa ẩn phụ và ẩn ban đầu. Bởi mối quan hệ này khá phức tạp và phong phú, nếu xem xét không kĩ càng có thể dẫn đến sai lầm không đáng có. Một khi học sinh ý thức đầy đủ mối tương quan giữa ẩn ban đầu và ẩn phụ sẽ giúp học sinh lập luận chính xác và có thể ứng phó linh hoạt khi yêu cầu của bài toán thay đổi. Để xác định sâu mối tương quan giữa ẩn ban đầu và ẩn phụ thì trong giảng dạy giáo viên không chỉ nên dừng lại ở yêu cầu của bài toán mà còn có thể đặt ra các yêu cầu khác nhau, nhằm giúp học sinh phản ứng tốt trước các kiểu bài toán và giúp họ hiểu chắc chắn về mối tương quan giữa ẩn ban đầu và ẩn phụ. Ví dụ 2: Cho phương trình: 2(x2 − 2x) + √ x2 − 2x+ 5−m = 0 (2.5) Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có nghiệm. Hướng dẫn tìm lời giải: Để giải phương trình trên ta dùng phép đặt ẩn phụ: t = √ x2 − 2x+ 5. Giáo viên có thể đặt câu hỏi cho học sinh: Hãy chỉ ra miền xác định của ẩn x? x2 − 2x+ 5 ≥ 0⇔ ∀x ∈ R 59 Nguyễn Hữu Hậu Với những giá trị x thuộc miền xác định chỉ ra miền giá trị của t? t = √ x2 − 2x+ 5. . . Có thể nói gì về biểu thức dưới dấu căn? x2 − 2x+ 5 = (x− 1)2 + 4 ≥ 4 với mọi x ∈ R Biểu thức dưới dấu căn luôn lớn hơn hoặc bằng 4 với mọi giá trị của x ∈ R. Có xác định được giá trị lớn nhất của biểu thức dưới dấu căn hay không? Không vì x là dần tới +∞ thì (x2 − 2x+ 5) sẽ dần tới +∞! Hãy chỉ ra miền giá trị của t? t = √ x2 − 2x+ 5 = √ (x− 1)2 + 4 ≥ 2.Miền giá trị của t là [2;+∞) Với giá trị nào của t thì phương trình t = √ x2 − 2x+ 5 sẽ có nghiệm? Với t ≥ 2 thì phương trình t = √x2 − 2x+ 5 có nghiệm. Với cách đặt ẩn phụ đó phương trình sẽ trở thành như thế nào? 2(t2 − 5) + t−m = 0⇔ 2t2 + t−m− 10 = 0 (2.6) Để phương trình (2.5) có nghiệm thì (2.6) phải như thế nào? Để phương trình (2.5) có nghiệm thì (2.6) phải có nghiệm thỏa mãn t ≥ 2. Trong ví dụ này ta phân tích, diễn giải cách thức nhằm giúp học sinh phát hiện ra điều kiện ẩn phụ, cũng như mối tương quan giữa ẩn phụ và ẩn ban đầu. Ở đây ta thấy, không phải mọi giá trị của ẩn phụ đều dẫn tới sự tồn tại của ẩn ban đầu, mà chỉ những giá trị ẩn phụ thỏa mãn t ≥ 2 thì mới dẫn đến sự tồn tại của ẩn ban đầu tương ứng. Tuy nhiên, nếu bài toán chỉ dừng lại ở đây thì giáo viên chưa hoàn thành được nhiệm vụ khắc sâu mối tương quan giữa ẩn phụ và ẩn ban đầu. Để giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn sự tương quan giữa ẩn phụ và ẩn ban đầu, giáo viên có thể thay đổi yêu cầu bài toán, rồi yêu cầu học sinh hoạt động suy luận để giải quyết. Giáo viên có thể đưa ra hoạt động sau: Hoạt động: Hãy tiến hành suy luận với điều kiện nào của phương trình (2.6) thì phương trình (2.5): a) Có đúng 1 nghiệm; b) Có đúng 2 nghiệm; c) Có đúng 3 nghiệm; d) Có đúng 4 nghiệm; e) Vô nghiệm. Thông qua hoạt động này học sinh bắt buộc phải suy xét mối tương quan giữa ẩn phụ t và ẩn ban đầu x. Bây giờ học sinh phải suy xét kĩ hơn là: với 1 giá trị t ≥ 2 thì sẽ tồn tại bao nhiêu giá trị x tương ứng. Chính sự suy xét sau đây sẽ giúp học sinh có cái nhìn sâu sắc, đầy đủ hơn về bài toán: +) Với t = 2 thì sẽ tồn tại 1 giá trị x tương ứng là x = 1. +) Với t > 2 thì sẽ tồn tại 2 giá trị x tương ứng là: x = 1±√t2 − 4 +) Với t < 2 thì không tồn tại giá trị x tương ứng. Một khi học sinh đã có sự xét này thì việc tiến hành suy luận để giải quyết các yêu cầu trên là không mấy khó khăn: a) Phương trình có đúng một nghiệm khi và chỉ khi (2.6) có nghiệm t1, t2 thỏa mãn: t1 ≤ t2 = 2. b) Phương trình (2.5) có 2 nghiệm⇔ (2.6) có 2 nghiệm t1, t2 thỏa mãn: 60 Rèn luyện kĩ năng đặt ẩn phụ và khả năng chuyển đổi cách phát biểu bài toán... t1 < 2 < t2 hoặc 2 < t1 = t2 c) Phương trình (2.5) có 3 nghiệm⇔ (2.6) có 2 nghiệm t1, t2 thoả mãn: t1 = 2 < t2 d) Phương trình (2.5) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ (2.6) có 2 nghiệm t1, t2 thỏa mãn: 2 < t1 < t2. e) Phương trình (2.5) vô nghiệm ⇔ (2.6) có 2 nghiệm t1, t2 thỏa mãn: t1 ⇒ t2 < 2 hoặc phương trình (2.6) vô nghiệm. Với sự suy xét và lập luận trên nếu giáo viên có sự hỗ trợ đúng mực làm sao cho học sinh là chủ thể hoạt động thì chắc chắn học sinh sẽ nắm bắt, hiểu rõ hơn mối tương quan giữa ẩn phụ và ẩn ban đầu. Từ đó hình thành kĩ năng giải các bài toán về phương trình, bất phương trình có chứa tham số bằng phương pháp đặt ẩn số phụ. 2.2.3. Rèn luyện cho học sinh khả năng chuyển đổi ngôn ngữ, cách phát biểu bài toán Ngôn ngữ toán học là ngôn ngữ khoa học đòi hỏi sự ngắn gọn, chính xác và dễ hiểu. Học sinh vẫn thường yếu kém trong việc diễn đạt ngôn ngữ toán học, nên việc rèn luyện cho học sinh khả năng chuyển đổi ngôn ngữ, cách phát biểu bài toán là hết sức quan trọng. Khi tiến hành chuyển đổi ngôn ngữ bài toán thì yêu cầu lập luận phải có căn cứ đồng thời đảm bảo tính chặt chẽ, chính xác. Giải phương trình, bất phương trình có chứa tham số bằng phương pháp đặt ẩn số phụ thì việc chuyển đổi yêu cầu bài toán sang yêu cầu đối với ẩn phụ là không thể tránh khỏi. Để rèn luyện kĩ năng chuyển đổi ngôn ngữ cho học sinh, giáo viên cần tiến hành phân tích, mổ xẻ vấn đề trước khi đưa ra lập luận chuyển đổi. Ví dụ 3: Cho phương trình: (3 + 2 √ 2)tan x + (3− 2 √ 2)tan = m (2.7) Tìmm để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc khoảng (−π 2 ; π 2 ) Để giải phương trình ta dùng phương pháp đặt ẩn số phụ: t = (3 + 2 √ 2)tan x, thì: t > 0 Do: (3 + 2 √ 2)tan x.(3− 2√2)tan x = 1. Nên (3− 2√2)tan x = 1 t Phương trình trở thành: t+ 1 t = m⇔ t2 −mt+ 1 = 0 (2.8) Yêu cầu bài toán đối với phương trình (2.7) là có đúng 2 nghiệm thuộc khoảng (−π 2 ; π 2 ). Giáo viên cần có câu hỏi dẫn dắt nhằm để học sinh tự phát biểu chuyển đổi yêu cầu bài toán. Để phương trình (2.7) có đúng 2 nghiệm thuộc khoảng (−π 2 ; π 2 ) thì điều kiện cần trước hết là gì? Phương trình (2.8) chắc chắn phải có nghiệm Phương trình (2.8) có nghiệm t0 thì kết luận được gì về nghiệm của phương trình (2.7)? Nếu phương trình (2.8) có nghiệm t0 thì t0 = (3 + 2 √ 2)tan x +) Sẽ vô nghiệm x nếu t0 ≤ 0. +) Sẽ có đúng 1 nghiệm x nếu t0 > 0. 61 Nguyễn Hữu Hậu Với mỗi nghiệm t0 > 0 của phương trình (2.8) thì sẽ có bao nhiêu nghiệm x tương ứng? t0 = (3 + 2 √ 2)tan x ⇔ tanx = log3+2√2t0 = tanα⇔ x = α+ kπ (k ∈ Z) Vậy sẽ có vô số nghiệm x. Bài toán yêu cầu tìm nghiệm x xác định ở đâu? Nghiệm x thuộc khoảng (−π 2 ; π 2 ). Với khoảng xác định (−π 2 ; π 2 ) thì ứng với một nghiệm t0 > 0 của phương trình (2.8) sẽ có bao nhiêu nghiệm x tương ứng? Với khoảng xác định (−π 2 ; π 2 ) thì với mỗi giá trị tan x sẽ cho 1 nghiệm x nên: t0 = (3 + 2 √ 2)tan x ⇔ tan x = log3+2√2t0 sẽ có sự tương ứng 1− 1 giữa t0 và x. Vậy với mỗi giá trị t0 > 0 sẽ có 1 giá trị x tương ứng thuộc khoảng (−π 2 ; π 2 ). Để phương trình (2.7) có đúng 2 nghiệm thuộc (−π 2 ; π 2 ) thì phương trình (2.8) phải như thế nào? Phương trình (2.8) phải có đúng 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn t > 0. Phát biểu chuyển đổi yêu cầu bài toán? Phương trình (2.7) có đúng 2 nghiệm thuộc khoảng (−π 2 ; π 2 ) khi và chỉ khi phương trình (2.8) có 2 nghiệm phân t1, t2 thỏa mãn: 0 < t1 < t2. Như vậy để phát biểu được yêu cầu chuyển đổi bài toán thì một yêu cầu hết sức quan trọng là: học sinh phải ý thức đầy đủ được mối tương quan giữa ẩn ban đầu và ẩn phụ. Ở Ví dụ 3, ta thấy sự tương tương ứng là 1− 1 nên sự chuyển đổi bài toán là khá dễ dàng, tất nhiên có nhiều bài toán có sự tương ứng phức tạp thì đòi hỏi khả năng lập luận, suy luận lôgic nhiều hơn. Cũng là Ví dụ 3 nếu thay yêu cầu bài toán thành: tìm m để phương trình vô nghiệm, thì cách lập luận của học sinh cần có sự thay đổi. Phương trình (2.7) vô nghiệm trước hết là khi (2.8) không tồn tại t và nếu có tồn tại t thì các nghiệm t đó đều phải âm. Lập luận chuyển đổi yêu cầu bài toán là rất quan trọng nó quyết định đến sự đúng sai của lời giải và nói chung nhiều khi việc chuyển đổi yêu cầu là khá phức tạp bởi nó có nhiều khả năng. Giáo viên cần giáo dục cho học sinh thói quen xem xét kĩ lưỡng, cẩn thận trước khi đưa ra phát biểu chuyển đổi yêu cầu bài toán. 3. Kết luận Trên đây chúng tôi đề cập đến một cách mà giáo viên có thể sử dụng để góp phần rèn luyện cho học sinh kĩ năng đặt ẩn phụ và cách phát biểu của bài toán sang một cách phát biểu khác tương đương, trong đó đặc biệt chú trọng vấn đề làm cho học sinh phát hiện được những sự tương ứng giữa hai đối tượng để phòng tránh sai lầm do đánh tráo luận đề khi giải các bài toán phương trình có chứa tham số. Trong phần trình bày nội dung của các phương thức, bài báo đặc biệt quan tâm các hình thức dẫn dắt học sinh theo hướng tích cực hoá hoạt động của người học, nhằm hiện thực hoá việc thực hiện các phương thức trong những điều kiện thực tế của quá trình dạy học. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Bá Kim, 2009. Phương pháp dạy học môn Toán. Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội [2] Nguyễn Thái Hòe, 2002. Dùng ẩn phụ để giải Toán. Nxb Giáo dục, Hà Nội. [3] G.Polia, 1997. Giải một bài toán như thế nào?. Nxb Giáo dục, Hà Nội. 62 Rèn luyện kĩ năng đặt ẩn phụ và khả năng chuyển đổi cách phát biểu bài toán... [4] Nguyễn Văn Thuận, 2000. Rèn luyện cho học sinh khả năng chuyển đổi bài toán ban đầu thành bài toán tương đương. Tạp chí Nghiên cứu Giáo dục, (343), tr. 20-22. [5] Nguyễn Văn Thuận, 2006. Bồi dưỡng một số thành tố của năng lực tư duy toán học cho học sinh THPT trong dạy học Đại số và Giải tích. Báo cáo tổng kết đề tài Nghiên cứu khoa học và Công nghệ cấp Bộ, Mã số: B 2006 - 27 - 02. [6] Nguyễn Văn Thuận (chủ biên), Nguyễn Hữu Hậu, 2010. Phát hiện và sửa chữa sai lầm cho học sinh trong dạy học Đại số - Giải tích ở trường phổ thông. Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội. ABSTRACT Practising skills to put hidden side and ability to convert the method to state a problem for students when teaching to solve mathematical problems containing parameter In this article, the author presents a number of methods that teachers can use to help students practise skill about putting hidden side and ability to switch the way to speech a problem including analys the typical situation relate to switch a problem to become an equivalent problem and common difficulties and mistakes made by students. In addition, methods are provided to teach students skill about changing equivalent equations that contain parameters and awareness skills and detecting the relationship between two variables. Keywords: Hidden side, parameter, change equivalent. 63