Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh trong dạy học giải toán chủ đề đường tròn (Toán 9) - Nguyễn Dương Hoàng

Taåp chñ Giaáo duåc söë 417 45(kò 1 - 11/2017) 1. Àùåt vêën àïì Theo Tûâ àiïín Tiïëng Viïåt: Tû duy laâ quaá trònh nhêån thûác, phaãn aánh nhûäng thuöåc tñnh baãn chêët, nhûäng möëi quan hïå coá tñnh chêët quy luêåt cuãa sûå vêåt hiïån tûúång [1]. Tû duy laâ giai àoaån cao cuãa nhêån thûác, ài sêu vaâo baãn chêët vaâ phaát hiïån ra quy luêåt cuãa sûå vêåt bùçng nhûäng hònh thûác nhû biïíu tûúång, phaán àoaán, suy lñ,... Tû duy laâ möåt quaá trònh caá nhên thûåc hiïån caác thao taác tû duy àïí giaãi quyïët möåt vêën àïì hay nhiïåm vuå àùåt ra. Àöëi tûúång cuãa thao taác tû duy laâ nhûäng hònh aãnh, biïíu tûúång, kñ hiïåu. Caác thao taác tû duy chuã yïëu bao göìm: phên tñch, töíng húåp, so saánh, tûúng tûå, khaái quaát hoáa, trûâu tûúång hoáa,... Trong daåy hoåc giaãi Toaán, reân luyïån caác thao taác tû duy coá vai troâ quan troång trong viïåc phaát triïín tû duy, laâ cú súã àïí hoåc sinh (HS) nùæm vûäng vaâ vêån duång kiïën thûác àaä hoåc vaâo thûåc tiïîn. Baâi viïët àïì cêåp vêën àïì reân luyïån caác thao taác tû duy cú baãn cho HS trong daåy hoåc giaãi toaán chuã àïì Àûúâng troân (Toaán 9). 2. Nöåi dung nghiïn cûáu  2.1. Reân luyïån thao taác tû duy phên tñch, töíng húåp trong daåy hoåc giaãi toaán chuã àïì “Àûúâng troân” (Toaán 9). Theo G.Polya: “Phên tñch laâ thao taác tû duy nhùçm chia möåt chónh thïí thaânh nhiïìu böå phêån àïí ài sêu vaâo caác chi tiïët trong tûâng böå phêån. Töíng húåp laâ thao taác tû duy bao quaát lïn möåt chónh thïí göìm nhiïìu böå phêån, tòm caác möëi liïn hïå giûäa caác böå phêån cuãa chónh thïí àoá” [2; tr 122]. Nhû vêåy, coá thïí hiïíu phên tñch laâ quaá trònh duâng trñ oác àïí phên chia àöëi tûúång nhêån thûác thaânh caác böå phêån, thaânh phêìn khaác nhau, tûâ àoá chó ra nhûäng thuöåc tñnh, àùåc àiïím cuãa àöëi tûúång nhêån thûác. Chùèng haån, khi phên tñch möåt baâi toaán àûúåc hiïíu laâ taách caác yïëu töë trong baâi toaán àoá, laâm xuêët hiïån yïëu töë cêìn giaãi quyïët. Töíng húåp laâ quaá trònh duâng trñ oác àïí húåp nhêët, sùæp xïëp hay kïët húåp nhûäng böå phêån, thaânh phêìn, thuöåc tñnh,... cuãa àöëi tûúång nhêån thûác thaânh möåt chónh thïí, àïí tûâ àoá nhêån thûác àöëi tûúång möåt caách bao quaát, toaân diïån hún. Trong tû duy, töíng húåp laâ thao taác àûúåc xem laâ mang dêëu êën saáng taåo vaâ gùæn vúái tû duy saáng taåo. Phên tñch vaâ töíng húåp laâ hai thao taác cuãa möåt quaá trònh thöëng nhêët biïån chûáng: sûå phên tñch àûúåc tiïën haânh theo hûúáng töíng húåp, coân töíng húåp àûúåc thûåc hiïån theo kïët quaã cuãa phên tñch. Àêy laâ hai thao taác cú baãn cuãa möåt quaá trònh tû duy. Theo [3], coá thïí phên tñch vaâ biïën àöíi baâi toaán khi tòm caách giaãi baâi toaán. Thöng qua phên tñch vaâ biïën àöíi, ta tòm caách chuyïín baâi toaán àaä cho thaânh baâi toaán múái tûúng àûúng. Ngûúâi hoåc cêìn “khaám phaá” àûúåc möëi liïn hïå têët yïëu, laâm cho giaã thiïët gêìn vúái kïët luêån bùçng caách àõnh hûúáng caác pheáp biïën àöíi, phên tñch giaã thiïët vaâ kïët luêån cuãa baâi toaán. Phên tñch vaâ töíng húåp laâ hai thao taác tû duy khaác nhau nhûng laåi thöëng nhêët vúái nhau. Chuáng laâ nhûäng yïëu töë quan troång, giuáp HS nùæm vûäng vaâ vêån duång kiïën thûác möåt caách saáng taåo. Trong daåy hoåc mön Toaán, thao taác phên tñch thûúâng àûúåc sûã duång àïí tòm hiïíu àïì baâi, nhêån diïån baâi toaán thuöåc daång naâo, phên tñch caách diïîn àaåt caác möëi quan hïå cuãa baâi toaán, phên tñch thuêåt ngûä, cêu hoãi, yïu cêìu, tònh huöëng cuãa baâi toaán,...; sau àoá töíng húåp caác yïëu töë, àiïìu kiïån vûâa phên tñch trong baâi toaán àïí àûa ra àiïìu kiïån múái, kïët luêån múái,... Vñ duå 1: Cho àûúâng troân (O) àûúâng kñnh AB, dêy CD khöng cùæt àûúâng kñnh AB. Goåi H vaâ K theo thûá tûå laâ chên caác àûúâng vuöng goác keã tûâ A vaâ B àïën CD. Chûáng minh rùçng:  CH  =  DK (gúåi  yá:  keã  OM vuöng goác vúái CD) (Toaán 9, têåp 1, tr 104) (xem hònh 1). GV coá thïí reân luyïån cho HS phên tñch vaâ  töíng húåp thöng qua möåt söë hûúáng dêîn sau: REÂN LUYÏÅN CAÁC THAO TAÁC TÛ DUY CHO HOÅC SINH TRONG DAÅY HOÅC GIAÃI TOAÁN CHUÃ ÀÏÌ ÀÛÚÂNG TROÂN (TOAÁN 9) NGUYÏÎN DÛÚNG HOAÂNG* * Trûúâng Àaåi hoåc Àöìng Thaáp Ngaây nhêån baâi: 23/09/2017; ngaây sûãa chûäa: 02/10/2017; ngaây duyïåt àùng: 04/10/2017. Abstract: Thinking is an individual process that performs manipulations to solve a problem or a task. In teaching mathematics, training manipulations of thinking plays an important role in developing thinking competence for students, which is the basis for students to master and apply learned knowledge in practice. The article focuses on training manipulations of thinking for students in solving circle problems - Geometry grade 9 with aim to improve quality of teaching mathematics at secondary school. Keywords: Thinking manipulations, teaching mathematics, problem of circle. Hònh 1 Taåp chñ Giaáo duåc söë 41746 (kò 1 - 11/2017) - Hûúáng dêîn HS giaãi theo hûúáng phên tñch bùçng hïå thöëng cêu hoãi sau: + Cêu hoãi 1: Keã OM vuöng goác CD. Àïí chûáng minh CH = DK, ta cêìn laâm nhû thïë naâo? (nïëu chûáng minh MC = MD vaâ MH = MK, ta seä thu HC = DK). + Cêu hoãi 2: Àïí chûáng minh: MH = MK, MC = MD, ta cêìn chó ra nhûäng àiïìu gò? (àïí chûáng minh MH = MK, ta cêìn chûáng minh M laâ trung àiïím cuãa HK. Do OA = OB, cêìn chó ra OM laâ àûúâng trung bònh cuãa hònh thang ABKH. Khi chûáng minh MC = MD, sûã duång tñnh chêët àûúâng kñnh vuöng goác vúái dêy cung seä chia dêy cung êëy ra hai phêìn bùçng nhau). + Cêu hoãi 3: Haäy chó ra vò sao ABKH laâ hònh thang? (Vò AH vuöng goác vúái CD vaâ BK vuöng goác vúái CD nïn AH// BK, hay ABKH laâ hònh thang). - Hûúáng dêîn HS giaãi theo hûúáng töíng húåp bùçng hïå thöëng cêu hoãi nhû sau: + Cêu hoãi 1: Tûâ giaã thiïët AH vuöng goác vúái CD vaâ BK vuöng goác vúái CD, ta coá thïí suy ra àûúåc àiïìu gò? (vò AH vuöng goác vúái CD vaâ BK vuöng goác vúái CD nïn AH//BK, hay ABKH laâ hònh thang). + Cêu hoãi 2: Veä OM vuöng goác vúái CD, khi àoá ta coá caác àoaån thùèng naâo song song vúái nhau? (AH//BK//OM). + Cêu hoãi 3: Ta coá O laâ trung àiïím cuãa AB vaâ OM//AH/ /BK, khi àoá suy ra àiïìu gò? (suy ra OM laâ àûúâng trung bònh cuãa hònh thang ABKH vaâ M laâ trung àiïím cuãa HK, hay MH = MK). + Cêu hoãi 4: Khi OM vuöng goác CD, suy ra àûúåc àiïìu gò? (suy ra MC = MD) + Cêu hoãi 5: Tûâ MH = MK, MC = MD, ta chûáng minh àûúåc nhûäng àoaån thùèng naâo bùçng nhau? (Chûáng minh àûúåc CH = DK),... Coá thïí biïíu diïîn quaá trònh phên tñch tòm lúâi giaãi baâi toaán theo sú àöì: Sau àoá, sûã duång töíng húåp àïì trònh baây lúâi giaãi. Tuy nhiïn, khöng coá möåt caách reân luyïån naâo phuâ húåp cho moåi àöëi tûúång, thêåm chñ coá nhûäng quaá trònh phên tñch - töíng húåp khi giaãi möåt baâi têåp laâ rêët hiïåu quaã vúái HS naây nhûng laåi khöng hiïåu quaã vúái HS khaác. Vò thïë, viïåc giaáo viïn (GV) tòm hiïíu, phên tñch kô caác baâi têåp trûúác khi hûúáng dêîn cho HS quaá trònh phên tñch, töíng húåp àïí giaãi caác baâi toaán laâ rêët quan troång 2.2. Reân luyïån thao taác so saánh vaâ tûúng tûå. Theo G.Polya “So saánh laâ xaác àõnh sûå giöëng nhau vaâ khaác nhau cuãa caác sûå vêåt vaâ hiïån tûúång. Muöën so saánh hai sûå vêåt (hiïån tûúång), ta phaãi phên tñch caác dêëu hiïåu, caác thuöåc tñnh baãn chêët giûäa chuáng, àöëi chiïëu caác dêëu hiïåu, caác thuöåc tñnh àoá vúái nhau, röìi töíng húåp laåi xem hai sûå vêåt àoá coá gò giöëng vaâ khaác nhau” [2; tr 20]; “Tûúng tûå laâ möåt kiïíu giöëng nhau naâo àoá. Nhûäng àöëi tûúång giöëng nhau phuâ húåp vúái nhau trong möåt quan hïå naâo àoá” [2; tr 22]. So saánh coá hai muåc àñch: phaát hiïån nhûäng àùåc àiïím chung vaâ àùåc àiïím khaác nhau úã möåt söë àöëi tûúång, sûå kiïån. Tûúng tûå  laâ thao taác tû duy dûåa trïn sûå giöëng nhau vïì tñnh chêët vaâ quan hïå cuãa nhûäng àöëi tûúång toaán hoåc khaác nhau. Trong toaán hoåc, ngûúâi ta thûúâng xeát caác vêën àïì tûúng tûå trïn caác khña caånh sau: - Hai pheáp chûáng minh tûúng tûå nïëu caách thûác, phûúng phaáp chûáng minh laâ giöëng nhau; -  Hai  hònh  tûúng  tûå  nïëu  chuáng  coá  nhiïìu  tñnh  chêët giöëng nhau. Vñ duå 2: Trïn hònh 2, tam giaác ABC nöåi tiïëp àûúâng troân (O). a) Chûáng minh rùçng: 2AD = AB+AC- BC. b) Tòm caác hïå thûác tûúng tûå nhû úã cêu a. Hûúáng dêîn: a) Theo tñnh chêët hai tiïëp tuyïën cùæt nhau, ta coá: AD = AF, BD = BE, CE = CF, nïn: AB+ AC -BC = (AD + BD) + (AF + CF) - (BE + CE) = AD + BD + AF + CF -BE -CE = AD + AF = 2AD b) Caác hïå thûác tûúng tûå: 2BE = BA + BC- AC 2CF = CA +CB-AB Khi giaãi baâi têåp naây, HS cêìn nùæm àûúåc caác pheáp so saánh, tûúng tûå, chùèng haån: HS so saánh caác àöëi tûúång cuãa baâi toaán vaâ nhêån ra trong hïå thûác: 2AD = AB + AC - BC, àónh A cuãa tam giaác ABC laâ àiïím chung cuãa hai tiïëp tuyïën cùæt nhau AD vaâ AF. HS coá thïí suy luêån, so saánh xem coá sûå tûúng àöìng naâo trïn caác àöëi tûúång naây vaâ hïå thûác chûáng minh úã cêu a khöng? Kïët quaã: HS sûã duång pheáp tûúng tûå hoáa àïí nhêån ra rùçng, nïëu àûúâng troân (O) nöåi tiïëp trong tam giaác ABC thò: hai lêìn khoaãng caách tûâ möåt àónh àïën tiïëp àiïím bùçng töíng hai caånh coá àónh laâ àiïím àoá trûâ ài caånh coân laåi. Tûâ nhêån xeát naây, HS coá thïí tòm ra àûúåc caác hïå thûác tûúng tûå. MH = MK MC =MD AHCD; BKCD OM//AH; OM//BK OA = OB CH = DK OMCD F E CB A O D Hònh 2 Taåp chñ Giaáo duåc söë 417 47(kò 1 - 11/2017) Àïí HS tòm àûúåc hïå thûác tûúng tûå, GV cêìn hûúáng dêîn caác em thöng qua hïå thöëng cêu hoãi sau: + Cêu hoãi 1: Em coá nhêån xeát gò vïì võ trñ trûúng àöëi cuãa tam giaác ABC vaâ àûúâng troân? (GV mong àúåi HS traã lúâi àûúåc tam giaác ABC ngoaåi tiïëp àûúâng troân, coân àûúâng troân nöåi tiïëp tam giaác ABC). + Cêu hoãi 2: Tûâ hïå thûác 2AD = AB + AC - BC, em haäy nïu àùåc àiïím gò àùåc biïåt trong hïå thûác naây? Khoaãng caách tûâ àónh àïën tiïëp àiïím vaâ caác caånh cuãa tam giaác? (GV mong àúåi HS traã lúâi hai lêìn khoaãng caách tûâ möåt àónh àïën tiïëp àiïím bùçng töíng hai caånh coá àónh laâ àiïím àoá trûâ ài caånh coân laåi). Tûâ àoá, HS seä tòm àûúåc hïå thûác tûúng tûå. 2.3. Reân luyïån thao taác tû duy khaái quaát hoáa, trûâu tûúång hoáa. Theo Nguyïîn Baá Kim: “Khaái quaát hoáa laâ chuyïín tûâ möåt têåp húåp àöëi tûúång sang möåt têåp húåp àöëi tûúång lúán hún chûáa têåp húåp ban àêìu, bùçng caách nïu bêåt möåt söë trong caác àùåc àiïím chung cuãa caác phêìn tûã cuãa têåp húåp xuêët phaát” [3; tr 31]. “Trûâu tûúång hoáa laâ taách nhûäng àùåc àiïím baãn chêët khoãi nhûäng àùåc àiïím khöng baãn chêët” [4; tr 31]. Tuy nhiïn, sûå phên biïåt baãn chêët vúái khöng baãn chêët chó mang yá nghôa tûúng àöëi, phuå thuöåc vaâo muåc àñch haânh àöång. Trûâu tûúång hoáa vaâ khaái quaát hoáa coá möëi liïn hïå chùåt cheä vúái nhau. Nhúâ trûâu tûúång hoáa, ta coá thïí khaái quaát hoáa röång hún vaâ nhêån thûác sûå vêåt sêu hún. Chùèng haån: GV coá thïí reân luyïån khaái quaát hoáa cho HS theo caác bûúác sau: - Bûúác 1: Xaác àõnh vêën àïì cêìn khaái quaát; - Bûúác 2: Xaác àõnh àùåc àiïím cuãa caác àöëi tûúång trong baâi toaán àaä cho; - Bûúác 3: Àûa àöëi tûúång vaâo möåt lúáp àöëi tûúång theo thuöåc tñnh, quan hïå àaä xaác àõnh. Phaát biïíu baâi toaán töíng quaát. Vñ duå 3: Cho ABC,  , ,a b ch h h  lêìn lûúåt laâ àûúâng cao xuêët phaát tûâ caác àónh A, B, C vaâ r laâ baán kñnh àûúâng troân nöåi tiïëp tam giaác. Chûáng minh:  1 1 1 1 a b ch h h r    . Sau àoá phaát biïíu baâi toaán töíng quaát? Hûúáng dêîn: Baâi toaán seä trúã nïn àún giaãn khi sûã ta sûã duång phûúng phaáp diïån tñch àïí giaãi. Sau àoá, chuáng ta thûåc hiïån khaái quaát hoáa baâi toaán vúái caác bûúác àïì xuêët úã trïn: Bûúác 1: Xaác àõnh vêën àïì cêìn giaãi quyïët: Tòm baâi toaán töíng quaát cuãa baâi toaán àaä cho. Bûúác 2: Lûåa choån, xaác àõnh nhûäng thuöåc tñnh, quan hïå cuãa àöëi tûúång gùæn vúái baãn chêët vêën àïì cêìn giaãi quyïët. Dïî nhêån thêëy, r laâ khoaãng caách tûâ têm àûúâng troân nöåi tiïëp tam giaác àïën caác caånh, baâi toaán àaä cho tûúng àûúng vúái viïåc chûáng minh:  1 a b c r r r h h h    . Nhû vêåy, nïëu thay têm O búãi möåt àiïím bêët kò trong tam giaác, khoaãng caách r àûúåc thay thïë búãi caác khoaãng caách tûâ àiïím àaä cho àïën caác caånh tam giaác. Tûâ àoá, ngûúâi hoåc coá thïí dûå àoaán àûúåc baâi toaán töíng quaát. Bûúác 3: Àûa àöëi tûúång vaâo möåt lúáp àöëi tûúång theo thuöåc  tñnh, quan hïå  àaä  xaác àõnh. Phaát  biïíu baâi  toaán töíng quaát. Baâi toaán töíng quaát: Cho ABC,  , ,a b ch h h  lêìn lûúåt laâ àûúâng cao xuêët phaát tûâ caác àónh A, B, C vaâ O laâ möåt àiïím bêët kò trong tam giaác, goåi x, y, z lêìn lûúåt laâ khoaãng caách tûâ O àïën caác caånh BC, CA, AB cuãa ABC. Chûáng minh: 1 a b c x y z h h h    . Àïí giaãi baâi toaán töíng quaát coá thïí dûåa vaâo phûúng phaáp diïån tñch nhû caách giaãi cuãa baâi toaán ban àêìu. Qua baâi têåp naây, HS biïët khaái quaát hoáa tûâ nhûäng trûúâng húåp cuå thïí, sau khi àaä coá kïët quaã khaái quaát, caác em coá thïí tiïëp tuåc khùæc sêu kiïën thûác bùçng caách vêån duång vaâo nhûäng baâi toaán khaác. Töí chûác giaáo duåc quöëc tïë Cenge cuãa Mô cho rùçng: Nïëu daåy cho hoåc troâ nhûäng àiïìu maâ baån biïët thò sûå hiïíu biïët cuãa hoåc troâ chó nùçm trong giúái haån hiïíu biïët cuãa baån. Coân nïëu daåy cho hoåc troâ caách nghô thò sûå hiïíu biïët laâ khöng coá giúái haån [5]. 3. Kïët Luêån Reân luyïån caác thao taác tû duy laâ hoaåt àöång cú baãn trong daåy hoåc Toaán. GV cêìn thûúâng xuyïn reân luyïån caác thao taác naây trong daåy hoåc mön Toaán noái chung, daåy hoåc giaãi toaán úã lúáp 9 noái riïng nhùçm tùng cûúâng kô nùng giaãi toaán cho HS, goáp phêìn nêng cao chêët lûúång daåy hoåc Toaán úã trung hoåc cú súã.  Taâi liïåu tham khaão [1] Hoaâng Phï (1998). Tûâ àiïín Tiïëng Viïåt. NXB Khoa hoåc xaä höåi. [2] G.Polya (1997). Toaán hoåc vaâ nhûäng suy luêån coá lñ. NXB Giaáo duåc. [3] Nguyïîn Baá Kim (2009). Phûúng phaáp daåy hoåc mön Toaán. NXB Àaåi hoåc Sû phaåm. [4] Nguyïîn Thaái Hoâe (1996). Caác phûúng phaáp giaãi toaán. NXB Giaáo duåc. [5] Vuä Quöëc Chung (lûúåc dõch) (2016). Baáo caáo cuãa Töí chûác giaáo duåc quöëc tïë Cenge cuãa Mô taåi quöëc tïë vïì Giaáo duåc Toaán hoåc lêìn thûá 13, töí chûác tûâ 24-31/7/ 2016 taåi Hamburg, Cöång Hoâa Liïn Bang Àûác. [6] Phan Àûác Chñnh - Tön Thên - Vuä Hûäu Bònh - Trêìn Phûúng Dung - Ngö Hûäu Duäng - Lï Vùn Höìng - Nguyïîn Hûäu Thaão (2005). Toaán 9 (têåp 1, 2). NXB Giaáo duåc. [7] Hoaâng Chuáng (2000). Phûúng phaáp daåy hoåc Hònh hoåc úã trûúâng trung hoåc cú súã. NXB Giaáo duåc. [8] Nguyïîn  Caãnh Toaân  (1997). Phûúng phaáp luêån duy vêåt biïån chûáng vúái viïåc daåy, nghiïn cûáu toaán hoåc (têåp 1). NXB Àaåi hoåc Quöëc gia Haâ Nöåi.