Phương trình nghiêm nguyên và kinh nghiệm giải

phương trình nghiêm nguyênvà kinh nghiệm giảiCHUYÊN ĐỀ:NGƯỜI THỰC HIỆN: LÊ ĐÌNH BIÊNI. Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyênXét tính chia hết1Dùng bất đẳng thức2Dùng tính chất của số chính phương3P2 lùi vô hạn – Nguyên tắc cự hạn4 Phương pháp xét tính chia hếtPhát hiện tính chia hết của 1 ẩnĐưa về phương trình ước sốBiểu thị một ẩn theo ẩn còn lại rồi dùng tính chia hếtXét số dư của từng vế.VD1: Giải phương trình nghiệm nguyên 3x + 17y = 159VD2: Tìm nghiệm nguyên của PT a, xy – x – y = 3 b, 2xy – x + y = 3VD3: Tìm nghiệm nguyên của PT xy – x – y = 2VD4: Chứng minh rằng: các PT sau không có nghiệm nguyên: 1, x2 – y2 = 1998 2, x2 + y2 = 1999VD5: Tìm nghiệm nguyên của PT 9x + 2 = y2 + y1Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Phương pháp xét tính chia hết1Phát hiện tính chia hết của 1 ẩn VD6: Giải phương trình nghiệm nguyên 3x + 17y = 159 (1)Gợi ý B1: Lý luận để có: 17y chia hết cho 3 B2: Lý luận để có: y chia hết cho 3  Đặt y = 3k (k є Z) B3: Tìm x; y theo k B4: Thử lại vào (1) đúng  KL Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Phương pháp xét tính chia hết1Đưa về phương trình ước số VD7: Tìm nghiệm nguyên của PT a, xy – x – y = 3 b, 2xy – x + y = 3Gợi ý Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Phương pháp xét tính chia hết1a/ B1: Biến đổi phương trình thành: (x – 1)(y – 1) = 4 B2: Vì x;y là số nguyên:  (x – 1) và (y – 1) є Ư (4) (x – 1)(y – 1) = 1.4 = 4.1 = (-1).(-4) = (-4).(-1) = 2.2 = (-2).(-2) B3: Lập bảng tìm x; y B4: Trả lờib/ B1: Nhân 2 vế của PT với 2. Biến đổi phương trình thành: (2y – 1)(2x + 1) = 5 B2: Vì x;y là số nguyên:  (2y – 1) và (2x – 1) є Ư (5) B3: Lập bảng tìm x; y B4: Trả lờiĐưa về phương trình ước số VD7: Tìm nghiệm nguyên của PT a, xy – x – y = 3 b, 2xy – x + y = 3Kinh nghiệm Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Phương pháp xét tính chia hết1Để viết VT: 2xy – x + y thành một tích.Ta biến đổi thành: x(2y – 1) + 1/2 (2y – 1)Để khử mẫu ta nghĩ đến việc nhân 2 vế với 2Phương pháp biểu thị 1 ẩn theo ẩn còn lại rồi dùng tính chia hết VD8: Giải phương trình nghiệm nguyên: xy – x – y = 2Gợi ýB1: Biến đổi PT về: x(y – 1) – y = 2B2: - Khảng định y≠1 - Biểu thị x theo y: x = B3: Tách phần nguyên: x = 1 + B4: Lý luận để có: (y – 1) є Ư(3)B5: Tìm y  Giá trị tương ứng của xB6: Kết luận Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Phương pháp xét tính chia hết1y + 2y - 13y - 1Xét số dư của từng vế VD9: CMR các PT sau không có nghiệm nguyên a) x2 – y2 = 1998 (*)Gợi ýB1: x2; y2 : 4 dư 0 hoặc 1B2: x2 - y2 : 4 dư 0 hoặc 1 hoặc 3B3: 1998 : 4 dư 2B4:  PT (*) không có nghiệm nguyênMột số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Phương pháp xét tính chia hết1Xét số dư của từng vế VD10: CMR các PT sau không có nghiệm nguyên b) x2 + y2 = 1999 (* *)Gợi ýB1: x2; y2 : 4 dư 0 hoặc 1B2: x2 + y2 : 4 dư 0 hoặc 1 hoặc 2B3: 1998 : 4 dư 3B4:  PT (* *) không có nghiệm nguyênMột số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Phương pháp xét tính chia hết1Xét số dư của từng vếKinh nghiệm- Một số chính phương khi : 4 dư 0 hoặc 1- x2 – y2 khi : 4 dư 0 hoặc 1 hoặc 3- x2 + y2 khi : 4 dư 0 hoặc 1 hoặc 2Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Phương pháp xét tính chia hết1Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Phương pháp xét tính chia hết1VD11: Tìm nghiệm nguyên của PT 9x + 2 = y2 + y Gợi ýB1: Biến đổi vế phải = y(y + 1)B2: Lý luận vế trái : 3 dư 2  y(y + 1) : 3 dư 2  y = 3k + 1 y+1 = 3k + 2B3: Tìm được x = k(k + 1)B4: Thử lại và kết luận: x = k(k + 1) y = 3k + 1Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Phương pháp dùng bất đẳng thức2Phương pháp sắp thứ tự các ẩnPhương pháp xét từng khoảng giá trị của ẩnPhương pháp chỉ ra nghiệm nguyênPhương pháp sử dụng điều kiện để PT bậc hai có nghiệm (∆ ≥ 0)VD12: Giải phương trình nghiệm nguyên x + y + z = xyzVD13: Tìm nghiệm nguyên dương 1/x + 1/y = 1/3VD14: Tìm x є N 2x + 3x = 5xVD15: Tìm nghiệm nguyên của PT x2 – xy + y2 = 2x – y Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Phương pháp dùng bất đẳng thức2Phương pháp sắp thứ tự các ẩn VD12: Tìm nghiệm nguyên dương của PT x + y + z = xyzGợi ýxy123x111y123zloại3loạiB3: Chia cả hai vế của BĐT cho Z  xy ≤ 3  xy = 1; 2; 3B4:B1: Nhận xét: x; y ; z có vai trò bình đẳng trong PTCó thể sắp thứ tự giá trị các ẩn:B2: Giả sử: 1 ≤ x ≤ y ≤ z  xyz = x + y + z ≤ 3zMột số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Phương pháp dùng bất đẳng thức2Phương pháp xét từng khoảng giá trị của ẩn VD13: Tìm nghiệm nguyên dương của PT 1/x + 1/y = 1/3Gợi ýB1: Giả sử x ≥ y  1/y 3B2: Mặt khác do x ≥ y ≥ 1  1/x ≤ 1/y  1/x + 1/y ≤ 1/y + 1/y hay 1/3 ≤ 2/y  y ≤ 6 Cộng hai vế với 1/y  y ≤ 6  y = 4; 5; 6B3: Xét từng trường hợp của y  xB4: Kết luận: (x; y) = (4; 12); (12; 4); (6; 6)Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Phương pháp dùng bất đẳng thức2Phương pháp xét từng khoảng giá trị của ẩnKinh nghiệm Khi các ẩn trong phương trình có vai trò bình đẳng ta thường sắp thứ tự các ẩn, sau đó dùng BĐT để giới hạn khoảng giá trị của số nhỏMột số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Phương pháp dùng bất đẳng thức2Phương pháp chỉ ra nghiệm nguyên VD14: Tìm các số tự nhiên x sao cho 2x + 3x = 5xGợi ýB1: Chia hai vế của PT cho 5x  (2/5)x + (3/5)x = 1B2: Xét với x = 0  .  LoạiB3: Xét với x = 1  .  NhậnB4: Xét với x ≥ 2  (2/5)x y – mB7: Tìm được: y - m = 2 y – m = -6 y + m = 6 y + m = -2B8: Tìm y  xMột số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên P2 Dùng tính chất của số chính phương3Sử dụng điều kiện biệt số ∆ là SCPSử dụng tính chất:TC1: Nếu 2 số nguyên dương NTCN có tích là một SCP Thì mỗi số đều là SCPTC2: Nếu 2 số nguyên liên tiếpcó tích là một SCP Thì một trong hai số nguyên liên tiếp đó bằng 0Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên P2 Dùng tính chất của số chính phương3Sử dụng điều kiện biệt số ∆ là SCP VD21: Tìm nghiệm nguyên của PT x2 + xy + y2 = x2y2 Gợi ý B1: thêm xy vào 2 vế của PT  (x + y)2 = xy(xy + 1)B2: xy và xy + 1 là 2 số nguyên liên tiếp có tích là 1 SCP  xy = 0 xy + 1 = 0B3: Xét từng trường hợp có kq: (x; y) = (0; 0); (1; -1); (-1; 1)Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên P2 lùi vô hạn – Nguyên tắc cực hạn4 VD22: Tìm nghiệm nguyên của PT x3 + 2y3 = 4z3 (*) Gợi ý B1: Lý luận để có x chia hết cho 2. Đặt x = 2x1 (x1 є Z) B2: thay x = 2x1 vào (*)  y chia hết cho 2. Đặt y = 2y1 (y1 є Z) B3: thay y = 2y1 vào (*)  z chia hết cho 2. Đặt z = 2z1 (z1 є Z) II. Một số dạng phương trình nghiệm nguyên1. Phương trình một ẩn2. PT bậc nhất với hai ẩn3. PT bậc hai với hai ẩn4. PT bậc ba với hai ẩn5. PT bậc bốn với hai ẩn6. PT đa thức với ba ẩn7. Phương trình phân thức8. Phương trình mũ9. Phương trình vô tỷ10. Hệ PT với nghiệm nguyênMột số dạng phương trình nghiệm nguyên Phương trình một ẩn1 VD23: Tìm nghiệm nguyên của PT (x – 2)(3x – 2)(5x – 2)(7x – 2) = 945 Gợi ý B1: Nếu x≥ 3  VT ≥ 1.7.13.19 = 1729 (loại)B2: Nếu x ≤ -2  VT ≥ 4.8.12.16 = 6164 (loại)  -2 ≤ x 0  x3 x + 1  y3 > (x + 1)3 Thay vào PT được -1 0. Bình phương 2 vế của PT:  (2x + 3 + m)(2x + 3 – m) = 9  x = 1; y = 3Một số dạng phương trình nghiệm nguyên Phương trình vô tỷ9Một số dạng phương trình nghiệm nguyên Phương trình vô tỷ9Kinh nghiệm- Thường biến đổi để trong PT chỉ chứa một căn thức của một số nguyên- Đưa về phwong trình ước sốMột số dạng phương trình nghiệm nguyên Hệ Phương trình với nghiệm nguyên10 VD41: Tìm nghiệm nguyên của Hệ: 2x + 3y = 8 (1) 5y + 3z = 1 (2) Gợi ý B1: Lý luận để có y chẵn  y = 2k (k є Z) x = 4 – 3kB2: Tìm được 3z + 10k = 1  z = -3k + B3: Đặt = t  (x; y; z) theo t{{ 1 - k31 - k3Một số dạng phương trình nghiệm nguyên Tìm điều kiện để PT có nghiệm nguyên11 VD42: Tìm giá trị của m để PT sau có hai nghiệm nguyên dương x2 + mx + 2 = 0 Gợi ý B1: Gọi x1; x2 là các nghiệm nguyên dương  x1 + x2 = - m (m є Z)B2: ∆ = m2 – 8 là số chính phương Đặt (m2 – 8) = k2 (k є N)B3: Đưa về PT ước: (m - k)(m + k) = 8III. Ứng dụng: Bài toán đưa về giải PT nghiệm nguyên1, Bài toán về số tự nhiên và các chữ số2, Bài toán về tính chia hết và số nguyên tố3, Bài toán thực tếTrân trọng cảm ơn !Người thực hiện: Phạm Ngọc Thuý