Phương trình mặt phẳng trong không gian

Phương trình mặt phẳng trong không gian 83 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN I. VÉCTƠ ĐẶC TRƯNG CỦA MẶT PHẲNG: 1. Hai véctơ ( ) ( )1 2 3 1 2 3, , ; ; ;u a a a v b b b= =

là một cặp véc tơ chỉ phương (VTCP) của mặt phẳng (α) ⇔ , 0u v ≠


; không cùng phương và các giá của chúng song song hoặc nằm trên mặt phẳng (α) 2. Véctơ ( ); ;n a b c=
là véc tơ pháp tuyến (VTPT) của mặt phẳng (α) ⇔ (α) ⊥ giá của n
3. Nhận xét: Mặt phẳng (α) có vô số cặp véctơ chỉ phương và vô số véctơ pháp tuyến đồng thời [ ]// ,n u v


. Nếu ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 , , ; ; u a a a v b b b  =   =

là một cặp VTCP của mp(α) thì VTPT là: [ ] 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 , ; ; a a a a a a n u v b b b b b b   = =    


II. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẲNG 1. Phương trình tham số: Phương trình mp(α) đi qua M0(x0, y0, z0) với cặp VTCP ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 , , ; ; u a a a v b b b  =   =

là: ( ) 0 1 1 1 2 0 2 1 2 2 1 2 0 3 1 3 2 , x x a t b t y y a t b t t t z z a t b t = + +  = + + ∈  = + +  2. Phương trình tổng quát: 2.1. Phương trình chính tắc: 0Ax By Cz D+ + + = với 2 2 2 0A B C+ + > . Nếu D = 0 thì 0Ax By Cz+ + = ⇔ (α) đi qua gốc tọa độ. Nếu A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 thì (α): 0By Cz D+ + = sẽ song song hoặc chứa với trục x’Ox. Nếu A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0 thì (α): 0Ax Cz D+ + = sẽ song song hoặc chứa với trục y’Oy. Nếu A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0 thì (α): 0Ax By D+ + = sẽ song song hoặc chứa với trục z’Oz. Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 84 2.2. Phương trình tổng quát của mp(α) đi qua M0(x0, y0, z0) với cặp VTCP ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 , , ; ; u a a a v b b b  =   =

hay VTPT [ ] 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 , ; ; a a a a a a n u v b b b b b b   = =    


là: ( ) ( ) ( )2 3 3 1 1 20 0 0 2 3 3 1 1 2 0 a a a a a a x x y y z z b b b b b b − + − + − = 2.3. Phương trình tổng quát của mp(α) đi qua 3 điểm ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2 3 3 3, , ; , , ; , ,A x y z B x y z C x y z không thẳng hàng có VTPT là: 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 , , , y y z z z z x x x x y y n AB AC y y z z z z x x x x y y − − − − − −  = =    − − − − − −  


nên phương trình là: ( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 11 1 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 0 y y z z z z x x x x y y x x y y z z y y z z z z x x x x y y − − − − − − − + − + − = − − − − − − Đặc biệt: Phương trình mặt phẳng đi qua ( ) ( ) ( );0;0 , 0; ;0 , 0;0;A a B b C c là: ( )1 0yx z abc a b c+ + = ≠ 3. Phương trình chùm mặt phẳng: Cho 2 mặt phẳng cắt nhau ( ) ( )1 1 1 1 1 2 2 2 2 2: 0 ; : 0a x b y c z d a x b y c z dα + + + = α + + + = với ( ) ( ) ( )1 2∆ = α α∩ . Mặt phẳng (α) chứa (∆) là ( ) ( )1 1 1 1 2 2 2 2 0p a x b y c z d q a x b y c z d+ + + + + + + = với 2 2 0p q+ > III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 MẶT PHẲNG Cho 2 mặt phẳng (α1): 1 1 1 1 0A x B y C z D+ + + = có VTPT ( )1 1 1 1, ,n A B C=
và (α2): 2 2 2 2 0A x B y C z D+ + + = có VTPT ( )2 2 2 2, ,n A B C=
. Nếu 1 2,n n

không cùng phương thì (α1) cắt (α2). Nếu 1 2,n n

cùng phương và (α1), (α2) không có điểm chung thì (α1) // (α2) Nếu 1 2,n n

cùng phương và (α1), (α2) có điểm chung thì (α1) ≡ (α2) Phương trình mặt phẳng trong không gian 85 IV. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Góc giữa 2 mặt phẳng (α1): 1 1 1 1 0A x B y C z D+ + + = và (α2): 2 2 2 2 0A x B y C z D+ + + = là ϕ (0 ≤ ϕ ≤ 90°) thỏa mãn: 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 . cos n n A A B B C C n n A B C A B C + + ϕ = = + + + +



với 1 2,n n

là 2 VTPT của (α1), (α2). V. KHOẢNG CÁCH 1. Khoảng cách từ M0(x0, y0, z0) đến mặt phẳng (α): 0Ax By Cz D+ + + = là: ( ) 0 0 0 2 2 2 , Ax By Cz D d M A B C + + + α = + + 2. Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song: ( ) ( ) ( ); ;d d M Mα β = β ∀ ∈ α ( ) ( ) ( ); ;d d M Mα β = α ∀ ∈ β VI. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA Bài 1. Lập phương trình tổng quát của mp(α) đi qua A(2; 1; −1) và vuông góc với đường thẳng xác định bởi 2 điểm B(−1; 0; −4), C(0; −2; −1).
Mp(α) đi qua A nhận ( )1; 2;3BC = −
làm VTPT nên phương trình mp(α) là: ( ) ( ) ( )1 2 2 1 3 1 0x y z− − − + + = ⇔ 2 3 3 0x y z− + + = Bài 2. Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của mp(α) đi qua ( )2; 1; 4A − , ( )3; 2; 1B − và vuông góc với ( ) : 2 3 0x y zβ + + − = HD: ( )1;3; 5AB = −
, ( )1;1; 2nβ =
. Do mp(α) đi qua A, B và ( ) ( )α ⊥ β nên (α) nhận , bAB n 

làm cặp VTCP. Suy ra VTPT của (α) là: ( )3 5 5 1 1 3; ; 11; 7; 2 1 2 2 1 1 1 n − −  = = − −   
. Mặt khác (α) đi qua ( )2; 1; 4A − nên phương trình mp(α): ( ) ( ) ( )11 2 7 1 2 4 0 11 7 2 21 0x y z x y z− − + − − = ⇔ − − − = . Bài 3. Lập phương trình mp(α) đi qua A(1; 0; 5) và // mp(γ): 2 17 0x y z− + − = . Lập phương trình mp(β) đi qua 3 điểm B(1; −2; 1), C(1; 0; 0), D(0; 1; 0) và tính góc nhọn ϕ tạo bởi 2 mp(α) và (β). HD: mp(α) // (γ): 2 17 0x y z− + − = có ( )2; 1;1n = −
⇒ (α): 2 0x y z c− + + = (α) đi qua A(1; 0; 5) ⇒ 2 1 0 5 0 7c c⋅ − + + = ⇔ = − ⇒ PT (α): 2 7 0x y z− + − = Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 86
mp(β) nhận 2 véc tơ ( ) ( )0; 2; 1 , 1;3; 1BC BD= − = − −

làm cặp VTCP nên có VTPT là: ( )2 1 1 0 0 2; ; 1;1; 2 3 1 1 1 1 3 nβ − −  = =  − − − − 
. Vậy phương trình mp(β): ( )1 2 0 2 1 0x y z x y z+ − + = ⇔ + + − =
( ) 2 22 1 1 1 1 2 3 1cos cos , 606 2 32 1 1 1 1 2n nβ ⋅ − ⋅ + ⋅ piϕ = = = = ⇒ ϕ = = ° + + + +

Bài 4. Viết PT mặt phẳng chứa đường thẳng (∆): 2 0 3 2 3 0 x z x y z − =  − + − = và vuông góc với mặt phẳng (P): 2 5 0x y z− + + = HD: Phương trình chùm mặt phẳng chứa (∆) là: ( ) ( ) ( )2 22 3 2 3 0 , ; 0m x z n x y z m n m n− + − + − = ∈ + > ⇔ ( ) ( )3 2 2 3 0m n x ny n m z n+ − + − − = ⇒ mp(α) chứa (∆) có VTPT ( )3 ; 2 ; 2u m n n n m= + − −
Mặt phẳng (P) có VPPT ( )1; 2;1v = −
nên để (α) ⊥ (P) thì 0u v⋅ =

( ) ( ) ( )1 3 2 2 1 2 0m n n n m⇔ ⋅ + − ⋅ − + ⋅ − = 8 0n m⇔ − = . Cho 1n = suy ra 8m = , khi đó phương trình mp(α) là: 11 2 15 3 0x y z− − − = Bài 5. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa Oz và lập với mặt phẳng (α): 2 5 0x y z+ − = một góc 60°. HD: Mặt phẳng (P) chứa Oz ⇒ (P) có dạng: 0mx ny+ = ( 2 2 0m n+ > ) ⇒ VTPT ( ); ; 0u m n=
. Mặt phẳng (α) có VTPT ( )2;1; 5v = −
suy ra ( ) 2 2 2 2 2. 1. 0. 5 1cos , cos 60 22 1 5 m n u v m n + − = ° ⇔ = + + +

( ) ( )2 2 22 2 10m n m n⇔ + = + ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 24 4 4 10 2 3 8 3 0m mn n m n m mn n⇔ + + = + ⇔ + − = Cho 1n = ⇒ 2 13 8 3 0 3 3m m m m+ − = ⇔ = − ∨ = . Vậy ( ) :3 0P x y− = hoặc ( ) : 3 0P x y+ = Phương trình mặt phẳng trong không gian 87 Bài 6. Viết phương trình tổng quát của mp(α) qua M(0; 0; 1), N(3; 0; 0) và tạo với (Oxy) một góc 60°. HD: (α): 0Ax By Cz D+ + + = qua M, N suy ra: 0;3 0C D A D+ = + = ⇒ 3 ; 3C A D A= = − . Mặt phẳng (Oxy) có VTPT là ( )0;0;1 suy ra 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1cos60 36 10 210 C A A A B A B C A B = ° ⇔ = ⇔ = + + + + 2 226 26A B B A⇔ = ⇔ = ± . Do 2 2 2 0A B C+ + ≠ ⇒ 0A ≠ . Cho 1A = suy ra mp(α): 26 3 3 0x y z− + − = hoặc 26 3 3 0x y z+ + − = Bài 7. Cho A(a; 0; a), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c là 3 số dương thay đổi luôn luôn thỏa mãn 2 2 2 3a b c+ + = . Xác định a, b, c sao cho khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) đạt Max. HD:
(ABC): 1 0yx z a b c+ + − = . Suy ra ( ) 2 2 2 1 1 1 1 ;d O ABC a b c = + + ⇒ 2 2 2 2 1 1 1 1 d a b c = + + ⇒ ( )2 2 22 2 21 1 1 1 1 9 33 3a b ca b c   = + + + + ≥ ⋅ =    2 1 1 3 3 d d⇒ ≤ ⇒ ≤ . Với 1a b c= = = thì 1Max 3 d = Bài 8. Cho chùm mặt phẳng ( ) ( ): 2 1 1 0mP x y z m x y z+ + + + + + + = . Chứng minh rằng: (Pm) luôn đi qua (d) cố định ∀m Tính khoảng cách từ O đến (d). Tìm m để (Pm) ⊥ ( )0 : 2 1 0P x y z+ + + = HD:
Với mọi m, (Pm) luôn đi qua đường thẳng cố định (d): 2 1 0 1 0 x y z x y z + + + =  + + + =
Mặt phẳng 2 1 0x y z+ + + = có VTPT: ( )2;1;1u =
và 1 0x y z+ + + = có VTPT ( )1;1;1v =
suy ra (d) có VTCP là: [ ] ( ); 0; 1;1a u v= = −


. Mặt khác (d) đi qua ( )0;0; 1M − ⇒ ( )( ) [ ] 2 2 1 0 0 1 , 20 1 1 OM ad O d a ⋅ + + = = = + + 



( ) ( ) ( ) ( ): 2 1 1 1 0mP m x m y m z m+ + + + + + + = có VTPT ( )1 2; 1; 1n m m m= + + +
; Trường hợp đặc biệt mặt phẳng ( )0P có VTPT ( )2 2;1;1n =
. Để (Pm) ⊥ (P0) thì ( ) ( ) ( )1 2 30 2 2 1 1 1 1 0 4 6 0 2n n m m m m m − ⋅ = ⇔ + + + + + = ⇔ + = ⇔ =

Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 88 Bài 9. Cho 3 điểm A(0; 1; 2), B(2; 3; 1), C(2; 2; −1). Viết phương trình mặt phẳng (ABC). CMR: O ∈ (ABC) và OABC là một hình chữ nhật. Cho S(9; 0; 0). Tính thể tích chóp S.OABC. Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và đi qua trung điểm OS. HD:
( ) ( )2; 2; 1 , 2;1; 3AB AC= − = −

⇒ VTPT ( ), 5; 4; 2n AB AC = = − −  


Do (ABC) đi qua A(0; 1; 2) nên phương trình mặt phẳng (ABC) là: ( ) ( ) ( )5 0 4 1 2 2 0 5 4 2 0x y z x y z− − + − − − = ⇔ − + =
O(0; 0; 0) và 5.0 4.0 2.0 0− + = nên O ∈ (ABC). Ta có: ( )0;1; 2OA =
, ( )2; 2; 1OC = −
OC AB⇒ =

0.2 1.2 2.1 0OA OC⋅ = + − = 

suy ra OABC là hình chữ nhật.
Gọi H là hình chiều của S lên (OABC) suy ra 1 12 2.3 3OABC ABC SABCV S SH S SH V= ⋅ = ⋅ ⋅ = 12 ,6 AB AC AS  = ⋅ ⋅  


Ta có: ( )9; 1; 2AS = − −
và ( ), 5; 4; 2AB AC  = − −  

⇒ ( ) ( )1 19 5 1 4 2 2 45 153 3V = − − ⋅ − − = − =
Trung điểm của OS là ( )9 ;0;02M ⇒ ( )9 ; 1; 22AM = − −
⇒ Mặt phẳng chứa AB và đi qua M có VTPT là: [ ] ( )1. 5; ; 112n AB AM= = − − −


⇒ Phương trình mặt phẳng: 10 22 45 0x y z+ + − = . Bài 10. Lập phương trình của mặt phẳng ( )α thuộc chùm tạo bởi hai mặt phẳng ( ) ( ): 3 7 36 0; :2 15 0P x y z Q x y z− + + = + − − = nếu biết khoảng cách từ gốc tọa độ O đến α bằng 3. Giải Mặt phẳng ( )α thuộc chùm tạo bởi (P) và (Q) nên có phương trình dạng: ( ) ( ) ( )2 23 7 36 2 15 0 0m x y z n x y z m n− + + + + − − = + > ( ) ( ) ( )2 3 7 36 15 0m n x n m y m n z m n⇔ + + − + − + − = . Ta có Phương trình mặt phẳng trong không gian 89 ( )( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 36 15 , 3 3 2 3 7 m nd O m n n m m n −α = ⇔ = + + − + − 2 2 2 212 5 59 16 6 19 104 85 0m n m mn n n mn m⇔ − = − + ⇔ − + = ( ) ( )19 85 0 19 85n m n m n m n m⇔ − − = ⇔ = ∨ = + Cho n = m = 1 thì nhận được ( )1 : 3 2 6 21 0x y zα − + + = + Cho m = 19, n = 85 ta có ( )2 : 189 28 48 591 0x y zα + + − = . Bài 11. Lập phương trình mặt phẳng ( )α đi qua 2 điểm A(2; –1; 0), B(5; 1; 1) và khoảng cách từ điểm ( )10; 0; 2M đến mặt phẳng ( )α bằng 6 3 . Giải Gọi phương trình mặt phẳng ( )α là: ( )2 2 20 0Ax By Cz D A B C+ + + = + + > Ta có ( ) ( ) ( ) ( )2 0 1 ; 5 0 2A A B D B A B C D∈ α ⇒ − + = ∈ α ⇒ + + + = Mặt khác: ( )( ) 2 2 27 71, 26 3 6 3d M C D A B Cα = ⇔ + = + + ( ) ( ) ( )2 2 2 227 2 49 3C D A B C⇔ + = + + . Từ (1) và (2), ta có ( )3 2 , 2 4C A B D B A= − − = − Thế (4) vào (3), ta được: ( )22 2 227.49 49 3 2A A B A B = + + +  2 2 175 12 17 0 5B AB A B A B A+ − = ⇔ = ∨ = − + Chọn A = B = 1 ⇒ C = –5, D = –1 thì nhận được ( )1 : 5 1 0x y zα + − − = + Chọn A = 5, B = 17 ⇒ C = 19, D = –27 thì ( )2 :5 17 19 27 0x y zα − + − = VII. CÁC BÀI TẬP DÀNH CHO BẠN ĐỌC TỰ GIẢI Bài 1. Viết PT mp(α) chứa gốc tọa độ O và vuông góc với ( ) : 7 0P x y z− + − = , ( ) :3 2 12 5 0Q x y z+ − + = Bài 2. Viết PT mp(α) đi qua M(1; 2;1) và chứa giao tuyến của ( ) ( ): 1 0, : 2 3 0P x y z Q x y z+ + − = − + = Bài 3. Viết phương trình mặt phẳng chứa ( ) 3 0 : 3 2 1 0 x y z x y z − + − =∆  + + − = và vuông góc với mặt phẳng (P): 2 3 0x y z+ + − = Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 90 Bài 4. Cho A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4). Viết PT mp(ABC). Tính khoảng cách từ gốc O đến (ABC). Viết PT mặt phẳng: a. Qua O, A và // BC; Qua C, A và ⊥ (α): 2 3 1 0x y z− + + = . b. Qua O và ⊥ (α), (ABC); Qua I(−1; 2; 3) và chứa giao tuyến của (α), (ABC) Bài 5. Xác định các tham số m, n để mặt phẳng 5 4 0x ny z m+ + + = thuộc chùm mặt phẳng có phương trình: ( ) ( )3 7 3 9 2 5 0x y z x y zα − + − + β − − + = Bài 6. Cho 2 mặt phẳng ( ) : 2 3 1 0x y zα − + + = , ( ) : 5 0x y zβ + − + = và điểm M(1; 0; 5). Tính khoảng cách từ M đến mp(α). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến (d) của (α) và (β) đồng thời vuông góc với mặt phẳng (Q): 3 1 0x y− + = . Bài 7. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(1; 1; 3), B(−1; 3; 2), C(−1; 2; 3). Tính khoảng cách từ gốc O đến (P). Tính diện tích tam giác ABC và thể tích tứ diện OABC. Bài 8. Cho A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 3). Các điểm M, N lần lượt là trung điểm của OA và BC; P, Q là 2 điểm trên OC và AB sao cho 23 OP OC = và 2 đường thẳng MN, PQ cắt nhau. Viết phương trình mp(MNPQ) và tìm tỉ số AQ AB . Bài 9. Cho A(a; 0; 0), B(0; a; 0), C(a; a; 0), D(0; 0; d) với a, d > 0. Gọi A’, B’ là hình chiếu của O lên DA, DB. Viết phương trình mặt phẳng chứa 2 đường OA’, OB’. Chứng minh mặt phẳng đó vuông góc CD. Tính d theo a để số đo góc  45A OB′ ′ = ° . Bài 10. Tìm trên Oy các điểm cách đều 2 mặt phẳng ( ) ( ): 1 0, : 5 0x y z x y zα + − + = β − + − = Bài 11. Tính góc giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q) cùng đi qua điểm I(2; 1; −3) biết (P) chứa Oy và (Q) chứa Oz. Tìm tập hợp các điểm cách đều 2 mặt phẳng (P) và (Q). Bài 12. Cho ∆OAB đều cạnh a nằm trong mặt phẳng (Oxy), đường thẳng AB // Oy. Điểm A nằm trên phần tư thứ nhất trong mp(Oxy). Cho điểm ( )0;0; 3aS . Xác định A, B và trung điểm E của OA. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa SE và song song với Ox. Tính ( ),d O P từ đó suy ra ( );d Ox SE