Phương pháp sử dụng số phức để giải toán Vật lý

Copyright © 12A1 – Nam Ha High School Collected & Written by [ DTTS – Nguyễn Duy Khanh ] PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI TOÁN VẬT LÝ [ I ] – Số phức là gì ? Các tính chất của số phức ? 1. Định nghĩa số phức :
Mỗi biểu thức dạng a + bi , trong đó ,a b∈
và i2 = -1 được gọi là 1 số phức.
Đối với 1 số phức z = a + bi , ta nói a là phần thực, b là phần ảo của z.
Tập hợp số phức ký hiệu là { }2| , , 1a bi a b i= + ∈ = −
2. Biểu diễn hình học của số phức :
Mỗi số phức z = a + bi được biểu diễn bằng một điểm M(a,b) trong hệ tọa độ Oxy. Trong đó :
|z| được gọi là module [môđun] của z , hay độ dài của vectơ OM  và 2 2| | z a b= +
ϕ (rad) được gọi là argument [acgumen] của z và được tạo bởi trục Ox và tia OM. Ta có :
Khi a = 0 : 2 piϕ = khi b > 0 hoặc 2 piϕ = − khi b < 0
Khi a ≠ 0 : tan b a ϕ = 3. Số phức liên hợp :
Số phức z’ = a – bi là số phức liên hợp của số phức z = a + bi [ II ] – Cách sử dụng số phức trên máy tính : 1. Cách nâng cấp máy tính fx-500MS thành fx-570MS :
B1 : Chọn MODE  3  1
B2 : Shift  1  1  rối nhấn M+ tới khi hiện ra thông báo EditOFF ESC  2
B3 : Nhấn nút lên  rồi nhập dãy số 131313…1313 cho tới không nhập được nữa.
B4 : Nhấn = 2 lần  0  1  Nâng cấp hoàn tất ! ^^ 2. Cách sử dụng máy tính để xử lý số phức :
Đầu tiên là chuyển sang chế độ làm việc với số phức : Nhấn MODE  2 (CMPLX)
Nhập 1 số thực :  Dưới dạng số học : nhập như nhập số bình thường , đặc biệt để nhập chữ i ta nhấn nút ENG [ trên số 8 ]. Ví dụ : 123 + 45i  Dưới dạng hình học : nhập module rồi nhấn Shift  (-) bên trên nút RCL rồi nhập tiếp góc ϕ ( chú ý nhập độ hay radian tùy theo chế độ máy đang sử dụng, khuyến khích nên dùng độ để dễ việc tính toán). Ví dụ : 123 45∠
Các phép toán cộng trừ nhân chia vẫn được sử dụng như bình thường.
Kết quả tính sẽ được lưu tạm trong biến Ans của máy.
Chuyển đổi và xem kết quả :  Thông thường máy tính sẽ hiện thị kết quả dưới dạng số học a + bi . Để xem được phần ảo trên máy tính fx-570MS trở về trước bạn nhấn Shift  = và bấm lần nữa để trở lại phần thực [ chú ý : khi hiện thị phần ảo luôn có chữ i ở dưới kết quả ]  Chuyển đổi qua dạng hình học : • Máy fx-570ES và fx-570ES PLUS : nhấn Shift  2  3  = M(a,b) O y x a b |z| φ Copyright © 12A1 – Nam Ha High School Collected & Written by [ DTTS – Nguyễn Duy Khanh ] • Các máy còn lại : nhấn Shift  +  = [ chú ý : sau khi chuyển qua dạng hình học, để xem được góc argument bạn nhấn Shift  = ]
Lưu ý : để giảm thiểu tối đa sai sót do máy hiểu nhầm bạn nên bỏ module và argument vào trong 2 dấu ngoặc. Ví dụ : (123 2) ( 30)∠ − [ III ] Cơ sở lý thuyết từ vật lý sang toán học : ☺ Như ta đã biết bất kỳ 1 dao động điều hòa có phương trình cos( )x A tω ϕ= + hay sin( )x A tω ϕ= + đều được biểu diễn bằng 1 vectơ quay OM  được vẽ tại thời điểm ban đầu. ☺ Vectơ có những đặc điểm sau đây : o Có gốc tại gốc tọa độ của trục Ox o Có độ dài bằng biên độ dao động, OM = A o Hợp với trục Ox một góc bằng pha ban đầu [ chiều dương là ngược chiều kim đồng hồ ]  Vectơ quay có chung những đặc điểm của 1 số phức. ☺ Câu hỏi đặt ra là ta có thể dùng số phức để biểu diễn 1 vectơ quay thông qua đó biểu diễn 1 dao động điều hòa ? o Câu trả lời là ta có thể …. Điều này dẫn đến sự tiện lợi trong tính toán vật lý vì máy tính đã hỗ trợ tính toán với số phức. Ngày nay, phương pháp thi trắc nghiệm  thời gian quý hơn vàng bạc  bạn càng tận dụng mọi phương cách càng nhanh càng tốt  không cần biết bạn làm gì ? làm như thế nào ? chỉ cần quan tâm bạn làm đúng đáp số hay không. [ ^ - ^ ] ☺ Một dao động điều hòa có phương trình cos( )x A tω ϕ= + hay sin( )x A tω ϕ= + có thể biểu diễn ở dạng số phức là A ϕ∠ . Chắc bạn thắc mắc thế ω để làm gì ? Câu trả lời là khi làm việc với số phức thì 100% không dùng đến nó mà chỉ dùng để tính các giá trị vật lý khác. [ IV ] Tổng hợp 2 dao động cùng phương, cùng tần số : ☺ Cho 2 dao động cùng phương cùng tần số có phương trình lần lượt là : 1 1 1cos( )x A tω ϕ= + và 2 2 2cos( )x A tω ϕ= + thì dao động tổng hợp có phương trình là 1 2 cos( )x x x A tω ϕ= + = + ☺ Chú ý : hàm cos hoặc hàm sin đều được nhưng 2 phương trình phải cùng 1 loại hàm. Nếu không cùng hàm ta dùng lượng giác biến đổi về 1 loại hàm rồi giải ] ☺ Áp dụng máy tính ta tính x = x1 + x2 bằng cách sau đây :  Nhập 1 1 2 2A Aϕ ϕ∠ + ∠  =  rồi thực hiện chuyển kết quả sang dạng hình học từ đó có được A và ϕ  Công việc tiếp theo là ghi phương trình tổng hợp ra với kết quả vừa tìm được. ☺ Bài tập minh họa : [ trích trong SGK Vật Lý 12 CB trang 24 ] Cho 2 dao động cùng phương, cùng tần số : 1 3cos(5 )x tpi= (cm) và 2 4cos(5 )3x t pi pi= + (cm). Tìm phương trình của dao động tổng hợp. Đáp số : 6,08A ≈ và 34.7 0,19ϕ pi≈ ° =  Phương trình là : 6,08cos(5 0,19 )x pi pi= + (cm) ☺ Nhận xét : o Ta có thể thấy nếu giải tay thì nhanh cũng mất gần 1’ + 10s đọc đề [ không dư nhiều thời gian cho lắm ] trong khi nếu ta dùng máy tính thì trung bình tổng thời gian sẽ khoảng 30s  tiết kiệm tối đa thời gian vào những câu khó, hóc búa hơn . ☺ Copyright © 12A1 – Nam Ha High School Collected & Written by [ DTTS – Nguyễn Duy Khanh ] [ V ] Giải toán điện xoay chiều RLC : Chuyên đề này sẽ giúp bạn giải quyết nhanh các bài toán điện xoay chiều liên quan tới RLC. Một phần mà đa số học sinh đều ngán ngẩm vì một là nó khá phức tạp [ nào là lệch pha, I, U, Z, R, L, C, v.v… ] và giải tay thì ☺ phải nói là khá dài  mất thời gian  hơn cả mất tiền bạc ☺. Sau khi đọc chuyển đề này bạn sẽ giải bài toán RLC theo 1 phong cách RLC [ Rất Là Cool ! ^^ ]. 1. Cơ sở lý thuyết : Phương pháp này đã được chứng minh bằng tích phân hẳn hoi nhưng khá phức tạp nên chúng ta cũng không cần tìm hiểu sâu làm gì , kẻo lại “tẩu hỏa nhập ma” thì tèn tén ten ☺ 2. Quy ước trong tính toán :
Biểu thức cường độ dòng điện và điện áp là 1 dao động điều hòa  chuyển sang số phức được ^^ Cụ thể là biểu thức điện áp 2 cos( )u U tω ϕ= + được biểu diễn là 2U ϕ∠ và cũng tương tự đối với cường độ dòng điện :D [ chú ý : hàm cos hay sin đều được nhưng khi tính toán thì chỉ dùng 1 loại hàm thôi ]. Nếu 0ϕ = ta nhập như 1 số thực [chỉ nhập module].
Điện trở thuần được chuyển sang là một số chỉ có phần thực, nôm na là như số thực. Ví dụ : 50R = Ω được biểu diễn là 50
Cảm kháng được chuyển sang là một số chỉ có phần ảo dương, tức là bi . Ví dụ : 50LZ = Ω được biểu diễn là 50i
Dung kháng được chuyển sang là một số chỉ có phần ảo âm, tức là -bi . Ví dụ : 50CZ = Ω được biểu diễn là -50i
 Dung kháng và cảm kháng được biểu diễn là 2 số phức liên hợp của nhau. 3. Tìm biểu thức cường độ dòng điện : Dạng này đề cho ta biểu thức điện áp cos( )o uu U tω ϕ= + và R, L, C => ZL , ZC
B1 : Tính R, ZL, ZC nếu chưa có.
B2 : Tính o u L C U R Z i Z i ϕ∠ + −
B3 : Chuyển kết quả về dạng hình học  có được Io và iϕ  Viết biểu thức cường độ. Ví dụ : Một mạch điện xoay chiều RLC nối tiếp gồm 40R = Ω , 1 6 C pi = (mF), 1 5 L pi = (H). Biểu thức của điện áp hai đầu đoạn mạch : 120.cos(100 )u tpi= (V). Biểu thức cường độ dòng điện qua mạch là : A. 1,5cos 100 ( ) 4 i t Apipi = +    B. 1,5 2 cos 100 ( ) 4 i t Apipi = +    C. 3cos 100 ( ) 4 i t Apipi = +    D. 3cos 100 ( ) 4 i t Apipi = −    Giải 3 1 6 60 10 .100C Z C pi ω pi− = = = Ω và 100 20 5L Z L piω pi = = = Ω 120 1,5 2 45 40 20 60 o u L C U R Z i Z i i i ϕ∠ = = ∠ ° + − + −  Đáp án : B Copyright © 12A1 – Nam Ha High School Collected & Written by [ DTTS – Nguyễn Duy Khanh ] 4. Tìm biểu thức điện áp : Dạng này đề cho ta biểu thức điện áp cos( )o ii I tω ϕ= + và R, L, C => ZL , ZC
B1 : Tính R, ZL, ZC nếu chưa có.
B2 : Tính ( ).( )o i L CI R Z i Z iϕ∠ + −
B3 : Chuyển kết quả về dạng hình học  có được Uo và uϕ  Viết biểu thức điện áp. Ví dụ : Cho mạch điện không phân nhánh : 40R= Ω, cuộn dây có 10r = Ω và có 1,5L pi = (H), tụ điện có 15,9C Fµ= . Cường độ dòng điện qua mạch là 4.cos(100 ) 3 i t pipi= − (A) thì hiệu điện thế hai đầu mạch điện là : A. 7200 2 cos 100 ( ) 12 u t Vpipi = −    B. 200 2 cos 100 ( ) 12 u t Vpipi = −    C. 200 2 cos 100 ( ) 4 u t Vpipi = +    D. 200cos 100 ( ) 12 u t Vpipi = −    Giải ' 40 10 50R R r= + = + = Ω 6 1 1 200 15,9.10 .100C Z Cω pi− = = ≈ Ω 1,5.100 150LZ L pi ω pi = = = Ω ( ).( ) (4 60)(50 150 200 ) 200 2 105o i L CI R Z i Z i i iϕ∠ + − = ∠ − + − = ∠ − °  Đáp án : A 5. Tìm điện áp tổng hoặc điện áp thành phần : Dạng này cho (n-1) trong n điện áp, tìm cái còn lại. Ta có u = u1 + u2 + …. + un nên cứ sử dụng phép cộng, trừ số phức bình thường để ra cái cần tìm  chuyển sang dạng hình học  Viết lại phương trình. [ Thực ra đây là dạng tổng hợp 2 dao động cùng phương cùng tần số mà ta đã đề cập ở chương IV ] Ví dụ : Cho A, M, B là 3 điểm liên tiếp trên một đoạn mạch không phân nhánh, biết biểu thức hiệu điện thế các đoạn mạch AM, MB lần lượt : 40cos ( ) 6AM u t Vpiω = +    và 50cos ( ) 2MB u t Vpiω = +    . Hiệu điện thế giữa hai giá trị A, B có giá trị: A. 60,23 (V) B. 78,1 (V) C. 72,5 (V) D. 90 (V) Giải 40 30 50 90 78,1 63,7∠ + ∠ = ∠ °  Đáp án : B 6. Tính tổng trở của mạch điện – tìm thành phần của đoạn mạch : Dạng này cho ta biểu thức cos( )o uu U tω ϕ= + và cos( )o ii I tω ϕ= + của đoạn mạch, tìm tổng trở Z. Copyright © 12A1 – Nam Ha High School Collected & Written by [ DTTS – Nguyễn Duy Khanh ]
B1 : Tính o u o i U I ϕ ϕ ∠ ∠
B2 : Không cần đổi sang dạng hình học ta phân tích kết quả có được :  Phần thực sẽ là tổng điện trở thuần của mạch.  Phần ảo sẽ là tổng đại số của cảm kháng và dung kháng :  Nếu phần ảo là số âm thì dung kháng lớn hơn cảm kháng  Nếu phần ảo là số dương thì cảm kháng lớn hơn dung kháng Ví dụ : Mạch điện AB gồm R, L, C mắc nối tiếp. Cho 50CZ = Ω . Nếu 120cos100 ( )ABu t Vpi= thì 2 2 cos(100 )( )4i t A pi pi= + . Giá trị R và ZL lần lượt là : A. 42,42Ω ; 92,42 Ω B. 42,42 Ω ; 7,58 Ω C. 30 Ω ; 80 Ω D.30 Ω ; 20 Ω Giải Tổng trở là 120 30 30 2 2 45 i= − ∠  R = 30 Ω và (ZL + ZC)i = -30i  ZL = -30 + 50 = 20  ZL = 20 Ω  Đáp án : D [ VI ] Phụ lục : 1. Quy đổi radian về độ và ngược lại :
Từ radian  độ : lấy radian [ bỏ pi ra ] nhân 180 ta được số độ.
Từ độ  radian : lấy độ chia 180 rồi đổi về phân số [ Nhấn SD hay b/c tùy theo loại máy ], viết thêm pi vào. 2. Quy đổi 1 số thực thập phân về căn : Nhiều bạn khi tính toán với máy tính và bắt gặp những kết quả không mấy là đẹp [ số lẻ thập phân ] như 2,8257427… thì bị đứng tại đó và quay trở lại với cách tính tay ☺ để có căn này căn nọ nhìn mới đẹp ☺. Thủ thuật này sẽ giúp bạn đoán và chuyển nhưng số vô duyên ấy thành có duyên ☺ Đầu tiên là bạn nhưng ghi nhớ một vài kết quả căn dưới dạng số thập phân [ không nhiều lắm đâu, chúng thường là căn của những số nguyên tố ] : 2 1,414... 3 1,732... 5 2,236... 7 2,645... = = = = 2 0,707... 2 3 0,866... 2 6 2,449... = = = Đây là ví dụ minh họa : Khi bạn tính ra 1 giá trị 268,328… bạn nhấn AC và nhập 268,328 chia cho 1 cái căn nào bất kì ở trên :D Ví dụ như căn 2. Nếu ra 1 số có phần thập phân là ,99 … hoặc ,49… thì làm tròn số đó và viết thêm căn đó ra ta sẽ được số cần tìm [ để chắc ăn bạn nhớ thử lại bằng máy tính ]. Nếu không ta cứ làm liên tiếp cho hết cái bảng :D [ Nếu thử hết mà không có thì coi như potay.dtts ☺ ] Hoặc nếu bạn có khả năng tính nhẩm thì càng tốt ☺ Ví dụ bắt gặp 1 số 141,4… bạn nghĩ ngay đến 100 2  70,7… = 50 2  35,3… = 25 2 hoặc 173,2… = 100 3  86,6… = 50 3  43,3 = 25 3 ..v ..v.. Copyright © 12A1 – Nam Ha High School Collected & Written by [ DTTS – Nguyễn Duy Khanh ] [ VII ] Bài tập củng cố : 1. Mạch điện RLC gồm : 2. Mạch điện RLC gồm : 3. Mạch RLC gồm : 4. Mạch RLC gồm : Copyright © 12A1 – Nam Ha High School Collected & Written by [ DTTS – Nguyễn Duy Khanh ] 5. Mạch như hình vẽ : 6. Mạch như hình vẽ : 7. Gợi ý :  Câu 1 : làm như phần 4 của chương V  Câu 2 : làm như phần 3 của chương V ta có được biểu thức của i  có I  P = R.I 2 và lấy kết quả i [ dưới dạng số ảo, sử dụng biến Ans ] nhân cho -Zc i [ dưới dạng số phức ]  biểu thức u của tụ điện.  Câu 3 : nếu không cho pha ban đẩu của u hoặc i ta xem pha ban đầu = 0  100 2 cos100ABu tpi=  tính biểu thức i toàn mạch  nhớ vào 1 biến A  có i toàn mạch ta tìm được uAN và uMB  độ lệch pha giữa chúng ^^  Câu 4 : từ uBD tìm biểu thức i toàn mạch  tìm lại u toàn mạch ^^  Câu 5 : RĐ = 1002 / 100 = 100  tương tự câu 4  Câu 6 : từ đề ta có 100 2 cos 100 2AM u t pi pi   = +     MB AB AMu u u= − 1 2 3 4 5 6 B C C C C B o|[-] _ [-]|o THE END o|[-] _ [-]|o [^o^] Chúc Bạn Ngon Miệng [^o^]