Phương pháp số ứng dụng - Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn - Nguyễn Thống

1PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP. HCM Khoa Kỹ Thuật Xây Dựng - BM KTTNN Giảng viên: PGS. TS. NGUYỄN THỐNG E-mail: nguyenthong@hcmut.edu.vn or nthong56@yahoo.fr Web: Tél. (08) 38 640 979 - 098 99 66 719 PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 2 NỘI DUNG MƠN HỌC CHƯƠNG 1: Cơ sở pp Sai phân hữu hạn CHƯƠNG 2: Bài tốn khuếch tán CHƯƠNG 3: Bài tốn đối lưu - khuếch tán CHƯƠNG 4: Bài tốn thấm. CHƯƠNG 5: Dịng khơng ổn định trong kênh hở. CHƯƠNG 6: Đàn hồi tĩm tắt & pp. Phần tử hũu hạn. CHƯƠNG 7: Phần tử lị xo & thanh dàn. CHƯƠNG 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn CHƯƠNG 9: Giới thiệu sơ lược về phần tử phẳng (biến dạng phẳng, ứng suất phẳng, tấm vỏ chịu uốn) PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 3 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Phương pháp số trong cơ học kết cấu. PGS. PTS. Nguyễn Mạnh Yên. NXB KHKT 1999 2. Water Resources systems analysis. Mohamad Karamouz and all. 2003 3. Phương pháp PTHH. Hồ Anh Tuấn-Trần Bình. NXB KHKT 1978 4. Phương pháp PTHH thực hành trong cơ học. Nguyễn Văn Phái-Vũ văn Khiêm. NXB GD 2001. 5. Phương pháp PTHH. Chu Quốc Thắng. NXB KHKT 1997 6. The Finite Element Method in Engineering. S. S. RAO 1989. 7. Bài giảng PP SỐ ỨNG DỤNG. TS. Lê đình Hồng. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 4 LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ DẦM PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 5 Xét dầm đơn chịu tải phân bố q(x): x q(x) x y d  Trục trung hịa, dx Đoạn dầm chiều dài vi phân dx chịu uốn y PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 6  khoảng cách từ trục trung hồ đến tâm O của cung cong vi phân. Chiều dài cung cong vi phân ds tại vị trí y bất kỳ: ds = ( - y)d Biến dạng dài dọc trục tương đối do uốn:          y d ddy dx dxds x 2PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 7 Quan hệ giữa chuyển vị dv(x) và gĩc xoay : dx  Chuyển vị dv Trục trung hịa sau khi chuyển vị Trục trung hịa trước khi chuyển vị )x( dx )x(dv  PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 8 Quan hệ giữa bán kính cong  và chuyển vị v: Ta cĩ dl = dx / cos(d/2) = d d x d dx dl dv A B C  d/2 (gĩc BAC) PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 9 Kết quả trước: Ngồi ra:                        18/dx/dv12/2/d1 2/2/d1 1 )2/dcos( 1 dx d 212 2 2 2 dx )x(vd dx )x(d )x( dx )x(dv    PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 10 Tĩm lại: Từ đĩ:   1 dx )x(vd 2 2 2 2 x dx )x(vd y y    PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 11 Định luật Hooke 1D cho phép viết: Phương trình trên cho thấy ứng suất pháp biến đổi tuyến tính theo khoảng cách tính từ trục trung hịa (y). 2 2 xx dx )x(vd EyE  PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 12 Từ đĩ xác định moment uốn M(x) tại một mặt cắt bất kỳ xác định như sau: Với IZ chỉ momen quán tính của tiết diện ( hình chữ nhật  IZ=bh 3/12). 2 2 Z A 2 2 2 A x dx )x(vd EI dAy dx )x(vd EdAy)x(M    3PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 13  Đây là phương trình cơ bản trong sức bền vật liệu. Kết hợp với định luật Hooke ở trước, ta cũng cĩ thể viết: Z x I y.M  )x(M dx )x(vd EI 2 2 Z  PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 14 PHẦN TỬ CHỊU UỐN (Chịu lực cắt & Momen ở 2 đầu mút) PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 15 Các giả thiết:  Phần tử cĩ chiều dài L giới hạn bởi 2 nút ở hai đầu mút.  Phần tử nối với nhau tại các nút.  Xét trường hợp tải chỉ tác dụng lên tại nút PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 16 Biến quan tâm trong pp. PTHH:  độ võng dầm, v(x)  gĩc xoay của dầm,  ! Chú ý đến tính tương thích tại các nút.  v1 v2 F1 M1 F2 M2 PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 17 Quy ước về dấu của chuyển vị và gĩc xoay:  > 0 khi xét với 1 điểm trong dầm nĩ quay theo ngược chiều kim đồng hồ & ngược lại. x y v2v1 1 21 2L x PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 18 Hàm chuyển vị: Chuyển vị tại vị trí x bất kỳ trong thanh xác định bởi: Với 4 tham số cần xác định ai ai xác định từ các điều kiện biên: 3 3 2 210 xaxaxaa)x(v  3 3 2 2102 01 LaLaLaav)Lx(v av)0x(v    4PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 19 Các điều kiện biên (tt): 2 3212 Lx 11 0x La3La2a dx dv a dx dv      PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 20 4 pt cho phép xác định 4 ẩn số ai : 22 32 23 3 2 2 12 32 13 3 2 2 L x L x v L x2 L x3 L x L x2 xv L x2 L x3 1)x(v                           2423 1211 )x(Nv)x(N )x(Nv)x(N)x(v   PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 21                           2 32 43 3 2 2 3 2 32 23 3 2 2 1 L x L x N; L x2 L x3 N L x L x2 xN; L x2 L x3 1N                       N v v NNNN)x(v 2 2 1 1 4321 NI  HÀM HERMITE TRỰC GIAO NHAU) PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 22 Ni  Gọi là hàm hình dạng Từ kết quả trước ta đã cĩ: 2 2 xx dx )x(vd EyE      2 2 xx dx Nd EyE PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 23 Về momen  Thay đổi tuyến tính theo chiều dài dầm với giả thiết chỉ cĩ ngoại lực ở đầu nút: F1 F2 M1 M2 -M1 (F1L - M1) (F1L - M1+M2)Mz PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 24 Bài tập 1: 1. Hãy kiểm nghiệm tính chất của các hàm Ni: N1(0) = N3(L) = 1; 2. Biểu diễn định tính (lưu ý các giá trị đạo hàm ở biên) các hàm Ni lên đồ thị. 1 dx )L(dN dx )0(dN 42  5PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 25 THIẾT LẬP MA TRẬN ĐỘ CỨNG PHẦN TỬ CHỊU UỐN PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 26 Từ kết quả Chương 6, ma trận độ cứng phần tử ke được xác định như sau: Trong đĩ [B] được định nghĩa (xem B ở sau):       dV.BDBk T V e i    )e(x uB Biến dạng Chuyển vị PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 27 [D]  ma trận biểu diễn định luật Hooke. Bài tốn 1D  [D] = E (module đàn hồi Young)  Xem xác định ma trận [B] ở sau  PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 28 Ta cĩ: . Dr. Nguyễn Thống                                                  B v v L2x6LL6x12L4x6LL6x12 L y dx xNd v dx xNd dx xNd v dx xNd y dx Nd y dx vd y 2 2 1 1 3 22 4 2 22 3 2 12 2 2 12 1 2 2 2 2 2 x PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 29 Thay vào và tích phân ta cĩ:             dxdABDB dV.BDBk L 0 A T T V e i            Thể tích Tiết diện Chiều dài PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 30                            L 0 2 4 L 0 34 L 0 24 L 0 14 L 0 43 L 0 2 3 L 0 23 L 0 13 L 0 42 L 0 32 L 0 2 2 L 0 12 L 0 41 L 0 31 L 0 21 L 0 2 1 e dxNdxNNdxNNdxNN dxNNdxNdxNNdxNN dxNNdxNNdxNdxNN dxNNdxNNdxNNdxN EI k 6PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 31 Ma trận độ cứng phần tử thanh chịu lực (momen) ở 2 đầu (ma trận đối xứng, symétric):                   2 22 3e L4symsymsym L612symsym L2L6L4sym L612L612 L EI k PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 32 Trong đĩ:  A 2dAyI Momen quán tính của tiết diện đối với trục PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 33 Tĩm lại, phương trình cân bằng lực của phần tử trong hệ tọa độ địa phương của thanh dầm là:     )e()e(e fk                     2 2 1 1 )e( v v Vectơ chuyển vị nút                  2 2 1 1 )e( M F M F f Vectơ lực nút  PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 34 F1 F2 M1 M2 Loại phần tử dầm chỉ chịu lực ở 2 đầu nút PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 35 Ví dụ: Cho dầm chịu tải trọng như sau: P L/2 L/2  1 2 3 v1 v2 v3 3 2 1 (1) (2) PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 36 Ma trận độ cứng phần tử:                      2 22 3 )2( e )1( e Lsymsymsym L312symsym 2/LL3Lsym L312L312 L EI kk 7PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 37 Các điều kiện biên: 0vv 131  Chuyển vị trong hệ tọa độ chung C/vị nút pt. (1) trong địa phương C/vị nút pt. (2) trong địa phương 1 (v1) 1 2 (1) 2 3 (v2) 3 1 4 (2) 4 2 5 (v3) 3 6 (3) 4 PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 38 Hệ phương trình tổng thể:                                                                      3 3 2 1 1 3 3 2 2 1 1 2 22 22 3 M F M P M F v v v L8..... L2496.... L4L24L16... L24960192.. 00LL24L8. 00L2496L2496 L EI PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 39 Đưa các điều kiện biên vào:                                  0 0 Pv L8L4L24 L4L160 L240192 L EI 3 2 2 22 22 3 EI32 PL ; EI128 PL ; EI768 PL7 v 2 3 2 2 3 2   PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 40 Thay vào trên xác định phản lực nút:       16 P5 L24L24v96 L EI F 16 PL3 L4Lv24 L EI M 16 P11 L24v96 L EI F 32233 2 2 231 2231    PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 41 Lực nút thanh (1) xác định bởi:                                                                              32 PL5 16 P11 16 PL3 16 P11 EI128 PL EI768 PL7 0 0 * L... L312.. 2/LL3L. L312L312 L EI8 k M F M F 2 3 2 22 3 )1()1( e )1( 2 )1( 2 )1( 1 )1( 1 PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 42 Lực nút thanh (2) xác định bởi:                                                                           0 16 P5 32 PL5 16 P5 EI128 PL 0 EI128 PL EI768 PL7 * L... L312.. 2/LL3L. L312L312 L EI8 k M F M F 2 2 3 2 22 3 )2()2( e )2( 2 )2( 2 )2( 1 )2( 1 8PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 43 CHÚ Ý PFF )2(1 )1( 2  PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 44 BÀI TẬP DẦM CHỊU LỰC 2 ĐẦU PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 45 Bài tập 2: Xác định: 1. Ma trận độ cứng phần tử 2. Ma trận độ cứng tồn kết cấu 3. Chuyển vị nút. P=5kN 6m 2m E=2.105MPa, I=4.10-6m4 1 2 3 PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 46 Bài tập 2bis: Xác định: 1. Ma trận độ cứng phần tử 2. Ma trận độ cứng tồn kết cấu 3. Chuyển vị nút  các phản lực tại 1,3,5. P 1 3 4 M 2 5 L L L L PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 47 Bài tập 3: Xác định chuyển vị nút cho các kết cấu sau: 5kN 3m E=200GPa, I=4.10-6m4 5kN 2m 1m E=200GPa, I=4.10-6m4 2m 1m 5kN E=200GPa, I=4.10-6m4 5kN 1m 1m E=200GPa, I=4.10-6m4 (a) (b) (c) (d) PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 48 Bài tập 4: Xác định chuyển vị nút cho các kết cấu sau: h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn 5kN 1m E=200GPa, I=4.10-6m4 5kN-m 1m 1m E=200GPa, I=4.10-6m4 1m 1m 5kN E=200GPa, I=4.10-6m4 5kN-m 1m 1m E=200GPa, I=4.10-6m4 1m 5kN (a) (b) (c) (d) 9PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 49 DẦM CHỊU TẢI PHÂN BỐ h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 50 Xét sơ đồ dầm chịu lực sau: Cơng của ngoại lực phân bố: h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn X Y q(x) x  L 0 dx).x(v).x(qW Chuyển vị PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 51 Cơng của lực nút tương đương: h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn 2q22q21q11q1 L 0 MvFMvFdx).x(v).x(qW   Lực nút tương đương tại nút 1 Chuyển vị tịnh tiến tại nút 2 Chuyển vị xoay tại nút 2 Momen tương đương tại nút 1 PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 52 h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn                           2 32 43 3 2 2 3 2 32 23 3 2 2 1 L x L x N; L x2 L x3 N L x L x2 xN; L x2 L x3 1N                       N v v NNNN)x(vwith 2 2 1 1 4321 Sử dụng kết quả: PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 53 Và cân bằng 2 vế ta cĩ: h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn         L 0 4q2 L 0 2q1 L 0 3q2 L 0 1q1 dx)x(N).x(qM dx)x(N).x(qM dx)x(N).x(qF dx)x(N).x(qF PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 54 Xét trường hợp đặc biệt với phân bố đều: h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn qL/2 qL/2 qL2/12qL2/12 q L 1 2  10 PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 55 Ta cĩ: h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn         12/qLdxL/xL/xqM 2/qLdxL/x2L/x3qF 12/qLdxL/xL/x21qM 2/qLdxL/x2L/x31qF 2 L 0 223 q2 L 0 3322 q2 2 L 0 232 q1 L 0 3322 q1         PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 56 XÁC ĐỊNH NỘI LỰC TRONG DẦM h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 57 Về nguyên tắc một khi ta đã quy đổi lực phân bố về lực nút tương đương (Momen & lực cắt)  Ta trở về bài tốn dầm cơ bản như đã đề cập ở phần trước. h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 58 Xét trường hợp tổng quát, phương trình cân bằng tổng thể cĩ dạng:  lực nút tương đương (tải phân bố hoặc tải tập trung tác dụng lên vị trí khơng trùng với nút phần tử) được viết trong hệ tọa độ chung.  ngoại lực tác dụng trực tiếp lên nút h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn       0FUKF   0F  F PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 59 Trong từng phần tử (e) phương trình trên cĩ dạng: h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn         )e()e()e(0)e(r)e( kfff  Vectơ lực nút tương đương do tải TRÊN phần tử tạo ra Vectơ lực nút do các phần cịn lại kết cấu tác dụng lên phần tử (e) xem xét Vectơ lực nút cân bằng tác dụng lên phần tử (e) tạo ra chuyển vị (e) PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 60 Do đĩ, nội lực tại hai nút phần tử xác định bởi: h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn       )e(0)e()e()e(r fkf  11 PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 61 Bài tập: Cho dầm liên tục chịu lực như sau. Xác định chuyển vị nút và phản lực gối tựa. h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn 1 2 3 [1] [2] 4m 4m bxh=0.3x0.4m E=4.109 N/m2 q=4000N/m P=1kN PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 62 h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn rad9600/67 rad38400/67 m640/9v 3 2 2    kN32.12F kNm5.33M kN68.20F 3 1 1    Hướng dẫn PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 63 Bài tập: Cho dầm liên tục chịu lực như sau. Xác định chuyển vị nút và phản lực gối tựa. h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn 1 2 3 [1] [2] 4m 4m bxh=0.3x0.4m E=4.109 N/m2 q=4000N/m PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 64 Bài tập: Cho dầm liên tục chịu lực như sau. Xác định chuyển vị nút và phản lực gối tựa. h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn 1 2 3 [1] [2] 4m 4m bxh=0.3x0.4m E=4.109 N/m2 q=4000N/mM=1000N-m PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 65 Bài tập: Cho dầm liên tục chịu lực như sau. Xác định chuyển vị nút và phản lực gối và ngàm. h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn 1 2 3 [1] [2] 4m 4m bxh=0.3x0.4m E=4.109 N/m2 q=1000N/m M3=1000N-mM2=500N-m PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 66 MA TRẬN ĐỘ CỨNG PHẦN TỬ CHỊU UỐN & LỰC DỌC TRỤC h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn 12 PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 67 Về nguyên tắc đây là phần tử chịu lực cĩ dạng tổ hợp (cộng tác dụng) của hai loại dầm chịu lực mà ta đã giới thiệu:  Thanh dàn (chịu lực dọc trục, lị xo!)  Thanh dầm với Momen và lực cắt ở hai đầu mút (đã quy đổi lực tác dụng trong thanh về lực nút tương đương) h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 68 [Ma trận độ cứng phần tử] = [Ma trận độ cứng cấu kiện chịu lực dọc trục (thanh dàn)] + [Ma trận độ cứng cấu kiện chịu uốn (dầm)] h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 69 Vectơ chuyển vị nút sẽ cĩ 3 thành phần:  u: chuyển vị dọc trục  v: chuyển vị thẳng gĩc trục  : chuyển vị xoay. h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 70 Mơ tả bởi đồ thị: Vec tơ chuyển vị  h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn  u1 v1 1 u2 v2 2Y X                          2 2 2 1 1 1 v u v u PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống                                      L EI4 ..... L EI6 L EI12 .... 00 L AE ... L EI2 L EI6 0 L EI4 .. L EI6 L EI12 0 L EI6 L EI12 . 00 L AE 00 L AE k 23 2 2323 )e( Ma trận độ cứng phần tử chịu uốn nén (kéo): 71 h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn Phần tử dàn (lị xo) Phần tử dầm PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 72 MA TRẬN ĐỘ CỨNG PHẦN TỬ CHỊU UỐN & LỰC DỌC TRỤC TRONG HỆ TỌA ĐỘ CHUNG h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn 13 PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 73 Xét hệ tọa độ địa phương & tọa độ chung sau: h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn  u1v1 1 u1 u2 v2 x 2 y X Y U1 U2 U3 U4 U5 U6 Tọa độ địa phương Tọa độ chung PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 74 Ta cĩ: h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn 62 542 542 31 211 211 U cosUsinUv sinUcosUu U cosUsinUv sinUcosUu       PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 75 Dạng ma trận: C=cos & S=sin h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn   UR U U U U U U 100000 0CS000 0SC000 000100 0000CS 0000SC v u v u 6 5 4 3 2 1 2 2 2 1 1 1                                                                   PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 76 Thay vào pt. cân bằng phần tử trong hệ tọa độ địa phương:      )e()e( fURk  h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn Vectơ lực trong tọa độ địa phương PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 77 Biến đổi ta cĩ:            FfRURkR )e(T)e(T  h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn Vectơ lực trong tọa độ chung                RkRKwith FfRUK )e(T )e(T   PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 78 Ma trận độ cứng phần tử thanh dầm trong hệ tọa độ chung: . Dr. Nguyễn Thống h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn                                                                                                   I4..... S L I6 C L I12 AS.... S L I6 CS L I12 AS L I12 AC... I2S L I6 S L I6 I4.. S L I6 C L I12 ASCS L I12 AS L I6 C L I12 AS. S L I6 CS L I12 AS L I12 ACS L I6 CS L I12 AS L I12 AC x L E K 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 14 PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 79 VÍ DỤ h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 80 Cho khung chịu lực sau: h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn 20in 20in O B 10lb/in X Y U1 U2 U3 U4U5 U6 U7 U8 U9 [1] [2] PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 81 Số liệu: Tiết diện ngang: A=b*h=1.*1=1 inch2  Momen quan tính đối với trục z: I=bh3/12=0.083inch4  Độ cứng dọc trục: AE/L=1.107/20=lb/inch  Độ cứng chịu uốn: EI/L3=107*0.083/203=104.2 lb/inch h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 82 Ma trận độ cứng phần tử trong hệ tọa độ địa phương: h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn                              166720..... 125044.1250.... 0010... 83360125040166720.. 125044.12500125044.1250. 0010.50010.5 kk 5 55 )1()1( PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 83 Ma trận độ cứng trong hệ tọa độ chung: Phần tử [1] xoay +900 Phần tử [2] cĩ hai tọa độ địa phương và chung trùng nhau. [K(2)] =[k(2)] h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 84 Ma trận độ cứng phần tử [1] trong hệ tọa độ chung: h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn       RkRK )e(T)1(  Ma trận xoay 15 PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 85 Ta cĩ: . Dr. Nguyễn Thống h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn                          166720..... 010.5.... 1250404.1250... 83360012504166720.. 010.50010.5. 1250404.12501250404.1250 K 5 55 )1( PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống Toạ độ chung Phần tử [1] Phần tử [2] 1 1 2 2 3 3 4 4 1 5 5 2 6 6 3 7 4 8 5 9 6 86 Quan hệ chuyển vị 2 hệ tọa độ: h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 87 Tổng hợp ta xác định ma trận độ cứng tổng: . Dr. Nguyễn Thống h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn                                     166720....... 125044.1250....... 0010.5...... 83360125040333440..... 125044.12500125044.501250.... 0010.51250404.501250... 000833360012504166720.. 000010.50010.5. 000125040125041250404.1250 K 5 5 55 ĐX PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 88 Biến đổi tương đương lực phân bố trên phần tử [2] về các nút: . Dr. Nguyễn Thống h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn         3.333dxL/xL/xqM 100dxL/x2L/x3qF 3.333dxL/xL/x21qM 100dxL/x2L/x31qF L 0 223 q2 L 0 3322 q2 L 0 232 q1 L 0 3322 q1         PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 89 Hệ p/trình cân bằng: . Dr. Nguyễn Thống h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn                                                                                                                                   3.333M 100R R 3.333 100 0 M R R 3.333 100 0 3.333 100 0 0 0 0 M R R 0 0 0 M R R U U U U U U U U U K 3R 3Y 3X 1R 1Y 1X 3R 3Y 3X 1R 1Y 1X 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Phản lực tại ngàm O PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 90 Đưa các điều kiện biên: U1=U2=U3=U7=U7=U9=0 Ta cĩ: h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn rad10*94.9U inch10*75.1U inch10*48.2U 3.333 100 0 U U U 333440.. 125044.501250. 1250404.501250 4 6 4 5 5 4 6 5 4                                       16 PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 91 Từ đĩ chuyển vị nút phần tử 1: h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn                                                                                                  4 5 4 4 4 5 2 2 2 1 1 1 10.94.9 10.48.2 10.75.1 0 0 0 10.94.9 10.75.1 10.48.2 0 0 0 100000 001000 010000 000100 000001 000010 v u v u PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 92 Cĩ Ui (kể cả điều kiện biên)  Phản lực gối tựa: (Nhân ma trận độ cứng tổng & vectơ Ui)  h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn                                             38.418 65.112 4.12 55.82 35.87 46.12 M R R M R R 3R 3Y 3X 1R 1Y 1X PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 93 Nội lực trong phần tử [1]:  h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn                                                                                 42.165 4.12 35.87 17.83 4.12 35.87 10.9.9 10.48.2 10.75.1 0 0 0 k fk M R R M R R 4 5 4 )1( )1( 0 )1()1( )1( 2 )1( 2y )1( 2x )1( 1 )1( 1y )1( 1x =0 PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 94 Nội lực trong phần tử [2]:  h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn                                                                                                      38.418 65.112 4.12 42.165 35.87 4.12 3.333 100 0 3.333 100 0 0 0 0 10.9.9 10.75.1 10.48.2 k fk M R R M R R 4 4 5 )2( )2( 0 )2()2( )2( 2 )2( 2y )2( 2x )2( 1 )2( 1y )2( 1x PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 95 Bài tập 3(*): Tìm vectơ tải nút tương đương: h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn L q x y PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 96 Bài tập 4: Tìm vectơ tải nút tương đương: h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn a L P x y 17 PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 97 Bài tập 5: Xác định ma trận độ cứng kết cấu, chuyển vị nút, phản lực gối tựa : h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn L w x y A B PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 98 Bài tập: Cho khung chịu lực sau: Xác định: Chuyển vị tại B, phản lực gối tựa. h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn 20in 20in O B 10lb/in X Y U1 U2 U3 U4U5 U6 U7 U8 U9 [1] [2] PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 99 Bài tập: Cho khung chịu lực sau: Xác định:Chuyển vị, phản lực gối tựa. h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn 1 4 M=2kN-m q=5kN/m [2] [1] 2 3 [3] b*h=0.3*0.4m E=8.109N/m2 L=4m L=4m L=4m PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 100 Bài tập: Cho khung chịu lực sau: Xác định chuyển vị, phản lực gối tựa. h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn L=4m 1 2 3 M=2kN-m [1] [2] 450 q=5kN/m b*h=0.3*0.4m2 E=8.109N/m2 PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 101 Bài tập: Cho khung chịu lực sau: Xác định chuyển vị, phản lực gối tựa. h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn L=4m 1 2 3 M=2kN-m [1] [2] 450 q=5kN/m b*h=0.3*0.4m E=8.109N/m2 PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 102 HƯỚNG DẪN h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn 18 PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 103 Bài tập 1: Biểu diễn định tính lên đồ thị. h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn N1 1 x N2 tg()=1 x x N3 x1 tg()=1 N4 PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 104 Bài tập 2: h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn 1 2 3 (1) (2)5kN                   2 22 3e L4symsymsym L612symsym L2L6L4sym L612L612 L EI k                    144symsymsym 3612symsym 7236144sym 36123612 6 10.8.0 k 3 6 )1( e PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 105 h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn 1 2 3 (1) (2)5kN                    16symsymsym 1212symsym 81216sym 12121212 2 10.8.0 k 3 6 )2( e PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 106 Bài tập 2: Ma trận h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn 1 2 3 (1) (2)5kN                              6.1..... 2.12.1.... 8.02.1133.2... 2.12.1067.1244.1.. 00266.0133.0533.0. 00133.0044.0133.0044.0 10K 6 PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 107 Bài tập 2: Ma trận h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn 1 2 3 (1) (2)5kN                                                                        3 3 3 1 1 3 3 2 2 1 1 6 M F 0 10.5 M F v v v 6.1..... 2.12.1.... 8.02.1133.2... 2.12.1067.1244.1.. 00266.0133.0533.0. 00133.0044.0133.0044.0 10 PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 108 Bài tập 2: Với v1=v3=1= 3=0  Dùng kết qủa chuyển vị xác định các phản lực gối tựa. h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn 1 2 3 (1) (2) 5kN rad00352.0;m007037.0v 0 10.5v 133.2067.1 067.1244.1 10 22 3 2 26                     19 PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 109 Bài tập 2bis: h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn L96 P ; 96 P5 v L24 P L96 P L8 M ; 96 P v 44 3 222    PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 110 Bài tập 3: h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn 5kN 3m 5kN 2m 1m 2m 1m 5kN 5kN 1m 1m (a) (b) (c) (d) )rad(EI/5.22 )m(EI/45v 2 2   )rad(10.625.0 )m(10.521.0v )rad(10.3125.0 4 3 4 3 4 2       PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 111 Bài tập 3: h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn L q x y R1 R2 M1 M2                           2 32 43 3 2 2 3 2 32 23 3 2 2 1 L x L x N; L x2 L x3 N L x L x2 xN; L x2 L x3 1N PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 112 Bài tập 3: h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn                                                 L 0 2 2 4 3 2 1 2 2 1 1 12/qL 2/qL 12/qL 2/qL dx)q( N N N N M R M R PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 113 Bài tập 4: h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn                                                                                     P L a L a P L a 2 L a 3 P L a L a 2a P L a 2 L a 31 )P( )a(N )a(N )a(N )a(N M R M R 2 32 3 3 2 2 2 32 3 3 2 2 4 3 2 1 2 2 1 1 PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 114 Bài tập 5: Xác định ma trận độ cứng kết cấu, chuyển vị nút, phản lực gối tựa : h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn L w x y A B                   2 22 3e L4symsymsym L612symsym L2L6L4sym L612L612 L EI k 20 PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 115 Chuyển vị nút: . Dr. Nguyễn Thống h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn                                                                   20/wL 20/wL7 30/wL 20/wL3 0M R 0M R v v L4symsymsym L612symsym L2L6L4sym L612L612 L EI 2 2 B B A A 2 2 1 1 2 22 3                                             45 w 360 w7 EI L 20/wL 30/wL L4L2 L2L4 L EI 0vv 3 2 1 2 2 2 1 22 22 3 21 PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 116 Cĩ 1, 2 thay vào trên xác định RA và RB: h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn                                                                                0 3/wL 0 6/wL 20/wL 20/wL7 30/wL 20/wL3 0 0 L4symsymsym L612symsym L2L6L4sym L612L612 L EI 0M R 0M R 2 2 2 1 2 22 3 B B A A PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn PGS. TS. Nguyễn Thống 117 HẾT h ơng 8: Phần t thanh dầ chịu uốn