Phương pháp mô men tổng quát và phương sai thay đổi

55 PHƯƠNG PHÁP MÔ MEN TỔNG QUÁT VÀ PHƯƠNG SAI THAY ĐỔI Phạm Văn Chững*, Đoàn Hồng Chương** TÓM TẮT Phương pháp mô men tổng quát (Generalized Method of Moments, viết tắt là GMM), được giới thiệu bởi Hansen, đã và đang trở thành công cụ thiết yếu cho các nghiên cứu kinh tế, tài chính trong những năm gần đây. Phương pháp này là dạng mở rộng của nhiều phương pháp ước lượng quen thuộc như phương pháp bình phương tối thiểu (LS), phương pháp hồi quy 2 giai đoạn (2SLS), phương pháp dùng biến công cụ (IV) và phương pháp hợp lý cực đại (ML). Ưu điểm của GMM so với các phương pháp được đề cập ở trênlà nó đòi hỏi ít giả thiết hơn và tính toán đơn giản hơn. Một trong những ví dụ điển hình về ưu điểm của GMM so với phương pháp bình phương tối thiểu (LS) là trường hợp mô hình có phương sai thay đổi (Heteroskedasticity). Trong bài báo này, chúng tôi sẽ trình bày ứng dụng của phương pháp mô men tổng quát trong mô hình Klein-I, là một mô hình kinh tế có phương sai thay đổi. Dữ liệu của bài báo được trích xuất từ bộ dữ liệu “Klein.wf1” về nền kinh tế Mỹ hàng năm trong giai đoạn 1920-1941.Các tính toán và ước lượng được thực hiện bằng phần mềm Eviews 9. Từ khóa: Phương pháp mô men tổng quát (GMM), Phương sai thay đổi), Mô hình Klein-I. GENERALIZED METHOD OF MOMENTS AND HETEROSKEDASTICITY ABSTRACT The Generalized Method of Moments (GMM), introduced by Hansen, has been an essential tool for economic and financial research in recent years. This method generalizes many usual estimation methods such as Least Squares (LS), Two Stage Least Squares (2SLS), Instrumental Variables (IV) and Maximal Likelihood (ML). The advantage of GMM over the methods mentioned above is that it requires fewer hypotheses and its manipulation method is simple. One of the best examples of the advantage of GMM versus the Least Squares method (LS) is the case of heteroskedasticity. In this paper, we will present the application of Generalized Method of Moments in the Klein-I model which is an economic model occurring the heteroskedasticity.Data was extracted from the “Klein.wf1” database of the US economy during the period of 1920-1941. The software Eviews 9 was used to analyze the data. Keywords: Generalized Method of Moments (GMM), Heteroskedasticity, Klein-I model. * TS. GV. Trường Đại Học Kinh Tế - Luật, ĐHQG Tp.HCM; Email: chungpv@uel.edu.vn ** ThS. GV. Trường Đại Học Kinh Tế - Luật, ĐHQG Tp.HCM; Email: chuongdh@uel.edu.vn Phương pháp mô men tổng quát ... 56 Tạp chí Kinh tế - Kỹ thuật 1. MỞ ĐẦU Phương pháp mô men tổng quát (Generalized Method of Moments, viết tắt là GMM), được giới thiệu trong bài báo của Hansen [1], đã và đang trở thành công cụ thiết yếu cho các nghiên cứu kinh tế, tài chính trong những năm gần đây. GMM là dạng mở rộng của nhiều phương pháp ước lượng quen thuộc như phương pháp bình phương tối thiểu (LS), phương pháp hồi quy 2 giai đoạn (2SLS, Two Step Least Square), phương pháp dùng biến công cụ (IV, Instrumental Variables) và phương pháp ước lượng hợp lý cực đại (ML, Maximal Likelihood) (xem [2], [3], [4]). Ưu điểm của GMM so với các phương pháp được đề cập ở trên là nó đòi hỏi ít giả thiết hơn và tính toán đơn giản hơn. Một trong những ví dụ điển hình về ưu điểm của GMM so với phương pháp bình phương tối thiểu (LS) là trường hợp mô hình có phương sai thay đổi (Heteroskedasticity). Phương sai thay đổi là một trong những hiện tượng phổ biến của các mô hình hồi quy với dữ liệu chéo và dữ liệu bảng. Khi hiện tượng phương sai thay đổi xảy ra thì các sai số chuẩn của các ước lượng sẽ bị thay đổi. Do đó các ước lượng trong mô hình không còn tính hiệuquả (xem [5]). Trong các nghiên cứu thực nghiệm ngày nay, GMM được xem như là công cụ hiệu quả duy nhất để giải quyết các bài toán mà mô hình có phương sai thay đổi. Ước lượng thu được từ phương pháp này là không chệch (unbiased) và có đủ các tính chất thống kê tốt như tính nhất quán (consistency), tính tiệm cận phân phối chuẩn (asymptotic normality) và tính hiệu quả (efficiency). Trong bài báo này, chúng tôi sẽ trình bày tổng quan và GMM (xem [6], [7]) và ứng dụng GMM vào mô hình Klein-I (xem [5], [8], [9]), là mô hình có phương sai thay đổi. Dữ liệu của bài báo được trích xuất từ bộ dữ liệu “Klein. wf1” về nền kinh tế Mỹ hàng năm trong giai đoạn 1920-1941.Các tính toán và ước lượng được thực hiện bằng phần mềm Eviews 9. Bài báo được trình bày thành 5 mục. Trong mục tiếp theo, Mục 2, chúng tôi sẽ trình bày tổng quan về GMM và so sánh các ước lượng của GMM với các ước lượng của phương pháp bình phương tối thiểu (LS) và phương pháp dùng biến công cụ (IV). Kiểm định về phương sai thay đổi được chúng tôi trình bày trong Mục 3. Mục 4 được dành cho kiểm định J (hay kiểm định Sargan-Hansen) (xem [10]) về sự phù hợp của các biến công cụ trong mô hình. Mục 5, mục cuối cùng, là ứng dụng của GMM vào mô hình Klein-I. 2. PHƯƠNG PHÁP MÔ MEN TỔNG QUÁT 2.1. Phương pháp bình phương tối thiểu (LS) Xét mô hình hồi qui đơn tuyến tính ' . , 1,..., nt t ty x tβ ε= + = (2.1) trong đó ( )1 ,...,t t mtx x x= là biến giải thích, ( )1,..., mβ β β= là vecto tham số của mô hình và tε là các nhiễu. Đối với phương pháp LS, mô hình (2.1) phải thỏa các điều kiện cơ bản sau: (i) ( ) 0, 1,...,tE t nε = = ; (ii) ( ) ( )2 0, 1,...,t tVar E t nε ε= = = ; (iii) ( ) 0, 1,...,t tE x t nε = = ; (iv) ( ) 0,t vE t vε ε = ≠ . Các điều kiện từ (i) đến (iv) được gọi là các điều kiện về mô men. Để ước lượng tham số β , với mẫu số liệu ( ),t ty x cho trước chúng ta có thể dùng điều kiện ( ) 0t tE x ε = . (2.2) Phương trình (2.2) tương đương với dạng 57 ( )( )' . 0t t tE y x xβ− = Thay giá trị kỳ vọng bởi trung bình mẫu, ta có phương trình ( )( ) 1 1 ' . 0 n t t t t y x x n β = − =∑ (2.3) Giải phương trình (2.3), ta được kết quả 1 1 1 ˆ ' ' . n n t t t t t t x x x yβ − = =    = ∑ ∑        Kết quả này cho thấy ước lượng ˆ LSβ β= (là ước lượng của β khi sử dụng phương pháp LS). 2.2. Phương pháp dùng biến công cụ (IV) Tiếp theo chúng ta xét mô hình 1 2' . ' ' , 1,...,t t t t t ty x x x t nβ ε γ δ ε= + = + + = (2.4) trong đó 1tx là vecto gồm 1K biến và 2tx là vecto gồm 2K biến thỏa mãn giả thiết ( )1 0t tE x ε = và ( )2 0t tE x ε ≠ . Các biến 2tx được gọi là biến nội sinh. Khi đó, ước lượng LS cho các tham số β của mô hình bị chệch (biased) và không nhất quán (inconsistent). Để giải bài toán này, chúng ta thay thế 2K biến 2tx bởi 2K biến mới 2tz , gọi là biến công cụ, trong đó 2tz thỏa mãn tính chất 2tz có tương quan với 2tx và ( )2 0t tE z ε = Để đơn giản hóa mô hình, ta ký hiệu 1 2 t t t x x x   =     và 1 2 t t t x z z   =     thì điều kiện về mô men của mô hình với biến công cụ tz có dạng (ở đây 1tx được xem là biến công cụ của chính nó) ( )( )' . 0t t tE z y x β− = Với mẫu số liệu ( ),t ty x , điều kiện về mô men mẫu của mô hình như sau: ( ) 1 1 ' . 0 n t t t t z y x n β = − =∑ Nếu 1 ' n t t t z x = ∑ không suy biến thì hệ trên có nghiệm duy nhất 1 1 1 ˆ ' n n t t t t t t z x z yβ − = =    = ∑ ∑        Nhận xét 2.1. Điều kiện không suy biến ở trên tương đương với điều kiện về số mô men R của mô hình (2.4) bằng số tham số K cần ước lượng. Trong trường hợp R K> (xác định quá mức, overidentified), thay vì xác định βˆ thỏa mãn các điều kiện về mô men ( ) 0t tE x ε = , chúng ta xác định βˆ thông qua dãy các bài toán cực tiểu với hàm mục tiêu dạng ( ) ( ) ( )'n nm g Wgβ β β= (2.5) trong đó ( ) ( )1 1 ' . n n t t t t g x y x n β β = = −∑ và W là ma trận xác định dương. Cách xác định W dựa vào thuật toán Hansen sẽ được trình bày trong mục 2.3. 2.3. Phương pháp mô men tổng quát (GMM) Cho mẫu số liệu ( ),t ty x , (với 1,...,t n= và ( )1 ,..., m t t mtx x x= ∈� ), độc lập, có cũng phân phối (ký hiệu là i.i.d.) và θ ∈Θ là tham số chưa biết của mô hình. Mục tiêu của chúng ta là ước lượng giá trị thật 0θ của θ hoặc giá trị gần đúng nhất 0θ của θ dựa vào mẫu số liệu đã cho. Giả sử điều kiện về mô men của mô hình ước lượng tham số θ là ( ) ( )( ), , 0t tm E g y xθ θ= = (2.6) Phương pháp mô men tổng quát ... 58 Tạp chí Kinh tế - Kỹ thuật trong đó ( ).E là kỳ vọng, ( ),t ty x là các biến quan sát, ( ).,g θ là hàm liên hệ giữa mẫu số liệu ( ),t ty x và tham số θ cần ước lượng trong mô hình. Giả sử mô hình thỏa mãn luật số lớn. Khi đó ta có thể thay thế kỳ vọng ( )( ), ,t tE g y x θ bởi trung bình mẫu. Công thức (2.6) khi đó trở thành ( ) ( ) 1 1 ˆ , , 0 n t t t m g y x n θ θ = = =∑ Nếu tồn tại θˆ để ( )ˆˆ 0m θ = thì θˆ chính là ước lượng tốt nhất của mô hình. Tuy nhiên trong trường hợp R K> thì hệ phương trình trên có thể không tồn tại nghiệm. Do đó thay vì tìm nghiệm, GMM sẽ tìm θˆ cực tiểu khoảng cách giữa ( )mˆ θ và gốc tọa độ. Hàm khoảng cách giữa ( )mˆ θ và gốc tọa độ có công thức như sau: ( ) ( ) ( )2ˆ ˆ ˆ'Wm m Wmθ θ θ= , với W là ma trận xác định dương và W được xác định từ mẫu số liệu đã cho. Khi đó ước lượng của θ trong GMM chính là nghiệm của bài toán tối ưu: (2.7) Với các điều kiện chính quy thích hợp (xem [2]), ước lượng 0θˆ θ→ khi n → +∞ . Ma trận W trong bài toán (2.7) được xác định dựa vào thuật toán sau đây của Hansen [1]. Thuật toán 2 bước (Two Step Efficient GMM) 1: Đặt 1W I= (ma trận đơn vị). Tìm 2: Tính và với Quá trình trên lặp cho đến khi dãy { }kθ hội tụ. Ví dụ 2.2. Xét lại mô hình 1 2' . ' ' , 1,...,t t t t t ty x x x t nβ ε γ δ ε= + = + + = trong đó ( )1 0t tE x ε = và ( )2 0t tE x ε ≠ Giả sử rằng số mô men R của mô hình lớn hơn số tham số K cần ước lượng. Với các ký hiệu như trong mục 2.2, ta có hàm số sau ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ˆ ' . ' , n t t t t m z y x Z Y X n n β β β = = − = −∑ (2.8) trong đó 1,n n KY X× × và n RZ × là các ma trận tương ứng với ,t ty x và tz . Áp dụng GMM, ta có bài toán tối ưu sau: Thay hàm ( )ˆ ở (2.8) vào hàm mục tiêu, ta được dạng toàn phương: 59 Điều kiện cần cực trị của bài toán trên là ( ) 2 2 2 2 ' ' ' ' 0 Q X ZWZ Y X ZWZ X n n β β β ∂ = − + = ∂ định White. Nguyên lý chung của các kiểm định ở trên là chúng khảo sát mối liên hệ giữa phần dư với các biến giải thích có trong mô hình. Để minh họa, trong bài báo này chúng tôi khảo sát kiểm định White. Xét mô hình hồi quy gồm 2 biến độc lập 0 1 1 2 2 , 1,...,t t t ty x x t nβ β β ε= + + + = (3.1) Kiểm định White được tiến hành như sau: Bước 1: Ước lượng các tham số của mô hình (3.1) và tìm các phần dư tε . Bước 2: Thực hiện mô hình hồi quy bổ trợ (3.2) Tìm 2R từ mô hình hồi quy bổ trợ (3.2). Bước 3: Với giả thiết 0H : “không có hiện tương phương sai thay đổi trong mô hình (3.1)”, thống kê 2LM nR= có phân phối chi bình phương với bậc tự do 1df K= − , với K là số tham số cần ước lượng trong mô hình hồi quy bổ trợ (3.2). Bước 4: Nếu 2nR lớn hơn giá trị tới hạn thì ta bác bỏ giả thiết 0H . 4. KIỂM ĐỊNH SARGAN-HANSEN Nếu mô hình có số biến công cụ nhiều hơn số biến nội sinh (tức là R K> ) thì mô hình được gọi là xác định quá mức (overidentified). Kiểm định Sargan-Hansen (hay kiểm định J) (xem [10]), thường được áp dụng để kiểm tra mô hình hồi quy có xác định quá mức hay không. Với giả thiết ( )0 ˆˆ: 0H m θ = và các điều kiện chính quy thích hợp [2], thống kê Vì ( )Q β là dạng toàn phương nên hàm số sẽ đạt cực tiểu tại ( ) ( ) 1ˆ ' ' ' 'GMM W X ZWZ X X ZWZ Yβ −= . Với giả thiết các nhiễu độc lập và có cùng phân phối (i.i.d.), ma trận optW tối ưu được xác định như sau: 1 2 2 1 ˆ , ˆ ˆˆ ' ' . opt n t t t W S S z z Z Z n n σ σ − = = = =∑ Thay kết quả trên vào ( )ˆGMM Wβ , ta có: ( )( ) ( )11 1ˆ ' ' ' ' ' ' .GMM X Z Z Z Z X X Z Z Z Z Yβ −− −= Phương sai của ước lượng được xác định bởi công thức: ( ) ( )( ) 112ˆ ˆ ' ' 'GMMVar X Z Z Z Z Xβ σ −−= 3. GMM VÀ HIỆN TƯỢNG PHƯƠNG SAI THAY ĐỔI So với các phương pháp ước lượng khác như LS, 2SLS và IV, các ước lượng của GMM luôn hiệu quả ngay cả khi hiện tượng phương sai thay đổi xảy ra. Trong trường hợp không có hiện tượng phương sai thay đổi thì các ước lượng của GMM cũng không xấu hơn so với các phương pháp ước lượng được liệt kê ở trên. Tuy nhiên, Hayashi (xem [2]) chỉ ra rằng ma trận trọng số tối ưu Sˆ trong GMM là một hàm mô men bậc 4 mà việc ước lượng nó đòi hỏi mẫu số liệu rất lớn. Do đó, các ước lượng của GMM sẽ không hiệu quả đối với các mẫu số liệu nhỏ. Để xác định có hiện tượng phương sai thay đổi trong mô hình hay không, người ta thường dùng các kiểm định Breusch-Pagan hoặc kiểm Phương pháp mô men tổng quát ... 60 Tạp chí Kinh tế - Kỹ thuật ( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ. 'J n m Wmθ θ= có phân phối chi bình phương với bậc tự do là R K− . Trong kiểm định J, bác bỏ giả thiết 0H đồng nghĩa với việc dạng mô hình không phù hợp với dữ liệu được khảo sát. 5. ÁP DỤNG GMM CHO MÔ HÌNH KLEIN-I Mô hình Klein-I (1950) là một trong những mô hình cơ bản trong kinh tế (xem [8], [9]). Mô hình bao gồm nhiều phương trình dựa trên dữ liệu hàng năm về nền kinh tế Mỹ trong giai đoạn 1920-1941. Mô hình Klein-I được sử dụng rộng rãi trong các nghiên cứu kinh tế bởi tính đơn giản của nó khi ước lượng các tham số của mô hình cũng như khi giải thích ý nghĩa của các biến trong mô hình. Trong mục này chúng tôi giới hạn sử dụng GMM để ước lượng các tham số cho mô hình Klein-I sau ( )0 1 2 31CONS Y Y Wβ β β β ε= + + − + + (5.1) trong đó CONS là biến tiêu dùng, Y là biến lợi tức cá nhân, ( )1Y − là biến lợi tức cá nhân trễ, W là biến tiền lương. Các biến công cụ trong mô hình lần lượt là ( )1P − (lợi tức ròng trễ), ( )1K − (vốn cổ phần trễ), ( )1X − (GNP trễ), TM (xu thế), WG (lương ngân sách), G (chi tiêu công) và T (thuế). Dữ liệu sử dụng trong ví dụ được trích xuất từ bộ dữ liệu mẫu “Klein.wf1” của phần mềm Eviews 9. Để xác định mô hình có phương sai thay đổi hay không chúng tôi thực hiện kiểm định White. Kết quả trong bảng 1 cho thấy mô hình có hiện tượng phương sai thay đổi ( )5%p < . Vì vậy, GMM là phương pháp thích hợp cho mô hình với bộ số liệu nói trên. Bảng 1. Kiểm định White 61 Bảng 2 trình bày kết quả ước lượng các tham số của mô hình (5.1). Từ kết quả ước lượng ta suy ra phương trình hồi quy ( )20.5398 1.29898* 1.23668* 1 0.87568*CONS Y Y W= − + − + Bảng 2. Ước lượng các tham số của mô hình (5.1) bằng GMM TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Hansen, L. P. (1982). Large sample properties of generalized method of moments estimates, Econometrica, 50, 1029-1054. [2]. Hayashi, F. (2000). Econometrics. Princeton University Press, New Jersey. [3]. Wooldridge, J. (2001). Applications of Generalized Method of Moments Estimation, Journal of Economic Perspectives, 15(4), 87–100. [4]. Wooldridge, J. (2002), Econometric Analysis of Cross Section and Panel Data, MIT Press, Cambridge, MA. [5]. Green, W. H. (2012). Econometric Analysis, Pearson, NJ. [6]. Kunst, R. M. (2008). The generalized method of moments, University of Vienna and Institute for Advanced Studies Vienna, Retrieved from http: //homepage.univie. ac.at/robert.kunst/gmm.pdf [7]. Nielsen, H. B. (2005). Generalized Method of Moments (GMM) Estimation, Retrieved from metrics/Econometrics2_05_II/Slides/13_ gmm_2pp.pdf [8]. Klein, L. R. (1950), Economic Fluctuations in the United States, 1921-1941, Wiley, New York. [9]. Tingbergen, J. (1959), Selected Papers, edited by L. H. Klaassen, L. M. Koyck and J. H. Witteveen, North-Holland, Amsterdam. [10]. Baum, C. F., Schaffer, M. E., Stillman, S. (2003). Instrumental variables and GMM: estimation and testing, The Stata Journal, 3(1), 1-31. Phương pháp mô men tổng quát ...