Phép biến đổi laplace và một số ứng dụng - Nguyễn Xuân Vui

TẠP CHÍ KHOA HỌC Khoa học Tự nhiên và Công nghệ, Số 10 (9/2017) tr 1 - 13 1 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Nguyễn Xuân Vui1 Trường Đại học Tây Bắc Tóm tắt: Nội dung bài báo là trình bày phép biến đổi Laplace thuận (tìm ảnh của hàm) và phép biến đổi Laplace ngược (tìm hàm nguyên mẫu theo ảnh); Phép nhân chập (tích chập) các hàm (ảnh của đạo hàm và tích phân hàm nguyên mẫu). Từ đó trình bày một số ứng dụng của phép biến đổi Laplace vào việc giải phương trình vi phân và tích phân. Mỗi phần đều có một số ví dụ minh họa. Từ khóa: Biến đổi Laplace, phương trình tích phân, phương trình vi phân, tích chập. 1. Mở đầu Biến đổi Laplace là biến đổi tích phân. Biến đổi Laplace cùng với biến đổi Fourier là hai biến đổi rất hữu ích và thường được sử dụng trong giải các bài toán vật lý. Qua biến đổi Laplace, các phép toán giải tích phức tạp như đạo hàm và tích phân được đơn giản hóa thành các phép tính đại số. Vì vậy, phép biến đổi Laplace đặc biệt hữu ích trong giải các phương trình vi phân, qua phép biến đổi Laplace các phương trình này trở thành các phương trình đại số đơn giản hơn. Tìm ra nghiệm các phương trình trên là các hàm ảnh và sau đó dùng biến đổi Laplace ngược để có lại hàm gốc. Năm 1744 , Euler đã đưa ra các tích phân: ( ) ; ( )ax aX x e dx X x x dx  để giải các phương trình vi phân. Sau đó, Lagrange khi nghiên cứu cách tính tích phân của hàm mật độ xác suất, đã đưa ra biểu thức tích phân: ( ) .ax xX x e a dx Những dạng tích phân này đã thu hút sự chú ý của Laplace vào năm 1782 khi ông tiếp tục công trình của Euler là sử dụng các phép tính tích phân để giải phương trình. Năm 1785 , vượt ra khỏi giới hạn giải các phương trình bằng phương pháp tích phân, Laplace đã bắt đầu đưa ra các biến đổi mà sau này đã trở nên rất phổ biến. Ông sử dụng tích phân: ( )sx f s dx tương tự phép biến đổi Mellin, để biến đổi phương trình sai phân từ đó tìm ra cách giải cho phương trình biến đổi. Với cách tương tự như vậy, ông đã suy ra các tính chất của phép biến đổi Laplace. 1 Ngày nhận bài: 13/01/2016. Ngày nhận kết quả phản biện: 03/03/2017. Ngày nhận đăng: 20/9/2017 Liên lạc: Nguyễn Xuân Vui, e - mail: nguyenxuanvui277@gmail.com 2 2. Tìm ảnh của hàm 2.1. Các định nghĩa cơ bản Định nghĩa 2.1. Giả sử hàm  f t thỏa mãn các điều kiện sau: i) ( ) 0f t  khi 0.t  ii) 0( ) s tf t Me khi 0t  , trong đó 0M  và 0s là hằng số thực nào đó. iii) Trên đoạn hữu hạn [a,b] bất kỳ của nửa trục dương Ot, hàm f(t) thỏa mãn các điều kiện Dirichlet, tức là: a) bị chặn; b) hoặc liên tục, hoặc chỉ có một số hữu hạn điểm gián đoạn loại một; c) có một số hữu hạn cực trị. Các hàm như vậy trong phép tính toán tử gọi là hàm được mô tả theo Laplace hay hàm nguyên mẫu (có khi gọi tắt là nguyên mẫu). Giả sử p = α+βi là tham số phức, đồng thời Rep = α  s1 s2. Với các điều kiện nói trên, tích phân: 0 ( )pte f t dt    hội tụ và là hàm của p Xét tích phân sau: 0 ( ) ( ).pte f t dt f p    Tích phân này được gọi là tích phân Laplace, còn hàm của biến phức p xác định bởi tích phân đó được gọi là biến đổi Laplace của hàm ( )f t , hay là ảnh Laplace ( )f t (ảnh ( )).f t Kí hiệu hàm ( )f p là ảnh của hàm nguyên mẫu ( )f t là: ( ) [ ( )],hay ( ) ( )f p L f t f p f t Quy ước giá trị của hàm nguyên mẫu ( )f t tại điểm gián đoạn loại một 0t bằng nửa tổng số các giá trị giới hạn của nó từ phía trái và phía phải của điểm đó: 0 0 0 ( 0) ( 0) ( ) 2 f t f t f t     (2.1) Nhận xét 2.2. Khi thỏa mãn điều kiện (2.1) sự tương ứng giữa nguyên mẫu và ảnh có các tính chất sau đây: a) Sự tương ứng đó là tương ứng 1 1 (tức là mỗi nguyên mẫu ứng với một ảnh duy nhất và ngược lại); b) Tổ hợp tuyến tính bất kỳ một số hữu hạn các nguyên mẫu có ảnh là tổ hợp tuyến tính tương ứng các ảnh của chúng. Như vậy, nếu ( ) ( ) ( 1,2, , )k kf p f t k n , thì 1 1 ( ) ( ). n n k k k k k k c f p c f p     3 2.2. Tìm ảnh của hàm Trong bảng và mỗi ví dụ dưới đây chỉ xem giá trị của  f t khi 0t  (luôn luôn xem ( ) 0,f t  nếu 0t  ). Bảng ảnh của các hàm sơ cấp cơ bản TT ( )f t khi 0t  ( )f p TT ( )f t khi 0t  ( )f p I 1 1 p VI coste t  2 2( ) p p       II ! nt n 1 1np  VII sinte t  2 2( )p     III te 1 p  VIII ! n t te n  1 1 ( )np   IV cos t 2 2 p p  IX cost t 2 2 2 2 2( ) p p     V sin t 2 2p   X sint t 2 2 2 2 ( ) p p   Ví dụ 1.Tìm ảnh của hàm ( ) .tf t a Giải: Vì lnaa e nên ln( ) .t af t e Sử dụng công thức III sẽ có 1 ( ) . ln f t p a   Ví dụ 2. Tìm ảnh của hàm 3( ) cos .f t t Giải: Sử dụng công thức Euler: cos , 2 it ite e t   có phương trình: 3 3 3 3 3 31 1 3 1 3cos ( 3 3 ) · · cos3 cos 2 8 4 2 4 2 4 4 it it it it it it it it it ite e e e e et e e e e t t                    Sử dụng công thức IV sẽ có: 2 2 2 2 2 1 3 ( 7) ( ) · · 4 9 4 1 ( 1)( 9) p p p p f p p p p p         Ví dụ 3. Tìm ảnh của hàm   sh .f t bt Giải: Theo định nghĩa của hàm sh, có 1 ( ) ( ). 2 bt btf t e e  Sử dụng công thức III sẽ có: 2 2 1 1 ( ) 2( ) 2( ) b f p p b p b p b       4 Ví dụ 4. Tìm ảnh của hàm   sh .sinf t at bt Giải: Theo định nghĩa của hàm sh có:     1 sin sin 2 at atf t e bt e bt  Dùng công thức VII sẽ có:           2 2 2 22 2 2 2 1 1 2 · · 2 2 b b pab f p p a b p a b p a b p a b                   Ví dụ 5. Tìm ảnh của hàm ( ) .ch .f t t bt Giải: Theo định nghĩa của hàm ch có:       1 1 · . 2 2 bt bt bt btf t t e e te te     Dùng công thức VIII với 1, ,n b   sẽ có:         2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 p b f p p b p b p b        Tương tự, có thể tìm ảnh của các hàm cơ bản tiếp theo sau đây: 2( ) sin ;f t t ( ) ch ;f t bt ( ) sh .cos ;f t at bt ( ) ch .sinf t at bt 3. Tìm hàm nguyên mẫu theo ảnh Khi tìm nguyên mẫu theo ảnh trong một số trường hợp đơn giản nhất, có thể sử dụng bảng ảnh của các hàm sơ cấp cơ bản và các định lý khai triển (Định lý 3.1. dưới đây trong [1]). Định lí 3.1 cho phép tìm nguyên mẫu đối với các ảnh là hàm phân thức của       : u p p f p v p  trong đó  u p và  v p là các đa thức của p bậc m và n tương ứng, đồng thời .m n Cụ thể như sau. Nếu khai triển  v p thành các thừa số đơn giản có dạng:          1 21 2 1 2. , rk k k r rv p p p p p p p k k k n       Như đã biết, có thể khai triển hàm  f p thành tổng các hàm sơ cấp đơn giản dạng:   , 1j j s k s j A p p    trong đó j lấy tất cả các giá trị từ 1 đến r, còn s nhận tất cả các giá trị số từ 1 đến kj. Như vậy:     , 1 1 1 j j kr j s k s j s j A f p p p        (3.1) Tất cả các hệ số Aj, s của khai triển này có thể tìm theo công thức: 5   1 , 1 1 lim ( ) · ( ) 1 ! j j s k j s jsp p d A p p f p s dp            (3.2) Thay cho công thức này, có thể dùng các phương pháp sơ cấp trong phép tính tích phân khi tích phân các phân thức hữu tỷ. Đặc biệt điều này thuận lợi trong các trường hợp tất cả các nghiệm phức của mẫu số  v p đơn và đôi một liên hợp. Nếu tất cả các nghiệm của  v p đơn, thì khai triển đơn giản hơn, như sau:         1 2 , khi ,n j kv p p p p p p p p p j k           1 , · n jj j j j j u pA f p A p p v p      (3.3) Sau khi đã tìm được khai triển  f p thành các phân số đơn giản (bằng cách này hay cách khác) nguyên mẫu  f t được tìm theo Định lý sau đây ([1]) Định lý 3.1. a) Nếu mẫu số ( )v p có nghiệm bội thì , 1 1 ( ) · ( )! j j j k k sr p t j s j s j t f t A e k s       (3.4) b) Nếu mẫu số  v p có nghiệm đơn thì      1 · j r j p t j j u p f t e v p    (3.5) c) Đặc biệt nếu ảnh của hàm cần tìm có thể khai triển được thành chuỗi lũy thừa theo 1 p   0 12 1 n n a aa f p p p p       đồng thời chuỗi này hội tụ về  f p khi | | ,p R trong đó 1lim n n n a R a      , thì nguyên mẫu  f t được tìm theo công thức:   1 21 20 1! 2! ! nnaa af t a t t t n       Hơn nữa chuỗi này hội tụ với tất cả các giá trị t . Sau đây, dựa vào Định lý 3.1, một số ví dụ được minh họa như sau. Ví dụ 6. Tìm nguyên mẫu của hàm   2 .2 5 p f p p p    6 Giải: Ta có phân tích:       2 2 22 1 1 1 1 2 5 1 4 1 4 1 4 p p p p p p p p               Từ các công thức VI và VII của bảng nguyên mẫu có phương trình:   2 1 ·cos 2 1 4 tp e t p        2 2 1 1 2 1 · · ·sin 2 2 21 4 1 4 te t p p      Bởi vậy:   2 1 cos 2 sin 2 2 5 2 tpf p e t t p p          Ví dụ 7. Tìm nguyên mẫu của hàm   3 1 8 f p p   Giải: Tìm A, B, C trong phân tích 3 2 1 8 2 2 4 A Bp C p p p p        có phương trình:     21 2 4 2A p p Bp C p      Cho p = 2, được 1 1 12 12 A A   So sánh hệ số của p2 và số hạng tự do ở vế phải với 0 và 1, sẽ có A + B = 0; 4A - 2C = 1. Từ đó 1 1 1 ; 2 12 2 3 B A C A        Vậy:       23 2 2 1 31 1 1 1 4 1 1 1 · · · · 8 12 2 12 2 4 12 2 12 1 3 pp p p p p p p              Như vậy:           2 22 2 1 1 1 1 3 3 · · · 12 2 2 121 3 1 3 p f p p p p          Sử dụng công thức III, VI, VII của bảng ảnh sẽ có hàm nguyên mẫu là:    21 1· · cos 3 3·sin 3 · 12 12 t tf t e e t t   Ví dụ 8. Tìm nguyên mẫu của hàm       3 2 1 2 p p p f p    7 Giải: Phân tích:         1311 12 21 22 3 2 2 1 21 1 2 AA A A A f p p pp p p          Sử dụng công thức (3.2) để tìm các hệ số Aij:       3 11 2 1 1 1 1 lim 1 . lim 0! 92p p p A p f p p          3 12 2 2 31 1 1 1 1 2 1 lim [( 1) . ( )] lim lim · 1! ( 2) ( 2) ( 2) 27 [ ] p p p d d p d p A p f p dp dp p dp p p                      2 2 3 13 2 3 32 21 1 1 1 1 1 4 6 1 lim 1 . lim lim 2! 2 2 272 2 2p p p d d p p A p f p dp dp p p p                                  2 21 3 2 2 1 2 lim 2 . lim 0! 271p p p A p f p p                    2 22 3 3 42 2 2 1 1 3 1 lim 2 . lim lim 1! 271 1 1p p p d d p p A p f p dp dp p p p                    Như vậy:         3 2 2 1 3 1 1 2 1 27 1 21 1 2 f p p pp p p               Áp dụng công thức III và VIII sẽ có:   2 2 2 2 21 3 3 2 2 2 12 · · 27 2 54 27 t t t t t t tt t tf t t e te e te e e e                 Ví dụ 9. Tìm nguyên mẫu của hàm:       1 1 2 3 p f p p p p p      Giải: Vì mọi nghiệm của mẫu số đều là nghiệm thực và đơn nên dùng công thức (3.5). Sẽ có   1,u p p        4 3 21 2 3 6 11 6 ,v p p p p p p p p p          3 24 18 22 6v p p p p     Các nghiệm của v(p) là: p1 =0, p2 =1, p3 =2, p4 =3 Có phương trình:                 1 2 3 4 1 2 3 4 1 3 2 ; 1; ; 6 2 3 u p u p u p u p v p v p v p v p           8 Áp dụng công thức (3.5) tìm được:   2 3 1 3 2 · · 6 2 3 t t tf t e e e     Ví dụ 10. Tìm nguyên mẫu của hàm    4 1 1 f p p p   bằng cách sử dụng Định lý 3.1. Giải: Có phương trình:     5 5 9 134 4 1 1 1 1 1 1 · 11 1 f p p p p pp p p         Chuỗi này hội tụ khi | | 1p  . Từ đó ta có:   4 8 12 16 4! 8! 12! 16! t t t t f t      Tương tự phương pháp như trên, có thể tìm các nguyên mẫu theo ảnh cho trước của các hàm sau:     2 2 1 ; 1 4 f p p p p        2 1 ; 1 4 f p p p       2 3 ; 4 3 p f p p p p         4 2 2 1 ; 5 4 4 f p p p p p       * 1 , k k f p k N p a    4. Phép nhân chập (tích chập) các hàm Phép nhân chập hai hàm  1f t và  2f t là hàm:      1 2 t o F t f t f d    Tích phân xác định phép nhân chập (tích chập) không thay đổi giá trị của nó khi thay đổi chỗ các hàm f1 và f2, bởi vậy tích chập của hai hàm đối xứng đối với các hàm nhân chập. Sau đây là ba định lý về tích chập, được đưa ra để sử dụng vào bài tập, không cần chứng minh ([1]). Định lý 4.1. (Về tích chập của các nguyên mẫu): Tích chập hai nguyên mẫu có ảnh bằng tích các ảnh thành phần:        1 2 21 0 . t f t f d p f pf   nếu        21 1 2, .ff p f t p f t Nếu nguyên mẫu  f t khả vi n lần và các đạo hàm của nó cũng là các hàm nguyên mẫu, thì có định lý về đạo hàm của hàm nguyên mẫu: Định lý 4.2. (Về đạo hàm của hàm nguyên mẫu):                ( ) 1 2 ( 1). . 0 . 0 0 ] khi 1,k k k k kf t p f p p f p f f p f t k nf         9 Đặc biệt:      . 0 ;f t p f p f         2. . 0 0f t p f p p f f   . ...v v Đối với tất cả các nguyên mẫu, có định lý về tích phân: Định lý 4.3. (Về tích phân của hàm nguyên mẫu) Nếu    f p f t thì:     0 . tf p f d p   Từ đó thấy rằng, ảnh của đạo hàm và tích phân nhận được từ ảnh của hàm  f t bằng cách thực hiện các phép tính đại số đối với  .f p Cũng cần nhận xét rằng (xem bảng ảnh), ảnh của phần lớn các hàm sử dụng trên thực tế ( , cos , sin , . ...te t t v v   ) là các hàm đại số của p. Điều này cho phép nhiều phép tính trong giải tích toán học (giải phương trình vi phân và phương trình tích phân,v.v) chuyển được về phép tính đại số đối với các ảnh của các hàm cần tìm. Ví dụ 11. Tìm nguyên mẫu của hàm:   4 1 p f p p   Giải:   2 21 1 p p f p p p    Bởi vì 2 2 1 , sin 1 1 p cht t p p  , nên theo Định lý 4.1 có phương trình:        04 0 1 1 sin [ sin cos ] | cos 1 2 2 t tp ch t d sh t ch t cht t p                 Ví dụ 12. Tìm ảnh của      '' 'y t y t y t  nếu    0 0 0y y  và    y p y t Giải: Theo Định lí 4.2 có:    y p y t        . 0 .y t p y p y p y p            2 2'' . . 0 ' 0 .y t p y p p y y p y p   Từ đó:          2" 1 .y t y t y t p p y p    (ảnh của tổng bằng tổng các ảnh của các số hạng). 10 Ví dụ 13. Tìm ảnh của         0 t y t y t y d     nếu  0 1y  và    y p y t Giải: Theo các Định lý 4.2 và 4.3 có:    y p y t        . 0 . 1y t p y p y p y p          0 t y p y d p   Từ đó:               2 0 1 . 1 . 1 t y p p p y t y t y d p y p y p p p            Tương tự như trên, áp dụng định nghĩa và tính chất của tích chập để tìm ảnh và nguyên mẫu của các hàm sau: a) Tích chập của các hàm t và cos t và ảnh của nó. b) Nguyên mẫu của     2 2 2 1 p f p p   c) Ảnh của biểu thức      2.F t y t y t  nếu  0 0y  và    y t y p d) Ảnh của biểu thức          2. 2F t y t y t y t y t      nếu:      0 0, 0 1, '' 0 2y y y   và    y t y p e). Ảnh của biểu thức         0 t F t y t y d    nếu  0 0y  và ( ) ( )y yt p 5. Ứng dụng phép tính toán tử để giải một số phƣơng trình vi phân và tích phân Nếu cho phương trình vi phân tuyến tính cấp n với hệ số hằng số  ( ) ( 1)1 , n n ny a y a y f t    mà vế phải của nó  f t là hàm nguyên mẫu, thì nghiệm của phương trình này thỏa mãn các điều kiện ban đầu tùy ý dạng:      ( 1) ( 1)0 0 00 , 0 , , 0 n ny y y y y y      tức là nghiệm của bài toán Cauchy tùy ý, đặt cho phương trình này, với các điều kiện ban đầu tại 0t  ([2-4]) cũng sẽ là hàm nguyên mẫu. ký hiệu ảnh của nghiệm đó là   ,y p tìm ảnh của vế trái phương trình vi phân xuất phát, và so sánh nó với ảnh của hàm f(t), đi đến phương trình ảnh hóa; phương trình ảnh hóa đó luôn là một phương trình đại số đối với  .y p Xác định  y p từ phương trình đó, tìm được nguyên mẫu y(t). 11 Phương pháp chuyển về phương trình ảnh hóa đó cũng cho phép ta tìm được nghiệm của phương trình tích phân dạng:       0 t K t y d f t    0 ( ) ( ) ( ) ( ) t y t f t K t y d     trong đó các hàm ( )K t và ( )f t là các hàm nguyên mẫu vì tích phân trong phương trình này là tích chập của các hàm ( )y t và ( ).K t Các phương trình tích phân trên là các trường hợp đặc biệt của các phương trình tích phân Voltera loại I và loại II, mà dạng tổng quát của chúng nhận được nếu thay hàm  K t  (gọi là nhân của phương trình tích phân) bằng hàm hai biến  K t  nào đó. Ví dụ 14. Giải phương trình vi phân: 3'' 2 ' 3 ty y y e   nếu    0 0, ' 0 0y y  Giải: Chuyển về ảnh:      2 1 . 0 0 2 0 3 , 3 p p y y py y y p y        hay:    2 2 1 1 2 3 3 1 3 p py y y p p p y         Khai triển phân thức hữu tỷ này thành các phân thức đơn giản:          2 2 1 , 3 11 3 3 A B C p pp p p               2 1 1 3 1 3A p B p p C p       Cho 1p   , sẽ có 1 16C , tức là 1 16 C  . Cho 3p  ta được 1 4A , tức là 1 4 A  . So sánh các hệ số của 2p : 1 0 16 B C B C       Do đó:       2 1 1 1 , 16 3 16 14 3 y p pp      12 từ đó: 3 31 1 1 4 16 16 t t ty te e e   Ví dụ 15. Giải phương trình vi phân '' ' 2 ty y y e   nếu    0 0, 0 1y y  . Giải: Chuyển về ảnh:      2 1 [ . 0 0 ] [ 0 ] 2 1 p p y y p yy y y p        Sau một số biến đổi đơn giản có phương trình:    22 2 1 11 2 p y pp p p       Từ đó: sh .y t Ví dụ 16. Giải phương trình tích phân 0 1. t y yd  Giải: Lập phương trình ảnh hóa:   1 1 1 1 1 y y p y p p p y         Do đó .ty e Ví dụ 17. Giải phương trình tích phân     0 sin 1 cos . t y t d t     Giải: Vế trái của phương trình là tích chập của các hàm  y t và sin .t Chuyển về phương trình ảnh:    2 2 2 1 1 1 . 1 1 1 p y p p p p p p       Do đó   1 y p p  vậy   1.y t  Ví dụ 18. Giải phương trình tích phân     0 . t t ty e d y t e    Giải: Vế trái của phương trình là tích chập của các hàm  y t và .te Chuyển về phương trình ảnh:         1 1 1 1 . . · 1 1 1 1 y p y p y p y p p p p p           13 Do đó   1 2 y p p   vậy   2 .ty t e 6. Nhận xét Như vậy, bài báo này đã trình bày các ứng dụng của phép biến đổi Laplace và tích chập trong việc giải một số phương trình vi phân và tích phân. Tuy nhiên, hướng nghiên cứu tiếp sau bài báo này đó là ứng dụng phép biến đổi Laplace để giải những phương trình đạo hàm riêng, đó là những phương trình thường xuất hiện trong các bài toán vật lý, trong phân tích mạch điện tử, xử lý số liệu, dao động điều hòa, các hệ cơ học. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] P. E. Đankô, A. G. Popôp, T. Ia. Côgiepnhicôva (1983). Bài tập toán cao cấp - phần II, Xuất bản bằng tiếng Việt. Nhà xuất bản Mir Maxcơva. [2] Phan Huy Thiện (2010). Phương trình vi phân. Nhà xuất bản Giáo dục. [3] Trần Dương Trí (2008). Phương trình vi phân và đạo hàm riêng. Nhà xuất bản Đại học Quốc gia, Hà Nội. [4] Trần Đức Vân (2005). Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng. Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội. [5] Mai Đức Thành (2016). Phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng. Nhà xuất bản Đại học Quốc gia , thành phố Hồ Chí Minh. LAPLACE TRANSFORM AND SOME APPLICATIONS Nguyen Xuan Vui Tay Bac University Abstract: This paper, we presented the Laplace transform (finding photos of derivatives) and Inverse Laplace transform (finding prototype function); The convolution of functions (photos of derivatives and integrals of prototype function). Some applications have given of Laplace transform to solve some differential equations and integral equations with some examples to illustrate in each section. Keywords: Convolution, differential equations, intergral equations, Laplace transform.