Phân tích tuyến tính cọc tiết diện chữ nhật chịu tải trọng đứng trong nền đất nhiều lớp

ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 1-2016 54 PHÂN TÍCH TUYẾN TÍNH C C TIẾT DIỆN CH NHẬT CH U T I TR NG Đ NG TRONG NỀN ĐẤT NHIỀU ỚP NGUYỄN VĂN VIÊN* NGHIÊM MẠNH HIẾN** TRỊNH VIỆT CƢỜNG*** Linear analysis of rectangular pile under vertical load in layered soil Abstract: This paper presents a new simple method for analyzing linear response of single pile with rectangular cross section under vertical load in layered soils. The properties of each soil layer are assumed to be constant, but can vary from layer to layer. The method is based on energy principles and variational approach proposed by Vallabhan and Mustafa (1996) with explicit solution by using finite element method in pile displacement approximation. The solutions provide vertical displacement along the pile, vertical displacement of soil as a function of the radial distance at any depth, and equivalent stiffness of pile-soil system. Effectiveness of the proposed method is verified by comparing its results to analytical solutions and 3D finite element analyses. Keywords: Finite element method; Piles; Energy principle; vertical load. 1. GIỚI THIỆU * Phân tích tuyến tính cọc đơn dƣới tác dụng của tải trọng đứng đƣợc sử dụng xác định độ cứng của hệ cọc-nền đất trong tƣơng tác đất-nền móng-kết cấu. Phân tích phi tuyến đồng thời cũng dựa trên phân tích tuyến tính. Đã có nhiều tác giả nghiên cứu giải bài toán cọc chiu tải trọng đứng theo phƣơng pháp giải tích và phƣơng pháp số. Đất nền đƣợc giả thiết là đồng nhất với các đặc trƣng đàn hồi biến đổi tuyến tính theo độ sâu, hoặc nền nhiều lớp. Poulos và Davis (1968, 1980) [17][18] phân tích chuyển vị của cọc đơn chịu tải trọng đứng trong nền đất đàn hồi lý tƣởng với phƣơng trình của Mindlin (1936) [10]. Butterfield và Banerjee (1971) [3] giải đƣợc chính xác bài toán cọc đơn chịu tải trọng đứng trong nền đàn hồi tuyến tính đẳng hƣớng dựa trên lời giải của * Viện Khoa học Công nghệ Xây dựng, 81 Trần Cung, Cầu Giấy, Hà Nội Email: nguyenvienhau@gmail.com ** Khoa Xây dựng, trường Đại học Kiến trúc Hà Nội *** Viện Khoa học Công nghệ Xây dựng Mindlin đối với tải trọng tập trung trong nền đàn hổi lý tƣởng. Lời giải đối với chuyển vị của cọc trong nền Gibson (Gibson 1967) [6] trong đó mô đun đàn hồi trƣợt biến đổi tuyến tính với độ sâu đƣợc đề xuất bởi nhiều tác giả. Randolph vả Wroth (1978) [20] đề xuất biểu thức hệ số nền theo lời giải xấp xỉ đƣợc sử dụng rộng rãi trong thực tế tính toán hiện nay. Poulos (1979) [16] cũng trình bày một số lời giải áp dụng cho phân tích nền đất ba lớp. Rajapakse (1990) [19] trình bày lời giải cho bài toán đàn hồi dựa trên phƣơng pháp biến phân kết hợp với tích phân biên. Guo và Randolph (1997) [8] dựa trên nghiên cứu của Randolph và Wroth (1978) [20] kể đến ảnh hƣởng của sự không đồng nhất đến mối quan hệ giữa hệ số nền và các đặc trƣng đàn hồi của đất nền. Guo (2000) [7] phát triển lời giải gần đúng của Guo vả Randolph (1997) [8] để kể đến điều kiện mô đun đàn hồi trƣợt khác không ở mặt nền. Lời giải đƣợc biểu diễn theo hàm Bessel đối với bậc là số thực. Lee và công sự (1987) [14] trình bày lời giải ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 1-2016 55 gần đúng đối với cọc chịu tải trọng đứng trong nền nhiều lớp. Lee (1991) [11] sử dụng phƣơng pháp truyền tải trọng với hệ số nền đề xuất bởi by Randolph và Wroth (1978) [20] khi phân tích cọc đơn và nhóm cọc trong nền đất nhiều lớp. Lee và Small (1991) [12] đề xuất lời giải tuyến tính đối với cọc đứng trong nền hữu hạn các lớp đất theo phƣơng pháp phân lớp. Cọc đƣợc mô hình bằng phần tử một chiều hai điểm nút. Ứng xử của nền liên tục nhiều lớp chịu lực tƣơng tác giữa các phần tử cọc tác dụng tại vị trí tiếp xúc giữa cọc và đất đƣợc tính toán theo phƣơng pháp lớp hữu hạn. Ai và Yue (2009) [1] trình bày phân tích tuyến tính đối với cọc đơn trong nền đất nhiều lớp sử dụng biến đổi Hankel và phƣơng pháp sai phân hữu hạn để xác định chuyển vị của cọc và đất nền. Lời giải này đƣợc so sánh với các lời giải của Poulos và Davis (1980) [18], Randolph và Wroth (1978) [20] đối với nền đất đồng nhất, Poulos và Davis (1980) [18], Lee và Small (1991) [12], Chin và cộng sự (1990) [4], và Guo và cộng sự (1987) [9] đối với nền đất hai lớp. Ai và Cheng (2013) [1] trình bày phƣơng pháp phần tử biên khi phân tích tĩnh cọc đơn chịu tải trọng đứng trong nền nhiều lớp theo phƣơng pháp giải tích. Vallabhan và Mustafa (1996) [25] đề xuất phƣơng pháp tính toán gần đúng đối với cọc khoan nhồi trong nền đất hai lớp trong đó mũi cọc đặt trên bề mặt lớp đất thứ hai. Phƣơng pháp này dựa trên nguyên lý năng lƣợng với giả thiết về trƣờng chuyển vị. Phƣơng trình cân bằng thu đƣợc từ tối thiểu hàm thế năng hay biến phân. Lee và Xiao (1999) [13], Seo và Prezzi (2006) [22], và Fidel (2014) [5] phát triển phƣơng pháp tính toán do Vallabhan và Mustafa (1996) [25] đề xuất đối với nền đất nhiều lớp. Lee và Xiao (1999) [13] xây dựng mối quan hệ giữa chuyển vị đứng và nội lực trong cọc bằng hằng số tích phân xác định bằng việc đƣa vào các điều kiện biên. Phƣơng pháp giải lặp đƣợc sử dụng để xác định chuyển vị và nội lực trong cọc. Kết quả tính toán của Poulos (1979) [20] đối với đất nền ba lớp đƣợc sử dụng để kiểm chứng với kết quả tính toán theo phƣơng pháp phần tử hữu hạn với độ mảnh của cọc và hệ số độ cứng khác nhau. Seo và Prezzi (2006) [22], Basu và cộng sự (2008) [2] và Seo và cộng sự (2009) [23] trình bày lời giải hiện đối với phƣơng trình vi phân và hằng số tích phân xác định đƣợc bằng cách sử dụng luật Cramer và các biểu thức tính lặp. Salgado và cộng sự (2013) [21] sử dụng nguyên lý biến phân để phân tích chuyển vị của cọc đơn tiết diện tròn trong nền nhiều lớp có kể đến chuyển vị theo phƣơng đứng và theo phƣơng ngang. Cọc tiết diện chữ nhật chịu tải trọng đứng gần đây đƣợc nghiên cứu bởi Basu và cộng sự (2008) [2] và Seo và cộng sự (2009) [23] dựa trên nguyên lý năng lƣợng và biến phân. Hàm suy giảm chuyển vị theo mỗi phƣơng cạnh cọc đƣợc giả thiết là khác nhau. Lời giải xác định đƣợc biểu thức hệ số nền của đất xung quanh thân cọc. Quy trình tính toán đƣợc các tác giả đề xuất là khá phức tạp. Sử dụng một số phƣơng pháp nhƣ trên khi phân tích cọc chịu tải trọng đứng sẽ gặp một số khó khăn khi áp dụng trong thực tế do sự phức tạp của việc giải phƣơng trình vi phân hoặc của quy trình tính toán. Đơn giản và chính xác là hai điều kiện quan trọng để phƣơng pháp tính đƣợc áp dụng rộng rãi trong thực tế. Trong bài báo này, các tác giả trình bày một phƣơng pháp đơn giản kết hợp giữa giải tích và phƣơng pháp số trong phân tích cọc đơn tiết diện chữ nhật chịu tải trọng đứng trong nền nhiều lớp (Nghiem, 2009) [15]. Phƣơng trình cân bằng dựa trên phƣơng pháp đề xuất bởi Vallabhan và Mustafa (1996) [25] và phƣơng pháp phần tử hữu hạn. Sự khác nhau giữa phƣơng pháp của Vallabhan và Mustafa (1996) [25], Lee và Xiao (1999) [13], Seo và Prezzi (2006) [22], Basu và cộng sự (2008) [2], Seo và cộng sự (2009) [23] và phƣơng pháp đề xuất là: 1) biểu thức độ cứng tƣơng đƣơng của cọc và 2) quy trình tính toán. 2. MÔ HÌNH TÍNH TOÁN Xét cọc tiết diện chữ nhật có chiều dài pL với kích thƣớc cọc là a và b nhƣ trình bày trên hình 1. Cọc chịu tác dụng của tải trọng P đặt tại trọng tâm của tiết diện, đất nền có n lớp nằm ngang. Cọc xuyên qua m lớp đất và mũi cọc đƣợc đặt vào đáy của lớp đất thứ m . Do vậy có n m lớp đất nằm dƣới mũi cọc. Chỉ số i đƣợc sử ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 1-2016 56 dụng để mô tả đặc trƣng của lớp đất thứ i bao gồm mô đun đàn hồi, iE , hệ số Poisson, i , và mô đun đàn hồi trƣợt, iG . Theo phƣơng pháp phần tử hữu hạn, cọc đƣợc mô hình hóa thành nhiều phần tử thanh nhƣ trên hình 1. Phần tử cọc thứ j có chiều dài jL nằm trong lớp đất thứ i . Hệ tọa độ trụ đƣợc sử dụng trong tính toán với gốc tọa độ đặt tại trọng tâm tiết diện ở đỉnh cọc và trục z có chiều dƣơng hƣớng từ trên xuống dƣới. Phần tử cọc và đất nền xung quanh đƣợc giả thiết là đẳng hƣớng, tuyến tính và chuyển vị tại vị trí tiếp xúc giữa cọc và đất nền là liên tục. Hình 1: Hệ cọc-đất 3. QUAN HỆ GIỮA CHUYỂN VỊ-ỨNG SUẤT-BIẾN DẠNG Giả thiết trƣờng chuyển vị là rất quan trọng đối với phƣơng pháp năng lƣợng của Vallabhan và Mustafa (1996) [25]. Dƣới tác dụng của tải trọng đứng, biến dạng theo phƣơng tiếp tuyến là rất nhỏ so với biến dạng theo phƣơng đứng nên có thể bỏ qua. Salgado và cộng sự (2013) [21] đề xuất phƣơng pháp kể đến biến dạng theo phƣơng bán kính, tuy nhiên nó khá phức tạp nên biến dạng này cũng đƣợc bỏ qua. Do chuyển vị của cọc theo phƣơng bán kính giảm dần khi khoảng cách theo phƣơng bán kính tăng lên nên trƣờng chuyển vị trong đất nền đƣợc xấp xỉ theo biểu thức sau:      ,zu r z w z r (1) trong đó  w z là chuyển vị theo phƣơng đứng của cọc tại độ sâu z ;  r là hàm không thứ nguyên mô tả sự suy giảm chuyển vị của cọc theo phƣơng bán kính kể từ tâm cọc. Giả thiết là   1r  tại pr r và   0r  tại 0r  với pr là bán kính của cọc. Với các giả thiết nhƣ trên, quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị của cọc đƣợc xác định nhƣ sau:         1 0 1 0 01 r r r r z z r r rz z r z z u r u uu r r r u dw z rz dz u uu r r r d r u u w r drr z uu r z                                                                                                            (2) Mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng của đất nền đƣợc viết dƣới dạng tổng quát theo định luật Hooke nhƣ sau: 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r r z z r r rz rz z z G G G G G G                                                                              (3) trong đó G và  và các hằng số Lamé của đất nền. 4. PHƢƠNG TRÌNH C N BẰNG Hàm thế năng  của hệ cọc-đất nền đƣợc định nghĩa là tổng của năng lƣợng của nội lực và của ngoại lực.   0 2 1 10 0 0 , 1 1 2 2 2 2 2 j jL LN N j j kl kl j j k z z dw E A dz a b r drdz dz Pw                        (4) trong đó jE là mô đun đàn hồi của phần tử cọc thứ j , nếu j m thì j pE E , nếu j m thì j iE E ; A là diện tích tiết diện của cọc; ,1jw và ,2jw tƣơng ứng là chuyển vị của nút đầu và nút cuối của phần tử cọc thứ j ; P và 0,k z z w  tƣơng ứng là tải trọng và chuyển vị tại 0z z . Năng lƣợng biến dạng đƣợc xác định theo biểu thức:   2 2 1 1 2 2 2 j kl kl i i j dw d G G w dz dr                       (5) ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 1-2016 57 trong đó kl và kl là các ten xơ ứng suất và biến dạng. Thế biểu thức (5) vào biểu thức (4), và tích phân đối với  , thế năng biến dạng đƣợc xác định nhƣ sau:   0 2 1 0 2 2 1 0 , 1 2 2 j j p L N j j j L N j i i i j j r k z z dw E A dz dz dw d G G w rdrdz dz dr Pw                                         (6) trong đó  pr a b   là bán kính tƣơng đƣơng của cọc tiết diện chữ nhật. Phƣơng trình cân bằng của hệ cọc nền thu đƣợc từ việc tối thiểu thế năng hay biến phân bậc nhất của thế năng phải bằng không ( 0  ). Phƣơng trình vi phân sau đây đối với phần tử cọc thu đƣợc từ việc lấy biến phân theo biến jw :   2 2 2 2 2 2 2 0 p p j j i i r i j r d w E A G rdr dz d G rdr w dr                             (7) Phƣơng trình (7) đƣợc viết gọn lại là: 2 2 0 j j j j d w t k w dz   (8) trong đó jk và jt là các hệ số nền cắt và nén đƣợc xác định theo: 2 2 p j i r d k G rdr dr            (9)   22 2 p j j i i r t E A G rdr       (10) 5. XẤP XỈ CHUYỂN VỊ Theo phƣơng pháp phần tử hữu hạn, chuyển vị đứng trong phần tử cọc đƣợc xấp xỉ bằng các chuyển vị tại hai đầu cọc (hình 2): ,1 ,1 ,2 ,2j j j j jw N w N w  (11) trong đó ,1jw và ,2jw tƣơng ứng là chuyển vị đứng của cọc tại nút đầu và nút cuối của phần tử cọc thứ j ; ,1jN và ,2jN là các hàm dạng. Các hàm dạng đƣợc xác định nhƣ sau:               ,1 ,2 cosh sinh cosh sinh sinh sinh sinh j j j j j j j j j j j j z L L z N L z N L           (12) trong đó z tọa độ địa phƣơng và j đƣợc tính theo biểu thức: j j j k t   (13) Hình 2: Phần tử thanh Tối thiểu hàm thế năng bằng cách lấy biến phân hàm thế năng theo biến  , phƣơng trình vi phân cân bằng của đất nền xung quanh cọc thu đƣợc là: 2 2 2 1 0 d d r drdr       (14) trong đó: d c   (15) 2 1 0 jLN i j j c G w dz    (16)   2 1 0 2 jLN j i i j dw d G dz dz              (17) Dựa trên biểu thức xấp xỉ chuyển vị theo biểu thức (11), giá trị của c và d đƣợc tính toán nhƣ sau:              2 ,1 ,1 ,2 ,2 1 0 ,1 ,22 1 ,1 ,2 2 2 ,1 ,2 4 cosh 4 sinh 4 sinh 2 sinh 2 jLN i j j j j j N i j j j j j j j j jj j j j j j j j j j j c G N w N w dz G L w w L L w w L w w L L                        (18)                2 ,1 ,2 ,1 ,2 1 0 ,1 ,22 1 ,1 ,2 2 2 ,1 ,2 2 2 4 cosh 4sinh 4 sinh 2 sinh 2 jLN j j i i j j j N i i j j j j j j j j jj j j j j j j j j j j dN dN d G w w dz dz dz G L w w L L w w L w w L L                                  (19) ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 1-2016 58 Phƣơng trình vi phân (14) có dạng của phƣơng trình vi phân Bessel cải tiến và lời giải cho phƣơng trình vi phân này là:    1 0 2 0c I r c K r    (20) trong đó 0I là hàm Bessel cải tiến dạng một và bậc không, và 0K là hàm Bessel cải tiến dạng hai và bậc không. Áp dụng điều kiện biên 1  tại pr r , và 0  tại r  vào biểu thức (20), lời giải cho phƣơng trình (14) là:     0 0 p K r K r     (21) Hệ số nền theo biểu thức (9) và (10) đƣợc viết nhƣ sau:         2 2 2 2 0 2 12 0 2 p j i r i p p p p p d k G rdr dr G r K r K r K r K r                      (22)           2 2 2 2 1 02 0 2 2 2 p j j i i r i i p j p p p t E A G rdr G r E A K r K r K r                    (23) 6. Giải bài toán Thế biểu thức (10) và biểu thức (7) thu đƣợc biểu thức nhƣ sau: 2 ,1 ,1 ,1 ,2 ,1 ,22 ,2 ,2 0 j j ij j j ij j j j j w wd t N N k N N w wdz                          (24) Tích phân biểu thức (24) theo phƣơng pháp Galerkin và lý thuyết Green (Smith và Griffiths, 2004) [24] thu đƣợc biểu thức ma trận độ cứng của phần tử cọc nền nhƣ sau:               cosh 1 sinh sinh cosh1 sinh sinh j j j j j j j jj j j j j j j L L L K t L L L                        (25) trong đó   j K là ma trận độ cứng của phần tử cọc nền thứ j . Nếu tải trọng P đặt tại đỉnh cọc, quy trình tính toán đơn giản sau đây đƣợc sử dụng để xác định độ cứng tƣơng đƣơng của hệ cọc nền, chuyển vị và nội lực trong cọc (Hình 3). Phƣơng trình cân bằng đối với phần tử cọc thứ j đƣợc viết nhƣ sau:       j jj K u F (26) Phƣơng trình (26) đƣợc viết lại dƣới dạng ma trận là:   ,1 ,1 ,2 1 ,2 j j j j j j w P K w K w                   (27) trong đó ,1jP là tải trọng đặt tại đỉnh của phần tử cọc; 1jK  là độ cứng tƣơng đƣơng của phần tử cọc ( 1)j  . Giải phƣơng trình (27), chuyển vị đứng tại nút đầu và nút cuối của phần tử cọc là: ,1 ,1 j j j P w K  (28)     ,2 ,1 1cosh sinh j j j j j j j j j j j t w w t L K L       (29) trong đó jK là độ cứng tƣơng đƣơng của phần tử cọc thứ j trong biểu thức (28) có dạng nhƣ sau:             2 1 cosh sinh sinh cosh sinh j j j j j j j j j j j j j j j j j j t L K L t L t L K L               (30) Xét phần tử cọc cuối cùng ngàm ở nút thứ 2, độ cứng tƣơng đƣơng của phần tử này đƣợc xác định theo biểu thức sau với 1NK    :     cosh sinh N N N N N N N t L K L     (31) Hình 3: Quy trình tính toán khi tải trọng đặt tại đỉnh cọc Lặp lại quá trình tính toán độ cứng tƣơng đƣơng của phần tử cọc từ N đến 1, độ cứng tƣơng đƣơng của toàn bộ hệ cọc nền bằng độ ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 1-2016 59 cứng tƣơng đƣơng của phần tử cọc thứ nhất. Chuyển vị tại đỉnh cọc đƣợc tính toán nhƣ sau: 0 1,1 1 Z P w w K    (32) Vì chuyển vị của nút thứ hai của phần tử thứ j là chuyển vị của nút thứ nhất của phần tử thứ ( 1)j  nên chuyển vị đƣợc tính toán từ phần tử thứ nhất đến phần tử thứ N theo biểu thức (31). Nội lực trong phần tử cũng đƣợc tính toán đồng thời với chuyển vị theo biểu thức sau: ,1 ,1j j jP w K (33) Nếu tải trọng P đặt tại mũi cọc nhƣ trong trƣờng hợp thí nghiệm nén tĩnh bằng O-Cell, hoặc tại điểm bất kỳ nhƣ trong trƣờng hợp tƣơng tác giữa các cọc trong nhóm thì đất nền phía trên và phía dƣới điểm đặt tải đƣợc tính toán riêng rẽ. 7. VÍ DỤ TÍNH TOÁN Để kiểm tra mức độ chính xác của phƣơng pháp tính toán, một số phân tích sau đây đƣợc thực hiện để so sánh với kết quả phân tích theo phƣơng pháp phần tử hữu hạn ba chiều. Cọc Barrette tiết diện chữ nhật trong nền đồng nhất có kích thƣớc 2.8 1.0a b m m   , chiều dài 30m, mô đun đàn hồi là 30GPa. Đất nền đồng nhất có mô đun đàn hồi 30MPa, hệ số Poisson 0,3. Cọc chịu tải trọng 1000kN đặt tại đỉnh cọc. Mô hình tính toán bao gồm mô hình phần tử hữu hạn ba chiều sử dụng phần mềm SSI3D, mô hình theo lý thuyết đề xuất cho cọc chữ nhật 2,8mx1,0m, cọc tròn đƣờng kính 2,4m có chu vi tƣơng đƣơng, và cọc tròn đƣờng kính 2,23m có diện tích tiết diện tƣơng đƣơng với tiết diện chữ nhật. Kết quả tính toán trình bày trong hình 4 với sai số chuyển vị của đỉnh cọc tính toán theo phƣơng pháp đề xuất so với tính toán theo phần tử hữu hạn ba chiều là 25 . Cọc tròn cùng chu vi hoặc cùng diện tích tiết diện có chuyển vị xấp xỉ với chuyển vị của cọc chữ nhật. Cọc Barrette tƣơng tự nhƣ trên nhƣng nằm trong nền có 3 lớp đất từ trên xuống bao gồm lớp thứ nhất: chiều dày 5m, mô đun đàn hồi 30GPa; lớp thứ hai: chiều dày 10m, mô đun đàn hồi 60GPa; lớp thứ ba: đáy lớp sâu hơn mũi cọc, mô đun đàn hồi 90GPa. Các lớp đất đều có cùng hệ số Poisson là 0,3. Hình 4: Chuyển vị của cọc tiết diện chữ nhật trong nền đồng nhất Kết quả tính toán chuyển vị cho cọc chữ nhật trong nền ba lớp trình bày trong hình 5. Tƣơng tự nhƣ đối với nền đất một lớp, sai số chuyển vị đỉnh cọc tính toán theo phƣơng pháp đề xuất so với phân tích theo phƣơng pháp pháp phần tử hữu hạn là 37 . Sai số này cũng phù hợp với kết quả nghiên cứu theo Basu và cộng sự (2008) hay Seo và cộng sự (2009) do giả thiết bỏ qua biến dạng theo phƣơng ngang của đất nền. Hình 5: Chuyển vị của cọc tiết diện chữ nhật trong nền ba l p 9. KẾT LUẬN Phƣơng pháp đơn giản tính toán ứng xử của cọc đơn tiết diện chữ nhật chịu tải trọng đứng đƣợc xây dựng dựa trên nguyên lý năng lƣợng và biến phân và phƣơng pháp phần tử hữu hạn. Quy trình tính toán đơn giản có thể xác định đƣợc độ cứng tƣơng đƣơng của hệ cọc nền, chuyển vị và nội lực trong cọc. Các ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 1-2016 60 kết quả tính toán so sánh với cọc tiết diện tròn cho thấy, phƣơng pháp tính toán có độ tin cậy cao phù hợp với các giả thiết đƣa ra. Tuy nhiên, kết quả tính toán còn sai khác với phƣơng pháp pháp phần tử hữu hạn ba chiều do giả thiết bỏ qua biến dạng theo phƣơng ngang. Vấn đề này sẽ đƣợc kể đến trong các nghiên cứu tiếp theo. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Ai, Z. Y., and Cheng, Y. C. (2013), Analysis of vertically loaded piles in multilayered transversely isotropic soils by BEM. Engineering Analysis with Boundary Elements 37 (2013) 327–335. 2. Basu, D., Prezzi, M., Salgado, R., and Chakraborty, T., (2008), Settlement analysis of piles with rectangular cross sections in multi-layered soils. Computers and Geotechnics 35 563–575. 3. Butterfield, R. and Banerjee, P. K. (1971), The elastic analysis of compressible piles and pile groups. Geotechnique, 21(1), 43-60. 4. Chin, J.T., Chow, Y.K., and Poulos H.G. (1990), Numerical analysis of axially loaded vertical piles and pile groups. Comput. Geotechn. 9 (4) 273–290. 5. Fidel, H., S. (2014). Analytical methods for predicting load-displacement behaviour of piles. Durham theses, Durham University. 6. Gibson, R. E. (1967), Some results concerning displacements and stresses in a non-homogeneous elastic half-space. Geotechnique, 17(1), 58-67. 7. Guo, W. D. (2000), Vertically loaded single piles in Gibson soil. J. Geotech. Geoenviron. Eng., 126(2), 189-193. 8. Guo, W. D. and Randolph, M. F. (1997), Vertically loaded piles in non-homogeneous media. Int. J. Numer. Anal. Methods Geomech., 21(8), 507-532. 9. Guo, D. J., Tham, L. G., and Cheung, Y. K. (1987), Infinite layer for the analysis of a single pile. Comput. Geotechn. 3 (4) 229–249. 10. Mindlin, R. D. (1936), Force at a point in the interior of a semi-infinite solid. Physics, 7, 195-202. 11. Lee C. Y. (1991), Discrete layer analysis of axially loaded piles and pile groups. Computers Geotech., 11(4), 295-313. 12. Lee, C. Y. and Small, J. C. (1991), Finite-layer analysis of axially loaded piles. J. Geotech. Eng., 117(11), 1706-1722. 13. Lee, K. M., and Xiao, Z. R. (1999), A new analytical model for settlement analysis of a single pile in multi-layered soil. Soils Found., 39(5), 131-143. 14. Lee, S. L., Kog, Y. C., and Karunaratne, G. P. (1987), Axially loaded piles in layered soil. J. of Geotech. Engrg., ASCE, Vol. 113, No. 4, pp. 366-381. 15. Nghiem, H., M. (2009). Soil-pile-structure interaction effects of high-rise building under seismic shaking. Dissertation, University of Colorado Denver. 16. Poulos, H. G. (1979), Settlement of single piles in non-homogeneous soil. J. Geotech. Eng. Div. ASCE, 1979, 105(5), 627-641. 17. Poulos, H. G & Davis, E. H. (1968), The settlement behavior of single axially loaded incompressible piles and piers. Geotechnique, 18(3), pp 351-371. 18. Poulos, H. G., and Davis, E. H. (1980), Pile Foundation Analysis and Design. John Wiley and Sons, New York. 19. Rajapakse, R. K. N. D. (1990), Response of an axially loaded elastic pile in a Gibson soil. Geotechnique, 40(2), 237-249. 20. Randolph, M.F., and Wroth, C. P. (1978), Analysis of vertical deformation of vertically loaded piles. J. Geotech. Eng. Div. ASCE, 104(12), 1465-1488. 21. Salgado, R., Seo, H., and Prezzi, M. (2013), Variational elastic solution for axially loaded piles in multilayered soil. Int. J. Numer. Anal. Meth. Geomech. 37:423–440. 22. Seo, H., and Prezzi, M. (2007), Analytical solutions for a vertically loaded pile in multilayered soil. Geomechanics and Geoengineering An International Journal, 2 (1), pp 51-60. 23. Seo, H., Prezzi, M., Basu, D., and Salgado, R., (2009), Load-Settlement Response of Rectangular and Circular Piles in Multilayered Soil. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, Vol. 135, No. 3, March 1. 24. Smith IM, Griffiths DV (2004), Programming the finite element method. John Wiley & Sons, Fourth Edition. 25. Vallabhan, C.V.G. & Mustafa, G. (1996), A new model for the analysis of settlement of drilled piers. International Journal of Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 20, pp 143-152. Người phản biện: PGS.TS VƢƠNG VĂN THÀNH