Phân tích phi tuyến động lực học vỏ trụ Composite có lớp áp điện - Nguyễn Thái Chung

Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 30, 4 - 2014 143 phân tích phi tuyến động lực học Vỏ TRụ THOảI COMPOSITE Có LớP áP ĐIệN Nguyễn Thái Chung*, Trương Thị Hương Huyền*, Nguyễn Trang Minh** Tóm tắt: Bài báo trình bày kết quả phân tích phi tuyến động lực học của vỏ trụ thoải composite có lớp áp điện chịu tác dụng của tải trọng ngắn hạn. Theo đó, phương trình vi phân mô tả dao động phi tuyến của vỏ thoải composite có lớp áp điện được các tác giả giải trên cơ sở kết hợp tích phân trực tiếp Newmark với lặp Newton-Raphson. Chương trình tính cụ thể hóa thuật toán, phân tích bài toán được các tác giả viết trong môi trường Matlab. Với việc phân tích phi tuyến động lực của vỏ và dựa vào tiêu chuẩn ổn định động của Budiansky-Roth, các tác giả xem xét khả năng ổn định và xác định lực tới hạn của vỏ. Từ khóa: Vỏ composite, Áp điện, Dao động phi tuyến, Ổn định. 1. ĐặT VấN Đề Trên cơ sở kế thừa và phát triển các nghiên cứu trước [4,6], bài báo xây dựng thuật toán PTHH, phương pháp giải và khảo sát ảnh hưởng của một số yếu tố đến dao động phi tuyến và ổn định của vỏ trụ thoải composite có lớp áp điện, trong đó xét đến cản tổng thể (cản áp điện và cản kết cấu) của vỏ. 2. ĐặT BàI TOáN Và CáC GIả THIếT Vỏ trụ thoải composite có lớp áp điện được rời rạc hoá bởi hữu hạn các phần tử chữ nhật phẳng 9 điểm nút, trong đó mỗi phần tử vỏ phẳng được xem như là tổ hợp của 2 loại phần tử: phần tử tấm phẳng 9 điểm nút chịu kéo (nén), mỗi nút có 2 bậc tự do (ui, vi) và phần tử tấm phẳng 9 điểm nút chịu uốn - xoắn kết hợp, mỗi nút có 4 bậc tự do (wi, xi, yi, zi), mô hình hình học thể hiện như trên hình 1 [6],[7]. a, Mô hình PTHH vỏ trụ thoải b, Phần tử chữ nhật phẳng k  k5  k2  k6  k3 k7 k9  k4  k8  c, Bậc tự do cơ học và bậc tự do điện thế của phần tử chữ nhật phẳng Hình 1. Mô hình hóa vỏ thoải bằng hữu hạn phần tử chữ nhật phẳng. Cơ kỹ thuật & Kỹ thuật cơ khí động lực N. T. Chung, T. T. H. Huyền, N. T. Minh,  Phân tích phi tuyến ... có lớp áp điện. 144 3. quan hệ ứng xử cơ học của phân tử vỏ composite có lớp áp điện 3.1. Quan hệ biến dạng và chuyển vị Khi kể đến biến dạng của mặt trung bình phần tử, các thành phần véc tơ biến dạng quan hệ với trường chuyển vị (1) theo biểu thức [1],[7]:             L N T bb x y xy yz xz s s { } ,                             (1) với Lb{ } là véc tơ biến dạng uốn tuyến tính, N là véc tơ biến dạng phi tuyến, s{ } là biến dạng cắt. 3.2. Quan hệ ứng suất và biến dạng 3.2.1. Quan hệ ứng suất và biến dạng trong lớp composite: Biểu thức quan hệ ứng suất - biến dạng trong lớp composite [4],[5],[9]:    cp ijk k Q , i, j 1,2, 4,5,6,       (2) trong đó, ij k Q    ma trận hệ số độ cứng lớp composite thứ k. 3.2.2. Quan hệ ứng suất và biến dạng trong lớp composite áp điện: Biểu thức quan hệ ứng suất - biến dạng và hệ thức biểu diễn sự cân bằng điện tích trong lớp áp điện thứ k của phần tử được viết dưới dạng sau [4],[5],[9]:        Tijk k kkkC e E ,      (3)          k k kk kD e p E ,   (4) trong đó, {E} là véc tơ điện trường, {D} là véc tơ điện tích cảm ứng, ijC   , i,j=1,2,4,5,6 là ma trận độ cứng vật liệu lớp áp điện, [e] là ma trận hệ số ứng suất áp điện, [p] là ma trận hệ số điện môi. 3.3. Véc tơ điện trường Trường hợp tổng quát, véc tơ điện trường {E} được biểu diễn [5]:         T T x y zE E E E x, y,z , x y z                 (5) trong đó,  x, y, z   - điện thế áp đặt. 3.4. Các thành phần nội lực Các thành phần véc tơ lực màng {N} = {Nx Ny Nxy} T, mômen uốn, mômen xoắn {M} = {Mx My Mxy} T và lực cắt {Q} = {Qx Qy} T trong phần tử vỏ có n lớp composite, m lớp áp điện được xác định như sau [5],[8]:                         T e0 N T e AN A B . M B D B                                   (6) Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 30, 4 - 2014 145          T T1 2 s e eQ F S S , x y                  (7) trong đó, các ma trận hệ số được xác định như trong [4],    là véc tơ điện thế phần tử, cấu trúc như sau:          T 1 1 2 2 m m b t b t b t           (8) với chỉ số “t”, “b” dùng để chỉ mặt trên và mặt dưới của lớp áp điện. 4. phương trình vi phân phi tuyến mô tả dao động của vỏ và phương pháp giải Xét trường hợp hệ có mạch hồi tiếp, không có điện tích ngoài đưa thêm vào, sử dụng phương trình Lagrange loại 2, ta có phương trình vi phân mô tả dao động của phần tử vỏ trong hệ trục tọa độ cục bộ được viết như sau [4]:         e e eU A Re e e e eUM U C C U U FK ,                 (9) trong đó, eUM   là ma trận khối lượng phần tử, e RC   là ma trận cản cơ học phần tử (xem ảnh hưởng của tương tác cơ - điện đến cản kết cấu là bé, nên: e e eR U UC M K             , với các hằng số cản Rayleigh ,  được xác định theo tỷ số cản và tần số dao động riêng của vỏ), 1e e e A U 1e e e v U a s s C K KG K K K                            là ma trận hệ số cản chủ động (Gv - hệ số hồi tiếp tốc độ, eU e UK , K       là tương ứng là các ma trận tương tác cơ - điện, điện - cơ, eK   là là ma trận độ cứng điện môi phần tử, e UUK   là ma trận độ cứng cơ của phần tử, chỉ số “a” và “s” tương ứng chỉ kích thích và cảm biến),  1 1e e e e e eUU d U Ua s seUK K G K K K K K                                ( e UK   là ma trận độ cứng chủ động, Gv - hệ số hồi tiếp chuyển dịch), eF -véc tơ tải trọng cơ [4]. Sử dụng phương pháp ma trận biến đổi tọa độ, phương trình vi phân mô tả dao động cơ học của phần tử trong hệ tọa độ tổng thể như sau:         e e eU A Re e e e eUM U C C U U FK .                 (10) Và sau khi tập hợp các ma trận phần tử, véc tơ tải trọng phần tử thành ma trận và véc tơ tải trọng tổng thể, phương trình vi phân mô tả dao động của vỏ composite có lớp áp điện như sau:             U A R UM U C C U U FK .       (11) Gọi      A RC C C  là ma trận cản tổng thể, phương trình (22) được viết lại:          U UM U C U U FK .      (12) Đây là phương trình phi tuyến, được các tác giả sử dụng phương pháp tích phân trực tiếp Newmark kết hợp với phương pháp lặp Newton - Raphson. Cơ kỹ thuật & Kỹ thuật cơ khí động lực N. T. Chung, T. T. H. Huyền, N. T. Minh,  Phân tích phi tuyến ... có lớp áp điện. 146 5. khảo sát số 5.1. Bài toán xuất phát Vỏ thoải composite có lớp áp điện, chiều dày tổng cộng h = 0,0035m, bán kính cong R = 1,0m, chiều dài L = 0,30m, góc mở  = 300. Vỏ gồm 6 lớp, trong đó 2 lớp áp điện bằng vật liệu PZT-5A bố trí ở mặt trong và mặt ngoài của vỏ, mỗi lớp vật liệu áp điện có chiều dày hp = 0,00075m; các lớp giữa là 4 lớp composite làm từ vật liệu Graphite/Epoxy T300/976, mỗi lớp có chiều dày h1 = 0,0005m. Xét trường hợp các lớp composite bố trí đối xứng [p/-///-/p], với  = 450, “p” là ký hiệu lớp áp điện. Graphite-Epoxy T300/976: E11 = 150.109 N/m2, E22 = E33 = 9.10 9 N/m2, G12 = G13 = 7,1.10 9 N/m2, G23 = 2,5.10 9 N/m2, 12 = 23 = 32 = 0,3, GE = 1600kg/m 3 và vật liệu PZT-5A: E = 63,0.109 N/m2, G = 24,2.109 N/m2,  = 0.3, pzt = 7600kg/m 3, d31 = d32 = 2,54.10 -10m/V, p11 = p22 = p33 = 15.10 -9F/m. Tải trọng ngắn hạn dạng sóng xung kích phân bố đều trên bề mặt trên của vỏ, quy luật tải trọng như sau: max t 1 : 0 t p(t) p F(t), F(t) . 0 : t               trong đó, pmax = 110 5N/m2,  = 0,025s. Điện thế áp đặt Vp = 50V, hệ số hồ tiếp Gv = 0,5, Gd = 15, tỷ số cản kết cấu  = 0,05. Vỏ liên kết ngàm dọc theo 2 cạnh thẳng: u = 0, v = 0, w = 0, x = 0, y = 0, z = 0 tại x=0 và tại x=a. Điểm xuất kết quả: Điểm giữa bề mặt vỏ (điểm A- hình 2). Hình 2. Mô hình thực của bài toán. Hình 3. Mô hình PTHH của bài toán. 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 x 10 7 Thoi gian t[s] Un g su at p ha p Xi cm a x[ N/ m 2 ] Hình 4. Đáp ứng W theo thời gian t. Hình 5. Đáp ứng ứng suất x theo t. Sử dụng chương trình đã lập, tiến hành phân tích dao động riêng và dao động cưỡng bức của vỏ. Bước tích phân t = 0,0005s, thời gian tính tcal = 0,1s. Kết quả, hình 4, 5 tương ứng là đáp ứng chuyển vị đứng W,và ứng suất theo thời gian tại điểm tính. Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 30, 4 - 2014 147 5.2. ảnh hưởng của một số yếu tố đến dao động phi tuyến và ổn định của vỏ 5.2.1. ảnh hưởng của biên độ tải trọng Khảo sát bài toán với biên độ tải trọng pmax thay đổi từ 0,5.10 5N/m2(hình 6, 7). 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.66 x 10 5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 x 10 8 Bien do tai trong p max [N/cm 2 ] U ng s ua t p ha p lo n nh at (X ic m a) m ax [N /m 2 ] Xicma x Xicma y Hình 6. Quan hệ Wmax - pmax . Hình 7. Quan hệ max max x y,  - pmax . Qua đây nhận thấy: với pmax = 1,66.10 5N/m2 thì vỏ mất ổn định theo tín hiệu nhận biết của Budiansky, B. and Roth, R.S [2]. 5.2.2. ảnh hưởng của điện thế Khảo sát xác định lực tới hạn của vỏ khi điện thế Vp biến thiên từ 0V đến 300V. 0 50 100 150 200 250 300 1.655 1.656 1.657 1.658 1.659 1.66 1.661 1.662 1.663 1.664 1.665 1.666 x 10 5 Dien the Vp[V] B ie n d o l u c to i h a n ( p m a x) th [N /m 2 ] Hình 8. Quan hệ cr maxp và điện thế Vp. Từ hình 8, có nhận xét: Khi điện thế biến thiên tăng, biên độ lực tới hạn tăng, mức độ tăng không lớn, trong phạm vi bài toán khảo sát cho thấy biên độ lực tới hạn tăng 0,42%. Điều này theo tác giả là phù hợp vì điện thế có tác dụng dập tắt dao động sau thời gian tác dụng tải, còn tác dụng để hạn chế pick dao động là không lớn. 6. kết luận Bằng phương pháp PTHH, các tác giả đã giải bài toán động lực học phi tuyến của vỏ trụ thoải composite có lớp áp điện, xây dựng chương trình tính, tính toán và khảo sát số. Trong đó với việc xem xét ảnh hưởng của biên độ tải trọng sóng ngắn hạn, đã phát hiện sự mất ổn định của vỏ và biên độ lực tới hạn. - Khảo sát ảnh hưởng của các yếu tố áp điện, giải pháp công nghệ, kích thước hình học đến biên độ lực tới hạn của vỏ. - Các nhận xét có tính định lượng được đưa ra có khả năng tham khảo lựa chọn các giải pháp hợp lý về dao động và ổn định cho vỏ composite áp điện chịu tác dụng của tải trọng ngắn hạn dạng sóng xung kích. Cơ kỹ thuật & Kỹ thuật cơ khí động lực N. T. Chung, T. T. H. Huyền, N. T. Minh,  Phân tích phi tuyến ... có lớp áp điện. 148 Tài liệu tham khảo [1]. Bathe K.J (1996), Finite element procedures, Prentice Hall International, Inc. [2]. Budiansky,B and Roth, R.S (1962), Axisymmetric dynamic buckling of clamped shallow spherical shell, In: Collected papers on instability of shell structures, NASA TN D-1510. [3]. G.VijayaKumar, K.Mohana Rao, J.Suresh Kumar and S. Raja (2011), Selective modal space control approach for smart composite cylindrical shell structure, ARPN Journal of Engineering and Applied Sciences, Vol.6, No. 3,March 2011, ISSN 1819-6608. [4]. Hoàng Xuõn Lượng, Nguyễn Thỏi Chung, Trương Thị Hương Huyền (2013), Dao động của vỏ thoải composite lớp ỏp điện cú xột đến yếu tố phi tuyến hỡnh học, Tuyển tập cụng trỡnh Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ IX, tr692-701. [5]. Jiashi Yang (2006), The Mechanics of Piezoelectric Structures, British Library Cataloguing-in- Publication Data, A catalogue record for this book is available from the British Library. [6]. José Antônio Hernandes and Rafael Takeda Melim (2012), A flat shell composite element including piezoelectric actuators, Instituto Tecnológico de Aeronáutica, São José dos Campos, SP,12228-900, Brazil. [7]. Pham Tien Dat, Nguyen Thai Chung, Bui Tien Cuong (2008), Geometrical nonlinear elastic buckling of the composite cylindrical shell-Proceeding of the International Conference on Computational Solid Mechanics CSM-2008- University of Technical Education Hochiminh City, Vietnam Association for Mechanics of Solids, Vietnam National University Publishers, Hanoi, pp.67-76. [8]. Reddy J.N (2004), Mechanics of Laminated Composite Plates and Shells: Theory and Analysis, CRC Press. [9]. Trần ích Thịnh, Lê Kim Ngọc (2006), Phân tích cơ học vật liệu comosite áp điện, Tuyển tập công trình Hội nghị khoa học toàn quốc Cơ học vật rắn biến dạng lần thứ 8. abstract Nonlinear Dynamics analysis of shallow cylindrical composite shells with piezoelectric layers This paper represents the result of Nonlinear Dynamics analysis of shallow cylindrical composite shells with piezoelectric layers based on Finite Element Method (FEM) algorithm in a Matlab program. The differential equations for nonlinear vibration of composite shells are solved by a solution combining Newmark direct integral and Newton-Raphson iteration. Stable possibilities as well as ultimate forces for the shells are considered based on dynamic buckling criteria of Budiansky-Roth with response over time. Keywords: Composite shell, Piezoelectric, Nonlinear vibration, Buckling. Nhận bài ngày 18 tháng 01 năm 2014 Hoàn thiện ngày 27 tháng 02 năm 2014 Chấp nhận đăng ngày 20 tháng 03 năm 2014 Địa chỉ: * Học viện Kỹ thuật quân sự; ** Viện Khoa học và Công nghệ quân sự.