Phân tích động học robot song song 3rps

Chương III: Phân tích động học Robot song song 3RPS 3.1 Bài toán phân tích vị trí 3.1.1 Các phương trình liên kết cho Robot song song 3RPS tổng quát Trên hình 3.1 mô tả sơ đồ động học của Robot song song 3RPS. Cấu trúc các khâu của Robot này được mô tả trong mục 1.6 z1 y1 A1 A2 A3 B1 B3 B2 Hình 3.1: Cấu trúc chấp hành song song 3RPS Đế cố định Bàn máy động x0 y0 z0 x1 x1 x2 x3 z1 z2 z3 P O a) Quan hệ về hình học và các hệ toạ độ Do cấu trúc Robot đảm bảo tính hợp lý nên các chân AiBi ^ Zi (các trục quay). Gọi O và P là trọng tâm của hai tam giác A1A2A3 và B1B2B3, ta đặt lên đó các hệ toạ độ như trên hình 3.1: - Ox0y0z0 : Hệ toạ độ cố định. - Pxyz : Hệ toạ độ động gắn liền với bàn máy động. - Aixiyizi, (i = 1,2,3): Hệ động gắn với chân thứ i. Với xiº và ziº trục quay, trục yi lập với xi và zi một hệ quy chiếu thuận. Ta đưa thêm vào 3 toạ độ suy rộng ai (i = 1,2,3) là góc hợp bởi trục z0 và trục xi như hình vẽ. Ngoài ra ta sử dụng các ký hiệu: - ai : Véc tơ đại số chứa các toạ độ của điểm Ai trên hệ cố định, ai= bi: Véc tơ đại số chứa các toạ độ của điểm Bi trên hệ cố định. - Bbi : Véc tơ đại số chứa các toạ độ của điểm Bi trên hệ cố động, Bbi=. - p: véc tơ đại số chứa các toạ độ của điểm P trên hệ cố định, p = [p1,p2,p3]T. - di: độ dài chân thứ i (di = AiBi). - bi và Bbi : Xác định được từ kết cấu hình học của robot. - ARB : Ma trận cosin chỉ hướng của hệ động Pxyz so với hệ cố định Ox0y0z0. - ARi : Ma trận cosin chỉ hướng của hệ động Aixiyizi so với hệ cố định Ox0y0z0. ARB, ARivới: (i = 1,2,3). (3.1) Các phần tử của ma trận ARB và ma trân ARi tuỳ theo kết cấu của bàn đế cố định, là hàm của góc ai. Từ hình vẽ ta có: + (i = 1,2,3) (3.2) + (i = 1,2,3) (3.3) Ta có thể biểu diễn (3.2) và (3.3) dưới dạng sau: bi = ai + ARi. (i = 1,2,3) (3.4) bi = p + ARB. (i = 1,2,3) (3.5) Kết hợp hai phương trình trên ta có : p + ARB.Bbi = ai + ARi. (i=1,2,3) (3.6) Hệ thức (3.6) gồm có 9 phương trình chứa các ẩn là toạ độ diểm P, độ dài các chân di, các góc ai. Khi giải các bài toán động học thuận/ngược, ta đã biết 3 thông số p/di nên công việc còn lại chỉ chỉ giải bài toán 6 phương trình 6 ẩn, các thông số còn lại như hướng của bài máy động, hướng của các chân sẽ được xác định khi đã biết các thông số này. Hệ thức này có ý nghĩa rất quan trọng, qua đó ta có thể giải quyết bài toán động học một cách trọn vẹn cả bài toán thuận và bài toán ngược, điều mà các phương pháp trước đây chưa giải quyết được hay mới chỉ đưa ra cách giải quyết bài toán thuận b) Tính toán các phần tử của hệ thức (3.6) Các ma trận cosin chỉ hướng ARi được xác định bởi các phép quay liên tiếp dựa vào lý thuyết trình bày ở mục 2.2, ta thực hiện các phép biến đổi liên tiếp để hệ toạ độ cố định Oxyz trùng với hệ Aixiyizi . Z3 Z2 1 Z1 X0 Y0 Hình 3.2 áp dụng hệ thức trong tam giác ta có thể tính được độ dài các đường trung bình, như vậy sẽ xác định được j2 và j3. cos j2 = cos j3 = Ma trận ARi được xác định bởi các phép quay liên tiếp từ hệ cố định quanh chính nó như sau: ARi = Az1. Ax2. Az3. Ax4 Với Az1 , Ax2 , Az3 , Ax4 lần lượt là ma trận cosin chỉ hướng của các phép quay sau: -Quay một góc () quanh trục z0. -Quay tiếp quanh trục x của hệ mới một góc (P/2) -Quay tiếp quanh trục z của hệ mới một góc (P/2 + a1) -Quay tiếp quanh trục x của hệ mới một góc P Vậy : AR1= AR1= Bằng cách tương tự ta cũng xác định được các ma trận AR2 và AR3 Ma trận AR2 được xác định bởi các phép quay sau: - Quay hệ cố định một góc () quanh trục z0. - Quay tiếp quanh trục x của hệ mới một góc (P/2). - Quay tiếp quanh trục z của hệ mới một góc (P/2 + a2). - Quay tiếp quanh trục x của hệ mới một góc P. AR2= AR2= Ma trận AR3 được xác định bởi các phép rơ quay sau: - Quay hệ cố định một góc () quanh trục z0. - Quay tiếp quanh trục x của hệ mới một góc (P/2). - Quay tiếp quanh trục z của hệ mới một góc (P/2 + a3). - Quay tiếp quanh trục x của hệ mới một góc P. AR3= AR3= Ta thấy các thành phần của các ma trận ARi (i=1,2,3) chỉ chưa các ẩn là các góc ai còn j2 , j3 và bi (i=1,2,3) đã biết do kết cấu của robot. Mặt khác dựa vào kết cấu của bàn di động B ta có : (b1 – b2)T(b1- b2) =  (3.7) (b1 – b3)T(b1- b3) =  (3.8) (b2 – b3)T(b2- b3) =  (3.9) Với bi = ai + ARi. (i = 1,2,3) Như vậy các thành phần của hệ thức (3.6) được xác định thông qua 9 ẩn số a1, a2, a3, d1, d2, d3, p1, p2, p3 . Khi giải quyết bài toá động học thuận hay ngược, ta biết trước được 3 ẩn (d1, d2, d3 hoặc p1, p2, p3 ). Công việc còn lại chỉ phải giải hệ 6 phương trình 6 ẩn số. 3.1.2 Bài toán động học thuận Bài toán động thuận là bài toán biết độ dài các chân di (i=1,2,3), ta phải tìm vị trí của bàn máy động p và ma trận ARB. Ta thay các giá trị di vào hệ (3.6), ta được hệ 6 phương trình với 6 ẩn số là: a1, a2, a3,, p1, p2, p3 . 3.1.3 Bài toán động học ngược Bài toán động ngựoc là bài toán biết vị trí của bàn máy di động pi (i=1,2,3), ta phải tìm vị trí của các chân di (i=1,2,3) và các góc ai (i=1,2,3). Ta thay các giá trị pi vào hệ (3.6), ta được hệ 6 phương trình với 6 ẩn số là: a1, a2, a3, d1, d2, d3 . 3.1.4 Tính toán vị trí cho robot song song 3RPS cụ thể Trên hình 3.3 mô tả sơ đồ động học của một con robot song song 3RPS, có đế cố định A1A2A3 và bàn di động B1B2B3 là các tam giác đều. Độ dài PB1=h: OA1= g. Khi các góc j2= j3 = 2p/3. Để đảm bảo tính hợp lý của kết cấu ta có zi = AiBi , zi ^ OAi nên bi = p/2 A1 A2 A3 B1 B3 B2 Hình 3.3: Cấu trúc chấp hành song song 3RPS Đế cố định Bàn máy động x0 y0 z0 x1 x1 x2 x3 z1 z2 z3 y1 z1 P O Khi đó Bb1 = ; Bb2 = ; Bb3 = (3.10) a1= ; Bb2 = ; Bb3 = (3.11) Sử dụng công thức (3.7), (3.8), (3.9) thay vào hê thức (3.6) : Các ma trận AR1 trở thành: AR1 = (3.12) AR2 = (3.13) AR3 = (3.14) Thay vào hệ thức (3.6) ta được: + Với i = 1: p1 + ux .h = g – d1.sina1 p2 + uy.h = 0 p3 + uz.h = d1cosa1 Suy ra: ux = uy = uz = + Với i = 2 (3.16) + Với i = 3 (3.17) Thực hiện các phép biến đổi (3.15), (3.16), (3.17) và thay các Bbi vào (3.7), (3.8), (3.9) ta được: 3p1 = (d2sina2 + d3sina3) – d1sina1 3p2 = (d2sina2 - d3sina3) 3p3 = d1cosa1 + d2cosa2 – d3cosa3 (3.18) 3g2 – 3gd1sina1 - 3gd2sina2 +d1 d2sina1.sina2 – 2d1d2cosa1.cosa2+ d 3g2 – 3gd1sina1 - 3gd3sina3 +d1 d3sina1.sina3 – 2d1d3cosa1.cosa3+ 3g2 – 3gd2sina2 - 3gd3sina3 +d2d3sina2.sina3 – 2d2d3cosa2.cosa3+ Hệ (3.18) là dạng khai triển của hệ (3.6) áp dụng cho một robot song song 3RPS cụ thể, nhờ hệ này ta có thể áp dụng tính toán và giải bài toán động học robot một cách trọn vẹn. a) bài toán động học thuận. Bài toán động học thuận là bài toán biết độ dài các chân di (i = 1,2,3) ta phải tìm vị trí của bàn máy động p và ma trận ARB. Theo phần trên ta thay các giá trị di (i = 1,2,3) vào hệ (3.8) ta sẽ được hệ 6 phương trình 6 ẩn là a1, a2, a3, p1, p2, p3 . Chú ý 3 phương trình sau của hệ (3.18) chỉ chứa di và ai nên việc giải hệ 6 phương trình 6 ẩn đơn giản còn có 3 phương trình 3 ẩn là ai. Sau đó thay các giá trị của di và ai vào 3 phương trình đầu ta sẽ được các giá trị của p. Các gía trị còn lại được tính bằng cách thay trực tiếp vào phương trình (3.15), (3.16), (3.17). b) Bài toán động học ngược Bài toán động học ngược là bài toán biết vị trí bàn máy động p, ta phải tìm độ dài các chân di (i = 1,2,3) và các góc ai (i=1,2,3). Tương tự như cách làm đối với bài toán động học thuận ta thay các giá trị p vào hệ (3.18), ta sẽ được hệ 6 phương trình với 6 ẩn số là a1, a2, a3, d1, d2, d3. Các giá trị còn lại được tính bằng cách thay trực tiếp vào phương trình (3.15), (3.16), (3.17). 3.2 Bài toán phân tích Jacobi 3.2.1 Ma trận Jacobi của robot song song không gian Trong phần trước ta đã xây dựng được các điều kiện dàng buộc động học của cơ cấu, các điều kiện này có dạng tổng quát : f(x,q) = 0 (3.19) Trong đó: q là biến khớp tác động. x đặc trưng vị trí bàn máy di động. f là hàm ẩn n chiếu theo q và x. Đạo hàm (3.19) theo thời gian ta được: (3.20) Nếu đặt và thì hệ (3.20) có dạng : (3.21) Từ đó ta có: (3.22) Ta có thể biểu diễn (3.22) dưới dạng sau: với J1 = (3.23) Tương tự ta cũng có được : (3.24) với (3.25) Trong đó J1 , J2 là các ma trận Jacobi ứng với 2 trạng thái động học thuận và động học ngược. Các trạng thái đặc biệt . Với sự tồn tại hai ma trận Jacobi, cơ cấu chấp hành song song có cấu hình đặc biệt khi Jx, Jq hoặc cả hai trạng thái đặc biệt do đó có thể tìm được ba kiểu trạng thái đặc biệt: + Khi định thức của Jq tiến đến zero det(Jx) = 0 (3.26) Khi đó tồn tại các véc tơ khác zero dẫn đến kết quả vectơ bằng zero. Tức là chuyển động vi phân của bệ di động theo một số chiều không thể thực hiện được, cơ cấu chấp hành bị dàng buộc lại và mất đi một số bậc tư do. Trạng thái đặc biệt động học đảo thường xảy ra ở biên không gian hoạt động của cơ cấu chấp hành. + Khi định thức Jx bằng zero det(Jx) = 0 (3.27) Khi đó tồn tại các véc tơ khác zero dẫn đến kết quả vectơ bằng zero. Trong trường hợp này bệ di động có thể chuyển động vi phân theo một số chiều, còn mọi bộ tác động khác đều bị khoá tức là hệ sẽ tăng lên một số bậc tự do. +Khi cả hai định thức của Jx và Jq đều bằng zero. Trong phạm vi đồ án này ta không xét tới các trạng thái động học đặc biệt này. 3.2.2 Phân tích Jacobi Robot song song 3RPS tổng quát A1 A2 A3 B1 B3 B2 Hình 3.4: Cấu trúc chấp hành song song 3RPS Đế cố định Bàn máy động x0 y0 z0 x1 x1 x2 x3 z1 z2 z3 P O y1 z1 Từ công thức (3.6): p + ARB.Bbi = ai + ARi. (i = 1,2,3) Đạo hàm công thức (3.6) ttheo thời gian ta được : (i=1,2,3) (3.28) Do ai là hằng số nên đạo hàm Từ phương trình (2.28) ta có: Nên (3.29) Trong đó: (i=1,2,3) ,, là các thành phần vận tốc góc của chân thứ i so với hệ cố định. ,, là các thành phần vận tốc góc của bàn máy động so với hệ cố định. Chú ý:Do vector vận tốc góc có hướng theo các trục zi tương ứng trên hình chiếu của nó lên các trục x0,y0,z0 cho ta =0. Vậy (i=1,2,3) Nếu biết (hoặc ) ta có thể xất định các thành phần còn lại từ các tham số hình học của hệ. Phương trình (3.28) được viết dưới dạng : (i=1,2,3) (3.30) Khai triển (3.30) ta sẽ được 9 phương trình, các đại lượng đã biết từ bài toán tìm vị trí và tham số hình học của robot là: di,Bbi,Ri,ARB (i=1,2,3) -Bài toán Jacobi thuận : Biết(i=1,2,3) ta có 9 phương trình đại số tuyến tính để giải 9 ẩn: , . -Bài toán phân tích Jacobi ngược: Biết hoặc ta có 9 phương trình đại số tuyến tính để giải 9 ẩn: (hoặc ), . Ma trận Jacob được mô tả trong mục (3.2.1) sẽ được xát định khi sắp xếp các số hạng của phương trình (3.30). 3.2.3 Phân tích Jacobi của một robot song song 3RPS cụ thể Đạo hàm phương trình (3.18) ta được hệ (3.31): Đo các đại lượng về vị trí đã tính được ở bài toán vị trí nên hệ (3.31) là một hệ phương trình tuyến tính với các ẩn là các vận tốc (i = 1,2,3). Nếu ta sử dụng các ký hiệu: Vậy hệ (3.31) có thể viết thành: (3.32) a) Bài toán phân tích Jacobi thuận: Bài toán phân tích Jacobi thuận: Biết (i =1,2,3) ta có 6 phương trình đại số tuyến tính dể giải 6 ẩn Ta viết lại hệ (3.32) dưới dạng ma trận : (3.33) Trong đó : Các thành phần của ma trận Jd , Jp đã xác định được từ bài toán vị trí. a)Bài toán phân tích Jacobi ngược Bài toán phân tích Jacobi ngược: Biết ta có 6 phương trình đại số tuyến tính để xác định 6 ẩn: . Ta viết lại hệ phương trình (3.32) dưới dạng ma trận: (3.34) Trong đó: J2= Các thành phần của ma trận J2 đã xác định được từ bài toán vị trí.