Phân tích dẻo lan truyền dầm liên hợp thép - Bê tông chịu tải trọng tĩnh sử dụng siêu phần tử thanh

21 S¬ 28 - 2017 Phân tích dẻo lan truyền dầm liên hợp thép - bê tông chịu tải trọng tĩnh sử dụng siêu phần tử thanh The spread of plasticity analysis of steel-concrete composite beam under static load using super element Hoàng Hiếu Nghĩa, Nghiêm Mạnh Hiến, Vũ Quốc Anh Tóm tắt Bài báo trình bày phương pháp phân tích dẻo lan truyền của dầm liên hợp thép-bê tông chịu tải trọng tĩnh sử dụng siêu phần tử thanh thông qua lý thuyết giải tích, phương pháp dẻo lan truyền. Xây dựng siêu phần tử thanh 2D với n điểm biến dạng dẻo dọc theo chiều dài phần tử. Tại điểm có biến dạng dẻo, đặc trưng vật liệu của dầm liên hợp có biến đổi thông qua sự chảy dẻo của mặt cắt tiết diện, điều đó được xác định qua đường quan hệ mô men - độ cong đơn vị (M-θ), xây dựng được phương trình độ cứng của tiết diện thay đổi dọc theo chiều dài dầm. Ma trận dẻo được thiết lập trong suốt quá trình phân tích để thể hiện sự lan truyền biến dạng dẻo dọc theo chiều dài phần tử. Thực hiện phân tích bài toán dầm liên hợp, xác định chuyển vị của dầm liên hợp thép - bê tông ứng với từng cấp tải trọng tác dụng, thể hiện rõ ứng xử đàn dẻo của dầm liên hợp, kết quả nghiên cứu được so sánh với kết quả thí nghiệm và các kết quả nghiên cứu đã được công bố và cho kết quả đáng tin cậy. Từ khóa: Chảy dẻo, biến dạng dẻo, dầm liên hợp, lý thuyết giải tích, phương pháp dẻo lan truyền Abstract The paper presents the spread of plasticity analysis method of composite beam under static load using super element by the analytical theory and the spread of plasticity analysis method. To build 2D super element with n plastic deformation points along the element length. At the plastic deformation points, the material properties of composite beams vary remarkably by its section yeild, that clearly showned by moment - curvature curve (M-θ). To build the stiffness equation of section vary remarkably along the element length. Plastic matrix is established while analysis structure to shown the spread of plasticity deformation along the member length. Carry out analysis of the composite beam, determine the displacement of simply supported composite beam by each load steps, demonstrate the elastic-plastic behavior of the composite beams, the numerical results obtained by the analysis are reliable, compared well with experimental results and other researching. Keywords: Yeild, spread of plasticity deformation, composite beam, analytical theory, spread of plasticity method Ths. Hoàng Hiếu Nghĩa Khoa Xây dựng, Trường Đại học Hải Phòng Email: hoanghieunghia@gmail.com PGS.TS. Nghiêm Mạnh Hiến Khoa Xây dựng Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội Email: hiennghiem@ssisoft.com PGS.TS. Vũ Quốc Anh Khoa Xây dựng Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội Email: anhquocvu@gmail.com 1. Giới thiệu Các nghiên cứu về ứng xử không đàn hồi và cường độ tải trọng phá hoại của kết cấu đã tăng nhanh từ khi lý thuyết phân tích trạng thái tới hạn được chấp nhận trong phân tích kết cấu, đặc biệt là kết cấu thép. Hiện nay có hai phương pháp cơ bản phân tích kết cấu khung đàn dẻo: Phương pháp vùng dẻo (Plastic zone – biến dạng dẻo phân bố) [1] và phương pháp khớp dẻo (Plastic hinge – biến dạng dẻo tập trung). Phương pháp khớp dẻo đơn giản không phản ánh sát được với sự làm việc thực tế của kết cấu [2,3]. Phương pháp vùng dẻo phản ánh sát với sự làm việc thực tế nhưng phức tạp và chỉ áp dụng cho các cấu kiện đơn lẻ. Tác giả đã xây dựng siêu phần tử thanh dầm, sử dụng phương pháp PTHH để phân tích dẻo lan truyền dầm liên hợp thép-bê tông chịu tải trọng tĩnh sử dụng siêu phần tử thanh thông qua lý thuyết giải tích, phương pháp dẻo lan truyền. Mô hình siêu phần tử thanh là phần tử chỉ với hai điểm nút hai đầu phần tử, mặc định có n điểm biến dạng dẻo liên tục bên trong phần tử, mỗi đoạn xi - xi+1 gồm hai điểm biến dạng dẻo liên tiếp và đoạn này có độ cứng EIi thay đổi. Với siêu phần tử này ta không phải chia phần tử thành nhiều phần tử con như một số tác giả đã thực hiện. Sử dụng siêu phần tử có ưu điểm là làm giảm đáng kể kích thước của bài toán phân tích kết cấu, tăng nhanh tốc độ tính toán và cho kết quả sát với thực tế. Do vậy bài viết này giới thiệu phương pháp phần tử hữu hạn với phần tử thanh dầm liên hợp đề xuất, xây dựng ma trận dẻo thay đổi trong suốt quá trình phân tích để thể hiện sự lan truyền biến dạng dẻo dọc theo chiều dài phần tử. Xác định chuyển vị của dầm đơn giản liên hợp thép - bê tông ứng với từng cấp tải trọng tác dụng. 2. Bài toán phân tích dẻo lan truyền kết cấu dầm và các giả thiết 2.1. Đặt bài toán phân tích Xây dựng siêu phần tử mẫu thanh dầm 2D, sử dụng phương pháp PTHH để thiết lập chương trình tính toán nội lực và chuyển vị của dầm liên hợp thép – bê tông ở mọi cấp tải trọng tác dụng. 2.2. Giả thiết bài toán Tất cả các phần tử thanh của hệ khi chưa chịu tải đều thẳng và có diện tích tiết diện ngang không đổi (đối với từng phần tử). Khi phần tử thanh biến dạng, tiết diện ngang vẫn phẳng và trực giao với trục x (hệ tọa độ cục bộ của phần tử). Biến dạng dẻo xuất hiện và phát triển trong các phần tử của kết cấu là các biến dạng dẻo lan truyền, do đó biến dạng dẻo sẽ tồn tại ở tất cả các tiết diện trong suốt quá trình chịu tải. Các tham số hình học của kết cấu là các đại lượng cho trước. Biến dạng và chuyển vị của hệ kết cấu là nhỏ nên bỏ qua phi tuyến hình học. Liên kết giữa sàn bê tông và dầm thép là liên kết hoàn toàn (Hình 2). Bỏ qua chuyển vị do biến dạng cắt. Mô hình vật liệu là đàn dẻo phi tuyến. Khớp dẻo chỉ xoay dẻo mà thôi, bỏ qua củng cố biến dạng. 3. Siêu phần tử thanh dầm liên hợp thép - bê tông Siêu phần tử thanh dầm liên hợp 1-2 (Hình 3) chỉ có 2 nút 1 và 2 ở hai đầu mặc định có n điểm biến dạng dẻo liên tục bên trong phần tử, mỗi đoạn xi - xi+1 gồm hai điểm biến dạng dẻo liên 22 T„P CHŠ KHOA H“C KI¦N TR”C - XŸY D¼NG KHOA H“C & C«NG NGHª tiếp và đoạn này có độ cứng EIi thay đổi. Biến dạng dẻo tại đầu từng đoạn i (i-1): 3.1. Xây dựng ma trận dẻo của siêu phần tử thanh khi kể đến sự lan truyền dẻo dọc theo chiều dài phần tử. Xét phần tử bất kỳ có 2 đầu 1 và 2 có các thành phần nội lực và chuyển vị như Hình 4, mối liên hệ lực nút của thanh dầm như sau: 1 1M V x M= − , 1 2V V= − ; 1 2 2M V L M= − − (1) Tại nút đầu: Năng lượng bù của biến dạng [7]: ( ) ( )1 12 21 1 1 1* 1 1 1 1 2 2 i i i i x xn n x i ix x M V x M U dx dx EI EI + +− − = = − = =∑ ∑∫ ∫ (2) Áp dụng định lý Engesser [7] có: ( )i 1 i 1 i 1 i i i x x x* 2n 1 n 1 n 11 1 1 1 1 i 1 i 1 i 11 x x x V x M xdU x xv dx V dx M dx dV EI EI EI + + +− − − = = = − = = = −∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫ (3) ( )i 1 i 1 i 1 i i i x x x* n 1 n 1 n 11 1 1 1 1 i 1 i 1 i 11 x x x V x MdU x 1dx V dx M dx dM EI EI EI + + +− − − = = = − − = θ = = − +∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫ (4) Tại nút cuối: Năng lượng bù của biến dạng [7]: ( ) ( )( )1 1 221 1 2 2* 1 1 1 1 2 2 i i i i x xn n x i ix x V L x MM U dx dx EI EI + +− − = = − + = =∑ ∑∫ ∫ (5) ( )( )( )i 1 i x* n 1 2 2 2 i 12 x V L x M L xdU v dx dV EI +− = − + − = = ∑ ∫ (6) ( )( )i 1 i 1 i 1 i i i x x x* n 1 n 1 n 12 2 2 2 2 i 1 i 1 i 12 x x x V L x MdU L x 1dx V dx M dx dM EI EI EI + + +− − − = = = − + − = θ = = +∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫ (7) Từ các phương trình (2,3) (5,6): Sắp xếp các thành phần độ dẻo vào ma trận độ dẻo của siêu phần tử thanh dầm 11 12 13 14 22 23 24 33 34 44        =        p k k k k k k k k k k k (8) Trong đó: 1 1 1 1 1 1 1 11 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1. . + + + + + − = − − − − = = = = = − ∑ ∫ ∑ ∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫ ∫ i i i i i i i i i i xn i x x x x xn n n n i i i ix x x x dx EI k x x x dx dx dx dx EI EI EI EI (9) 1 1 1 1 1 1 1 12 21 21 1 1 1 1 1 1 1 1. . + + + + + − = − − − − = = = = = = − ∑ ∫ ∑ ∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫ ∫ i i i i i i i i i i xn i x x x x xn n n n i i i ix x x x x dx EI k k x x x dx dx dx dx EI EI EI EI (10) Hình 1. Mô hình xuất phát của bài toán dầm và mô hình tính của kết cấu theo phương pháp PTHH: (a) – mô hình thực của hệ kết cấu dầm và tải trọng; (b) – mô hình tính của kết cấu dầm theo phương pháp PTHH 23 S¬ 28 - 2017 1 1 1 1 1 1 1 13 31 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1. . + + + + + − = − − − − = = = = = = − − + − − − ∑ ∫ ∑ ∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫ ∫ i i i i i i i i i i xn i x x x x xn n n n i i i ix x x x dx EI k k L Lx x L x L x dx dx dx dx EI EI EI EI (11) 1 1 1 1 1 1 1 14 41 2 21 1 1 1 1 1 1 1 2 1. . + + + + + − = − − − − = = = = − − = = − − + − − − ∑ ∫ ∑ ∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫ ∫ i i i i i i i i i i xn i x x x x xn n n n i i i ix x x x L x dx EI k k L Lx x L x L x dx dx dx dx EI EI EI EI (12) 1 1 1 1 1 21 1 22 21 1 1 1 1 1 1 1 1. . + + + + + − = − − − − = = = = = − ∑ ∫ ∑ ∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫ ∫ i i i i i i i i i i xn i x x x x xn n n n i i i ix x x x x dx EI k x x x dx dx dx dx EI EI EI EI (13) 1 1 1 1 1 1 1 23 32 2 21 1 1 1 1 1 1 1 2 1. . + + + + + − = − − − − = = = = − = = − + − − − ∑ ∫ ∑ ∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫ ∫ i i i i i i i i i i xn i x x x x xn n n n i i i ix x x x x dx EI k k L Lx x L x L x dx dx dx dx EI EI EI EI (14) 1 1 1 1 1 21 1 24 42 2 21 1 1 1 1 1 1 1 2 1. . + + + + + − = − − − − = = = = − = = − + − − − ∑ ∫ ∑ ∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫ ∫ i i i i i i i i i i xn i x x x x xn n n n i i i ix x x x Lx x dx EI k k L Lx x L x L x dx dx dx dx EI EI EI EI (15) 1 1 1 1 1 1 1 33 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1. . + + + + + − = − − − − = = = = = − + − − − ∑ ∫ ∑ ∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫ ∫ i i i i i i i i i i xn i x x x x xn n n n i i i ix x x x dx EI k L Lx x L x L x dx dx dx dx EI EI EI EI (16) 1 1 1 1 1 1 1 34 43 2 21 1 1 1 1 1 1 1 2 1. . + + + + + − = − − − − = = = = − − = = − + − − − ∑ ∫ ∑ ∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫ ∫ i i i i i i i i i i xn i x x x x xn n n n i i i ix x x x L x dx EI k k L Lx x L x L x dx dx dx dx EI EI EI EI (17) 1 1 1 1 1 2 21 1 44 2 21 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1. . + + + + + − = − − − − = = = = − + = − + − − − ∑ ∫ ∑ ∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫ ∫ i i i i i i i i i i xn i x x x x xn n n n i i i ix x x x L Lx x dx EI k L Lx x L x L x dx dx dx dx EI EI EI EI (18) EI: Độ cứng thay đổi trên đoạn có biến dạng dẻo (đoạn xi – xi+1). Tác giả đề xuất độ cứng EI (đoạn xi – xi+1) có dạng phương trình bậc 3: ( )3= +EI E ax b , 3 3 1+ −= i i I I a L ; 3= ib I (19) Trong đó: Ii, Ii+1 là mô men quán tính của tiết diện dầm tại đầu i và i+1 4. Mô hình phi tuyến của vật liệu bê tông, thép hình và thép thanh. 4.1. Mô hình phi tuyến của vật liệu bê tông 24 T„P CHŠ KHOA H“C KI¦N TR”C - XŸY D¼NG KHOA H“C & C«NG NGHª Tác giả sử dụng phương trình đường cong quan hệ ứng suất - biến dạng phi tuyến được đề xuất bởi Kent and Park (1973) [4] cho mô hình vật liệu bê tông chịu nén. Mô hình trên được nhiều tác giả sử dụng để nghiên cứu như: Kent and Park, 1973; Park and Paulay, 1975; Wang and Duan, 1981; Mander et al.1988a; Hoshikuma et al., 1997; Seung- Eock KIM 2012. Phương trình đường quan hệ ứng suất - biến dạng (σc- εc) khi bê tông chịu nén được thể hiện dưới đây. 2 0 0 . . 2c cK f ε εσ ε ε       = −          Khi 0ε ε≤ (20) [ ]0. . 1 .( ) 0, 2 .c c cK f Z K fσ ε ε= − − ≥ Khi 0 uε ε ε≤ ≤ (21) 0,2. .c cK fσ = Khi uε ε> (22) Trong đó: ε: Biến dạng của thớ bê tông chịu nén tương ứng; σc:Ứng suất của thớ bê tông (MPa); ε0: Biến dạng tương ứng với ứng suất lớn nhất; ε0: Biến dạng cực hạn của bê tông; K: Hệ số xét đến sự tăng cường độ bê tông do hiệu ứng kiềm chế nở hông; Z: Độ dốc của đường biến dạng; fc: Cường độ chịu nén của bê tông mẫu trụ (MPa) 4.2. Mô hình của vật liệu thép hình và thép thanh Phương trình đường quan hệ ứng suất - biến dạng (σct-εct) của thép được mô hình bằng 2 đoạn thẳng. .s s sEσ ε= Khi 0 s yε ε≤ ≤ (23) s yfσ = Khi >s yε ε (24) Trong đó: σs, εs: Ứng suất và biến dạng của thép; fv, εv: Ứng suất và biến dạng chảy của thép 5. Ví dụ phân tích số Phương pháp Newton-Raphson cải tiến [5] được áp dụng để giải bài toán phân tích dẻo lan truyền kết cấu dầm liên hợp. Khảo sát dầm liên tục liên hợp được thí nghiệm bởi Ansourian (1981) [6] với 06 mẫu dầm từ CTB1 đến CTB6 [6] (Hình 5), nhiều tác giả đã dùng kết quả thí nghiệm này để kiểm chứng với các kết quả nghiên cứu của họ: Yong – Lin Pi, Bradford MA, Uy B (2006), Cuong Ngo-Huu, Seung-Eock Kim (2012) đã dùng phương pháp khớp thớ để phân tích kết cấu dầm và so sánh với kết quả thí nghiệm. Tác giả sử dụng phương pháp PTHH với siêu phần tử thanh để phân tích kết cấu dầm liên tục liên hợp và so sánh với kết quả thí nghiệm và các kết quả đã được nghiên cứu. Mặt cắt tiết diện dầm liên hợp gồm dầm thép, bản bê tông như Bảng 1 và Hình 5. Cường độ đặc trưng của các mẫu như Bảng 2. Lực tác dụng P =200kN, ε0=0,002, εu=0,004. Bảng 1. Kích thước mặt cắt ngang thép hình trong dầm liên hợp liên tục Cấu kiện bf (mm) tf (mm) d (mm) tw (mm IPE200 100 8,5 200 5,6 IPE240 120 9,8 240 6,2 IPBL200 200 10 190 6,5 0M Hình 2. Mặt cắt tiết diện dầm liên hợp và biểu đồ biến dạng Hình 3. Siêu phần tử thanh dầm liên hợp thép - bê tông Hình 4. Lực nút của thanh dầm Hình 5. Sơ đồ tính và mặt cắt dầm liên hợp liên tục CTB1÷CTB6 (Ansourian 1981) 25 S¬ 28 - 2017 Bảng 2. Cường độ đặc trưng của 6 mẫu CTB1 đến CTB6 Cấu kiện fc’ (Mpa) fv (Mpa) fys (Mpa) CTB1 30 300 430 CTB2 50 300 430 CTB3 43 223 430 CTB4 34 236 430 CTB5 29 270 430 CTB6 41 299 430 Bảng 3. Bảng so sánh giá trị Mp của dầm liên hợp liên tục CTB1-CTB6 Giá trị Mp CTB1 CTB2 CTB3 CTB4 CTB6 TN Ansourian (1981) 152 164 219 211 242 SPH V1.0 147,44 170,2 220,7 221,6 253,5 Eurocode 4 147,4 157,4 208,6 204 230,7 Xây dựng phần mềm SPH V1.0 bằng ngôn ngữ Delphi XE8. Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn với siêu phần tử thanh dầm liên hợp, ma trận dẻo đề xuất và thuật giải phi tuyến Newton-Raphson cải tiến [5] để thực hiện phân tích dẻo lan truyền kết cấu dầm liên hợp ở ví dụ trên. Kết quả thu được như hình 6. 5. Kết luận Tác giả đã xây dựng siêu phần tử thanh dầm, sử dụng phương pháp PTHH để phân tích dẻo lan truyền dầm liên hợp thép-bê tông chịu tải trọng tĩnh sử dụng siêu phần tử thanh thông qua lý thuyết giải tích, phương pháp dẻo lan truyền. Hình 6. Biểu đồ quan hệ giữa tải trọng P và chuyển vị giữa dầm liên hợp liên tục (xem tiếp trang 36)