Phân loại và phương pháp giải Toán lớp 10 (Theo chuẩn kiến thức kĩ năng - Ban cơ bản)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO TÂY NINH TRƯỜNG THPT NGUYỄN VĂN TRỖI --------------------------------------- PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN LỚP 10 Theo chuaån kieán thöùc kó naêng-Ban cô baûn TÂY NINH THÁNG 3 NĂM 2011 www.VNMATH.com 1 Lôøi noùi ñaàu Trong chương trình môn Toán lớp 10, khi giảng dạy chúng tôi nhận thấy rằng học sinh chưa tiếp cận tốt vấn ñề, nhất là kĩ năng giải toán. ðiều ñó dẫn ñến học sinh chưa có hứng thú trong học toán, ñặc biệt nó sẽ ảnh hưởng rất lớn cho những năm học tiếp theo. Nhằm giúp các em lấy lại căn bản và nâng cao chất lượng học tập môn Toán theo chương trình cải cách của Bộ giáo dục và ñào tạo, chúng tôi biên soạn bộ tài liệu : “ Phân loại và phương pháp giải toán lớp 10 ”. Bộ tài liệu gồm hai phần : Hình học và ðại số. Nội dung tài liệu bám sát theo cấu trúc của sách giáo khoa Toán 10 (chương trình chuẩn) và dựa trên chương trình Chuẩn kiến thức, kĩ năng của Bộ giáo dục và ñào tạo vừa ban hành. Mỗi bài học trong bộ tài liệu này ñược trình bày như sau : A. Kiến thức cần nhớ. B. Phương pháp giải toán. C. Bài tập ñề nghị. Phần kiến thức cần nhớ chúng tôi tóm tắt lại nội dung chính của bài học trên nền Chuẩn kiến thức, kĩ năng. Phần phương pháp giải toán gồm nhiều vấn ñề, trong mỗi vấn ñề có nêu phương pháp giải quyết và một số bài tập cơ bản có hướng dẫn giải chi tiết. Phần bài tập ñề nghị giúp các em tự ôn lại kiến thức trong mỗi bài học. Chúng tôi hy vọng bộ tài liệu này sẽ giúp các em vững bước và tự tin hơn trên con ñường học vấn của mình. Chúc các em học tập tiến bộ và thành công !. Mặc dù rất cố gắng trong quá trình biên soạn nhưng khó tránh khỏi sai sót. Rất mong nhận ñược ý kiến ñóng góp của các thầy cô và các em học sinh ñể tài liệu ñược bổ sung, ñiều chỉnh ngày một hoàn thiện hơn. Tây Ninh, tháng 3 năm 2011 Tổ Toán, trường THPT Nguyễn Văn Trỗi www.VNMATH.com 2 PHẦN 1 ðẠI SỐ -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 x y 2 4 5y x x= − −1y x= − − www.VNMATH.com 3 CHƯƠNG I MỆNH ðỀ - TẬP HỢP §1. MỆNH ðỀ A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. MỆNH ðỀ-MỆNH ðỀ CHỨA BIẾN 1.1. Mệnh ñề Mỗi mệnh ñề (lôgíc) phải ñúng hoặc sai. Mỗi mệnh ñề không thể vừa ñúng vừa sai. Kí hiệu mệnh ñề bởi các chữ cái in hoa : P, Q, A, B… 1.2. Mệnh ñề chứa biến: “ n chia hết cho 4” là mệnh ñề chứa biến. Chú ý : Với mỗi giá trị của biến x thuộc tập hợp nào ñó, mệnh ñề chứa biến ( )P x trở thành một mệnh ñề. 2. PHỦ ðỊNH CỦA MỘT MỆNH ðỀ Cho mệnh ñề P . Mệnh ñề phủ ñịnh của mệnh ñề P là mệnh ñề P , ta có: P ñúng khi P sai và P sai khi P ñúng. 3. MỆNH ðỀ KÉO THEO Mệnh ñề “Nếu P thì Q ” ñược gọi là mệnh ñề kéo theo. Kí hiệu: ⇒P Q . Mệnh ñề ⇒P Q chỉ sai khi P ñúng và Q sai (trong các trường hợp khác ⇒P Q ñều ñúng) Các ñịnh lí toán học là những mệnh ñúng và có dạng ⇒P Q . Khi ñó ta nói: P là giả thiết, Q là kết luận của ñịnh lí, hoặc P là ñiều kiện ñủ ñể có Q , hoặc Q là ñiều kiện cần ñể có P . 4. MỆNH ðỀ ðẢO-HAI MỆNH ðỀ TƯƠNG ðƯƠNG Mệnh ñề ⇒Q P ñược gọi là mệnh ñề ñảo của mệnh ñề ⇒P Q . Nếu cả hai mệnh ñề ⇒P Q và ⇒Q P ñều ñúng thì ta nói P và Q tương ñương. Kí hiệu: P Q⇔ . ðọc là: P tương ñương Q , hoặc P là ñiều kiện cần và ñủ ñể có Q , hoặc P khi và chỉ khi Q . www.VNMATH.com 4 5. KÍ HIỆU ∀VÀ ∃ Kí hiệu ∀ ñọc là với mọi. Kí hiệu ∃ ñọc là tồn tại ít nhất một (hay có ít nhất một). B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề 1. Cách xác ñịnh mệnh ñề Phương pháp : Cần nắm vững khái niệm mệnh ñề ,mệnh ñề chứa biến từ ñó rút ra kết luận. Bài tập 1. Xét xem các câu sau , câu nào là mệnh ñề, câu nào là mệnh ñề chứa biến và câu nào không là mệnh ñề ? a/ 2x-3>7 b/ 5-9=3 c/ ∀x, x2 =25 d/ Hôm nay trời mưa quá!. Giải a/ Là mệnh ñề chứa biến.Với mỗi giá trị của x ta ñược một mệnh ñề. b/ Là mệnh ñề.ðó là mệnh ñề sai. c/ Là mệnh ñề chứa biến.Với mỗi giá trị của x ta ñược một mệnh ñề. d/ Không là mệnh ñề.Vì không khẳng ñịnh ñược tính ñúng hoặc sai. Bài tập 2. Với mỗi câu sau , hãy tìm giá trị thực của x ñể ñược mệnh ñề ñúng, mệnh ñề sai ? a/ 5x2-14x+9=0 b/ 5x-1>x+11 c/ | x+3|= 5 d/ x2+4=0. Giải a/ Giải phương trình : 5x2 - 14x + 9 = 0 .Ta ñược nghiệm x = 1 v x = 9/5. • Với x = 1 v x = 9/5 thì ñược mệnh ñề ñúng. • Với ≠ 1x và ≠ 9 / 5x thì ñược mệnh ñề sai. b/Giải bất phương trình .Ta ñược x > 3 • Với x > 3 thì ñược mệnh ñề ñúng. • Với ≤ 3x thì ñược mệnh ñề sai. c/ Giải phương trình  + = = + = ⇔ ⇔ + = − = −  3 5 2 3 5 3 5 8 x x x x x • Với x=2 hoặc x = - 8 thì ñược mệnh ñề ñúng. • Với ≠ 2x và ≠ −8x thì ñược mệnh ñề sai. d/ Phương trình x2 + 4 = 0 vô nghiệm. Vậy với mọi giá trị của x ñều ñược mệnh ñề sai. Không có mệnh ñề ñúng. Vấn ñề 2. Phát biểu thành lời của một mệnh ñề. Dùng kí hiệu ,∀ ∃ viết mệnh ñề phủ ñịnh của nó. Phương pháp: 1. ∀ ∈" ; coù tính chaát T" x P x có mệnh ñề phủ ñịnh là ∃ ∈" ; khoâng coù tính chaát P"x P x . 2. ∃ ∈" ; coù tính chaát T"x P x có mệnh ñề phủ ñịnh là ∀ ∈" ; khoâng coù tính chaát P"x P x . www.VNMATH.com 5 Bài tập. Phát biểu thành lời của một mệnh ñề. Viết mệnh ñề phủ ñịnh của nó. a/ ∀ ∈ 2: =-5x R x b/∀ ∈ ≥2: +4x 0x R x c/∃ ∈ 2: =3x Z x d/∃ ∈x x 2: 5ℤ ⋮ Giải a/ “ Với mọi số thực ñều có bình phương bằng -5” Mệnh ñề phủ ñịnh là: ∃ ∈ ≠2: -5x R x b/ “Với mọi số thực x ta có x2+4x ñều lớn hơn hoặc bằng 0” Mệnh ñề phủ ñịnh là: ∃ ∈ 2: +4x<0x R x c/ “Tồn tại một số nguyên mà có bình phương bằng 3” Mệnh ñề phủ ñịnh là: ∀ ∈ ≠2: 3x Z x d/ “Tồn tại một số nguyên mà có bình phương chia hết cho 5” Mệnh ñề phủ ñịnh là: ∀ ∈ 2: khoâng chia heát cho 5x Z x . Vấn ñề 3. Lập mệnh ñề ñảo của ñịnh lý – ñịnh lý ñảo Phương pháp : Dùng kiến thức, các ñịnh nghĩa , ñịnh lý ñã học ñể nhận xét ñánh giá rồi kết luận. Bài tập. Trong các trường hợp sau ñây, hãy phát biểu mệnh ñề ñảo của ñịnh lý và xét xem nó có phải là ñịnh lý ñảo của ñịnh lý ấy hay không? a/Trong tam giác vuông thì ñường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nữa cạnh ấy. b/Một số tự nhiên tận cùng bằng 0 thì chia hết cho 5. Giải a/ Mệnh ñề ñảo : “Một tam giác có ñường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nữa cạnh ấy thì tam giác ñó bằng tam giác vuông” ðể biết mệnh ñề trên có phải là ñịnh lý ñảo hay không thì ta phải chứng minh mệnh ñề. Do AM = MB, AM = MC nên tam giác MAB, MAC cân tại M suy ra : góc B = A1; góc C = A2 Mà tổng các góc B, A1, A2, C bằng 180 0 nên góc A1 + A2=90 0, suy ra tam giác ABC vuông tại A. Vậy mệnh ñề trên là ñịnh lý ñảo. b/Mệnh ñề ñảo là : “Một số tự nhiên chia hết cho 5 thì tận cùng bằng 0” Mệnh ñề này sai vì 15 chia hết cho 5 mà tận cùng không bằng 0. Vậy mệnh ñề không là ñịnh lý ñảo. Chú ý : Không phải ñịnh lý nào cũng có ñịnh lý ñảo của nó. 21 B A C M www.VNMATH.com 6 Vấn ñề 4. ðiều kiện cần, ñiều kiện ñủ, ñiều kiện cần và ñủ Phương pháp : 1/Dạng: ⇒P Q . Khi ñó : P là ñiều kiện ñủ ñể có Q , hoặc Q là ñiều kiện cần ñể có P . 2/ Dạng: ⇔P Q : P là ñiều kiện cần và ñủ ñể có Q , hoặc P khi và chỉ khi Q . Bài tập 1. Phát biểu các ñịnh lý sau ,sử dụng khái niệm “ðiều kiên cần”, “ðiều kiện ñủ”: a/ Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có ít nhất một cạnh bằng nhau. b/Nếu một số tự nhiên chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3. c/ Nếu a=b thì a2=b2. Giải a/+ ðể hai tam giác bằng nhau, ñiều kiện cần là chúng có ít nhất một cạnh bằng nhau. + ðể hai tam giác có ít nhất một cạnh bằng nhau, ñiều kiện ñủ là hai tam giác bằng nhau. b/+ ðể một số tự nhiên chia hết cho 6, ñiều kiện cần là nó chia hết cho 3. + ðể một số tự nhiên chia hết cho 3, ñiều kiện ñủ là nó chia hết cho 6. c/ + ðể a=b ,ñiều kiện cần là a2=b2. + ðể a2=b2, ñiều kiện ñủ là a=b Bài tập 2. Cho hai tam giác ABC và ABC′ ′ ′ . Với hai mệnh ñề : P : " Tam giác ABC và tam giác ABC′ ′ ′ bằng nhau". Q : " Tam giác ABC và tam giác ABC′ ′ ′ có diện tích bằng nhau" a) Xét tính ñúng sai của mệnh ñề ⇒P Q . b) Xét tính ñúng sai của mệnh ñề ⇒Q P . c) Xét tính ñúng sai của mệnh ñề ⇔P Q . Giải a/ Ta có mệnh ñề ⇒P Q : “Nếu tam giác ABC và tam giác ABC′ ′ ′ bằng nhau thì tam giác ABC và tam giác ABC′ ′ ′ có diện tích bằng nhau” , mệnh ñề này hiển nhiên ñúng. b/Ta có mệnh ñề ⇒Q P : “Nếu tam giác ABC và tam giác ABC′ ′ ′ có diện tích bằng nhau thì tam giác ABC và tam giác ABC′ ′ ′ bằng nhau” là mệnh ñề sai. c/ Do ⇒P Q ñúng nhưng ⇒Q P sai nên ⇔P Q là mệnh ñề sai. www.VNMATH.com 7 C. BÀI TẬP ðỀ NGHỊ Bài 1. Trong các câu sau ñây thì câu nào là mệnh ñề? Nếu là mệnh ñề thì nó ñúng hay sai? a) “10 là số nguyên tố” b) "123 là một số chia hết cho 3". c) " Ngày mai trời sẽ nắng" d) " Hãy ñi ra ngoài!" Bài 2. Nêu mệnh ñề phủ ñịnh của các mệnh ñề sau và cho biết tính ñúng sai của mỗi mệnh ñề phủ ñịnh ñó ? a) "Số 11 là số nguyên tố" b) Số 111 chia hết cho 3" Bài 3. Xét hai mệnh ñề: P : "π là số vô tỉ" và Q : "π không phải là số nguyên" a) Hãy phát biểu mệnh ñề ⇒P Q . b) Phát biểu mệnh ñề ñảo của mệnh ñề trên. c) Xem xét tính ñúng, sai của các mệnh ñề trên. Bài 4. Xét hai mệnh ñề: P : " 24 là số chia hết cho 2 và 3". Q : " 24 là số chia hết cho 6". a) Xét tính ñúng sai của mệnh ñề ⇒P Q . b) Xét tính ñúng sai của mệnh ñề ⇒Q P . c) Mệnh ñề ⇔P Q ñúng hay sai ? www.VNMATH.com 8 §2. TẬP HỢP A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. KHÁI NIỆM TẬP HỢP 1.1. Tập hợp và phần tử Tập hợp là khái niệm cơ bản của toán học. Thông thường mỗi tập hợp gồm các phần tử cùng có chung một hay một vài tính chất. Tập hợp thường ñược kí hiệu bởi các chữ cái in hoa: , , ,...A B C phần tử của tập hợp ñược kí hiệu là các chữ cái thường: , , ...a b c a là phần tử của tập hợp A, viết là ∈a A. b không là phần tử của tập hợp B , viết là ∉b B . 1.2. Cách xác ñịnh tập hợp Có 2 cách: a) Liệt kê các phần tử của nó. b) Chỉ rõ tính chất ñặc trưng cho các phần tử của tập hợp ñó. Người ta thường minh họa tập hợp bằng một hình phẳng ñược bao quanh bởi một ñường kín ñược gọi là biểu ñồ Ven. 1.3. Tập hợp rỗng Tập hợp rỗng là tập hợp không chứa phần tử nào. Kí hiệu: ∅ . 2. TẬP HỢP CON Nếu mọi phần tử của tập hợp Añều là phần tử của tập hợp B thì ta nói Alà tập hợp con của B . Kí hiệu: ⊂A B (ñọc là A chứa trong B ) hay ⊃B A (ñọc là B chứa A). Tính chất: a) ⊂A A với mọi tập hợp A. b) ⊂A B và ⊂B C thì ⊂A C c) ∅ ⊂ A với mọi tập hợp A. 3. HAI TẬP HỢP BẰNG NHAU Khi ⊂A B và ⊂B Ata nói tập hợp A bằng tập hợp B và viết là A B= . B www.VNMATH.com 9 B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề 1. Viết tập hợp dưới dạng liệt kê phần tử. Phương pháp: Kỹ năng giải phương trình, bất phương trình,...tính toán, suy luận. Bài tập 1. Viết các tập hợp sau dưới dạng liệt kê phần tử a/ {= ∈ </ 5}A x N x b/ {= ∈ − < ≤/ 2 4}B x Z x c/ {= = ∈ </ 3 ; vaø -1<k 6}C x x k k Z d/ = = ∈ ≥  1 1 / vôùi k N vaø } 2 8k D x x x e/ {= ∈ − − + =2/( 2)(3 5 2) 0}E x R x x x f/ F={x∈ /N x là số chính phương bé hơn 100}. Giải a/ {= 0;1;2;3;4}A c/ {= 0;3;6;9;12;15}C e/  =   2 ;1;2} 3 E b/ {= −1;0;1;2;3;4}B d/  =   1 1 1 ; ; ;1} 8 4 2 D f/ F={0 ;1 ;4 ;9 ;16 ;25 ;36 ;49 ;64 ;81}. Bài tập 2. Tập hợp nào sau ñây là tập rỗng. a/ {= ∈ + =2/ 4 5}A x R x b/ {= ∈ + =/ 3 9 6}B n N n . Giải a/Giải phương trình x2+4=5 ñược nghiệm x= -1 ; 1 nên A={-1 ;1}. b/ ∈ ∈  ∈ ⇔ ⇔  + = = − 3 9 6 1 n N n N n B n n vậy =∅B Vấn ñề 2. Xác ñịnh tập con của tập hợp. Phương pháp: Dùng ñịnh nghĩa về tập hợp con, tính toán, suy luận. Bài tập 1. a/ Viết tập hợp con gồm hai phần tử của A={1 ;2 ;3 ;4 ;5 ;6}. b/ Viết tập hợp con gồm ba phần tử và luôn có số 0 của B={0 ;1 ;2 ;3 ;4 }. Giải a/ Tập con gồm hai phần tử của A là : {1 ;2},{1 ;3},{1 ;4},{1 ;5},{1 ;6},{2 ;3},{2 ;4},{2 ;5},{2 ;6},{3 ;4},{3 ;5},{3 ;6},{4 ;5},{4 ;6 },{5 ;6}. b/ Tập con gồm ba phần tử luôn chứa số 0 của B là : {0 ;1 ;2},{0 ;1 ;3},{0 ;1 ;4},{0 ;2 ;3},{0 ;2 ;4},{0 ;3 ;4}. www.VNMATH.com 10 Bài tập 2. Tìm tất cả tập hợp X thỏa mãn {1 ;2 ;3}⊂X⊂ {1 ;2 ;3 ;4 ;5 ;6} Giải Các tập hợp thỏa mãn ñề toán là : • X={1 ;2 ;3} • Ghép thêm vào X một phần tử còn lại của {4 ;5 ;6} ta ñược {1 ;2 ;3 ;4},{1 ;2 ;3 ;5},{1 ;2 ;3 ;6} • Ghép thêm vào X hai phần tử còn lại của {4 ;5 ;6} ta ñược {1 ;2 ;3 ;4 ;5},{1 ;2 ;3 ;4 ;6},{1 ;2 ;3 ;5 ;6} • Ghép thêm vào X ba phần tử còn lại của {4 ;5 ;6} ta ñược {1 ;2 ;3 ;4 ;5 ;6} C. BÀI TẬP ðỀ NGHỊ Bài 1.Viết tập hợp sau theo cách liệt kê các phần tử : a) { }= ∈ − + − =2( 2 1)( 3) 0A x R x x x . b) { }= ∈ ≤ 30; laø boäi cuûa 3 hoaëc cuûa 5B x N x x . c) { }= ∈ ≤ ≤/ 2 15, vaø 15 khoâng coù öôùc chung khaùc 1C m Z m m . d) {= = + ∈ ≤2/ 2 3 vôùi k N vaø 30}D x x k x . e) {= ∈ − − + =2/ (3 2)(3 5 2) 0}E x N x x x x . Bài 2.Tìm tất cả các tập con của X={a ;b ;c ;d ;e ;f}. Bài 3. Tìm tất cả tập hợp X thỏa mãn {1 ;2 ;a ;b}⊂X⊂ {1 ;2 ;a ;b ;c ;d ;e}. www.VNMATH.com 11 §3. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. GIAO CỦA HAI TẬP HỢP Tập hợp C gồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc Bñược gọi là giao của A và B . Kí hiệu: ∩A B . Ta có: { }∩ = ∈ ∈vaø A B x x A x B . 2. HỢP CỦA HAI TẬP HỢP Tập hợp C gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc Bñược gọi là hợp của A và B . Kí hiệu: ∪A B . Ta có: { }∪ = ∈ ∈hoaëc A B x x A x B . 3. HIỆU VÀ PHẦN BÙ CỦA HAI TẬP HỢP Tập hợp C gồm các phần tử thuộc A nhưng không thuộc Bñược gọi là hiệu của A và B . Kí hiệu: = \C A B . Ta có: { }= ∈ ∉\ vaø A B x x A x B *Chú ý: Khi B A⊂ thì \A B là phần bù của B trong A. Kí hiệu là: AC B . B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề. Xác ñịnh tập hợp. Phương pháp: Dùng ñịnh nghĩa giao của hai tập hợp, hợp của hai tập hợp, hiệu, bù của hai tập hợp. Bài tập 1. Cho hai tập hợp A={0 ;1 ;2 ;5 ;7 ;8 ;9} B={1 ;2 ;6 ;8 ;10}. Tìm ∪ ∩; ; \ ; \A B A B A B B A. Giải A B A B∩ A B A B∪ A B \A B B A AC B www.VNMATH.com 12 Ta có : ∪ = ∩ = = = {0;1;2;5;6;7;8;9;10} {1;2;8} \ {0;5;7;9} \ {6;10} A B A B A B B A Bài tập 2. Cho A là tập hợp bất kỳ. Hãy xác ñịnh các tập hợp sau : a/ ∪A A b/ ∩A A c/ \A A d/ ∪∅A e/ ∩∅A f/ ∅\A g/ ∅ \ A h/ AC A k/ ∅AC . Giải a/ ∪ =A A A d/ ∪∅ =A A g/ ∅ =∅\ A b/ ∩A A e/ ∩∅ =∅A h/ = ∅AC A c/ =∅\A A f/ ∅ =\A A k/ ∅ =AC A . Bài tập 3. Cho tập hợp A. Có thể nói gì về tập B nếu : ∩ = ∩ = ∪ = ∪ = =∅ = a A B A b A B B c A B A d A B B e A B g A B A / / / / / \ / \ . Giải ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ∩ =∅ / / / / / / a B A b A B c B A d A B e A B g A B Bài tập 4. Mỗi học sinh lớp 10C1 ñều chơi bóng ñá hoặc bóng chuyền. Biết rằng có 30 bạn chơi bóng ñá, 20 bạn chơi bóng chuyền và 10 bạn chơi cả hai môn thể thao này. Hỏi lớp 10C1 có bao nhiêu học sinh ? Giải Gọi A là tập hợp số học sinh lớp 10C1 chơi bóng ñá. Gọi B là tập hợp số học sinh lớp 10C1 chơi bóng chuyền. Vì mỗi bạn ñều chơi bóng ñá hoặc bóng chuyền, nên ∪A B là tập các học sinh của lớp. Số phần tử của ∪A B là 30 + 20 – 10 = 40 Vậy lớp 10C1 có tất cả 40 học sinh. 10 A B www.VNMATH.com 13 C.BÀI TẬP ðỀ NGHỊ Bài 1. Dùng biểu ñồ Ven biểu diễn giao, hợp, hiệu của hai tập hợp A và B bất kì. Bài 2. Cho { }= 1;2;4;6;7;9A và { }= 2;3;4;5;7;8B . C={2 ;5 ;4 ;5 ;8 ;9 ;10} Tìm ∪ ∩ ∩ ∪ ∩ ∩( ) ; ( ) ; ( \ ) ; \ ( )A B C A B C A B C B A C . Bài 3. Liệt kê các phần tử của tập hợp A các ươc số tự nhiên của 18 và của tập hợp B các ước số tự nhiên của 30. Xác ñịnh : ∩ ∪/ / / \ / \ .a A B b A B c A B d B A . www.VNMATH.com 14 §4. CÁC TẬP HỢP SỐ A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. CÁC TẬP HỢP SỐ ðà HỌC 1 ) Tập hợp số tự nhiên : { }=ℕ 0;1;2;3... 2) Tập hợp số nguyên : { }= − − −ℤ ... 3; 2; 1;0;1;2;3... 3) Tập hợp số hữu tỉ :   = ∈ ∈    ℚ *, m m Z n N n 4) Tập hợp các số thực : ℝ 2 .CÁC TẬP CON THƯỜNG DÙNG CỦA R. Khoảng : { }= ∈ < <( ; )a b x R a x b { }+∞ = ∈ <( ; )a x R a x { }−∞ = ∈ <( ; )b x R x b ðoạn : { }= ∈ ≤ ≤[ ; ]a b x R a x b Nữa khoảng : { }= ∈ ≤ <[ ; )a b x R a x b { }= ∈ < ≤( ; ]a b x R a x b { }+∞ = ∈ ≤[ ; )a x R a x { }∞ = ∈ ≤(- ; ]b x R x b B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề .Thực hiện các phép toán về tập hợp. Xác ñịnh tập hợp. Phương pháp: Kỹ năng biểu diễn tập hợp số thực trên trục số. Bài tập 1. Cho các tập hợp A=[-3 ;1] ; B=[-2 ;2] ; ∞C=[-2;+ ) . a/ Trong các tập trên , tập nào là tập hợp con của tập hợp nào ? Tìm phần bù của chúng. b/ Tìm : ∩ ∪ ∪A B A B A C A B B C; ; ; \ \ www.VNMATH.com 15 Giải a/ Tập B là tập con của tập hợp C. Phần bù của B trong C là ∞CC B=(2;+ ) . b/ ∩ = − ∪ = − ∪ = − +∞ = − − =∅A B A B A C A B B C[ 2;1] ; [ 3;2] ; [ 3; ) ; \ [ 3; 2) \ Bài tập 2. Cho các tập hợp : = ∈ − ≤ ≤{ / 5 4}A x R x ; = ∈ ≤ <{ / 7 14}B x R x ; = ∈ >{ / 2}C x R x ; = ∈ ≤{ / 4}D x R x . a/ Dùng ký hiệu ñoạn, khoảng ,nửa khoảng ñể viết lại các tập hợp trên. b/ Biểu diễn các tập hợp A, B, C, D trên trục số. c/ Xác ñịnh ∩A B , ∪A B , ∪A C , A B\ , B C\ , ∩A D . Giải a/ A=[-5 ;4], B=[7 ;14), = +∞(2; )C , = −∞( ;4]D . b/
A=[-5 ;4] :
B=[7 ;14) :
= +∞(2; )C :
= −∞( ;4]D : c/ )∩ =∅ ∪ = − ∪ ∪ = − +∞A B A B A C, [ 5;4] [7;14], 5; A\B= − = ∪ +∞ ∩ = −B C A D[ 5;4] \ (2;7) (14; ) [ 5;4]. Bài tập 3. Cho a, b, c, d là các số thực với a < b < c < d. Xác ñịnh các tập hợp sau : ∩ ∩a a b c d b a c b d c a d b c d b d a c / ( ; ) ( ; ) / ( ; ] [ ; ) / ( ; ) \ ( ; ) / ( ; ) \ ( ; ). Giải ∩ =∅ ∩ = = ∪ = a a b c d b a c b d b c c a d b c a b c d d b d a c c d / ( ; ) ( ; ) / ( ; ] [ ; ) [ ; ] / ( ; ) \ ( ; ) ( ; ] [ ; ) / ( ; ) \ ( ; ) [ ; ). [ ] -5 4 14 7 [ ) 2 ( 4 ] www.VNMATH.com 16 C. BÀI TẬP ðỀ NGHỊ Bài 1. Cho các tập hợp: = − = − = − +∞[ 3;1]; [ 2;2]; [ 2; )A B C . a) Trong các tập hợp trên tập hợp nào là tập con của tập nào? Tìm phần bù của chúng? b) Tìm ; ; ; \ ; \A B A B A C A B B C∩ ∪ ∪ . Bài 2. Cho các tập hợp : = ∈ + >{ / 2 3 0}A x R x = ∈ − <{ / 8 2 0}B x R x = ∈ + ≥{ / 2 0}C x R x . a/ Dùng ký hiệu ñoạn,khoảng ,nữa khoảng ñể viết lại các tập hợp trên. b/ Biểu diễn các tập hợp A,B,C,D trên trục số. c/ Xác ñịnh : ∩ ∪ ∪; ; ; \ \A B A B A C A B B C Bài 3. Sắp xếp các tập hợp số sau ñây *; ; ; ;ℕ ℤ ℕ ℝ ℚ theo thứ tự tập hợp trước là tập con của tập hợp sau. www.VNMATH.com 17 §5. SỐ GẦN ðÚNG - SAI SỐ A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ Cho a là số gần ñúng của số ñúng a . 1. ∆ = −a a a ñược gọi là sai số tuyệt ñối của số ñúng a . 2. Nếu ∆ ≤a d thì d ñược gọi là ñộ chính xác của số gần ñúng a và quy ước viết gọn là = ±a a d . 3. Cách quy tròn số gần ñúng căn cứ vào ñộ chính xác cho trước : Cho số gần ñúng a với dộ chính xác d (tức là = ±a a d ). Khi ñược yêu cầu quy tròn số a mà không nói rõ là quy tròn ñến hàng nào thì ta quy tròn a ñến hàng cao nhất mà d nhỏ hơn một ñơn vị của hàng ñó. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề 1. Tìm sai số tuyệt ñối của một số gần ñúng. Phương pháp : Cho a là số gần ñúng của số ñúng a . ∆ = −a a a ñược gọi là sai số tuyệt ñối của số ñúng a . Bài tập 1. Cho ba giá trị gần ñúng của 8/17 là 0,4 ; 0,47; 0,471. Hãy tính sai số tuyệt ñối của các số này. Giải Ta có: − = < 8 1.2 0.4 0.08 17 17 ; − = < 8 0.01 0.47 0.001 17 17 ; − = < 8 0.007 0.471 0.0005 17 17 Vậy : Sai số tuyệt ñối của số gần ñúng 0.4 là 0.08. Sai số tuyệt ñối của số gần ñúng 0.47 là 0.001 Sai số tuyệt ñối của số gần ñúng 0.471 là 0.0005. Bài tập 2. Cho ba giá trị gần ñúng của 23/7 là 3,28 và 3,286 . Hãy tính sai số tuyệt ñối của các số này. Giải Ta có : − < 23 3.28 0,006 7 ; − < 23 3.286 0,0003 7 . Vậy : Sai số tuyệt ñối của số gần ñúng 3.28 là 0.006. Sai số tuyệt ñối của số gần ñúng 3.286 là 0.0003. www.VNMATH.com 18 Vấn ñề 2 . Cách viết chuẩn số gần ñúng. Phương pháp :  Nếu ∆ ≤a d thì d ñược gọi là ñộ chính xác của số gần ñúng a và quy ước viết gọn là = ±a a d .  Nếu ñộ chính xác của số gần ñúng a ñến hàng nào thì ta quy tròn a ñến hàng kề trước nó. Bài tập 1. Cho số = ±27975421 150a . Hãy viết số quy tròn của số 27 975 421. Giải Vì ñộ chính xác ñến hàng trăm nên ta qui tròn số 27 975 421 ñến hàng nghìn. Vây số quy tròn là : 27 975 000. Bài tập 2. Biết số gần ñúng a=257,4593 có sai số tuyệt ñối không vượt quá 0,01. Viết số quy tròn cùa a. Giải Vì sai số tuyệt ñối không vượt quá 1 100 nên số quy tròn của a là 257,5. C. BÀI TẬP ðỀ NGHỊ Bài 1. Cho biết =3 1.7320508... .Viết số gần ñúng 3 theo quy tắc làm tròn ñến hai,ba,bốn chữ số thập phân có ước lượng sai số tuyệt ñối trong mỗi trường hợp. Bài 2. Dùng máy tính cầm tay tìm giá trị gần ñúng a của 3 13 (kết quả làm tròn ñến hàng phần nghìn). Ước lượng sai số tuyệt ñối của a. Bài 3. ðộ cao của một ngọn núi là = ±1856,7 0,1h m m .Hãy viết số quy tròn của số 1856,7. Bài 4.Thực hiện các phép tính trên máy tính cầm tay. a/ 315.(0.13) làm tròn kết quả ñến 4 chữ số thập phân. b/ 3 5 : 7 làm tròn kết quả ñến 6 chữ số thập phân. Bài 5. Cho số =13,6481a a) Viết số quy tròn của a ñến số hàng phần trăm. b) Viết số quy tròn của a ñến số hàng phần chục. www.VNMATH.com 19 CHƯƠNG II HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI §1. HÀM SỐ A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Một hàm số có thể cho bằng: Bảng, Biểu ñồ, Công thức, ðồ thị. Khi cho hàm số bằng công thức mà không nói rõ tập xác ñịnh của nó thì ta qui ước tập xác ñịnh D của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa. 2. Hàm số y = f(x) gọi là ñồng biến (hay tăng) trên khoảng ( )a;b nếu ( )1 2 1 2 1 2x , x a;b : x x f (x ) f (x )∀ ∈ < ⇒ < . 3. Hàm số y = f(x) gọi là nghịch biến (hay giảm) trên khoảng ( )a;b nếu ( )1 2 1 2 1 2x , x a;b : x x f (x ) f (x )∀ ∈ . 4. Xét chiều biến thiên của một hàm số là tìm các khoảng dồng biến và các khoảng nghịch biến của nó. Kết quả ñược tổng kết trong một bảng gọi là bảng biến thiên. 5. Hàm số y = f(x) với tập xác ñịnh D gọi là hàm số chẵn nếu x D∀ ∈ thì x D− ∈ và f ( x) f (x)− = ðồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục ñối xứng. 6. Hàm số y = f(x) với tập xác ñịnh D gọi là hàm số lẻ nếu x D∀ ∈ thì x D− ∈ và f ( x) f (x)− = − ðồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa ñộ làm tâm ñối xứng. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề 1. Tìm tập xác ñịnh của hàm số Phương pháp : Tìm tập xác ñịnh của hàm số y = f(x) là tìm tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa. Bài tập. Tìm tập xác ñịnh của các hàm số a) 2x 1 y 3x 2 − = + b) 2 1 2x y 2x 5x 2 − = − + c) y 4x 2 5 x= − + − d) x y 2x 4 x 1 = + + − www.VNMATH.com 20 Giải a) Hàm số xác ñịnh khi 2 3x 2 0 x 3 + ≠ ⇔ ≠ − Vậy tập xác ñịnh 2 D \ 3  = −    ℝ b) Hàm số xác ñịnh khi 2 x 2 2x 5x 2 0 1 x 2 ≠  − + ≠ ⇔  ≠ Vậy tập xác ñịnh 1 D \ 2; 2  =     ℝ c) Hàm số xác ñịnh khi 1 4x 2 0 x 2 5 x 0 x 5 − ≥ ≥  ⇔  − ≥  ≤ Vậy tập xác ñịnh 1 D ;5 2  =    d) Hàm số xác ñịnh khi x 1 0 x 1 2x 4 0 x 2 − ≠ ≠  ⇔  + > > −  Vậy tập xác ñịnh ( ) { }D 2; \ 1= − +∞ Vấn ñề 2. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số. Phương pháp : Hàm số y = f(x) : + Chẵn trên D nếu x D x D f ( x) f (x) ∀ ∈ ⇒ − ∈  − = + Lẻ trên D nếu x D x D f ( x) f (x) ∀ ∈ ⇒ − ∈  − = Bài tập. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau: a) 4 2f (x) x 3x 1= − + b) 3f (x) 2x x= − + c) f (x) x 2 x 2= + − − d) ( )2f (x) x 1= − www.VNMATH.com 21 Giải a) 4 2f (x) x 3x 1= − + Tập xác ñịnh : D = ℝ x D x D∀ ∈ ⇒ − ∈ 4 2 4 2 f ( x) ( x) 3( x) 1 x 3x 1 f (x) − = − − − + = − + = Vậy hàm số là hàm số chẵn. b) 3f (x) 2x x= − + Tập xác ñịnh : D = ℝ x D x D∀ ∈ ⇒ − ∈ ( ) 3 3 3 f ( x) 2( x) ( x) 2x x 2x x f (x) − = − − + − = − = − − + = − Vậy hàm số là hàm số lẻ. c) f (x) x 2 x 2= + − − Tập xác ñịnh : D = ℝ x D x D∀ ∈ ⇒ − ∈ ( ) ( ) ( ) f ( x) x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 f (x) − = − + − − − = − − − − + = − − + = − + − − = − Vậy hàm số là hàm số lẻ. d) ( )2f (x) x 1= − Tập xác ñịnh : D = ℝ Lấy x = 1 D∈ ( ) ( ) 2 2 f ( 1) 1 1 4 f (1) 1 1 0 f ( 1) f (1) − = − − = = − = ⇒ − ≠ ± Vậy hàm số không chẵn không lẻ. Vấn ñề 3. Tìm ñiều kiện ñể một ñiểm thuộc ñồ thị hàm số Phương pháp : ðiểm ( )0 0M x ;y thuộc ñồ thị hàm số y = f(x) khi và chỉ khi 0 0y f (x )= Bài tập. Những ñiểm sau ñây, ñiểm nào thuộc ñồ thị hàm số y = x 1+ ? ( ) ( ) ( ) ( )A 1;0 ,B 4;2 ,C 0;0 ,D 5; 2− − − Giải + ðiểm A ( 1;0)− thuộc ñồ thị hàm số y = x 1+ vì 0 = 1 1− + + ðiểm B (4;2) không thuộc ñồ thị hàm số y = x 1+ vì 2 4 1≠ + + ðiểm C (0;0) không thuộc ñồ thị hàm số y = x 1+ vì 0 0 1≠ + + ðiểm D ( )5; 2− − không thuộc ñồ thị hàm số y = x 1+ vì 0x 5= − không thuộc tập xác ñịnh của hàm số. www.VNMATH.com 22 C. BÀI TẬP ðỀ NGHỊ Bài tập 1. Tìm tập xác ñịnh của các hàm số sau: a) 2 3 + − = x x y b) = + + −2 7y x x c) 2 2 4 3 + = − + x y x x d) 2 1 2 4 = + + − y x x e) y x 3= + + x4 1 − f) x 1 y (x 3) 2x 1 + = − − Bài tập 2. Xác ñịnh tính chẵn lẻ của các hàm số sau: a) 3y 4x 3x= + b) 4 2y x 3x 1= − − c) y 2x 1 2x 1= − + + d) ( )2y 1 2x= − e) 2y 2x x 2= + + f) 2 1 y x 3 = − + www.VNMATH.com 23 §2. HÀM SỐ y = ax + b A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Hàm số bậc nhất y = ax + b, ( a 0≠ ) Tập xác ñịnh D = ℝ ; Bảng biến thiên a > 0 : a < 0 : ðồ thị là một ñường thẳng không song song và không trùng với các trục tọa ñộ. ðể vẽ ñường thẳng y = ax + b ta chỉ cần xác ñiịnh hai ñiểm khác nhau của nó. 2. Hàm số hằng y = b Tập xác ñịnh D = ℝ ; Hàm số hằng là hàm số chẵn; ðồ thị là một ñường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành và cắt trục tung tại ñiểm có tọa ñộ (0;b). 3. Hàm số y = x Tập xác ñịnh D = ℝ ; Hàm số hằng là hàm số chẵn; Hàm số ñồng biến trên khoảng ( )0;+∞ và nghịch biến trên khoảng ( );0−∞ . B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề 1. Vẽ ñồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b ( )a 0≠ Phương pháp : Xác ñịnh hai ñiểm khác nhau trên ñồ thị. x −∞ +∞ y +∞ −∞ x −∞ +∞ y +∞ −∞ www.VNMATH.com 24 Bài tập 1. Vẽ ñồ thị của các hàm số a) y 3x 4= + b) 1 y 3 x 2 = − c) y 4= . Giải a) y 3x 4= + x 0 y 4 x 1 y 1 = ⇒ = = − ⇒ = b) 1 y 3 x 2 = − x 0 y 3 x 2 y 2 = ⇒ = = ⇒ = ðồ thị: -4 -2 2 4 6 -6 -4 -2 2 4 6 x y y 3x 4= + ðồ thị : -4 -2 2 4 6 -2 2 4 x y 1 y 3 x 2 = − www.VNMATH.com 25 c) y 4= ðồ thị: -6 -4 -2 2 4 6 -2 2 4 6 x y y 4= Vấn ñề 2 . Viết phương trình của ñường thẳng y = ax + b Phương pháp :
ðường thẳng ñi qua hai ñiểm Thay tọa ñộ hai ñiểm ñó vào phương trình y = ax + b giải hệ phương trình tìm a, b và thay vào phương trình y = ax + b .
ðường thẳng qua một ñiểm và song song với ñường thẳng y = a’x + b’ Tương tự qua hai ñiểm ta lập ñược một phương trình. Do ñường thẳng y = ax + b song song với ñường thẳng y = a’x + b’ nên ta có 'a a= , 'b b≠
ðường thẳng qua một ñiểm và vuông góc với ñường thẳng y = a’x + b’ Tương tự qua hai ñiểm ta lập ñược một phương trình. Do ñường thẳng y = ax + b vuông góc với ñường thẳng y = a’x + b’ nên ta có a.a’ = 1− . Bài tập 2. Viết phương trình ñường thẳng (d): y = ax + b biết: a) ðường thẳng (d) qua hai ñiểm A (2;3) và B ( 1; 3)− − b) ðường thẳng (d) qua M (1; 1)− và song song ñường thẳng d’: y 3x 4= − − www.VNMATH.com 26 c) ðường thẳng (d) qua N (2;1) và vuông góc ñường thẳng d’: 1 y x 3 2 = + Giải a) Do ñường thẳng (d) qua hai ñiểm A (2;3) và B ( 1; 3)− − nên ta có hệ phương trình: 3 a.2 b 2a b 3 a 2 3 a.( 1) b a b 3 b 1 = + + = =   ⇔ ⇔   − = − + − + = − = −   Vậy d: y 2x 1= − b) Do ñường thẳng (d) qua M (1; 1)− nên ta có phương trình: 1 a.1 b a b 1− = + ⇔ + = − (1) Do ñường thẳng (d) song song ñường thẳng d’: y 3x 4= − − nên ta có a 3= − . Thay vào (1) ta ñược b = 2. Vậy d : y 3x 2= − + c) Do ñường thẳng (d) qua N (2;1) nên ta có phương trình: 1 a.2 b 2a b 1= + ⇔ + = (1) Do ñường thẳng (d) vuông góc ñường thẳng d’: 1 y x 3 2 = + nên ta có 1 a. 1 a 2 2 = − ⇔ = − . Thay vào (1) ta ñược b = 5. Vậy d: y 2x 5= − + Vấn ñề 3. Vẽ ñồ thị hàm số cho bằng nhiều biểu thức Phương pháp : Ta vẽ ñồ thị trên từng khoảng, ñoạn hay nửa khoảng ñược chia. Bài tập 3. Vẽ ñồ thị hàm số a) 3x, x 0 y x 1, x 0 vôùi vôùi ≥ =  − < b) y x 2 1= − + Giải www.VNMATH.com 27 a) 3x, x 0 y x 1, x 0 vôùi vôùi ≥ =  − < Xét trên [ )0;+∞ : x 0 y 0 x 1 y 3 = ⇒ = = ⇒ = Xét trên ( );0−∞ : x 1 y 2 x 2 y 3 = − ⇒ = − = − ⇒ = − b) y x 2 1= − + x 2 1, x 2 0 x 2 1, x 2 0 − + − ≥ =  − + + − < vôùi vôùi x 1, x 2 x 3, x 2 − ≥ =  − + < vôùi vôùi Xét trên [ )2;+∞ : x 2 y 1 x 3 y 2 = ⇒ = = ⇒ = Xét trên ( );2−∞ : x 1 y 2 x 0 y 3 = ⇒ = = ⇒ = ðồ thị : -3 -2 -1 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 x y 3y x= 1y x= − ðồ thị : -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -2 -1 1 2 3 4 5 x y 3y x= − + 1y x= − www.VNMATH.com 28 C. BÀI TẬP ðỀ NGHỊ. Bài tập 1. Vẽ ñồ thị hàm số: a) 2= +y x b) 1 2 = + x y c) 2 1= − +y x d) y 3= − Bài tập 2. Xác ñịnh a, b ñể ñồ thị hàm số y = ax + b a) ði qua hai ñiểm A(0;1) và ( )B 2; 3− b) ði qua C ( )4; 3− và song song ñường thẳng 2y x 1 3 = − + c) ði qua E(4;2) và vuông góc ñường thẳng y = − 2 1 x + 5 Bài tập 3. Vẽ ñồ thị hàm số sau: a) x 2, x 1 y 2x 2, x 1 vôùi vôùi − + ≥ =  + < b) y 2x 3 1= − + − www.VNMATH.com 29 §3. HÀM SỐ BẬC HAI A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Hàm số bậc hai ( )2y bx c, a 0ax= + + ≠ có tập xác ñịnh D = ℝ . 2. ðồ thị hàm số bậc hai 2y bx cax= + + là một ñường parabol có ñỉnh là ñiểm I b ; 2a 4a ∆ − −    , có trục ñối xứng là ñường thẳng b x 2a = − . Parabol này quay bề lõm lên trên nếu a > 0, xuống dưới nếu a < 0. 3. ðể vẽ ñường parabol 2y bx cax= + + , ( a 0≠ ) ta thực hiện các bước sau: Xác ñịnh tọa ñộ ñỉnh I b ; 2a 4a ∆ − −    ; Vẽ trục ñối xứng d là ñường thẳng b x 2a = − Xác ñịnh giao ñiểm của parabol với các trục tọa ñộ (nếu có). Xác ñịnh thêm một số ñiểm thuộc ñồ thị. Chẳng hạn, ñiểm ñối xứng với giao ñiểm của ñồ thị với trục tung qua trục ñối xứng của parabol. Dựa vào kết quả trên, vẽ parabol. 4. Bảng biến thiên : a > 0 : a < 0 : x −∞ b 2a − +∞ y +∞ +∞ 4a ∆ − x −∞ b 2a − +∞ y 4a ∆ − −∞ −∞ www.VNMATH.com 30 Vấn ñề 1. Lập bảng biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số bậc hai ( )≠2y = ax + bx+ c, a 0 Phương pháp: + Tìm tập xác ñịnh: D = ℝ + Xác ñịnh tọa ñộ ñỉnh I b ; 2a 4a ∆ − −    + Xác ñịnh trục ñối xứng b x 2a = − + Xác ñịnh giao ñiểm của ñồ thị với các trục tọa ñộ (nếu có) + Tìm ñiểm ñối xứng với giao ñiểm của ñồ thị với trục tung qua trục ñối xứng của parabol. + Từ các dữ liệu tìm ñược, lập bảng biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số. Bài tập 1. Lập bảng biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số : a) 2y 3x 4x 1= − + b) 2y 3x 2x 1= − + − c) 2y 4x 4x 1= − + . Giải a) 2y 3x 4x 1= − + Tập xác ñịnh: D = ℝ Tọa ñộ ñỉnh: I 2 1 ; 3 3  −    Trục ñối xứng: 2 x 3 = Giao ñiểm của ñồ thị với trục Oy là A(0;1). Giao ñiểm của ñồ thị với trục Ox là B(1;0), C 1 ;0 3       . ⇒A’ 4 ;1 3       ñối xứng A qua trục ñối xứng ðồ thị: -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 x y 2 3 x = 23 4 1y x x= − + www.VNMATH.com 31 Bảng biến thiên : x −∞ 2 3 +∞ y +∞ +∞ 1 3 − b) 2y 3x 2x 1= − + − Tập xác ñịnh: D = ℝ Tọa ñộ ñỉnh: I 1 2 ; 3 3  −    Trục ñối xứng: 1 x 3 = Giao ñiểm của ñồ thị với trục Oy là A(0;1). Giao ñiểm của ñồ thị với trục Ox là không có. ⇒A’ 2 ; 1 3  −    ñối xứng A qua trục ñối xứng. ðồ thị: -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 x y 2y 3x 2x 1= − + − 1 3 x = Bảng biến thiên: x −∞ 2 3 +∞ y 2 3 − −∞ −∞ www.VNMATH.com 32 c) 2y 4x 4x 1= − + Tập xác ñịnh: D = ℝ Tọa ñộ ñỉnh: I 1 ;0 2       Trục ñối xứng: 1 x 2 = Giao ñiểm của ñồ thị với trục Oy là A(0;1). Giao ñiểm của ñồ thị với trục Ox là B 1 ;0 2       ⇒A’ ( )1;1 ñối xứng A qua trục ñối xứng. ðồ thị: -4 -2 2 4 2 4 6 x y 24 4 1y x x= − + 1 2 x = Bảng biến thiên: x −∞ 1 2 +∞ y +∞ +∞ 0 www.VNMATH.com 33 Vấn ñề 2. Xác ñịnh hàm số bậc hai. Phương pháp :
Biết ñồ thị qua một ñiểm.Thay tọa ñộ ñiểm vào phương trình hàm số ta ñược một phương trình.
Biết ñồ thị có trục ñối xứng 0x x= . Suy ra 0 b x 2a − = .
Biết ñỉnh ( )0 0I x ; y .Suy ra 0 0 b x 2a y 4a − =  ∆− = 
Biết hoành ñộ ñỉnh là 0x . Suy ra 0 b x 2a − =
Biết tung ñộ ñỉnh là 0y . Suy ra 0y4a ∆ − =  Từ các giả thiết ñề bài cho, ta thành lập hệ phương trình. Bài tập 2. Xác ñịnh hàm số bậc hai 2y 2x bx c= + + , biết rằng ñồ thị của nó: a) Có trục ñối xứng là ñường thẳng x = 1 và cắt trục tung tại ñiểm (0;4). b) Có ñỉnh là ( )I 1; 2− − . c) ði qua hai ñiểm ( ) ( )A 0; 1 ,B 4;0− . d) Có hoành ñộ ñỉnh là 2 và ñi qua ñiểm ( )M 1; 2− . Giải a) Do ñồ thị có trục ñối xứng là ñường thẳng x = 1 nên ta có: b 1 b 2a 4 2a − = − ⇔ = − = − Do ñồ thị cắt trục tung tai ñiểm (0;4) nên ta có: 4 2.0 b.0 c c 4= + + ⇔ = Vậy hàm số cần tìm là : 2y 2x 4x 4= − + b) Do ñồ thị có ñỉnh là ( )I 1; 2− − nên ta có: 2 b b 2a1 b 42a 4ac b c 022 4a4a  =− = − =  ⇔ ⇔  −∆ ==  − = −  Vậy hàm số cần tìm là : 2y 2x 4x= + . www.VNMATH.com 34 c) Do ñồ thị ñi qua hai ñiểm ( ) ( )A 0; 1 ,B 4;0− nên ta có hệ phương trình: c 1 1 2.0 b.0 c c 1 31 0 2.16 4.b c 32 4b c 0 b 4 = −− = + + = −   ⇔ ⇔   = + + + + = = −   Vậy hàm số cần tìm là : 2 31 y 2x x 1 4 = − − . d) Do ñồ thị có hoành ñộ ñỉnh là 2 nên ta có b 2 b 8 2a − = ⇔ = − Do ñồ thị ñi qua ñiểm ( )M 1; 2− nên ta có: 2 2.1 b.1 c 2 2 8 c c 4− = + + ⇔ − = − + ⇔ = Vậy hàm số cần tìm là : 2y 2x 8x 4= − + . C. BÀI TẬP ðỀ NGHỊ Bài tập 1. Lập bảng biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số: a) 2y 2x 4x 6= + − b) 2y 3x 6x 4= − − + c) 2 1 y x 2x 1 2 = + + d) 2y 2x 2= − − Bài tập 2. Xác ñịnh hàm số bậc hai 2y 4x cax= − + , biết rằng ñồ thị của nó a) ði qua hai ñiểm ( )A 1; 2− và ( )B 2;3 . b) Có ñỉnh là ( )I 2; 1− − . c) Có hoành ñộ ñỉnh là 3− và ñi qua ñiểm P( 2;1)− . d) Có trục ñối xứng là ñường thẳng x = 2 và cắt trục hoành tại ñiểm M(3;0). Bài tập 3. Xác ñịnh parabol 2y bx 1ax= + + biết parabol ñó: a) Qua ( )A 1;2 và ( )B 2;3 . b) Có ñỉnh là ( )I 1;0 . c) Qua M(1;6) và có trục ñối xứng có phương trình là x 2= − . d) Qua N(1;4) và có tung ñộ ñỉnh là 0. www.VNMATH.com 35 CHƯƠNG III PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH §1. ðẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ I. KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH 1. Phương trình một ẩn: Phương trình ẩn x là một mệnh ñề chứa biến dạng ( ) ( )f x g x= , trong ñó ( )f x và ( )g x là các biểu thức của x . 2. ðiều kiện xác ñịnh của phương trình ðiều kiện xác ñịnh của phương trình (gọi tắt là ñiều kiện của phương trình) là những ñiều kiện của ẩn x ñể các biểu thức của phương trình ñiều có nghĩa. 3. Nghiệm của phương trình-giải phương trình Nếu 0 0 ( ) ( )f x g x= thì 0 x ñược gọi là nghiệm của phương trình ( ) ( )f x g x= Giải phương trình là tìm tập hợp tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm). 4. Phương trình nhiều ẩn Ngoài các phương trình một ẩn còn có các phương trình nhiều ẩn. Nghiệm của phương hai ẩn ,x y là cặp số thực 0 0 ( ; )x y thỏa mãn phương trình ñó, còn nghiệm của một phương trình ba ẩn , ,x y z là một bộ ba số thực 0 0 0 ( ; ; )x y z thỏa mãn phương ñó. II. PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ðƯƠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ 1. Phương trình tương ñương: Hai phương trình ( ) ( ) (1)f x g x= và 1 1 ( ) ( ) (2)f x g x= ñược gọi là tương ñương nếu chúng có cùng tập nghiệm (có thể là tập rỗng). Kí hiệu: (1) (2)⇔ . 2. Phép biến ñổi tương ñương: Nếu thực hiện các biến ñổi sau ñây trên một phương trình mà không làm thay ñổi ñiều kiện xác ñịnh của nó thì ta ñược một phương trình tương ñương. a) Cộng hay trừ hai vế của phương trình với một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác không. b) Nhân hoặc chia hai vế của phương trình với một số khác 0 hoặc với cùng biểu thức luôn có giá trị khác 0. 3. Phương trình hệ quả Nếu mỗi nghiệm của phương trình (1) cũng là nghiệm của phương trình (2) thì ta nói phương trình (2) là phương trình hệ quả của phương trình (1). Kí hiệu: (1) (2)⇒ . Chẳng hạn, với số nguyên dương n tùy ý ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) n n f x g x f x g x   = ⇒ =    Phương trình hệ quả có thể có nghiệm ngoại lai, nghiệm ñó không phải là nghiệm của phương trình ban ñầu. ðể loại nghiệm ngoại lai ta phải thử lại nghiệm tìm ñược vào phương trình ban ñầu. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề 1. Tìm ñiều kiện của ẩn ñể phương trình có nghĩa Phương pháp : Tìm ñiều kiện của ẩn x ñể các biểu thức của phương trình ñiều có nghĩa. www.VNMATH.com 36 Bài tập 1. Tìm ñiều kiện của các phương trình sau: a) 2 3 4 1 x x x = − − b) 2 2 3 x x x + = − − Giải a) ðiều kiện của phương trình là: 2 11 0 44 0 xx xx   ≠ ±− ≠ ⇔  ≤− ≥  . b)  ðiều kiện của phương trình là: 3 0 3 2 0 2 x x x x x  − > > ⇔ ⇔ ∈∅  − ≥ ≤  .  Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn ñiều kiện của phương trình. Chú ý: Khi không có giá trị nào của x thỏa mãn ñiều kiện của phương trình thì phương trình ñã cho vô nghiệm. Bài tập 2. Chứng tỏ các phương trình sau vô nghiệm a) 2 1 4 3 x x x − = − − + ; b) 5 3 5x x x− + = + − . Giải a)  ðiều kiện của phương trình là: 3 0 3 4 0 4 x x x x x  − + > < ⇔ ⇔ ∈∅  − ≥ ≥  . Do ñó: không có giá trị nào của x thỏa mãn ñiều kiện của phương trình.  Vậy phương trình ñã cho vô nghiệm. b)  ðiều kiện của phương trình là: 5 0 5 5 5 0 5 x x x x x  − ≥ ≥ ⇔ ⇔ =  − ≥ ≤  . Giá trị này không thỏa mãn phương trình.  Vậy phương trình ñã cho vô nghiệm. Vấn ñề 2. Biến ñổi tương ñương, biến ñổi hệ quả phương trình; Xác ñịnh quan hệ tương ñương, hệ quả của các phương trình. Phương pháp : 1) Nếu thực hiện các biến ñổi sau ñây trên một phương trình mà không làm thay ñổi ñiều kiện xác ñịnh của nó thì ta ñược một phương trình tương ñương. a) Cộng hay trừ hai vế của phương trình với một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0. b) Nhân hoặc chia hai vế của phương trình với một số khác 0 hoặc với cùng biểu thức luôn có giá trị khác 0. 2) Nếu mỗi nghiệm của phương trình ( ) ( ) (1)f x g x= cũng là nghiệm của phương trình 1 1 ( ) ( ) (2)f x g x= thì ta nói phương trình (2) là phương trình hệ quả của phương trình (1). Kí hiệu: (1) (2)⇒ . Phương trình hệ quả có thể có nghiệm ngoại lai, nghiệm ñó không phải là nghiệm của phương trình ban ñầu. ðể loại nghiệm ngoại lai ta phải thử lại nghiệm tìm ñược vào phương trình ban ñầu. www.VNMATH.com 37 ðể phép bình phương trở thành phép biến ñổi tương ñương ta phải thêm ñiều kiện hai vế cùng dấu và thỏa mãn ñiều kiện của phương trình. Bài tập 1. Giải các phương trình sau: a) 2 4 2x x x+ + = + + ; b) 4 2 4x x x− − = + − Giải a) ðiều kiện của phương trình là: 2 0 2x x+ ≥ ⇔ ≥ − . Ta có: 2 4 2 4 2 2 4 x x x x x x x + + = + + ⇔ = + + − + ⇒ = Giá trị 4x = thỏa mãn ñiều kiện 2x ≥ − và là nghiệm ñúng của phương trình. Vậy nghiệm của phương trình ñã cho là: 4x = . b) ðiều kiện của phương trình là: 4 0 4x x− ≥ ⇔ ≥ . Ta có: 4 2 4x x x− − = + − 2 4 4 2 x x x x ⇔ − = + − − − ⇒ = − Giá trị 2x = − không thỏa mãn ñiều kiện 4x ≥ . Vậy phương trình ñã cho vô nghiệm. Bài tập 2. Giải các phương trình sau: a) 2 1 2 3 3 x x x x + + = − − ; b) 22 8 1 1 x x x = + + Giải a) ðiều kiện của phương trình là 3x > . Với ñiều kiện ñó, ta có + + + + = ⇔ − = − − − − − ⇒ + = + ⇒ = 2 1 2 2 1 2 . 3 . 3 3 3 3 3 2 1 2 1 x x x x x x x x x x x x x Giá trị 2x = không thỏa mãn ñiều kiện 3x > nên bị loại. Vậy phương trình ñã cho vô nghiệm. b) ðiều kiện của phương trình là 1x > − . Với ñiều kiện ñó, ta có 2 2 2 2 8 2 8 . 1 . 1 1 1 1 1 2 8 2 2 x x x x x x x x x x x = ⇔ + = + + + + + ⇒ =  = − ⇒  = Giá trị 2x = − không thỏa mãn ñiều kiện 1x > − nên bị loại. Giá trị 2x = thỏa mãn ñiều kiện 1x > − và nghiệm ñúng phương trình. Vậy phương trình ñã cho có nghiệm là 2x = . www.VNMATH.com 38 C. BÀI TẬP ðỀ NGHỊ Bài 1. Nêu ñiều kiện xác ñịnh của các phương trình sau: a) 2 3 1x x x+ = + ; b) 1 1 1x x x− + = − + ; c) 1 2 2 1 x x x − = + + . Bài 2. Giải các phương trình a) 1 2 1 2 1 1 x x x x + − + = − − ; b) 2 2 1 x x x + − = − ; c) ( )22 3 4 0x x x− − − = ; d) 1 8x x− = − ; e) 2 2 5 4 3 4 2 x x x x− + + = − + : Bài 3. Trong các cặp phương trình sau, hãy chỉ ra các cặp phương trình tương ñương: a) 2 3 4x x− = và 2 3 4 0x x− − = ; b) 6 12 0x − = và 2x = ; c) 2 2( 2) 3( 2)x x x+ = + và 3x = ; d) 1 3x − = và 2( 1) 0x − = ; e) 2 4x − = và 2( 2) 16x + = . www.VNMATH.com 39 §2. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BẬC HAI A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Giải và biện luận phương trình 0ax b+ = (1) Hệ số 0ax b+ = (1) 0a ≠ Phương trình (1) có nghiệm duy nhất b x a = − 0a = 0b ≠ Phương trình (1) vô nghiệm 0b = Phương trình (1) nghiệm ñúng với x∀ ∈ℝ Khi 0a ≠ phương trình (1) ñược gọi là phương trình bậc nhất một ẩn. 2. Giải và biện luận phương trình 2 0 ( 0)ax bx c a+ + = ≠ (2) Biệt thức 2 4b ac∆ = − Kết luận 0∆ > Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt 1,2 2 b x a − ± ∆ = 0∆ = Phương trình (2) có nghiệm kép 2 b x a = − 0∆ < Phương trình (2) vô nghiệm 3. ðịnh lí Vi-et Nếu phương trình (2) có hai nghiệm 1 2 ,x x thì 1 2 b x x a + = − , 1 2 . c x x a = . Ngược lại, nếu hai số u và v có tổng u v S+ = và tích .u v P= thì u và v là các nghiệm của phương trình 2 0x Sx P− + = (ñiều kiện: 2 4 0S P− ≥ ). 4. Phương trình trùng phương Có dạng 4 2 0ax bx c+ + = ( 0)a ≠ . Cách giải: ñặt 2t x= ( 0t ≥ ) và ñưa về phương trình bậc hai 2 0at bt c+ + = . 5. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt ñối Có thể khử dấu giá trị tuyệt ñối trong phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt ñối nhờ sử dụng ñịnh nghĩa: 2 neáu a 0 neáu 0 a a a a a  ≥ = =  − < ðặc biệt, ta có: * 2 2 ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x= ⇔ = hoặc ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x g x f x g x  = = ⇔  = − . www.VNMATH.com 40 * ( ) 0 (hay ( ) 0) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x g x f x g x  > > = ⇔  = ; * 2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) g x f x g x f x g x  > = ⇔  = . B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề 1. Giải và biện luận phương trình 0ax b+ = . Phương pháp : * 0a ≠ : Phương trình có nghiệm duy nhất b x a = − . * 0a = : Phương trình trở thành ax b= − + 0b ≠ : Phương trình vô nghiệm + 0b = : Phương trình có vô số nghiệm x∈ℝ Bài tập. Giải và biện luận phương trình ( 1)( 3) 3 0m m x m− − + − = (1) Giải ( 1)( 3) 3 0 ( 1)( 3) 3m m x m m m x m− − + − = ⇔ − − = − (1 )′ * 1 0 1 ( 1)( 3) 0 3 0 3 m m m m m m  − ≠ ≠ − − ≠ ⇔ ⇔  − ≠ ≠  : phương trình (1 )′ có nghiệm duy nhất: 3 1 ( 1)( 3) 1 m x m m m − = = − − − *  = − − = ⇔  = 1 ( 1)( 3) 0 3 m m m m + Với 1m = : Phương trình (1 )′ trở thành 0 2x = − (phương trình vô nghiệm) + Với 3m = : Phương trình (1 )′ trở thành 0 0x = (phương trình có vô số nghiệm x∈ℝ ). Vậy * Với 1m ≠ và 3m ≠ : Phương trình (1) có nghiệm duy nhất 1 1 x m = − . * Với 1m = : Phương trình (1) vô ngiệm. * Với 3m = : Phương trình (1) có vô số nghiệm x∈ℝ . Vấn ñề 2. Giải phương trình có ẩn ở mẫu số ñơn giản Phương pháp : Bước 1: ðặt ñiều kiện của phương trình (Chú ý ñiều kiện ñể mẫu số khác 0). Bước 2: Quy ñồng, khử mẫu và tìm nghiệm của phương trình. Bước 3: Kiểm tra nghiệm tìm ñược với ñiều kiện. Nếu nghiệm ñó thỏa mãn ñiều kiện thì nó là nghiệm của phương trình, ngược lại nó không phải là nghiệm. Bài tập. Giải phương trình sau: 24 3 2 3 1 1 x x x x + + + = − − Giải a) ðiều kiện của phương trình: 1x ≠ . Với ñiều kiện ñó, ta có: + + + = ⇔ + − + = + − − 2 24 32 3 (2 3)( 1) 4 3 1 1 x x x x x x x www.VNMATH.com 41  = ⇔ + − = ⇔  = − 2 1(loaïi)2 0 2 (nhaän) x x x x Vậy nghiệm của phương trình là: 2x = − . Vấn ñề 3. Giải phương trình trùng phương 4 2 0ax bx c+ + = ( 0)a ≠ . Phương pháp : ðặt 2t x= ( 0t ≥ ) và ñưa về phương trình bậc hai 2 0at bt c+ + = . Bài tập. Giải phương trình 4 25 4 0x x− + = Giải ðặt 2 , 0t x t= > . Khi ñó phương trình ñã cho trở thành: 2 1(nhaän)5 4 0 4 (nhaän) t t t t  = − + = ⇔  = Với 1t = , ta ñược: 2 1 1x x= ⇔ = ± . Với 4 2t x= ⇔ = ± . Vậy phương trình ñã cho có 4 nghiệm: 1; 2x x= ± = ± . Vấn ñề 4. Giải phương trình dạng: ; ; ;A B A B A B A B= = = = . Phương pháp : Sử dụng các công thức 2 0 ; ; 00 (hay 0) ; . B A B A B A B A B A B A B BA B A B A B A B A B  ≥  =  = ⇔ = ⇔  = = −   = −  ≥ ≥ ≥  = ⇔ = ⇔  = =  . Bài tập. Giải các phương trình sau: a) 3 2 1x x− = + ; b) 2 1 5 2x x− = − − ; c) 2 3 3x x− = − ; c) 2 2 1x x x+ − = − + . Giải www.VNMATH.com 42 2 1 0 a) 3 2 1 3 2 1 3 2 1 1 2 4 3 2 1 2 4 2 3 2 3 x x x x x x x x x x x x x x  + ≥  − = + ⇔  − = +  − = − −  ≥ −  ⇔ − = =  ≥ − ⇔  = −   =  ⇔ = Vậy nghiệm của phương trình là: 2 3 x = 2 2 2 3 0 c) 2 3 3 2 3 ( 3) 3 2 3 6 9 3 8 12 0 3 2 (loaïi) 6 (nhaän) 6 x x x x x x x x x x x x x x x x  − ≥− = − ⇔  − = −  ≥ ⇔  − = − +  ≥⇔  − + =  ≥  ⇔  =  = ⇔ = Vậy nghiệm của phương trình là: 6x = 2 1 5 2 b) 2 1 5 2 2 1 5 2 7 1 3 3 1 7 1 x x x x x x x x x x  − = − − − = − − ⇔  − = +  = − ⇔ − =  = −⇔  = − Vậy nghiệm của phương trình là: 1 7 x = − ; 1x = − . 2 2 2 1 0 d) 2 1 2 1 1 2 3 0 1 1(nhaän) 3 (nhaän) 1 3 x x x x x x x x x x x x x x x − + ≥ + − = − + ⇔  + − = − +  ≤ ⇔  + − =  ≤  ⇔  =  = −  = ⇔  = − Vậy nghiệm của phương trình là: 1; 3x x= = − www.VNMATH.com 43 Vấn ñề 5. Vận dụng ñịnh lí Vi-et vào việc nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai, tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng. Phương pháp : a) Cho phương trình: 2 0 ( 0)ax bx c a+ + = ≠ . + Nếu 0a b c+ + = thì phương trình có một nghiệm 1 1x = , nghiệm còn lại 2 c x a = . + Nếu 0a b c− + = thì phương trình có một nghiệm 1 1x = − , nghiệm còn lại 2 c x a = − b) Nếu hai số u và v có tổng u v S+ = và tích .u v P= thì u và v là các nghiệm của phương trình 2 0x Sx P− + = (ñiều kiện: 2 4 0S P− ≥ ). Bài tập 1. Nhẩm nghiệm các phương trình sau: a) 2 6 5 0x x− + = ; b) 23 6 9 0x x− − = . Giải a) Vì 1 ( 6) 5 0+ − + = nên phương trình có một nghiệm 1 1x = , nghiệm kia 2 5 5 1 x = = . b) Vì 3 ( 6) 9 0− − − = nên phương trình có một nghiệm 1 1x = − , nghiệm kia 2 9 3 3 x − = − = . Bài tập 2. Tìm hai số có tồng bằng 18 và tích bằng 45. Giải Hai số cần tìm là nghiệm nghiệm của phương trình: 2 3 18 45 0 15 x x x x  = − + = ⇔  = . Vậy hai số cần tìm là: 3 và 15. Vấn ñề 6. Giải các bài toán thực tế ñưa về giải phương trình bậc nhất, bậc hai bằng cách lập phương trình. Phương pháp : Bước 1: ðặt ẩn số và xác ñịnh ñiều kiện của ẩn. Bước 2: Từ yêu cầu ñề bài xây dựng phương trình. Tìm nghiệm của phương trình ñó. Bước 3: Kiểm tra nghiệm tìm ñược với ñiều kiện và kết luận. Bài tập. Có hai rổ quýt chứa số quýt bằng nhau. Nếu lấy 30 quả ở rổ thứ nhất ñưa sang rổ thứ hai thì số quả quýt ở rổ thứ hai bằng 1 3 của bình phương số quả còn lại ở rổ thứ nhất. Hỏi số quả quýt ở mỗi rổ lúc ban ñầu là bao nhiêu? Giải Gọi x là số quả quýt ở mỗi rổ lúc ban ñầu. ðiều kiện: x :nguyên dương và 30x > . Theo ñề bài ta có phương trình: ( )2130 30 3 x x+ = − 2 45 (loaïi)63 810 0 18 (nhaän) x x x x  = − + = ⇔  = Vậy số quả quýt ở mỗi rổ lúc ban ñầu là 45 quả. www.VNMATH.com 44 C. BÀI TẬP ðỀ NGHỊ Bài 1. Giải và biện luận phương trình sau: ( 2) 3 1m x x− = + Bài 2. Tìm hai số có tổng bằng 15 và tích bằng -34. Bài 3. Giải các phương trình sau: a) 2 2 1 2; 11 x xx − = +− b) 2 2 2( 2 ) (3 2) 0;x x x+ − + = c) 4 28 9 0x x− − = Bài 4. Giải các phương trình sau: a/ 2 1 3+ = −x x b/ |x2 − 2x| = |x2 − 5x + 6| c/ |x + 3| = 2x + 1 d/ |3x2 − x − 2 | = x − 2 Bài 5. Giải các phương trình sau: a/ 23 9 1− +x x = x − 2 b/ x − 2 5−x = 4 c/ 2 7 4− + =x x d/ 1 13+ − =x x Bài 6. Một người dùng 300000ñ ñầu tư cho sản xuất thủ công. Mỗi sản phẩm người ñó ñược lãi 1500 ñồng. Sau một tuần, tính cả vốn lẫn lãi người ñó có 1050 nghìn ñồng. Hỏi trong tuần ñó, người ấy sản xuất ñược bao nhiêu sản phẩm? Bài 7. Một công ty vận tải dự ñịnh ñiều ñộng một số ô tô cùng loại ñể chuyển 22,4 tấn hàng. Nếu mỗi ô tô chở thêm 1 tạ so với dự ñịnh thì số ô tô giảm ñi 4 chiếc. Hỏi số ô tô công ty dự ñịnh ñiều ñộng ñể chở hết số hàng trên là bao nhiêu? www.VNMATH.com 45 §3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ I. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 1. Phương trình bậc nhất hai ẩn Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng + =ax by c , trong ñó , ,a b c là các số thực ñã cho và ,a b không ñồng thời bằng 0; ,x y là ẩn số. 2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn ,x y có dạng 1 1 1 2 2 2 a x b y c a x b y c  + =  + = , trong ñó cả hai phương trình ñều là phương trình bậc nhất hai ẩn. * Có hai cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn quen thuộc a) Phương pháp thế: Từ một phương trình nào ñó của hệ, biểu thị một ẩn qua ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại ñể ñược phương trình bậc nhất một ẩn. b) Phương pháp cộng: Biến ñổi hệ số của một ẩn nào ñó trong hai phương trình là hai số ñối nhau rồi cộng từng vế hai phương trình lại ñể ñược phương trình bậc nhất một ẩn. II. HỆ BA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN 1. Phương trình bậc nhất ba ẩn Phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng + + =ax by cz d , trong ñó , , ,a b c d là các số thực ñã cho và , ,a b c không ñồng thời bằng 0; , ,x y z là ẩn số. 2. Hệ ba phương trình bậc nhất hai ẩn a) Dạng tam giác của hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn là: 1 1 1 1 2 2 2 3 3 (1) a x b y c z d b y c z d c z d  + + =  + =  = hoặc 1 1 2 2 2 3 3 3 3 (2) a x d a x b y d a x b y c z d  =  + =  + + = Cách giải: Từ phương trình cuối của hệ (1) tính ñược z , thế giá trị z vừa tìm ñược vào phương trình thứ hai ñể tính ñược y rồi thế cả ,y z tìm ñược vào phương trình ñầu tính ñược x . Từ phương trình ñầu của hệ (2) tính ñược x , thế giá trị x vừa tìm ñược vào phương trình thứ hai ñể tính ñược y rồi thế cả ,x y tìm ñược vào phương trình thứ ba tính ñược z . b) Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn , ,x y z có dạng 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d  + + =  + + =  + + = , trong ñó cả ba phương trình ñều là phương trình bậc nhất ba ẩn. Cách giải: (theo phương pháp Gau-xơ): Khử dần ẩn số ñể ñưa về hệ phương trình dạng tam giác. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề 1. Giải và biểu diễn tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn Phương pháp : + Cho phương trình 2 2( 0)ax by c a b+ = + > ; + Giả sử 0b ≠ , cho 0 x x= ta có: 0 0 c ax y b − = ; www.VNMATH.com 46 + Tập nghiệm của phương trình là 0 0 ; c ax x b  −     . Bài tập. Giải phương trình 2 3 5x y+ = Giải Ta có: 5 2 2 3 5 3 x x y y − + = ⇔ = . Cho 0 x x= ta ñược: 0 0 5 2 3 x y − = Vậy nghiệm của phương trình là: 0 0 5 2 ; 3 x x  −     Vấn ñề 2. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, ba ẩn ñơn giản Phương pháp : Theo phương pháp Gau-xơ Khử dần ẩn số ñể ñưa về hệ phương trình dạng tam giác. Bài tập. Giải các hệ phương trình sau: a) 6 9 4 14; x y x y  − = −  + = b) 3 2 8 2 2 6 3 6 . x y z x y z x y z  + + =  + + =  + + = Giải 6 9 6 9 a) 4 14 25 50 6 9 2 3 2 x y x y x y y x y y x y  − = − − = − ⇔  + = =   − = − ⇔  =  = ⇔  = Vậy nghiệm của hệ phương là 3 2 x y  =  = 3 2 8 3 2 8 b) 2 2 6 4 3 10 3 6 . 8 5 18 3 2 8 1 4 3 10 1 2 2 x y z x y z x y z y z x y z y z x y z x y z y z z  + + = + + =   + + = ⇔ − − = −   + + = − − = −   + + = =  ⇔ − − = − ⇔ =   = =  Vậy nghiệm của hệ phương là 1 1 2 x y z  =  =  = Vấn ñề 3. Giải một số bài toán có nội dung thực tế bằng cách ñưa về việc lập và giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, ba ẩn. Phương pháp : Bước 1: ðặt ẩn số và xác ñịnh ñiều kiện của ẩn. Bước 2: Từ yêu cầu ñề bài xây dựng hệ phương trình. Tìm nghiệm của hệ phương trình ñó. Bước 3: Kiểm tra nghiệm tìm ñược với ñiều kiện và kết luận. Bài tập 1. Hai bạn Vân và Lan ñến cửa hàng mua trái cây. Bạn Vân mua 10 quả quýt, 7 quả cam với giá tiền là 17 800 ñồng. Bạn Lan mua 12 quả quýt, 6 quả cam với giá tiền là 18 000 ñồng. Hỏi giá tiền mỗi quả quýt và cam là bao nhiêu? www.VNMATH.com 47 Giải Gọi x là giá tiền mỗi quả quýt. y là giá tiền mỗi quả cam. ðiều kiện: , 0x y > . Theo ñề bài ta có hệ phương trình: 10 7 17 800 800 12 6 18 000 1400 x y x x y y  + = = ⇔  + = =  Vậy giá mỗi quả quýt là 800 ñồng và giá mỗi quả cam là 1 400 ñồng, Bài tập 2. Một cửa hàng bán áo sơ mi, quần âu nam và váy nữ. Ngày thứ nhất bán ñược 12 áo, 21 quần và 18 váy, doanh thu là 5 349 000 ñồng. Ngày thứ hai bán ñược 16 áo, 24 quần và 12 váy, doanh thu là 5 600 000 ñồng. Ngày thứ ba bán ñược 24 áo, 15 quần và 12 váy, doanh thu là 5 349 000 ñồng. Hỏi giá bán mỗi áo, mỗi quần, mỗi váy là bao nhiêu? Giải Gọi x là giá bán mỗi áo. y là giá giá bán mỗi cái quần. z là giá bán mỗi váy. ðiều kiện: , , 0x y z > . Theo ñề bài ta có hệ phương trình:  + + = =   + + = ⇔ =   + + = =  12 21 18 5 349 000 98 000 16 24 12 5 600 000 125 000 24 15 12 5 259 000 86 000 x y z x x y z y x y z z Vậy giá bán mỗi áo là 98 000 ñồng, giá bán mỗi quần là 125 000 ñồng và giá bán mỗi váy là 86 000 ñồng C. BÀI TẬP ðỀ NGHỊ Bài 1. Giải phương trình 3 7x y+ = . Bài 2. Giải hệ phương trình 3 2 6 9 4 6 x y x y  − =  + = − . Bài 3. Giải các hệ phương trình sau: a) 3 4 5 8 6 9 21 x y z y z z  + − =  + =  = ; b) 2 3 1 2 3 1 x y z x y z x y x  + + =  + + =  + + = − Bài 4. Một ñoàn xe gồm 13 xe tắc xi tải chở 36 tấn xi măng cho một công trình xây dựng. ðoàn xe chỉ gồm có hai loại: xe chở 3 tấn và xe chở 2,5 tấn. Tính số xe mỗi loại. Bài 5. Ba máy trong một giờ sản xuất ñược 95 sản phẩm. Số sản phẩm máy III làm trong 2 giờ nhiều hơn số sản phẩm máy I và máy II làm trong 1giờ là 10 sản phẩm. Số sản phẩm máy I làm trong 8 giờ ñúng bằng số sản phẩm máy II làm trong 7 giờ. Hỏi trong một giờ, mỗi máy sản xuất ñược bao nhiêu sản phẩm. www.VNMATH.com 48 CHƯƠNG IV BẤT ðẲNG THỨC. BẤT PHƯƠNG TRÌNH §1. BẤT ðẲNG THỨC A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ I. KHÁI NIỆM BẤT ðẲNG THỨC Các mệnh ñề dạng: " "," "," "," "a b a b a b a b> < ≥ ≤ ñược gọi là những bất ñẳng thức. II. TÍNH CHẤT CỦA BẤT ðẲNG THỨC 1. a b> và b c a c> ⇒ > . 2. .a b a c b c> ⇔ + > + 3. Nếu 0c > thì ;a b ac bc> ⇔ > Nếu 0c ⇔ < 4. a b> và c d a c b d> ⇒ + > + . 5. 0a b> ≥ và 0c d ac bd> ≥ ⇒ > . 6. Với 0ab > ta có : 1 1 .a b a b > ⇔ < 7. Với * 2 2, 0, : .n na b n a b a b≥ ∈ > ⇔ >ℕ 8. Với ,a b và * 2 1 2 1: .n nn a b a b+ +∈ > ⇔ >ℕ 9. 0 .a b a b> ≥ ⇔ > 10. 3 3 .a b a b> ⇔ > III. BẤT ðẲNG THỨC CÔ-SI 1) Bất ñẳng thức Cô-si cho hai số không âm Cho 0a ≥ và 0,b ≥ ta có : 2 .a b ab+ ≥ ðẳng thức xảy ra .a b⇔ = 2) Bất ñẳng thức Cô-si cho ba số không âm Cho 0, 0a b≥ ≥ và 0,c ≥ ta có : 33 .a b c abc+ + ≥ ðẳng thức xảy ra .a b c⇔ = = IV. BẤT ðẲNG THỨC CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ðỐI 1. 0; ; .x x x x x≥ ≥ ≥ − 2. Với 0a > , ta có: www.VNMATH.com 49  .x a a x a≤ ⇔ − ≤ ≤  x a x a≥ ⇔ ≥ hoặc x a≤ − . B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề 1. Chứng minh bất ñẳng thức bằng cách dùng tính chất của bất ñẳng thức hoặc dùng phép biến ñổi tương ñương Phương pháp : Biến ñổi bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với một bất ñẳng thức ñã biết. Sử dụng một bất ñẳng thức ñã biết, biến ñổi ñể dẫn ñến bất ñẳng thức cần chứng minh. Một số bất ñẳng thức thường dùng: + A2 0≥ + A B2 2 0+ ≥ + AB. 0≥ với A, B ≥ 0. + A B AB2 2 2+ ≥ Một số hằng ñẳng thức thường dùng: ( )2 2 2 2a b a b ab± = + ± ; ( )2 2 2 2 2 2 2a b c a b c ab bc ca+ + = + + + + + Bài tập 1. Cho ,a b∈ℝ . Chứng minh các bất ñẳng thức sau: a) 2 2 2a b ab+ ≥ b) ( )2 4a b ab+ ≥ c) ( ) ( )22 22 a b a b+ ≥ + d) ( ) ( )24 4 2 22 a b a b+ ≥ + Giải a) ( ) ( )22 2 2 22 1 2 0 0a b ab a b ab a b+ ≥ ⇔ + − ≥ ⇔ − ≥ (luôn ñúng) Vậy bất ñẳng thức (1) ñược chứng minh. b) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 24 2 2 4 2 0 0a b ab a b ab ab a b ab a b+ ≥ ⇔ + + ≥ ⇔ + − ≥ ⇔ − ≥ (luôn ñúng) Vậy bất ñẳng thức (2) ñược chứng minh. c) ( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 2 2 22 3 2 2 2 2 0a b a b a b a b ab a b ab+ ≥ + ⇔ + ≥ + + ⇔ + − ≥ ( )2 0a b⇔ − ≥ (luôn ñúng) Vậy bất ñẳng thức (3) ñược chứng minh. d) ( ) ( ) ( ) ( )2 24 4 2 2 4 4 4 4 2 2 2 22 4 2 2 2 0a b a b a b a b a b a b+ ≥ + ⇔ + ≥ + + ⇔ − ≥ (luôn ñúng) Vậy bất ñẳng thức (4) ñược chứng minh. www.VNMATH.com 50 Bài tập 2. Cho , ,a b c∈ℝ . Chứng minh các bất ñẳng thức sau: a) a b c ab bc ca2 2 2+ + ≥ + + b) a b ab a b2 2 1+ + ≥ + + c) a b c a b c2 2 2 3 2( )+ + + ≥ + + d) a b c ab bc ca2 2 2 2( )+ + ≥ + − Giải a) ( )+ + ≥ + + ⇔ + + ≥ + +2 2 2 2 2 21 2 2 2 2 2 2a b c ab bc ca a b c ab bc ca ( ) ( ) ( )⇔ + − + + − + + − ≥2 2 2 2 2 22 2 2 0a b ab b c bc c a ca ( ) ( ) ( )⇔ − + − + − ≥2 2 2 0a b b c c a (luôn ñúng) Vậy bất ñẳng thức (1) ñược chứng minh. b) ( )+ + ≥ + +2 2 1 2a b ab a b ( ) ( )⇔ + + ≥ + +2 22 1 2a b ab a b ( ) ( ) ( )⇔ + − + + − + + − ≥2 2 2 22 1 2 1 2 0a b ab b b a a ( ) ( ) ( )⇔ − + − + − ≥2 2 21 1 0a b b a (luôn ñúng) Vậy bất ñẳng thức (2) ñược chứng minh. c) ( )+ + + ≥ + +2 2 2 3 2( ) 3a b c a b c ( ) ( ) ( )⇔ + − + + − + + − ≥2 2 21 2 1 2 1 2 0a a b b c c ( ) ( ) ( )⇔ − + − + − ≥2 2 21 1 1 0a b c (luôn ñúng) Vậy bất ñẳng thức (3) ñược chứng minh. d) ( )+ + ≥ + −2 2 2 2( ) 4a b c ab bc ca ⇔ + + − − + ≥2 2 2 2 2 2 0a b c ab bc ca ( )⇔ − + ≥2 0a b c (luôn ñúng) Vậy bất ñẳng thức (4) ñược chứng minh. Bài tập 3. Cho a, b, c, d ∈ R. Chứng minh rằng a b ab2 2 2+ ≥ (1). Áp dụng chứng minh các bất ñẳng thức sau: a) a b c d abcd4 4 4 4 4+ + + ≥ b) a b c abc2 2 2( 1)( 1)( 1) 8+ + + ≥ Giải www.VNMATH.com 51 a) Ta có: ( )4 4 2 2 4 4 2 2 4 4 4 4 2 2 2 22 ; 2 2a b a b c d c d a b c d a b c d+ ≥ + ≥ ⇒ + + + ≥ + . Mặc khác: 2 2 2 2 4 4 4 42 2.2 4a b c d abcd a b c d abcd abcd+ ≥ ⇒ + + + ≥ = (ñpcm) b) Ta có: + ≥ + ≥ + ≥2 2 21 2 ; 1 2 ; 1 2a a b b c c . Nhân vế theo vế của 3 bất ñẳng thức ta suy ra ñiều phải chứng minh. Vấn ñề 2. Chứng minh bất ñẳng thức bằng cách dùng bất ñẳng thức Cô-si Phương pháp :  Bất ñẳng thức Cô-si cho hai số không âm Cho 0a ≥ và 0,b ≥ ta có : 2 .a b ab+ ≥ ðẳng thức xảy ra .a b⇔ = Bất ñẳng thức Cô-si cho ba số không âm Cho 0, 0a b≥ ≥ và 0,c ≥ ta có : 33 .a b c abc+ + ≥ ðẳng thức xảy ra .a b c⇔ = = Bài tập 1. Cho , 0.a b > Chứng minh: a) 2. a b b a + ≥ ðẳng thức xảy ra khi nào ? b) ( ) 1 1 4.a b a b  + + ≥    ðẳng thức xảy ra khi nào ? c) ( ) ( )1 4 .a b ab ab+ + ≥ ðẳng thức xảy ra khi nào ? d) bc ca ab a b c a b c + + ≥ + + . ðẳng thức xảy ra khi nào ? Giải a) Áp dụng bất ñẳng thức Cô-si cho hai số dương , a b b a , ta có : 2 . 2 a b a b a b b a b a b a + ≥ ⇔ + ≥ (ñpcm). ðẳng thức xảy ra . a b a b b a ⇔ = ⇔ = b) Áp dụng bất ñẳng thức Cô-si cho hai cặp số dương a, b và 1 1 , a b ta có :  ( )2 1a b ab+ ≥ www.VNMATH.com 52  ( )1 1 12 2 a b ab + ≥ Nhân (1), (2) vế theo vế ta ñược : ( ) 1 1 12 .2a b ab a b ab  + + ≥    ( ) 1 1 4a b a b  ⇔ + + ≥    (ñpcm). ðẳng thức xảy ra 1 1 a b a b a b =  ⇔ ⇔ = = c) Áp dụng bất ñẳng thức Cô-si cho hai số cặp số dương a, b và 1,ab ta có :  ( )2 1a b ab+ ≥  ( )1 2 2ab ab+ ≥ Nhân (1), (2) vế theo vế ta ñược : ( ) ( ) ( ) ( )1 2 .2 1 4a b ab ab ab a b ab ab+ + ≥ ⇔ + + ≥ (ñpcm) ðẳng thức xảy ra 1 1 a b a b ab = ⇔ ⇔ = = = . d) Áp dụng bất ñẳng thức Cô-si ta có :  + ≥ = =22 . 2 2 bc ca bc ca c c a b a b (1)  + ≥ = =22 . 2 2 ca ab ca ba a a b c b c (2)  + ≥ = =22 . 2 2 ab bc ab bc b b c a c a (3) Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta ñược : ( ) + + ≥ + + ⇔ + + ≥ + +    2 2 bc ca ab bc ca ab a b c a b c a b c a b c (ñpcm) www.VNMATH.com 53 ðẳng thức xảy ra 2 2 2 bc ca a b ca ab a b c a b c b c ab bc c a  =   ⇔ = ⇔ = = ⇔ = =   = . Bài tập 2. Cho Cho , 0.a b > Chứng minh: ( ) 2 2 1 1 8.a b a b  + + + ≥    ðẳng thức xảy ra khi nào ? Giải Áp dụng bất ñẳng thức Cô-si, ta có : ( )22 4a b ab a b ab+ ≥ ⇒ + ≥ (1) 2 1 1 1 1 1 4 2 a b ab a b ab  + ≥ ⇒ + ≥    (2) Cộng (1), (2) vế theo vế ta ñược : ( ) 2 2 1 1 4 4a b ab a b ab  + + + ≥ +    (3) Tiếp tục áp dụng bất ñẳng thức Cô-si cho hai số 4ab và 4 ab , ta có : 4 4 4 2 4 . 8ab ab ab ab + ≥ = (4) Từ (3) và (4) ( ) 2 2 1 1 8.a b a b  ⇒ + + + ≥    ðẳng thức xảy ra 1a b⇔ = = . Vấn ñề 3. Tìm giá trị lớn nhất(GTLN) và giá trị nhỏ nhất(GTNN) của hàm số Phương pháp :  Số M ñược gọi là GTLN của f(x) trên D nếu: ( ):x D f x M∀ ∈ ≤ và ( )0 0:x D f x M∃ ∈ = .  Số m ñược gọi là GTNN của f(x) trên D nếu: www.VNMATH.com 54 ( ):x D f x m∀ ∈ ≥ và ( )0 0:x D f x m∃ ∈ = + Nếu x, y > 0 có S = x + y không ñổi thì P = xy lớn nhất ⇔ x = y. + Nếu x, y > 0 có P = x y không ñổi thì S = x + y nhỏ nhất ⇔ x = y. + x, y > 0, ta có : 2 2 x y xy + ≤     + x, y, z > 0, ta có : 3 3 x y z xyz + + ≤     Bài tập 1. Cho 2x > . Tìm GTNN của biểu thức ( ) 3 . 2 f x x x = + − Giải  ( ) 3 32 2 2 2 f x x x x x = + = − + + − −  Áp dụng bất ñẳng thức Cô-si cho hai số dương 3 2, 2 x x − − , ta có : ( ) ( )3 3 32 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 f x x x x x x x = + = − + + ≥ − + = + − − − ðẳng thức xảy ra ( )2 2 33 2 2 3 2 3 2 2 3 x x x x x x  = + ⇔ − = ⇔ − = ⇔ ⇔ = + − = − (do x > 2) Vậy ( ) 3 2 f x x x = + − ñạt GTNN bằng 2 3 2+ khi 2 3x = + . Bài tập 2. Cho 0x > . Tìm GTNN của biểu thức 2 3 9x x y x + + = . Giải  2 3 9 9 3 x x y x x x + + = = + +  Áp dụng bất ñẳng thức Cô-si cho hai số dương 9 ,x x , ta có : 2 3 9 9 9 3 2 . 3 9 x x y x x x x x + + = = + + ≥ + = . www.VNMATH.com 55 ðẳng thức xảy ra 2 39 9 3 3 x x x x xx = ⇔ = ⇔ = ⇔ ⇔ = = − (do x > 0) Vậy 2 3 9x x y x + + = ñạt GTNN bằng 9 khi 3x = . Bài tập 3. Cho y = x(6 – x) , với 0 ≤ x ≤ 6 . Tìm GTLN của y. Giải Áp dụng bất ñẳng thức Cô-si cho 2 số không âm x và 6 – x (vì 0 ≤ x ≤ 6), ta có : ( ) 2 6 6 9. 2 x x y x x + − = − ≤ =    ðẳng thức xảy ra ⇔ x = 6 – x ⇔ x = 3 Vậy y ñạt GTLN bằng 9 khi x = 3. Bài tập 4. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , − 1 2 ≤ x ≤ 5 2 . Tìm GTLN của y. Giải  y = 3(2x + 1)(5 – 2x). Áp dụng bất ñẳng thức Cô-si cho 2 số không âm 2x + 1 , 5 – 2x ,  − ≤ ≤    1 5 x 2 2 , ta có : y = 3(2x + 1)(5 – 2x) 2 2 1 5 2 3 27 2 x x+ + − ≤ =    ðẳng thức xảy ra 2 1 5 2 4 4 1x x x x⇔ + = − ⇔ = ⇔ = Vậy y ñạt GTLN bằng 27 khi x = 1. Bài tập 5. Tìm GTLN, GTNN của hàm số 3 6 .y x x= + + − Giải  y xác ñịnh khi 3 0 3 6 6 0 x x x + ≥ ⇔ − ≤ ≤ − ≥ nên TXð [ ]3;6D = −  Ta có ( ) ( )2 9 2 3 6y x x= + + −  Ta có : 2 9 3.y y≥ ⇒ ≥ ðẳng thức xảy ra 3x⇔ = − hoặc 6x = . Vậy y ñạt GTNN bằng 3 khi 3x = − hoặc 6x = www.VNMATH.com 56  ( ) ( ) ( ) ( )2 9 2 3 6 9 3 6 18 3 2y x x x x y= + + − ≤ + + + − = ⇒ ≤ ðẳng thức xảy ra 3 3 6 2 x x x⇔ + = − ⇔ = Vậy y ñạt GTLN bằng 3 2 khi 3 2 x = . C. BÀI TẬP ðỀ NGHỊ Baøi 1.øøø Cho a, b, c ∈ R. Chứng minh các bất ñẳng thức sau: a) a b a b 33 3 2 2  + + ≥     ; với a, b ≥ 0 b) a b a b ab4 4 3 3+ ≥ + c) a a4 3 4+ ≥ d) a b c abc3 3 3 3+ + ≥ , với a, b, c > 0. Baøi 2.øøø Cho a, b, c ≥ 0. Chứng minh các bất ñẳng thức sau: a) a b b c c a abc( )( )( ) 8+ + + ≥ b) a b c a b c abc2 2 2( )( ) 9+ + + + ≥ c) ( )a b c abc 3 3(1 )(1 )(1 ) 1+ + + ≥ + d) a b b c c a abc2 2 2 2 2 2(1 ) (1 ) (1 ) 6+ + + + + ≥ Baøi 3.øøø Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh : a) ( ) 1 1 1 9a b c a b c  + + + + ≥    b) 3 2 a b c b c c a a b + + ≥ + + + . Baøi 4.øøø Áp dụng BðT Cô–si ñể tìm GTNN của các biểu thức sau: a) x y x x 18 ; 0 2 = + > . b) x y x x 2 ; 1 2 1 = + > − . c) x y x x 3 1 ; 1 2 1 = + > − + . d) x y x x 5 1 ; 3 2 1 2 = + > − Baøi 5.øøø Áp dụng BðT Cô–si ñể tìm GTLN của các biểu thức sau: a) y x x x( 3)(5 ); 3 5= + − − ≤ ≤ b) = − ≤ ≤(9 ); 0 9y x x x c) y x x x 5 ( 3)(5 2 ); 3 2 = + − − ≤ ≤ d) y x x x 5 (2 5)(5 ); 5 2 = + − − ≤ ≤ Baøi 6.øøø Cho += 3 2 x 1 y x , x > 0 . ðịnh x ñể y ñạt GTNN. Baøi 7.øøø Tìm GTLN, GTNN của các hàm số a) 1 3y x x= − + − b) 2 4 8y x x= − + − c) 7 2 3 4y x x= − + + d) 3 2 1 2 8 3y x x= + + − www.VNMATH.com 57 §2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ I. Khái niệm bất phương trình một ẩn Bất phương trình ẩn x là mệnh ñề chứa biến có dạng ( ) ( )f x g x< hoặc ( ) ( )f x g x≤ (*) trong ñó f(x) và g(x) là những biểu thức của x. Người ta cũng gọi f(x) và g(x) tương ứng là vế trái và vế phải của bất phương trình (*). Số thực x0 sao cho ( ) ( )0 0f x g x< hoặc ( ) ( )0 0f x g x≤ là mệnh ñề ñúng ñược gọi là nghiệm của bất phương trình (*). Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó. Hệ bất phương trình ẩn x gồm một số bất phương trình ẩn x mà ta phải tìm nghiệm chung của chúng. II. ðiều kiện của bất phương trình ðiều kiện của một bất phương trình là ñiều kiện của ẩn số x ñể các vế của bất phương trình có nghĩa. III. Hai bất phương trình tương ñương Hai bất phương trình (hệ bất phương trình) ñược gọi là tương ñương ñương với nhau khi chúng có cùng tập nghiệm. IV. Các phép biến ñổi bất phương trình Kí hiệu D là tập các số thực thỏa mãn ñiều kiện xác ñịnh của bất phương trình ( ) ( )P x Q x< . 1) Phép cộng : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P x Q x P x f x Q x f x< ⇔ + < + . 2) Phép nhân : Nếu ( ), 0x D f x∀ ∈ > thì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). . .P x Q x P x f x Q x f x< ⇔ < Nếu ( ), 0x D f x∀ ∈ 3) Phép bình phương : Nếu ( ), 0x D P x∀ ∈ ≥ và ( ) 0Q x ≥ thì ( ) ( ) ( ) ( )2 2 .P x Q x P x Q x< ⇔ < www.VNMATH.com 58 B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề 1. Tìm ñiều kiện xác ñịnh của một bất phương trình Phương pháp : Cần chú ý các ñiều kiện sau :  A có nghĩa 0A⇔ ≥ ;  A B có nghĩa 0B⇔ ≠ ;  A B có nghĩa 0B⇔ > . Bài tập 1. Tìm ñiều kiện xác ñịnh của bất phương trình sau : a) 2 4 3 1x x− ≥ − + b) 2 1 1 1 1 x x x + < − − Giải a) ðiều kiện : 2 4 0 2 2 3. 3 0 3 x x x x x − ≥ ≥  ⇔ ⇔ ≤ ≤  − ≥ ≤  b) ðiều kiện : 1 0 1 0 0 x x x x − ≠ ≠  ⇔  > >  . Bài tập 2. Tìm ñiều kiện xác ñịnh của bất phương trình sau : a) 2 2 2 6 1 15 x x x + − ≥ − − b) 2 1 1 3 3 2 6 x x x − > − − − Giải a) ðiều kiện : 2 6 0 6 6. 525 0 x x x xx − ≥ ≥ ⇔ ⇔ ≥  ≠ ±− ≠  b) ðiều kiện : 2 0 2 3 3 0 1 3. 2 6 0 3 x x x x x x x − ≥ ≥    − ≠ ⇔ ≠ ⇔ >   − > >  www.VNMATH.com 59 Vấn ñề 2. Xét sự tương ñương hai bất phương trình Phương pháp : Ta so sánh hai tập nghiệm của hai bất phương trình và dựa vào ñịnh nghĩa ñể xét sự tương ñương của chúng. Bài tập 1. Hai bất phương trình sau có tương ñương không ? Vì sao ? a) (x + 7)(2x + 1) > (x + 7)2 (1) và 2x + 1 > x + 7 (2). b) 2 3 5 1 x x − + > 7 (3) và 3x - 5 > 7(x2 + 1) (4). Giải a) Bất phương trình (1) và (2) là không tương ñương vì x = -8 là một nghiệm của (1) nhưng x = -8 không là nghiệm của bất phương trình (2). b) Hai bất phương trình (3) và (4) là tương ñương vì từ bất phương trình (3) ta nhân hai vế với biểu thức x2 + 1 > 0 ta ñược bất phương trình (4). Bài tập 2. Hai bất phương trình sau có tương ñương không ? Vì sao ? a) ( )2 0 5x − ≤ và ( )2 0 6x − ≤ . b) ( )2 1 0 7x x+ + < và ( )2 1 0 8x x− + < . Giải a) ( ) { }15 2 0 2 2x x S⇔ − = ⇔ = ⇒ = ( ) ( ]2 16 2 ;2x S S⇔ ≤ ⇒ = −∞ ≠ . Vậy (5) và (6) không tương ñương với nhau. b) ( ) ( ) 2 1 3 7 0 7 2 4 x ⇔ + + < ⇒    vô nghiệm 1 .S⇒ =∅ ( ) ( ) 2 1 3 8 0 8 2 4 x ⇔ − + < ⇒    vô nghiệm 2 1.S S⇒ =∅ = Vậy (7) và (8) tương ñương nhau. Vấn ñề 3. Giải bất phương trình, hệ bất phương trình Phương pháp :  ðặt ñiều kiện cho bất phương trình, hệ bất phương trình; Biến ñổi bất phương trình, hệ bất phương trình ñã cho về bất phương trình, hệ bất phương trình ñơn giản hơn; Giải bất phương trình, hệ bất phương trình ñó; So sánh với ñiều kiện và kết luận tập nghiệm. www.VNMATH.com 60 Lưu ý : Có thể dựa vào ñiều kiện của bất phương trình ñể nhận xét về sự vô nghiệm, vô số nghiệm của bất phương trình. Bài tập 1. Giải các bất phương trình sau: a) ( )1 1 1x x− ≥ − b) ( )− ≤ − − 2 4 2 4 4 x x x Giải a) ðK : 1 0 1 1 1 0 1 x x x x x − ≥ ≥  ⇔ ⇔ =  − ≥ ≤  . Thay x = 1 vào ( )1 ta ñược 1 1 1 1− ≥ − ( ñúng) nên x = 1 là nghiệm của (1). b) ðK : x > 4. ( )2 2 4 6.x x⇒ − ≤ ⇔ ≤ Kết hợp với ñiều kiện x > 4 ta ñược 4 6x< ≤ . Vậy tập nghiệm của bất phương trình (2) là ( ]4;6S = . Bài tập 2. Giải các hệ bất phương trình sau: a) x x x x 15 8 8 5 2 3 2(2 3) 5 4  − − >   − > −  b)  − < +  + ≥ −  x x x x 4 5 3 7 3 8 2 5 4 Giải a)  −  >− >  − > − >⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ∈∅   − > − −   x xx x x x x x x x x x x 15 8 28 5 16 10 15 8 22 21 3 16 24 20 3 4 21 2(2 3) 5 4 4 Vậy hệ bất phương trình ñã cho vô nghiệm ( S =∅ ). b)  − −  − −⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − < ≤   + + ≥ − ≤  ≥ − ≤   x x xx x x x x x x x x x 4 5 26 3 26 284 5 7 21 3 267 3 3 8 3 8 8 20 5 28 28 3 52 5 4 5 . Vậy hệ bất phương trình ñã cho có tập nghiệm 26 28 ; . 3 5 S  = −   www.VNMATH.com 61 C. BÀI TẬP ðỀ NGHỊ Bài 1. Tìm ñiều kiện xác ñịnh của các bất phương trình sau : a) x x≤ − b) 4 1 4x x x+ − < + − c) ( )2 2 3 1 1 1 2 x x x + ≥ + − − d) 2 2x x x− + < + e) 3 16 2 1 x x x − ≥ − + f) ( )( ) 1 1 3 3 41 6 x x xx x + + ≤ − +− − . Bài 2. Các cặp bất phương trình sau có tương ñương không ? Vì sao ? a) 3 7 1 2 3x x > − + và ( ) ( )3 2 3 7 1x x+ > − b) 3 3 7 3 3 x x x + < + − − và 7x < c) 2 2 7 0x x− + ≤ và 2 1 0x + < d) 1x x− ≥ và ( ) ( )1 1 1x x x x+ − ≥ + Bài 3. Chứng minh các bất phương trình sau vô nghiệm : a) 6 3 4x x− + − ≥ − b) ( ) ( )4 23 10 1 16x x x x− − − > + − c) 2 2 4 1 4 1 x x + + < + d) 42 31 1 2 1x x x x+ + − + < + . Bài 4. Giải các bất phương trình : a) 1 3 1x x− < + − b) ( )10 4 4 4 x x x − − > − c) ( ) ( ) ( )25 3 10 25 0x x x x+ − − + > d) 2x x+ ≤ . Bài 5. Giải các hệ bất phương trình sau : a) x x x x 2 3 3 1 4 5 5 3 8 2 3  − + <   + < −  b) x x x x x x 3 1 3( 2) 5 3 1 4 8 2 4 1 1 4 5 3 18 12 9  − − − − − >  − − − − > −  Bài 6. Tìm các nghiệm nguyên của các hệ bất phương trình sau : a) x x x x 5 6 4 7 7 8 3 2 25 2  + > +  + < +  b) x x x x 1 15 2 2 3 3 14 2( 4) 2  − > +  − − <  . www.VNMATH.com 62 §3. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ I. Nhị thức bậc nhất Nhị thức bậc nhất ñối với x là biểu thức có dạng ( )f x ax b= + , trong ñó a, b là hai số thực ñã cho, với 0a ≠ . II. Dấu của nhị thức bậc nhất Cho nhị thức bậc nhất ( ) ( )0f x ax b a= + ≠  ( )f x cùng dấu với hệ số a ;bx a  ⇔ ∈ − +∞    .  ( )f x trái dấu với hệ số a ; bx a  ⇔ ∈ −∞ −    . Bảng xét dấu: B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề 1. Xét dấu biểu thức Phương pháp :  Biến ñổi biểu thức f(x) về tích, thương các nhị thức  Tìm các nghiệm của các nhị thức có trong biểu thức f(x)  Lập bảng xét dấu các nhị thức và suy ra dấu của biểu thức f(x). Bài tập 1. Xét dấu các nhị thức : a) ( ) 3 5f x x= − b) ( ) 5 6f x x= − − c) ( ) ( )2 1 2f x m x m= + − Giải x −∞ b a − +∞ ax + b 0a > - 0 + 0a < + 0 - www.VNMATH.com 63 a) Ta có : 5 3 5 0 3 x x− = ⇔ = . Bảng xét dấu : x −∞ 5 3 +∞ f(x) - 0 + Vậy : ( ) 50 ; 3 f x x  > ⇔ ∈ +∞    ; ( ) 50 ; 3 f x x  < ⇔ ∈ −∞    b) Ta có : 6 5 6 0 5 x x− − = ⇔ = − . Bảng xét dấu : x −∞ 6 5 − +∞ f(x) + 0 - Vậy : ( ) 60 ; 5 f x x  > ⇔ ∈ −∞ −    ; ( ) 60 ; 5 f x x  < ⇔ ∈ − +∞    . c) Ta có : ( )2 2 2 1 2 0 1 m m x m x m + − = ⇔ = + Hệ số 2 1 0, .a m m= + > ∀ ∈ℝ Bảng xét dấu : x −∞ 2 2 1 m m + +∞ f(x) - 0 + Vậy : ( ) 2 2 0 ; 1 m f x x m  < ⇔ ∈ −∞  +  ; www.VNMATH.com 64 ( ) 2 2 0 ; 1 m f x x m  > ⇔ ∈ +∞  +  . Bài tập 2. Xét dấu các biểu thức sau : a) ( ) ( )( )1 3 4f x x x= − − + b) ( ) ( )21 9 2 3 4 f x x x  = − − −  . Giải a) Ta có : 1 0 1x x− − = ⇔ = − ; 3 3 4 0 4 x x − + = ⇔ = . Bảng xét dấu : x −∞ -1 3 4 − +∞ - x -1 + 0 - | - 3x + 4 - | - 0 + f(x) - 0 + 0 - Vậy : ( ) 30 1; 4 f x x  > ⇔ ∈ − −    ; ( ) ( ) 30 ; 1 ; 4 f x x  < ⇔ ∈ −∞ − ∪ − +∞    . b) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 6 9 22 1 9 2 3 4 3 4 x x f x x x x − − = − − = − −  Ta có : 3 6 0 2;x x− = ⇔ = 9 9 2 0 ; 2 x x− = ⇔ = 4 3 4 0 . 3 x x− = ⇔ = www.VNMATH.com 65 Bảng xét dấu : x −∞ 4 3 2 9 2 +∞ 3x - 6 - | - 0 + | + 9 – 2x + | + | + 0 - 3x - 4 - 0 + | + | + f(x) + || - 0 + 0 - Vậy : ( ) 4 90 ; 2; 3 2 f x x    > ⇔ ∈ −∞ ∪        ; ( ) 4 90 ;2 ; 3 2 f x x    < ⇔ ∈ ∪ +∞        . Vấn ñề 2. Giải bất phương trình Phương pháp :  Chuyển hết các số hạng sang cùng một vế và ñưa chúng về tích, thương các nhị thức, gọi vế ñó là vế trái (VT) của bất phương trình.  Lập bảng xét dấu vế trái của bất phương trình.  Dựa vào bảng xét dấu kết luận tập nghiệm của bất phương trình. Bài tập 1. Giải các bất phương trình sau : a) x x x( 1)( 1)(3 6) 0+ − − > (1) b) − − ≤(2 7)(4 5 ) 0x x (2) Giải a)  Ta có : + = ⇔ = −1 0 1;x x − = ⇔ =1 0 1;x x − = ⇔ =3 6 0 2x x . www.VNMATH.com 66  Bảng xét dấu :  Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ( ) ( )1;1 2;S = − ∪ +∞ . b) Ta có : − = ⇔ = 7 2 7 0 ; 2 x x − = ⇔ = 4 4 5 0 5 x x . . Bảng xét dấu : x −∞ 4 5 7 2 +∞ −4 5x + 0 - | - −2 7x - | - 0 + VT(2) - 0 + 0 - Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 4 7 ; ; 5 2 S    = −∞ ∪ +∞      . Bài tập 2. Giải các bất phương trình sau : a) x x 2 5 1 2 − ≥ − − b) 2 3 1 2 1x x ≤ − + Giải a) − − − ≥ − ⇔ + ≥ ⇔ ≥ − − − 2 5 2 5 3 1 1 0 0 2 2 2 x x x x x x (3) Ta có : − = ⇔ =3 0 3;x x − = ⇔ =2 0 2.x x x −∞ -1 1 2 +∞ x + 1 - 0 + | + | + x - 1 - | - 0 + | + 3x - 6 - | - | - 0 + VT(1) - 0 + 0 - 0 + www.VNMATH.com 67 Bảng xét dấu : x −∞ 2 3 +∞ −3x - | - 0 + −2 x + 0 - 0 - VT(3) - || + 0 - Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ( ]2;3S = . b) ( )( ) 2 3 2 3 7 1 0 0 1 2 1 1 2 1 1 2 1 x x x x x x x − ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≤ − + − + − + (4) Ta có : − = ⇔ = 1 7 1 0 ; 7 x x − = ⇔ =1 0 1x x ; 1 2 1 0 2 x x+ = ⇔ = − . Bảng xét dấu : Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ( )1 1; 1; 2 7 S  = − ∪ +∞   . Vấn ñề 3. Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt ñối Phương pháp : 1) Với a > 0, ta có :  ( ) ( )f x a a f x a≤ ⇔ − ≤ ≤  ( ) ( )f x a f x a≥ ⇔ ≥ hoặc ( )f x a≤ − . x −∞ 1 2 − 1 7 1 +∞ 7 1x − - | - 0 + | + 1 x− + | + | + 0 - 2 1x + - 0 + | + | + VT(4) + || - 0 + || - www.VNMATH.com 68 2) Áp dụng công thức :  ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x g x f x g x≤ ⇔ − ≤ ≤  ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x≥ ⇔ ≥ hoặc ( ) ( )f x g x≤ − . Bài tập 1. Giải các bất phương trình sau : a) 2x 8 7− ≤ b) x3 2 7− > Giải a)  ≤ − ≤− ≤ ⇔ ⇔ ⇔ ≤ ≤ − ≥ −  ≥  15 1 152 8 7 22x 8 7 2 8 7 1 2 2 2 xx x x x Vậy bất phương trình có tập nghiệm là 1 15 ; 2 2 S  =    . b)  > − > − > ⇔ ⇔ − < − < −  3 3 2 73 2 7 5 3 2 7 3 x xx x x Vậy bất phương trình có tập nghiệm là ( )5; 3; 3 S  = −∞ − ∪ +∞    . Bài tập 2. Giải các bất phương trình sau : a) x x2 1+ ≤ b) x x2 1− > + Giải a)  ≤ − + ≤+ ≤ ⇔ ⇔ + ≥ − ≥ −  1 2 12 1 1 2 1 3 x x xx x x x x (vô lí) Vậy bất phương trình vô nghiệm. b)  − > + − >− > + ⇔ ⇔ ⇔ < − < − − <  12 1 2 12 1 2 1 2 1 2 x xx x x x x x Vậy bất phương trình có tập nghiệm là 1 ; 2 S  = −∞    . www.VNMATH.com 69 Chú ý : Ta có thể giải các bất phương trình trên bằng cách sử dụng ñịnh nghĩa ñể khử dấu giá trị tuyệt ñối , , 0 , 0 A A A A A ≥ =  − < . C. BÀI TẬP ðỀ NGHỊ Bài 1. Xét dấu các biểu thức sau : a) ( ) ( )( ) ( )2 1 4 3 3f x x x x= − + − − b) ( ) 1 4 2 5 8 3 f x x x = + − − Bài 2. Giải các bất phương trình sau: a) + − >(2 1)( 1) 0x x b) − − − ≥( 2 7)(4 5 ) 0x x c) x x x (2 5)( 2) 0 4 3 − + > − + d) x x 2 5 1 2 1 ≤ − − . Bài 3. Giải các bất phương trình sau: a) 1 1 1 1 2 2x x x + > − − − b) 4 3 3 4 7 2 3 x x x x − − ≥ − − + c) 3 2 2 2 4 0 12 x x x x x − + ≤ − − . Bài 4. Giải các bất phương trình sau: a) x5 12 3− < b) x3 15 3+ ≥ c) + ≤ −2 1 4x x d) + − ≤ 1 2 5 2 x x . www.VNMATH.com 70 §4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ I. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn 1. ðịnh nghĩa : Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là ax by c+ < hoặc ax by c+ ≤ hoặc ax by c+ > hoặc ax by c+ ≥ (*), trong ñó a, b, c là các số thực ñã cho và a, b không ñồng thời bằng 0 còn x, y là các ẩn số. Trong mặt phẳng tọa ñộ 0xy, tập hợp các ñiểm có tọa ñộ là nghiệm của bất phương trình (*) ñược gọi là miền nghiệm của nó. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y gồm một số bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y mà ta phải tìm miền nghiệm chung của chúng. 2. Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình ax by c+ ≤ (1), trong ñó a, b là hai số không ñồng thời bằng 0 : Bước 1 : Trên mặt phẳng tọa ñộ 0xy, vẽ ñường thẳng :ax by c∆ + = . Bước 2 : Lấy một ñiểm ( )0 0 0;M x y ∉∆ (ta thường lấy gốc tọa ñộ 0). Bước 3 : Tính 0 0ax by+ và so sánh với c. Bước 4 : Kết luận :  Nếu 0 0ax by c+ < thì nửa mặt phẳng bờ là ∆ chứa ñiểm 0M là miền nghiệm của ax by c+ ≤  Nếu 0 0ax by c+ > thì nửa mặt phẳng bờ là ∆ không chứa ñiểm 0M là miền nghiệm của ax by c+ ≤ Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn ' ' ' ax by c a x b y c + ≤  + < .  Vẽ các ñường thẳng : ax by c∆ + = và ' : ' ' 'a x b y c∆ + = .  Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình và tìm giao của chúng. II. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức F ax by= + Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các biểu thức dạng F ax by= + , trong ñó (x; y) nghiệm ñúng một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn ñã cho. www.VNMATH.com 71 Vẽ miền nghiệm của hệ bất phương trình ñã cho, ñó thường là một miền ña giác. Tính giá trị của F ứng với (x;y) là tọa ñộ các ñỉnh của miền ña giác này rồi so sánh các kết quả. Từ ñó suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề 1. Xác ñịnh miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn Phương pháp :  Xem phần kiến thức cần nhớ  Chú ý : Miền nghiệm của bất phương trình ax by c+ < là miền nghiệm của bất phương trình ax by c+ ≤ bỏ ñi bờ : ax by c∆ + = . Bài tập 1. Xác ñịnh miền nghiệm của bất phương trình 2 2x y− ≤ . Giải  Vẽ ñường thẳng : 2 2x y∆ − = .  Lấy ñiểm ( )0;0O ∉∆ . Ta có : 2.0 0 2− < .  Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa ñộ 0 (kể cả bờ : 2 2x y∆ − = ). ðó là miền không bị gạch chéo. -2 -1 1 2 -2 -1 1 2 x y O : 2 2x y∆ − = Bài tập 2. Xác ñịnh miền nghiệm của bất phương trình 4x y x+ > − . Giải Ta có : 4 2 4x y x x y+ > − ⇔ + >  Vẽ ñường thẳng : 2 4x y∆ + = .  Lấy ñiểm ( )0;0O ∉∆ . Ta có : 2.0 0 4+ < .  Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không chứa gốc tọa ñộ 0 (không kể bờ : 2 4x y∆ + = ). ðó là miền không bị gạch chéo. -4 -2 2 4 -4 -2 2 4 x y 0 : 2 4x y∆ + = www.VNMATH.com 72 Vấn ñề 2. Xác ñịnh miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn Phương pháp :  Xác ñịnh miền nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ và gạch bỏ phần còn lại.  Sau khi ñã xác ñịnh hết tất cả các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ thì miền còn lại không bị gạch chính là miền nghiệm của hệ. Bài tập. Xác ñịnh miền nghiệm của hệ bất phương trình 3 3 3 3 3 x y x y x y + ≤  − ≥ −  − ≤ . Giải  Vẽ các ñường thẳng : 1 : 3d x y+ = ; 2 : 3 3d x y− = − ; 3 : 3 3d x y− = .  Ta có : ( )1 2 0;3d d A∩ = ; ( )1 3 3;0d d B∩ = ; 2 3 3 3 ; 2 2 d d C  ∩ = − −    .  Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền không bị gạch chéo (kể cả bờ tức các cạnh của tam giác ABC). -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -3 -2 -1 1 2 3 4 x y O 1 : 3d x y+ = 2 : 3 3d x y− = − 3 : 3 3d x y− = A B C Vấn ñề 3. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức F ax by= + , với (x;y) nghiệm ñúng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn cho trước Phương pháp :  Tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình, thường là một ña giác.  Tính giá trị của F ứng với (x;y) là tọa ñộ các ñỉnh của ña giác.  Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của F lần lượt là số lớn nhất và số nhỏ nhất trong các giá trị tìm ñược. www.VNMATH.com 73 Bài tập. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 25 40 5F x y= − + với (x;y) là nghiệm của hệ bất phương trình 3 3 3 3 3 x y x y x y + ≤  − ≥ −  − ≤ . Giải  Miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch chéo (kể cả các cạnh của tam giác ABC)  Tại ( )0;3A , 25.0 40.3 5 115F = − + = − ; Tại ( )3;0 , 25.3 40.0 5 80B F = − + = ; Tại 3 3 ; 2 2 C  − −    3 3 55 25 40 5 2 2 2 F    = − − − + =        .  Vậy GTLN của F là 80 ñạt ñược khi x = 3, y = 0. GTNN của F là -115 ñạt ñược khi x = 0, y = 3. -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -3 -2 -1 1 2 3 4 x y O 1 : 3d x y+ =2 : 3 3d x y− = − 3 : 3 3d x y− = A B C C. BÀI TẬP ðỀ NGHỊ Bài 1. Tìm miền nghiệm của các bất phương trình : a) 2 5 2 8x y+ ≥ − b) 8 4 6x y x− < − Bài 2. Tìm miền nghiệm của các hệ bất phương trình : a) 3 0 2 3 1 0 y x y − <  − + > b) 2 2 3 9 x y x y − ≤  + ≥ c) 2 1 0 3 5 0 x x − ≤  − + < d) 3 6 4 0 0 x y x y x y + ≤  + ≤  ≥  ≥ Bài 3. a) Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình : ( ) 2 0 1 0 2 1 0 x y H x y x y + + ≤  − − ≤  − + ≥ b) Tìm x, y thỏa (H) sao cho 2 3 4F x y= + − ñạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. www.VNMATH.com 74 §5. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Dấu của tam thức bậc hai Cho ( ) ( )2 20 , 4f x ax bx c a b ac= + + ≠ ∆ = − .  Nếu 0∆ < thì ( )f x cùng dấu với hệ số a, x∀ ∈ℝ .  Nếu 0∆ = thì ( )f x cùng dấu với hệ số a, \ bx a  ∀ ∈ −    ℝ .  Nếu 0∆ > thì ( ) 0f x = có hai nghiệm x1, x2 (quy ước x1 < x2). Khi ñó ( )f x cùng dấu với hệ số a khi x x2 , trái dấu với hệ số a khi x1 < x < x2 . Bảng xét dấu : 2. Một số ñiều kiện tương ñương Nếu 2ax bx c+ + là một tam thức bậc hai ( 0a ≠ ) thì : 1) 2 0ax bx c+ + = có nghiệm 2 4 0b ac⇔ ∆ = − ≥ ; 2) 2 0ax bx c+ + = có hai nghiệm trái dấu 0ac⇔ < ; 3) 2 0ax bx c+ + = có hai nghiệm dương 0 0 0 c a b a ∆ ≥⇔ > − > 4) 2 0ax bx c+ + = có hai nghiệm âm 0 0 0 c a b a ∆ ≥⇔ > − < 5) 2 0 0, 0. a ax bx c x  >+ + > ∀ ∈ ⇔  ∆ < ℝ 6) 2 0 0, 0. a ax bx c x  >+ + ≥ ∀ ∈ ⇔  ∆ ≤ ℝ 7) 2 0 0, 0. a ax bx c x  <+ + < ∀ ∈ ⇔  ∆ < ℝ x −∞ 1x 2x +∞ ( )f x cùng dấu với a 0 trái dấu với a 0 cùng dấu với a www.VNMATH.com 75 8) 2 0 0, 0. a ax bx c x  <+ + ≤ ∀ ∈ ⇔  ∆ ≤ ℝ B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề 1. Xét dấu biểu thức Phương pháp : Áp dụng ñịnh lí về dấu của tam thức bậc hai.  Biến ñổi biểu thức f(x) về tích, thương các nhị thức, tam thức bậc hai.  Tìm các nghiệm của các nhị thức, tam thức có trong biểu thức f(x).  Lập bảng xét dấu các nhị thức, tam thức và suy ra dấu của biểu thức f(x). Bài tập 1. Xét dấu các tam thức bậc hai : a) ( ) 2 1f x x x= + + b) ( ) 2 4 4f x x x= − + c) ( ) 24 5f x x x= + − . Giải a) Ta có : 21 4.1.1 3 0∆ = − = − 0 ( ) 0,f x x⇒ > ∀ ∈ℝ . b) Ta có : ( )24 4.1.4 0 f x∆ = − = ⇒ có nghiệm kép x = 2 mà a = 1 > 0 ( ) { }0, \ 2f x x⇒ > ∀ ∈ℝ . c) Ta có : 2 1 4 5 0 5 4 x x x x = + − = ⇔  = −  . Bảng xét dấu : x −∞ 5 4 − 1 +∞ ( )f x + 0 - 0 + Vậy : ( ) ( )50 ; 1; 4 f x x  > ⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞    ; ( ) 50 ;1 4 f x x  < ⇔ ∈ −    . www.VNMATH.com 76 Bài tập 2. Xét dấu các biểu thức sau : a) ( ) ( )( )2 29 14 5 4f x x x x x= − + − + − b) ( ) ( )( )2 2 7 2 2 3 x x x f x x x − + − = − + . Giải a) Ta có : 2 2 9 14 0 7 x x x x = − + = ⇔  = ; 2 1 5 4 0 4 x x x x = − + − = ⇔  = . Bảng xét dấu : x −∞ 1 2 4 7 +∞ 2 9 14x x− + + | + 0 - | - 0 + 2 5 4x x− + − - 0 + | + 0 - | - ( )f x - 0 + 0 - 0 + 0 - Vậy : ( ) ( ) ( )0 1;2 4;7f x x> ⇔ ∈ ∪ ; ( ) ( ) ( ) ( )0 ;1 2;4 7;f x x< ⇔ ∈ −∞ ∪ ∪ +∞ . b) Ta có : 7 0 7x x− = ⇔ = ; 2 1 2 0 2 x x x x = + − = ⇔  = − ; 22 3 0x x− + = (vô nghiệm). Bảng xét dấu : x −∞ -2 1 7 +∞ 7x − - | - | - 0 + 2 2x x+ − + 0 - 0 + | + 22 3x x− + + | + | + | + ( )f x - 0 + 0 - 0 + Vậy : ( ) ( ) ( )0 2;1 7;f x x> ⇔ ∈ − ∪ +∞ ; www.VNMATH.com 77 ( ) ( ) ( )0 ; 2 1;7f x x< ⇔ ∈ −∞ − ∪ . Vấn ñề 2. Giải bất phương trình Phương pháp :  Chuyển hết các số hạng sang cùng một vế và ñưa chúng về tích, thương các nhị thức, tam thức bậc hai, gọi vế ñó là vế trái (VT) của bất phương trình.  Lập bảng xét dấu vế trái của bất phương trình.  Dựa vào bảng xét dấu kết luận tập nghiệm của bất phương trình. Bài tập 1. Giải các bất phương trình : a) − x2 + 6x − 9 > 0 (1) b) −12x2 + 3x +1 < 0 (2). Giải a) Ta có : − x2 + 6x − 9 = 0 3x⇔ = (nghiệm kép) Bảng xét dấu : x −∞ 3 +∞ VT(1) - 0 - Vậy bất phương trình ñã cho vô nghiệm. b) Ta có : −12x2 + 15x - 3 = 0 1 1 4 x x = ⇔  =  Bảng xét dấu : x −∞ 1 4 1 +∞ VT(2) - 0 + 0 - Vậy bất phương trình ñã cho có tập nghiệm ( )1; 1; 4 S  = −∞ ∪ +∞    . Bài tập 2. Giải các bất phương trình : a) (2x − 8)(x2 − 4x + 3) ≥ 0 (3) b) 2 2 6 7 3 1 3 2 5 x x x x − − ≤ − − Giải a) Ta có : 2 8 0 4x x− = ⇔ = ; www.VNMATH.com 78 2 1 4 3 0 3 x x x x = − + = ⇔  = . Bảng xét dấu : x −∞ 1 3 4 +∞ 2 8x − - | - | - 0 + 2 4 3x x− + + 0 - 0 + | + VT(3) - 0 + 0 - 0 + Vậy tập nghiệm của bất phương trình là [ ] [ )1;3 4;S = ∪ +∞ . b) 2 2 2 2 2 2 6 7 3 6 7 3 3 5 2 1 1 0 0 3 2 5 3 2 5 3 2 5 x x x x x x x x x x x x − − − − − + ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≤ − − − − − − (4). Ta có : 2 1 3 5 2 0 2 3 x x x x = − + = ⇔  =  ; 2 1 3 2 5 0 5 3 x x x x = − − − = ⇔  =  . Bảng xét dấu : x −∞ -1 2 3 1 5 3 +∞ 23 5 2x x− + + | + 0 - 0 + | + 23 2 5x x− − + 0 - | - | - 0 + VT(4) + || - 0 + 0 - || + Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 2 5 1; 1; 3 3 S    = − ∪      . Bài tập 3. Giải hệ bất phương trình : ( ) ( ) 23 10 3 0 1 2 0 2 5 x x x x  − + ≥   − ≥ − . Giải www.VNMATH.com 79  Giải (1) : Ta có : 2 2 3 1 3 10 3 0 3 10 3 01 3 3 x x x x x x x = − + = ⇔ ⇒ − + ≥ ⇔ ≤  =  hoặc 3x ≥ ⇒ tập nghiệm của bất phương trình (1) là [ )1 1 ; 3; 3 S  = −∞ ∪ +∞   .  Giải (2) : 2 0 2 5 5 x x x − ≥ ⇔ ≤ < − ⇒ tập nghiệm của bất phương trình (2) là [ )2 2;5S = . Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình là [ )1 2 3;5S S S= ∩ = . Trong thực hành ta thường giải hệ trên bằng phép biến ñổi tương ñương như sau : 2 1 1 33 10 3 0 3 2 5 3 52 3 3 50 35 2 5 2 5 x xx x xx xx x x xx x x  ≤ ≤  − + ≥   ∈∅   ≤ < ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ≤ < − ≥ ≤ < ≥   ≥−  ≤ <   ≤ < . Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình là [ )3;5S = . Vấn ñề 3. ðịnh m ñể ( ) 2f x ax bx c= + + có dấu không ñổi Phương pháp :  Áp dụng hệ quả của dấu tam thức (phần 2) với chú ý rằng khi a chứa tham số, ta phải xét trường hợp a = 0. Bài tập 1. Tìm các giá trị của tham số m ñể phương trình sau vô nghiệm ( ) ( ) ( )22 2 2 3 5 6 0 1m x m x m− + − + − = . Giải  Trường hợp 2 0 2m m− = ⇔ = : ( )1 2 4 0 2x x⇔ + = ⇔ = − , phương trình (1) có nghiệm.  Trường hợp 2 0 2m m− ≠ ⇔ ≠ : (1) vô nghiệm ( ) ( )( )2 2 2 22 ' 0 2 3 2 5 6 0 4 3 0 m mm m m m m m ≠ ≠≠   ⇔ ⇔ ⇔   ∆ < − − − − < − + − <   www.VNMATH.com 80 2 1 1 3 3 m m m m m ≠ < ⇔ ⇔ > . Vậy phương trình vô nghiệm 1 3 m m < ⇔  > . Bài tập 2. Cho bất phương trình ( ) ( )21 2 1 3 3 0m x m x m+ − − + − ≥ (2). Tìm các giá trị của tham số m ñể bất phương trình (2) vô nghiệm . Giải  Trường hợp 1 0 1m m+ = ⇔ = − : (2) 3 4 6 0 2 x x⇔ − ≥ ⇔ ≥ , bất phương trình (2) có nghiệm.  Trường hợp 1m ≠ − : (2) vô nghiệm ( ) ( )( )2 2 1 11 0 ' 0 1 1 3 3 0 2 2 4 0 m mm m m m m m < − < −+ <   ⇔ ⇔ ⇔   ∆ < − − + − < − − + <   1 22 1 m mm m < −  ⇔ ⇔ < −< −  > . Vậy bất phương trình vô nghiệm 2m⇔ < − . Bài tập 3. Cho bất phương trình ( ) ( )21 2 1 1 0m m x m x− + − + ≥ (3). Tìm các giá trị của tham số m ñể bất phương trình (3) nghiệm ñúng x∀ ∈ℝ . Giải  Trường hợp ( )1 0 0m m m− = ⇔ = hoặc 1m = :  Với 0m = , (3) 1 2 1 0 2 x x⇔ − + ≥ ⇔ ≤ , (3) không nghiệm ñúng x∀ ∈ℝ .  Với 1m = , (3) 1 0⇔ ≥ , x∀ ∈ℝ , (3) nghiệm ñúng x∀ ∈ℝ .  Trường hợp ( )1 0 0m m m− ≠ ⇔ ≠ và 1m ≠ : (3) nghiệm ñúng x∀ ∈ℝ ( ) ( ) ( ) 2 2 1 00 0 ' 0 1 01 1 0 m ma m m mm m m − > > − >  ⇔ ⇔ ⇔   ∆ ≤ − + ≤− − − ≤  www.VNMATH.com 81 0 11 1 m mm m  < ⇔ ⇔ >>  ≥ . Vậy 1m ≥ , bất phương trình nghiệm ñúng x∀ ∈ℝ . C. BÀI TẬP ðỀ NGHỊ Bài 1. Xét dấu các biểu thức sau : a) 22 5 2x x+ + b) 24 3 1x x− − c) 23 5 1x x− + + d) ( ) 2(3 10 3)(4 5)f x x x x= − + − e) ( ) 2 10 1 25 x f x x − = − + Bài 2. Giải bất phương trình : a) x x22 3 7 0− + − ≥ b) x x23 4 4 0− + ≥ c) x x2 6 0− − ≤ d) x x x x 2 2 3 4 0 3 5 − − + > + + e) x x x x 2 2 4 3 1 0 5 7 + − > + + f) x x x x 2 2 5 3 8 0 7 6 + − < − + . Bài 3. Giải hệ bất phương trình : a)  − ≥  − − < 2 2 9 0 4 3 0 x x x b)  + + ≥  − − < 2 2 4 3 0 2 10 0 x x x x c) 2 2 2 7 4 1 1 x x x − − − ≤ ≤ + . Bài 4. Tìm m ñể các phương trình sau có nghiệm a) m x mx m2( 5) 4 2 0− − + − = b) m x m x m2( 2) 2(2 3) 5 6 0− + − + − = . Bài 5. Tìm m ñể các phương trình sau vô nghiệm a) m x m x m2(3 ) 2( 3) 2 0− − + + + = b) m x mx m2(1 ) 2 2 0+ − + = . Bài 6. Tìm m ñể các bất phương trình sau vô nghiệm a) m x m x2( 2) 2( 1) 4 0+ − − + < b) − + + − ≥2( 3) ( 2) 4 0m x m x . Bài 7. Tìm m ñể các bất phương trình sau nghiệm ñúng với mọi x a) + − − + ≥22 ( 2) 4 0x m x m b) mx m x m2 ( 1) 1 0+ − + − < . www.VNMATH.com 82 CHƯƠNG V THỐNG KÊ §1. BẢNG PHÂN BỐ TẦN SỐ VÀ TẦN SUẤT A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Tần số Tần số của giá trị xi là số lần lập lại của giá trị xi trong cuộc ñiều tra. Tần số của giá trị xi ñược kí hiệu là ni . 2. Tần suất Tần suất của giá trị xi là tỷ số giữa tần số của giá trị xi với tổng số n các phần tử ñiều tra. Tần suất của giá trị xi kí hiệu là fi. Như vậy: ii n f n = . 3. Bảng phân bố tần số và tần suất Từ số liệu ban ñầu ta lọc ra các giá trị xi và tần số ni tương ứng của chúng, rồi sắp xếp thành một bảng phân bố tần số - tần suất và ñược trình bày như sau: Bảng 1 Giá trị của xi Tần số ni Tần suất fi (%) x1 n1 f1 x2 n2 f2 x3 n3 f3 x4 n4 f4 ….. ….. ….. xm nm fm Tổng n Tổng 100% 4. Bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp Khi mẫu ñiều tra có kích thước lớn (nhiều phần tử) người ta thường nhóm các giá trị ñó thành từng lớp và lập bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp ñược trình bày như sau: Bảng 2 Giá trị của xi Tần số ni Tần suất fi (%) [x1; x2) n1 f1 [x2; x3) n2 f2 [x3; x4) n3 f3 [x4; x5) n4 f4 ….. ….. ….. [xm-1;xm] nm fm Tổng n Tổng 100% www.VNMATH.com 83 B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề 1. Lập bảng phân bố tần số và tần suất. Phương pháp :  Xác ñịnh các giá trị xi ;  ðếm số lần xuất hiện các giá trị xi ( tần số ni ) ;  Tính : ii n f n = . Bài tập . Chiều cao của một nhóm 30 học sinh( ñơn vị : m ) lớp 10 ñược liệt kê ở bảng sau : Hãy lập bảng phân bố tần số - tần suất. 1.45 1.58 1.51 1.52 1.52 1.67 1.50 1.60 1.65 1.55 1.55 1.64 1.47 1.70 1.73 1.59 1.62 1.56 1.48 1.48 1.58 1.55 1.49 1.52 1.52 1.50 1.60 1.50 1.63 1.71 www.VNMATH.com 84 Giải Bảng phân bố tần số - tần suất: Chiều cao Tần số Tần suất 1.45 1 3.33 1.47 1 3.33 1.48 2 6.67 1.49 1 3.33 1.50 3 10.0 1.52 4 13.33 1.55 3 10.0 1.56 1 3.33 1.58 2 6.67 1.59 1 3.33 1.60 2 6.67 1.61 1 3.33 1.62 1 3.33 1.63 1 3.33 1.64 1 3.33 1.65 1 3.33 1.67 1 3.33 1.70 1 3.33 1.71 1 3.33 1.73 1 3.33 n=50 Vấn ñề 2. Lập bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp. Phương pháp:  Xác ñịnh các lớp ghép theo yêu cầu của ñề bài;  ðếm số phần tử của mỗi lớp ghép ( tần số của lớp );  Tính tần suất của mỗi lớp: ii n f n = . Bài tập 1. Chiều cao của một nhóm 30 học ( ñơn vị: m ) lớp 10 ñược liệt kê ở bảng sau : 1.45 1.58 1.51 1.52 1.52 1.67 1.50 1.60 1.65 1.55 1.55 1.64 1.47 1.70 1.73 1.59 1.62 1.56 1.48 1.48 1.58 1.55 1.49 1.52 1.52 1.50 1.60 1.50 1.63 1.71 www.VNMATH.com 85 Hãy lập bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp với các lớp là: [1.45 ; 1.55) ; [ 1.55 ; 1.65) ; [ 1.65 ; 1. 75]. Giải Tần số của lớp 1 : [1.45 ; 1.55 ) là n1 = 12 ; tần suất 11 12 40 30 n f n = = = %. Tần số của lớp 2 : [1.55 ; 1.65 ) là n2 = 13 ; tần suất 22 13 43.33 30 n f n = = ≈ %. Tần số của lớp 3 : [1.65 ; 1.75 ] là n3 = 5 ; tần suất 33 5 16.67 30 n f n = = ≈ %. Bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp : Lớp chiều cao (m) Tần số Tần suất (%) [ 1.45 ; 1.55) 12 40.00 [ 1.55 ; 1.65) 13 43.33 [ 1.65 ; 1.75] 5 16.67 Cộng 30 100 % C. BÀI TẬP ðỀ NGHỊ Bài tập 1. Cho các số liệu thống kê ghi trong bảng sau: thời gian hoàn thành một sản phẩm ở một nhóm công nhân (ñơn vị: phút) 42 42 42 42 44 44 44 44 44 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 54 54 54 50 50 50 50 48 48 48 48 48 48 48 48 48 48 48 50 50 50 50 a) Hãy lập bảng phân bố tần số, tần suất; b) Trong 50 công nhân ñược khảo sát, những công nhân có thời gian hòan thành một sản phẩm từ 45 phút ñến 50 phút chiếm bao nhiêu phần trăm? Bài tập 2. Cho các số liệu thống kê ghi trong bảng sau: thời gian (phút) ñi từ nhà ñến trường của bạn A trong 35 ngày. 21 22 24 19 23 26 25 22 19 23 20 23 27 26 22 20 24 21 24 28 25 21 20 23 22 23 29 26 23 21 26 21 24 28 25 a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp, với các lớp: [19 , 21) ; [21 , 23) ; [ 23 , 25) ; [25 , 27) ; [27 , 29). b) Trong 35 ngày ñược khảo sát, những ngày bạn A có thời gian ñi ñến trường từ 21 phút ñến dưới 25 phút chiếm bao nhiêu phần trăm ? www.VNMATH.com 86 §2. BIỂU ðỒ A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Biểu ñồ tần suất hình cột Cách vẽ biểu ñồ hình cột: • Vẽ hai ñường thẳng vuông góc. Trên ñường thẳng nằm ngang ( dùng làm trục số) ta ñánh dấu các khoảng xác ñịnh lớp. • Tại mỗi khoảng ta dựng lên một hình cột chữ nhật, với ñáy là khoảng ñó, còn chiều cao bằng tần suất của lớp mà khoảng ñó xác ñịnh. 2. ðường gấp khúc tần suất Cách vẽ ñường gấp khúc tần suất : Ta vẽ hai ñường thẳng vuông góc ( như vẽ biểu ñồ hình cột). Trên mặt phẳng tọa ñộ xác ñịnh các ñiểm ( ci ; fi ) , i = 1, 2,….,n sau ñó vẽ các ñoạn thẳng nối các ñiểm ( ci ; fi ) với các ñiểm ( ci+1; fi+1 ), i = 1,2,…, n ta thu ñược một ñường gấp khúc. ðường gấp khúc này gọi là ñường gấp khúc tần suất. 3. Biểu ñồ hình quạt Cách vẽ biểu ñồ hình quạt : Vẽ hình tròn, chia hình tròn thành những hình quạt. mỗi lớp tương ứng với một hình quạt mà diện tích của nó tỉ lệ với tần suất của lớp ñó. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề 1. Vẽ biểu ñồ tần suất hình cột. Phương pháp:  Vẽ hai ñường thẳng vuông góc. Trên ñường thẳng nằm ngang ( dùng làm trục số) ta ñánh dấu các khoảng xác ñịnh lớp.  Tại mỗi khoảng ta dựng lên một hình cột chữ nhật, với ñáy là khoảng ñó, còn chiều cao bằng tần suất của lớp mà khoảng ñó xác ñịnh. Bài tập 1. Thống kê ñiểm toán cuả 40 học sinh cuả một lớp người ta thu ñược mẫu số liệu ban ñầu như sau : 5 6 6 5 7 1 2 4 6 9 4 5 7 5 6 8 10 5 5 7 2 1 3 3 6 4 6 5 5 9 8 7 2 1 8 6 4 4 6 5 www.VNMATH.com 87 a) Hãy lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp với các lớp như sau: [1;2] ; [3;4] ; [5;6] ; [7;8] ; [9;10]. b) Vẽ biểu ñồ hình cột tần số. Giải ðiểm toán Tần số Tần suất % [1;2] 6 15 [3;4] 7 17,5 [5;6] 17 42,5 [7;8] 7 17,5 [9;10] 3 7,5 6 7 17 7 3 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Biểu ñồ tần số [1;2] [3;4] [5;6] [7;8] [9;10] tần số ñiểm Bài tập 2. Doanh thu của 20 công ty sản xuất ô tô trong năm vừa qua ñược cho như sau: ( ñơn vị triệu ñô la) 8 32 54 12 50 80 90 64 54 52 20 43 70 56 20 12 7 14 22 35 a) Hãy lập bảng phân bồ tần số -tần suất ghép lớp với các lớp như sau: [0 ; 20) ; [20 ; 40) ; [40;60) ; [60 ; 80) ; [80 ; 100) b) Vẽ biểu ñồ tần số hình cột www.VNMATH.com 88 Giải a) Bảng phân bồ tần số -tần suất ghép lớp : b) Biểu ñồ tần số hình cột : Vấn ñề 2. Vẽ biểu ñồ ñường gấp khúc tần số , tần suất ghép lớp. Phương pháp:  Ta vẽ hai ñường thẳng vuông góc ( như vẽ biểu ñồ hình cột). Trên mặt phẳng tọa ñộ xác ñịnh các ñiểm ( ci ; fi ) , i = 1, 2,….,n sau ñó vẽ các ñoạn thẳng nối các ñiểm ( ci ; fi ) với các ñiểm ( ci+1; fi+1 ), i = 1,2,…, n ta thu ñược một ñường gấp khúc. Bài tập. Thống kê ñiểm toán cuả 40 học sinh cuả một lớp người ta thu ñược mẫu số liệu ban ñầu như sau: 5 6 6 5 7 1 2 4 6 9 4 5 7 5 6 8 10 5 5 7 2 1 3 3 6 4 6 5 5 9 8 7 2 1 8 6 4 4 6 5 a/ Hãy lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp với các lớp như sau: [1;2] ; [3;4] ; [5;6] ; [7;8] ; [9;10] b/ Vẽ biểu ñồ ñường gấp khúc tần suất. Giải Lớp doanh thu Tần số Tần suất (%) [0 ; 20) 5 25 [20 ; 40) 5 25 [40 ; 60) 6 30 [60 ; 80) 2 10 [80 ; 100) 2 10 5 5 6 2 2 Biểu ñồ tần số [0 ; 20) [20 ; 40) [40;60) [60 ; 80