Phân loại và phương pháp giải Toán 12 - Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số Logarit

3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q ZZZ0$7+91FRP 7KV/¬9ÅQÒR¢Q &Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW ZZZPDWKYQFRP HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT Chương Bài 1: LŨY THỪA – CÁC PHÉP TÍNH VỀ LŨY THỪA VỚI HÀM SỐ THỰC 
 1. Kiến thức cơ bản Gọi a và b là những số thực dương, x và y là những số thực tùy ý  . . .....na a a a a=
  x x x a a b b    =     .x y x ya a a +=  x y xya a=  1x x y n y n a a a a a − −= ⇒ =  ( ) ( ) 0 01 1 , 0 u x u x x x ∀  = ⇒ =     ≠  ( ) ( ) . y x x y x ya a a= = . n n n a b ab= ( ). . x x xa b a b=  ( ) m nn ma a= 2. Lưu ý  Nếu 0a < thì xa chỉ xác định khi x∀ ∈ ℤ .  Nếu 1a > thì a aα β α β> ⇔ > .  Nếu 0 1a ⇔ < .  ( ) n 1 lim 1 2,718281828459045... n x e n→∞   = + ∈    ≃ ℕ .  Để so sánh 1 s a và 2 s b . Ta sẽ đưa 2 căn đã cho về cùng bậc n (với n là bội số chung của s1 và s2 ) ⇒ Hai số so sánh mới lần lượt là An và Bn . Từ đó so sánh A và B ⇒ kết quả so sánh của 1s a và 2s b .  Công thức lãi kép: Gọi A là số tiền gửi, r là lãi suất mỗi kì, N là số kì ⇒ Số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) là: ( )1 N C A r= + . 3. Bài tập áp dụng Bài 1. Với ,a b là các số thực dương. Hãy rút gọn các biểu thức sau: 1/ 9 2 6 4 7 7 5 58 : 8 3 .3A        = −       2/ ( ) ( ) 3 1 3 4 0 3 2 2 .2 5 .5 10 : 10 0,25 B − − − − + = − 3/ ( ) 4 2 3 5 45 0,2C − −       = +        4/ 1 3 3 5 0,75 1 181 125 32 D − − −       = + −         5/ ( ) ( ) 1 2 2 22 03 3 30, 001 2 .64 8 9E − − = − − − + 6/ 2 3 5 52 .8F −= n sốa 7KV/¬9ÅQÒR¢Q ZZZ0$7+91FRP3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q ZZZPDWKYQFRP &Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW 7/ 2 3 43. 3 : 3G  =    8/ 2 7 2 7 1 7 10 2 .5 H + + + = 9/ ( ) ( ) 2 1,5 30, 04 0,125I − − = − 10/ ( ) 0,75 5 2 1 0,25 16 J − −  = +    11/ ( ) ( ) 4 0,75 23 1,5 3 5 4 9 2 6 4 5 3 7 7 5 5 2 4 1 1 . 0,04 0,125 16 8 8 : 8 3 .3 . 5 0,2 K − − − − − − −              + −                 =              − +                  12/ 1 9 1 32 1 1 4 4 2 2 2 2 1 5 1 1 4 4 2 2 1 2 : . b b a a b b L a b a a a a b b − −          − −    = − + − −                − −    13/ 4 1 1 1 1 3 6 33 3 2 3 6: : . . . :M a a a a a a a a a              = +                  14/ ( ) 3 5 3 2 1 2 4 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 5 1 5 6 4 .2 .2 : 25 5 .5 2 .3 N + + − −− + −− + +   = + −    15/ 2 3 43. 3 : 3O  =    16/ ( ) 3 32 2 1 6 6 6 3 3 3 332 2 2 22 a b ab a b P a b a a ab b a b − − + = − − +   − + −  Bài 2. Hãy so sánh các cặp số sau: 1/ 34− và 24− 2/ 32 và 1,72 3/ 22− và 1 4/ ( ) 1 0,013 − và 1 5/ 1,4 1 2       và 2 1 2       6/ 1 9 π      và 3,14 1 9       7/ 2 1 3       và 3 1 3       8/ 3 10 và 5 20 9/ 4 5 và 3 7 10/ 17 và 3 28 11/ 4 13 và 5 23 12/ 54 và 74 13/ ( ) 2 0,01 − và ( ) 2 10 − 14/ 2 4 π      và 6 4 π      15/ 2 35− và 3 25− 14/ 3005 và 3008 15/ ( ) 3 0,001 − và 3 100 16/ 24 và ( ) 2 0,125 − 17/ ( ) 3 2 − và ( ) 5 2 − 18/ 4 4 5 −       và 5 5 4       19/ 100,02− và 1150 20/ 5 2 2 π      và 10 3 2 π      21/ 2 3 5 −        và 2 2 2 −        22/ ( ) 1 43 1− và ( ) 2 23 1− Bài 3. So sánh hai số ,m n nếu: 1/ 3,2m < 3,2n 2/ ( )2 m > ( )2 n 3/ 1 9 m       và 1 9 n       4/ 3 2 m        > 3 2 n        5/ ( )5 1 m − < ( )5 1 n − 6/ ( )2 1 m − < ( )2 1 n − Bài 4. Có thể kết luận gì về cơ số a nếu: 1/ ( ) ( ) 2 1 3 31 1a a − − − < − 2/ ( ) ( ) 3 1 2 1 2 1a a − − + > + 3/ 0,2 21 a a −    <    3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q ZZZ0$7+91FRP 7KV/¬9ÅQÒR¢Q &Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW ZZZPDWKYQFRP 4/ ( ) ( ) 1 1 3 21 1a a − − − > − 5/ ( ) ( ) 3 2 42 2a a− > − 6/ 1 1 2 21 1 a a −       >         7/ 3 7a a< 8/ 1 1 17 8a a − − < 9/ 0,25 3a a− −< Bài 5. Đơn giản các biểu thức sau: 1/ ( ) ( ) 3 2 3 7 2 7 1 . . . 7 . 8 7 14 A            = − − − − −                2/ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 6 4 6 4 2 3 . 15 .8 9 . 5 . 6 B − − = − − 3/ 3 2 2 34 8C = + 4/ 2 3 5 232D −  =     5/ ( ) ( ) ( ) ( ) 7 3 4 4 5 18 .2 . 50 25 . 4 E − − = − − 6/ ( ) ( ) ( ) 3 3 6 4 2 3 125 . 16 . 2 25 . 5 F − − =   −     7/ ( ) ( ) ( ) 2 3 1 3 4 0 3 3 2 2 2 .2 5 .5 0,01 10 : 10 0,25 10 . 0,01 G − − − − − − − + − = − + 8/ 1 1 1 1 1 3 3 3 3 34 10 25 2 5H       = − + +        9/ 4 35 4 3 4. 64. 2 32 I      = 10/ 5 5 5 2 3 5 81. 3. 9. 12 3 . 18. 27. 6 J =      Bài 6. Viết các biểu thức sau với dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ: 1/ ( ) 4 32. , 0A x x x= ≥ 2/ ( ) 5 3. , , 0 b a B a b a b = ≠ 3/ 5 32. 2 2C = 4/ 3 3 2 3 2 . . 3 2 3 D = 5/ 4 3 8E a= 6/ 5 2 3 b b F b b = Bài 7. Đơn giản các biểu thức sau: 1/ 1,5 1,5 0,5 0,5 0,50,5 0,5 0,5 0,5 . 2. a b a b ba bA a b a b + − += + − + 2/ 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 2 2 1 . 12 1 a a a B aa a a  + − + = −   −+ +  3/ 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 3 . 2 x y x y x y C x y x y       + − −  = +  −       −         4/ 1 1 1 1 3 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 . x y x y x y y D x y x y xy x y xy x y    − +  = + −   + −  + −  5/ 1 2 2 1 2 4 3 3 3 3 3 3.E a b a a a b        = − + +         6/ 1 1 1 1 1 1 4 4 4 4 2 2. .F a b a b a b              = − + +                7KV/¬9ÅQÒR¢Q ZZZ0$7+91FRP3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q ZZZPDWKYQFRP &Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW 7/ 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 . 1 2 a a a G a a a a    + − + = −  −  +  8/ ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 2 1 1 . 1 2 a b c b c a H a b c bca b c − − − − −  + + + −  = + + +   − + 9/ 3 3 6 6 a b I a b − = − 10/ 4 : ab ab b J ab a ba ab   − = −   − + 11/ 4 42 2 4 2 a x x a K a x a x a x ax  +  = − + +    +  12/ 3 32 2 3 3 3 332 2 2 2 6 6 6 2 a x ax a x a x a ax xL x a x + − + − − += − − 13/ 3 4 43 3 4 4 1 1 1 1 x x x M x x x x x x        − =     − +    − −         − +    14/ 3 3 33 3 2 2 2 2 3 3 33 32 2 : a a a b a b a b ab N a a ba ab   − + − = +   −−  15/ 5 3 3 2 5 5 2102 27. 3. 32 2 .3 2 3 y O y y −     +   = + −    +      16/ 1 1 1 1 3 3 3 3 1 1 2 1 1 2 3 3 3 3 3 3 8 2 6 2 4 2 b a a b a b P a b a a b b − − − − −   − −  = +    − + +  17/ 3 2 1 123 4 4 3 8 3 : a b a Q a b b a a b                 = + +                     18/ ( ) ( ) 1 2 2 1 1 2 1 2 1 4 a b R a b ab b a −      = + + −        Bài 8. Giải các phương trình sau: 1/ 54 1024x = 2/ 1 5 2 8 . 2 5 125 x+    =    3/ 1 3 1 8 32 x− = 4/ ( ) 2 2 1 3 3 9 x x −   =     5/ 2 8 27 . 9 27 64 x x−        =         6/ 2 5 6 3 1 2 x x− +    =    7/ 2 8 1 0,25 .32 0,125 8 x x − −   =     8/ 0,2 0, 008x = 9/ 3 7 7 3 9 7 49 3 x x− −       =         10/ 5 .2 0, 001x x = 11/ ( ) ( ) 112 3 6 x x = 12/ 1 1 1 7 .4 28 x x− − = Bài 9. Giải các bất phương trình sau: 1/ 0,1 100x > 2/ 3 1 0, 04 5 x    >    3/ 100 0, 3 9 x > 4/ 27 . 49x+ 5/ 2 1 1 9 3 27 x+    <    6/ 13 9 3 x < 7/ ( ) 13. 3 27 x > 8/ 1 1 27 .3 3 x x− < 9/ 3 1 2 1 64 x    >    3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q ZZZ0$7+91FRP 7KV/¬9ÅQÒR¢Q &Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW ZZZPDWKYQFRP Bài 10. Giải các phương trình sau: 1/ 22 2 20x x++ = 2/ 13 3 12x x++ = 3/ 15 5 30x x−+ = 4/ 1 14 4 4 84x x x− ++ + = 5/ 24 24.4 128 0x x− + = 6/ 1 2 14 2 48x x+ ++ = 7/ 3.9 2.9 5 0x x−− + = 8/ 2 5 63 1x x− + = 9/ 14 2 24 0x x++ − = 7KV/¬9ÅQÒR¢Q ZZZ0$7+91FRP3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q ZZZPDWKYQFRP &Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW Bài 2: LOGARIT 
 1. Kiến thức cơ bản a/ Định nghĩa  Với 0, 1, 0a a b> ≠ > ta có: log a b a bαα= ⇔ = . Chú ý: log a b có nghĩa khi 0, 1 0 a a b  > ≠   >  Logarit thập phân: 10 lg log logb b b= =  Logarit tự nhiên (logarit Nepe): ln log e b b= b/ Tính chất Cho 0, 1a a> ≠ và , 0b c > . Khi đó: Nếu 1a > thì log log a a b c b c> ⇔ > Nếu 0 1a< < thì log log a a b c b c> ⇔ <  log 1 0 a =  log 1 a a =  log b a a b=  log a b a b= c/ Các qui tắc tính logarit Cho 0, 1a a> ≠ và , 0b c > . Ta có:  ( )log . log loga a ab c b c= +  log log loga a a b b c c    = −     log . log a a b bβ β=  2log 2 log a a b b= d/ Các công thức đổi cơ số Cho , , 0a b c > và , 1a b ≠ . Ta có:  log log log . log log log a b a b a a c c b c c b = ⇒ =  1 log loga b b a = , ln log lna b b a =  ( ) 1 log . log , 0 aa b b β β β = ≠  1 log log a a b b= − 1 log 1 1 log log ab a b c c c = +  log logc a b ba c= 2. Bài tập áp dụng Bài 1. Thực hiện các phép tính sau: 1/ 2 1 4 log 4. log 2A = 2/ 5 27 1 log . log 9 25 B = 3/ 3log a C a= 4/ 32 log 2log 3 4 9D = + 5/ 2 2 log 8E = 6/ 9 8log 2 log 2727 4F = + 7/ 3 4 1 3 7 1 log . log log a a a a a G a = 8/ 3 8 6 log 6. log 9. log 2H = 9/ 3 812 log 2 4 log 59I += 3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q ZZZ0$7+91FRP 7KV/¬9ÅQÒR¢Q &Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW ZZZPDWKYQFRP 10/ 3 9 9log 5 log 36 4 log 781 27 3J = + + 11/ 75 log 8log 625 49K = + 12/ 53 2 log 45L −= 13/ 6 8 1 1 log 3 log 4 9 4M = + 14/ 9 2 1251 log 4 2 log 3 log 273 4 5N + −= + + 15/ ( ) ( ) ( )0 0 0lg tan1 lg tan2 ... lg tan89P = + + + 16/ ( ) ( )8 4 2 2 3 4log log log 16 . log log log 64Q    =        17/ ( )35 log 2 33 log log28R = + 18/ 3 1 1 1 3 3 3 1 2 log 6 log 400 3 log 45 2 S = − + Bài 2. Thực hiện phép biến đổi theo yêu cầu bài toán. 1/ Cho 12 log 27 a= . Tính 6 log 16 theo a . 2/ Cho 2 log 14 a= . Tính 49 7 log 32 và 49 log 32 theo a . 3/ Cho 2 2 log 5 ; log 3a b= = . Tính 3 log 135 theo ,a b . 4/ Cho 15 log 3 a= . Tính 25 log 15 theo a . 5/ Cho log 3 a b = . Tính 3 log b a b a 6/ Cho lg 3 0, 477= . Tính ( ) 81 1 lg 9000; lg 0, 000027 ; log 100 . 7/ Cho log 5 a b = . Tính log ab b a 8/ Cho 7 log 2 a= . Tính 1 2 log 28 theo a . 9/ Cho log 13 a b = . Tính 3 2log b a ab . 10/ Cho 25 2 log 7 ; log 5a b= = . Tính 3 5 49 log 8 theo ,a b . 11/ Cho lg 3 ; lg 2a b= = . Tính 125 log 30 theo ,a b . 12/ Cho 30 30 log 3 ; log 5a b= = . Tính 30 log 1350 theo ,a b . 13/ Cho 14 14 log 7 ; log 5a b= = . Tính 35 log 28 theo ,a b . 14/ Cho 2 3 7 log 3 ; log 5 ; log 2a b c= = = . Tính 140 log 63 theo , ,a b c . 15/ Cho log 7 a b = . Tính 3 log a b a b 16/ Cho 27 8 2 log 5 ; log 7 ; log 3a b c= = = . Tính 6 log 35 theo , ,a b c . 17/ Cho 49 2 log 11 ; log 7a b= = . Tính 3 7 121 log 8 theo ,a b . Bài 3. Cho 0, 1a a> ≠ . Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) 1log 1 log 2 ( )a aa a++ > + ∗ HD: Xét ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 log 2 log 2 log log 2 . log 2log 1 a a a a a a a a a A a a a + + + + + + + + = = + ≤ + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 log 2 log 1 1 2 2 a a a a a + +  + +  = < = ⇒ (Đpcm). 7KV/¬9ÅQÒR¢Q ZZZ0$7+91FRP3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q ZZZPDWKYQFRP &Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW Bài 4. So sánh các cặp số sau: 1/ 3 log 4 và 4 1 log 3 2/ 3 0,1 log 2 và 0,2 log 0, 34 3/ 3 4 2 log 5 và 5 2 3 log 4 4/ 1 3 1 log 80 và 1 2 1 log 15 2+ 5/ 13 log 150 và 17 log 290 6/ 6log 32 và 6 1 log 23 7/ 7 log 10 và 11 log 13 8/ 2 log 3 và 3 log 4 9/ 9 log 10 và 10 log 11 HD: 4/ CM: 1 1 3 2 1 1 log 4 log 80 15 2 < < + 5/ CM: 13 17 log 150 2 log 290< < 7/ Xét 7 7 7 7 11 7 log 10. log 11 log 13 log 10 log 13 log 11 A − = − = 7 7 7 7 1 10.11.7 10 11 log log . log 0 log 11 7.7.13 7 7   = + >    8/, 9/ Sử dụng Bất đẳng thức ( )∗ bài tập 3. Bài 5. Chứng minh các đẳng thức sau (với giả thiết các biểu thức đã cho có nghĩa) 1/ log loga ac bb c= 2/ ( ) log log log 1 log a a ax a b x bx x + = + 3/ log . log log log log a b a b ab c c c c c + = 4/ log 1 log log a a ab c b c = + 5/ ( ) 1 log log log , 3 2c c c a b a b + = + với 2 2 7a b ab+ = 6/ ( ) ( ) 1 log 2 2 log 2 log log , 2a a a a x y x y+ − = + với 2 24 12x y xy+ = 7/ ( ) a3 1 lg lg lg 4 2 b a b + = + , với 2 29 10a b ab+ = 8/ ( ) ( ) ( ) ( ) log log 2 log . log b c c b c b c b a a a a + − + − + = với 2 2 2a b c+ = 9/ ( ) 2 3 4 11 1 1 1 1 ... log log log log log 2 log ka aa a a a k k x x x x x x + + + + + + = 10/ log . log . log log . log log . log log . log log a b C a b b c c a abc N N N N N N N N N N + + = 11/ 1 1 lg10 zx −= với 1 1 lg10 xy −= và 1 1 lg10 yz −= 12/ 2 3 2009 2009 ! 1 1 1 1 ... log log log logN N N N + + + = 3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q ZZZ0$7+91FRP 7KV/¬9ÅQÒR¢Q &Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW ZZZPDWKYQFRP 13/ log log log log log log a b a b c c N N N N N N − = − với , ,a b c lần lượt theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân. 7KV/¬9ÅQÒR¢Q ZZZ0$7+91FRP3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q ZZZPDWKYQFRP &Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW Bài 3: HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT 
 1. Kiến thức cơ bản 1.1/ Khái niệm a/ Hàm số lũy thừa y xα= (α là hằng số) Số mũ α Hàm số y xα= Tập xác định D nα = (n nguyên dương) ny x= D = ℝ nα = (n nguyên dương âm hoặc 0n = ) ny x= { }\ 0D = ℝ α là số thực không nguyên y xα= ( )0,D = +∞ Lưu ý: Hàm số 1 ny x= không đồng nhất với hàm số ( ) , *ny x n= ∈ ℕ b/ Hàm số mũ ( ) , 0, 1xy a a a= > ≠  Tập xác định: D = ℝ  Tập giá trị: ( )0,T = +∞  Tính đơn điệu  Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.  Dạng đồ thị: c/ Hàm số logarit ( ) log , 0, 1ay x a a= > ≠  Tập xác định: ( )0,D = +∞  Tập giá trị: T = ℝ  Tính đơn điệu  Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.  Dạng đồ thị: ○ Khi 1a > hàm số đồng biến. ○ Khi 0 1a< < : hàm số nghịch biến. 1a > x y x y 1 1 xy a= xy a= O O 0 1a< < ○ Khi 1a > hàm số đồng biến. ○ Khi 0 1a< < : hàm số nghịch biến. log a y x= 1a > x y O 1 log a y x= x y 0 1a< < O 1 3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q ZZZ0$7+91FRP 7KV/¬9ÅQÒR¢Q &Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW ZZZPDWKYQFRP 1.2/ Giới hạn đặc biệt ( ) 1 0 1 lim 1 lim 1 x x x x x e x→ →±∞   + = + =    ( ) 0 ln 1 lim 1 x x x→ + = 0 1 lim 1 x x e x→ − = 1.3/ Đạo hàm Đạo hàm hàm số sơ cấp Đạo hàm hàm số hợp  ( ) ( ) ' 1. , 0x x xα αα −= > ( ) . ' 1. 'u u uα αα −⇒ =  ( ) ' . lnx xa a a= ( ) ' . ln . 'u ua a u u⇒ =  ( ) ' x xe e= ( ) ' . 'u ue e u⇒ =  ( ) ' 1 log lna x x a = ( ) ' ' log lna u u u a ⇒ = ( ) ( ) ' 1 ln , 0x x x = > ( ) ' ' ln u u u ⇒ = /ư?X¿¿ ( ) ' 1 1 . n n n x n x − = ( ) ' 1 ' . n n n u u n u − ⇒ = 2. Bài tập áp dụng Bài 1. Tính các giới hạn sau: 1/ lim 1 x x x x→+∞      +  2/ 1 1 lim 1 x x x x + →+∞   +    3/ 2 1 1 lim 2 x x x x − →+∞  +     −  4/ 1 33 4 lim 3 2 x x x x + →+∞  −     +  5/ 1 lim 2 1 x x x x→+∞  +     −  6/ 2 1 lim 1 x x x x→+∞  +     −  7/ ln 1 lim x e x x e→ − − 8/ 2 0 1 lim 3 x x e x→ − 9/ 1 lim 1 x x e e x→ − − 10/ 0 lim sin x x x e e x − → − 11/ sin 2 sin 0 lim x x x e e x→ − 12/ 1 lim 1x x x e →+∞    −     Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 1/ 24 3 1y x x= − − 2/ ( ) 1 2 44y x x= + − 3/ ( ) 3 2 3 2y x x= − + 4/ 3y x x x= + + 5/ 3 1 1 1 y x x x = + + 6/ ( ) ( )( ) 1 . 1 m nm n y x x + = − + 7/ 3 2 1y x x= + + 8/ 4 1 1 x y x + = − 9/ 2 5 2 2 1 x x y x + − = + 10/ ( )3 sin 2 1y x= + 11/ 3 2cot 1y x= + 12/ 3 3 1 2 1 2 x y x − = + Với 0x > nếu n chẳn. Với 0x < nếu n lẻ. 7KV/¬9ÅQÒR¢Q ZZZ0$7+91FRP3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q ZZZPDWKYQFRP &Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW 13/ 3 3 sin 4 x y + = 14/ 11 5 99 6y x= + 15/ 2 4 2 1 1 x x y x x + + = − + Bài 3. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 1/ ( )2 2 2 xy x x e= − + 2/ ( )2 2 xy x x e−= + 3/ 2 sinxy e x−= 4/ 22x xy e += 5/ 1 3 x x y xe − = 6/ 2 2 x x x x e e y e e + = − 7/ cos2x xy e= 8/ 2 3 1 x y x x = − + 9/ cotcos . xy x e= Bài 4. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 1/ ( )2ln 2 3y x x= + + 2/ ( )2log cosy x= 3/ ( ). ln cosxy e x= 4/ ( ) ( )22 1 ln 3y x x x= − + 5/ ( )31 2 log cosy x x= − 6/ ( )3log cosy x= 7/ ( )ln 2 1 2 1 x y x + = + 8/ ( )ln 2 1 1 x y x + = + 9/ ( )2ln 1y x x= + + Bài 5. Chứng minh các hàm số đã cho thỏa mãn các hệ thức được chỉ ra: 1/ ( ) 2 22. ; ' 1 x y x e xy x y − = = − 2/ ( ) 1 ; 'x xy x e y y e= + − = 3/ 4 2 ; ''' 2 ' 12 0x xy e e y y y−= + + − = 4/ 2. . ; '' 3 ' 2 0x xy a e be y y y− −= + + + = 5/ sin ; '' 2 ' 2 0xy e x y y y−= + + = 6/ ( ) 4cos ; 4 0xy e x y y−= + = 7/ sin ; ' cos sin '' 0xy e y x y x y= − − = 8/ 2 sin 5 ; '' 4 29 0xy e x y y y= − + = 9/ 2 1 ; '' 2 ' 2 x xy x e y y y e= − + = 10/ 4 2 ; ''' 13 12 0x xy e e y y y−= + − − = Bài 6. Chứng minh các hàm số đã cho thỏa mãn các hệ thức được chỉ ra: 1/ 1ln ; ' 1 1 yy xy e x   = + =   +  2/ ( ) 1 ; ' ln 1 1 ln y xy y y x x x = = − + + 3/ ( ) ( ) 2sin ln cos ln ; ' '' 0y x x y xy x y= + + + = 4/ ( ) 2 2 21 ln ; 2 ' 1 1 ln x y x y x y x x + = = + − 5/ 2 2 21 1 ln 1 ; 2 ' ln ' 2 2 x y x x x x y xy y= + + + + + = + 6/ ( )( ) ( ) 2 22 2 1 2010 ; ' 1 1 x xxyy x e y e x x = + + = + + + Bài 7. Giải các phương trình và bất phương trình sau với các hàm số được chỉ ra: 1/ ( ) 2'( ) 2 ( ) ; ( ) 3 1xf x f x f x e x x= = + + 2/ 31'( ) ( ) 0 ; ( ) lnf x f x f x x x x + = = 3/ ( ) ( ) '( ) '( ) ; ( ) ln 5 ; ( ) ln 1f x g x f x x x g x x> = + − = − 4/ 2 1 1 2'( ) 0 ; ( ) 2 7 5x xf x f x e e x− −= = + + − 5/ 2 1 1 '( ) '( ) ; ( ) .5 ; ( ) 5 4 ln5 2 x xf x g x f x g x x+< = = + Bài 8. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: 1/ 4y x−= 2/ 1 4y x= 3/ 1 2y x − = 4/ 5 y x= 3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q ZZZ0$7+91FRP 7KV/¬9ÅQÒR¢Q &Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW ZZZPDWKYQFRP 5/ 5y x−= 6/ 2xy = 7/ 4 xy −= 8/ ( )12 x y = 9/ 2 logy x= 10/ 1 2 logy x= 11/ ( )ln 1y x= + 12/ ( )ln 1 3y x= − Bài 4: PHƯƠNG TRÌNH MŨ 
 1. Cơ sở lý thuyết 1.1/ Phương trình mũ cơ bản Với 0, 1a a> ≠ thì 0 log x a b a b x b  >= ⇔   = 1.2/ Phương pháp giải một số phương trình mũ thường gặp Bài giải tham khảo 1/ Giải phương trình: ( ) ( ) 30,04 625. 5 1 x = ( ) ( ) 1 13 2 4 23 3 13 13 1 5 5 .5 5 5 2 3 6 x x x x− −⇔ = ⇔ = ⇔ − = ⇔ =− 2/ Giải phương trình: ( ) 1 8 0,125.16 2 32 x− = ( ) ( ) 3 121 3 4 4 4 2 5 2 1 9 2 2 . 2 2 2 4 4 2 82 x x x x − − − −⇔ = ⇔ = ⇔ − = − ⇔ = 3/ Giải phương trình: ( ) 2 2 18 8 52 .5 0, 001. 10 x x x − − − = ( )3 ( ) ( ) 2 28 3 5 5 8 2 5 23 2.5 10 .10 10 10 8 2 5 1; 6 x x x x x x x x − − − − −⇔ = ⇔ = ⇔ − = − ⇔ = − = ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ & LOGARIT HÓA  Dùng các công thức mũ và lũy thừa đưa về dạng ( ) ( )f x g xa a= Với 0, 1a a> ≠ thì ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x= ⇔ =  Trường hợp cơ số a có chứa ẩn thì: ( )( ) 1 1 0M N a a a a M N M N  == ⇔ − − = ⇔  =  Logarit hóa: ( )( ) ( ) ( ) log . ( )f x g x aa b f x b g x= ⇔ = Thí dụ 1. Giải các phương trình mũ sau (đưa về cùng cơ số) 1/ ( ) 30,04 625. 5 x = ( )1 2/ 1 8 0,125.16 32 x− = ( )2 3/ ( ) 2 2 18 8 52 .5 0, 001. 10 x x x − − − = ( )3 4/ 32 1 3 33 .15 .5 9x x x− − = ( )4 5/ 5.3 3.2 7.2 4.3x x x x+ = − ( )5 6/ 1 2 1 1 25 5 5 3 3 3x x x x x x− − + − −+ + = + + ( )6 7KV/¬9ÅQÒR¢Q ZZZ0$7+91FRP3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q ZZZPDWKYQFRP &Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW 4/ Giải phương trình: 32 1 3 33 .15 .5 9x x x− − = ( )4 ( ) ( ) 2 2 2 1 3 3 3 5 13 3 2 1 4 3 .3 . 5 .5 3 3 3 5 1 3 3 x x x x x x x− − −⇔ = ⇔ = ⇔ − = ⇔ = 5/ Giải phương trình: 5.3 3.2 7.2 4.3x x x x+ = − ( )5 ( ) ( ) ( ) 2 3 3 5 3 5 4 2 7 3 3 .9 2 .4 2 2 2 x x x x x x −       ⇔ + = − ⇔ = ⇔ = ⇔ =−         6/ Giải phương trình: 1 2 1 1 25 5 5 3 3 3x x x x x x− − + − −+ + = + + ( )6 ( ) ( ) ( ) 2 0 2 2 2 3 5 56 5 5 5 1 3 3 3 1 1 2 3 3 x x x x − − −       ⇔ + + = + + ⇔ = = ⇔ =         Bài giải tham khảo 1/ Giải phương trình: 5 33 5 x x = ( )1 ( ) ( ) ( ) ( )5 33 3 3 3 35 3 5 1 log 3 log 5 5 3 log 5 log 5 log log 5 3 x x x x x x         ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =    2/ Giải phương trình: ( ) 3 1 1 x x − + = ( )2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 2 33 3 3 3 3 3 5 log 2 2 log 3 log 2 5 2 log 2 1 2 log 2 5 log 2 1 2 log 2 x x x x x x−⇔ = ⇔ = − ⇔ + = ⇔ = + 3/ Giải phương trình: ( ) ( ) 1 3 2 2 x x x x − − + = + ( )3 Điều kiện: 0 2 1 2 1 1 1 0 1 x x x x x   < + ≠ − < ≠ − ⇔ ⇔ ≥   − ≥ ≥   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 3 03 2 1 . 1 3 0 1 3 1 3 x L x xx x x x x x x  = − + =       − ≥⇔ + − − − − = ⇔ ⇔         − = −   − = − 2 3 3 2 5 7 10 0 5 x x x x x x x  ≥ ≥  =⇔ ⇔ ⇒ =  − + =  = 4/ Giải phương trình: ( ) ( ) 2 5 4 4 2 23 3 x x x x x − + + + = + ( )4 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 0 4 3 1 5 4 4 0 5 4 4 0 x VN x x x x x x x  + =   ⇔ + − − + − + = ⇔        − + − − = Thí dụ 2. Giải các phương trình mũ sau (logarit hóa) 1/ 5 33 5 x x = ( )1 2/ 5 23 2x x−= ( )2 3/ ( ) ( ) 1 3 2 2 x x x x − − + = + ( )3 4/ ( ) ( ) 2 5 4 4 2 23 3 x x x x x − + + + = + ( )4 3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q ZZZ0$7+91FRP 7KV/¬9ÅQÒR¢Q &Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW ZZZPDWKYQFRP ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1;4 1;4 5 4 4 0 0; 6 ;1 4;;1 4; 0; 65 4 4 0 x x x x x VN x x xx x xx x x    ∈ ∈     − + − − − =    ⇔ ⇔ ⇔ = =      ∈ −∞ ∪ +∞∈ −∞ ∪ +∞          = =− + − − =    Bài giải tham khảo 1/ Giải phương trình: 9 5.3 6 0x x− + = ( )1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 21 3 5.3 6 0 3 5.3 6 0 1' x x x x⇔ − + = ⇔ − + = Đặt 3 0xt = > . Khi đó: ( ) ( ) ( ) 2 2 1' 5 6 0 3 t N t t t N  =⇔ − + = ⇔  = Với 3 2 3 2 log 2xt x= ⇒ = ⇔ = . Với 3 3 3 3 log 3 1xt x= ⇒ = ⇔ = = . 2/ Giải phương trình: 1 22 15.2 8 0x x+ + − = ( )2 ( ) ( ) ( ) 2 22 2.2 15.2 8 0 2. 2 15.2 8 0 2 'x x x x⇔ + − = ⇔ + − = Đặt 2 0xt = > . Khi đó: ( ) ( ) ( ) 2 1 2 ' 2 15 8 0 2 8 t N t t t L   = ⇔ + − = ⇔  = − ĐẶT ẨN SỐ PHỤ  Dạng 1: ( ) ( ) ( ) ( ) , 0 0 0 f x f x t a t P a P t  = > = ⇔   =  Dạng 2: ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ). . 0 f x f x f xa ab bα β λ+ . + = ⇒ Chia hai vế cho 2 ( )f xb , rồi đặt ẩn phụ ( ) 0 f x a t b   = >    (chia cơ số lớn nhất).  Dạng 3: ( ) ( )f x f xa b m+ = với . 1a b = . Đặt ( ) ( ) 1f x f xt a b t = ⇒ = . Thí dụ 1. Giải các phương trình mũ sau (đặt ẩn số phụ dạng 1, loại đặt ẩn phụ hoàn toàn) 1/ 9 5.3 6 0x x− + = ( )1 2/ 1 22 15.2 8 0x x+ + − = ( )2 3/ 1 25 5 124x x+ −− = ( )3 4/ 15 5 4 0x x−− + = ( )4 5/ 2 2 23 2.3 27 0x x− −− − = ( )5 6/ 15 25 6x x−+ = ( )6 7/ 3 3 3 3 4 4 33 3 3 3 10x x x x+ − + −+ + + = ( )7 8/ ( ) ( )7 4 3 2 3 6 x x + + + = ( )8 9/ 2 2sin cos9 9 6x x+ = ( )9 10/ 2 21 2 sin 2 cos4 9.4 5x x− −+ = ( )10 7KV/¬9ÅQÒR¢Q ZZZ0$7+91FRP3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q ZZZPDWKYQFRP &Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW Với 2 1 1 1 2 log 1 2 2 2 xt x x= ⇒ = ⇔ = ⇔ =− 3/ Giải phương trình: 1 25 5 124x x+ −− = ( )3 ( ) ( ) 25 3 5.5 124 0 3 ' 5 x x ⇔ − − = Đặt 5 0xt = > . Khi đó: ( ) ( ) ( ) 2 2525 3 ' 5 124 0 5 124 25 0 0,2 t N t t t t Lt  =⇔ − − = ⇔ − − = ⇔  = − Với 5 25 5 25 log 25 2xt x= ⇒ = ⇔ = = 4/ Giải phương trình: 15 5 4 0x x−− + = ( )4 Điều kiện: 0x ≥ ( ) ( ) 5 4 5 4 0 4 ' 5 x x ⇔ − + = Đặt 5 0xt = > . Khi đó: ( ) ( ) ( ) 2 15 4 ' 4 0 4 5 0 5 t N t t t t Lt  =⇔ − + = ⇔ + − = ⇔  = − Với 01 5 1 5 5 0 0x xt x x= ⇒ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = 5/ Giải phương trình: 2 2 23 2.3 27 0x x− −− − = ( )5 ( ) ( ) ( ) ( ) 22 1 1 1 15 3 2.3.3 27 0 3 6.3 27 0 5 ' x x x x− − − −⇔ − − = ⇔ − − = Đặt 13 0xt −= > . Khi đó: ( ) ( ) ( ) 2 3 5 ' 6 27 0 9 t L t t t N  = −⇔ − − = ⇔  = Với 1 1 29 3 9 3 3 1 2 1x xt x x− −= ⇒ = ⇔ = ⇔ − = ⇔ =− 6/ Giải phương trình: ( ) 15 25 6 6x x−+ = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 25 25 25 6 5 6 0 5 6 0 5 6 0 6 ' 25 5 5 x x x x x x ⇔ + − = ⇔ + − = ⇔ + − = Đặt 5 0xt = > . Khi đó: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 5 25 1 21 6 ' 6 0 6 25 0 5 5 0 2 1 21 2 t N t t t t t t t N t t L   =   +⇔ + − = ⇔ − + = ⇔ − − − = ⇔ =   − =  Với 5 5 1 0xt x= ⇒ = ⇔ = . Với 5 1 21 1 21 1 21 5 log 2 2 2 xt x  + + +  = ⇒ = ⇔ =     . 7/ Giải phương trình: 3 3 3 3 4 4 33 3 3 3 10x x x x+ − + −+ + + = ( )7 3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q ZZZ0$7+91FRP 7KV/¬9ÅQÒR¢Q &Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW ZZZPDWKYQFRP ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 27 81 1 1 7 27.3 81.3 10 27. 3 81. 3 10 7 ' 3 3 3 3 x x x x x x x x       ⇔ + + + = ⇔ + + + =         Đặt 1 1 3 2 3 . 2 3 3 x x x x Côsi t = + ≥ = 3 3 3 2 3 3 2 3 3 1 1 1 1 1 3 3 3.3 . 3.3 . 3 3 3 3 3 3 3 x x x x x x x x x x t t t   ⇒ = + = + + + ⇔ + = −    Khi đó: ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 10 107 ' 27 3 81 10 2 27 3 t t t t t N⇔ − + = ⇔ = ⇔ = > Với ( ) 10 1 10 3 7 '' 3 33 x x t = ⇒ + = Đặt 3 0xy = > . Khi đó: ( ) ( ) ( ) 2 3 1 10 7 '' 3 10 3 0 1 3 3 y N y y y y y N  = ⇔ + = ⇔ − + = ⇔  = Với 3 3 3 1xy x= ⇒ = ⇔ = Với 1 1 3 1 3 3 xy x= ⇒ = ⇔ =− 8/ Giải phương trình: ( ) ( )7 4 3 2 3 6 x x + + + = ( )8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 8 2 3 2 3 6 0 2 3 2 3 6 0 8 ' x x x x       ⇔ + + + − = ⇔ + + + − =        Đặt ( )2 3 0 x t = + > . Khi đó: ( ) ( ) ( ) 2 2 8 ' 6 0 3 t N t t t L  =⇔ + − = ⇔  = − Với ( ) ( )2 32 2 3 2 log 2 x t x + = ⇒ + = ⇔ = 9/ Giải phương trình: 2 2sin cos9 9 6x x+ = ( )9 Cách 1: Phương pháp đặt ẩn phụ với 1 ẩn. ( ) ( ) 2 2 2 2 1 cos cos cos cos 9 9 9 9 6 9 6 0 9 ' 9 x x x x −⇔ + = ⇔ + − = Đặt ( ) 2cos9 , 1 9xt t= ≤ ≤ . Khi đó: ( ) 2 9 9 ' 6 0 6 9 0 3t t t t t ⇔ + − = ⇔ − + = ⇔ = Với ( ) 2 2cos 2 cos 1 23 9 3 3 3 2cos 1 0 cos2 0 , 4 2 x x kt x x x k π π = ⇒ = ⇔ = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = + ∈ ℤ Cách 2: Phương pháp đặt ẩn phụ với 2 ẩn dẫn đến hệ phương trình. Đặt ( ) 2 2 sin cos 9 , 1 , 9 9 x x u u v v  = ≤ ≤  = . Khi đó: 2 2 2 2sin cos sin cos 6 . 9 .9 9 9x x x x u v u v +  + =   = = = Theo định lí Viét, thì ,u v chính là nghiệm của phương trình: 2 0X SX P− + = 2 20 6 9 0 3X SX P X X u v⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ = = 7KV/¬9ÅQÒR¢Q ZZZ0$7+91FRP3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q ZZZPDWKYQFRP &Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW ( ) 2 2 2sin cos cos9 9 3 9 3 , 4 2 x x x kx k π π ⇔ = = ⇔ = ⇔ = + ∈ ℤ Cách 3: Phương pháp ước lượng 2 vế (dùng bất đẳng thức Cauchy). Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: 2 2 2 2sin cos sin cos9 9 2 9 .9 2. 9 6 Côsi x x x x+ ≥ = = Dấu “=” xảy ra khi: ( ) 2 2sin cos 2 29 9 sin cos cos2 0 , 4 2 x x kx x x x k π π = ⇔ = ⇔ = ⇔ = + ∈ ℤ 3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q ZZZ0$7+91FRP 7KV/¬9ÅQÒR¢Q &Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW ZZZPDWKYQFRP 10/ Giải phương trình: 2 21 2 sin 2 cos4 9.4 5x x− −+ = ( )10 ( ) ( ) 2 2 2 2 2cos 1 2 cos 2cos 2 cos 4 9 10 4 9.4 5 0 5 0 10 ' 4 4 x x x x − + −⇔ + − = ⇔ + − = Đặt ( ) 22cos4 , : 1 16xt ÐK t= ≤ ≤ . Khi đó: ( ) ( ) ( ) 2 189 10 ' 5 0 20 36 0 24 t Lt t t t Nt  =⇔ + − = ⇔ − + = ⇔  = Với ( ) 2 1 2cos 22 1 1 2 4 2 4 2cos cos , 2 2 3 xt x x x k k π π= ⇒ = = ⇔ = ⇔ = ± ⇔ = ± + ∈ ℤ Bài giải tham khảo 1/ Giải phương trình: 25 15 2.9x x x+ = ( )1 ( ) ( ) 2 15 9 3 3 1 1 2. 2. 1 0 1' 5 525 25 x x x x x x         ⇔ + = ⇔ − + =             Đặt: 3 0 5 x t   = >    . Khi đó: ( ) ( ) ( ) 2 1 1' 2 1 0 1 2 t N t t t L  = ⇔ − − = ⇔  =− . Với 3 1 1 0 5 x t x   = ⇒ = ⇔ =    2/ Giải phương trình: 1 19 13.6 4 0x x x+ +− + = ( )2 ( ) ( ) 2 9 6 3 3 2 9.9 13.6 4.4 0 9. 13. 4 0 9. 13. 4 0 2 ' 4 4 2 2 x x x x x x x                   ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ − + =                           Đặt: 3 0 2 x t   = >    . Khi đó: ( ) ( ) ( ) 2 1 2 ' 9 13 4 0 4 9 t N t t t N  = ⇔ − + = ⇔  = Với 3 1 1 0 2 x t x   = ⇒ = ⇔ =    Với 4 3 4 2 9 2 9 x t x   = ⇒ = ⇔ =−    3/ Giải phương trình: 2 149 2.35 7.5 0x x x+− − = ( )3 ( ) ( ) 2 49 35 7 7 3 49 2.35 35.25 0 2. 35 0 2. 35 0 3 ' 25 25 5 5 x x x x x x x                   ⇔ − − = ⇔ − − = ⇔ − − =                           Thí dụ 2. Giải phương trình mũ (đặt ẩn phụ dạng 2: Chia hai vế cho cơ số lớn nhất hoặc nhỏ nhất) 1/ 25 15 2.9x x x+ = ( )1 2/ 1 19 13.6 4 0x x x+ +− + = ( )2 3/ 2 149 2.35 7.5 0x x x+− − = ( )3 4/ 1 1 1 2.4 6 9x x x+ = ( )4 7KV/¬9ÅQÒR¢Q ZZZ0$7+91FRP3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q ZZZPDWKYQFRP &Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW Đặt: 7 0 5 x t   = >    . Khi đó: ( ) ( ) ( ) 2 7 3 ' 2 35 0 5 t N t t t L  =⇔ − − = ⇔  = − Với 7 5 7 7 7 log 7 5 x t x   = ⇒ = ⇔ =    4/ Giải phương trình: 1 1 1 2.4 6 9x x x+ = ( )4 Điều kiện: 0x ≠ ( ) ( ) 2 1 1 1 4 6 2 2 4 2. 1 0 2. 1 0 4 ' 9 9 3 3 x x x x                     ⇔ + − = ⇔ + − =                           Đặt: 2 0 3 x t   = >    . Khi đó: ( ) ( ) ( ) 2 1 4 ' 2 1 0 1 2 t L t t t N  = − ⇔ + − = ⇔  = Với 2 3 1 2 1 1 log 2 3 2 2 x t x   = ⇒ = ⇔ =    Bài giải tham khảo 1/ Giải phương trình: ( ) ( )2 3 2 3 4 x x + + − = ( )1 Nhận xét: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 . 2 3 1 2 3 . 2 3 1 1 2 3 . 2 3 1 x x x x + − = ⇔ + − = = ⇔ + − =    Đặt: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 12 3 0 2 3 0 2 3 2 3 2 3 x x x x x t t t − = + > ⇒ − = = > ⇒ = = − + − ( ) ( ) ( ) 2 2 3 01 1 4 4 1 0 2 3 0 t N t t t t t N  = + > ⇔ + = ⇔ − + = ⇔   = − >  Với ( )2 3 2 3 2 3 1 x t x= + ⇒ + = + ⇔ = Với ( )2 3 2 3 2 3 1 x t x − = − ⇒ − = − ⇔ = − 2/ Giải phương trình: 3 35 2 6 5 2 6 10 x x      + + − =        ( )2 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 32 5 2 6 5 2 6 10 0 2 ' x x ⇔ + + − − = Thí dụ 3. Giải các phương trình mũ sau (đặt ẩn phụ dạng 3) 1/ ( ) ( )2 3 2 3 4 x x + + − = ( )1 2/ 3 35 2 6 5 2 6 10 x x      + + − =        ( )2 3/ ( ) ( ) 35 21 7 5 21 2 x x x+− + + = ( )3 4/ ( ) ( ) sin sin 8 3 7 8 3 7 16 x x + + − = ( )4 3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q ZZZ0$7+91FRP 7KV/¬9ÅQÒR¢Q &Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW ZZZPDWKYQFRP Nhận xét: ( ) ( ) ( ) ( )3 3 35 2 6 . 5 2 6 1 5 2 6 . 5 2 6 1 1 xx x + − = ⇔ + − = = Đặt: ( ) ( ) ( )3 3 315 2 6 0 5 2 6 5 2 6 x x x t t t − = + > ⇒ − = ⇒ = − ( ) ( ) ( ) 2 5 2 6 01 2 ' 10 0 10 1 0 5 2 6 0 t N t t t t t N  = + > ⇔ + − = ⇔ − + = ⇔   = − >  Với ( ) 35 2 6 5 2 6 5 2 6 1 3 3 x x t x= + ⇒ + = + ⇔ = ⇔ = Với ( ) 35 2 6 5 2 6 5 2 6 1 3 3 x x t x − = − ⇒ − = − ⇔ − = ⇔ = − 3/ Giải phương trình: ( ) ( ) 35 21 7 5 21 2 x x x+− + + = ( )3 Nhận xét: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 5 21 . 5 21 4 5 21 . 5 21 4 5 21 5 21 xx x x x x + − = ⇔ + − = ⇔ − = + Đặt: ( ) ( ) 45 21 0 5 21 0 xx x t t = + > ⇒ − = > ( ) 3 2 4 3 7. 2 7 8.2 4 0 x x x xt t t t +⇔ + = ⇔ − + = ( ) ( ) ( ) 2 4.2 3.2 2 0 7' 16.4 7.4 9.4 3.2 2 0 7 x x x x x x x x t N t N  + = = > ∆ = − = = ⇒   = >  Với ( ) 22 5 21 2 1 0 5 21 x x x xt x   = ⇒ + = ⇔ = ⇔ =   + Với ( ) 2 5 21 2 2 2 5 21 7 log 7 7 7 5 21 x x xx t x      +   = ⇒ + = ⇔ = ⇔ =   + 4/ Giải phương trình: ( ) ( ) sin sin 8 3 7 8 3 7 16 x x + + − = ( )4 Nhận xét: ( ) ( ) ( ) ( ) sin sin sin8 3 7 . 8 3 7 1 8 3 7 . 8 3 7 1 1 x x x+ − = ⇔ + − = = Đặt: ( ) ( ) ( ) sin sin sin1 8 3 7 0 8 3 7 8 3 7 x x x t t t − = + > ⇒ − = ⇒ − = ( ) ( ) ( ) 2 8 3 7 01 4 16 16 1 0 8 3 7 0 t N t t t t t N  = + > ⇔ + = ⇔ − + = ⇔   = − >  Với ( ) ( ) sin 8 3 7 8 3 7 8 3 7 sin 1 2 , 2 x t x x k k π π= + ⇒ + = + ⇔ = ⇔ = + ∈ ℤ Với ( ) ( ) sin 8 3 7 8 3 7 8 3 7 sin 1 , 2 x t x x l l π π − = − ⇒ − = − ⇔ =− ⇔ =− + ∈ ℤ 7KV/¬9ÅQÒR¢Q ZZZ0$7+91FRP3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q ZZZPDWKYQFRP &Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW Bài giải tham khảo 1/ Giải phương trình: ( ) 3 5 2 1x x= − Ta có: 1x = là một nghiệm của phương trình( )1 Mà ( ) 3xf x = đồng biến trên ℝ và ( ) 5 2g x x= − đồng biến trên ℝ . ⇒Phương trình ( )1 có một nghiệm duy nhất là 1x = . 2/ Giải phương trình: 4 3 5x x x+ = ( )2 Ta có: 2x = là một nghiệm của phương trình( )2 ( ) ( ) 4 3 2 1 2 ' 5 5 x x       ⇔ + =         . Xét hàm số: ( ) 4 3 5 5 x x y f x       = = +         , x∀ ∈ ℝ ( ) ( ) 4 4 3 3 ' ' . ln . ln 0, 5 5 5 5 x x y f x x y f x       = = + < ∀ ∈ ⇒ =         ℝ nghịch biến trên ℝ và ( )2 0f = . Với ( ) ( ) ( )2 2 1 2 'x f x f> ⇔ < = ⇒ : vô nghiệm. Với ( ) ( ) ( )2 2 1 2 'x f x f = ⇒ : vô nghiệm. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là: 2x = 3/ Giải phương trình: 2 1 2 2 1 1 22 3 5 2 3 5x x x x x x− + + ++ + = + + ( )3 ( ) 2 1 2 2 1 1 23 2 3 5 2 3 5x x x x x x− + + +⇔ + + = + + 2 2 2 1 12 3 5.5 2 3 5.5 2 x x x x x x+ +⇔ + + = + + ( ) 2 2 2 1 1 12 2.3 10.5 2 2.3 10.5 3 'x x x x x x+ + +⇔ + + = + + dạng ( ) ( )vf u f= SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Xét phương trình: ( ) ( ) ( ) 1f x g x=  Đoán nhận o x là một nghiệm của phương trình ( )1 (thông thường là những số lân cận số 0).  Dựa vào tính đồng biến và nghịch biến của ( )f x và ( )g x để kết luận o x là nghiệm duy nhất: o ( )f x đồng biến và ( )g x nghịch biến (hoặc đồng biến nhưng nghiêm ngặt). o ( )f x đơn điệu và ( )g x c= (hằng số).  Nếu ( )f x đồng biến (hoặc nghịch biến) thì ( ) ( )f u f v u v= ⇔ = .  Lưu ý:  Hàm số bậc nhất: ( ) , 0y ax b a= + ≠ + Đồng biến khi: 0a > + Nghịch biến khi : 0a <  Hàm số mũ: xy a= + Đồng biến khi: 1a > + Nghịch biến khi: 0 1a< < Thí dụ 1. Giải các phương trình mũ sau (sử dụng tính đơn điệu của hàm số) 1/ 3 5 2x x= − 2/ 4 3 5x x x+ = 3/ 2 1 2 2 1 1 22 3 5 2 3 5x x x x x x− + + ++ + = + + 5/ ( ) 3 3 36. 2 3 9.8 4.27x x x x+ = + 3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q ZZZ0$7+91FRP 7KV/¬9ÅQÒR¢Q &Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW ZZZPDWKYQFRP Xét hàm số: ( ) 2 2.3 10.5 ,t t tf t t= + + ∀ ∈ ℝ Ta có: ( ) ( )' 2 . ln2 2.3 . ln 3 10.5 .ln 5 0t t tf t f t= + + > ⇒ đồng biến trênℝ . Phương trình( )3 ' có dạng: ( ) ( )2 1 2 1 1f x f x x x x= + ⇔ = + ⇔ = 4/ Giải phương trình: ( ) 3 3 36. 2 3 9.8 4.27x x x x+ = + ( )4 ( ) ( ) 3 3 3 3 3 2 3 28 274 2 3 2 3 2 3 4 ' 4 9 x x x x x x x x− −⇔ + = + ⇔ + = + dạng ( ) ( )vf u f= Xét hàm số ( ) 2 3 ,t tf t t= + ∀ ∈ ℝ Ta có: ( ) ( )' 2 . ln2 3 . ln 3 0,t tf t t y f x= + > ∀ ∈ ⇒ =ℝ đồng biến trênℝ Phương trình ( )4 ' có dạng: ( ) ( )3 3 3 1 3 2 3 2 3 2 0 2 x f x f x x x x x x  = = − ⇔ = − ⇔ − + = ⇔   = −  Bài giải tham khảo 1/ Giải phương trình: ( ) ( )4 .9 5 .3 1 0x xx x+ − + + = ( )1 Đặt: 3 0xt = > . Khi đó: ( ) ( ) ( )21 4 . 5 . 1 0x t x t⇔ + − + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 5 3 1 2 4 5 4 4 6 9 3 5 3 1 42 4 x x t x x x x x x x x t xx  + + + = =  +∆ = + − + = + + = + ⇒  + − − = = ++ Với 1 3 1 0xt x= ⇒ = ⇔ = Với ( ) ( ) 4 0 41 0 1 3 . 4 1 1'4 3 4 xx x x t xx x  + >   > − = > ⇔ ⇔    + =+ =  + Phương trình ( )1' có một nghiệm là 1x = − . Xét hàm số: ( ) ( ) ( )3 . 4 , 4;xf x x x= + ∀ ∈ − +∞ Ta có: ( ) ( ) ( ) ( )' 3 . 4 . ln 3 3 3 . 4 .ln 3 1 0, 4;x x xf x x x x = + + = + + > ∀ ∈ − +∞   ( )f x⇒ đồng biến ( )4;x∀ ∈ − +∞ và ( ) 1g x = là hàm không đổi. 1x⇒ =− là nghiệm duy nhất của phương trình( )1' Vậy phương trình( )1 có hai nghiệm là 0; 1x x= = − 2/ Giải phương trình: ( ) 2 22 24 7 .2 12 4 0x xx x+ − + − = ( )2 Đặt: 2 2 0xt = > . Khi đó: ( ) ( )2 2 22 7 . 12 4 0t x t x⇔ + − + − = Thí dụ 2. Giải phương trình mũ (đặt ẩn phụ dạng 1, loại không hoàn toàn và kết hợp tính đơn điệu) 1/ ( ) ( )4 .9 5 .3 1 0x xx x+ − + + = 2/ ( ) 2 22 24 7 .2 12 4 0x xx x+ − + − = 7KV/¬9ÅQÒR¢Q ZZZ0$7+91FRP3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q ZZZPDWKYQFRP &Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 7 1 4 27 4 12 4 2 1 1 7 1 3 2 x x t x x x x x x x t x  − + + = = ∆ = − − − = + + = + ⇒  − − − = = −  Với 2 2 24 2 4 2 2 2xt x x= ⇒ = = ⇔ = ⇔ = ± Với ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 0 3; 3 3 0 2 3 2 3 2 ' x x x x t x x x  − > ∈ − = − > ⇔ ⇔   = − + =   Xét hàm số ( ) ( ) 2 22 , 3; 3xf x x x= + ∀ ∈ − ( ) ( ) 2 2 ' 2 .2 . ln2 2 2 2 .ln2 2x xf x x x x= + = + . Cho ( ) ( ) 2 2 2 0 ' 0 2 . ln2 2 0 : 2 .ln2 2 0,x x x f x VN do x  = = ⇔  + = + > ∀ ∈  ℝ 0x⇔ = Bảng biến thiên: x −∞ 3− 0 3 +∞ ( )'f x – 0 + ( )f x 11 11 1 Với ( )3;0x ∈ − ( )' 0f x⇒ < : ( )f x nghịch biến. Nếu ( ) ( ) ( )1 1 3 2 ' :x f x f − = ⇒ vô nghiệm. Nếu ( ) ( ) ( )1 1 3 2 ' :x f x f>− ⇔ < − = ⇒ vô nghiệm. ⇒ ( )3;0x ∈ − thì phương trình( )2 ' có nghiệm duy nhất là 1x = − . Với ( ) ( )0; ' 0 :x f x∈ +∞ ⇒ > ( )f x đồng biến. Nếu ( ) ( ) ( )1 1 3 2 ' :x f x f< ⇔ < = ⇒ vô nghiệm. Nếu ( ) ( ) ( )1 1 3 2 ' :x f x f> ⇔ > = ⇒ vô nghiệm. ⇒ ( )0;x ∈ +∞ thì phương trình ( )2 ' có nghiệm duy nhất là 1x = . Vậy phương trình( )2 có 4 nghiệm là: 1; 2x x= ± = ± ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH, TỔNG HAI SỐ KHÔNG ÂM VÀ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2  Phương trình tích: 0 . 0 0 A AB B  == ⇔  =  Tổng hai số không âm: 2 2 0 0 0 A A B B  =+ = ⇔   =  Phương pháp đối lập: Xét phương trình: ( ) ( ) ( ) 1f x g x= Nếu ta chứng minh được ( ) ( ) f x M g x M  ≥   ≤ thì ( ) ( ) 1 ( ) f x M g x M  =⇔   = 3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q ZZZ0$7+91FRP 7KV/¬9ÅQÒR¢Q &Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW ZZZPDWKYQFRP Bài giải tham khảo 1/ Giải phương trình: 25.2 10 5 25x x x− + = ( )1 ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 25.2 25 2 .5 5 0 25 2 1 5 2 1 0 2 1 25 5 0 2 1 0 2 1 0 225 5 0 5 25 x x x x x x x x x x x x x x x ⇔ − − + = ⇔ − − − = ⇔ − − =   − = = =  ⇔ ⇔ ⇔   =− = =    2/ Giải phương trình: 112.3 3.15 5 20x x x++ − = ( )2 ( ) ( ) ( ) ( )( ) 3 2 12.3 3.3 .5 5.5 20 0 3.3 4 5 5 5 4 0 5 4 0 : 5 4 0, 5 5 5 4 3.3 5 0 3 log 3.3 5 0 3 3 x x x x x x x x x x x x x VN do x x ⇔ + − − = ⇔ + − + =  + = + > ∀ ∈⇔ + − = ⇔ ⇔ = ⇔ = − = ℝ 1/ Giải phương trình: ( ) ( )2 12 3 3 1 4.3 1x xx x+− = − − ( )1 Cách 1: Nghiệm của phương trình bậc 2 (theo x ) ( ) ( )21 2 3 1 4.3 . 6.3 1 0x xx x⇔ − − − + = ( ) ( ) ( ) 2 9 1 8.3 16.9 8 6.3 1 144.9 24.3 1 12.3 1x x x x x x∆ = − + − − + = − + = − ( ) 3 12.3 12.3 1 1 1 4 2 3 12.3 12.3 1 11 6.3 3 1' 4 6 6 x x x x x x x x x x  − + −  = = = ⇒ ⇔ − − + = = − = −   Ta có: 1x = − là một nghiệm của phương trình ( )1' Hàm số ( ) 3xf x = đồng biến x∀ ∈ ℝ Hàm số 1 6 6 x y = − nghịch biến x∀ ∈ ℝ Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: 1 1; 2 x x= − = Cách 2: Đưa về phương trình tích loại phân tích thành nhân tử ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 2 3 1 6.3 . 2 1 0 2 1 6.3 . 2 1 0 2 x xx x x x x x   ⇔ − + + − = ⇔ − − + − =    Thí dụ 1. Giải phương trình (đưa về phương trình tích số) 1/ 25.2 10 5 25x x x− + = ( )1 2/ 112.3 3.15 5 20x x x++ − = ( )2 Thí dụ 2. Giải các phương trình mũ sau (đưa về phương trình tích hoặc nghiệm của phương trình bậc 2) 1/ ( ) ( )2 12 3 3 1 4.3 1x xx x+− = − − 2/ ( )2 1 1 1.5 3 3.5 2.5 3 0x x x x xx x− − −− − + − = ⇒ 1x = − là nghiệm duy nhất của phương trình( )1' 7KV/¬9ÅQÒR¢Q ZZZ0$7+91FRP3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q ZZZPDWKYQFRP &Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW ( )( ) ( ) 1 22 1 1 6.3 0 1 3 1' 6 6 x x x x x x   = ⇔ − − + = ⇔⇔   = −  . Tương tự cách 1. 2/ Giải phương trình: ( )2 1 1 1.5 3 3.5 2.5 3 0x x x x xx x− − −− − + − = ( )2 Cách 1: Nghiệm của phương trình bậc 2 (theo x ) ( ) ( )22 5 . 5.3 3.5 . 2.5 5.3 0x x x x xx x⇔ − − + − = ( ) ( ) ( ) 2 2 5.3 3.5 4.5 . 2.5 5.3 5.3 5x x x x x x x∆ = − − − = − ( ) 11 3 3 22 5. 2 ' 5 5 5 x xx x x  = −= −    ⇒ ⇔   + = − +   =        Phương trình ( )2 ' có một nghiệm là 1x = Hàm số ( ) 3 5 x f x   =     nghịch biến x∀ ∈ ℝ Hàm số ( ) 1 2 5 5 g x x= + đồng biến x∀ ∈ ℝ Vậy nghiệm của phương trình( )2 là 1x = ± Cách 2: Đưa về phương trình tích loại phân tích thành nhân tử ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 3 2 .5 5 1 .3 0 1 2 .5 5.3 0 3 2 5 5 xx x x x x x x x x x x  = −  ⇔ + + − + = ⇔ + + − = ⇔   +     =    Tương tự như cách 1. Bài giải tham khảo 1/ Giải phương trình: 2cos5 sinx x= ( )1 Ta có: 2 2 2 2 cos 2cos 2 cos 0 cos 5 sin cos 05 1 cos 0 5 5 5 1 , sin 1sin 1 2 sin 1 x x x x x x x x k k xx x π π =      ==  ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇒ ⇔ ⇔ = + ∈      ==  ≤  ( )ℤ 2/ Giải phương trình: 2 2sin cos4 4 6 cos2x x x+ = + ( )2 Xét hàm số: ( ) 6 cos2f x x= + Ta có: 1 cos2 1 5 6 cos2 7x x− ≤ ≤ ⇔ ≤ + ≤ Xét hàm số: ( ) 2 2 2 2 sin cos sin sin 4 4 4 4 4 x x x x g x = + = + Đặt ( ) 2 2sin 2 0 sin 14 , 0 sin 1 4 4 4 1;4x xt x Hay t  = ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ∈    1x = ⇒ là nghiệm duy nhất của phương trình( )1' Thí dụ 3. Giải phương trình (dùng phương pháp đối lập) 1/ 2cos5 sinx x= ( )1 2/ 2 2sin cos4 4 6 cos2x x x+ = + ( )2 3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q ZZZ0$7+91FRP 7KV/¬9ÅQÒR¢Q &Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW ZZZPDWKYQFRP Khi đó, ( )g x được viết lại là ( ) 4 , 1;4g t t t t  = + ∀ ∈    ( ) ( ) 2 2 2 2 1;44 4 ' 1 . ' 0 2 1;4 tt g t Cho g t tt t   = − ∉−    = − = = ⇔   = ∈    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1;4 1;4 max max 51 5 2 4 min min 4 4 5 g t g xg g g t g x g             = ==    ⇒ = ⇒    = =  =   . Hay 2 2sin cos4 4 4 5x x≤ + ≤ Lúc đó: ( ) 2 2 2 2 2 2 sin cos 2 sin cos sin cos 4 4 6 cos2 6 cos2 5 sin 0 6 cos2 5 , cos2 14 4 2 4 4 5 x x x x x x x x x x x k k x π π  + = +    + = =   + ≥ ⇔ ⇔ ⇔ = + ∈      = −+   + ≤ ℤ 2. Bài tập rèn luyện Bài 1. Giải các phương trình mũ sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hóa) 1/ 314 16x+ = 2/ 1 2 3 3 12 .3 6x x x+ + += 3/ 22 5 2 12 8x x x+ + += 4/ 15 .8 100x x+ = 5/ 3 1 8 29 3x x− −= 6/ 1 22 .3 .5 200x x x+ − = 7/ 2 25 125 5 8 64 x x        =         8/ 5 17 7 332 0,25.125 x x x x + + − −= 9/ 228 36.3 x xx −+ = 10/ 2 13 3 18x x+ +− = 11/ 1 2 3 15 5 5 3 3 3x x x x x x+ + + ++ + = + + 12/ 1 12.3 6.3 3 9x x x+ −− − = 13/ ( ) 2 3 2 2 3 2 2 x − = + 14/ ( ) ( ) 1 1 15 2 5 2 x x x − − ++ = − 15/ 1 5 .8 500 x xx − = 16/ x xx x= 17/ ( ) 1 22 1 x x x − − = 18/ ( ) 2 2 1 x x x − − = 19/ ( ) 2 1 2 1 1 x x x − − + = 20/ ( ) 3 1 1 x x − + = 21/ ( ) ( ) 2 5 4 4 2 23 3 x x x x x − + + + = + Bài 2. Giải các phương trình mũ sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hóa) 1/ 2 8 1 32 4x x x− + −= 2/ 1 2 3 43 3 3 3 750x x x x+ − − −+ − + = 3/ 2 2 .4 256x x = 4/ 2 .5 0, 01x x = 5/ 2 . 3 216x x = 6/ 1 22 .3 .5 12x x x− − = 7/ 2 3 1 3 3 3 81 xx +    =        8/ 21 2 11 9 5 9 5 . 3 25 3 x x x+ + −            =                9/ ( ) 1 5 7 2 1,5 3 x x + −   =     10/ 2 1 1 1 2 .4 64 8 x x x − + − = 11/ 1 3 1 20 60 4 .3 .5 27 x x x+ − + = 12/ 3 2 3 1 15 1 1 3 9 x x + + = 13/ ( ) 5 2 3 1 0,75 1 3 x x − −   =     14/ 2 2 3 11 7 7 x x x − − +    =    15/ 2 56 22 16 2 x x− − = 16/ 2 4 22 5x x− −= 17/ 2 1 2 24 4 4 3 3x x x x x− + + −+ + = − 18/ 1 13 6 .2 .3x x x x− − += 19/ 2 5 65 1x x− − = 20/ 2 2 2 21 2 12 2 3 3x x x x− + −+ = + 21/ 4 6 3 45 25x x− −= 22/ cos 2 cos 2 1 2 0 2.2 x x − = 23/ ( ) ( ) 2 2 2 22 1 2 24 32 2 2 2 1 x xx x+ ++ += + − + 24/ 2 1 2 15 3.5 550x x+ −− = 7KV/¬9ÅQÒR¢Q ZZZ0$7+91FRP3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q ZZZPDWKYQFRP &Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW 25/ 2 1 12 2 1 2 1x x x+ + +− − = + 26/ 2 3 71 1 2 2 416 0,25.2 x x x x − − + − −= 27/ 1 2 2 23 18 .2 .3x x x x+ − += 28/ 3 32 . 4 . 0,125 0,25x x x = 29/ ( ) ( ) 3 1 1 310 3 10 3 x x x x − + − ++ = − 30/ 1 23.2 5.2 2 21x x x+ ++ − = 31/ ( ) 2 1 1 3 22 2 4 x x x − +     =     32/ 2 4 31 13 99 3 9 x x x − − −       + = +         33/ ( ) 1 1 5 5 1 1 2 .4 2 x x xx+ +     =     Bài 3. Giải các phương trình mũ sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hóa). 1/ 1 13 3 3 9477x x x− ++ + = 2/ 1 1 35 5 2 2x x x x+ + +− = + 3/ 1 1 22 3 3 2x x x x− − +− = − 4/ 1 2 1 25 5 5 7 7 7x x x x x x+ + + ++ + = + − 5/ 9 7 2 5 42 22 3 3 4 x x x x + + + +− = − 6/ 2 2 1 1 1 3.4 .9 6.4 .9 3 2 x x x x+ + ++ = − 7/ 3 1 2 12 29 2 2 3 x x x x + + −− = − 8/ 1 1 2 12 24 3 3 2 x x x x − − − − − −− = − 9/ 1 1 2 22 25 9 3 5 x x xx + − −− = − 10/ 2 3 24 10.3 2.3 11.2x x x x+ +− = − 11/ ( ) ( )2 2 3 2 1 2 0x xx x− − + − = 12/ 3 2 32 1 2 1.2 2 .2 2x xx xx x− + −+ −+ = + 13/ 2 3 7 3 16 2 .3x x x+ + −= 14/ 3 3 2 23 .7 3 .7x x x x+ + = 15/ 2 3 2 3 5 53 .5 5 .3x x x x+ + = 16/ 1 2 2 93 .2 12x x x− − −= 17/ 228 36.3 x xx −+ = 18/ 2 5 6 15 2x x x− + −= 19/ 1 2 .5 10 x x x − = 20/ 2 4 43 2x x x− −= 21/ 2 14.3 5.3 7.3 40x x x+ ++ − = 22/ 2 6 72 2 17 0x x+ ++ − = 23/ 2 1 15 5 250x x− ++ = 24/ 1 35 5 26x x− −+ = 25/ 4 2 12 2 5 3.5x x x x+ + ++ = + 26/ 1 15 6.5 3.5 52x x x+ −+ − = Bài 4. Giải các phương trình mũ sau (đặt ẩn phụ dạng 1, loại đặt ẩn phụ hoàn toàn). 1/ 14 2 8 0x x++ − = 2/ 1 14 6.2 8 0x x+ +− + = 3/ 4 8 2 53 4.3 27 0x x+ +− + = 4/ 16 17.4 16 0x x− + = 5/ 149 7 8 0x x++ − = 6/ 2 222 2 3x x x x− + −− = 7/ ( ) ( )7 4 3 2 3 6 x x + + + = 8/ 2cos 2 cos4 4 3x x+ = 9/ 2 5 13 36.3 9 0x x+ +− + = 10/ 2 22 24 9.2 8 0x x+ ++ + = 11/ 2 22 2 13 28.3 9 0x x x x+ + +− + = 12/ 2 1 13.5 2.5 0,2x x− −− = 13/ 2 2sin cos2 4.2 6x x+ = 14/ 2 24 16 10.2x x− −+ = 15/ 15 5 4 0x x−− + = 16/ 1 1 1 8 2 18 2 2 2 2 2 2 x x x x x− − − + = + + + Bài 5. Giải các phương trình mũ sau (đặt ẩn phụ dạng 1, loại đặt ẩn phụ hoàn toàn). 1/ 9 5.3 6 0x x− + = 2/ 2 22 2 15 0x x+ −− − = 3/ 2 24 3x xe e−− = 4/ 2 21 39 36.3 3 0x x− −− + = 5/ 2 24 16 10.2x x− −+ = 6/ 1 24 2 3 0x x+ ++ − = 3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q ZZZ0$7+91FRP 7KV/¬9ÅQÒR¢Q &Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW ZZZPDWKYQFRP 7/ 6 33. 2 0x xe e− + = 8/ 8 2.4 2 2 0x x x− + + − = 9/ 2 2sin cos81 81 30x x+ = 10/ 1 4 24 2 2 16x x x+ + ++ = + 11/ 9 25.3 7 0x x− + = 12/ 25 23.5 5 0x x− − = 13/ 1 325 6.5 5 0x x+− + = 14/ 213 6.13 5 0x x− + = 15/ 2 1 1 1 3.5 2.5 5 x x− −− = 16/ 4 3 3 4 7 2 x x − − = − 17/ ( )2 13 82.3 9 0x x+ − + = 18/ 2 13 9 4x x+ ++ = 19/ 2 21 19 3 6 0x x− +− − = 20/ ( ) ( ) 10 5 103 3 84 0 x x− + − = 21/ 2 22 1 24 5.2 6x x x x+ − − + −− = 22/ 18 3.4 3.2 8 0x x x+− − + = 23/ 2 3 1 24 2 2 16 0x x x+ ++ + − = 24/ 2 23 3 30x x+ −+ = 25/ 3 44 2 6x x−+ = 26/ 13 3 4 0x x−− + = 27/ 2 3 1 2 5 15 5 x x − − = + 28/ ( ) 2 51 2 9 4 x x − −= + 29/ ( ) 3 5 21 6 12 6 x x − −= − 30/ ( ) 23 2. 0,3 3 100 x x x = + 31/ 2 21 110 10 99x x+ −− = 32/ 2 21 15 5 24x x+ −− = 33/ 2 22 2 19 7.3 2x x x x x x− − − − −− = 34/ 3 1 5 35.2 3.2 7 0x x− −− + = 35/ 2 2 9 10 4 42 x x− + = 36/ 1 1 1 23.2 8.2 4 0 x x x − − + − + = 37/ 4 4 18.3 9 9x x x x+ ++ = 38/ 2 22 1 24 5.2 6 0x x x x+ − − + −− − = 39/ 3 2cos 1 cos4 7.4 2 0x x+ +− − = 40/ (7 4 3) 3(2 3) 2 0x x+ − − + = 41/ 2 3 3 8 2 12 0 x x x + − + = 42/ cos sin lg7 2 sin 2 cos 1 2 sin 2 cos 112 5 0 10 x x x x x − − − + − +   − + =    Bài 6. Giải các phương trình mũ sau (đặt ẩn số dạng 1, loại đặt ẩn phụ không hoàn toàn). 1/ ( )2 23.16 3 10 .4 3 0x xx x− −− − + − = 2/ 38 .2 2 0x xx x−− + − = 3/ ( ) ( ) 2 22 29 3 .3 2 1 0x xx x+ − + − = 4/ ( )23 2 2 .3 2 9 0x xx x+ − + − = 5/ ( )2 3 23 3 10 .3 3 0x xx x− −− − + − = 6/ 1 1 4 2 .2 6 9x xx x+ − = 7/ ( )25 2 3 .5 2 7 0x xx x− − + − = 8/ ( )2 23.25 3 10 .5 3 0x xx x− −+ − + − = 9/ ( )3.4 3 10 .2 3 0x xx x+ − + − = 10/ ( )9 2 2 .3 2 5 0x xx x+ − + − = 11/ ( )2 23.25 3 10 .5 3 0x xx x− −+ − + − = 12/ 2 1 24 3 3 2.3 . 2 6x x xx x x++ + = + + 13/ ( )4 8 2 12 2 0x xx x+ − + − = 14/ ( ) ( )4 .9 5 .3 1 0x xx x+ − + + = 15/ ( ) 2 22 24 7 .2 12 4 0x xx x+ − + − = 16/ ( ) ( )9 2 .3 2 4 0x xx x− −− + − + = Bài 7. Giải các phương trình mũ sau (đặt ẩn phụ dạng 2: chia hai vế cho cơ số lớn nhất hoặc nhỏ nhất). 1/ 8 18 2.27x x x+ = 2/ 4.9 12 3.16 0x x x+ − = 7KV/¬9ÅQÒR¢Q ZZZ0$7+91FRP3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q ZZZPDWKYQFRP &Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW 3/ 18.4 9 6x x x++ = 4/ 2 21 39 36.3 3 0x x− −− + = 5/ 3 1125 50 2x x x++ = 6/ 6.9 13.6 6.4 0x x x− + = 7/ 24.3 9.2 5.6 x x x− = 8/ 4 2.6 3.9x x x− = 9/ 64.9 84.12 27.16 0x x x− + = 10/ 1 1 1 4 6 9x x x − − − + = 11/ 3.16 2.81 5.36x x x+ = 12/ 2 125 10 2x x x++ = 13/ 27 12 2.8x x x+ = 14/ 1 1 1 6.9 13.6 6.4 0x x x− + = 15/ 2 26.3 13.6 6.2 0x x x− + = 16/ 3.16 2.81 5.36x x x+ = 17/ 1 1 1 2.4 6 9x x x+ = 18/ ( ) ( )( ) ( )7 5 2 2 5 3 2 2 3 1 2 1 2 0 x x x + + − + + + + − = Bài 8. Giải các phương trình mũ sau (đặt ẩn phụ dạng 3). 1/ ( ) ( ) 2 2 2 3 2 3 4 x x + + − = 2/ 7 48 7 48 14 x x      + + − =        3/ 5 2 6 5 2 6 10 x x      + + − =        4/ ( ) ( ) 26. 5 1 2 5 1 2 x x x++ − − = 5/ 3 33 8 3 8 6 x x      + + − =        6/ ( ) ( ) tan tan 8 3 7 8 3 7 16 x x + + − = 7/ ( )4 15 4 15 2 2 x x x     − + + =        8/ 3 33 8 3 8 6 0 x x      + + − − =        9/ ( ) ( )2 3 2 3 14 x x − + + = 10/ 2 3 2 3 4 x x      + + − =        11/ ( ) ( )( )2 3 7 4 3 2 3 4 x x + + + − = 12/ ( )( ) ( ) 32 3 5 21 7 5 21 2 x x x++ − + − = 13/ ( ) ( )7 4 3 3. 2 3 2 0 x x + − − + = 14/ 7 3 5 7 3 5 7. 8 2 2 x x    +  −    + =          15/ 6 35 6 35 12 x x      − + + =        16/ ( ) ( ) ( ) 2 21 2 1 4 2 3 2 3 2 3 x x x− − − + + − = − 17/ ( ) ( ) 33 5 16. 3 5 2 x x x++ + − = 18/ ( ) ( )3 5 3 5 7.2 0 x x x+ + − − = Bài 9. Giải các phương trình mũ sau (đưa về phương trình tích hoặc phương pháp đánh giá). 1/ 25.2 10 5 25x x x− + = 2/ 8 2.4 2 2 0x x x− + + − = 3/ 3.8 4.12 18 2.27 0x x x x+ − − = 4/ ( ) ( )2 1 1.3 3 2 2 2 3x x x x xx x− −+ − = − 5/ 22 sinx x= 6/ ( ) 2 2 212 3 2 x x x−+ = 7/ 4 216 2 2x xx −− = + 8/ 2 cos2 2sin .2 0,5.sin 2 cos2 1xx x x+ + = 9/ 2 1 15 7 175 35 0x x x+ ++ − − = 10/ 3 6 3 42 1 2 1.2 2 .2 2x xx xx x− + − +− ++ = + 11/ 2 2 22 4.2 2 4 0x x x x x+ −− − + = 12/ 38 .2 2 0x xx x−− + − = 15/ 2 3 1 6x x x+ = + 14/ 2 2 23 2 6 5 2 3 74 4 4 1x x x x x x− + + + + ++ = + 3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q ZZZ0$7+91FRP 7KV/¬9ÅQÒR¢Q &Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW ZZZPDWKYQFRP 15/ ( ) 2 2 2 114 2 2 1 xx x x ++ −+ = + 16/ ( ) ( )2 1 1.3 3 2 2 2 3x x x x xx x− −+ − = − 17/ ( )sin 1 sin4 2 cos 2 0yx x xy+− + = 18/ ( ) ( ) 2 2 2 22 21 12 2 2 .2 1 0 x x x xx x+ +− −+ − − = 19/ 23 2 3 2x x x+ = − + 20/ 2 3 2.3 3 .(12 7 ) 8 19 12x xx x x x x+ − = − + − + 21/ ( ) 42 cos , 0x x x= ≥ 22/ 2 6 10 23 6 6x x x x− + = − + − 23/ sin 3 cos x x= 24/ 3 22 cos 3 3 2 x xx x −  −   = +    25/ 2 3 cos2x x= 26/ 2 2 2 12 x x x x − += 27/ 2 5 cos 3x x= 28/ 2 22 10 10( 4 ) (4 )x xx x x− −− = − Bài 10. Giải các phương trình mũ sau (sử dụng tính đồng biến và nghịch biến) 1/ 1 1 2 2 x x    = −    2/ 1 3 3 x x    = −    3/ 1 1 3 x x    = +    4/ 22 3 1 x x = + 5/ 2 2x x= + 6/ 67 2x x− = + 7/ 3 11x x= − 8/ 2 3 10 0x x− + + = 9/ 3 5 2x x= − 10/ 12 4 1x x x+ − = − 11/ 3 4x x= − 12/ 12 4 1x x x+ − = − 13/ 4 7 9 2x x x+ = + 14/ 6 2 5 3x x x x+ = + 15/ 2 1 35 5 1 0x x x+ − − + = 16/ 3 8 4 7x x x x+ = + 17/ 3 7 2 5 5 x x    + =    18/ 2 5 7x x x+ = 19/ 2 3 5 10x x x x+ + = 20/ ( )9 2 2 3 2 5 0x xx x+ − + − = 21/ ( ) ( ) ( )3 2 3 2 5 x x x − + + = 22/ ( ) ( )3 2 2 3 2 2 6 x x x+ + − = 23/ ( ) ( ) 33 5 16. 3 5 2 x x x++ + − = 24/ 3 3 2 2 6 2 6x x x x x x− − −− + − − = − + 25/ ( ) ( )2 3 2 3 4 x x x− + + = 26/ 2 3 2 3 2 x x x     + + − =        27/ 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 x x x x x x − − − − = 28/ 9 15 10 14x x x x+ = + 29/ 21 22 2 ( 1)x x x x− −− = − 30/ 3 22 8 14x x x− = − + − 31/ ( )3.4 3 10 .2 3 0x xx x+ − + − = 32/ 2 2 cos2 sin cos cos2 1(2 2) (2 2) (2 2) 1 2 x x x x   + − + + − = +    Bài 11. Tìm tham số m để các phương trình sau có nghiệm: 1/ 9 3 0x x m+ + = 2/ 9 .3 1 0x xm+ − = 7KV/¬9ÅQÒR¢Q ZZZ0$7+91FRP3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q ZZZPDWKYQFRP &Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW 3/ 14 2x x m+− = 4/ ( )2 1 .2 0x xm m−+ + + = 5/ 25 2.5 2 0x x m− − − = 6/ ( ) 216 1 .2 1 0x xm m− − + − = 7/ 25 .5 1 2 0x xm m+ + − = 8/ 2 2sin cos81 81x x m+ = 9/ 2 24 2 23 2.3 2 3 0x x m− −− + − = 10/ 1 3 1 34 14.2 8x x x x m+ + − + + −− + = 11/ 2 21 19 8.3 4x x x x m+ − + −− + = 12/ ( ) 2 21 1 1 19 2 .3 2 1 0x xm m+ − + −− + + + = 3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q ZZZ0$7+91FRP 7KV/¬9ÅQÒR¢Q &Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW ZZZPDWKYQFRP Bài 12. Tìm tham số m để các phương trình sau có nghiệm duy nhất. 1/ .2 2 5 0x xm −+ − = 2/ .16 2.81 5.36x x xm + = 3/ ( ) ( )5 1 . 5 1 2 x x xm+ + − = 4/ 7 3 5 7 3 5 . 8 2 2 x x m    +  −    + =          5/ 34 2 3x x m+− + = 6/ 9 .3 1 0x xm+ + = Bài 13. Tìm tham sốm để các phương trình mũ sau có hai nghiệm phân biệt trái dấu 1/ ( ) 249 1 .7 2 0x xm m m+ − + − = 2/ ( ) ( ) 11 .4 3 2 .2 3 1 0x xm m m++ + − − + = 3/ ( )9 3 1 .3 5 2 0x xm m+ − − + = 4/ ( ) ( )3 .16 2 1 .4 1 0x xm m m+ + − + + = 5/ ( )4 2 1 .2 3 8 0x xm m− + + − = 6/ 4 2 6x x m− + = Bài 14. Tìm tham sốm để các phương trình: 1/ .16 2.81 5.36x x xm + = có hai nghiệm dương phân biệt. 2/ ( )16 .8 2 1 .4 .2x x x xm m m− + − = có ba nghiệm phân biệt. 3/ 2 2 24 2 6x x m+− + = có ba nghiệm phân biệt. 4/ 2 2 9 4.3 8x x m− + = có ba nghiệm phân biệt. Bài 15. Giải phương trình và tìm tham số. 1/ Cho phương trình: ( ) ( )2 3 2 3 x x m+ + − = ( )∗ a/ Giải phương trình( )∗ khi 4m = . b/ Tìm m sao cho phương trình( )∗ có 2 nghiệm phân biệt. 2/ Cho phương trình: ( )4 4 2 1 0x xm− − = ( )∗ a/ Giải phương trình( )∗ khi 1m = . b/ Tìmm để phương trình ( )∗ có nghiệm. 3/ Cho phương trình: ( ).9 3 1 3 5 2 0x xm m m+ − − + = ( )∗ a/ Giải phương trình( )∗ khi 2m = . b/ Tìmm để phương trình ( )∗ có 2 nghiệm trái dấu. 4/ Cho phương trình: .16 2.81 5.36x x xm + = ( )∗ a/ Giải phương trình( )∗ khi 3m = b/ Tìmm để phương trình ( )∗ có duy nhất một nghiệm. 5/ Cho phương trình: 2 2 21 1 3 x x m m −    = + +    ( )∗ a/ Giải phương trình ( )∗ khi 1m = − b/ Tìmm để phương trình( )∗ có 4 nghiệm phân biệt. 6/ Cho phương trình: 4 4 .2 2 2 0x xm m+ + + = ( )∗ 7KV/¬9ÅQÒR¢Q ZZZ0$7+91FRP3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q ZZZPDWKYQFRP &Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW a/ Giải phương trình ( )∗ khi 1m = − . b/ Giải và biện luận phương trình ( )∗ theo tham sốm . 7/ Cho phương trình: 7 3 5 7 3 5 8 2 2 x x m    +  −    + =          ( )∗ a/ Giải phương trình ( )∗ khi 7m = . b/ Biện luận theom số nghiệm của phương trình( )∗ . 8/ Tìm tham sốm để phương trình 2 4 3 4 21 1 5 x x m m − +    = − +    có 4 nghiệm phân biệt. 9/ Cho phương trình: ( ) 24 2 1 .2 0x xm m m− + + + = ( )∗ a/ Giải phương trình ( )∗ khi 1m = và 1 2 m =− . b/ Tìm tham sốm để phương trình( )∗ có nghiệm. c/ Giải và biện luận phương trình đã cho. 10/ Cho phương trình: ( ) ( ) .4 2 1 .2 4 0x xm m m− + + + = ∗ a/ Giải phương trình( )∗ khi 0m = và 1m = . b/ Tìm tham sốm để phương trình( )∗ có nghiệm. c/ Tìm tham sốm để phương trình( )∗ có nghiệm 1;1x  ∈ −   . 11/ Cho phương trình: 14 .2 2 0x xm m+− + = ( )∗ a/ Giải phương trình ( )∗ khi 2m = . b/ Tìm tham sốm để phương trình( )∗ có hai nghiệm phân biệt 1 2,x x và thỏa mãn 1 2 3x x+ = . 12/ Tìm tham sốm để hàm số: ( ) ( ) 2 2 2 cos 1 sin 3 3 1 1 . 2 2 2 x x x x y f x m m − + − + − = =   − + +    nhận giá trị âm với mọi x . 3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q ZZZ0$7+91FRP 7KV/¬9ÅQÒR¢Q &Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW ZZZPDWKYQFRP Bài 5: PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 
 1. Phương trình logarit cơ bản Với 0, 1 : log b a a a x b x a> ≠ = ⇔ = 2. Một số phương pháp giải phương trình logarit  Đưa về cùng cơ số: Với 0, 1 :a a> ≠ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) log log 0 0a a f x g x f x g x f x hay g x  == ⇔   > >  Mũ hóa: Với ( ) ( ) ( ) ( ) 0, 1 : log g xaa a f x g x f x a> ≠ = ⇔ =  Đặt ẩn phụ.  Sử dụng tính đơn điệu của hàm số.  Đưa về phương trình dạng đặt biệt.  Phương pháp đối lập. 3. Lưu ý  Khi giải phương trình logarit, cần chú ý đến điều kiện để phương trình có nghĩa. Nếu điều kiện ấy quá phức tạp, ta không nên tìm ra chi tiết. Hiển nhiên, khi tìm được nghiệm nên thế vào điều kiện để kiểm tra nghiệm.  Với , , 0a b c > và , , 1a b c ≠ thì: log log log b b a c a b a c b a  =  =  Các công thức logarit thường sử dụng: ( )CT.1 log log log .a a ab c b c+ = CT.2 log log loga a a b b c c   − =     CT.3 . log log .log a a a b b b β β β =   CT 1.4 log .log aa b b β β = CT. 15 log loga b b a = CT. log 6 log log a b a c c b = 4. Một số thí dụ Bài giải tham khảo 1/ Giải phương trình: ( )3log 2 1 2x − = − ( )1 Thí dụ 1. Giải các phương trình logarit sau (áp dụng công thức logarit đưa về cùng cơ số). 1/ ( )3log 2 1 2x − = − 2/ ( ) ( )2 2log 2 log 2 2x x+ − − = 3/ ( ) ( ) ( )2log 2 3 lg 3 lg 1x x x x+ − + + = − 4/ ( ) ( )25 5 52 log 3 11 log 27 3 log 8x x− + − = + 5/ 3 3 5 0,2 25 log log log 7x x x+ + = 6/ ( )2 2log log 1 1x x+ − = 7/ ( )22 2 5 log log 25 0 5 x x x − + − = + 8/ ( ) ( )4 2 2 4log log log log 2x x+ = Nếu β lẻ Nếu β chẳn 7KV/¬9ÅQÒR¢Q ZZZ0$7+91FRP3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q ZZZPDWKYQFRP &Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW Điều kiện: 1 2 1 0 2 x x− > ⇔ > ( ) ( ) ( ) 22 2 1 5 1 log 2 1 log 2 2 1 4 8 x x x N−⇔ − = ⇔ − = ⇔ = 2/ Giải phương trình: ( ) ( )2 2log 2 log 2 2x x+ − − = ( )2 Điều kiện: 2 0 2 2 2 0 2 x x x x x   + > >− ⇔ ⇔ >   − > >   ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 log 2 2 log 4 2 2 4 8 2 2 x N x x x x x x L  = ⇔ + − = ⇔ + − = ⇔ = ⇔   = − 3/ Giải phương trình: ( ) ( ) ( )2log 2 3 lg 3 lg 1x x x x+ − + + = − ( )3 Điều kiện: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ; 3 1;2 3 0 3 0 3; 1; 1 0 1; xx x x x x x x   ∈ −∞ − ∪ +∞+ − >    + > ⇔ ∈ − +∞ ⇔ ∈ +∞    − >  ∈ +∞   ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )2 210 103 log 2 3 3 log 1 2 3 3 1x x x x x x x x⇔ + − + = − ⇔ + − + = − ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 3 1 0 1 6 8 0 2 2 : 4 x L x x x x x x x L VN x L  =  ⇔ − + − − = ⇔ − + + = ⇔ =− ⇒  = −  4/ Giải phương trình: ( ) ( )25 5 52 log 3 11 log 27 3 log 8x x− + − = + Điều kiện: 113 11 0 273 27 0 27 x x x x x   − > > ⇔ ⇔ >   − >  >  ( ) ( ) ( )2 35 5 554 2 log 3 11 log 27 log 5 log 8x x⇔ − + − = + ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 5 5 5 5 5 5 2 1 2. log 3 11 log 27 log 125 log 8 log 3 11 27 log 1000 2 19 3 11 27 1000 3 92 703 0 3 37 x x x x x L x x x x x N ⇔ − + − = + ⇔ − − =   = − ⇔ − − = ⇔ − − = ⇔   =  5/ Giải phương trình: 3 3 5 0,2 25 log log log 7x x x+ + = ( )5 Điều kiện: 0x > ( ) 1 2 3 3 5 5 5 55 5 5 5 5 3 5 log log log 7 3 log log log 7 2 3 7 3 1 log 7 log 7 log 2 25 2 2 x x x x x x x x x x −⇔ + + = ⇔ − + =   ⇔ − + = ⇔ = ⇔ = ⇔ =    6/ Giải phương trình: 1 2 2 log log 1x x−+ = ( )6 Điều kiện: 0 0 1 1 0 1 x x x x x   > > ⇔ ⇔ >   − > >   3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q ZZZ0$7+91FRP 7KV/¬9ÅQÒR¢Q &Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW ZZZPDWKYQFRP ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 6 log 1 1 log 1 log 2 1 2 2 x L x x x x x x x N  = −   ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − = ⇔        =  7/ Giải phương trình: ( )22 2 5 log log 25 0 5 x x x − + − = + ( )7 Điều kiện: 2 5 50 5 5 25 0 x x x x x  −   ⇔+  > − >  ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 5 25 6 7 log 0 log 5 0 5 1 6 45 x x x N x x x x Lx − − =⇔ = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ ⇔ = =+  8/ Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 4 2 2 4log log log log 2 8x x+ = Điều kiện: 0 2 0 4 00 log 0 2 1 log 0 4 xx x x x x x   >>    > ⇔ > ⇔ >    >  >   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 8 log log log log 2 log log log log 2 2 2 1 1 3 log log log log log 3 log log 3 2 2 2 log log 2 log 4 16 x x x x x x x x x x   ⇔ + = ⇔ + =    ⇔ + + = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = Bài giải tham khảo 1/ Giải phương trình: ( )2log 9 2 3x x− = − ( )1 Điều kiện: 9 2 0 2 9x x− > ⇔ < ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 32 2 8 1 log 9 2 log 2 9 2 2 2 9 0 1' 2 x xx x x x − − ⇔ − = ⇔ − = ⇔ + − = Đặt: 2 0xt = > . Khi đó: ( ) 2 18 1' 9 0 9 8 0 8 t t t t tt  =⇔ + − = ⇔ − + = ⇔  = Với 1 2 1 0xt x= ⇒ = ⇔ = . Thay vào điều kiện: 02 9 :< thỏa⇒Nhận nghiệm: 0x = Với 8 2 8 3xt x= ⇒ = ⇔ = . Thay vào điều kiện: 32 9 :< thỏa ⇒Nhận nghiệm: 3x = Thí dụ 2. Giải các phương trình logarit (đưa về cùng cơ số) 1/ ( )2log 9 2 3x x− = − 2/ ( )13log 3 26 2x x+ − = − 3/ ( )4 2 4log 3 log 1 2 log 8x x+ − − = − 4/ ( ) 2 4 4 2 log log 4 10 0 4 x x    − + =    5/ ( ) ( ) 2 3 3 2 log 2 log 4 0x x− + − = 6/ ( ) ( ) ( ) 2 3 3 1 1 1 4 4 4 3 log 2 3 log 4 log 6 2 x x x+ − = − + + 7/ 2 2 1 2 log 2 log 5 log 8 0x x− + + + = 8/ ( ) ( ) ( ) 226 2 3 2 2 2 2 1 log 3 4 .log 8 log log 3 4 3 x x x x   − = + −     7KV/¬9ÅQÒR¢Q ZZZ0$7+91FRP3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q ZZZPDWKYQFRP &Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW 2/ Giải phương trình: ( )13log 3 26 2x x+ − = − ( )2 Điều kiện: 1 26 3 26 0 3 3 x x+ − > ⇔ > . Lúc đó: ( ) ( ) ( ) 1 2 92 3 26 3 3.3 26 0 2 ' 3 x x x x + −⇔ − = ⇔ − − = Đặt 3 0xt = > . Khi đó: ( ) ( ) ( ) 2 1 9 2 ' 3 26 0 3 26 9 0 3 9 t L t t t t t N   = − ⇔ − − = ⇔ − − = ⇔  =  Với 9 3 9 2xt x= ⇒ = ⇔ = . Thay vào điều kiện: 2 26 3 : 3 > thỏa⇒Nhận nghiệm: 2x = 3/ Giải phương trình: ( )4 2 4log 3 log 1 2 log 8x x+ − − = − ( )3 Điều kiện: 3 0 3 1 1 0 1 x x x x x   + > >− ⇔ ⇔ >   − > >   ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 21 2 4 4 4 4 4 4 4 4 3 log 3 log 1 2 log 4 log 8 log 3 log 1 log 8 x x x x   ⇔ + − − = − ⇔ + − − =     4 8 3 3 log log 2 2 5 1 1 x x x x x  + + ⇔ = ⇔ = ⇔ =   − −  (thỏa ĐK) 4/ Giải phương trình: ( ) ( ) 2 4 4 2 log log 4 10 0 4 4 x x    − + =    Điều kiện: 0x ≠ ( ) 2 2 4 44 4 2 2 2 24 log log 4 log 4 log 10 0 log 2 8 4 log 10 0x x x x⇔ − − − + = ⇔ − − − + = 0 2 log 0 2 1 1x x x⇔ = ⇔ = = ⇔ = ± (thỏa ĐK). 5/ Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 3 3 2 log 2 log 4 0 5x x− + − = Điều kiện: ( ) 2 2 0 2 44 0 x x xx  − >  >  ⇔    ≠− >  ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 3 3 3 2 2 5 2 log 2 2 log 4 0 log 2 4 0 2 4 1 2 4 1 6 7 0 3 2 4 4 4 6 9 02 4 1 3 2 42 4 2 4 x x x x x x x x x x x x x x x xx x x xx x ⇔ − + − = ⇔ − − = ⇔ − − =      − − = − + = = ±        > > >      ⇔ ⇔⇔ ⇔        − + =− − + = =      < << <  < <       3 2 3 x x  = +⇔  = 6/ Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 3 3 1 1 1 4 4 4 3 log 2 3 log 4 log 6 2 x x x+ − = − + + Điều kiện: ( ) ( ) ( ) 2 3 3 2 0 2 2 2 4 0 4 0 4 6 4 6 0 66 0 x x x x x x x x x xx  + >   ≠ − ≠ −      ≠ −   − > ⇔ − > ⇔ < ⇔       − > −  + >    ( ) ( ) ( )1 1 1 1 4 4 4 4 1 6 3 log 2 3 log 3 log 4 3 log 6 4 x x x⇔ + − = − + + 3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q ZZZ0$7+91FRP 7KV/¬9ÅQÒR¢Q &Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW ZZZPDWKYQFRP ( )( ) ( )( ) 1 1 4 4 log 4 2 log 4 6 4 2 4 6x x x x x x⇔ + = − + ⇔ + = − + ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 22 2 8 24 2 4 6 6 16 0 22 2 2 32 04 2 4 6 1 33 1 33 x xx x x xx x x x x xx x x x xx x x x x  > −   =  > − > −       = −  =+ = − + + − =       ⇔ ⇔ ⇔ ⇔    < −  < −  < − =       − − =− − = − + = −       = +  1 33    − 7/ Giải phương trình: ( ) 2 2 1 2 log 2 log 5 log 8 0 7x x− + + + = Điều kiện: 2 0 2 5 0 5 x x x x   − ≠ ≠ ⇔   + ≠ ≠   ( ) ( )( ) ( )( )2 27 log 2 5 log 8 2 5 8x x x x⇔ − + = ⇔ − + = ( )( ) ( )( ) 2 2 3 2 5 8 3 18 0 6 3 2 02 5 8 3 17 2 x x x x x x x xx x x    = −  − + = + − =  ⇔ ⇔ ⇔ =  − + =− + = −   ± =  8/ Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) 226 2 3 2 2 2 2 1 log 3 4 . log 8 log log 3 4 8 3 x x x x   − = + −     Điều kiện: ( ) ( ) 6 2 3 3 4 0 3 4 0 43 4 0 0 0 30 0 x xx x xx x  − >  − ≠ − >  ⇔ ⇔ < ≠    >>  > ( ) 2 2 2 2 2 2 6 1 8 log 3 4 .3 log 8 log 2 log 3 4 3 2 x x x x    ⇔ − = + −       ( ) ( ) 22 2 2 2 2 6 log 3 4 . log 2 log 4 log 3 4x x x x⇔ − = + − ( ) ( ) 22 2 2 2 2 2 2 2 log log 3 4 . log 2 log 3 4 2 log 3 4 . log 0x x x x x x⇔ − − + − − − = ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2log log log 3 4 2 log 3 4 log 3 4 log 0x x x x x x⇔ − − − − − − + = 7KV/¬9ÅQÒR¢Q ZZZ0$7+91FRP3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q ZZZPDWKYQFRP &Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW ( )( ) ( ) 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 log log 3 4 log 2 log 3 4 0 log log 3 4log log 3 4 0 log 2 log 3 4 0 log 2 log 3 4 log 3 4 0 0 3 4 3 4 3 4 3 4 9 25 16 0 x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⇔ − − − − =  = −− − = ⇔ ⇔  − − =  = − = −   > >  = −  = −⇔ ⇔  = − −  = −  − + =   1 2 16 9 x x x   =  =    =   Thí dụ 2. Giải các phương trình logarit (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hóa) 1/ ( )2log 9 2 3x x− = − ĐS: 0; 3x x= = 2/ ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2 log 1 log 1 log 7 1x x x− + + − − = ĐS: 3x = 3/ ( ) ( ) ( ) 2 3 3 1 1 1 4 4 4 3 log 2 3 log 4 log 6 2 x x x+ − = − + + ĐS: 2; 1 33x x= = − 4/ ( ) ( ) 2 2 4 1 2 log 2 log 5 log 8 0x x+ + − + = ĐS: 3 176; 2 x x ± = = 5/ 2 2 1 2 log 2 log 5 log 8 0x x− + + + = ĐS: 3 17 3; 6 2 x x hay x ± =− = = 6/ ( )4 2 2 1 1 1 log 1 log 2 log 4 2 x x x + − + = + + ĐS: 5 2 x = 7/ ( )25log 2 65 2x x x− − + = ĐS: 5x = − Thí dụ 3. Giải các phương trình logarit (sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ, hoàn toàn) 1/ 1 2 1 5 log 1 logx x + = − + ĐS: 100; 1000x x= = 2/ ( ) ( )2 12 2log 2 1 .log 2 2 2x x++ + = ĐS: 0x = 3/ 2 2 3 3 log log 1 5 0x x+ + − = ĐS: 33x ±= 4/ ( )3 9 3 4 2 log .log 3 1 1 logx x x − − = − ĐS: 1 ; 81 3 x x= = 5. Bài tập rèn luyện Bài 1. Giải các phương trình logarit sau (đưa về cùng cơ số) 1/ ( )2log 1 1x x − =   2/ ( )2 2log log 1 1x x+ + = 3/ ( )ln ln 1 0x x+ + = 4/ ( )3 3log 7 2 log 2 2x + − =   5/ 5 25 0,2 log log log 3x x+ = 6/ 2 5 1 5 1 5 25 log ( 1) log 5 log ( 2) 2log ( 2)x x x+ + = + − − 3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q ZZZ0$7+91FRP 7KV/¬9ÅQÒR¢Q &Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW ZZZPDWKYQFRP 7/ 1 lg( 6) lg(2 3) 2 lg25 2 x x+ − − = − 8/ 5 5 5 log log ( 6) log ( 2)x x x= + − + 9/ ( )2 1 8 log 2 6.log 3 5 2x x− − − = 10/ ( ) ( )2 2log 3 log 1 3x x− + − = 11/ ( ) ( )4 4 4log 3 log 1 2 log 8x x+ − − = − 12/ ( ) ( )lg 2 lg 3 1 lg 5x x− + − = − 13/ ( ) ( )8 8 2 2 log 2 log 3 3 x x− − − = 14/ lg 5 4 lg 1 2 lg 0,18x x− + + = + 15/ ( ) ( )23 3log 6 log 2 1x x− = − + 16/ ( ) ( )2 2 5 1 log 3 log 1 log 2 x x+ + − = 17/ ( )4 4log log 10 2x x+ − = 18/ ( ) ( )5 1 5 log 1 log 2 0x x− − + = 19/ ( ) ( )2 2 2log 1 log 3 log 10 1x x− + + = − 20/ ( ) ( )9 3log 8 log 26 2 0x x+ − + + = Bài 2. Giải các phương trình logarit sau (đưa về cùng cơ số) 1/ ( ) ( )2 22 0,52log 1 log 1 3x x x x+ + + + − = 2/ 22 0,5 0,25 2log ( 3) log 5 2log ( 1) log ( 1)x x x+ + = − − + 3/ 3 13 3 log log log 6x x x+ + = 4/ ( ) ( ) ( )2 21 lg 2 1 lg 1 2 lg 1x x x x+ − + − + = − 5/ 4 1 8 16 log log log 5x x x+ + = 6/ ( ) ( ) ( )2 22 lg 4 4 1 lg 19 2lg 1 2x x x x+ − + − + = − 7/ 2 4 8 log log log 11x x x+ + = 8/ ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2 log 1 log 1 1 log 7x x x− + + = + − 9/ 2 2 3 3 log log log logx x= 10/ 2 3 3 2 log log log logx x= 11/ 2 3 3 2 3 3 log log log log log logx x x+ = 12/ 2 3 4 4 3 2 log log log log log logx x= 13/ 2 3 4 20 log log log logx x x x+ + = 14/ 2 3 5 2 3 5 log log log log .log .logx x x x x x+ + = 15/ 3 2 3 3 2 3 1 (log ).log log log 23 x x x x − = + 16/ 1 2 2 log 1 log 2 0 2 4 x x  − + − =    17/ 2 ( 3) lg( 2 3) lg 0 ( 1) x x x x  + + − + =  −  18/ 2 2 2 2 3 6 log ( 1).log ( 1) log ( 1)x x x x x x− − + − = − − 19/ 0,25 ( 3) 2 2 log (4 ) log 6 1 log ( 3)x x x +  −  + = + 20/ 2 4 cos log tan log 0 2cos sin x x x x    + =  +  21/ log 2 log 4 4 2 log log 2x x+ = 22/ ( ){ }4 3 2 2 1 log 2 log 1 log 1 3 log 2 x + + =   23/ ( ) ( )lg 2 1 lg 3 2 lgx x x+ + − = 24/ ( ) ( ) ( )ln 1 ln 3 ln 7x x x+ + + = + Bài 3. Giải các phương trình logarit sau (đưa về cùng cơ số) 1/ ( )2log 9 2 3x x− = − 2/ ( )3log 3 8 2x x− = − 3/ ( )7log 6 7 1x x−+ = + 4/ ( )13log 4.3 1 2 1x x− − = − 5/ ( ) ( )5log 32log 9 2 5 xx −− = 6/ ( )2log 3.2 1 2 1 0x x− − − = 7KV/¬9ÅQÒR¢Q ZZZ0$7+91FRP3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q ZZZPDWKYQFRP &Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW 7/ ( )2log 12 2 5x x− = − 8/ ( )5log 26 3 2x− = 9/ ( )12log 5 25 2x x+ − = 10/ ( )14log 3.2 5x x+ − = 11/ ( )11 6 log 5 25 2x x+ − =− 12/ ( )11 5 log 6 36 2x x+ − = Bài 4. Giải các phương trình logarit (đưa về cùng cơ số) 1/ ( )25log 2 65 2x x x− − + = 2/ ( )21log 4 5 1x x x− − + = 3/ ( )2log 5 8 3 2x x x− + = 4/ ( )3 21log 2 2 3 1 3x x x x+ + − + = 5/ ( )3log 1 2x x− − = 6/ ( )log 2 2x x + = 7/ ( )22log 5 6 2x x x− + = 8/ ( )23log 1x x x+ − = 9/ ( )2log 2 7 12 2x x x− + = 10/ ( )2log 2 3 4 2x x x− − = 11/ ( )2log 2 1x x − = 12/ ( )23 5log 9 8 2 2x x x+ + + = 13/ ( )22 4log 1 1x x+ + = 14/ 15 log 2 1 2x x =− − 15/ ( )2log 3 2 1x x− = 16/ ( )2 3log 3 1x x x+ + = 17/ ( )2log 2 5 4 2x x x− + = 18/ 216 64log log 3xx + = Bài 5. Giải các phương trình logarit (đặt ẩn phụ, dạng đặt ẩn phụ hoàn toàn) 1/ 3 2log 2 log 2 logx x x− + = − 2/ 2 2 2 log 4 log 3 0x x− + = 3/ ( )3 3log 27 3 log 1 0x x− − = 4/ 2 2 3 3 log log 1 5 0x x+ + − = 5/ 2 2 12 2 log 3 log log 2x x x+ + = 6/ 4 7 log 2 log 0 6x x− + = 7/ 2 2 1 2 2 log 4 log 8 8 x x + = 8/ 2 2 12 2 log 3 log log 0x x x+ + = 9/ 2 2log 16 log 64 3xx + = 10/ 5 1 log log 2 5x x − = 11/ 7 1 log log 2 7x x − = 12/ 5 1 2 log 2 log 5x x − = 13/ 2 2 3 log log 4 0x x− = 14/ 3 3 3 log log 3 1 0x x− − = 15/ 3 3 2 2 4 log log 3 x x+ = 16/ 3 3 2 2 2 log log 3 x x− = − 17/ 2 2 4 1 log 2 log 0x x + = 18/ ( ) ( )22 1 4 log 2 8 log 2 5x x− − − = 19/ 2 5 25 log 4 log 5 5 0x x+ − = 20/ 2 9 log 5 log 5 log 5 4x x x x+ = + 21/ 2 9log 3 log 1x x+ = 22/ ( ) ( ) 1 3 3 log 3 1 .log 3 3 6x x+− − = 3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q ZZZ0$7+91FRP 7KV/¬9ÅQÒR¢Q &Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW ZZZPDWKYQFRP 23/ ( ) ( )5 33log 2 .log 2 log 2x x x− = − 24/ ( ) ( ) 1 2 2 log 2 1 . log 2 2 2x x++ + = 25/ log 5 log 5 x x x =− 26/ 2sin coslog 4. log 2 4x x = 27/ 2cos coslog 4. log 2 1x x = 28/ 1 2 1 4 lg 2 lgx x + = − + 29/ 1 3 1 5 lg 3 lgx x + = − + 30/ 2 2 1 2 1 4 log 2 logx x + = + − 31/ 2 2 4 4 4 log 2 log 1 0x x+ + = 32/ 3 2log 10 log 10 6 log 10 0 x x x + − = 33/ 2log 5 5 1,25 log 5 x x − = 34/ ( ) ( )22 4log 5 1 .log 5 1 1x x− − = 35/ ( ) 2 2 2 log 2 . log 2 1 x x = 36/ ( )2 3 3log 3 3 4.log 2 0x x + + − = 37/ 2 2 log 2 log 4 3 x x+ = 38/ 3 81 log 3. log 3 log 3 0 x x x + = 39/ 2 3 2 16 4 log 14 log 40 log 0 x x x x x x− + = 40/ 2 1 log 1 log 64 1 x x + + − = 41/ 2 lg 2lg lg 1 lg 1 x x x x =− + − − 42/ 1 1 3 3 log 2 3 log 1x x− + = + 43/ ( ) ( )2 2 22 3 6log 1 . log 1 log 1x x x x x x− − + − = − − Bài 6. Giải các phương trình logarit (đặt ẩn phụ, dạng đặt ẩn phụ không hoàn toàn) 1/ ( ) ( ) ( )25 5log 1 5 log 1 16x x x+ + − + = 2/ ( ) 2 3 3 log 12 log 11 0x x x x+ − + − = 3/ 2 2 2 lg lg .log 4 2 log 0x x x x− + = 4/ 2 2log log 626.9 6. 13.x x x+ = 5/ ( )22 2. log 2 1 log 4 0x x x x− + + = 6/ ( ) 2 2 2 log 1 log 6 2x x x x+ − = − 7/ ( ) ( ) ( ) ( )23 32 log 1 4 1 log 1 16x x x x+ + + + + = 8/ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 3 log 2 4 2 log 2 16x x x x+ + + + + = 9/ ( )2 2log 2 log 2x xx x−+ + = 10/ ( ) ( ) ( ) 2 3 3 log 1 5 log 1 2 6x x x x+ + − + = − 11/ ( )22 2log 1 log 6 2x x x x+ − = − 12/ 3 34 log 1 log 4x x− − = 13/ ( ) ( )2 22 2 2log 3 2 log 7 12 3 log 3 0x x x x+ + + + + − − = Bài 7. Giải các phương trình logarit (sử dụng công thức biến đổi, đặt ẩn phụ) 1/ 9 9 3log log log 274 6.2 2 0x x− + = 2/ 3 3 3log log log 94 5.2 2 0x x− + = 3/ 2 2 3log 1 2 log2 48 x x x + = − 4/ 2 2 2 log 1 2 log 2 224 x x x + + = 5/ 2 2 2 3 2 3 log log log log .log 0x x x x x− + − = 6/ ( )7 3log log 2x x= + 7/ ( ) ( )2 3log 3 log 2 2x x− + − = 8/ ( ) ( )3 5log 1 log 2 1 2x x+ + + = 9/ ( )6log2 6log 3 logxx x+ = 10/ ( )7 log 3 4 x x + = 11/ ( )2 3log 1 logx x+ = 12/ 2 2 2log 9 log log 32.3 xx x x= − 13/ ( ) ( )2 23 7 2 3log 4 12 9 log 6 23 21 4x xx x x x+ ++ + + + + = 14/ ( ) ( )2 22 2 2 22 log log log .log 2x x x x x x− + − − = 7KV/¬9ÅQÒR¢Q ZZZ0$7+91FRP3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q ZZZPDWKYQFRP &Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW 15/ 3 2 lg 1 lg 1x x− = − − 16/ ( ) ( )2 22log 1 3 log 1 2x x x x− − + + − = 17/ 3 3 3 3 1 log 1 log 1x x− + + = 18/ ( ) ( )2 24 43 log 4 2 5 log 4 6x x x x+ − + − − = 19/ 21 lg 10x x+ − = 20/ 3 3 2 3 log 2 3 3 log 2x x+ = − 21/ 2 2 2 log log 1 1x x+ + = 22/ ( )66 3 log 5 1 2 1 x x x= + + + 23/ ( )1 77 6.log 6 5 1 x x− = − + 24/ ( )5 52 log 2 log 25 2 5x x+ +− = Bài 8. Giải phương trình logarit (sử dụng tính đơn điệu của hàm số) 1/ ( )2log 3 1 1x x− = − + 2/ 1 3 log 4x x= − 3/ 3 log 4x x+ = 4/ 1 2 2 log 5x x+ = 5/ 3 log 11x x= − + 6/ ( )5log 32 x x+ = 7/ ( )2log 33 x x− = 8/ ( )2 3log 1 logx x+ = 9/ 1 2 1 2 2 logx x x x − −− = 10/ ( ) 2 2log 3 log 5 ; 0x x x x+ = > 11/ 2 2log log2 3 5x xx + = 12/ ( )5log 3 3x x+ = − 13/ ( )2log 3 x x− = 14/ ( ) ( )22 2log 6 log 2 4x x x x− − + = + + 15/ 2log2.3 3xx + = 16/ ( ) ( ) ( ) ( )2 34 2 log 3 log 2 15 1x x x x − − + − = +   17/ 3 2 2 log cot log cosx x= 18/ ( )4 86 42 log logx x x+ = 19/ ( )42 3 1 log log 4 x x x+ = 20/ ( )2 23 3log 1 log 2x x x x x+ + − = − Bài 9. Giải các phương trình logarit (đưa về phương trình tích hoặc dùng phương pháp đối lập) 1/ 2 7 2 7 log 2 log 2 log .logx x x x+ = + 2/ 2 3 3 2 log .log 3 3.log logx x x x+ = + 3/ ( ) ( ) 2 9 3 3 2 log log .log 2 1 1x x x= + − 4/ ( )2 3ln sin 1 sin 0x x− + = 5/ ( )2 22log 1 1x x x+ − = − 6/ ( ) 2 1 3 2 2 3 8 2 2 log 4 4 4 x x x x + −+ = − + Bài 10. Giải các phương trình logarit (có chứa lượng giác) 1/ 5 15 1 1 1 log sin log cos 2 2 25 5 15 x x+ + + = 2/ 5 9 1 1 1 log cos log sin 2 2 26 3 9 x x+ + + = 3/ ( ) ( )21 25 log 2 51 3 5 3 5 x x x x + − = − − 4/ ( ) ( )21 4 log 1 7 21 2 1 2 1 x x x x + − = − − 5/ 2 4 cos log tan log 0 2 cos sin x x x x + = + 6/ 2 27 7 3 sin2 2 sin log log 2 sin2 cosx x x x x x− − − = 7/ ( )22 23 log sin log 1 cos2 2x x+ − = 8/ 1 3 3 log sin cos2 log sin sin 0 2 2 x x x x       + + − =         3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q ZZZ0$7+91FRP 7KV/¬9ÅQÒR¢Q &Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW ZZZPDWKYQFRP 9/ ( ) ( )2 26 6 10 10 log sin 3 sin log sin2 x x x x x x x − − + = 10/ ( ) tan 2 tan 2 3 3 3 0 3 x x − = 11/ 1 6 6 3 3 3 3 log sin 3 tan log sin 3 tan2 0 2 2 2 2 x x x x        − − + − − =          12/ 1 5 5 3 3 3 3 log cos tan2 log cos 3 tan 0 2 2 2 2 x x x x        + − + + − =          Bài 11. Tìm tham số m để các phương trình logarit sau có nghiệm duy nhất. 1/ ( ) 33log 3 logx mx+ = 2/ ( )2 lg 3 1 lgx mx+ = + 3/ ( ) ( )2lg lg 8 3 3x mx x m+ = − + 4/ ( ) ( )2lg 2 lg 8 6 3 0x mx x m+ − − − = 5/ ( ) ( )21 10 lg 2 1 log 4 0x m x mx− − + + = 6/ ( ) ( )2 2 3 2 3 log 2 1 log 2 2 0x m x x m + −  − + + + − =   7/ ( ) ( )22log 2 logx mx− = 8/ ( ) 2 5 2 5 2 log 1 log 0x mx m x + − + + + + = 9/ ( ) ( )23 3log 4 log 2 2 1x mx x m+ = − − 10/ ( ) ( )22 2 7 2 2 7log 1 log 0x m mx x+ −− + + − = Bài 12. Bài toán liên quan đến tìm tham số. 1/ Tìm tham số m để phương trình: ( )2log 4 1x m x− = + có hai nghiệm phân biệt. 2/ Tìm tham số m để phương trình: ( )33log 9 9 2x m+ = có hai nghiệm phân biệt. 3/ Tìm tham số m để phương trình: ( )23 3log 2 .log 3 1 0x m x m− + + − = có hai nghiệm phân biệt 1 2 ,x x thỏa: 1 2 27x x = . 4/ Tìm tham số m để phương trình: ( ) ( )2 2 2 24 22 log 2 2 4 log 2x x m m x mx m− + − = + − có hai nghiệm phân biệt 1 2 ,x x thỏa: 2 2 1 2 1x x+ > . 5/ Cho phương trình: 2 2 3 3 log log 1 2 1 0x x m+ + − − = a/ Giải phương trình khi 2m = b/ Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm trên 31;3    . 6/ Cho phương trình: ( )2 2 22 1 4 2 log log 3 log 3x x m x+ − = − a/ Giải phương trình khi 1m = b/ Tìmm để phương trình có nghiệm 32x ≥ 7/ Cho phương trình: ( ) ( ) ( ) ( )21 1 2 2 1 log 2 5 log 2 1 0m x m x m− − − − − + − = a/ Giải phương trình khi 2m = b/ Tìm m để phương trình có nghiệm 1 2 ,x x thỏa: 1 2 2 4x x≤ ≤ ≤ 8/ Tìm tham số m để phương trình: ( ) ( ) ( ) ( )21 1 2 2 3 log 4 2 1 log 4 2 0m x m x m− − − − − + + = có hai nghiệm phân biệt 1 2 ,x x thỏa: 1 2 4 6x x< < < . 7KV/¬9ÅQÒR¢Q ZZZ0$7+91FRP3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q ZZZPDWKYQFRP &Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW 9/ Tìm tham số m để phương trình: ( ) ( ) ( ) ( )22 24 log 2 2 1 log 2 1 0m x m x m− − − − − + + = có hai nghiệm phân biệt 1 2 ,x x thỏa: 1 2 0 2x x< < < . 10/ Cho phương trình: ( ) 2 2 1 2 4. log log 0x x m− + = a/ Giải phương trình khi 0m = b/ Tìmm để phương trình có nghiệm trên( )0;1 11/ Cho phương trình: ( ) ( )2lg 2 lg 2 1 0x mx x m+ − − − = . Tìmm để phương trình có duy nhất một nghiệm. 12/ Cho phương trình: 2 2 2log . log log log 4.log 2 mm mx x x m x m+ = . Tìmm để phương trình sau có nghiệm và tìm nghiệm đó. 13/ Cho phương trình: 2 log 1 log 1 m m x x− − = . Tìmm để tổng bình phương tất cả các nghiệm của phương trình bằng 34. 14/ Cho phương trình: ( ) ( ) ( )2 log 4 2 3 2 2 . 2 x mx x − − = − a/ Giải phương trình với 2m = . b/ Tìm tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 ,x x thỏa: 1 2 5 4 2 x x≤ < ≤ 15/ Tìm ( )5;16α ∈ , biết rằng phương trình: cos sin 2 3 11 cos 2 8 3 x x ax π π −       + + =         có nghiệm 1;2 ∈    . 16/ Tìm ( )2;7α ∈ , biết rằng phương trình: 23 5 log 1 sin cos 1 2 2 x ax π π   + + = −       có nghiệm thuộc 1;2    . 3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q ZZZ0$7+91FRP 7KV/¬9ÅQÒR¢Q &Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW ZZZPDWKYQFRP đồng biến trênD thì: ( ) ( )f u f v u v< ⇒ < nghịch biến trênD thì: ( ) ( )f u f v u v Bài 6: BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT 
 1. Bất phương trình mũ  Khi giải bất phương trình mũ, ta cần chú ý đến tính đơn điệu của hàm số mũ. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 f x g x a f x g x a a x f x g x  >  >> ⇔  < < < . Tương tự với bất phương trình dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x g x f x g x a a a a a a  ≥   <   ≤  Trong trường hợp cơ sốa có chứa ẩn số thì: ( )( )1 0M Na a a M N> ⇔ − − > .  Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ: + Đưa về cùng cơ số. + Đặt ẩn phụ. + Sử dụng tính đơn điệu: ( ) ( ) y f x y f x  =   = + …………… 2. Bất phương trình logarit  Khi giải bất phương trình logarit, ta cần chú ý đến tính đơn điệu của hàm số logarit. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 log log 0 1 0 a a a f x g x f x g x a f x g x  >  > >> ⇔  < < < <  Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì: + ( )( )log 0 1 1 0a B a B> ⇔ − − > + ( )( ) log 0 1 1 0 log a a A A B B > ⇔ − − >  Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình logarit: + Đưa về cùng cơ số. + Đặt ẩn phụ. + …………… 3. Hệ phương trình mũ và logarit Khi giải hệ phương trình mũ và logarit, ta cũng dùng các phương pháp giải hệ phương trình đã học như:  Phương pháp thế.  Phương pháp cộng đại số.  Phương pháp đặt ẩn phụ.  Phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số.  …………………………… 7KV/¬9ÅQÒR¢Q ZZZ0$7+91FRP3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q ZZZPDWKYQFRP &Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW 4. Một số thí dụ Bài giải tham khảo 1/ Giải bất phương trình: ( ) 29 17 11 7 5 1 1 1 2 2 x x x− + −       ≥         ( ) ( ) 2 2 2 21 9 17 11 7 5 9 12 4 0 3 2 0 3 x x x x x x x⇔ − + = − ⇔ − + ≤ ⇔ − ≤ ⇔ = 2/ Giải bất phương trình: ( ) 2 1 1 3 2 9 x x x+    >    Điều kiện: 1x ≠− ( ) 2 2 1 2 2 1 2 3 3 2 2 0 2 1 0 1 1 1 x x x x x x x x x x x − +   ⇔ > ⇔ − > ⇔ + < ⇔ + <  + + +  ( ) 2 2 2 0 1 01 x x x xx + <−⇔ < ⇔ − < <+  . Kết hợp với điều kiện 2 1 0 x x  < −⇒ − < < 3/ Giải bất phương trình: ( ) 1 2 2 13 5 3 5 3x x x x+ + + ++ ≥ + ( ) 5 3 5 3 3 3 25.5 5.5 9.3 3.3 20.5 6.3 log 3 10 10 x x x x x x x x   ⇔ − > − ⇔ > ⇔ > ⇔ >    4/ Giải bất phương trình: ( ) 22 1 1 2 21 1 4 2 2 x x x x x + + −       + ≤ +         ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 14 1 . 2 1 1 0 2 2 0 2 2 x x x x x x x          ⇔ + − + + − − ≤ ⇔ − + ≤              ( ) 1 1 ; 1 ;0 ; 2 2 x        ⇔ ∈ −∞ − ∪ − ∪ +∞        . Thí dụ 1. Giải các bất phương trình mũ sau. 1/ 29 17 11 7 5 1 1 2 2 x x x− + −       ≥         ( )1 2/ 2 1 1 3 9 x x x+    >    ( )2 3/ 1 2 2 13 5 3 5x x x x+ + + ++ ≥ + ( )3 4/ 22 1 1 2 21 1 2 2 x x x x x + + −       + ≤ +         ( )4 Thí dụ 2. Giải các bất phương trình mũ sau: 1/ 2 2 2 2 19 2 3 3 x x x x − −   − ≤    ( )1 2/ 1 1 1 9.25 16.15 25.9x x x− ≥ ( )2 3/ 2 4.5 4 10x x x+ − < ( )3 4/ 1 1 1 3 1 1 3x x− > − − ( )4 5/ 12 2 1x x−− < ( )5 6/ 2 22 2 19 7.3 2x x x x x x− − − − −− ≤ ( )6 7/ 4 4 1 22.3 9 9 x x x x + + + ≥ ( )7 8/ 2 4 43 8.3 9.9 0x x x x+ + +− − > ( )8 3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q ZZZ0$7+91FRP 7KV/¬9ÅQÒR¢Q &Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW ZZZPDWKYQFRP Bài giải tham khảo 1/ Giải phương trình: ( ) 2 2 2 2 19 2 3 1 3 x x x x − −   − ≤    ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 21 9 2.3 3 0 3 2.3 3 0 1'x x x x x x x x− − − −⇔ − − ≤ ⇔ − − ≤ Đặt: 2 23 0x xt −= > . Lúc đó: ( ) 2 0 0 1' 0 3 1 32 3 0 t t t tt t   > > ⇔ ⇔ ⇔ < ≤   − ≤ ≤− − ≤  Với 2 2 2 20 3 0 3 3 2 1 2 1 0 1 2;1 2x xt x x x x x−  < ≤ ⇒ < ≤ ⇔ − ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ ∈ − +   . 2/ Giải bất phương trình: ( ) 1 1 1 9.25 16.15 25.9 2x x x− ≥ Điều kiện: 0x ≠ ( ) ( ) 2 1 5 5 2 9. 16. 25 0 2 ' 3 3 x x      ⇔ − − ≥         . Đặt 1 5 0 3 x t   = >    Khi đó: ( ) 1 2 2 0 0 25 5 25 5 11 2 ' 2 9 16 25 0 9 3 9 325 9 x t t t t t t x t  >     >  ≤−      ⇔ ⇔ ⇔ ≥ ⇔ ≥ = ⇔ ≥         − − ≥       ≥ 1 1 2 1 2 0 0 0 2 x x x x − ⇔ − ≥ ⇔ ≥ ⇔ < ≤ . Kết hợp với điều kiện 1 0; 2 x    ⇒ ∈    3/ Giải bất phương trình: ( ) 2 4.5 4 10 3x x x+ − < ( ) ( ) ( ) ( )( )3 2 10 4.5 4 0 2 1 5 4 1 5 0 1 5 2 4 0x x x x x x x x⇔ − + − < ⇔ − − − < ⇔ − − < ( ) ( ) 1 5 0 5 1 2 4 0 2 4 2 ;0 2; 01 5 0 5 1 2 4 0 2 4 x x x x x x x x x x x    −        − > > >     ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ∈ −∞ ∪ +∞    <       − < <      4/ Giải bất phương trình: ( ) 1 1 1 4 3 1 1 3x x− > − − . Điều kiện: 1 1 3 1 0 3 1 0 11 3 0 3 1 x x x x x x− −     − ≠ ≠ ≠  ⇔ ⇔      ≠− ≠ ≠     ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 1 1 3 2 3 1 1 1 3 3 1 34 0 0 0 4 ' 3 1 1 3 3 1 1 3 3 3 1 1 3 x x x x x x x x x x − − − − − − − + ⇔ − > ⇔ > ⇔ >  − − − −  − −    7KV/¬9ÅQÒR¢Q ZZZ0$7+91FRP3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q ZZZPDWKYQFRP &Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW Đặt 3 0xt = > . Khi đó: ( ) ( ) ( )( ) 0 0 4 2 3 4 ' 3 0 2 0 1 1 1 4 3 t t t t t t t t  >  >    −  −⇔ ⇔ >   >   − − − −     3 3 333 0 log1 31 222 4 4 3 log 4 x x xt t x     < < < << <    ⇔ ⇔ ⇔   >    5/ Giải bất phương trình: 12 2 1x x−− < ( )5 Điều kiện: 0x ≥ ( ) ( ) 2 5 2 1 5 ' 2 x x ⇔ − < . Đặt Do 2 . 0 1xt x t= ≥ ⇒ ≥ ( ) 2 1 1 5 ' 1 2 1 2 2 0 12 2 01 x t t t x t tt t  ≥   ≥ ⇔ ⇔ ⇔ ≤ < ⇔ ≤ < ⇔ ≤ <    − − <− <  6/ Giải bất phương trình: 2 22 2 19 7.3 2x x x x x x− − − − −− ≤ ( )6 ( ) ( ) 2 22 26 3.9 7.3 6 6 'x x x x x x− − − −⇔ − ≤ . Đặt 2 23 0x x xt − −= > ( ) 2 2 2 2 00 6 ' 3 3 3 2 12 3 7 6 0 3 3 x x x tt t x x x t t t − −  >  > ⇔ ⇔ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ − − ≤   − − ≤ − ≤ ≤   ( ) 2 2 2 2 0 22 0 1 0 2 1 1 0 1 4 212 1 4 x xx x x x x x x x x x x x x  ≤  ≥ − ≥     − ≤ ≤  ⇔ − ≤ + ⇔ + ≥ ⇔ ≥− ⇔     ≥  − ≤ +  ≥−   7/ Giải bất phương trình: 4 4 1 22.3 9 9 x x x x + + + ≥ ( )7 ( ) ( ) 4 4 4 4 4 4 2 3 9 7 2.3 3.9 9 2. 3. 1 2.3 3.9 1 7 ' 3 9 x x x x x x x x x x x x x + + − −⇔ + ≥ ⇔ + ≥ ⇔ + ≥ Đặt 4 3 0x xt −= > . Khi đó: ( ) 4 4 41 2 3 0 1 7 ' 3 3 1 33 2 1 0 x x x x t t x x t t − − −  = >⇔ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ − ≥−  + − ≥ 4 4 1 5 7 3 51 0 0 2 2 x x x x + + ⇔ − − ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ≤ . 8/ 2 4 43 8.3 9.9 0x x x x+ + +− − > ( )8 ( ) 2 4 2 4 4 2 4 2 4 3 3 8 3 8.3 9.9 0 8. 9 0 3 3 x x x x x x x x x + + + + + + + ⇔ − − > ⇔ − − > ( ) ( ) 2 4 43 8.3 9 0 8 ' x x x x − + − +⇔ − − > 3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q ZZZ0$7+91FRP 7KV/¬9ÅQÒR¢Q &Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW ZZZPDWKYQFRP Đặt 43 0x xt − += > . Khi đó: ( ) 4 4 2 2 3 0 8 ' 9 3 3 4 2 8 9 0 x x x x t t x x t t − + − +  = >⇔ ⇔ > ⇔ > ⇔ − + >  − − > ( ) 2 2 2 0 2 2 4 0 3 02 4 x x x x x x xx x   + >  >− ⇔ + > + ⇔ ⇔ ⇔ >    + >+ > +  Bài giải tham khảo 1/ Giải bất phương trình: ( ) 2 1 35 7 1x x− −< ( ) ( ) ( ) 2 1 3 5 5 5 5 5 5 5 5 5 1 log 5 log 7 2 1 3 log 7 2 log 7 3 log 7 1 1 3 log 7 2 log 7 3 log 7 1 2 log 7 x x x x x x x x − −⇔ < ⇔ − < − ⇔ + < + + ⇔ + < + ⇔ < + 2/ Giải bất phương trình: 4 2 43 2 13x x+ ++ > ( )2 Điều kiện: 4 0 4 2 2 4 0 2 x x x x x   + ≥ ≥− ⇔ ⇔ ≥−   + ≥ ≥−   Xét hàm số: ( ) 4 2 43 2x xf x + += + xác định trên )2;D = − +∞ . Ta có: ( ) ( )4 2 4 1 1 ' 3 .ln 3. 2 .ln2. 0, 2, 2 4 2 4 x xf x x x x + += + > ∀ ∈ − +∞ + + ( ) 4 2 43 2x xf x + +⇒ = + đồng biến ( )2,x∀ ∈ − +∞ . Mà: ( ) ( ) ( )0 13 0 0 13f x f x f= ⇒ ∀ > ⇔ > = . Vậy nghiệm của phương trình là 0x > . Kết hợp với điều kiện⇒ 0x > là nghiệm của bất phương trình. 3/ Giải bất phương trình: ( ) 3.2 7.5 49.10 2 3x x x+ > − ( ) 3.2 7.5 2 1 1 1 2 3.2 7.5 2 49.10 49 3 7 2 49 5 2 1010 x x x x x x x      + +       ⇔ + + > ⇔ > ⇔ + + >                Xét hàm số: ( ) 1 1 1 3 7 2 5 2 10 x x x f x            = + +                xác định trênℝ . ( ) 1 1 1 1 1 1 ' 3 ln 7 ln 2 ln 0, 5 5 2 2 10 10 x x x f x x                           = + + < ∀ ∈                                     ℝ . ( ) 1 1 1 3 7 2 5 2 10 x x x f x            ⇒ = + +                luôn đồng biến trênℝ . Ta có: ( ) ( ) ( )1 49 1 : 1 49f x f x f− = ⇒ ∀ − = Vậy nghiệm của bất phương trình là 1x <− . Thí dụ 3. Giải các bất phương trình mũ sau: 1/ 2 1 35 7x x− − 3/ 3.2 7.5 49.10 2x x x+ > − 4/ 23 3 2 0 4 2 x x x− + − ≥ − 7KV/¬9ÅQÒR¢Q ZZZ0$7+91FRP3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q ZZZPDWKYQFRP &Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW 4/ Giải bất phương trình: 23 3 2 0 4 2 x x x− + − ≥ − ( )4 Xét hàm số: ( ) 23 3 2xf x x−= + − trên ℝ . ( ) ( )2 2' 3 . ln 3 2 0, 3 3 2x xf x x f x x− −= − − < ∀ ∈ ⇒ = + −ℝ là hàm số luôn nghịch biến trênℝ . Xét hàm số: ( ) 4 2xg x = − trên ℝ . ( ) ( )' 4 ln 4 0, 4 2x xg x x g x= > ∀ ∈ ⇒ = −ℝ là hàm số luôn đồng biến trênℝ . Lúc đó: ( ) ( ) ( ) 4 0 f x g x ⇔ ≥ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 2 1 10 2 12 2 2 20 2 11 0 22 f x f x g x g x x xf x f xg x g  ≥ =   ≤       > =    >       ⇔ ⇔ ⇔ < ≤   ≥ ≤ =        < < =         . Bài giải tham khảo 1/ Giải bất phương trình: 2 1 2 3 2 log 0 x x x − + ≥ ( )1 Điều kiện: 2 0 13 2 0 2 xx x xx  ⇔  > ( ) 2 2 2 1 1 2 2 2 3 2 3 2 3 2 1 log log 1 1 1 0 2 2 14 2 0 2 2 2 x x x x x x x x x xx x x x − + − + − + ⇔ ≥ ⇔ ≤ ⇔ − ≤  − ≤ <− +  ⇔ ≤ ⇔   < ≤ +  Kết hợp với điều kiện, nghiệm của bất phương trình là: 2 2 1 2 2 2 x x  − ≤ <   < ≤ +  2/ Giải bất phương trình: ( ) 2 0,7 6 log log 0 2 4 x x x  +   <   +  Điều kiện: 2 2 2 2 2 2 6 0 0 4 244 4 1 0 24 4 log 0 1 4 4 x x x x xx x xx x xx x x x x x x x   + + > >  − ⇔ > ⇔    >+ + + +   > >  + +   Thí dụ 4. Giải các bất phương trình logarit sau: 1/ 2 1 2 3 2 log 0 x x x − + ≥ 2/ 2 0,7 6 log log 0 4 x x x  +   <   +  3/ ( ) ( )3 1 3 2 log 4 3 log 2 3 2x x− + + ≤ 4/ ( ) ( )25 5 5log 4 144 4 log 2 1 log 2 1x x−+ − < + + 3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q ZZZ0$7+91FRP 7KV/¬9ÅQÒR¢Q &Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW ZZZPDWKYQFRP ( ) 2 2 2 2 0,7 6 0,7 6 6 6 2 2 2 log log log 1 log 1 log log 6 6 4 4 4 4 4 35 24 6 0 0 84 4 x x x x x x x x x x x x xx x x x xx x  + + + + ⇔ ⇔ > ⇔ >   + + + +  − ⇔ > ⇔  >+ +  Kết hợp với điều kiện, nghiệm của bất phương trình là: 4 3 8 x x − < <−  > 3/ Giải bất phương trình: ( ) ( ) ( ) 3 1 3 2 log 4 3 log 2 3 2 3x x− + + ≤ Điều kiện: 3 4 3 0 34 2 3 0 3 4 2 xx x x x  >  − >  ⇔ ⇔ >