Ôn thi Đại học về Bất đẳng thức

1 BẤT ĐẲNG THỨC A. Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức I. Sử dụng định nghĩa, các phép biến đổi đương đương VD1. Chứng minh với a, b, c tùy ý, ta có: 1. 2 2 2a b c ab bc ca     2.    2 3a b c ab bc ca     Giải 1.      2 2 22 2 2 0a b c ab bc ca a b b c c a            2.          2 2 2 23 0a b c ab bc ca a b b c c a            VD2. Chứng minh rằng nếu 0 x y z   thì ta có    1 1 1 1 1y x z x z x z y x z                 Giải. Biến đổi tương đương đến:    0y x z x   luôn đúng. VD3. Ba số dương a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:      2 2 2 3a b c a b c a b c a b c abc         Giải. Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên 0b c a   . Do đó:    2 0b c b c a    , hay 3 3 2 2 2 2 2 0b c b c bc ab ac abc       (1) Tương tự ta có: 3 3 2 2 2 2 2 0c a c a ca bc ba abc       (2) 3 3 2 2 2 2 2 0a b a b ab ca cb abc       (3) Cộng từng vế (1), (2) và (3) rồi nhóm lại ta được:      2 2 22 2 2 6 0a b c a b c a b c a b c abc           Từ đó suy ra BĐT cần chứng minh. BÀI TẬP Bài 1. (1970) CMR với mọi a, b, c, d:    2 22 2 2 2a b c d a c b d       HD. BĐT   2 2 2 2a b c d ac bd     Nếu 0ac bd  , BĐT đúng Nếu 0ac bd  , bình phương hai vế biến đổi thành  2 0ad bc  . Bài 2. (TL, 95) Cho 0 a b c   . CMR:      3 2 2 3 2 2 3 2 2 0a b c b c a c a b      HD. Biến đổi tương đương đến:      0b c a c a b ab bc ca      Bài 3. (HH, 96). Cho 1xy  , CMR: 2 2 1 1 2 1 1 1x y xy      . HD. Ta có: 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1x y xy x xy y xy                                2 2 2 1 0 1 1 1 b a ab a b ab        II. Phương pháp sử dụng các bất đẳng thức đã biết Những bất đẳng thức thường sử dụng: 1. Bất đẳng thức Cô-si: 2  Với hai số không âm a và b ta có: 2 a b ab  . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b .  Với ba số không âm a, b và c ta có: 3 3 a b c abc   . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c  . 2. Bất đẳng thức Bunhia-Côpxki (Cauchy – Schwarz):  Với mọi số thực a, b, x, y, ta có:     2 2 2 2 2ax by a b x y    . Đẳng thức xảy ra khi: a b x y  .  Với mọi số thực a, b,c, x, y,z, ta có:     2 2 2 2 2 2 2ax by cz a b c x y z       . Đẳng thức xảy ra khi: a b c x y z   . 3. Bất đẳng thức tam giác:  , ,a b a b a b    (BĐT tam giác thứ nhất). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 0ab  .  , ,a b a b a b    (BĐT tam giác thứ nhất). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 0ab  . VD1. Với a, b là các số dương tùy ý, ta luôn có: 1.   1 1 4a b a b        2. 1 1 4 a b a b    HD. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si VD2. Với a, b, c là các số dương tùy ý, ta luôn có: 1.   1 1 1 9a b c a b c          2. 1 1 1 9 a b c a b c      HD. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si VD3. Với x, y không âm, chứng minh:     21 1 1x y xy    Giải. Ta có:         2 21 1 1 1 2 1x y x y xy xy xy xy           VD4. 1. Nếu 2 2 1x y  thì 2 5x y  . 2. Nếu 3 4 1x y  thì 2 2 1 25 x y  . HD. Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-côp-xki: 1.       2 2 2 2 2 22 1. 2. 1 2 5x y x y x y       . Suy ra: 2 5x y  2.       2 2 2 2 2 2 21 3 4 3 4 25x y x y x y       . Suy ra: 2 2 1 25 x y  BÀI TẬP 3 Bài 1. (BK HN, 90) Cho , , 0x y z  , CMR: 2 2 2 1 1 1 2 x y z x yz y zx z xy xyz         . HD. Theo BĐT Cô-si: 2 2 1 12 2 x yz x yz x yz x yz      Tương tự: 2 2 2 1 1 1 1 1 1 22 2 2 yz zx xy x yz y zx z xy xyzx yz y zx z xy            Tiếp tục sử dụng BĐT Cô-si ta có đpcm. Bài 2. (QGHN, B, 95) Cho hai số dương a, b, CM BĐT: 3 3 3 3 1 1a ab b a b a b      HD. Áp dụng BĐT Cô-si: 33 3 1 1 31 1 3 .1.1 a a a     , tương tự …. ta có đpcm. Bài 3. (HH Tp.HCM, 99) Cho , , 0x y z  và 3x y z   , CMR: 2 2 2 3 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 x y z x y z x y z             HD. BĐT bên trái: 2 2 11 2 1 2 xx x x      BĐT bên phải, dựa vào BĐT Cô-si cho 3 số. III. Phương pháp sử dụng tính chất của hàm số VD1. Chứng minh rằng , với mọi số thực x ta đều có: 2 2 1 1 3 3 1 x x x x       . HD. Đặt     2 2 2 1 1 1 1 0 1 x xy y x y x y x x             . Ta tìm y để PT này có nghiệm. VD2. Chứng minh rằng:    2 2 2 2 cos cos cos 6 0, , , 0;a b c a b c a b c          Giải. Xét hàm số 2 2cosy x x  . Ta có ' 2 2siny x x  , " 2 2cos 0,y x x    , nên y’ đơn điệu tăng trên miền  0; , suy ra  ' ' 0 0y y  . Từ đó y đơn điệu tăng trên miền  0; . Do vậy, với  , , 0;a b c   , ta có:               2 2 2 2 2 2 0 2 2cos 2 0 2 2cos 2 2 cos cos cos 6 0 2cos 20 2 y a y a a y b y b b a b c a b c c cy c y                            VD3. Cho tam giác ABC có 0 90A B C     . Chứng minh: 2cos3 4cos 2 1 2 cos C C C    . HD. Ta có: 2cos3 4cos 2 1 2 cos C C C       3 22 4cos 3cos 4 2cos 1 1 2 cos c C C C       3 28cos 8cos 8cos 5 0C C C     Từ giả thiết suy ra 160 90 0 cos 2 C C      . Đặt 1cos , 0; 2 t C t      , xét hàm số: 4 3 2 18 8 8 5, 0; 2 y t t t t         Lập bảng biến thiên, suy ra đpcm. BÀI TẬP Bài 1. Cho , , 0x y z  và 1x y z   , CMR: 18 2 xyzxy yz zx xyz     HD. Ta có:  233xy yz zx xyz   Đặt 3 1,0 3 t xyz t   , ta chỉ cần CM: 3 2 3 3 183 6 2 0 2 tt t t t       . Đến đây xét hàm số:   3 16 2, 0; 3 f t t t t        IV. Phương pháp hình học VD1. Chứng minh BĐT tam giác:    2 22 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2a b a b a a b b       , với mọi bộ số 1 2 1 2, , ,a a b b . HD. Xét  1 1;M a b ,  2 2;N a b  , thế thì: 2 21 1OM a b  , 2 22 2ON a b  ,    2 21 2 1 2MN a a b b    . Ta bất đẳng thức: OM ON MN  , suy ra điều phải chứng minh. VD2. Chứng minh với mọi x ta có: 2 21 1 1 1x x x x        . HD. Ta có: 2 2 2 2 1 3 1 31 1 2 4 2 4 x x x x x x                     Đặt 1 3 1 3; , ; 2 2 2 2 M x N x                 Thế thì: 21 3 2 4 OM x       , 21 3 2 4 ON x       , 1NM  Từ BĐT: OM ON NM  , suy ra điều phải chứng minh. BÀI TẬP Bài 1. Chứng minh với mọi giá trị của x, y ta có:    2 2 2 2 2 24cos cos sin 4sin sin sinx y x y x y x y     HD. Đặt   2cos cos ;sinM x y x y ,   2sin sin ; sinN x y x y   và  0;0O . Từ BĐT OM ON MN  , suy ra điều phải chứng minh. Bài 2. CMR với x, y, z là ba số tùy ý thì ta có: 2 2 2 2 2 2x xy y x xz z y yz z        HD. Xét 3 điểm:  0;0O , 1 3; 2 2 M x y y        , 1 3; 2 2 N x z z         . Từ BĐT OM ON MN  , suy ra điều phải chứng minh. Bài 3. CMR với mọi số a, b, c ta có:    2 22 2 2 22a c b a c b a b       . HD. Xét 3 điểm:  0;0O ,  ;M a c b ,  ;N a c b   . Từ BĐT OM ON MN  , suy ra điều phải chứng minh. 5 Bài 4. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn : 2 2 2 1x y z   . Hãy tìm GTLN của P = xy + yz +2zx. Giải. Ta có 2 2 2 2 2 2 2| | ( ) 2 | | 2( ) ( ) ( )P y x z zx y x z x z x z x z            2 21 1| | 2 2 ( ) 2 2 y y y     xét ( 2;1)u và 2 2(| | 1 ;1/ 2 )v y y y  ta có 2 2 2 21 1 1 1 3 1 3 1| || | (2 1) ( 1 ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 P uv u v y y y                . V. Phương pháp quy nạp toán học VD1. Chứng minh bát đẳng thức Becnuli:    1 1 , , 1nh nh n h       . VD2. Chứng minh với n là số nguyên lớn hơn 1 thì: 1 1 1... 1 2 n n     . BÀI TẬP Bài 1. CMR với mọi n nguyên và 2n  thì: 1 1 1... 2 1 2 n n     1 1 1 13... 1 2 2 24n n n       2 2 2 1 1 1... 2 1 2 n     Bài 2. Chứng minh rằng với n nguyên dương ta có: sin sinn n  VI. Phương pháp phản chứng VD1. Cho  , , 0;1a b c . Chứng minh rằng trong các bất đẳng thức sau có ít nhất một bất đẳng thức sai:   11 4 a b  ,   11 4 b c  và   11 4 c a  . VD2. Chứng minh rằng nếu 2a b cd  thì ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau là đúng: 2c a , 2d b . BÀI TẬP Bài 1. (NT Tp.HCM, A, D, 2000) Cho , 0x y  và 2 3 3 4x y x y   , CMR 3 3 2 2 2x y x y x y      . Bài 2. (NT Tp.HCM, A, 2001) Cho tam thức bậc hai   2f x x ax b   . CMR với mọi giá trị của a và b, trong ba số  0f ,  1f ,  1f  có ít nhất một số 1 2  VII. Phương pháp lượng giác hóa VD1. Biết 2 2 1x y  . Chứng minh: 2 2x y    . VD2. Chứng minh rằng với mọi số thực a, b ta có:      2 2 11 1 2 21 1 a b ab a b        . BÀI TẬP Bài 1. CMR 1 1 1 1 1 1 , , , 1a b c a b c a b c b c a a b c                                6 HD. Đặt 1 cos a x  ; 1 cos b y  ; 1 cos c z  với x, , 0; 2 y z      Khi đó đưa BĐT về     2 2 21 cos cos 1 cos cos 1 cos cos sin .sin .sinx y y z z x x y z    Sau đó lưu ý: 1 cos cos sin sin     ta suy ra đpcm. Bài 2. CMR từ bốn số bất kì cho trước luôn tìm được hai số x, y thỏa mãn 0 1 1 x y xy     . VIII. Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai VD1. Cho 3 36a  và 1abc  . Chứng minh rằng: 2 2 2 3 a b c ab bc ca     . VD2. Chứng minh bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki đối với bộ ba số tùy ý     2 2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3, , , , , ,a a a b b b a b a b a b a a a b b b         BÀI TẬP Bài 1. Chứng minh rằng với mọi x và y thì: 2 25 4 2 6 3 0x y xy x y      . Bài 2. Cho tam giác ABC, CMR:  211 cos cos cos , 2 x A x B C x     Bài 3. Cho 2 2 2 2 2 2 0.p q a b c d      CMR:     22 2 2 2 2 2p a b q c d pq ac bd       Bài 4. Tìm a, b để sao cho với mọi x hàm số 2 1 ax by x    đạt giá trị lớn nhất bằng 4 và giá trị nhỏ nhất bằng – 1. IX. Phương pháp đánh giá VD1. Chứng minh: *1 11 , 2 1 2 n n n n n         . VD2. Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1... 1 2 3 n     Giải. Ta có:  2 1 1 1 1 1 1n n n n n      với mọi số tự nhiên 1n  , nên: 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1... ... 1 1 2 3 1 2 2 3 1n n n n               , với mọi số tự nhiên 1n  (đpcm) BÀI TẬP Bài 1. CMR với n nguyên dương ta có: 1 1 1 1... 2 1 1 2 3 n n       HD. Ta có:  1 2 2 2 1 1 n n n n n n n         Bài 2. CMR với n nguyên dương ta có: 1 3 5 2 1 1. . ... 2 4 6 2 2 1 n n n    HD. Ta có:    2 2 2 2 2 1 2 12 1 2 1 2 2 14 4 1 k kk k k kk k        Bài 3. Cho a, b, c, d > 0. CMR: 1 2a b c d a b c b c d c d a d a b              X. Phương pháp quy về một biến 7 VD. Cho 2 2 2 2a b c   , 1ab bc ca   , chứng minh rằng 4 4 3 3 a   . Giải. Từ giả thiết ta có:  2 2 4 2 b c a a b c b c a             Từ đó ta có:    2 2 22 2 2 2 2 2 3 4 42 2 2 2 b c a a aa b c a a              Suy ra: 23 4 0a a  . Vậy 4 4 3 3 a   XI. Phương pháp đổi biến VD. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn 2 2 2 3a b c   , chứng minh rằng:  3 1ab bc ca c a b    . Giải.   2 2 2 2 2 21 3a b b c c a abc    . Đặt 2 3xa x y z    , 2 3yb x y z    , 2 3zc x y z    , với , , 0x y z  Khi đó (1) trở thành    3 2xy yz zx xyz x y z     Ta có      22 3xy yz zx xyz x y z           2 2 21 0 2 xy yz yz zx zx xy         đúng BÀI TẬP Bài 1. Cho x, y, z dương và x + 2y + 4z = 12. Tìm GTLN của biểu thức: 2 8 4 2 2 4 4 xy yz zxP x y y z z x       . HD. Đặt a = x, b = 2y, c = 4z ta được a + b + c = 12 và : 6 4 4 4 ab bc ca a b b c c aP a b b c c a              . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 4. Bài 2. CMR nếu a, b, c không âm và 1abc  thì: 1 1 1 1 2 2 2a b c       HD. Đặt xa y  , yb z  , za x  thay vào ta được:       2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 y z x x y z y x z y x z x x y y y z z z x              Đến đây sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz sẽ có kết quả. B. Một số bài tập rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đẳng thức Bài 1. Với ba số thực bất kì a, b và c. CMR: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 a b c a b c a ab b b bc c c ca a            Bài 2. Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. CMR: 1.    b c a c a b a b c abc       2. Nếu a b c  thì      3 2 2 3 2 2 3 2 2 0a b c b c a c a b      HD. 8 1. Chú ý đến các BĐT dễ thấy sau đây:     22 2a a b c a b c a b c            22 2b b c a b c a b c a            22 2c c a b c a b c a b        Nhân từng vế ba BĐT trên, ta có BĐT cần chứng minh. 2. Phân tích vế trái thành tích:     a b b c a c ab bc ca     Bài 3. (BĐT Nesbit) Cho ba số dương a, b và c. CM BĐT: 3 2 a b c b c c a a b       . Khi nào đẳng thức xảy ra? Bài 4. Cho ba số dương a, b và c. CM BĐT: 2 2 21 1 1 12a b c b c a                       . Khi nào đẳng thức xảy ra? HD. Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số. Hoặc theo các bước:  22 2 21 1 1 1 1 13 a b c a b c b c a b c a                                                          2 1 1 1 1 1 14a b c a b c a b c a b c                          1 1 1 9a b c a b c          Bài 5. Cho ba số dương a, b và c. CM BĐT: a b c a b c a b b c c a b c c a a b            . Khi nào đẳng thức xảy ra? HD. Dễ chứng minh 2a b c a b b c c a       . Ta chứng minh 2a b c b c c a a b       theo gợi ý:   1 2a aa b c a b c a b c       Bài 6. Cho ba số dương x, y và z, Gọi s x y z   . Chứng minh: 31 1 1 31 1 1 1 x y z s                         HD. Sử dụng BĐT Cô-si đi đến: 3 3 2 1 1 1 9 27 3 31 1 1 1 1 x y z s s s s                                   Bài 7. CMR nếu x, y và z là ba số không âm thì:    242 3 2 3 3 y zx y z x x y z           . HD. Ta có các bất đẳng thức sau:     1 32 3 2 3 3 2 3 3 2 y z yx y z x x y z x z                     232 3 31 1 72 4 4 3 2 12 2 yx y z x z yx z                        9      2 2 21 7 1 44 4 4 4 4 12 2 12 3 yx z x y z x y z            (do 7 4 2 y y ) Bài 8. 1. Nếu ba số a, b, c thỏa mãn 1 1 1 1 a b c    thì 1 1 1 1 2 2 2 4a b c a b c a b c          . 2. Trong một tam giác với ba cạnh a, b, c và chu vi là 2p, ta có BĐT: 1 1 1 1 1 12 p a p b p c a b c            Bài 9. Với mọi x, y mà (x + y)  0 ta luôn có 3 3 3( ) 4( )yy xx   . Đẳng thức xảy ra khi nào? Giải. Với mọi số x, y ta có 2( ) 4 x yxy  . Đẳng thức xảy ra kvck x = y. Do (x + y)  0 nên 3( )( ) 4 x yxy x y   . Do đó: 2 3 3 3 3 3 ( ) ( )( ) 3 ( ) ( ) 3 ( ) 4 4 x y x yx y x y xy x y x y x y           . Bài 10. Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa xyz = 1. Tìm GTNN của biểu thức: 2 2 2x y zM y z z x x y       Giải. Ta có 2 4 x y z x y z     , 2 4 y z x y z x     và 2 4 z x y z x y     nên: 2 x y zM x y z     Do đó, 33 3 2 2 2 xyzx y zM     . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1. Bài 11. Cho 2 số thực dương x, y. Chứng minh 2 9(1 ) 1 1 256yx x y            . Giải. Áp dụng BĐT 2(1 )(1 ) (1 )a b ab    , đẳng thức xảy ra kvck a = b. 2 2 2 2 2 49 9 9(1 ) 1 1 (1 ) 1 (1 ) 1 (1 3) 256y yx x y x xy y y                                    . Bài 12. Cho a, b, c >0 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2a bc b ac c ab       . Giải. Áp dụng BĐT 1 1 1 1 1 1 9( )( ) 9x y z x y z x y z x y z            với x , y, z > 0. Ta được 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 9 9 1 2 2 2 2 2 2 ( )a bc b ac c ab a bc b ac c ab a b c                . Bài 13. Cho x, y, z dương, thỏa đẳng thức 1 1 1 1 x y z    . Chứng minh: 10 2 2 2 4 x y z x y z x yz y zx z xy         . Giải. Ta có 1 1 1 1 x y z     xy + yz + zx = xyz. Do đó: 2 3 3 3 2 2 ( )( ) x x x x x yz x xyz x xy yz zx x y x z           . 2 3 3 (1) 8 8 ( )( ) 8 8 4 x x y x z x x y x z x x yz x y x z               Tương tự: 2 3 (2) 8 8 4 y y z y x y y zx       và 2 3 (3) 8 8 4 z z x z y z z xy       . Cộng (1), (2) và (3) ta được đpcm. Bài 14. Cho x, y z là các số dương và 3 2 x y z   . CMR: 1 1 1 7 2 2 2 2 x y z x y y z z x          . Giải. Cách 1: Theo BĐT Côsi ta có 1 4( 2 ) 4 2 9 3 x y x y     , 1 4( 2 ) 4 2 9 3 y z y z     và 1 4( 2 ) 4 2 9 3 z x z x     . Cộng 3 BĐT này ta được 1 1 1 4( ) 4 2 2 2 3 x y z x y y z z x           1 1 1 ( ) 4 2 2 2 3 x y zx y z x y y z z x             (1). Vì 3 2 x y z   nên 1 2 3 x y z   . Do đó: 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 x y zx y z x y z x y y z z x x y y z z x                      (2) Từ (1) và (2) ta được 1 1 1 1 4 2 2 2 2 x y z x y y z z x           . Suy ra BĐT cần CM. Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số dương, dễ dàng chứng minh được: 1 1 1[( 2 ) ( 2 ) ( 2 )]( ) 9 2 2 2 x y y z z x x y y z z x            nên 1 1 1 9 3 2 2 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )x y y z z x x y y z z x x y z               Do đó, 3VT x y z x y z       . Đặt t = x + y + z, xét hàm số: 3( )f t t t   với 3(0; ] 2 t . Ta có 2 / 2 2 3 3 3( ) 1 0, (0; ] 2 tf t t t t        nên f(t) giảm trên 3(0; ] 2 . Vì vậy, 3 7 3( ) ( ) , (0; ] 2 2 2 f t f t    11 Do đó, VT  f(t)  7/2. Đẳng thức xảy ra kvck 2 2 2 1 3 2 2 x y y z z x x y z x y z              Bài 15. (Đề dự bị 1 khối A, năm 2007) Cho x, y, z là các biến số dương. Tìm GTNN của P = 3 3 3 3 3 33 3 3 2 2 24( ) 4( ) 4( ) 2( ) x y zy z z x y x y z x       Giải. Với mọi số a, b không âm, ta có 2( ) 4 a bab  và 0  (a + b) nên 2 3 3 3 3 3 ( ) ( )( ) 3 ( ) ( ) 3 ( ) 4 4 a b a ba b a b ab a b a b a b           . Đẳng thức xảy ra kvck a = b  0. Do đó, P  2 2 2( ) ( ) ( ) 2( ) x y zx y y z z x y z x         (1). Mặt khác: 2 2 2 2 2 2 2 . 2 2 . 2 2 . 2 x x xx x y y y y y yy y z z z z z zz z x x x                Nên: 32 2 2 2( ) 2.3 . . 6 x y z x y z x y zx y z y z x y z x y z x           (2). Từ (1) và (2) ta được P  12. Đẳng thức xảy ra kvck 2 2 2 1 , , x y z x y zx y zx y z y z x           . Vậy, min P =12 khi x = y = z = 1. Bài 16. Cho x,y > 0, x + y = 1. Chứng minh: 2 2 1 1 6 xy x y    . Giải. Ta có: 2 2 2 2 2 22 2 1 1 2 1 1 2 2 42 6 4 2 ( ) ( )2 ( )xy x y xy xy x y x y x yxy x y                 . Bài 17. Cho a, b, c không âm thỏa a + b + c = 3 . CMR: 2 2 2 3 1 1 1 2 a b c b c a       Giải. Ta có 2 2 2 21 1 2 2 a ab ab aba a a b b b         . Tương tự : 2 2;1 2 1 2 b bc c cab c c a       Suy ra :    21 1 9 33 2 6 6 2 VT a b c ab bc ca a b c a b c               . Đẳng thức xảy ra khi : a = 1 , b = 1 , c = 1. Bài 18. Cho 0, 0x y  và 1x y  . Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: 1 1 x yP y x     . 12 HD. Ta có:   22 2 2 2 2 1 1 1 1 2 x y x y xyx y x y x y xyP y x x y xy x y xy xy                      Đặt 0t xy  , ta có 1= 11 2 4 x y xy t xy      Quy về tìm GTLN và GTNN của hàm số   2 2 1, 0; 2 4 tf t t t        . Bài 19. (ĐH,A,2009) CMR với mọi số thực dương x, y, z thỏa mãn   3x x y z yz   , ta có          3 3 33 5x y x z x y x z y z y z         . Giải. Đặt , , , 0 x y a x z b a b c y z c          ta có       1 2 1 2 1 2 x a b c y a c b z b c a               , thay và giả thiết, ta được:             22 221 1 1 13 3 2 2 2 2 a b c a b c a c b b c a a b c c a b                 2 2 2c a b ab    Ta có:         2 2 2 22 2 2 13 3 2 4 4 a b c a b ab a b ab a b a b a b c                (1) Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:   3 3 3 2 2 33 5 3 5a b abc c a b a b ab abc c           2 33 5a b c abc c    (1) cho ta   22a b c c  và  2 233 3 4 ab a b c   , nên:   2 3 3 33 2 3 5a b c abc c c c     (đpcm) Bài 20. (ĐH-B-2009) Cho các số thực x, y thay đổi và thỏa mãn  3 4 2x y xy   . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:    4 4 2 2 2 23 2 1A x y x y x y      Giải. Ta có:            22 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 23 2 1 3 3 2 1 4 x y A x y x y x y x y x y                 22 2 2 29 2 14 x y x y     Từ:      3 3 24x y xy x y x y      và giả thiết ta có:          3 2 22 1 2 2 0 1x y x y x y x y x y x y                    Ta lại có:    2 2 2 2 2 12 2 x y x y x y      Đặt 2 2t x y  , bài toán trở thành: Tìm GTNN của hàm số   29 2 1 4 f t t t   với 1 2 t  . 13 Ta có:   9 1' 2 0, 2 2 f t t t     Nên:   1; 2 1 9min 2 16t f t f           Suy ra: 9 16 A  ; đẳng thức xảy ra khi 1 2 x y  . Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 9 16 . Bài 21. (ĐH-D-2009) Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn 1x y  . Tìm GTLN và GTNN của biểu thức   2 24 3 4 3 25S x y y x xy    . Giải. Ta có:      33 3 2 2 2 212 16 34 12 36 16 34S x y x y xy x y xy x y x y xy          2 216 2 12x y xy   Đặt t xy , thì   2 0 4 x y t xy     , hay: 10 4 t  Do đó: 216 2 12S t t   , 10 4 t  Xét hàm số:   216 2 12f t t t   trên đoạn 10; 4        1' 32 2 0 16 f t t t     ;   1 191 1 250 12, , 16 16 4 2 f f f               10; 4 1 25max 4 2t f t f           ,   10; 4 1 191min 16 16t f t f           Giá trị nhỏ nhất của S bằng 191 16 ; khi   1 2 3 2 3; ;1 4 4 16 x y x y xy              hoặc   2 3 2 3; ; 4 4 x y          Giá trị lớn nhất của S bằng 25 2 ; khi   1 1 1; ;1 2 2 4 x y x y xy           . Bài 22.(ĐH-B-2008) Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức 2 2 1x y  . Tìm GTLN và GTNN của biểu thức  2 2 2 6 1 2 2 x xy P xy y     . Giải. Cách 1.      2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 2 6 2 6 1 2 2 2 2 2 3 x xy x xy x xy P xy y x y xy y x xy y              Khi  20 1x y   thì 0P  Khi 0x  , đặt y tx ta có:      2 22 2 2 1 6 2 1 6 1 2 31 2 3 x t t P t tx t t         23 2 6 2 0Pt P t P      (1) 14 Nếu P = 0 thì phương trình (1) có nghiệm 1 6 t   Nếu 0P  thì phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi:    2' 6 3 2 0P P P      2 3 18 0 6 3P P P        Ta thấy 3 1, 10 10 x y  thì P = 3. Ta thấy 3 2, 13 13 x y   thì 6P   . Giá trị lớn nhất của P bằng 3, giá trị nhỏ nhất của P bằng – 6. Cách 2. Đặt sin , cosx a y a  ta có:  2 2 2 sin 6sin cos 1 cos 2 6sin 2 1 2sin cos 2cos 2 sin 2 cos 2 a a a a aP P a a a a a              6 sin 2 1 cos 2 1 2P a P a P      Điều kiện tồn tại a:      2 2 2 26 1 1 2 2 6 36 0 6 3P P P P P P             Vậy: Giá trị lớn nhất của P bằng 3, giá trị nhỏ nhất của P bằng – 6. Bài 23.(ĐH-D-2008) Cho hai số thực x, y không âm thay đổi. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức       2 2 1 1 1 x y xy P x y      . Giải. Ta có:              2 2 2 1 1 1 1 1 4 4 41 1 1 x y xy x y xy P P x y x y xy                   Khi 0, 1x y  thì 1 4 P   Khi 1, 0x y  thì 1 4 P  Vậy, GTLN của P bằng 1 4 , GTNN của P bằng 1 4  . Bài 24. Cho a, b, c không âm thỏa a + b + c = 3 . Tìm GTNN của biểu thức: 2 2 21 1 1 a b cR b c a       Giải. Ta có 2 2 2 21 1 2 2 a ab ab aba a a b b b         . Tương tự: 2 2;1 2 1 2 b bc c cab c c a       Suy ra :    21 1 9 33 2 6 6 2 R a b c ab bc ca a b c a b c               . Đẳng thức xảy ra khi : a = 1 , b = 1 , c = 1. Vậy 3min 2 R  . Bài 25. Cho x, y, z dương thỏa 2 2 2 1x y z   . CMR 3 12 2 xy yz zx    . Giải. 15 * Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 ) ) 1 1 (.( . ). 2 1 1 (.( . ). 2 2 a x yxy a x y a z yzy a z a y a a zx z x a               , với a dương tùy ý. Do đó, 2 2 2 1(1 )( ) . 2 aVT x z y a     Chọn a >0 sao cho 11 2 a a   ta được 3 1a   Ta được 2 2 2 1 1 1 3 1( ) 23 1 VT x y z a a         . BÀI TẬP Bài 1. (QG HN,D,2000) Với a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn đẳng thức: ab bc ca abc   , CMR: 2 2 2 2 2 22 2 2 3b a c b a b ab bc ca       . Bài 2. (BK HN,A,2000) Cho hai số a, b thỏa mãn điều kiện 0a b  , CMR: 33 3 2 2 a b a b       . Bài 3. (Nông nghiệp I, A, 2000) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện 1abc  . Hãy tìm GTNN của biểu thức: 2 2 2 2 2 2 bc ca abP a b a c b c b a c a c b       . Bài 4. (SP Vinh-AB-2001) Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 thì: 2 2 23 3 3 4 13a b c abc    . Bài 5. (ĐH XD, 2001) Cho các số x,y,z thay đổi trên  0;1 và thỏa mãn điều kiện 3x 2 y z   . Tìm GTNN của biểu thức:  2 2 2cosA x y z   . HD. Đặt 2 2 2 , z xt x y z P xy y z      , ta có  2 92 2 4 t x y z P P      Giả sử   1max , , 2 x x y z x   . Ta có   3 1z z 2 2 P x y z y x x y           Do vậy 1 5 5min max min A cos 2 4 4 P t     . Bài 6. (Nông nghiệp I, A, 2001) Cho , , 0x y z  . CMR: 3 2 3 2 3 2 2 2 2 22 2 1 1 1yx z x y y z z x x y z         . Bài 7. (ĐH HH-A-2001) Cho x, ; 4 4 y        . CM BĐT tan tan 1 1 tan tan x y x y    Bài 8. (ĐH Đà Nẵng-A-2001) Cho ba số dương a, b, c và 2 2 2 1a b c   . CMR: 2 2 2 2 2 2 3 3 2 a b c b c c a a b       16 Bài 9. (ĐH Thái Nguyên-D-2001) Cho 1, 1a b  , CMR: 1 1a b b a ab    . Bài 10. CMR: 2 21 1 1a b b a    , với mọi a, b thuộc đoạn  1;1 . Bài 11. Cho các số  , , 0;1x y z thỏa mãn    1 1 1xyz x y z    . CMR: 2 2 2 3 4 x y z   . HD. Ta có      1 z x z z x 2 1xyz x y z xy y z xy xy y z xyz x y z                Từ đó    22 2 2 2 2 4x y z x y z x y z xyz          Đặt t x y z   đưa về xét hàm số. Bài 12. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR: 4 9 16 26a b cP b c a c a b a b c           HD. Đặt  , , 0, 0, 0x b c a y c a b z a b c x y z            Bài 13. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn ab bc ca abc   . CMR: a bc b ca c ab abc a b c         HD. Từ giả thiết có 1 1 1 1 a b c    . Đặt 1 1 1, ,x y z a b c    , BĐT trở thành: z z 1x y y y zx zx z xy xy         Lưu ý rằng:      z z 1 1 1x y y y z y z x y x z           Từ đó:    z z z 2 2 x xx y y x x y x z y zx y x z y                       …… Bài 14. Cho , , 0x y z  thỏa mãn x 1y z   . CMR: 1 4 9 36 x y z    . HD. Đặt ax a b c    , by a b c    , cz a b c    Bài 15. (Đề dự bị khối B-2008) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn hệ thức z 3 yx y z x    . CMR  2 3 3 6 x y z  Bài 16. Cho tam giác ABC. CMR: 2 2 2a b c a b c b c a c a b a b c            . Bài 17. CMR , , 0a b c  và 1abc  ta có      2 2 2 1 1 1 3 2a b c b c a c a b       . Bài 18. CMR , , 0a b c  và 1abc  tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:      3 3 3 1 1 1P a b c b c a c a b       . Bài 19. Cho a, b, c >0. CMR:   3 3 3 2 2 21 2 2 2 3 a b c a b c a b b c c a         . Bài 20. Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện 3a b c   . CMR:       3 3 3 1 2 2 2 a b c b a c c b a a c b       17 Bài 21. Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện 1ab bc ca   . CMR: 2 2 2 3 21 1 1 a b c a b c       Bài 22. Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện 2a b c   . CMR: 1 2 2 2 ab bc ca c ab a bc b ac       Bài 23. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện 1x y z   . CM BĐT: z 3 z 2 xy y zx xy z y x zx y       Bài 24. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn 2 2 2 1x y z     . CMR: 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 x y z x y z x y z y z x z x y           Bài 25. Cho x, y, z là các số dương. CMR:  2 2 2 2 2 2 3x xy y y yz z z zx x x y z           HD. Ta có      2 2 22 2 3 1 3 4 4 4 x xy y x y x y x y        . Suy ra:  2 2 3 2 x xy y x y    ……. Bài 26. Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện 1 1 1 2 1 1 1a b c       . CMR: 0,125abc  . Bài 27. (SP HN 2-1997) Chứng minh bất đẳng thức: 6 6 ... 6 30 30 ... 30 9         dÊu c¨n dÊu c¨nn n Bài 28. Cho a, b, c >0. CMR:   3 3 3 3 3 3 2 2 2 29 29 29 4 6 6 6 a b b c c a a b c ab a bc b ca c            . HD. Tìm m, n để sao cho:   3 3 2 29 , 4 6 a b ma nb m n ab a       . Bài 29. Cho a, b, c >0 và 2 2 2 1a b c   . CM: 2 2 2 3 1 2 1 2 1 2 5 a b c bc ca ab       . HD. Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 1 1 a b c a b c bc ca ab b c c a a b               Thay giả thiết và cộng thêm 3, ta sẽ đưa về bất đẳng thức đơn giản. Bài 30. Cho a, b, c là các số thực dương và 1abc  . CMR: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 3 2 3 2 3 2a b b c c a          HD. Áp dụng BĐT Cô-si: 2 2 22 , 1 2a b ab b b    , dẫn đến  2 2 1 1 2 3 2 1a b ab b      . Bài 31. (ĐH Y HN-98) Cho a . CM BĐT: 6 3 2 1 0a a a a     . Bài 32. Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a b c abc   . CMR: 3 3 3 1 a b c b c a    . 18 HD. Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương, ta có: 3 3 2 1 1 22 .a a b ab b ab b    , 3 2 1 2b c bc c   , 3 2 1 2c a ca a   và 2 2 2 1 1 1 1 1 12 2 a b c ab bc ca                . Cộng lại và rút gọn ta có đpcm. Bài 33. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện 1ab bc ca   . CMR: 2 2 2 1 1 1 1 1 13 1 1 1 ab bc ca a b c          HD. BĐT 2 2 2 1 1 11 1 1 1 1 1ab bc ca ab bc ca ab bc ca ab bc ca a b c                                  2 2 2 c a b a b c b c a a b a c b c b a c a c b ab bc ca a b c                Đặt      ; ;c a b a b c b c ax y z ab bc ca       , ta được BĐT x y z xy yz zx     .