Ôn thi cao học môn toán kinh tế phần 2: Xác suất

1 OÂN THI CAO HOÏC MOÂN TOAÙN KINH TEÁ (Bieân soaïn: Traàn Ngoïc Hoäi - 2007) PHAÀN II: XAÙC SUAÁT A- CAÙC COÂNG THÖÙC CÔ BAÛN §1. OÂN VEÀ TOÅ HÔÏP 1.1. Ñònh nghóa: Moät toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû laø moät nhoùm khoâng coù thöù töï goàm k phaàn töû phaân bieät ñöôïc ruùt ra töø n phaàn töû ñaõ cho. Ví duï: Caùc toå hôïp chaäp 2 cuûa 3 phaàn töû x, y, z laø: {x,y}; {x,z}; {y,z}. 1.2. Coâng thöùc tính toå hôïp: Goïi knC laø soá toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû. Ta coù coâng thöùc: ( ) ! ! ! = − k n nC k n k Ví duï: 620 20! 38760. 6!14! = =C Chuù yù: Treân maùy tính coù phím chöùc naêng nCr, ta tính 620C baèng caùch baám 20 nCr 6 = 1.3. Baøi toùan löïa choïn: Moät loâ haøng chöùa N saûn phaåm, trong ñoù coù NA saûn phaåm loaïi A vaø N- NA saûn phaåm loïai B. Choïn ngaãu nhieân ra n saûn phaåm (0 < n < N). Vôùi moãi soá nguyeân k thoûa 0 ≤ k ≤ NA, 0 ≤ n-k ≤ N-NA. Tìm soá caùch choïn ra n saûn phaåm, trong ñoù coù ñuùng k saûn phaåm loaïi A. Lôøi giaûi Ñeå choïn ra n saûn phaåm, trong ñoù coù ñuùng k saûn phaåmloaïi A ta tieán haønh 2 böôùc: Böôùc 1: Choïn k saûn phaåm loaïi A töø NA saûn phaåm loaïi A. Soá caùch choïn laø A k NC . Böôùc 2: Choïn n-k saûn phaåm loaïi B töø N-NA saûn phaåm loaïi B. Soá caùch choïn laø −− A n k N NC . 2 Theo nguyeân lyù nhaân ta coù soá caùch ra n saûn phaåm, trong ñoù coù ñuùng k saûn phaåm loaïi A laø: . −−A A k n k N N NC C . §2. ÑÒNH NGHÓA XAÙC SUAÁT 2.1. Pheùp thöû vaø bieán coá 1) Pheùp thöû laø moät thí nghieäm ñöôïc thöïc hieän trong nhöõng ñieàu kieän xaùc ñònh naøo ñoù. Moät pheùp thöû coù theå cho nhieàu keát quaû khaùc nhau, moãi keát quaû ñöôïc goïi laø moät bieán coá. Ví duï: Thöïc hieän pheùp thöû laø tung moät con xuùc xaéc ñoàng chaát 6 maët. Caùc bieán coá coù theå xaûy ra laø: Xuaát hieän maët 1 chaám; Xuaát hieän maët coù chaám chaün,… 2) Bieán coá taát yeáu, kí hieäu Ω (OÂmeâga), laø bieán coá nhaát thieát phaûi xaûy ra khi thöïc hieän pheùp thöû. Ví duï: Khi tung moät con xuùc xaéc 6 maët, bieán coá “Xuaát hieän maët coù soá chaám khoâng quaù 6” laø bieán coá taát yeáu. 3) Bieán coá baát khaû, kí hieäu Φ, laø bieán coá khoâng bao giôø xaûy ra khi thöïc hieän pheùp thöû. Ví duï: Khi tung moät con xuùc xaéc 6 maët, bieán coá “Xuaát hieän maët coù soá chaám lôùn hôn 6” laø bieán coá baát khaû. 4) Bieán coá ngaãu nhieân laø bieán coá coù theå xaûy ra cuõng coù theå khoâng xaûy ra khi thöïc hieän pheùp thöû. Ta thöôøng duøng caùc kí töï A, A1, A2, B, C,… ñeå chæ caùc bieán coá ngaãu nhieân. Ví duï: Khi tung moät con xuùc xaéc 6 maët, bieán coá “Xuaát hieän maët 1 chaám” laø moät bieán coá ngaãu nhieân. Trong caùc ví duï minh hoïa sau, khi tung moät con xuùc xaéc 6 maët, ta goïi Aj (j = 1,2,…,6) laø bieán coá “Xuaát hieän maët j chaám” . 5) Bieán coá toång cuûa hai bieán coá A vaø B, kí hieäu A + B (hay A∪ B) laø bieán coá ñònh bôûi: A + B xaûy ra ⇔ A xaûy ra hoaëc B xaûy ra. ⇔ Coù ít nhaát moät trong hai bieán coá A hoaëc B xaûy ra. Minh hoïa: 3 Ta coù theå môû roäng khaùi nieäm toång cuûa n bieán coá A1, A2,…, An nhö sau: A1 + A2 +…+ An xaûy ra ⇔ Coù ít nhaát 1 trong n bieán coá A1, A2,…, An xaûy ra. Ví duï: Tung moät con xuùc xaéc 6 maët, goïi A laø bieán coá “Xuaát hieän maët coù soá chaám khoâng quaù 2” vaø B laø bieán coá “Xuaát hieän maët coù soá chaám chaün”, ta coù: A = A1 + A2 B = A2 + A4 + A6 6) Bieán coá tích cuûa hai bieán coá A vaø B, kí hieäu AB (hay A∩B) laø bieán coá ñònh bôûi: AB xaûy ra ⇔ A xaûy ra vaø B xaûy ra. Nhö vaäy, bieán coá tích AB xaûy ra khi vaø chæ khi caû hai bieán coá A vaø B ñoàng thôøi xaûy ra. Minh hoïa: Ta coù theå môû roäng khaùi nieäm tích cuûa n bieán coá A1, A2,…, An nhö sau: A1A2…An xaûy ra ⇔ Taát caû n bieán coá A1, A2,…, An ñoàng thôøi xaûy ra. Ví duï: Tung moät con xuùc xaéc 6 maët, xeùt caùc bieán coá sau: A : Xuaát hieän maët coù soá chaám chaün. B : Xuaát hieän maët coù soá chaám lôùn hôn hay baèng 5. C: Xuaát hieän maët coù soá chaám nhoû hôn hay baèng 5. Ta coù: AB = A6 vaø ABC = Φ. 7) Bieán coá sô caáp laø bieán coá khaùc bieán coá baát khaû vaø khoâng theå phaân tích döôùi daïng toång cuûa hai bieán coá khaùc. 4 Ta coù theå xem caùc bieán coá sô caáp nhö laø caùc nguyeân töû nhoû nhaát khoâng theå phaân chia ñöôc nöõa. Moät bieán coá A baát kyø seõ laø toång cuûa moät soá bieán coá sô caáp naøo ñoù, ta goïi nhöõng bieán coá sô caáp ñoù thuaän lôïi cho bieán coá A. Nhö vaäy, moïi bieán coá sô caáp ñeàu thuaän lôïi cho bieán coá taát yeáu, trong khi khoâng coù bieán coá sô caáp naøo thuaän lôïi cho bieán coá baát khaû. Ví duï: Khi tung moät con xuùc xaéc 6 maët, ta coù taát caû 6 bieán coá sô caáp laø Aj (j = 1,2,…,6). Goïi A laø bieán coá xuaát hieän maët coù soá chaám leû. Khi ñoù: A = A1 + A3 + A5. Do doù coù 3 bieán coá sô caáp thuaän lôïi cho bieán coá A laø A1, A3, A5. 8) Hai bieán coá A vaø B ñöôïc goïi laø xung khaéc neáu AB = Φ, nghóa laø A vaø B khoâng bao giôø ñoàng thôøi xaûy ra trong cuøng moät pheùp thöû. Ví duï: Tung moät con xuùc xaéc 6 maët, xeùt caùc bieán coá : A : Xuaát hieän maët coù soá chaám chaün. B : Xuaát hieän maët 1 chaám. C : Xuaát hieän maët coù soá khoâng quaù 2. Ta coù A vaø B xung khaéc nhöng A vaø C thì khoâng (AC = A2). 9) Bieán coá ñoái laäp cuûa bieán coá A, kí hieäu A , laø bieán coá ñònh bôûi A xaûy ra ⇔ A khoâng xaûy ra Minh hoïa: Nhö vaäy, A vaø A xung khaéc, hôn nöõa A + A = Ω, nghóa laø nhaát thieát phaûi coù moät vaø chæ moät trong hai bieán coá A hoaëc A xaûy ra khi thöïc hieän pheùp thöû. Ví duï: Tung moät con xuùc xaéc 6 maët, xeùt caùc bieán coá A : Xuaát hieän maët coù soá chaám chaün. B : Xuaát hieän maët coù soá chaám leû. Ta thaáy ngay B laø bieán coá ñoái laäp cuûa A. 10) Caùc bieán coá ñoàng khaû naêng laø caùc bieán coá coù khaû naêng xaûy ra nhö nhau khi thöïc hieän pheùp thöû. Ví duï: Khi tung ngaãu nhieân moät con xuùc xaéc ñoàng chaát 6 maët, caùc bieán coá sô caáp Aj (j = 1,2,…,6) laø ñoàng khaû naêng. 5 2.2. Ñònh nghóa xaùc suaát. Giaû söû khi tieán haønh moät pheùp thöû ø, coù taát caû n bieán coá sô caáp ñoàng khaû naêng coù theå xaûy ra, trong ñoù coù mA bieán coá sô caáp thuaän lôïi cho bieán coá A. Tæ soá n mA ñöôïc goïi laø xaùc suaát cuûa bieán coá A, kí hieäu laø P(A). Nhö vaäy, P(A) = raxaûy theå coù caáp sô coá bieánsoá Toång A cho lôïi thuaäncaápsô coábieánoáS 2.3. Coâng thöùc tính xaùc suaát löïa choïn. Xeùt moät loâ haøng chöùa N saûn phaåm, trong doù coù NA saûn phaåm loaïi A, coøn laïi laø loaïi B. Choïn ngaãu nhieân töø loâ haøng ra n saûn phaåm (0< n < N). Khi ñoù, vôùi moãi 0 ≤ k ≤ NA thoûa 0 ≤ n-k ≤ N-NA, xaùc suaát ñeå trong n saûn phaåm choïn ra coù ñuùng k saûn phaåm loaïi A laø: A A k n k N N N nn N (k) C Cp C − −= §3. COÂNG THÖÙC COÄNG XAÙC SUAÁT 3.1. Coâng thöùc coäng xaùc suaát 1) Coâng thöùc coäng xaùc suaát thöù nhaát. Vôùi A vaø B laø hai bieán coá xung khaéc, ta coù P(A+B) = P(A) + P(B) Môû roäng: Vôùi A1, A2, …, An laø n bieán coá xung khaéc töøng ñoâi, ta coù: P(A1 + A2 + …+ An) = P(A1) + P(A2) +…+ P(An) 2) Heä quaû: Vôùi A laø moät bieán coá baát kyø, ta coù P(A) 1 P(A)= − 3) Coâng thöùc coäng xaùc suaát thöù hai: Vôùi A vaø B laø hai bieán coá baát kyø, ta coù: 6 P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) Ví duï 1: Moät loâ haøng chöùa 15 saûn phaåm goàm 10 saûn phaåm toát vaø 5 saûn phaåm xaáu. Choïn ngaãu nhieân töø loâ haøng ra 4 saûn phaåm. Tính xaùc suaát ñeå trong 4 saûn phaåm choïn ra coù: a) Soá saûn phaåm toát khoâng ít hôn soá saûn phaåm xaáu. b) Ít nhaát 1 saûn phaåm xaáu. Lôøi giaûi. Goïi Aj (j = 0,1,…,4) laø bieán coá coù j saûn phaåm toát vaø (4-j) saûn phaåm xaáu coù trong 4 saûn phaåm choïn ra. Khi ñoù A0, A1,…,A4 xung khaéc töøng ñoâi vaø theo Coâng thöùc tính xaùc suaát löïa choïn vôùi N = 15, NA = 10, n = 4 (ôû ñaây loaïi A laø loaïi toát), ta coù: C CC jj jAP 4 15 4 510)( − = Töø ñoù ta tính ñöôïc: . 1365 210)(; 1365 600)( 1365 450)(; 1365 100)(; 1365 5)( 43 210 == === APAP APAPAP a) Goïi A laø bieán coá soá saûn phaåm toát khoâng ít hôn soá saûn phaåm xaáu. Ta coù: A = A4 + A3 + A2. Töø ñaây do tính xung khaéc töøng ñoâi cuûa A2, A3, A4, Coâng thöùc coäng thöù nhaát cho ta: 9231,0 1365 450 1365 600 1365 210 )()()()( 234 = ++= ++= APAPAPAP b) Goïi B laø bieán coá coù ít nhaát 1 saûn phaåm xaáu trong 4 saûn phaåm choïn ra. Khi ñoù, bieán coá ñoái laäp B laø bieán coá khoâng coù saûn phaåm xaáu naøo trong 4 saûn phaåm choïn ra neân B = A4. Suy ra xaùc suaát cuûa B laø 7 8462,0 1365 2101)(1)(1)( 4 =−=−=−= APBPBP . Ví duï 2: Moät lôùp hoïc coù 100 sinh vieân, trong ñoù coù 60 sinh vieân gioûi Toaùn, 70 sinh vieân gioûi Anh vaên vaø 40 sinh vieân gioûi caû hai moân Toaùn vaø Anh vaên. Choïn ngaãu nhieân moät sinh vieân cuûa lôùp. Tìm xaùc suaát ñeå choïn ñöôïc sinh vieân gioûi ít nhaát moät trong hai moân Toaùn hoaëc Anh vaên. Lôøi giaûi Goïi - A laø bieán coá sinh vieân ñöôïc choïn gioûi moân Toaùn. - B laø bieán coá sinh vieân ñöôïc choïn gioûi moân Anh vaên. Khi ñoù - AB laø bieán coá sinh vieân ñöôïc choïn gioûi caû hai moân Toaùn vaø Anh vaên. - A + B laø bieán coá sinh vieân ñöôïc choïn gioûi ít nhaát moät trong hai moân Toaùn hoaëc Anh vaên. Do ñoù .9,0 100 40 100 70 100 60)()()()( =−+=−+=+ ABPBPAPBAP §4. COÂNG THÖÙC NHAÂN XAÙC SUAÁT 4.1. Xaùc suaát coù ñieàu kieän. 1) Ñònh nghóa: Xaùc suaát coù ñieàu kieän cuûa bieán coá A bieát bieán coá B ñaõ xaûy ra, kí kieäu P(A/B), laø xaùc suaát cuûa bieán coá A nhöng ñöôïc tính trong tröôøng hôïp bieán coá B ñaõ xaûy ra roài. Ví duï: Thaûy moät con xuùc xaéc ñoàng chaát 6 maët. Xeùt caùc bieán coá sau: - A laø bieán coá xuaát hieän maët coù soá chaám chaün. - B laø bieán coá xuaát hieän maët coù soá chaám leû. - C laø bieán coá xuaát hieän maët coù soá chaám nhoû hôn hay baèng 4. - D laø bieán coá xuaát hieän maët coù soá chaám lôùn hôn hay baèng 4. Khi ñoù - P(A/B) = 0 - P(A/C) = 2/4 = 0,5 - P(A/D) = 2/3 Nhaän xeùt: Trong ví duï treân ta coù xaùc suaát cuûa bieán coá A laø P(A) = 3/6 = 0,5. Do ñoù P(A/B) < P(A); P(A/C) = P(A); P(A/D) > P(A). 8 Ñieàu ñoù cho thaáy xaùc suaát coù ñieàu kieän cuûa bieán coá A coù theå nhoû hôn, coù theå baèng nhöng cuõng coù theå lôùn hôn xaùc suaát thoâng thöôøng P(A). Ñaëc bieät, ta thaáy xaùc suaát ñeå bieán coá A xaûy ra laø 0,5 khoâng phuï thuoäc vaøo vieäc bieát hay chöa bieát bieán coá C ñaõ xaûy ra. Ta noùi bieán coá A ñoäc laäp vôùi bieán coá C theo ñònh nghóa sau: 2) Tính ñoäc laäp: Neáu P(A/B) = P(A), nghóa laø söï xuaát hieän cuûa bieán coá B khoâng aûnh höôûng ñeán xaùc suaát cuûa bieán coá A, thì ta noùi A ñoäc laäp vôùi B. 4.2. Coâng thöùc nhaân xaùc suaát thöù nhaát Neáu bieán coá A ñoäc laäp vôùi bieán coá B thì B cuõng ñoäc laäp vôùi A vaø ta coù P(AB) = P(A) P(B) Môû roäng: Vôùi A1, A2, …, An laø n bieán coá ñoäc laäp töøng ñoâi, nghóa laø vôùi moïi 1 ≤ i ≠ j ≤ n , Ai vaø Aj ñoäc laäp, ta coù: P(A1A2 …An) = P(A1)P(A2)… P(An). 4.3. Coâng thöùc nhaân xaùc suaát thöù hai Vôùi A, B laø hai bieán coá baát kyø, ta coù P(AB) = P(A) P(B/A) = P(B)P(A/B) Môû roäng: Vôùi A1, A2, …, An laø n bieán coá baát kyø , ta coù: P(A1A2 …An) = P(A1)P(A2/ A1)… P(An/ A1 A2 …An-1). Chaúng haïn: P(ABC) = P(A)P(B/A)P(C/AB). Ví duï: Coù hai loâ haøng, moãi loâ chöùa 15 saûn phaåm, trong ñoù loâ I goàm 10 saûn phaåm toát, 5 saûn phaåm xaáu; loâ II goàm 8 saûn phaåm toát vaø 7 saûn phaåm xaáu. Choïn ngaãu nhieân töø moãi loâ 2 saûn phaåm. a) Tính xaùc suaát ñeå trong 4 saûn phaåm choïn ra coù 2 saûn phaåm toát vaø 2 saûn phaåm xaáu. b) Giaû söû ñaõ choïn ñöôïc 2 saûn phaåm toát vaø 2 saûn phaåm xaáu. Tính xaùc suaát ñaõ choïn ñöôïc 1 saûn phaåm toát vaø 1 saûn phaåm xaáu töø loâ I. 9 Lôøi giaûi Goïi Ai , Bi (i = 0, 1, 2) laàn löôït laø caùc bieán coá coù i saûn phaåm toát vaø (2 - i) saûn phaåm xaáu coù trong 2 saûn phaåm ñöôïc choïn ra töø loâ I, loâ II. Khi ñoù - A0, A1, A2 xung khaéc töøng ñoâi vaø ta coù: . 105 45)( ; 105 50)( ; 105 10)( 2 15 0 5 2 10 2 2 15 1 5 1 10 1 2 15 2 5 0 10 0 == == == C CC C CC C CC AP AP AP - B0, B1, B2 xung khaéc töøng ñoâi vaø ta coù: . 105 28)( ; 105 56)( ; 105 21)( 2 15 0 7 2 8 2 2 15 1 7 1 8 1 2 15 2 7 0 8 0 == == == C CC C CC C CC BP BP BP - Ai vaø Bj ñoäc laäp. a) Goïi A laø bieán coá choïn ñöôïc 2 saûn phaåm toát vaø 2 saûn phaûm xaáu. Ta coù: A = A0 B2 + A1B1 + A2 B0. Do tính xung khaéc töøng ñoâi, Coâng thöùc coäng xaùc suaát cho ta: P(A) = P(A0 B2) + P(A1B1) + P(A2 B0). Töø ñaây, do tính ñoäc laäp , Coâng thöùc nhaân xaùc suaát thöù nhaát cho ta: 10 .3651,0 . 105 21. 105 45 105 56. 105 50 105 28. 105 10 ))P(BP(A ))P(BP(A ))P(BP(A P(A) 021120 = ++= ++= b) Giaû söû ñaõ choïn ñöôïc 2 saûn phaåm toát vaø 2 saûn phaåm xaáu. Khi ñoù bieán coá A ñaõ xaûy ra. Do ñoù xaùc suaát ñeå choïn ñöôïc 1 saûn phaåm toát vaø 1 saûn phaåm xaáu töø loâ I trong tröôøng hôïp naøy chính laø xaùc suaát coù ñieàu kieän P(A1/A). Theo Coâng thöùc nhaân xaùc suaát thöù hai, ta coù /A)P(A)P(A A)P(A 11 = . Suy ra P(A) A)P(A /A)P(A 11 = . Maët khaùc A1A = A1B1 Vì hai bieán coá A1 vaø B1 ñoäc laäp neân theo Coâng thöùc nhaân thöù nhaát ta coù: .2540,0 105 56. 105 50)()()()( 11111 ==== BPAPBAPAAP Do ñoù xaùc suaát caàn tìm laø: 0,6957. 0,3651 0,2540 P(A) A)P(A /A)P(A 11 === §5. COÂNG THÖÙC XAÙC SUAÁT ÑAÀY ÑUÛ VAØ COÂNG THÖÙC BAYES 5.1. Heä bieán coá ñaày ñuû vaø xung khaéc töøng ñoâi. Caùc bieán coá A1, A2,…, An ñöôïc goïi laø moät heä bieán coá ñaày ñuû vaø xung khaéc töøng ñoâi neáu hai tính chaát sau ñöôïc thoûa: - A1 + A2 +… + An = Ω; - ∀ 1 ≤ i ≠ j ≤ n, AiAj = Φ, nghóa laø caùc bieán coá A1, A2,…, An xung khaéc töøng ñoâi vaø nhaát thieát phaûi coù moät vaø chæ moät bieán coá Aj naøo ñoù xaûy ra khi thöïc hieän moät pheùp thöû baát kyø. Nhaän xeùt: Vôùi A1, A2,…, An laø moät heä ñaày ñuû vaø xung khaéc töøng ñoâi ta coù P(A1) + P(A2) + … + P(An) = 1. 11 Ví duï: Coù hai hoäp, moãi hoäp chöùa 10 vieân bi, trong ñoù hoäp I goàm 6 bi ñoû, 4 bi traéng; hoäp II goàm 8 ñoû, 2 traéng.Töø moãi hoäp, choïn ra 2 bi. Xeùt caùc bieán coá sau: - Ai (i = 0, 1,2 ) laø bieán coá coù i bi ñoû vaø 2-i bi traéng coù trong 2 bi laáy töø hoäp I. - Bj (j = 0, 1,2 ) laø bieán coá coù j bi ñoû vaø 2-j bi traéng coù trong 2 bi laáy töø hoäp II. Khi ñoù ta coù caùc heä sau laø caùc heä ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi: - A0 , A1 , A2. - B0 , B1 , B2. - A0B0 , A0B1 , A0B2 , A1B0 , A1 B1 , A1B2, A2 B0 , A2B1 , A2B2. - A0B0 , A0B1 + A1B0, A0B2 + A1B1 + A2B0 , A1B2+ A2B1 , A2B2. 5.2. Coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû Cho A1, A2,…, An laø moät heä bieán coá ñaày ñuû vaø xung khaéc töøng ñoâi. Khi ñoù, vôùi A laø moät bieán coá baát kyø, ta coù: n j j j 1 P(A) P(A )P(A/A ) = = ∑ 5.3. Coâng thöùc Bayes: Vôùi caùc giaû thieát nhö trong 4.2, ta coù vôùi moãi 1 ≤ k ≤ n: k k k k k n j j j 1 P(A )P(A/A ) P(A )P(A/A )P(A /A) P(A) P(A )P(A/A ) = = = ∑ Ví duï. Coù hai loâ haøng, moãi loâ chöùa 15 saûn phaåm, trong ñoù loâ I goàm 10 saûn phaåm toát, 5 saûn phaåm xaáu; loâ II goàm 8 saûn phaåm toát vaø 7 saûn phaåm xaáu. Choïn ngaãu nhieân töø loâ I 2 saûn phaåm boû sang loâ II, sau ñoù töø loâ II laáy ra 2 saûn phaåm. a) Tính xaùc suaát ñeå trong 2 saûn phaåm choïn ra töø loâ II coù 1 saûn phaåm toát vaø 1 saûn phaåm xaáu. b) Giaû söû ñaõ choïn ñöôïc 1 saûn phaåm toát vaø 1 saûn phaåm xaáu töø loâ II. Tính xaùc suaát ñaõ choïn ñöôïc 1 saûn phaåm toát vaø 1 saûn phaåm xaáu töø loâ I. Lôøi giaûi. Goïi - A laø bieán coá choïn ñöôïc 1 saûn phaåm toát vaø 1 saûn phaåm xaáu töø loâ II. - Aj (j = 0, 1, 2) laø bieán coá coù j saûn phaåm toát vaø (2 - j) saûn phaåmxaáu coù trong 2 saûn phaåm ñöôïc choïn ra töø loâ I. 12 Khi ñoù A0, A1, A2 laø heä ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi vaø ta coù: . 105 45)( ; 105 50)( ; 105 10)( 2 15 0 5 2 10 2 2 15 1 5 1 10 1 2 15 2 5 0 10 0 == == == C CC C CC C CC AP AP AP a) Yeâu caàu cuûa baøi toaùn laø tính xaùc suaát P(A). Theo Coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû ta coù: P(A) = P(A0) P(A/A0) + P(A1) P(A/A1) + P(A2) P(A/A2). Ta coù: 136 72)/( 2 17 1 9 1 8 0 == C CCAAP 136 70)/( 136 72)/( 2 17 1 7 1 10 2 2 17 1 8 1 9 1 == == C CC C CC AAP AAP Suy ra xaùc suaát cuûa bieán coá A laø 5231,0 . 136 70. 105 45 136 72. 105 50 136 72. 105 10 )/()()/()()/()()( 221100 = ++= ++= AAPAPAAPAPAAPAPAP b) Giaû söû ñaõ choïn ñöôïc 1 saûn phaåm toát vaø 1 saûn phaåm xaáu töø loâ II. Khi ñoù bieán coá A ñaõ xaûy ra. Do ñoù xaùc suaát caàn tìm chính laø xaùc suaát coù ñieàu kieän P(A1/A). Aùp duïng Coâng thöùc Bayes vaø söû duïng keát quaû vöøa tìm ñöôïc ôû caâu a) ta coù 13 0,4819. 0,5231 136 72. 105 50 P(A) ))P(A/AP(A /A)P(A 111 === §6. COÂNG THÖÙC BERNOULLI 6.1. Coâng thöùc Bernoulli Tieán haønh n pheùp thöû ñoäc laäp trong nhöõng ñieàu kieän nhö nhau. Giaû söû ôû moãi pheùp thöû, bieán coá A hoaëc xaûy ra vôùi xaùc suaát p khoâng ñoåi, hoaëc khoâng xaûy ra vôùi xaùc suaát q = 1 – p. Khi ñoù, vôùi moãi 0 ≤ k ≤ n, ta coù Coâng thöùc Bernoulli tính xaùc suaát ñeå trong n pheùp thöû, bieán coá A xaûy ra ñuùng k laàn laø: k k n k n nP (k) p qC −= 6.2. Heä quaû: Vôùi caùc giaû thieát nhö treân ta coù: - Xaùc suaát ñeå trong n pheùp thöû bieán coá A khoâng xaûy ra laàn naøo laø qn. - Xaùc suaát ñeå trong n pheùp thöû bieán coá A luoân luoân xaûy ra laø pn. Ví duï. Moät maùy saûn xuaát saûn phaåm vôùi tæ leä saûn phaåm loaïi toát laø 60%. Cho maùy saûn xuaát 5 saûn phaåm. Tính xaùc suaát ñeå trong 5 saûn phaåm thu ñöôïc coù: a) 3 saûn phaåm toát. b) Ít nhaát 3 saûn phaåm toát. Lôøi giaûi. Goïi Ak (k = 0,1,…,5) laø bieán coá coù k saûn phaåm toát vaø (5-k) saûn phaåm xaáu coù trong 5 saûn phaåm thu ñöôïc. Aùp duïng Coâng thöùc Bernoulli vôùi n = 5, p = 0,6, q = 0,4 ta coù: kkkknkk nk CC qpAP −− == 55 )4,0()6,0()( a) Xaùc suaát ñeå trong 5 saûn phaåm thu ñöôïc coù 3 saûn phaåm toát laø: .3456,0)4,0()6,0()( 23353 ==CAP b) Xaùc suaát ñeå trong 5 saûn phaåm thu ñöôïc coù ít nhaát 3 saûn phaåm toát chính laø P(A3 + A4 + A5). Ta coù: .68256,0 )6.0()4,0()6,0(3456,0 )()()()( 544 5 543543 = ++= ++=++ C APAPAPAAAP 14 B - ÑAÏI LÖÔÏNG NGAÃU NHIEÂN - PHAÂN PHOÁI XAÙC SUAÁT §1. KHAÙI NIEÄM VEÀ ÑAÏI LÖÔÏNG NGAÃU NHIEÂN. 1.1. Ñònh nghóa: Ñaïi löôïng ngaãu nhieân laø moät ñaïi löôïng nhaän giaù trò thöïc tuøy theo keát quaû cuûa pheùp thöû. Ta duøng caùc kí töï: X, Y, Z,… chæ caùc ñaïi löôïng ngaãu nhieân. Caùc kí töï: x, y, z,… chæ giaù trò cuûa caùc ñaïi löôïng ngaãu nhieân. 1.2. Phaân loaïi: a) Loaïi rôøi raïc: Laø loaïi ñaïi löôïng ngaãu nhieân chæ nhaän höõu haïn hoaëc voâ haïn ñeám ñöôïc caùc giaù trò. Ví duï: Tieán haønh n thí nghieäm. Goïi X laø soá thí nghieäm thaønh coâng. Khi ñoù X laø moät ñaïi löôïng ngaãu nhieân rôøi raïc chæ nhaän n+1 giaù trò 0; 1;..; n. b) Loaïi lieân tuïc: Laø loaïi ñaïi löôïng ngaãu nhieân nhaän voâ haïn khoâng ñeám ñöôïc caùc giaù trò maø thoâng thöôøng caùc giaù trò naøy laáp kín moät ñoaïn naøo ñoù trong taäp caùc soá thöïc. Ví duï: Goïi T laø nhieät ñoä ño ñöôïc taïi moät ñòa phöông. Ta coù T laø moät ñaïi löôïng ngaãu nhieân lieân tuïc. 1.3. Luaät phaân phoái: a) Tröôøng hôïp rôøi raïc: Vôùi X laø moät ñaïi löôïng ngaãu nhieân rôøi raïc nhaän caùc giaù trò taêng daàn : x0, x1,…,xn ta laäp baûng: X x0 x1 ……………………….. xn P p0 p1 …………………………. pn trong ñoù: - pk = P(X = xk) ≥ 0 vôùi k = 0,1, …, n. - n k k 0 p 1 = =∑ , nghóa laø p0 + p1 +…+ pn = 1 . Ví duï: Moät loâ haøng chöùa 10 saûn phaåm, trong ñoù coù 6 saûn phaåm toát vaø 4 saûn phaåm xaáu. Choïn ngaãu nhieân töø loâ haøng ra 2 saûn phaåm. Goïi X laø soá saûn phaåm toát coù trong 2 saûn phaåm choïn ra. Tìm luaät phaân phoái cuûa X. Lôøi giaûi Ta thaáy X laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân rôøi raïc coù theå nhaän caùc giaù trò laø 0, 1, 2. Aùp duïng Coâng thöùc tính xaùc suaát löïa choïn ta ñöôïc: 15 . 3 1)2( ; 15 8)1( ; 15 2)0( 2 10 0 4 2 6 2 2 10 1 4 1 6 1 2 10 2 4 0 6 0 ==== ==== ==== C CC C CC C CC XPp XPp XPp Vaäy luaät phaân phoái cuûa X laø X 0 1 2 P 2/15 8/15 1/3 b) Tröôøng hôïp lieân tuïc: Tröôøng hôïp X lieân tuïc, thay cho vieäc lieät keâ caùc giaù trò cuûa X ôû doøng treân, ta chæ ra ñoaïn [a;b] maø X nhaän giaù trò ôû ñoaïn ñoù (a, b coù theå höõu haïn hoaëc voâ haïn). Coøn thay cho xaùc suaát p0, p1,…, pn ta ñöa ra haøm maät ñoä f(x) thoaû caùc tính chaát sau: - f(x) ≥ 0 vôùi moïi x ∈[a;b]. - ∫ = b a dxxf .1)( - ∫=≤≤ β α βα .)()( dxxfXP §2. CAÙC ÑAËC SOÁ CUÛA ÑAÏI LÖÔÏNG NGAÃU NHIEÂN. 2.1. Mode: Mode cuûa ñaïi löôïng ngaãu nhieân X, kí hieäu Mod(X), laø giaù trò x0 cuûa X ñöôïc xaùc ñònh nhö sau: - Neáu X rôøi raïc thì x0 laø giaù trò maø xaùc suaát P(X = x0) lôùn nhaát trong soá caùc xaùc suaát P(X = x). - Neáu X lieân tuïc thì x0 laø giaù trò maø haøm maät ñoä f(x) ñaït giaù trò lôùn nhaát. Nhö vaäy, Mod(X) laø giaù trò tin chaéc nhaát cuûa X, töùc laø giaù trò maø X thöôøng laáy nhaát. Chuù yù raèng Mod(X) coù theå nhaän nhieàu giaù trò khaùc nhau. Ví duï: Xeùt laïi ví duï treân, ta coù X 0 1 2 P 2/15 8/15 1/3 Do ñoù Mod(X) = 1. 16 2.2. Kyø voïng (hay Giaù trò trung bình). 1) Kyø voïng cuûa ñaïi löôïng ngaãu nhieân X, kí hieäu M(X), laø soá thöïc ñöôïc xaùc ñònh nhö sau: - Neáu X rôøi raïc coù luaät phaân phoái X x0 x1 ……………………….. xn P p0 p1 …………………………. pn thì ∑ = = n k kk pxXM 0 )( , nghóa laø M(X) = x0p0 + x1p1+…+ xnpn - Neáu X lieân tuïc vôùi haøm maät ñoä f(x) coù mieàn xaùc ñònh [a;b] thì ∫= ba dxxxfXM .)()( Ví duï: Xeùt laïi ví duï ñaõ xeùt ôû treân , ta coù X coù phaân phoái nhö sau: X 0 1 2 P 2/15 8/15 1/3 Do ñoù kyø voïng cuûa X laø M(X) = 0.2/15 + 1.8/15 + 2.1/3 = 1,2. 2) Tính chaát: Kyø voïng coù caùc tính chaát sau: Tính chaát 1: Kyø voïng cuûa moät ñaïi löôïng ngaãu nhieân haèng baèng chính haèng soá ñoù, nghóa laø: M(C) = C (C: Const). Tính chaát 2: Vôùi k laø haèng soá ta coù M(kX) = kM(X). Tính chaát 3: M(X + Y) = M(X) + M(Y). Tính chaát 4: Vôùi hai löôïng ngaãu nhieân ñoäc laäp X vaø Y ta coù M(XY) = M(X)M(Y). 2.3. Phöông sai vaø ñoä leäch chuaån. 1) Phöông sai cuûa ñaïi löôïng ngaãu nhieân X, kí hieäu D(X), laø soá thöïc khoâng aâm ñònh bôûi: 17 D(X) = M((X - μ)2) trong ñoù μ = M(X) laø kyø voïng cuûa X. Caên baäc hai cuûa phöông sai ñöôïc goïi laø ñoä leäch chuaån, kí hieäu )(Xσ . Vaäy )()( XDX =σ . 2) Coâng thöùc tính phöông sai: Töø ñònh nghóa cuûa phöông sai ta coù coâng thöùc khaùc ñeå tính phöông sai nhö sau: D(X) = M(X2) – [M(X)] 2 trong ñoù M(X2), M(X) laàn löôït laø kyø voïng cuûa X2 vaø X. Nhö vaäy, - Neáu X rôøi raïc coù luaät phaân phoái X x0 x1 ……………………….. xn P p0 p1 …………………………. pn thì coâng thöùc treân trôû thaønh n n 2 2 k k kk k 0 k 0 D(X) p ( x p )x = = = −∑ ∑ - Neáu X lieân tuïc vôùi haøm maät ñoä f(x) coù mieàn xaùc ñònh [a;b] thì ∫∫ −= baba dxxxfdxxfxXD 22 ))(()()( Ví duï: Xeùt laïi ví duï ñaõ xeùt ôû treân, ta coù X coù phaân phoái nhö sau: X 0 1 2 P 2/15 8/15 1/3 vaø kyø voïng cuûa X laø M(X) = 1,2ø . Suy ra phöông sai cuûa X laø: D(X) = M(X2) – [M(X)] 2 = 02.2/15 + 12.8/15 + 22.1/3 - (1,2)2 = 32/75 ≈ 0,4267. Ñoä leäch chuaån cuûa X laø: .6532,04267,0)()( ≈== XDXσ 3) Tính chaát: Phöông sai coù caùc tính chaát sau: Tính chaát 1: Phöông sai cuûa moät ñaïi löôïng ngaãu nhieân haèng C baèng 0, nghóa laø: D(C) = 0 Tính chaát 2: Vôùi k laø haèng soá ta coù 18 D(kX) = k2(D(X). Tính chaát 3: Vôùi X, Y laø hai ñaïi löôïng ngaãu nhieân ñoäc laäp ta coù: D(X + Y) = D(X) + D(Y). Chuù yù: Ta coù theå söû duïng phaàn meàm thoáng keâ trong caùc maùy tính boû tuùi CASIO 500MS, 570MS,..) ñeå tính kyø voïng , phöông sai vaø ñoä leäch chuaån cuûa ñaïi löôïng ngaãu nhieân rôøi raïc. Ví duï: Xeùt ñaïi löôïng ngaãu nhieân rôøi raïc X coù phaân phoái nhö sau: X 0 1 2 P 2/15 8/15 1/3 1) Vaøo MODE SD: Baám MODE… vaø baám soá öùng vôùi SD, treân maøn hình seõ hieän leân chöõ SD. 2) Xoùa boä nhôù thoáng keâ: Baám SHIFT MODE 1(Scl) = AC. Kieåm tra laïi: Baám REPLAY Up hoaëc Down thaáy n = vaø ôû goùc soá 0 laø ñaõ xoùa. 3) Nhaäp soá lieäu: xi; pi M+ (DATA) 0 ; (baám SHIFT ,) 2 ab/c 15 M+ 1 ; 8 ab/c 15 M+ 2 ; 1 ab/c 3 M+ 4) Kieåm tra vaø söûa soá lieäu sai: Baám REPLAY Down ñeå kieåm tra vieäc nhaäp soá lieäu. Thaáy soá lieäu naøo sai thì ñeå maøn hình ngay soá lieäu ñoù, nhaäp soá lieäu ñuùng vaø baám = thì soá lieäu môùi seõ thay cho soá lieäu cuõ. Ví duï: Nhaäp sai 0 ; 2 ab/c 5 M+ (DATA). Khi kieåm tra ta thaáy: - x1 = 0 (ñuùng). - Freq1 = 2/5 (sai) Söûa nhö sau: Ñeå maøn hình ôû Freq1 = 2/5, baám 2 ab/c 15 = thì nhaän ñöôïc soá lieäu ñuùng Freq1 = 2/15. Soá lieäu naøo bò nhaäp dö thì ñeå maøn hình ôû soá lieäu ñoù vaø baám SHIFT M+ thì toøan boä soá lieäu ñoù (goàm giaù trò cuûa X vaø taàn soá töông öùng) seõ bò xoùa. Chaúng haïn, nhaäp dö 3 ; ab/c 3 M+ (DATA). Khi kieåm tra ta thaáy x4 = 3 (dö). Ta ñeå maøn hình ôû soá lieäu ñoù vaø baám SHIFT M+ thì toøan boä soá lieäu dö (goàm giaù trò cuûa X = 3 vaø xaùc suaát töông öùng 1/3) seõ bò xoùa. Chuù yù: Sau khi kieåm tra vieäc nhaäp soá lieäu xong, phaûi baám AC ñeå xoùa maøn hình vaø thoùat khoûi cheá ñoä chænh söûa. 5) Ñoïc keát quaû: - Baám SHIFT 2 1 ( X ) = ta ñöôïc kyø voïng M(X) = 1,2. 19 - Baám SHIFT 2 2 (xσn) = ta ñöôïc ñoä leäch chuaån (X) 0, 6532.σ = - Suy ra phöông sai D(X) = [σ(X)]2= (0,6532)2= 0,4267. Chuù yù: Ñoái vôùi maùy CASIO 500A, coù moät soá thay ñoåi nhö sau: • Baám MODE ñeå vaøo MODE SD. • Xoùa boä nhôù thoáng keâ baèng caùch baám SHIFT AC =. Kieåm tra laïi baèng caùch baám SHIFT 6 thaáy ra 0 laø ñaõ xoùa. • Khi nhaäp soá lieäu, ta thay ; baèng ×. §3. PHAÂN PHOÁI SIEÂU BOÄI. 3.1. Ñònh nghóa: Ñaïi löôïng ngaãu nhieân X ñöôïc goïi laø coù phaân phoái sieâu boäi, kí hieäu X ∼ H(N, NA, n), trong ñoù N, NA, n laø caùc soá nguyeân döông , 0 < n, NA < N, neáu X rôøi raïc nhaän caùc giaù trò k nguyeân töø max{0; n + NA - N} ñeán min{n; NA} theo Coâng thöùc tính xaùc suaát löïa choïn: C CC n N kn NN k N AAkXP − −== )( 3.2. Caùc ñaëc soá cuûa phaân phoái sieâu boäi. Giaû söû X coù phaân phoái sieâu boäi X ∼ H(N, NA, n). Khi ñoù X coù caùc ñaëc soá nhö sau: a) Kyø voïng: N Npôùi A== vnpXM )( . b) Phöông sai. pqv N nNnpqXD −=− −= 1 1 )( ôùi . Ví duï. Moät hoäp chöùa 12 bi goàm 8 bi ñoû vaø 4 bi xanh. Choïn ngaãu nhieân töø hoäp ra 4 bi. Goïi X laø soá bi ñoû coù trong 4 bi choïn ra. Haõy tìm luaät phaân phoái cuûa X vaø xaùc ñònh kyø voïng, phöông sai cuûa X. Lôøi giaûi Ta thaáy X coù phaân phoái sieâu boäi X ∼ H(N, NA, n) vôùi N = 12; NA = 8, n = 4. Do ñoù X nhaän caùc giaù trò k nguyeân töø max {0; 4+8-12} = 0 ñeán min{4; 8} = 4 vôùi caùc xaùc suaát ñònh bôûi: C CC kkkXP 4 12 4 48)( − == Töø ñaây ta tính ñöôïc P(X = 0) = 1/495; P(X = 1) = 32/495; P(X = 2) = 168/495; 20 P(X = 3) = 224/495; P(X = 4) = 70/495. Vaäy luaät phaân phoái cuûa X laø: X 0 1 2 3 4 P 1/495 32/495 168/495 224/495 70/495 Kyø voïng cuûa X laø M(X) np 4. 2,667.= = =8 12 Phöông sai cuûa X laø D(X) npq 4. (1 ) 0,6465.= = − =N - n 8 8 12 - 4 N -1 12 12 12 -1 §4. PHAÂN PHOÁI NHÒ THÖÙC 4.1. Ñònh nghóa: Ñaïi löôïng ngaãu nhieân X ñöôïc goïi laø coù phaân phoái nhò thöùc, kí hieäu X∼ B(n,p), trong ñoù n soá nguyeân döông , 0 < p < 1, neáu X rôøi raïc nhaän n + 1 giaù trò nguyeân 0,1,…, n vôùi caùc xaùc suaát ñöôïc tính theo theo Coâng thöùc Bernoulli: .)( knkkn qpkXP C −== Tröôøng hôïp n = 1, ta coøn noùi X coù phaân phoái Bernoulli, kí hieäu X ∼ B(p). 4.2. Caùc ñaëc soá cuûa phaân phoái nhò thöùc. Giaû söû X coù phaân phoái nhò thöùc X ∼ B(n,p). Khi ñoù X coù caùc ñaëc soá nhö sau: a) Mode: Mod(X) = k, trong ñoù k laø soá nguyeân thoûa np – q ≤ k ≤ np – q + 1. b) Kyø voïng: M(X) = np. c) Phöông sai: D(X) = npq Ví duï: Moät loâ haøng chöùa raát nhieàu saûn phaåm, trong ñoù tæ leä saûn phaåm loaïi toát laø 60%. Choïn ngaãu nhieân töø loâ haøng ra 5 saûn phaåm. Goïi X laø soá saûn phaåm toát coù trong 5 saûn phaåm choïn ra. Haõy tìm luaät phaân phoái cuûa X. Xaùc ñònh kyø voïng vaø phöông sai cuûa X. Hoûi giaù trò tin chaéc nhaát cuûa X laø bao nhieâu? Lôøi giaûi. Ta thaáy X coù phaân phoái nhò thöùc X ∼ B(n,p) vôùi n = 5, p = 0,6. Suy ra X nhaän 6 giaù trò nguyeân 0,1,…, 5 vôùi caùc xaùc suaát ñöôïc tính theo theo Coâng thöùc Bernoulli: .)4,0()6,0()( 55 kkkknkk n CC qpkXP −− === Töø ñaây ta tính ñöôïc P(X = 0) = 0,01024; P(X = 1) = 0,0768; P(X = 2) = 0,2304; 21 P(X = 3) = 0,3456; P(X = 4) = 0,2592; P(X = 5) = 0,07776. Vaäy luaät phaân phoái cuûa X laø: X 0 1 2 3 4 5 P 0,01024 0,0768 0,2304 0,3456 0,2592 0,07776 - Kyø voïng cuûa X laø M(X) = np = 5.0,6 = 3. - Phöông sai cuûa X laø D(X) = npq = 5.0,6. 0,4 = 1,2. - Giaù trò tin chaéc nhaát cuûa X chính laø Mod(X): Mod(X) = k vôùi k laø soá nguyeân thoûa np – q ≤ k ≤ np – q + 1 ⇔ 5. 0,6 – 0,4 ≤ k ≤ 5. 0,6 – 0,4 + 1 ⇔ 2,6 ≤ k ≤ 3,6 ⇔ k = 3. Vaäy giaù trò tin chaéc nhaát cuûa X laø k = 3. 4.3. Ñònh lyù: Cho X laø moät ñaïi löôïng ngaãu nhieân coù phaân phoái sieâu boäi X ∼ H(N, NA, n). Giaû söû raèng n raát nhoû so vôùi N. Khi ñoù coù theå xaáp xæ X baèng ñaïi löôïng ngaãu nhieân Y coù phaân phoái nhò thöùc X ≈ Y, trong ñoù Y ∼ B(n,p) vôùi ANp N = , nghóa laø: k k n k nP (X k) p qC −= = (k = 0, 1, …) Ví duï: Moät loâ haøng chöùa 10000 saûn phaåm, trong ñoù coù 8000 saûn phaåm toát vaø 2000 saûn phaåm xaáu. Choïn ngaãu nhieân töø loâ haøng ra 10 saûn phaåm. Tính xaùc suaát choïn ñöôïc 7 saûn phaåm toát. Lôøi giaûi Goïi X laø soá saûn phaåm toát coù trong 10 saûn phaåm choïn ra. Khi ñoù X coù phaân phoái sieâu boäi X ∼ H(N, NA, n) vôùi N = 10000; NA= 8000; n =10. Vì n = 10 raát nhoû so vôùi N = 10000 neân ta coù theå xem nhö X coù phaân phoái nhò thöùc X ∼ B(n,p) vôùi n = 10; p = NA/N = 8000/10000 = 0,8. Do ñoù xaùc suaát choïn ñöôïc 7 saûn phaåm toát laø: 7 7 3 10P (X 7) (0,8) (0,2) 0,2013.C= = ≈ 22 §5. PHAÂN PHOÁI POISSON 5.1. Ñònh nghóa: Ñaïi löôïng ngaãu nhieân X ñöôïc goïi laø coù phaân phoái Poisson, kí hieäu X ∼ P(a), trong ñoù haèng soá a > 0, neáu X rôøi raïc nhaän voâ haïn ñeám ñöôïc caùc giaù trò nguyeân k = 0,1,…, vôùi caùc xaùc suaát ñònh bôûi: . ! )( k aekXP ka− == 5.2. Caùc ñaëc soá cuûa phaân phoái Poisson. Giaû söû X coù phaân phoái Poisson X ∼ P(a). Khi ñoù X coù caùc ñaëc soá nhö sau: a) Kyø voïng: M(X) = a. b) Phöông sai. D(X) = a 5.3. Tính chaát:. Giaû söû X1, X2 ñoäc laäp, coù phaân phoái Poisson X1 ∼ P(a1), X2 ∼ P(a2). Khi ñoù X1 + X2 cuõng coù phaân phoái Poisson: X1 + X2 ∼ P(a1+ a2). 5.4. Ñònh lyù Poisson: Cho X laø moät ñaïi löôïng ngaãu nhieân coù phaân phoái nhò thöùc X ∼ B(n,p). Giaû söû raèng n khaù lôùn vaø p khaù beù (thoâng thöôøng p < 0,1). Khi ñoù coù theå xaáp xæ X baèng ñaïi löôïng ngaãu nhieân Y coù phaân phoái Poisson: X ≈ Y, trong ñoù Y ∼ P(a) vôùi a = np, nghóa laø: ! )( k aekXP ka− ≈= (k = 0, 1, …) Ví duï: Moät maùy deät coù 1000 oáng sôïi. Xaùc suaát ñeå trong moät giôø maùy hoaït ñoäng coù 1 oáng sôïi bò ñöùt laø 0,2%. Tìm xaùc suaát ñeå trong moät giôø coù khoâng quaù 2 oáng sôïi bò ñöùt. Lôøi giaûi Goïi X laø toång soá oáng sôïi bò ñöùt trong moät giôø hoaït ñoäng cuûa maùy thì X coù phaân phoái nhò thöùc X ∼ B(n,p) vôùi n = 1000, p = 0,002. Vì n = 1000 khaù lôùn vaø p = 0,002 khaù beù neân ta coù theå xem X coù phaân phoái Poisson: X ∼ P(a) vôùi a = np = 1000.0,002 = 2. Xaùc suaát ñeå coù khoâng quaù 2 oáng sôïi bò ñöùt trong moät giôø hoaït ñoäng cuûa maùy laø: .6767,0 !2 2 !1 2 !0 2 )2()1()0()20( 221202 ≈ ++≈ =+=+==≤≤ −−− eee XPXPXPXP 23 §6. PHAÂN PHOÁI CHUAÅN 6.1. Ñònh nghóa: Ñaïi löôïng ngaãu nhieân X ñöôïc goïi laø coù phaân phoái chuaån, kí hieäu X ∼ N(μ, σ2), trong ñoù μ, σ laø caùc haèng soá vaø σ > 0, neáu X lieân tuïc vaø coù haøm maät ñoä xaùc ñònh treân R ñònh bôûi: . 2 1)( 2 2 2 )( , σ μ σμ πσ −−= x exf 6.2. Caùc ñaëc soá cuûa phaân phoái chuaån. Giaû söû X coù phaân phoái chuaån X ∼ N(μ, σ2). Khi ñoù X coù caùc ñaëc soá nhö sau: a) Mode: Mod (X) = μ. b) Kyø voïng: M(X) = μ. c) Phöông sai: D(X) = σ2 6.3. Haøm Gauss: Haøm Gauss f(x) laø haøm maät ñoä cuûa ñaïi löôïng ngaãu nhieân X coù phaân phoái chuaån chính taéc X ∼ N(0,1): . 2 1)( 2 2x exf −= π Haøm Gauss laø haøm soá chaün (nghóa laø f(-x) = f(x)), lieân tuïc treân R. Ngöôøi ta ñaõ laäp baûng giaù trò cuûa haøm Gauss, trong ñoù ghi caùc giaù trò f(x) treân ñoaïn [0;3,99]. Khi x > 3,99, haøm Gauss giaûm raát chaäm, do ñoù ta xaáp xæ: ∀x > 3,99, f(x) ≈ f(3,99) ≈ 0,0001. Ví duï: Tra baûng giaù trò haøm Gauss ta coù: f(1,14) ≈ 0,2083; f(-2,15) = f(2,15) ≈ 0,0396. f(-6,12) = f(6,12) ≈ f(3,99) ≈ 0,0001. 6.4. Haøm Laplace. Haøm laplace ϕ(x) laø haøm soá xaùc ñònh treân R ñònh bôûi: . 2 1)( 0 2 2 dtex x t ∫ −= πϕ Haøm Laplace y = ϕ(x) laø haøm soá leû (nghóa laø ϕ (-x) = - ϕ (x)), lieân tuïc treân R. Ngöôøi ta ñaõ laäp baûng giaù trò cuûa haøm Laplace, trong ñoù ghi caùc giaù trò ϕ(x) treân ñoaïn [0; 5]. Khi x > 5, haøm Laplace taêng raát chaäm, do ñoù ta xaáp xæ: ∀x > 5, ϕ(x) ≈ ϕ(5) ≈ 0,5. 24 Ví duï: Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta coù: ϕ (1,14) ≈ 0,3729; ϕ (-2,15) = - ϕ(2,15) ≈ - 0,4842. ϕ (-6,12) = - ϕ (6,12) ≈ - ϕ (5) ≈ -0,5. 6.5. Coâng thöùc tính xaùc suaát cuûa phaân phoái chuaån. Cho X laø moät ñaïi löôïng ngaãu nhieân coù phaân phoái chuaån X ∼ N(μ, σ2). Khi ñoù, xaùc suaát ñeå X laáy caùc giaù trò thuoäc [a;b] laø: b aP(a X b) ( ) ( )− μ − μ≤ ≤ = ϕ − ϕσ σ (1) trong ñoù ϕ(x) laø haøm Laplace. Ñaëc bieät, vôùi moãi k > 0, ta coù: Ví duï: Troïng löôïng cuûa moät loaïi saûn phaåm laø ñaïi löông ngaãu nhieân coù phaân phoái chuaån vôùi troïng löôïng trung bình 50kg vaø phöông sai 100kg2. Moät saûn phaåm ñöôïc xeáp vaøo loaïi A neáu coù troïng löôïng töø 45kg ñeán 55kg. Tính tæ leä saûn phaåm loaïi A cuûa loaïi saûn phaåm treân. Lôøi giaûi Goïi X laø troïng löôïng cuûa loaïi saûn phaåm ñaõ cho. Töø giaû thieát ta suy ra X coù phaân phoái chuaån X ∼ N(μ, σ2) vôùi μ = 50, σ2 = 100 (σ = 10). Vì moät saûn phaåm ñöôïc xeáp vaøo loaïi A khi coù troïng löôïng töø 45kg ñeán 55kg neân tæ leä saûn phaåm loaïi A chính laø xaùc suaát P(45 ≤ X ≤ 55). Aùp duïng coâng thöùc treân ta coù .383,0 1915,0.2 )5,0(2 )5,0()5,0( ) 10 5045() 10 5055()5545( = = = −−= −−−=≤≤ ϕ ϕϕ ϕϕXP (Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta ñöôïc ϕ (0,5) = 0,1915). Vaäy tæ leä saûn phaåm loaïi A laø 38,3%. 6.6. Ñònh lyù Moivre-Laplace: Cho X laø moät ñaïi löôïng ngaãu nhieân coù phaân phoái nhò thöùc X ∼ B(n,p). Giaû söû raèng n khaù lôùn vaø p khoâng quaù gaàn 0 cuõng khoâng quaù gaàn 1 (thoâng thöôøng 0,1 ≤ p ≤ 0,9). Khi ñoù coù theå xaáp xæ X 25 baèng ñaïi löôïng ngaãu nhieân Y coù phaân phoái chuaån: X ≈ Y, trong ñoù Y ∼ N(μ, σ2) vôùi μ = np, npq=σ (q = 1-p) nghóa laø: a) ).(1)( σ μ σ −≈= kfkXP (k = 0,1,2,…) b) )()()( 1221 σ μϕσ μϕ −−−≈≤≤ kkkXkP ( k1 < k2) trong ñoù f(x) laø haøm Gauss; ϕ(x) laø haøm Laplace. Ví duï. Saûn phaåm do moät nhaø maùy saûn xuaát ñöôïc ñoùng thaønh töøng kieän, moãi kieän goàm 10 saûn phaåm, trong ñoù coù 6 saûn phaåm toát vaø 4 saûn phaåm xaáu. Khaùch haøng choïn caùch kieåm tra nhö sau: Töø moãi kieän choïn ngaãu nhieân ra 3 saûn phaåm; neáu thaáy coù ít nhaát 2 saûn phaåm toát thì nhaän kieän ñoù, ngöôïc laïi thì loaïi kieän ñoù. Kieåm tra 140 kieän trong raát nhieàu kieän. Tính xaùc suaát ñeå coù: a) 93 kieän ñöôïc nhaän. b) Töø 90 ñeán 110 kieän ñöôïc nhaän. Lôøi giaûi Tröôùc heát ta tìm xaùc suaát ñeå moät kieän ñöôïc nhaän khi khaùch haøng kieåm tra kieän ñoù. Theo giaû thieát moãi kieän chöùa 10 saûn phaåm goàm 6 saûn phaåm toát vaø 4 saûn phaåm xaáu, khaùch haøng choïn ngaãu nhieân ra 3 saûn phaåm; neáu thaáy coù ít nhaát 2 saûn phaåm toát thì choïn kieän.Do ñoù theo Coâng thöùc tính xaùc suaát löïa choïn ta coù xaùc suaát ñeå moät kieän ñöôïc nhaän laø: . 3 2)3()2()32( 3 10 0 4 3 6 3 10 1 4 2 6 333 =+=+=≤≤= C CC C CCPPkPp Goïi X laø toång soá kieän haøng ñöôïc nhaän trong 140 kieän ñöôïc kieåm tra, X coù phaân phoái nhò thöùc X ∼ B(n,p) vôùi n = 140, p = 2/3. Vì n = 140 khaù lôùn vaø p = 2/3 khoâng quaù gaàn 0 cuõng khoâng quaù gaàn 1 neân ta coù theå xem X coù phaân phoái chuaån nhö sau: X ∼ N(μ, σ2) vôùi μ = np = 140.2/3 = 93,3333, .5777,53/1.3/2.140 === npqσ a) Xaùc suaát ñeå coù 93 kieän ñöôïc nhaän laø: 1 93 1 93 93,33P (X 93) f ( ) f ( ) 5,5777 5,5777 1 1 0,3982f ( 0, 06) f (0, 06) 0, 0714. 5,5777 5,5777 5,5777 − μ −= = =σ σ = − = = = (Tra baûng giaù trò haøm Gauss ta ñöôïc f(0,06) = 0,3982). b) Xaùc suaát ñeå coù töø 90 ñeán 110 kieän ñöôïc nhaän laø: 26 110 90P (90 X 110) ( ) ( ) 110 93,3333 90 93,3333 ( ) ( ) 5,5777 5,5777 (2,99) ( 0,6) (2,99) (0,6) 0,498625 0,2257 0,724325. − μ − μ≤ ≤ = ϕ − ϕσ σ − −= ϕ − ϕ = ϕ − ϕ − = ϕ + ϕ = + = (Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta ñöôïc ϕ (2,99) = 0,498625; ϕ(0,6) = 0,2257). BAØI TAÄP Baøi 1: Coù ba khaåu suùng I, II vaø III baén ñoäc laäp vaøo moät muïc tieâu. Moãi khaåu baén 1 vieân. Xaùc suaát baén truùng muïc tieâu cuaû ba khaåu I, II vaø III laàn löôït laø 0,7; 0,8 vaø 0,5. Tính xaùc suaát ñeå a) coù 1 khaåu baén truùng. b) coù 2 khaåu baén truùng. c) coù 3 khaåu baén truùng. d) ít nhaát 1 khaåu baén truùng. e) khaåu thöù ba baén truùng bieát raèng coù 2 khaåu truùng. Baøi 2: Coù hai hoäp I vaø II moãi hoäp chöùa 10 bi, trong ñoù hoäp I goàm 9 bi ñoû, 1 bi traéng; hoäp II goàm 6 bi ñoû, 4 bi traéng. Laáy ngaãu nhieân töø moãi hoäp 2 bi. a) Tính xaùc suaát ñeå ñöôïc 4 bi ñoû. b) Tính xaùc suaát ñeå ñöôïc 2 bi ñoû vaø 2 bi traéng. c) Tính xaùc suaát ñeå ñöôïc 3 bi ñoû vaø 1 bi traéng. d) Giaû söû ñaõ laáy ñöôïc 3 bi ñoû vaø 1 bi traéng. Haõy tìm xaùc suaát ñeå bi traéng coù ñöôïc cuûa hoäp I. Baøi 3: Moät loâ haøng chöùa 10 saûn phaåm goàm 6 saûn phaåm toát vaø 4 saûn phaåm xaáu. Khaùch haøng kieåm tra baèng caùch laáy ra töøng saûn phaåm cho ñeán khi naøo ñöôïc 3 saûn phaåm toát thì döøng laïi. a) Tính xaùc suaát ñeå khaùch haøng döøng laïi ôû laàn kieåm tra thöù 3. b) Tính xaùc suaát ñeå khaùch haøng döøng laïi ôû laàn kieåm tra thöù 4. b) Giaû söû khaùch haøng ñaõ döøng laïi ôû laàn kieåm tra thöù 4. Tính xaùc suaát ñeå ôû laàn kieåm tra thöù 3 khaùch haøng gaëp saûn phaåm xaáu. Baøi 4: Moät hoäp bi goàm 5 bi ñoû, 4 bi traéng vaø 3 bi xanh coù cuøng côõ. Töø hoäp ta ruùt ngaãu nhieân khoâng hoøan laïi töøng bi moät cho ñeán khi ñöôïc bi ñoû thì döøng laïi. Tính xaùc suaát ñeå 27 a) ñöôïc 2 bi traéng, 1 bi xanh vaø 1 bi ñoû. b) khoâng coù bi traéng naøo ñöôïc ruùt ra. Baøi 5: Saûn phaåm X baùn ra ôû thò tröôøng do moät nhaø maùy goàm ba phaân xöôûng I, II vaø III saûn xuaát, trong ñoù phaân xöôûng I chieám 30%; phaân xöôûng II chieám 45% vaø phaân xöôûng III chieám 25%. Tæ leä saûn phaåm loaïi A do ba phaân xöôûng I, II vaø III saûn xuaát laàn löôït laø 70%, 50% vaø 90%. a) Tính tæ leä saûn phaåm loïai A noùi chung do nhaø maùy saûn xuaát. b) Choïn mua ngaãu nhieân moät saûn phaåm X ôû thò tröôøng. Giaû söû ñaõ mua ñöôïc saûn phaåm loaïi A. Theo baïn, saûn phaåm aáy coù khaû naêng do phaân xöôûng naøo saûn xuaát ra nhieàu nhaát? c) Choïn mua ngaãu nhieân 121 saûn phaåm X (trong raát nhieàu saûn phaåm X) ôû thò tröôøng. 1) Tính xaùc suaát ñeå coù 80 saûn phaåm loaïi A. 2) Tính xaùc suaát ñeå coù töø 80 ñeán 85 saûn phaåm loaïi A. Baøi 6: Coù ba cöûa haøng I, II vaø III cuøng kinh doanh saûn phaåm Y. Tæ leä saûn phaåm loaïi A trong ba cöûa haøng I, II vaø III laàn löôït laø 70%, 75% vaø 50%. Moät khaùch haøng choïn nhaãu nhieân moät cöûa haøng vaø töø ñoù mua moät saûn phaåm a) Tính xaùc suaát ñeå khaùch haøng mua ñöôïc saûn phaåm loaïi A. b) Giaû söû ñaõ mua ñöôïc saûn phaåm loaïi A. Theo baïn, khaû naêng ngöôøi khaùch haøng aáy ñaõ choïn cöûa haøng naøo laø nhieàu nhaát? Baøi 7: Coù hai hoäp I vaø II moãi hoäp chöùa 12 bi, trong ñoù hoäp I goàm 8 bi ñoû, 4 bi traéng; hoäp II goàm 5 bi ñoû, 7 bi traéng. Laáy ngaãu nhieân töø hoäp I ba bi roài boû sang hoäp II; sau ñoù laáy ngaãu nhieân töø hoäp II boán bi. a) Tính xaùc suaát ñeå laáy ñöôïc ba bi ñoû vaø moät bi traéng töø hoäp II. b) Giaû söû ñaõ laáy ñöôïc ba bi ñoû vaø moät bi traéng töø hoäp II. Tìm xaùc suaát ñeå trong ba bi laáy ñöôïc töø hoäp I coù hai bi ñoû vaø moät bi traéng. Baøi 8: Coù ba hoäp moãi hoäp ñöïng 5 vieân bi trong ñoù hoäp thöù nhaát coù 1 bi traéng, 4 bi ñen; hoäp thöù hai coù 2 bi traéng, 3 bi ñen; hoäp thöù ba coù 3 bi traéng, 2 bi ñen. a) Laáy ngaãu nhieân töø moãi hoäp moät bi. 1) Tính xaùc suaát ñeå ñöôïc caû 3 bi traéng. 2) Tính xaùc suaát ñöôïc 2 bi ñen, 1 bi traéng. 3) Giaû söû trong 3 vieân laáy ra coù ñuùng 1 bi traéng.Tính xaùc suaát ñeå bi traéng ñoù laø cuûa hoäp thöù nhaát. b) Choïn ngaãu nhieân moät hoäp roài töø hoäp ñoù laáy ngaãu nhieân ra 3 bi. Tính xaùc suaát ñöôïc caû 3 bi ñen. Baøi 9: Coù 20 hoäp saûn phaåm cuøng loïai, moãi hoäp chöùa raát nhieàu saûn phaåm, trong ñoù coù 10 hoäp cuûa xí nghieäp I, 6 hoäp cuûa xí nghieäp II vaø 4 hoäp cuûa xí nghieäp III. 28 Tæ leä pheá phaåm cuûa caùc xí nghieäp laàn löôït laø 2%, 4% vaø 5%. Laáy ngaãu nhieân ra moät hoäp vaø choïn ngaãu nhieân ra 3 saûn phaåm töø hoäp ñoù. a) Tính xaùc suaát ñeå trong 3 saûn phaåm choïn ra coù ñuùng 2 pheá phaåm. b) Giaû söû trong 3 saûn phaåm choïn ra coù ñuùng 2 pheá phaååm. Tính xaùc suaát ñeå 2 pheá phaåm ñoù cuûa xí nghieäp I. Baøi 10: Coù 10 sinh vieân ñi thi, trong ñoù coù 3 thuoäc loïai gioûi, 4 khaù vaø 3 trung bình. Trong soá 20 caâu hoûi thi qui ñònh thì sinh vieân loïai gioûi traû lôøi ñöôïc taát caû, sinh vieân khaù traû lôøi ñöôïc 16 caâu coøn sinh vieân trung bình ñöôïc 10 caâu. Goïi ngaãu nhieân moät sinh vieân vaø phaùt moät phieáu thi goàm 4 caâu hoûi thì anh ta traû lôøi ñöôïc caû 4 caâu hoûi. Tính xaùc suaát ñeå sinh vieân ñoù thuoäc loïai khaù. Baøi 11: Coù hai hoäp I vaø II, trong ñoù hoäp I chöùa 10 bi traéng vaø 8 bi ñen; hoäp II chöùa 8 bi traéng vaø 6 bi ñen. Töø moãi hoäp ruùt ngaãu nhieân 2 bi boû ñi, sau ñoù boû taát caû caùc bi coøn laïi cuûa hai hoäp vaøo hoäp III (roãng). Laáy ngaãu nhieân 2 bi töø hoäp III. Tính xaùc suaát ñeå trong 2 bi laáy hoäp III coù 1 traéng, 1 ñen. Baøi 12: Coù hai hoäp cuøng côõ. Hoäp thöù nhaát chöùa 4 bi traéng 6 bi xanh, hoäp thöù hai chöùa 5 bi traéng vaø 7 bi xanh. Choïn ngaãu nhieân moät hoäp roài töø hoäp ñoù laáy ra 2 bi thì ñöôïc 2 bi traéng. Tính xaùc suaát ñeå vieân bi tieáp theo cuõng laáy töø hoäp treân ra laïi laø bi traéng Baøi 13 : Moät loâ haøng goàm a saûn phaåm loaïi I vaø b saûn phaåm loaïi II ñöôïc ñoùng gôùi ñeå göûi cho khaùch haøng. Nôi nhaän kieåm tra laïi thaáy thaát laïc 1 saûn phaåm. Choïn ngaãu nhieân ra 1 saûn phaåm thì thaáy ñoù laø saûn phaåm loaïi I. Tính xaùc suaát ñeå saûn phaåm thaát laïc cuõng thuoäc loaïi I. Baøi 14: Coù 3 hoäp phaán, trong ñoù hoäp I chöùa 15 vieân toát vaø 5 vieân xaáu, hoäp II chöùa 10 vieân toát vaø 4 vieân xaáu, hoäp III chöùa 20 vieân toát vaø 10 vieân xaáu. Ta gieo moät con xuùc xaéc caân ñoái. Neáu thaáy xuaát hieän maët 1 chaám thì ta choïn hoäp I; neáu xuaát hieän maët 2 hoaëc 3 chaám thì choïn hoäp II, coøn xuaát hieän caùc maët coøn laïi thì choïn hoäp III. Töø hoäp ñöôïc choïn laáy ngaãu nhieân ra 4 vieân phaán. Tìm xaùc suaát ñeå laáy ñöôïc ít nhaát 2 vieân toát. Baøi 15: Coù hai kieän haøng I vaø II. Kieän thöù nhaát chöùa 10 saûn phaåm, trong ñoù coù 8 saûn phaåm loaïi A. Kieän thöù hai chöùa 20 saûn phaåm, trong ñoù coù 4 saûn phaåm loaïi A. Laáy töø moãi kieän 2 saûn phaåm. Sau ñoù, trong 4 saûn phaåm thu ñöôïc choïn ngaãu nhieân 2 saûn phaåm. Tính xaùc suaát ñeå trong 2 saûn phaåm choïn ra sau cuøng coù ñuùng 1 saûn phaåm loaïi A. Baøi 16: Moät xaï thuû baén 10 vieân ñaïn vaøo moät muïc tieâu. Xaùc suaát ñeå 1 vieân ñaïn baén ra truùng muïc tieâu laø 0,8 . Bieát raèng: Neáu coù 10 vieân truùng thì muïc tieâu chaéc chaén bò dieät. Neáu coù töø 2 ñeán 9 vieân truùng thì muïc tieâu bò dieät vôiù xaùc suaát 80%. Neáu coù 1 vieân truùng thì muïc tieâu bò dieät vôùi xaùc suaát 20%. 29 a) Tính xaùc suaát ñeå muïc tieâu bò dieät. b) Giaû söû muïc tieâu ñaõ bò dieät. Tính xaùc suaát coù 10 vieân truùng. Baøi 17: Moät maùy saûn xuaát saûn phaåm vôùi tæ leä saûn phaåm loaïi A laø 60%. Moät loâ haøng goàm 10 saûn phaåm vôùi tæ leä saûn phaåm loaïi A laø 60%. Cho maùy saûn xuaát 2 saûn phaåm vaø töø loâ haøng laáy ra 3 saûn phaåm. a) Tính xaùc suaát ñeå soá saûn phaåm loaïi A coù trong 3 saûn phaåm do maùy saûn xuaát baèng soá saûn phaåm loaïi A coù trong 3 saûn phaåm ñöôïc laáy ra töø loâ haøng. b) Giaû söû trong 6 saûn phaåm thu ñöôïc coù 2 saûn phaåm loaïi A. Tính xaùc suaát ñeå 2 saûn phaåm loaïi A ñoù ñeàu do maùy saûn xuaát. Baøi 18: Nöôùc giaûi khaùt ñöôïc chôû töø Saøi Goøn ñi Vuõng Taøu. Moãi xe chôû 1000 chai bia Saøi Goøn, 2000 chai coca vaø 800 chai nöôùc traùi caây. Xaùc suaát ñeå 1 chai moãi loaïi bò beå treân ñöôøng ñi töông öùng laø 0,2%; 0,11% vaø 0,3%. Neáu khoâng quaù 1 chai bò beå thì laùi xe ñöôïc thöôûng. a) Tính xaùc suaát coù ít nhaát 1 chai bia Saøi Goøn bò beå. b) Tính xaùc suaát ñeå laùi xe ñöôïc thöôûng. c) Laùi xe phaûi chôû ít maát maáy chuyeán ñeå xaùc suaát coù ít nhaát moät chuyeán ñöôïc thöôûng khoâng nhoû hôn 0,9? Baøi 19: Moät maùy tính goàm 1000 linh kieän A, 800 linh kieän B vaø 2000 linh kieän C. Xaùcsuaát hoûng cuûa ba linh kieän ñoù laàn löôït laø 0,02%; 0,0125% vaø 0,005%. Maùy tính ngöng hoaït ñoäng khi soá linh kieän hoûng nhieàu hôn 1. Caùc linh kieän hoûng ñoäc laäp vôùi nhau. a) Tính xaùcsuaát ñeå coù ít nhaát 1 linh kieän B bò hoûng. b) Tính xaùc suaát ñeå maùy tính ngöng hoaït ñoäng. c) Giaû söû trong maùy ñaõ coù 1 linh kieän hoûng. Tính xaùc suaát ñeå maùy tính ngöng hoaït ñoäng. Baøi 20: Troïng löôïng cuûa moät loaïi saûn phaåm ñöôïc quan saùt laø moät ñaïi löôïng ngaãu nhieân coù phaân phoái chuaån vôùi trung bình 50kg vaø phöông sai 100kg2 . Nhöõng saûn phaåm coù troïng löôïng töø 45kg ñeán 70kg ñöôïc xeáp vaøo loaïi A. Choïn ngaãu nhieân 100 saûn phaåm (trong raát nhieàu saûn phaåm). Tính xaùc suaát ñeå a) coù ñuùng 70 saûn phaåm loaïi A. b) coù khoâng quaù 60 saûn phaåm loaïi A. c) coù ít nhaát 65 saûn phaåm loaïi A. Baøi 21: Saûn phaåm trong moät nhaø maùy ñöôïc ñoùng thaønh töøng kieän, moãi kieän goàm 14 saûn phaåm trong ñoù coù 8 saûn phaåm loaïi A vaø 6 saûn phaåm loaïi B. Khaùch haøng choïn caùch kieåm tra nhö sau: töø moãi kieän laáy ra 4 saûn phaåm; neáu thaáy soá saûn phaåm thuoäc loaïi A nhieàu hôn soá saûn phaåm thuoäc loaïi B thì môùi nhaän kieän ñoù; ngöôïc laïi thì loaïi kieän ñoù. Kieåm tra 100 kieän (trong raát nhieàu kieän). Tính xaùc suaát ñeå a) coù 42 kieän ñöôïc nhaän. 30 b) coù töø 40 ñeán 45 kieän ñöôïc nhaän. c) coù ít nhaát 42 kieän ñöôïc nhaän. Baøi 22: Saûn phaåm trong moät nhaø maùy ñöôïc ñoùng thaønh töøng kieän, moãi kieän goàm 10 saûn phaåm Soá saûn phaåm loaïi A trong caùc hoäp laø X coù phaân phoái nhö sau: X 6 8 P 0.9 0.1 Khaùch haøng choïn caùch kieåm tra nhö sau: töø moãi kieän laáy ra 2 saûn phaåm; neáu thaáy caû 2 saûn phaåm ñeàu loaïi A thì môùi nhaän kieän ñoù; ngöôïc laïi thì loaïi kieän ñoù. Kieåm tra 144 kieän (trong raát nhieàu kieän). a) Tính xaùc suaát ñeå coù 53 kieän ñöôïc nhaän. b) Tính xaùc suaát ñeå coù töø 52 ñeán 56 kieän ñöôïc nhaän. c) Phaûi kieåm tra ít nhaát bao nhieâu kieän ñeå xaùc suaát coù ít nhaát 1 kieän ñöôïc nhaän khoâng nhoû hôn 95%? Baøi 23: Moät maùy saûn xuaát saûn phaåm vôùi tæ leä saûn phaåm ñaït tieâu chuaån laø 80% vaø moät maùy khaùc cuõng saûn xuaát loaïi saûn phaåm naøy vôùi tæ leä saûn phaåm ñaït tieâu chuaån laø 60%. Choïn ngaãu nhieân moät maùy vaø cho saûn xuaát 100 saûn phaåm. Tính xaùc suaát ñeå a) coù 70 saûn phaåm ñaït tieâu chuaån. b) coù töø 70 ñeán 90 saûn phaåm ñaït tieâu chuaån. c) coù khoâng ít hôn 70 saûn phaåm ñaït tieâu chuaån. Baøi 24: Moät maùy saûn xuaát saûn phaåm vôùi tæ leä pheá phaåm laø 1% vaø moät maùy khaùc cuõng saûn xuaát loaïi saûn phaåm naày vôùi tæ leä pheá phaåm laø 2%. Choïn ngaãu nhieân moät maùy vaø cho saûn xuaát 1000 saûn phaåm. Tính xaùc suaát ñeå a) coù 14 pheá phaåm. b) coù töø 14 ñeán 20 pheá phaåm. Baøi 25: Moät xí nghieäp coù hai maùy I vaø II. Trong ngaøy hoäi thi, moãi coâng nhaân döï thi ñöôïc phaân moät maùy vaø vôùi maùy ñoù seõ saûn xuaát 100 saûn phaåm. Neáu soá saûn phaåm loaïi A khoâng ít hôn 70 thì coâng nhaân ñoù seõ ñöôïc thöôûng. Giaû söû ñoái vôùi coâng nhaân X, xaùc suaát saûn xuaát ñöôïc 1 saûn phaåm loaïi A vôùi caùc maùy I vaø II laàn löôït laø 0.6 vaø 0,7. a) Tính xaùc suaát ñeå coâng nhaân X ñöôïc thöôûng. b) Giaû söû coâng nhaân X döï thi 50 laàn. Soá laàn ñöôïc thöôûng tin chaéc nhaát laø bao nhieâu? Baøi 26: Trong ngaøy hoäi thi, moãi chieán só seõ choïn ngaãu nhieân moät trong hai loaïi suùng vaø vôùi khaåu suùng choïn ñöôïc seõ baén 100vieân ñaïn. Neáu coù töø 65 vieân trôû 31 leân truùng bia thì ñöôïc thöôûng. Giaû söû ñoái vôùi chieán só A, xaùc suaát baén 1 vieân truùng bia baèng khaåu suùng loaïi I laø 60% vaø baèng khaåu suùng loaïi II laø 50%. a) Tính xaùc suaát ñeå chieán só A ñöôïc thöôûng. b) Giaû söû chieán só A döï thi 10 laàn. Hoûi soá laàn ñöôïc thöôûng tin chaéc nhaát laø bao nhieâu? c) Chieán só A phaûi tham gia hoäi thi ít nhaát bao nhieâu laàn ñeå xaùc suaát coù ít nhaát moät laàn ñöôïc thöôûng khoâng nhoû hôn 98%? Baøi 27: Moät ngöôøi thôï saên baén 4 vieân ñaïn. Bieát xaùc suaát truùng ñích cuûa moãi vieân ñaïn baén ra laø 0,8. Goïi X laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân chæ soá vieân ñaïn truùng ñích. a) Tìm luaät phaân phoái cuûa X. b) Tìm kyø voïng vaø phöông sai cuûa X. Baøi 28: Coù hai loâ haøng I vaø II, moãi loâ chöùa raát nhieàu saûn phaåm. Tæ leä saûn phaåm loaïi A coù trong hai loâ I vaø II laàn löôït laø 70% vaø 80%. Laáy ngaãu nhieân töø moãi loâ 2 saûn phaåm. a) Tính xaùc suaát ñeå soá saûn phaåm loaïi A laáy töø loâ I lôùn hôn soá saûn phaåm loaïi A laáy töø loâ II. b) Goïi X laø soá saûn phaåm loaïi A coù trong 4 saûn phaåm ñöôïc laáy ra. Tìm kyø voïng vaø phöông sai cuûa X. Baøi 29: Cho hai hoäp I vaø II, moãi hoäp coù 10 bi; trong ñoù hoäp I goàm 6 bi ñoû, 4 bi traéng vaø hoäp II goàm 7 bi ñoû, 3 bi traéng. Ruùt ngaãu nhieân töø moãi hoäp hai bi. a) Tính xaùc suaát ñeå ñöôïc hai bi ñoû vaø hai bi traéng. b) Goïi X laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân chæ soá bi ñoû coù trong 4 bi ñöôïc ruùt ra. Tìm luaät phaân phoái cuûa X. Baøi 30: Moät maùy saûn xuaát saûn phaåm vôùi tæ leä pheá phaåm 10%. Moät loâ haøng goàm 10 saûn phaåm vôùi tæ leä pheá phaåm 30%. Cho maùy saûn xuaát 3 saûn phaåm vaø töø loâ haøng laáy ra 3 saûn phaåm. Goïi X laø soá saûn phaåm toát coù trong 6 saûn phaåm naøy. a) Tìm luaät phaân phoái cuûa X. b) Khoâng duøng luaät phaân phoái cuûa X, haõy tính M(X), D(X). Baøi 31: Cho hai hoäp I vaø II, moãi hoäp coù 10 bi; trong ñoù hoäp I goàm 8 bi ñoû, 2 bi traéng vaø hoäp II goàm 6 bi ñoû, 4 bi traéng. Ruùt ngaãu nhieân töø hoäp I hai bi boû sang hoäp II, sau ñoù ruùt ngaãu nhieân töø hoäp II ba bi. a) Tính xaùc suaát ñeå ñöôïc caû ba bi traéng. b) Goïi X laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân chæ soá bi traéng coù trong ba bi ñöôïc ruùt ra töø hoäp II. Tìm luaät phaân phoái cuûa X. Xaùc ñònh kyø voïng vaø phöông sai cuûa X. Baøi 32: Coù ba loâ saûn phaåm, moãi loâ coù 20 saûn phaåm. Loâ thöù i coù i+4 saûn phaåm loaïi A (i = 1, 2, 3). 32 a) Choïn ngaãu nhieân moät loâ roài töø loâ ñoù laáy ra 3 saûn phaåm. Tính xaùc suaát ñeå trong 3 saûn phaåm ñöôïc laáy ra coù ñuùng 1 saûn phaåm loaïi A. b) Töø moãi loâ laáy ra 1 saûn phaåm. Goïi X laø toång soá saûn phaåm loaïi A coù trong 3 saûn phaåm ñöôïc laáy ra. Tìm luaät phaân phoái cuûa X vaø tính Mod(X), M(X), D(X). Baøi 33: Moät ngöôøi thôï saên coù 5 vieân ñaïn. Ngöôøi ñoù ñi saên vôùi nguyeân taéc: neáu baén truùng muïc tieâu thì veà ngay, khoâng ñi saên nöõa. Bieát xaùc suaát truùng ñích cuûa moãi vieân ñaïn baén ra laø 0,8. Goïi X laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân chæ soá vieân ñaïn ngöôøi aáy söû duïng trong cuoäc saên. a) Tìm luaät phaân phoái cuûa X. b) Tìm kyø voïng vaø phöông sai cuûa X. -------------------------------------------